Naturaleza de la luz

5. Naturaleza y propagación de la luz
5. NATURALEZA Y PROPAGAC IÓN DE LA LUZ
La naturaleza de la luz es una cuestión que ha intrigado a los científicos
desde tiempos muy remotos. Su comprensión es de enorme importancia, ya que la
luz es uno de los componentes esenciales que hacen posible, por ejemplo, la vida en
la tierra a través de la fotosíntesis de las plantas, ó la recepción y transmisión de
información sobre objetos a nuestro alrededor y de todo el universo.
Desde tiempos antiguos se ha especulado con gran interés sobre la
naturaleza y propiedades de la luz. Los griegos pensaban que la luz estaba formada
por pequeñas partículas ó corpúsculos que eran emitidos por una fuente, y al chocar
con el ojo del observador estimulaban en él la percepción de la visión. Newton
empleo esta teoría corpuscular de la luz para explicar algunos fenómenos
experimentales por entonces conocidos como la reflexión y la refracción. Sin
embargo, en 1678, un contemporaneo suyo, el físico y astrónomo Christian
Huygens, propuso que la luz podía considerarse un tipo de movimiento ondulatorio, y
fue capaz de explicar las leyes de la reflexión y refracción con la teoría ondulatoria.
La primera demostración convincente de la naturaleza ondulatoria de la luz la dio
Thomas Young en 1801 al probar que, en condiciones apropiadas, los haces de luz
pueden interferir, es decir se pueden combinar y cancelar entre sí debido a la
interferencia destructiva. En aquella epoca, este comportamiento no podía explicarse
con la teoría corpuscular. El suceso más importante, relacionado con la comprensión
de la naturaleza de la luz fue el trabajo de Maxwell en 1873 que desarrollo una
brillante teoría en la que se demostraba que la luz es una forma de onda
electromagnética de alta frecuencia que viaja con una velocidad aproximada de
3x108 m/s.
Sin embargo, a principios del siglo XX, el físico aleman Max Planck, retoma la
teoría corpuscular de la luz al introducir el concepto de cuantificación para poder
explicar la radiación emitida por cuerpos calientes. El modelo de cuantificación
presupone que la energía de la onda luminosa se presenta en paquetes de energía
llamados fotones. Albert Einstein utilizó el mismo concepto para explicar el llamado
efecto fotoeléctrico relacionado con la emisión de electrones por un metal expuesto a
la luz.
Hoy en día se considera que existe una dualidad onda-corpúsculo en lo
referente a la naturaleza de la luz, dualidad que se extiende a todo tipo de ondas y
partículas a escala microscópica, de forma que la luz unas veces se comporta como
onda y otras como partíc ula. A continuación pasaremos a analizar en detalle cada
uno de los modelos propuestos.
5-1
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.1 Naturaleza ondulatoria de la luz
5.1.1 Ondas electromagnéticas. La teoría electromagnética de la luz fue
elaborada por Maxwell y comprobada experimentalmente por Herz en 1888 quién
por primera vez produjo y detectó las ondas electromagnéticas por medio de
circuitos oscilantes observando, como en las ondas luminosas, la reflexión,
refracción, interferencia y polarización. Las ecuaciones de Maxwell en un medio
dieléctrico, σ=0 y j=0, isótropo, ε y µ constantes en todos los puntos y donde no
existen cargas libres, ρ=0, pueden escribirse como
→
→
→
→
∇. E = 0
[5.1]
∇.H = 0
[5.2]
→
∂H
∇xE= − µ
∂t
→
→
[5.3]
→
∂E
∇xH = ε
∂t
→
→
[5.4]
Cuando en un punto del espacio se produce un campo eléctrico variable con
el tiempo, sus variaciones producen un campo magnético variable también. A su vez,
este campo magnético variable de origen a un campo eléctrico. Estos campos
eléctrico y magnético variables, consecuencia uno del otro, sin que pueda existir
ninguno de ellos aisladamente, se propagan por el espacio constituyendo las ondas
electromagnéticas. Para hallar las ecuaciones de propagación operemos de la
siguiente forma
∇ x( ∇xH ) = ε ( ∇x
∂E
∂
) = ε ( ∇xE)
∂t
∂t
[5.5]
utilizando la igualdad
∇ x( ∇xH ) = grad∇ H − ∇ 2H
[5.6]
y dado que por [5.2] la divergencia de H es cero y utilizando [5.3] queda
∂ 2H 1 2
=
∇ H
∂t 2 εµ
[5.7]
Tomando rotacionales en [5.3] y operando análogamente se llega a
5-2
5. Naturaleza y propagación de la luz
∂ 2E
1 2
=
∇E
2
∂t
εµ
[5.8]
Tal y como vimos en el capítulo 2, las ecuaciones [5.7] y [5.8] muestran que
los campos electromagnéticos se propagan obedeciendo la ecuación diferencial del
movimiento ondulatorio con una velocidad
v=
1
εµ
[5.9]
En el vacío, donde tenemos ε 0 y µ0, la velocidad de propagación de las ondas
electromagnéticas es igual a c=2.99793x108 m/s.
La forma de las soluciones dependerá en cada caso de la situación física.
Adoptemos como solución una onda plana armónica, para lo cual, en medios
isótropos, bastará suponer que el emisor está muy alejado del lugar donde se realiza
la observación, propagándose según la dirección u(α,β,γ). Los campos eléctricos y
magnéticos tomarán la forma
E = E0 sen( kru − ωt ) = E 0e i( kru −ωt )
H = H 0 sen( kru − ωt ) = H 0 e i( kru −ω t)
[5.10]
Apliquemos las ecuaciones de Maxwell a los campos eléctricos y magnéticos
definidos por [5.10]. La componente x de [5.4] será igual a
∂H z ∂H y
∂E
−
=ε x
∂y
∂z
∂t
[5.11]
De forma análoga para las otras dos componentes y calculando estas
derivadas obtenemos
βH z − γH y = −εvEx
γH x − αH z = −εvEy
[5.12]
αH y − βH x = −εvEz
Estas tres ecuaciones, teniendo en cuenta que los primeros términos son las
componentes del producto vectorial uxH equivalen a la ecuación vectorial
H xu = ε v E
[5.13]
y operando igual con el campo eléctrico
5-3
5. Naturaleza y propagación de la luz
uxE =
1
H
εv
[5.14]
Las ecuaciones [5.13] y [5.14] indican que en la propagación H y E son
siempre perpendiculares entre si y ambos los son a la dirección de propagación u, lo
que demuestra que las ondas electromagnéticas, y por ende la luz, son
transversales. De las mismas ecuaciones se deduce que E y H van en fase ya que
ambos se anulan y se hacen máximos simultaneamente como se indica en la figura
5.1 y las magnitudes están relacionadas por la expresión H = εvE .
