Métodos Combinatorios en la Teoría de Ruina Serie Documentos

Métodos Combinatorios en la Teoría de Ruina
Diego Hernández Rangel
Julio 1997
Serie Documentos de
Trabajo
Documento de Trabajo No. 70
Índice
Presentación
1
La Teoría de Riesgo
2
Capítulo 1
Definiciones
5
Capítulo 2
Revisión de la Literatura de Ruina
11
Capítulo 3
Teoremas de la Urna
19
Capítulo 4
Fluctuaciones de Sumas de Variables Aleatorias
30
Capítulo 5
Fluctuaciones de Realizaciones de Procesos
Estocásticos y Probabilidad de Ruina Eventual
40
Capítulo 6
Aplicaciones al Problema de Ruina
52
Apéndice A
Diseño del Algoritmo para las Probabilidades
de Ruina en el Caso de Montos Discretos
58
Cálculo de Convoluciones Mediante la
Transformada Rápida de Fourier
63
Apéndice B
Notas
67
Referencias
68
Métodos Combinatorios en la Teoría de Ruina
Diego Hernández Rangel*
Presentación
Esta tesis busca exponer el problema de Ruina a través de la asombrosa herramienta
matemática desarrollada por Takács(1967), de la que se obtienen los principales resultados de
la llamada "Teoría de Ruina" a partir de una generalización del conocido "Teorema de la Urna".
Durante esta exposición se completarán demostraciones parcialmente mostradas en dicho
texto, se realizará una corrección a una demostración del mismo, así como una demostración
adicional no incluida en el libro.
Al recorrer el camino entre hipótesis y conclusiones, descubriendo el razonamiento seguido por
muchas de las mentes más brillantes de la Historia Matemática, se establecen las condiciones
para un análisis sobre su aplicabilidad y significado en los seguros, constituyéndose en una
base para futuras investigaciones.
La obtención de probabilidades de ruina sobre el Modelo Colectivo de Riesgo, ha sido tratada
abundantemente en la literatura actuarial a partir de los años treinta, y seriamente cuestionada
en cuanto a su aplicabilidad y significado. En esta tesis se mostrará una fórmula de ruina
eventual para el caso de montos discretos y será utilizada para resolver tres problemas que
aparecen frecuentemente en la literatura. Aunque no es un objetivo de este trabajo realizar un
estudio crítico sobre la Teoría Colectiva de Lundberg, se busca que el lector obtenga la
herramienta intelectual para juzgarla en sus virtudes y limitaciones y utilizarla en la forma más
conveniente.
Una vez definidos en el primer capítulo los conceptos básicos de la Teoría Colectiva de Riesgo,
en el capítulo 2 se presentará una relación histórica de la Literatura de Ruina, introduciendo al
lector en esta importante rama de las matemáticas actuariales. En el capítulo 3 se exponen los
teoremas fundamentales en que se basa el método de Takács, para establecer los teoremas
sobre fluctuaciones de sumas de variables aleatorias del capítulo 4, mismos que serán
generalizados a fluctuaciones de realizaciones de procesos estocásticos en el capítulo 5.
Finalmente el capítulo 6 contiene una muestra de la capacidad de esta metodología para
obtener expresiones útiles ante problemas concretos de la Teoría de Ruina.
El Problema de Ruina cobra significado en un entorno bien definido: "La Teoría de Riesgo",
razón por la cual se presentará a continuación una breve semblanza sobre esta rama de las
ciencias actuariales.
1
La Teoría de Riesgo
"Most of the insurance world seems, with some justification, to
consider the theory of risk as a harmless hobby cultivated by
actuaries in Continental Europe and particularly in Scandinavian
countries".
Borch, K., The Mathematical Theory of Insurance. Lexington Books,
London, 1974 p73.
La Ciencia Actuarial puede entenderse como el conocimiento detallado de los "sistemas de
seguridad financiera"1 en cuanto a su razón de existir, sus matemáticas y la forma en que
funcionan y se aplican a la vida económica de la sociedad. Estos sistemas evolucionan
conceptualmente del Utilitarismo como filosofía y de la noción de "aversión al riesgo" como una
característica del comportamiento humano.2
Gerber(1979) define a la Teoría de Riesgo como aquella rama de la Ciencia Actuarial que
modela al negocio asegurador utilizando variables aleatorias para el número y monto de los
siniestros durante los periodos contractuales. - definición tan simple y tan extensa - Esta teoría
busca superar las técnicas actuariales convencionales basadas en frecuencias y montos
promedio de reclamaciones, las cuales en ocasiones simplifican excesivamente los hechos, al
sustituir los riesgos únicamente por sus valores esperados.3
Cramér(1930) nos da una definición que aclara su finalidad: "El objeto de la Teoría de Riesgo
es proporcionar un análisis matemático de las fluctuaciones aleatorias en los seguros y discutir
los medios de protección contra sus efectos desfavorables".
Se distinguen tres etapas en su evolución:
1. La Teoría Clásica de Riesgo
Esta teoría, orgullo de las matemáticas actuariales por más de un siglo, tiene entre sus
precursores a Edmund Halley, al desarrollar el modelo Tabla de Mortalidad en 1693 y a Daniel
Bernoulli, quien en 1738 presenta en "Specimen Theoriae Novae de Mensura Sortis", una
hipótesis sobre la toma de decisiones en condiciones de incertidumbre y su aplicación a
seguros, también tratados en su momento por Laplace.4
Este documento, origen directo de la Teoría de Riesgo y de la Teoría de Juegos, permitió en
1834 a Barrois la construcción de una teoría muy completa y moderna sobre el seguro de
incendio, pero que desgraciadamente fue ignorada por muchas generaciones de actuarios hasta
la segunda mitad de nuestro siglo, lo que posiblemente impidió el desarrollo oportuno de una
Teoría de Riesgo que considerara al seguro como una mercancía que pudiera ser comprada y
vendida a un precio (prima) determinado por la oferta y demanda del Mercado.5
Es un hecho interesante que la Teoría de Riesgo en gran parte fue desarrollándose ajena a los
descubrimientos de la Teoría de Probabilidades y la Estadística Matemática. Borch explica esta
situación observando que durante muchos años las únicas aplicaciones de la Teoría de
Probabilidades eran los juegos de azar y los seguros. En consecuencia, los actuarios formularon
sus resultados como solución a problemas de seguros, sin tomarse la molestia de explicar el
problema en forma general. Así, conforme la Teoría de Probabilidades fue encontrando otras
2
aplicaciones, resultó más sencillo redescubrir esos resultados que buscarlos en la literatura
existente, donde permanecían encubiertos en el argot actuarial.
Es hasta 1909 cuando Bohlmann realiza una recopilación de los resultados más importantes de
la Teoría de Riesgo, encaminados a determinar las desviaciones producidas por las
fluctuaciones aleatorias de las pólizas individuales. Hasta ese momento el comportamiento del
portafolio de pólizas se consideraba como la suma de los resultados de cada póliza en forma
individual.6 La teoría así planteada asumía que la situación financiera de una aseguradora podía
describirse completamente por una distribución de probabilidades F(x-p) donde x representa
los pagos por reclamaciones y p las reservas disponibles para esos pagos.