Figura 5.1. Onda electromagnética propagándose con los vectores E y H perpendiculares a la
dirección de propagación, onda transversal, y en fase
5.1.2 Espectro electromagnético. Los diversos tipos de ondas
electromagnéticas difieren solo en su longitud de onda y frecuencia, relacionadas
con la velocidad c por la expresión λf=c y en principio no se conoce ninguna
limitación para los calores posibles de λ ó f. En la figura 5.2 se expone el espectro
electromagnético y los nombres normalmente asociados con los diversos intervalos
de frecuencia y longitud de onda. Estos intervalos no están a veces bien definidos y
frecuentemente se solapan. La clasificación habitual del espectro electromagnético
es la siguiente:
a) Ondas de radiofrecuencia. Éstas tienen longitudes de onda que van desde
algunos kilómetros a 0.3 m y el intervalo de frecuencias es desde algunos
Hz hasta 109 Hz. Son las ondas que habitualmente se utilizan en los
sistemas de radio y televisión y son generadas por medio de dispositivos
electrónicos, principalmete circuitos oscilantes
b) Microondas. Las longitudes de onda están entre 0.3 m y 10-3 m y el
intervalo de frecuencia es desde 109 Hz hasta 3x1011 Hz. Estas ondas se
usan en el radar y otros sistemas de telecomunicación y se generan con
dispositivos electrónicos.
c) Espectro infrarrojo. Cubre las longitudes de onda entre 10-3 m y 7.8x10-7 m
(7800 Å) y el intervalo de frecuencia es entre 3x1011 Hz y 4x1014 Hz. Esta
5-4
5. Naturaleza y propagación de la luz
d)
e)
f)
g)
zona se subdivide a su vez en infrarrojo cercano, medio y lejano. Estas
ondas son producidas por cuerpos calientes y moléculas.
Luz ó espectro visible. Es una banda angosta formada por las longitudes
de onda a las cuales nuestra retina es sensible. Se extiende desde 7.8x107
m hasta 3.8x10-7 m y en frecuencias desde 4x1014 Hz hasta 8x1014 Hz.
Las longitudes de ondas más cortas del espectro visible corresponden a la
luz violeta y las más largas a la luz roja, y entre estos extremos se
encuentran todos los colores del arco iris. La luz es producida por átomos
y moléculas como resultado de procesos electrónicos.
Rayos ultravioletas. Cubren desde 3.8x10-7 m hasta alrededor de 6x10-10
m con frecuencias desde 8x1014 Hz a 3x1017 Hz. Estas ondas son
producidas por átomos y moléculas en descargas eléctricas y tienen
fuertes efectos en procesos químicos.
Rayos X. Esta parte del espectro electromagnético abarca una gama de
longitudes de onda entre 10-9 m y 6x10-12 m y frecuencias entre 3x1017 Hz
y 5x1019 Hz. Son producidos por transiciones electrónicas en niveles
profundos del átomo.
Rayos γ: Estas ondas electromagnéticas son de origen nuclear y se
superponen al límite superior de los rayos X; sus longitudes de onda van
desde 10-10 m hasta 10-14 m con frecuencias entre 3x1018 Hz y 3x1022 Hz.
Figura 5.2. Espectro electromagnético
5-5
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.1.3 Energía de una onda electromagnética. Como todo tipo de onda, las
ondas electromagnéticas transportan energía y cantidad de movimiento. La energía
transportada viene descrita por la intensidad, es decir, por la potencia media por
unidad de área incidente sobre una superficie perpendicular a la dirección de
propagación. La cantidad de movimiento por unidad de tiempo y por unidad de área
transportada por una onda electromagnética se denomina presión de radiación.
Sabemos del capítulo 2 que la intensidad de una onda viene dada por el producto de
la densidad energética media por la velocidad de la onda. Las densidades de
energía asociadas al campo eléctrico y al campo magnético de una onda
electromagnética que se propaga en el vacío son
1
ε 0E 2
2
1
1
1
1
uB = µ 0 ? 2 =
B2 =
E2 = ε 0E2
2
2
2µ 0
2µ0 c
2
uE =
[5.15]
donde se ha utilizado el hecho de que B = E c . La densidad de energía total de la
onda electromagnética es igual a
u = u E + uB = ε 0 E 2
[5.16]
y la intensidad de la onda electromagnética queda
I = c ε 0 E2
[5.17]
Para el caso de una onda electromagnética armónica plana, E=E0sen(kru-ωt),
la intensidad media en el tiempo de la onda electromagnética, teniedo en cuenta que
el valor medio del seno al cuadrado es ½, queda
I=
1
cε 0 E02
2
[5.18]
Se define el vector de Poynting S como
S=
ExB
µ0
[5.19]
siendo éste un vector que tiene por unidades W/m2, como valor promedio del módulo
la intensidad de la onda, y como dirección la direccion de propagación de la onda
electromagnética. Comprobemos este hecho para una onda electromagnética plana
donde ExB=EB y el módulo del vector de Poynting queda
5-6
5. Naturaleza y propagación de la luz
EB E 2
cB 2
S=
=
=
µ0 µ0 c
µ0
[5.20]
El valor promedio de este módulo, haciendo de nuevo uso del valor promedio
del seno al cuadrado queda
E02
⟨ S⟩ =
2µ0 c
Por otro lado la intensidad de la onda, sabiendo que c = 1
1
E02
2
I = c ε 0 E0 =
= ⟨ S⟩
2
2µ 0 c
[5.21]
ε0 µ0
, queda
[5.22]
Las ondas electromagnéticas, además de energía transportan cantidad de
movimiento. Por tanto, una onda electromagnética que incide sobre una superficie
ejerce una presión sobre ella que se denomina presión de radiación Pr. Si la
superficie absorbe toda la radiación incidente, la cantidad de movimiento total p por
unidad de volumen V cedida a la superficie por la onda en caso de incidencia normal
es
p=
Ε uV
=
c
c
[5.23]
donde se ha hecho uso de que la cantidad de movimiento y la energía de la onda
electromagnética se relacionan por la expresión [5.30] Ε=pc, fórmula que
posteriormente se explicará. La presión de radiación, dada por la fuerza dividida
entre el área, es por tanto igual a
dp
Pr =
dt = I = ⟨ S ⟩
A
c
c
[5.24]
En caso de que la superficie sea un reflector perfecto, la onda reflejada
también cede la misma cantidad de movimiento a la superficie y la presión de
radiación para incidencia normal es igual a
Pr = 2
I
⟨ S⟩
=2
c
c
[5.25]
5-7
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.2 Naturaleza corpuscular de la luz
A principios del siglo XX, la física se enfrentó a una serie de fenómenos,
analizados a continuación, que conducian a que la radiación electromagnética era de
caracter corpuscular en su interacción con la materia a diferencia de su caracter
ondulatorio cuando se propaga. Estos resultados marcarían el comienzo de una
nueva disciplina conocida como física cuántica.
5.2.1 Radiación del cuerpo negro. Se llama radiación térmica a la radiación
emitida por un cuerpo como consecuencia de su temperatura. Todos los cuerpos
emiten esta radiación a su derredor, y la
absorben de él. Recibe el nombre de cuerpo
negro todo cuerpo que absorbe toda la
energía radiante de cualquier frecuencia que
llega sobre él. Si un cuerpo que cumple con
estas condiciones se ilumina con luz visible,
ninguna radiación retorna y presentará color
negro. Un cuerpo negro perfecto no existe en
la naturaleza, pero se aproxima mucho a él
en la zona del espectro visible la pequeña
boca de una cavidad recubierta de negro de
humo, tal y como se muestra en la figura 5.3,
ya que toda la luz que penetra por ella es
absorbida en la primera ó sucesivas
internas.
Pues
bien,
si
Figura 5.3. Cuerpo negro definido como reflexiones
aquel que absorbe toda la energía que llega calentamos la cavidad a una temperatura T,
sobre él
por la boca de la cavidad sale una radiación
cuyo espectro frecuencial podemos analizar. La física clasica arroja el siguiente
resultado para la densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo
negro
uT ( f ) df =
8πf 2 kT
df
c2
[5.26]
conocida como fórmula de Rayleigh-Jeans y representada en la figura 5.4 junto a los
resultados experimentales medidos. La discrepancia entre modelo teórico y
resultados experimentales es evidente. En el límite de frecuencias bajas, el espectro
clásico se aproxima a los resultados experimentales, pero a medida que la
frecuencia crece, la predicción teórica tiende a infinito mientras que los experimetos
muestran que la densidad de energía siempre permanece finita y de hecho tiende a
cero para frecuencias muy altas. Este fallo de la teoría clásica es conocido en física
como la catástrofe ultravioleta.
5-8
5. Naturaleza y propagación de la luz
Figura 5.4. Densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro, fórmula de
Rayleigh-Jeans, junto a los resultados experimentales
De acuerdo con la física clásica, la energía de una onda en particular puede
tener cualquier valor de forma continua entre cero e infinito y bajo esa hipótesis se
desarrollo la teoría de Rayleigh-Jeans. Plank, sin embargo hizo la sorprendente
suposición de que la densidad de energía de las ondas electromagnéticas variaba de
forma discreta según múltiplos de un valor elemental de la forma
ε = nhf
[5.27]
donde n es un número entero, f la frecuencia de la radiación y h es una constante
universal llamada constante de Plank cuyo valor encontrado experimentalmente es
igual a
h= 6.63x10-34 J.s
Con esta hipótesis se llega a que la densidad de energía por intervalo
frecuencial emitida por el cuerpo negro es igual al conocido como espectro del
cuerpo negro de Plank
uT ( f ) df =
8πf
c3
hf
e
hf
KT
df
[5.28]
−1
que reproduce adecuadamente los resultados experimentales tal y como muestra la
figura 5.5. La drástica suposición de Plank implica que la emisión de luz, y en
general de toda onda electromagnética, se realiza en forma de partículas,
corpúsculos ó cuantos de energía hf.
5-9
5. Naturaleza y propagación de la luz
Figura 5.5. Densidad de energía por intervalo frecuencial emitida por el cuerpo negro según el modelo
de Plank
5.2.2 Efecto fotoeléctrico. Este fenómeno consiste en que cuando un metal
recibe luz, emite electrones denominado fotoelectrones. Analizando esta emisión de
fotoelectrones se observan los siguientes hechos:
a) La corriente de fotoelectrones es proporcional a la intensidad del haz
incidente
b) La energía cinética máxima de los electrones arrancados no depende de
la intensidad del haz incidente, solo depende de la frecuencia
c) La energía cinética máxima de los fotoelectrones es una función lineal de
la frecuencia de la luz utilizada de la forma
1 2
mv = Emax = Af − W
2
[5.29]
d) Existe para cada metal una frecuencia umbral por debajo de la cual no se
produce emisión de electrones cualquiera sea la intensidad de la luz
incidente
e) La emisión es instantanea con la llegada de la luz al metal
La explicación que dió Einstein a este fenómeno se basa en que un haz de luz
es un chorro de partículas, fotones, de energía hf. Cuando sobre el metal llega un
fotón, éste puede ceder toda su energía a un electrón el cual puede ser arrancado
del metal, en cuyo caso la energía cinética máxima del electrón será igual a
Emax = hf − W donde W es la energía de ligadura del electrón. Esta ecuación se
ajusta con la experiencia [5.29]. Si hf no es igual ó mayor que W, no se arrancan
electrones. La frecuencia umbral será por tanto f=h/W y la constante A de [5.29] será
la constante de Plank.
5-10
5. Naturaleza y propagación de la luz
Teniendo en cuenta que la velocidad de los fotones en el vacío es c, de la
teoría de la relatividad se deducen las propiedades de masa, energía y cantidad de
movimiento del fotón
Masa ( reposo ) = 0
E = pc
h
p=
λ
[5.30]
5.2.3 Efecto Compton. En 1920 se observó, estudiando la dispersión de rayos
X por la materia, que los rayos que salían dispersados en diferentes direcciones
tenían diferentes longitudes de onda y mayores que la radiación incidente,
independientemente
del
material
atravesado. Este hecho no se puede
interpretar por la física clasica pues si se
supone que la difusión de rayos X se
debe a que los electrones de la materia
entran en vibración con la frecuencia de
la onda electromagnética incidente,
debería radiar con la misma frecuencia,
Figura 5.6. Choque de un fotón con un electrón cosa que no ocurre.
El fenómeno fue explicado por Compton admitiendo que la luz está constituida
por fotones de energía hf, los cuales sufren choque elásticos con los electrones
libres ó débilmente ligados de la materia, en cuyos choques se conserva la energía y
el momento tal y como se muestra en la figura 5.6.