En el mundo real esta distribución cambia día a día: las primas son pagadas, igualmente las
reclamaciones, los contratos expiran y nuevos negocios se contratan. Esto implicaría una
revisión diaria de la situación de la aseguradora para adaptar la distribución F a las nuevas
condiciones, lo cual en la práctica no es posible - menos aún deseable - surgiendo una
necesidad de modelos alternativos.
Este problema de adecuación a los fines prácticos puede explicar la escasa atención que recibió
la Teoría de Riesgo, agravada también por la insistencia de aplicar esta metodología al Seguro
de Vida, desdeñando otros tipos de seguro sobre los cuales pudiera mostrar cierta aplicabilidad.
Como se podría esperar, la sólida estructura del Cálculo Actuarial de Vida no hizo sino
evidenciar los puntos débiles de esta teoría.
La necesidad de una teoría "dinámica" del seguro dio origen a una nueva fase:
2. La Teoría Colectiva de Riesgo.
Su creador fue Filip Lundberg, quien en 1903 presentó en la Universidad de Uppsala los
elementos de su modelo. El planteamiento completo de su teoría se presentó en el Congreso
Internacional de Actuarios de Viena en 1909 y partir de entonces fue desarrollada por un grupo
relativamente pequeño de actuarios, principalmente escandinavos.
Para la formulación de su teoría, Lundberg empleó procesos estocásticos en tiempo continuo
unos treinta años antes de que este concepto fuera rigurosamente definido, razón por la que
Borch lo compara con Bachelier,7 sobre todo por el hecho de que ambos fueron prácticamente
ignorados por sus contemporáneos. Su terminología, estrictamente actuarial, impidió a los
matemáticos no familiarizados con los seguros reconocer en su obra teoremas de validez
general. Lejos de lo que se pudiera esperar, los seguidores de Lundberg no intentaron
presentar un panorama claro de sus descubrimientos, con excepciones notables como H.
Cramér y C.O. Segerdahl.
Bajo esta nueva perspectiva, la compañía aseguradora se considera una "presa", hacia la cual
"fluyen" continuamente las primas, mientras de ésta se extrae una serie de pagos por
reclamaciones. Se le conoce como el "Modelo Colectivo de Riesgo".
El modelo de Lundberg es elegante y poderoso: bajo su propuesta no es necesario considerar
cada póliza en el portafolio para determinar la distribución de probabilidades del monto total de
las reclamaciones. Por el contrario, esta distribución se construye a partir de la distribución del
número de reclamaciones en un periodo determinado y de la distribución del monto de las
reclamaciones efectuadas en ese periodo, ambas estimables a partir de los registros de las
3
compañías. Su principal virtud radica en su aspecto dinámico, al incorporar el tiempo al
modelo.
Es sobre este modelo que surge la "Probabilidad de Ruina", como una medida sobre el grado de
fluctuación de la solvencia de la aseguradora: indica la factibilidad de que las reservas que
constituye la compañía sean insuficientes para afrontar las obligaciones derivadas de sus
contratos.
Esta prometedora teoría, prácticamente olvidada por veinte años, fue explotada intensivamente
por los actuarios escandinavos entre los años treinta y cincuenta, concentrando sus
investigaciones a las distribuciones de la frecuencia y monto de las reclamaciones, así como a
la obtención de la "probabilidad de ruina eventual".
Sin embargo, los impresionantes resultados obtenidos con este enfoque no han tenido la
aplicabilidad que se esperaba, pese al análisis profundo de los fundamentos del seguro a que
motivó. La cantidad de cálculos necesarios para obtener parámetros de riesgo como la
Probabilidad de Ruina, la Pérdida Máxima Probable, determinación de contratos óptimos de
reaseguro, entre otros procedimientos, se presentaron en una época en la que no existían los
medios para realizarlos. La alternativa de las aproximaciones carecía en ocasiones tanto de
límites de confianza bien definidos como de supuestos que pudieran verificarse en la práctica.8
Por otro lado, era evidente que el uso de un sólo número (como la probabilidad de ruina) no
podría dar una descripción completa de la situación real de la compañía, más aún si la
estimación de los parámetros del modelo presentaba gran sensibilidad ante el uso de
información proveniente de los archivos de la empresa. Las Ciencias Físicas y la Investigación
de Operaciones resultaron más favorecidas por estos descubrimientos que la misma práctica
actuarial.9
3. La Teoría Moderna de Riesgo
Ejemplos de esta etapa son los trabajos de De Finetti, Borch, Beard, Pentikäinen, entre otros,
dirigidos a resolver los problemas prácticos enfrentados por las compañías aseguradoras:
1)
2)
3)
4)
La determinación de tarifas.
El cálculo de reservas.
La evaluación de la "solidez" financiera del asegurador.
La caracterización del contrato de reaseguro más adecuado.
Podemos señalar que esta fase se inicia con un artículo de De Finetti presentado en el
Congreso Internacional de Actuarios en 1957, donde se evalúa la validez de los supuestos del
modelo colectivo y se establecen las bases para una Teoría de Riesgo que efectivamente logre
modelar a la empresa aseguradora.
Esta discusión continúa hoy en día, pero bajo un entorno muy diferente al de los años de
Lundberg: Los actuarios ya no tienen exclusividad en el campo de la Teoría de Probabilidad, e
incluso sus modelos son considerados casos particulares de las matemáticas puras y aplicadas,
creadas sin referencias directas al seguro. El actuario busca ahora la formulación adecuada a
sus necesidades para aplicar las herramientas que ya se encuentran a la mano y son utilizadas
en Hidráulica, Teoría Electrónica y de Comunicaciones, Investigación de Operaciones, Teoría
Moderna de Finanzas, Teoría de Juegos... Más aún, Borch (1974) observa que si los actuarios e
4
ingenieros hubieran planteado sus problemas de estudio con la suficiente propiedad
matemática, habrían unido fuerzas desde hace 50 años.
Sin embargo, múltiples aspectos de la teoría se encuentran todavía en la actualidad en el
campo estrictamente teórico. Las publicaciones muestran pocos artículos sobre casos prácticos
y el número de estos que utilizan datos empíricos disminuye.10 En consecuencia, no son motivo
de interés para el actuario practicante al no resolver los problemas a los que se enfrenta
cotidianamente.
A raíz del Primer Congreso Internacional sobre Solvencia Aseguradora en 1986, se ha puesto
de manifiesto que la brecha entre los enfoques financieros y actuariales del seguro se está
cerrando.11 Las publicaciones subsiguientes reflejan la búsqueda de alternativas a los enfoques
tradicionales del seguro. Asimismo la Teoría General de Control de Procesos, se revela como
una herramienta ideal para su tratamiento dinámico.12
Esta es la situación actual de uno de los desarrollos matemáticos más fascinantes: una
especialización continua y a la vez una creciente afinidad con disciplinas antes lejanas.
Al presentar la Teoría de Ruina desde el enfoque de Lajos Takács, se trata de manifestar
precisamente esa afinidad, resultando un tema para el investigador interesado en los
problemas de su tiempo.
Capítulo 1
Definiciones
El modelo colectivo busca representar en términos probabilísticos el comportamiento de la
reserva por riesgo de una compañía de seguros, manteniendo un equilibrio entre simplicidad y
explicabilidad de los factores que interactúan con este fondo. Al mismo tiempo es un punto de
partida para el desarrollo de modelos más completos y dirigidos a un mayor conocimiento del
negocio asegurador, que giran en torno al concepto de solvencia, más amplio que el de reserva
en riesgo.