5.2.4 Dualidad onda-corpúsculo. Las experiencias que acabamos de analizar
y su justificación exigen considerar los haces de luz como chorros de partículas,
denominadas fotones, de energía hf. Por otro lado, los fenómenos de la interferencia
y difracción de luz, bien estudiados y experimentados, certifican el caracter
ondulatorio de la misma. Esta situación induce a la siguiente interpretación:
a) Los aspectos ondulatorio y corpuscular de la luz no son incompatibles ni
contradictorios, son dos aspectos complementarios de un mismo ente
físico, la luz, y los fenómenos lumínicos no pueden ser enteramente
descritos si no se tiene en cuenta ambos aspectos
b) La propagación de la luz viene gobernada por sus propiedades
ondulatorias
c) El intercambio de energía entre luz y materia viene determinado por sus
propiedades corpusculares a través del fotón de energía hf y cantidad de
movimiento h/λ.
5-11
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.3 Velocidad de la luz
La primera medición no astronómica de la velocidad de la luz la llevó a cabo
el físico francés Fizeau en 1849. Sobre una colina se sitúa una fuente luminosa y un
sistema de lentes dispuesto de tal forma que la luz reflejada en un espejo
semitransparente se enfoca sobre uno de los huecos existentes en una rueda
dentada como se ve en la figura 5.7.
Sobre otra colina distante se sitúa un espejo que refleja la luz hacia atrás, de
modo que pudiera ser vista por un observador del modo que se muestra en la figura.
La rueda dentada puede girar siendo variable su velocidad de rotación. A bajas
velocidades de rotación, la luz es visible por el observador porque la luz que pasa a
través de un hueco de la rueda dentada no queda obstruida por el diente siguiente
después de reflejada en el espejo. Entonces se aumenta la velocidad de rotación
hasta que la luz que pasa a través del hueco de la rueda dentada queda obstruida
por el diente siguiente y se deja de observar luz. El tiempo necesario para que la
rueda gire a través del ángulo comprendido entre dos huecos sucesivos es igual al
tiempo empleado por la luz en recorrer la distancia de la rueda al espejo y volver a la
rueda.
Figura 5.7. Método de Fizeau para la medida de la velocidad de la luz
Se define en la actualidad que la velocidad de la luz en el vacío, y por ende
del resto de las ondas electromagnéticas, es
c= 299.792.457 m/s
[5.31]
y entonces se define en función de esta velocidad la unidad estándar de longitud, el
metro. El valor 3x108 m/s para la velocidad de la luz es suficientemente exacto para
la mayoría de las aplicaciones
5-12
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.3.1 Principio de relatividad. A finales del siglo XIX, los físicos asumían que
la naturaleza ondulatoria de la luz llevaba aparejada la necesidad de la vibración de
alguna sustancia desconocida, que denominaban eter que llenaba el espacio, de
forma análoga a las vibraciones del aire que dan lugar al sonido. Asumiendo que
este supuesto eter fuese estacionario, encontramos que la luz se desplaza con
respecto al eter a una velocidad c. Si la tierra se moviera a través del eter con
velocidad v, entonces la velocidad de la luz con respecto a la tierra debería depender
de la dirección de propagación. Por ejemplo, debería ser c-v para un rayo de luz que
se propaga en la misma dirección del movimiento de la tierra y c+v en la dirección
opuesta.
En 1881, Michelson y Morley demostraron experimentalmente que la
velocidad de la luz era la misma en todas las direcciones. Estos resultados obligaron
a abandonar el concepto de eter, las ondas electromagnéticas se propagan en el
vacío, y movieron a Einstein en 1905 a enunciar su principio de relatividad basado
en el hecho de que la velocidad de la luz es una invariante físico que tiene el mismo
valor para todos los observadores. Esta invariancia obliga a profundos cambios en el
movimiento relativo entre observadores tal y como se asumía en la mecánica
clásica. En especial la hipótesis de que el tiempo es igual para todo observador no
puede ser cierta. Dado que velocidad es distancia dividida entre tiempo, tenemos
que ajustar el tiempo y la distancia, si el cociente debe ser el mismo para
observadores en movimiento relativo, como en el caso de la velocidad de la luz. Las
nuevas transformaciones, denominadas transformaciones de Lorentz, entre dos
observadores en movimiento relativo con velocidad v según el eje x, compatibles con
la invariancia de la velocidad de la luz son
x´=
x − vt
v2
1− 2
c
vx
t− 2
c
t´ =
v2
1− 2
c
m
m´=
v2
1− 2
c
y´= y
z´= z
[5.32]
Estas nuevas transformaciones obligaron al desarrollo de una nueva rama de
la física, física relativista, que encuentra su principal aplicación en el rango de las
altas energías cuando las velocidades de las partículas se aproximan a la velocidad
de la luz.
5-13
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.4 Propagación de la luz
Hemos visto como la propagación de la luz viene gobernada por la ecuación
de ondas desarrollada en el apartado 5.1. Sin embargo, antes de que Maxwell
desarrollara la teoría de las ondas electromagnéticas, la propagación de la luz fue
descrita empíricamente por dos principios desarrollados por Huygens y Fermat,
posteriormente deducidos a partir de la ecuación de ondas. Estos dos principios, que
pasamos a continuación a enunciar, permitieron explicar muchos de los fenómenos
asociados a la propagación de la luz.
5.4.1 Principio de Huygens. Consideremos un frente de ondas esférico que
procede de un foco puntual. Vimos en capítulos anteriores como el frente de ondas
es el lugar geométrico de los puntos con fase constante. Si en el instante t el radio
del frente de ondas es r, su radio en el instante t+∆t es r+c∆t siendo c la velocidad de
la onda. Sin embargo, si una parte de la onda se ve bloqueada por un obstáculo, ó si
la onda pasa a través de diferentes medios, es mucho más difícil la determinación
del nuevo frente de ondas en el instante t+∆t. La propagación de una onda a través
del espacio puede describirse utilizando un método geométrico conocido como
principio de Huygens
“Cada punto de un frente de ondas
primario sirve como foco de ondas
esféricas secundarias que avanzan con
una velocidad y frecuencia igual a las de la
onda primaria. El frente de ondas primario
al cabo de un cierto tiempo es la
envolvente de estas ondas elementales”.
La figura 5.8 muestra la aplicación del
principio de Huygens a la propagación de
una onda plana y una onda esférica.