Siguiendo los mismos supuestos simplificadores utilizados por Lundberg, para obtener un
modelo accesible se considerará que el portafolio de contratos de seguro se mantiene en un
grado de balance que permite modelar el flujo de primas como un monto constante por unidad
de tiempo o al menos variable en forma determinística. Además se utilizará la misma
distribución para el monto de las reclamaciones durante todo el periodo considerado. No serán
considerados tanto los gastos no directamente relacionados al pago de los siniestros como
aquellos ingresos distintos al pago de prima (sin recargos por gastos).13 Para una discusión
sobre la inclusión de estos factores véase Cummins y Derrig (1989).
Comenzaremos exponiendo el caso de seguros "ordinarios", entendiendo por estos los que
consisten en el pago de la aseguradora al beneficiario de una suma asegurada en caso de
presentarse la eventualidad prevista en el contrato, mediante el pago de la prima. A este tipo
de contratos se les denomina "de sumas positivas", para distinguirlos de otros seguros de
diferente comportamiento y que se expondrán posteriormente.
5
1. Siniestros Agregados
El Modelo Colectivo de Riesgo propuesto por Lundberg supone que en el intervalo de tiempo
(0, ∞ ) las reclamaciones provenientes de un portafolio de pólizas ocurren de acuerdo con un
proceso de Poisson
{ N (u)}
de intensidad
λ ( u ), 0 ≤ u < ∞ ,
y la sumas pagadas por la compañía
hasta el momento u : X 1 , X 2 ..., X N (u ) son variables aleatorias mutuamente independientes e
idénticamente distribuidas, así como independientes del tiempo en el que ocurren las
reclamaciones, con una función de distribución FX ( x ) tal que FX ( 0) = 0 , es decir, el monto
acumulado de las reclamaciones al tiempo u es una suma aleatoria:
(1)
S (u) = X 1 + X 2 +...+ X N ( u )
La distribución Poisson para el número de reclamaciones, resultado del estudio de Lundberg
sobre los supuestos de estacionariedad e independencia del tiempo14 es de uso generalizado
en los textos y artículos sobre Teoría de Riesgo. Gerber (1979) considera como alternativas las
distribuciones binomial, binomial negativa y geométrica, y se puede encontrar en Seal (1969,
cap.2) una discusión sobre la distribución a utilizar en función de los datos históricos. El motivo
esencial para considerar alternativas al Poisson surge de la variabilidad de la intensidad del
proceso en el tiempo. Beard et. al. (1969) sugiere además el uso de un proceso doblemente
estocástico, donde la intensidad del proceso es a su vez un proceso aleatorio. Sin embargo, el
propio Lundberg propone una solución elegante para tratar la variabilidad en el tiempo:
2. Tiempo Operacional
Al modelo formulado en (1) se le denomina un Proceso de Poisson Compuesto no Homogéneo
(es decir, de intensidad variable), donde el número de reclamaciones en un intervalo
tiene una distribución Poisson de parámetro
∫ λ (v)dv
u2
u1
(u1 , u2 ]
y los incrementos sobre intervalos
disjuntos son variables aleatorias independientes.
De acuerdo con esto, la probabilidad de que al tiempo u0 existan exactamente n reclamaciones
es:
n
(2)
⎡u0
⎤
λ
v
dv
(
)
⎢
⎥
⎡ u0
⎤ ⎢⎣ ∫0
⎥⎦
exp ⎢− ∫ λ ( v )dv ⎥
, para n=1,2,3,...
n!
⎢⎣ 0
⎦⎥
Este proceso puede, bajo la siguiente transformación en la escala de tiempo t = t ( u) , tomar la
forma de un proceso de intensidad constante:
(3)
t=
1
u
λ ∫0
λ (ν )dν , λ>0.
6
La expresión (2) toma la forma:
(4)
e
− λt
(λt )n
n!
Así el proceso sobre el tiempo operacional t, denotado por S ' ( t ) será un Proceso de Poisson
Compuesto Homogéneo de intensidad λ, lo que significa que el monto total de las sumas
pagadas por concepto de reclamaciones será un proceso estocástico con incrementos
estacionarios e independientes, y cuya función de distribución se deduce de la Ley de
Probabilidades Totales de la siguiente forma:
[
∞
P[ S ' (t ) ≤ x ] = ∑ P[ N ' (t ) = n] P X 1 + X 2 +... X N '( t ) ≤ x N ' ( t ) = n
n=0
∞
P[ S ' (t ) ≤ x ] = ∑ e − λt
(5)
n=0
Donde FX
*n
( x)
( λt ) n F
n!
X
*n
]
( x)
denota a la enésima convolución de
FX ( x ) .
El tiempo operacional permite presentar la teoría en forma más elegante, pero esencialmente
es una herramienta muy poderosa en la estimación de la distribución de S , pues remplaza el
conocimiento detallado de la constitución y prospectos del portafolio de pólizas, con una
estimación del número esperado de reclamaciones durante el periodo futuro en consideración.15
En lo sucesivo y por sencillez en la notación, se entenderá que los procesos
{ S (t )} y { N (t )}
se
desarrollan en la escala de tiempo operacional.
3. El Modelo Colectivo de la Reserva por Riesgo.
En el caso en que16
∞
(6)
p1 =
∫ xdF ( x )
X
−∞
exista, entonces el monto esperado total de siniestros pagados por la compañía en
(7)
(0,t ]
será:
E { S (t )} = λp1t
Que es precisamente la prima por riesgo calculada con el principio del valor esperado. En el
caso de aplicar un recargo de seguridad b, la prima por riesgo acumulada será:
(8)
(λp1 + b)t , con b > 0.
7
Si además:
∞
(9)
σ p = ∫ ( x − p1 ) dFX ( x )
2
2
1
0
entonces la varianza del monto total de siniestros pagados por la compañía será:
(10)
(
Var { S ( t )} = σ 2 t donde σ 2 = λ p1 + σ 2 p1
2
)
Y la reserva por riesgo al tiempo t:
(11)
R(t ) = R( 0) + ( λp1 + b)t − S (t ), 0 ≤ t < ∞;
(12)
R(t ) = w + ct − S ( t ), 0 ≤ t < ∞ si c = ( λp1 + b), R(0) = w.
Una realización de este proceso se puede ilustrar gráficamente de la siguiente forma:
R(t)
w
t
Donde la reserva se incrementa a la tasa
y disminuye por los montos de las reclamaciones.
Al aplicar este modelo (como cualquier otro), se requiere asignar valores numéricos a sus
parámetros y determinar valores iniciales para sus variables a analizar. Su obtención a partir
de estadísticas y experiencia disponibles se realiza mediante procedimientos de estimación que
no son abordados en esta tesis y son presentados por ejemplo en Basawa y Prakasa (1980).
Los problemas causados por el desconocimiento cierto de los parámetros deben ser, si no
considerados en el modelo explícitamente, sí tomados en cuenta como un factor subyacente de
gran importancia: No será útil aplicar técnicas muy avanzadas para lograr resultados precisos
si los datos originales no son adecuados o suficientes. La elección de los enfoques y
aproximaciones consistentes con el problema a tratar es una labor cotidiana de la profesión
actuarial.
8
4. Sumas Negativas de Riesgo
Existen contratos de seguro con comportamientos diferentes en la reserva por riesgo. Para
modelarlos basta cambiar el significado de las variables consideradas en el modelo original
como en el siguiente ejemplo:
Considérese un negocio de pensiones en el cual la compañía paga al asegurado una renta
vitalicia a cambio del pago de la prima.
Sea un portafolio de pólizas como las arriba descritas y cuyas sumas aseguradas contratadas
(valor de las anualidades) tienen una distribución en cualquier momento igual a una muestra
aleatoria de una distribución F(•).
La institución paga a los asegurados a una tasa
p1 − b, b > 0 , donde p1 es el valor esperado de
F(•) y b es un recargo a favor de la institución. La cuenta que reúne las primas netas pagadas
también registrará una distribución F(•) para dichas primas y en caso de fallecer uno de los
asegurados, la prima neta de su contrato ingresará a la reserva. Denótese por S(t) las primas
acumuladas hasta el momento t que ingresaron mediante este mecanismo a R(t).
Con estas consideraciones podemos construir la fórmula de la reserva de este seguro:
R(t ) = w − ( p1 − b)t + S (t ) , que es el modelo original con p1 < 0, b < 0, X i < 0 ∀i e intensidad
unitaria.
La consiguiente realización de este proceso tiene como representación gráfica:
R(t)
w
t
5. El evento de Ruina
Se entenderá por ruina el evento en el cual la reserva por riesgo toma un valor negativo.
Sea
(9)
{
}
Tw = ínfimo t R(t ) < 0
el tiempo en que ocurre la ruina.
9
En el caso en que
R( t ) ≥ 0, para toda t, la ruina nunca ocurre y se denota Tw = ∞ .
6. Probabilidad de ruina antes del momento t
Denótese por
ψ ( w, t )
la probabilidad de que
R(•) tome un valor negativo antes del tiempo t,
es decir:
(10)
ψ ( w, t ) = P[Tw < t ]
(11)
ψ ( w, t ) = P ⎧⎨ sup [ S (u) − cu] > w⎫⎬
o también
⎩0 ≤ u ≤ t
⎭
Sea la probabilidad del evento complementario:
(12)
U ( w , t ) = 1 − ψ ( w, t ) ,
llamada simplemente la probabilidad de no ruina.
7. Probabilidad de ruina eventual
R(t ) tome en alguna ocasión un valor negativo, se le llama
probabilidad de ruina eventual y es una cota superior para ψ ( w, t ) :
A la probabilidad de que
(13)
ψ ( w) = límψ ( w, t )
(14)
ψ ( w) = P ⎧⎨ sup [ S (u) − cu] > w⎫⎬
t →∞
o también
⎩0≤u≤∞
⎭
Y el evento complementario será:
(15)
U ( w) = 1 − ψ ( w).
c > λp1 , implica que cualquier realización del proceso { R( t )} tendrá
una tendencia que crece sin cota para t → ∞ , pero la pregunta es si lo hace sin tomar jamás
Es importante señalar que
un valor negativo.
8. Cambio de unidad monetaria
En lo que sigue de esta exposición será conveniente escoger una unidad monetaria tal que c =
1. Las fórmulas de probabilidad de ruina resultantes serán:
(16)
ψ ( w, t ) = P ⎧⎨ sup [ S (u) − u] > w⎫⎬
⎩0≤ u ≤ t
⎭
10
ψ ( w) = P ⎧⎨ sup [ S (u) − u] > w⎫⎬
(17)
⎩0≤ u≤∞
⎭
Tanto la probabilidad de ruina como la probabilidad de ruina eventual son medidas sobre los
efectos desfavorables de la fluctuación de la reserva por riesgo, suponiendo al igual que el
modelo sobre el que se define, una estabilidad de condiciones sobre los riesgos cubiertos en
cuanto al monto de las reclamaciones y sobre todo que el negocio de seguro continuará
durante el periodo de interés. Es evidente que en cualquier momento la administración de la
compañía puede tomar control de este proceso. Esta situación debe dejar claro que se trata de
una idealización matemática no equivalente a la insolvencia de la aseguradora en la vida real,
pero que permite al actuario una noción del grado de riesgo al que se expone.
Capítulo 2
Revisión de la Literatura de Ruina
La Literatura de Ruina, con más de un siglo de antigüedad, se ha acumulado rápidamente, con
énfasis en diferentes aspectos de la teoría, dependiendo del grado de evolución de los
conceptos actuariales, la tecnología y las teorías matemáticas involucradas. En este capítulo se
presentarán únicamente las contribuciones más importantes, para una mejor apreciación de la
metodología de Takács.
1. La Teoría Clásica de Ruina
La noción de "riesgo"
Los efectos negativos de las fluctuaciones de la reserva en riesgo deben ser enfrentados por las
compañías de seguros y resulta natural que en la literatura actuarial se encuentren numerosos
intentos por definirlas, medirlas y tomar previsiones adecuadas para su control. La mayor parte
de los artículos y textos en lengua inglesa, entre ellos Borch (1974) p. 263, atribuyen a Tetens
la primer definición matemática del riesgo inherente a estas fluctuaciones en su artículo:
"Einleitung zur Berechung der Leibrenten und Anwartschafen" de 1786.
Tetens define este concepto de la siguiente manera: Si el contrato cubre una pérdida aleatoria
X con función de distribución
∞
F ( x ) , cuya prima por riesgo es p1 = ∫ xdF ( x ) , entonces el riesgo
motivo de este contrato por parte de la aseguradora será
0
∞
∫ ( x − p )dF ( x) .
p1
1
Más adelante, Hausdorff en 1897 realiza un estudio detallado de la desviación estándar
∞
2
σ 2 = ∫ ( x − p1 ) dF ( x )
0
σ,
con
como medida alternativa.17
La probabilidad de ruina en el modelo clásico
11
Con el enfoque de Hausdorff, el riesgo de un portafolio de n pólizas independientes con primas
p11 , p12 ,... p1n y riesgos σ 1 , σ 2 ,..., σ n , resulta de la suma de los riesgos de las pólizas
individuales:
σ 12 + σ 2 2 +...+σ n 2 .
La primera expresión de la probabilidad de ruina se obtiene de esta definición. Sea z el valor de
la reserva por riesgo una vez pagadas todas las indemnizaciones del portafolio y w la reserva
inicial constituida por la empresa previa al pago de primas. Por el principio de equivalencia
utilizado en el cálculo de la prima de cada contrato, su valor esperado será cero: E z = 0 . Con
[]
n grande y las hipótesis usuales, z tendrá una distribución aproximadamente normal con
varianza
(1)
σ 2 = σ 12 + σ 2 2 +...+σ n 2
y la expresión.18
1
ψ = Pr{z < − w} =
σ 2π
∫
−w
−∞
⎛ w⎞
e dx = N ⎜ − ⎟
⎝ σ⎠
− x2
2σ 2
Denotará la probabilidad de que la reserva sea insuficiente para hacer frente a las obligaciones
contraídas. Es decir, la probabilidad de ruina.