5.4.2 Principio de Fermat. En un
medio homogeneo de índice de refracción
Figura 5.8. Principio de Huygens para la n, definido n como n=c/v, se define el
propagación de la luz
camino óptico (L) de la luz que ha recorrido
un trayecto desde A hasta B de longitud s como
( L) = ns
[5.33]
Si el medio es heterogeneo con variación continua del índice de refracción
tenemos que el camino óptico es igual a
5-14
5. Naturaleza y propagación de la luz
∫
(L ) =
B
A
nds = c ∫
B
ds
= c ∫ dt = ct
A
v
B
A
[5.34]
Así pues, el camino óptico puede definirse como el producto de la velocidad
de la luz en el vacío por el tiempo que tarda en recorrer la trayectoria.
El principio de Fermat establece que : “La trayectoria seguida por la luz para
pasar de un punto A a otro punto B es aquella para la cual el camino óptico es
mínimo”. Esta definición, y dado que c es una constante, es equivalente a afirmar
que el tiempo de recorrido de la luz debe ser un mínimo.
5.5 Reflexión y refracción
Un medio transparente a la luz se define por su índice de refracción n que
como hemos visto viene dado por la ecuación
n=
c
v
[5.35]
siendo c la velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad en el medio. De las
definiciones de ambas velocidades llegamos al resultado
n=
c
=
v
εµ
= ε r µr
ε0 µ0
[5.36]
Para la mayoría de los materiales ópticos de interés µr=1 dado que no son
ferromagnéticos con lo que el índice de refracción es igual a la raiz cuadrada de la
constante dieléctrica relativa. De [5.35] se deduce que el índice de refracción es una
parámetro adimensional mayor que la unidad, dado que c siempre es mayor ó igual
que v. La tabla 5.1 muestra los índices de refracción de varias sustancias.
Tabla 5.1. Índice de refracción de diferentes sustancias para luz de longitud de onda λ=589 nm
Sustancia
n
Sustancia
Sólidos a 20 ºC
n
Líquidos a 20 ºC
Diamante (C)
Fluorita (CaF2)
2.419
1.434
Benceno
Alcohol Etílico
1.501
1.361
Cuarzo (SiO2 )
1.458
Glicerina
1.473
Vidrio crown
1.52
Agua
1.333
Hielo (H2O)
1.309
Poliestireno
1.49
Aire
1.000293
Cloruro sódico (NaCl)
1.544
CO2
1.00045
Gases a 0 ºC, 1 atm
5-15
5. Naturaleza y propagación de la luz
Cuando un haz de luz incide sobre una superficie límite de separación entre
dos medios, tal como una superficie aire-vidrio, parte de la energía luminosa se
refleja y parte se transmite dando lugar al fenómeno de la reflexión y refracción ya
analizados en el capítulo 2. Siguiendo el esquema de la figura 5.9, las leyes que
rigen este fenómeno son la ley de la
reflexión, el ángulo incidente es igual al
ángulo reflejado
ϑ1´ = ϑ1
[5.37]
y la ley de la refracción ó de Snell que
liga ángulo incidente y ángulo refractado
en función de los índices de refracción de
los medios
Figura 5.9. Reflexión y refracción de la luz en la
superficie límite entre dos medios
n1sen ϑ1 = n 2 senϑ 2
[5.38]
Experimentalmente se ha comprobado que no hay un cambio de frecuencia al
pasar la luz del primer medio al segundo medio. Dado que si que hay un cambio de
velocidades de propagación, esto implica que la longitud de onda debe cambiar. Si la
longitud de onda en el vacío es λ, la longitud de onda λ´en un medio de índice de
refracción n es
λ´=
λ
n
[5.39]
5.5.1 Deducción mediante el principio de Huygens. Analicemos los fenómenos
de reflexión y refracción utilizando la construcción de Huygens. La figura 5.10.a
muestra un frente de ondas plano AA´ que incide sobre un espejo en el punto A. El
ángulo φ 1 que forma el frente de ondas con el espejo es igual al ángulo de incidencia
θ1 que forma la perpendicular al espejo y los rayos perpendiculares al frente de
ondas. De acuerdo con el principio de Huygens cada punto de un frente de ondas
puede considerarse como un punto de una fuente de ondas elementales
secundarias. La posición del frente de ondas al cabo de un tiempo t se encuentra
construyendo las ondas elementales de radio ct con centros en el frente de ondas
AA´. Las ondas elementales que no inciden sobre el espejo forman la parte BB´ del
nuevo frente de ondas. Los frentes de onda que inciden sobre el espejo se reflejan y
forman la parte B´´B del nuevo frente de ondas. Mediante una construcción
semejante se obtiene el frente de ondas C´´C a partir de las ondas elementales de
Huygens que se originan en el frente de ondas B´´B. La figura 5.10.b es una parte
aumentada de la figura 5.10.a en la que se muestra AP, parte del frente de ondas
original. Durante el tiempo t, la onda elemental procedente del punto P alcanza al
5-16
5. Naturaleza y propagación de la luz
espejo en el punto B y la onda elemental procedente del punto A alcanza el punto
B´´. El frente de ondas reflejado BB´´ forma un ángulo φ 1´ con el espejo que es igual
al ángulo de reflexión θ1´ entre el rayo reflejado y la normal al espejo. Los triángulos
ABP y BAB´´ son ambos triángulos rectángulos con la hipotenusa común AB y los
catetos iguales AB´´=BP=ct. De aquí que estos triángulos sean semejantes y que los
ángulos φ 1 y φ 1´ sean iguales lo cual implica que el ángulo de reflexión θ1´ es igual al
ángulo de incidencia θ1, ley de la reflexión.
(a)
(b)
Figura 5.10.a) Frente de ondas plano incidiendo sobre un espejo y b) detalle del proceso de reflexión
del frente de ondas AP
La figura 5.11 muestra una onda
plana que incide sobre una superficie
plana. Apliquemos la construcción de
Huygens para hallar el frente de ondas de
la onda transmitida. El segmento AP indica
una porción del frente de ondas en el
medio 1 que incide sobre la superficie con
un ángulo de incidencia φ 1. En el instante t
la onda elemental procedente de P recorre
la distancia v1 t y alcanza el punto B sobre
Figura 5.11. Refracción de un frente de ondas la línea AB que separa ambos medios,
plano
mientra que la onda elemental procedente
del punto A recorre una distancia v2t dentro del segundo medio. El nuevo frente de
ondas BB´ no es paralelo al frente de ondas original AP porque son diferentes las
velocidades de transmisión en ambos medios. Del triángulo APB
v1t
AB
v1t
vt
AB =
= 1
senφ1 sen θ 1
senφ1 =
[5.40]
Análogamente y a partir del triángulo AB´B
5-17
5. Naturaleza y propagación de la luz
v2 t
AB
vt
vt
AB = 2 = 2
sen φ 2 senθ 2
senφ 2 =
[5.41]
Igualando valores obtenemos
senθ 1 senθ 2
=
v1
v2
[5.42]
n1senθ 1 = n2 sen θ 2
obteniendo la ley de Snell de la refracción.