Con este nivel de la teoría (previa a Lundberg) ya es posible dar un tratamiento más riguroso a
operaciones cotidianas en la práctica actuarial:
La primera consideración usualmente es suponer que la probabilidad de ruina debe mantenerse
debajo de cierto nivel, que representa el máximo aceptable. Si el valor de w es tan pequeño
que la probabilidad de ruina excede este nivel, la compañía debe obtener capital adicional o
establecer un contrato de reaseguro que garantice la viabilidad del negocio, es decir, que
reduzca el riesgo y por ende la probabilidad de ruina. Otra opción resulta de recargar la prima
por riesgo, por ejemplo, por un monto proporcional a la prima neta, así la prima por riesgo
para el contrato i será (1 + θ ) p1i y el valor esperado de la reserva por riesgo E z = θp donde
[]
p = p11 + p12 ,..., p1n , con la siguiente expresión para la probabilidad de ruina (con n grande):
(2)
⎛ w + θp ⎞
⎟
⎝
σ ⎠
ψ = N⎜−
El nivel máximo aceptable para la probabilidad de ruina es considerado una variable exógena:
Una condición de solvencia que la compañía debe satisfacer para continuar con las operaciones
de seguro. Un ejemplo de esta situación lo proporciona el sistema de márgenes de solvencia de
la Comunidad Económica Europea.19
Al asumir el valor ψ como dado, y con w constante (al menos durante un periodo corto) el
problema se puede concretar a determinar el valor óptimo de θ. Para ello es necesario formular
los objetivos de la compañía y las condiciones del contrato de reaseguro que podría obtenerse.
De manera similar, se puede suponer θ constante (determinado posiblemente en un mercado
competitivo o por la regulación Estatal) y determinar el contrato de reaseguro más adecuado
para la empresa.
Ejemplos de estas aplicaciones pueden encontrarse en Bowers et al. (1986) y Borch (1974).
12
2. Teoría Colectiva de Ruina
El comportamiento de la probabilidad de ruina tanto en tiempo finito como infinito ha sido
ampliamente investigado no solamente por su interés práctico, sino también por la dificultad
que involucra el cálculo explícito de las expresiones desarrolladas.
2.1 Probabilidad de ruina en tiempo finito.
Taylor y Buchanan (1989) presentan una expresión atribuida a Arfwedson
U ( w, t ) = 1 − ψ ( w, t ) como la solución a la ecuación diferencial:
(3)
en 1950 para
w
∂U ( w, t ) ∂U ( w, t )
c
=
+ U ( w, t ) − ∫ U ( w − y , t )dFX ( x )
∂w
∂t
0
La solución fue dada por el mismo Arfwedson en 1954, en términos de transformadas de
Laplace suponiendo que FX ( 0) = 0 de la siguiente forma:
Sea la transformada de Laplace-Stieltjes:
∞
(4)
M ( r ) = ∫ e − ry dFX ( y ) , y la doble transformada de Laplace:
0
∞
(5)
ν ( r , s) = ∫ e
∞
− rw
dw ∫ e − stU ( w, t )dt
0
La solución para
(6)
ν ( r , s)
⎡1
ν ( r , s) = ⎢ −
⎣r
0
es:
−1
1 ⎤
⎥[ s + 1 − cr − M (r )]
ρ ( s) ⎦
donde
r = ρ ( s)
es la única raíz real positiva de la ecuación:
(7)
s + 1 − cr − M (r ) = 0, s > 0
Así la obtención de las probabilidades de no ruina requieren la inversión de la doble
transformada de Laplace (5), que implica problemas de cómputo discutidos por Seal(1969).
Seal (1969) presenta una fórmula alternativa para
U ( w, t ) que evita las transformadas de
Laplace y son atribuidas a Benes (1960) en la literatura de teoría de Colas.
13
La probabilidad de no ruina en el caso de reserva inicial cero es:
ct
(8)
1
U ( 0, t ) = ∫ FS ( x , t )dx
ct 0
Este resultado es utilizado para evaluar la probabilidad de no ruina en el caso de reserva inicial
positiva:
t
(9)
U ( w, t ) = FS ( w + ct , t ) − c ∫ U (0, τ ) f S ( w + c(t − τ ), t − τ ) dτ
0
donde
f s ( x , t ) es la densidad de los siniestros agregados al momento t.
El uso de las fórmulas (8) y (9) está limitado por su complejidad y su dependencia en una
forma funcional específica para FX ( x ) .
2.2 Probabilidad de ruina eventual.
La probabilidad de ruina en tiempo infinito es más tratable matemáticamente y la literatura es
especialmente abundante sobre este tema.
Cuando
t → ∞ , la ecuación (3) toma la forma:
w
(10)
cU ' ( w) = U ( w) − ∫ U ( w − y )dF ( y ) donde U ' ( w) denota diferenciación.
0
Y puede tomar la forma alternativa Seal (1969):
w
(11)
U ( w) = U (0) + ∫ U ( x − y )
[1 − F ( y)] dy
c
0
Y la transformada de Laplace análoga a (5):
∞
(12)
υ (r ) = ∫ e − rwU ( w)dw
0
(13)
υ (r ) = (c − 1)[cr − 1 + M (r )]
−1
Una fórmula más accesible es la siguiente, atribuida a Beekman y cuya deducción se puede
encontrar por ejemplo en Bowers et al. (1986).
14
Sea el proceso de pérdida
{ S (t ) − ct , t ≥ 0}
el cual mide el exceso de reclamaciones agregadas
sobre las primas cobradas. Como hemos visto en el capítulo anterior, la función de no ruina es
la distribución de este proceso, es decir
FL ( w) = U ( w) , donde L = sup{ S ( t ) − ct } .
t ≥0
Considerando los tiempos en que L registra pérdidas acumuladas mayores a las anteriores
(pérdidas récord), podemos descomponer L como: L = L1 + L2 +...+ LN , donde N es el número
de veces que se registra una pérdida récord y
es la diferencia en términos de pérdida
agregada entre los récords (i − 1) e i .
Basado en que N tiene una distribución geométrica y las Li son variables aleatorias
independientes, idénticamente distribuidas e independientes de N, se obtiene la Fórmula de
Convolución de Beekman:
(14)
U ( w) = 1 − ψ ( w ) =
θ
∞
∑ (1 + θ )
1+ θ
−n
H *n ( w )
n=0
donde
h( y ) =
1 − FX ( y )
, y > 0.
p1
Aunque la ecuación (14) parece ofrecer un cálculo directo de
ψ ( w) ,
en la práctica su
evaluación es extremadamente difícil salvo los casos en que la distribución del monto de las
reclamaciones es exponencial o una mezcla de exponenciales (véase Bowers et al. 1986).
Cuando FX ( x ) está completamente determinada, ψ ( w) puede obtenerse mediante integración
*n
numérica múltiple para obtener H ( w) . Shiu (1988) provee un estudio cuando los montos de
las reclamaciones son enteros no negativos. Sin embargo es importante recalcar que en la
práctica no se tiene perfecto conocimiento de la distribución de montos, dejando en varias
ocasiones fuera del campo de aplicaciones a esta fórmula.
Mediante la teoría de Martingalas, Gerber(1979) presenta la siguiente fórmula para la
probabilidad de ruina eventual:
(15)
ψ ( w) =
[
e − Rw
E e − R⋅ R ( t ) Tw < ∞
]
Donde R es el Coeficiente de Ajuste (ver expresión 20). En general no es posible realizar la
evaluación del denominador de esta fórmula. Este autor obtiene la probabilidad de ruina en los
casos en que la distribución de montos es exponencial y en el caso w=0.
En Bowers et al. (1986) p.363, se presenta una expresión implícita:
(16)
∫
∞
0
e wr (1 − ψ ( w)) dw =
θp1r
1 + (1 + θ ) p1r − M X ( r )
15
Se requiere entonces de una inversión para obtener la probabilidad de ruina, lo cual
únicamente funciona para ciertas familias de distribuciones del monto de las reclamaciones,
como la mezcla de exponenciales.
Basado en los trabajos de Takács, Shiu(1988) presenta dos fórmulas para
ψ ( w)
para el caso
en que las X i toman valores en los enteros positivos:
(17)
*j
θe aw ⎧⎪ ⎣ w ⎦ − ak k ck [a( k − w)]
ψ ( w) = 1 −
⎨1 + ∑ e ∑
j!
1 + θ ⎪ k =1
j =1
⎩
(18)
θe aw
ψ ( w) =
1+θ
∞
k
∑e ∑
− ak
k = ⎣ w ⎦ +1
j =1
ck* j [a ( k − w)]
j
⎫⎪
⎬
⎪⎭
j
j!
donde:
a = λc −1 = [(1 + θ ) p1 ]
−1
y
⎛ j
⎞
ck* j = Pr ⎜ ∑ X i = k ⎟ .
⎝ i =1
⎠
Se puede encontrar en Seah (1990) un análisis sobre la aplicación de estas fórmulas mediante
programas ejecutables en una computadora personal, resultando una guía útil para considerar
los problemas de redondeo, desbordamientos de memoria y velocidad de convergencia de
series infinitas.
2.3 Aproximaciones
En vista de las dificultades para evaluar en forma exacta las probabilidades de ruina, gran
parte de las investigaciones se han dedicado a la obtención de aproximaciones prácticas.
La más sencilla y conocida de las aproximaciones para la probabilidad eventual de ruina es:
(19)
ψ ( w) ≈ e − Rw
Donde R es llamado el Coeficiente de Ajuste (o Coeficiente de Lundberg) y es la única raíz
positiva de la ecuación:
(20)
cr − 1 + M (r ) = 0, c ≥ λp1
16
Obsérvese que la reserva en el momento de ruina, R( T ) es obviamente negativa y en
− R⋅ R ( T )
consecuencia e
> 1 . Utilizando la fórmula (15) concluimos que aunque esta aproximación
es en general poco precisa, sirve como cota superior de ψ ( w) .
Bajo un argumento similar Bowers et al. (1986) muestra una cota inferior para la probabilidad
de ruina:
e − R⋅( w+ m) , donde m es la suma asegurada máxima a pagar.
La fórmula (19) puede mejorarse, obteniéndose la aproximación Cramér-Lundberg:20
ψ ( w) ≈
(21)
θp1
M
'
X
( R) − (1 + θ ) p1
e − Rw
Utilizando una distribución gamma para aproximar la distribución del monto de reclamaciones
se obtiene la aproximación Beekman-Bowers de 1969:
ψ ( w) ≈
(22)
1
[1 − G( w)]
1+ θ
b − a y a −1e − y /b
donde G( w) = ∫
dy
Γ(a )
0
w
a=
1 p2 ⎛
θ⎞
⎜1 + ⎟
b 2θ ⎝
p1 ⎠
b=
2 p3 p2 ⎛
θ⎞
+
⎜1 − ⎟
p1 ⎠
3 p2 2θ ⎝
es la distribución gamma con parámetros:
[ ]
Recordando que p j = E X
j
Basado en los estudios de Grandell, Segerdahl y Seal, Ramsay (1992) indica que la
aproximación (22) parece dar resultados precisos únicamente en el caso de reclamaciones
exponenciales y que no es tan precisa como la Cramér-Lundberg.
El mismo Ramsay presenta otra aproximación práctica atribuida a De Vylder. Esta consiste en
aproximar todo el proceso de la reserva por riesgo
{R(t )} tal que
(
{ R(t )}
mediante un proceso más simple
)
R( t ) = w + 1 + θ λ p1 − S (t )
17
Donde
λ
es el nuevo parámetro Poisson, S ( t ) es el proceso de siniestros agregados generado
por montos de reclamaciones exponenciales i.i.d. con media
seguridad es
p1 y el nuevo recargo de
θ.
Estos nuevos parámetros se obtienen igualando los tres primeros momentos:
] [
[
]
E R k ( t ) = E R k ( t ) , k = 1,2,3.
Obteniéndose:
p1 =
p3
3 p2
θ=
2 p1 p3
θ
3 p22
λ=
9 p23
λ.
2 p32
Y la aproximación resultante es, como cabe esperar, la probabilidad de ruina en el caso
exponencial:
(23)
ψ ( x) ≈
⎛
wθ
1
exp⎜ −
⎜ p 1+θ
1+θ
⎝ 1
(
)
⎞
⎟.
⎟
⎠
Para la probabilidad de ruina en tiempo finito, se puede utilizar la aproximación de Cramér que
se puede encontrar en Taylor y Buchanan (1989):
(24)
ψ ( w) − ψ ( w, t ) = wt − e( −γ
3
2
0 w −γ 1t
)
( t)
cuando w, t → ∞ y w = o
y donde
γ 0 ,γ 1
son
constantes definidas en forma implícita en términos de la distribución del monto de las
reclamaciones.
Ninguna de estas fórmulas es fácil de evaluar: incluso la aproximación (19) requiere de
resolver la ecuación (20); además es evidente a partir de esa ecuación que la aproximación
(19) es válida solamente si M X ( r ) existe. Embrechts y Veraverbeke (1982) presentan un
desarrollo alternativo cuando esta transformada de Laplace-Stieltjes no converge. En
cualquiera de estas circunstancias se requiere el completo conocimiento de la distribución de
montos.
Un enfoque relativamente reciente y que ofrece mayores posibilidades es el presentado en
Goovaerts et al. (1990), donde se establecen cotas para esta probabilidad mediante el
Ordenamiento de Riesgos.
18
Información importante sobre la relación entre la probabilidad de ruina y la distribución del
monto de la reclamación puede apreciarse reexpresando al coeficiente de ajuste:21
2
2
⎛ 2η ⎞ 1 ⎛ 2η ⎞ ⎛ p ⎞ ⎛ 2η ⎞ ⎛ 2 p
⎛ 2η ⎞
p ⎞
R = ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ 32 − 4 ⎟ + O⎜ ⎟
⎝ p2 ⎠ 3 ⎝ p2 ⎠ ⎝ p2 ⎠ ⎝ p2 ⎠ ⎝ 9 p2 12 p2 ⎠
⎝ p2 ⎠
(25)
Donde
η = c −1
4
∞
y pn =
∫ x dF ( x ) , y se aplica un cambio de escala tal que
n
X
p1 = 1 .