5.5.2 Deducción mediante el principio de Fermat. La figura 5.12 muestra dos
trayectorias en las cuales la luz sale del punto A, choca contra la superficie plana y
se propaga hasta el punto B. Aplicando el
principio de Fermat el recorrido entre A y
B será aquel que se realize en el menor
tiempo posible. Como en este problema
la luz siempre se mueve en el mismo
medio, el tiempo será mínimo cuando la
distancia sea mínima. Esta distancia APB
es mínima cuando el ángulo de
incidencia es igual al de reflexión.
Figura 5.12. Trayectorias posibles de la luz en un
proceso de reflexión para ir de A a B
En el caso de la refracción, la
figura 5.13 indica la geometría que sirve
para encontrar el trayecto de mínimo
tiempo entre los puntos A y B. Si la
distancia recorrida en el medio 1 es L1 y
la recorrida en el medio 2 es L2, el tiempo
que tarda la luz en recorrer el trayecto AB
es
L1 L2
L
L
+
= 1 + 2 =
c
c
v1 v 2
n1
n2
nL nL
= 1 1+ 2 2
c
c
t=
Figura 5.13. Trayectoria de mínimo tiempo entre
A y B en un proceso de refracción
5-18
[5.43]
5. Naturaleza y propagación de la luz
Utilizando las igualdades deducidas de la figura 5.13
L21 = a 2 + x 2
[5.44]
L22 = b 2 + ( d − x ) 2
y haciendo el tiempo un mínimo respecto a x obtenemos
dL 
dt 1  dL1
=  n1
+ n2 2  = 0
dx c  dx
dx 
[5.45]
A partir de [5.44]
dL1
x
=
= senθ 1
dx
L1
dL2
d−x
=−
= −senθ 2
dx
L2
[5.46]
Introduciendo estos resultados en [5.45] tenemos
n1sen θ1 + n2 ( − senθ 2 ) = 0
n1sen θ1 = n2 sen θ 2
[5.47]
que es la ley de Snell de la refracción.
5.5.3 Factores de reflexión y transmisión. La fracción de energía luminosa
reflejada y transmitida al incidir la onda sobre una superficie límite depende del
ángulo de incidencia, la orientación del vector campo eléctrico y de los índices de
refracción según unas ecuaciones denominadas fórmulas de Fresnel. Para el caso
especial de incidencia normal el factor de reflexión r0, fracción de intensidad
reflejada, y el factor de transmisión t0 , fracción de intensidad transmitida, vienen
dados por
 n − n2 
I

r0 = r =  1
I i  n1 + n 2 
t0 =
It
4n1 n2
=
2
I i ( n1 + n 2 )
2
[5.48]
[5.49]
donde II es la intensidad incidente, Ir la reflejada y It la transmitida y n1 y n2 los
indices de refracción de los dos medios. La conservación de la energía obliga a que
la suma de r y t sea igual a 1.
5-19
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.5.4 Reflexión interna total. Cuando el índice de refracción del segundo
medio es menor que el del primero n1 >n2, la ley de Snell implica que θr > θi . Al ir
aumentando el ángulo de incidencia sobre la superficie, el ángulo del rayo refractado
subirá de valor hasta alcanzar los 90º para un ángulo de incidencia crítico θc tal y
como se muestra en la figura 5.14. Para ángulos de incidencia mayores que θc no
existe rayo refractado y toda la energía se refleja, fenómeno conocido como reflexión
interna total. Una aplicación muy interesante de este fenómeno es la transmisión de
un haz de luz a lo largo de una fibra de vidrio transparente denominada fibra óptica.
Figura 5.14.a) Reflexión interna total para un ángulo de incidencia mayor que θc y b) ejemplo del
fenómeno en la superficie de separación agua/aire
A partir de la ley de Snell se puede deducir el valor de este ángulo crítico
senθ c =
n2
n1
[5.50]
5.5.5 Espejismos. Cuando el
índice de refracción de un medio cambia
de forma continua, la refracción es
continua de forma que la luz se va
curvando gradualmente. Un ejemplo
interesante de este caso es la formación
de un espejismo. En un día caluroso es
frecuente tener cerca del suelo una capa
de aire más caliente, y por tanto menos
denso que el aire que tiene encima. La
velocidad de la luz es ligeramnete mayor
en esta capa menos densa, de manera
que el haz que pasa de la capa más fría
a la más caliente se curva tal y como se
Figura 5.15. Espejismo motivado por aire caliente
muestra en la figura 5.15.
en las cercanías del suelo
5-20
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.6 Polarización
En toda onda tranversal, la vibración es perpendicular a la dirección de
propagación de la onda. Por ejemplo, una onda luminosa que se mueva en la
dirección X, tendrá un campo eléctrico E
perpendicular a esta dirección, por
ejemplo el Y según se muestra en la
figura 5.16, con un campo magnético B
según el eje Z. Si la vibración se
mantiene paralela a una línea del espacio
se dice que la onda está linealmente
polarizada. El plano de polarización se
Figura 5.16. Onda de luz propagándose según el define como el plano en el que oscila el
eje X linealmente polarizada
campo eléctrico, en este caso el plano
XY.
Figura 5.17. Onda de luz propagándose según el
eje X circularmante polarizada
Otra solución posible en forma de
onda plana de la ecuación de ondas es
aquella en la que los campos electricos y
magnéticos
tienen
una
magnitud
constante, pero rotan alrededor de la
dirección de polarización dando como
resultado
una
onda
polarizada
circularmente tal y como se indica en la
figura 5.17. Esta nueva solución se
obtiene combinando dos soluciones
linealmente polarizadas como por
ejemplo
E y = E o sen( kx − ωt ), E z = ± Eo cos( kx − ωt )
B y = m Bo cos( kx − ωt ), Bz = Bo sen ( kx − ωt )
[5.51]
que corresponde a un defasaje de π/2 entre las componentes de cada campo. El
extremo del vector E define una circunferencia en el espacio. En caso de que las
amplitudes de cada componente sean diferentes se obtiene una polarización elíptica.
La mayoría de la ondas producidas por una fuente están polarizadas. Por
ejemplo las ondas electromagnéticas producidas por una antena dipolar están
linealmente polarizadas con el vector campo eléctrico paralelo a la antena. En
cambio las ondas producidas por muchas fuentes normalmente no están
polarizadas. Una fuente luminosa típica contiene millones de átomos que actúan
independientemente dando lugar a luz no polarizada.
5-21
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.6.1 Polarización por absorción. Algunos cristales cortados adecuadamente
presentan la propiedad de transmitir solo la luz polari zada según una dirección
determinada,
denominada
eje
de
transmisión. Al incidir luz no polarizada
sobre estos cristales, la luz transmitida
presentará una campo eléctrico paralelo
al eje de transmisión. Si situamos un
segundo cristal polarizador cuyo eje de
transmisión forma un ángulo θ con el
primero, figura 5.18, la componente del
campo eléctrico a lo largo del eje de
Figura 5.18. Proceso de polarización por
transmisión del segundo polarizador sera
absorción utilizando cristales polarizadores
Ecosθ, siendo E el campo eléctrico entre
ambos cristales. Dado que sabemos que la intensidad de la onda es proporcional a
la amplitud al cuadrado, la intensidad de la luz transmitida por ambos cristales será
igual a
I = I 0 cos 2 θ
[5.52]
donde I0 es la intensidad sobre el segundo polarizador, denominado analizador, que
es la mitad de la intensidad incidente sobre el primer polarizador.
5.6.2 Polarización por reflexión. Cuando luz no polarizada se refleja en una
superficie plana entre dos medios transparentes, la luz reflejada está parcialmente
polarizada. El grado de polarización
depende del ángulo de incidencia y de
los índices de refracción de ambos
medios. Brewster descubrió en 1812 que
cuando los rayos refractados y reflejados
son perpendiculares, la onda reflejada
está totalmente polarizada, estando su
campo eléctrico perpendicular al plano de
incidencia tal y como se muestra en la
figura 5.19. El ángulo de incidencia para
el que ocurre este fenómeno se
denomina ángulo de polarización θp y su
determinación es sencilla a partir de 5.19
donde se observa que ϑ2 = 90º −ϑ p que
junto a la ley de Snell lleva a
Figura 5.19. Proceso de polarización por reflexión
al incidir la luz sobre la superficie con θp
5-22
tgθ p =
n2
n1
[5.53]
5. Naturaleza y propagación de la luz
Mientras, la luz transmitida está solo parcialmente polarizada debido a que
solo se refle ja una pequeña fracción de la luz incidente.
Debido al fenómeno de la polarización de la luz reflejada, las gafas fabricadas
con cristales polarizantes son muy eficaces a la hora de evitar deslumbramientos. La
luz reflejada en lagos ó en la nieve presentará un plano de incidencia prácticamente
vertical con lo que el campo eléctrico de la luz reflejada será horizontal. Los cristales
polarizados con sus ejes de transmisiones verticales absorberán gran parte de la luz
reflejada evitando los deslumbramientos.
5.7 Dispersión de la luz
La dependencia del índice de refracción de un material con la longitud de
onda, y por tanto con la frecuencia, recibe el nombre de dispersión. Para la mayoría
de los vidrios ópticos y sustancias transparentes, n disminuye con la longitud de
onda según la fórmula de Cauchy
n (λ ) = A +
B
λ2
[5.54]
donde A y B son constantes a determinar experimentalmente.
Cuando un haz de luz blanca incide formando un cierto ángulo sobre un
prisma de vidrio, el ángulo de refracción correspondiente a las longitudes de onda
más cortas es ligeramente mayor que el correspondiente a las longitudes de onda
más largas. Por consiguiente, las longitudes de onda más cortas (violeta) se desvían
más que las largas (rojo) dando lugar a la dispersión del haz de luz blanca en sus
colores ó longitudes de onda constituyentes, figura 5.20.
Analicemos este fenómeno considerando un prisma óptico como un medio
transparente limitado por dos superficies planas que forman un ángulo diedro α. De
la marcha del rayo en la figura 5.21 y del triángulo AI1 I2 se deduce, teniendo en
cuenta que ε 2 y ε´2 son negativos y ε 1 y ε´1 positivos
ε 1, − ε 2 = α
[5.55]
El ángulo δ que forma la proyección del rayo incidente con el emergente se
llama desviación angular del rayo y se toma como positiva si al llevar el rayo
emergente sobre el incidente se va en sentido antihorario. Para calcular δ basta
considerar que es el ángulo externo en el triángulo JI1 I2
δ = 1̂ + 2̂ = (ε 1 − ε 1´ ) + (ε 2 − ε 2´ ) = ε 1 − ε ´2 − α
[5.56]
5-23
5. Naturaleza y propagación de la luz
Figura 5.20. Dispersión de un haz de luz blanca en un prisma dando lugar a sus longitudes de onda,
colores, constituyentes
Si el rayo está compuesto de dos
haces monocromáticos λ y λ+dλ, y debido al
fenómeno de la dispersión, a la salida del
prisma habrá una variación en la desviación
de cada uno de los haces denominada
dispersión angular dδ, figura 5.22. Para
calcular este ángulo diferenciamos [5.55],
[5.56] y la ley de Snell considerando que ε 1 y
α son constantes
dε 1´ = dε 2 ,
dδ = − dε 2´
n cos ε 1´ dε 1´ + sen ε 1´ dn = 0
n cos ε 2 dε 2 + sen ε 2 dn = cos ε ´2dε ´2
Figura 5.21. Difracción de un rayo de luz en
las superficies de un prisma
y operando, junto a [5.55], llegamos a la
ecuación
dδ =
Figura 5.22. El rayo de luz incidente sobre el
prisma está compuesto de dos longitudes de
onda
5-24
senα
dn
´
´
cos ε 1 cos ε 2
[5.57]
5. Naturaleza y propagación de la luz
5.8 Absorción de la luz
La absorción de la luz durante su propagación a través de un medio ocurre en
caso de que la frecuencia de la onda electromagnética coincida con la frecuencia
natural de resonancia de alguna de las cargas presentes en el medio. Sabemos que
el campo eléctrico de la onda electromagnética ejercerá una fuerza oscilante sobre
las cargas eléctricas, electrones negativos e iones positivos, existentes en el material
moviéndolas de su posición de equilibrio. Por tanto aparece una oscilación forzada
de las cargas en torno a su posición de equilibrio, situación física ya analizada en el
capítulo 1. De este análisis sabemos que para una frecuencia del campo eléctrico
igual a la frecuencia natural de oscilación del sistema tendremos resonancia y habrá
una absorción por parte del medio de energía electromagnética provocando una
atenuación de la luz. La absorción selectiva de ciertas frecuencias es responsable
del color de los materiales.