0
De esta expresión Taylor afirma en forma no rigurosa resultados interesantes relativos a la
aproximación (19):
a)
Debido a que R depende de los momentos alrededor del origen después del cambio
de escala tal que p1 = 1 , entonces cada pn puede reemplazarse por
pn
antes de
p1n
dicho cambio de escala. Esto implica que la aproximación (19) depende de la forma
de la distribución de la reclamación y no de su localización.
b)
Un incremento en h causa un incremento en R y la probabilidad de ruina decrece
exponencialmente.
c)
El parámetro de la distribución de la reclamación que más influye en la probabilidad
de ruina es el coeficiente de variación
( p2 − 1)
1
2
. Esto establece cierto orden de las
distribuciones de reclamación: una cola más pesada de la distribución implica una
probabilidad eventual de ruina mayor.
d)
Si h=0 entonces R=0 y ocurre ruina con probabilidad 1.
Otro tipo de aproximaciones surge del uso de técnicas no paramétricas como el remuestreo
para aproximar la probabilidad de ruina eventual. El lector interesado puede consultar Frees
(1986).
Una técnica prometedora pero sorprendentemente poco utilizada es la de Monte Carlo. Sobre
este tema una exposición muy completa se encuentra en Beard et al. (1984) e importantes
recomendaciones para su aplicación se exponen en Dufresne y Gerber (1989).
Capítulo 3
Teoremas de la Urna
Las definiciones (16) y (17) del primer capítulo, indican que obtener la distribución del supremo
del proceso estocástico
{ S (t ) − t}
conduce directamente a la probabilidad de ruina.
Takács (1966) resuelve el problema de obtención de la distribución del supremo en una amplia
gama de procesos estocásticos mediante una generalización del Teorema Clásico de la Urna. La
19
influencia de este autor se extiende a numerosos textos y artículos sobre la Teoría de Ruina,
siendo la exposición más completa del problema y su solución.
En esta sección se presenta el teorema clásico de la urna, así como su generalización e
implicaciones a las variables aleatorias intercambiables; material indispensable para presentar
formalmente la solución al problema de ruina.
1. Teorema clásico de la urna.
Teorema 1.
Si en una urna existen a votos para el candidato A y b votos para el candidato B, siendo a ≥ μb
y μ un entero no negativo, entonces la probabilidad de que durante el proceso de conteo el
número de votos registrados para A sea siempre mayor a m veces el número de votos
registrados para B es:
a − μb
a+b
siempre que todas las formas en que se puede dar el registro sean igualmente probables.
Este resultado, para μ=1 se atribuye a J. Bertrand y data de 1887, también en ese año É.
Barbier encuentra la expresión para μ≥1. En el mismo año D. André demuestra el caso μ=1 y
hasta 1924 A. Aeppli lo hace para μ≥1.
La demostración de este teorema para μ=1 es como sigue:
Sean dos jugadores, A y B, que participan en una serie de juegos de azar. En cada juego,
independiente de los demás sucede sólo uno de los siguientes eventos:
A gana una moneda de B con probabilidad p ó
B gana una moneda de A con probabilidad (1-p).
Supongamos que A tiene un capital inicial de (a-b) monedas y B tiene un capital infinito.
¿Cuál es la probabilidad de que A se arruine en el (a+b) ésimo juego?
Para resolver esto, observemos que la probabilidad de que en el (a+b) ésimo juego A haya
perdido a juegos y B haya perdido b juegos es:
⎛ a + b⎞ b
a
⎜
⎟ p (1 − p) .
⎝ a ⎠
Además la probabilidad condicional de que A se arruine en el (a+b) ésimo juego, dado que en
el (a+b) ésimo juego A pierda a juegos y B pierda b juegos es
20
a −b
.
a +b
Por tanto, la probabilidad buscada es:
a −b
a +b
⎛ a + b⎞ b
a
⎜
⎟ p (1 − p) .
⎝ a ⎠
Este resultado fue obtenido en 1775 por Lagrange y Laplace, aunque ya en 1708 De Moivre
había planteado el problema y su solución pero sin proveer una demostración.
Veamos una posible realización de este juego en donde (a-b)=5 y (a+b)=15:
Capital de A
5
4
3
2
1
0
jue go
Consideremos ahora los juegos en el orden contrario, es decir, tomando el juego (a+b), luego
el (a+b-1), el (a+b-2),.... E interpretemos una pérdida para A en el juego original como un
voto a su favor y lo mismo para B. La gráfica invertida horizontalmente muestra entonces los
votos que el candidato A lleva de ventaja con respecto a B.
Votos de ve nta ja de A con re spe cto a B
5
4
3
2
1
0
jue go
21
Entonces podemos observar que también
a −b
es la probabilidad de que durante todo el
a +b
proceso de conteo, el candidato A tenga siempre más votos que B.
La herramienta matemática de Takács se basa en las siguientes generalizaciones del teorema
de la urna:
2. Generalización del Teorema clásico de la urna.
2.1 Caso discreto:
Teorema 2.
k1 , k 2 ,..., k n enteros no negativos tales que k1 , k 2 ,..., k n . Entre las n permutaciones
cíclicas* de k1 , k 2 ,..., k n existen exactamente n-k para las cuales la suma de los primeros r
Sean
elementos es menor que r, para toda r=1,2,...,n.
Demostración:
Esta demostración se basa en Farah (1994)22. Es importante señalar que el texto original de
Takács presenta una incorrección, por lo que aquí se muestra la versión corregida y completa
de dicha demostración, fundamental para entender la metodología de Takács.
φ r = k1 + k 2 +...+ k r , r = 1,2,... con φ 0 = 0 .
Sea k r + n = k r para r = 1,2,... y sea
siguientes funciones:
Defínase las
⎧1 si i - φ i > r − φ r , para i > r ,
⎩0 de otra forma
δr = ⎨
y
ψ r = inf {i − φ i , i > r}
para r=0,1,2,...
Obsérvese que las funciones
φr
y
ψr
son no decrecientes.
La primera parte de la demostración consistirá en dos afirmaciones respecto de las funciones
ψr y δr:
Por la monotonía de
(1)
φ , se sigue que para toda j>i:
( j − φ ) − (i − φ ) = ( j − i ) − (φ
j
i
j
)
− φ i ≤ ( j − i ).
Obsérvese que en el caso particular j = i + 1 , la afirmación j > r + 1 es equivalente a i > r . Bajo
esta elección la desigualdad (1) toma la forma:
22
( j − φ ) ≤ 1 + (i − φ ) para i > r .
j
i
Con esta desigualdad se puede afirmar:
(
)
inf {z − φ z , z > r + 1} ≤ j − φ j ≤ 1 + (i − φ i ) , i > r .
Es decir,
ψ r +1 ≤ ( j − φ j ) ≤ 1 + (i − φ i ) , i > r .
(2)
Si el lado derecho de (2) es verdadero para toda i > r en particular lo será para
ψr :
ψ r +1 ≤ ( j − φ j ) ≤ 1 + ψ r
(3)
Por (3) y la monotonía de
ψ
obtenemos la primera de las afirmaciones:
0 ≤ ψ r +1 − ψ r ≤ 1
(4)
La segunda afirmación es la siguiente:
δ r = ψ r − ψ r −1
(5)
Como
ψ r − ψ r −1 ∈{0,1}
solamente se tienen que probar los siguientes casos:
Caso I:
Si
δr =1
Además
entonces, por definición i − φ i > r − φ r , i > r y en particular
ψ r > r −φr .