Para un medio de constante dieléctrica relativa ε r, permeabilidad magnética
relativa µr y conductividad eléctrica σ, la ecuación diferencial de ondas queda de la
forma
∇ 2 E = σµ 0 µ r
∂E
∂ 2E
+ µ 0 µ r ε 0ε r 2
∂t
∂t
[5.58]
que presenta como solución, en forma de onda electromagnética
propagándose a lo largo del eje x
E = E 0e i ( kx − ωt )
plana
[5.59]
formalmente análoga a las soluciones ya estudiadas, pero en este caso el vector de
onda del medio absorbente es un número complejo que vale
k 2 = µ 0 µ r ε 0ε r ω 2 + iσµ 0 µ rω
[5.60]
Recordando la relación entre vector de onda e índice de refracción k = ~
n
ω
,
c
introducimos el índice de refracción complejo definido como
n~ = n + iκ
[5.61]
La parte real del índice de refracción coincide con la definición anteriormente
expuesta de índice de refracción en la ecuación [5.35]. La parte imaginaria,
denominada coeficiente de extinción κ, da cuenta como veremos de los fenómenos
5-25
5. Naturaleza y propagación de la luz
de absorción de luz presentes en el material. Introduzcamos en el campo eléctrico
dado por la ecuación [5.59] el índice de refracción complejo ~
n.
ωn~x
κωx ωnx
− ωt )
−
i(
− ωt )
c
c
c
E( x , t ) = E 0e
= E0e
e
i(
[5.62]
Es decir una onda de frecuencia ω que se propaga por el medio con una
velocidad de fase c/n y una amplitud que se atenua con la longitud de propagación
κωx
−
según el factor e c .
Sabemos que la intensidad de la onda electromagnética es proporcional al
cuadrado de la amplitud con lo que la intensidad de la onda vendrá dada por
I = I 0e − αx
[5.63]
donde I0 es la intensidad en x=0 y α es el coeficiente de absorción del material
definido como
α=
2κω 4πκ
=
c
λ
[5.64]
El coeficiente de absorción es fuertemente dependiente de la frecuencia de la
onda electromagnética incidente pudiendo absorberse en el material unos colores y
no otros.
5-26
5. Naturaleza y propagación de la luz
Problemas
1. Una bombilla eléctrica de 50 W emite ondas electromagnéticas uniformemente en
todas las direcciones. Calcular la intensidad, la presión de radiación y los campos
eléctricos y magnéticos a una distancia de 3 m.
2. La distancia entre los espejos en el dispositivo de Fizeau es de 20 km, la rueda
dentada tiene 25 mm de radio y 250 dientes. ¿Cuál debe ser la velocidad de giro
de la rueda para que la luz deje de verse?
3. Un rayo de luz que se propaga en el aire entra en el agua con un ángulo de
incidencia de 45º. Si el índice de refracción del agua es de 1,33, ¿cuál es el
ángulo de refracción?
4. Considerese un haz de luz monocromática con longitud de onda en el vacío de
590 nm. Calcular la longitud de onda de este haz en un vidrio con índice de
refracción n=1,5.
5. Una radiación de frecuencia f=5x1014 s-1 se propaga en el agua. Calcular la
velocidad de propagación y la longitud de onda de dicha radiación.
6. En el fondo de una vasija llena de líquido de índice de refracción n2 hay un
pequeño objeto. La vasija tiene una altura hr. Hallar la altura aparente a la que se
encuentra el objeto cuando se mira éste con incidencia normal siendo el índice
de refracción del medio donde se encuentra el observador n1 .
7. Hallar el desplazamiento que experimenta un rayo de luz al atravesar una lámina
de 1 cm de espesor e índice de refracción 1,5 si el rayo incidente forma un
ángulo de 45º con la normal.
8. En una lámina plana de cuarzo, n=1,544, de caras paralelas incide un rayo con
un ángulo cercano a cero. Calcular el porcentaje de la intensidad luminosa del
rayo que emerge a través de la lámina.
9. Un vidrio dado posee un índice de refracción de n=1,5. ¿Cuál es el ángulo crítico
para la reflexión total de la luz que sale del vidrio y entra en el aire?
10. Sea una lámina de vidrio, n=1,75, con forma de cuña y rodeada de aire. Calcular
el ángulo α que forman las dos caras de la cuña sabiendo que un rayo de luz que
incide sobre una de las caras con un ángulo de 30º se refracta sobre la otra
según el ángulo crítico.
11. Un rayo de luz incide sobre la cara exterior de un vidrio con índice de refracción
1,655. Sobre la cara superior se condensa un líquido desconocido. La reflexión
interna total sobre la superficie vídrio-líquido se produce cuando el ángulo de
incidencia en la superficie vídrio-líquido es ≥53,7°. ¿Cuál es el índice de
refracción del líquido desconocido? Si se eliminase el líquido, ¿cuál sería el
ángulo de incidencia para la reflexión interna total?. Para el ángulo de incidencia
hallado en el apartado anterior, ¿cuál es el ángulo de refracción del rayo dentro
de la película del líquido? ¿Emergerá un rayo a través de la película del líquido
hacia el aire que está encima?
12. Luz no polarizada de intensidad 3 W/m2 incide sobre dos películas polarizadoras
cuyos ejes de transmisión forman entre si un ángulo de 60º.¿Cuál es la
intensidad de la luz transmitida por la segunda película?
5-27
5. Naturaleza y propagación de la luz
13. Hallar la velocidad de grupo de un haz de luz en un vidrio óptico que cumple la
fórmula de Cauchy.
14. Calcular la variación de desviación que experimenta un rayo luminoso después
de atravesar un prisma de vidrio, α=60º y n=1,6, sobre el que incide con un
ángulo de 40º cuando el medio que lo rodea cambia de aire a agua.
15. Calcular el ángulo diedro α de un prisma, n=1,5204 para una longitud de onda de
λ=656,3 nm, sabiendo que un rayo que incide con un ángulo de 60º se desvía un
ángulo de 48º13´30´´.
16. Demostrar que el ángulo de incidencia ε 1 sobre un prisma, de ángulo diedro α e
índice de refracción n, que hace mínima la desviación δ a la salida del mismo
α
cumple que senε 1 = nsen .
2
17. Para el prisma del problema 15 se conoce que su índice de refracción para
λ=486,1 nm es 1,5293. Calcular la dispersión angular existente al incidir sobre el
prisma un haz luminoso, compuesto de dos longitudes de onda, λ=656,3 nm y
λ=589,3 nm, con un ángulo de 60º.
18. El índice de refracción complejo del Ge a 400 nm viene dado por
n~ = 4,141 + i 2,215 . Calcular para el Ge a 400 nm la velocidad de fase de la luz y
su coeficiente de absorción.
5-28