ψ r −1 = inf {i − φ i , i > r − 1} = r − φ r , por lo que ψ r − ψ r −1 = 1 .
Si suponemos ahora
ψ r − ψ r −1 = 1
entonces obviamente
ψ r > ψ r −1 , lo cual sucede si y sólo si
ψ r −1 = r − φ r < ψ r ≤ i − φ i , i > r
lo cual significa que δ r = 1 .
Caso II:
s − φ s ≤ r − φ r , lo cual implica que
ψ r = inf {i − φ i , i > r} = s − φ s y ψ r −1 = s − φ s , pues de lo contrario r − φ r < s − φ s ocurriendo una
contradicción. Esto afirma que δ r = 0 implica que ψ r − ψ r −1 = 0 y viceversa.
Si
δr = 0,
entonces
existe
una
s>r
tal
que
Quedando así demostrada la identidad (5).
23
Para terminar con la demostración, distinguimos dos casos respecto de
Caso I:
φn :
φn ≥ n .
Para cualquier r = 0,1,2,... se tiene que
(n + r ) − φ n +r = (n + r ) − φ n − φ r
= (n − φ n ) + (r − φ r ) ≤ r − φ r
lo cual implica que para todo r existe s tal que
Caso 2:
δr =1
φn = k < n .
s − φ s ≤ r − φ r y por tanto δ r = 0, r = 0,1,...
si y sólo si i − φ i > r − φ r , ∀ i > r lo cual es equivalente a:
φ i − φ r < i − r , ∀i > r
k r +1 + k r + 2 +...+ ki < i − r , ∀i > r
Por lo que la función δ es una indicadora del evento en que las sumas parciales de la
permutación cíclica de las k's:
( kr +1 , kr +2 ,..., ki )
se encuentren por debajo del número de
sumandos de dicha suma parcial.
Por ejemplo, r=1 indica el evento:
k 2 + k 3 +...+ ki < i − 1 para todo i > 1 .
El caso r=n indica el evento correspondiente a la permutación cíclica que comienza con
k n +1 = k1 .
n
De esta forma la suma
∑δ
r
denota el número de veces que las sumas parciales de esas
r =1
permutaciones están por debajo del número de sus sumandos.
Obsérvese ahora que
ψ n + r = inf {n + r + s − φ n + r + s , s > 0}
= inf {n + r + s − φ n − φ r + s , s > 0}
= n − φ n + inf {r + s − φ r + s , s > 0}
= n − φn +ψ r
Es decir,
ψ n+r − ψ r = n − φ n .
Por lo que la sumatoria se traduce en:
24
n
∑δ
r
= δ 1 + δ 2 + δ 3 +...+δ n
r =1
= ψ 1 − ψ 0 + ψ 2 − ψ 1 +...+ψ n − ψ n −1
= ψ n −ψ 0
= n − φ n.
Con lo que queda demostrado el teorema.
La fórmula general para los dos casos es:
n
∑δ
(6)
r
= (n − φ n )
+
r =1
donde ( x ) = x si x ≥ 0 y cero de otra forma.
+
Un ejemplo ilustrativo de esta situación es el siguiente:
ι
κι
φι
ι−φι
ψι
δι
ψι−ψι−1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
0
2
0
2
1
0
1
3
0
0
0
2
0
2
1
0
1
3
0
0
0
2
0
2
1
0
1
3
0
0
0
0
2
2
4
5
5
6
9
9
9
9
11
11
13
14
14
15
18
18
18
18
20
20
22
23
23
24
27
27
27
27
0
-1
0
-1
-1
0
0
-2
-1
0
1
0
1
0
0
1
1
-1
0
1
2
1
2
1
1
2
2
0
1
2
3
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
3
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
0
La representación gráfica de estas funciones se muestra en la siguiente página.
25
30
25
20
ι
15
φι
10
ι−φι
5
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
-5
ι
30
25
20
ι
15
φι
10
ψι
ψι−ψι−1
5
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
-5
ι
30
25
20
ι
15
φι
10
ψι
5
δι
0
1
3
5
7
9
11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31
-5
ι
26
2.2 Caso de Parámetro Continuo:
Teorema 3:
Sea
φ (u),0 ≤ u ≤ t
Defínase
una función escalonada no decreciente tal que
φ (u), u ∈[0, ∞)
Y a la función
δ
mediante la expresión
φ (u),0 ≤ u ≤ t .
φ ( u + t ) = φ ( u ) + φ ( t ), u ≥ 0 .
como:
⎧1 si v − φ ( v ) ≥ u − φ (u) para v ≥ u
δ ( u) = ⎨
⎩0 de otra forma
Entonces
⎧1 si v − φ ( v ) ≥ u − φ (u) para v ≥ u
δ ( u) = ⎨
⎩0 de otra forma
Debido a que esta demostración se ve notablemente simplificada suponiendo que existe un
número finito de saltos en ( 0,t ) , se presentará primero este caso y a continuación la situación
más general. Cabe señalar que la siguiente demostración no aparece en la Literatura, ya que es
un ejercicio para el lector, sin embargo nos permite reconocer los argumentos de Takács en
una forma muy accesible.
Demostración cuando existe un número finito de saltos en (0,t):
φ (t ) > t trivialmente se cumple.
En el caso φ ( t ) ≤ t se apreciará la simplificación:
El caso
Sabemos que
ψ (u) = inf { v − φ (v ), v ≥ u}
ψ (t ) − ψ ( 0) = t − φ ( t ) .
Como
φ ( u)
es una función continua y no decreciente, y además
tiene un número finito de saltos, se puede separar el
intervalo ( 0,t ) en subintervalos ajenos en los cuales la función
δ ( u)
tome los valores 1 y 0 en
forma alternada como se muestra en el esquema, que presenta los intervalos de un ejemplo
numerados del 1 al 7.
ψ(υ)
ψ(t)-ψ(ο)
0
1
t
2
3
5
6
7
4
27
δ ( u) = 1
Si
en uno de esos subintervalos, digamos en
(
)
( w1 , w2 )
entonces
ψ ( u) = u − φ ( u)
para
todo u ∈ w1 , w2 , por lo que:
ψ ( w2 ) − ψ ( w1 ) = w2 − φ ( w2 ) − w1 + φ ( w1 )
Como
φ ( u)
no presenta brincos en
( w1 , w2 ) ,
esta función es constante en ese intervalo,
entonces:
ψ ( w2 ) − ψ ( w1 ) = w2 − w1
(8)
Si
δ ( u) = 0
en
( w1 , w2 )
entonces
ψ ( w2 ) − ψ ( w1 ) = 0 .
Ahora podemos calcular la integral
deseada:
t
w1
w2
w3
0
0
w1
w2
∫ δ (u)du = ∫ δ (u)du + ∫ δ (u)du + ∫ δ (u)du+...
Y todo se reduce a encontrar la longitud de los intervalos en los cuales
indica que dicha longitud es igual a la diferencia
ψ (t ) − ψ (0)
δ ( u) = 1 ,
pero (8) nos
y por ello:
t
∫ δ (u)du = ψ (t ) − ψ (0) = t − φ (t )
0
Con lo que termina la demostración.
Demostración del caso general:
Si
φ (t ) > t , entonces δ (u) = 0, ∀u ≥ 0
y entonces el teorema es verdadero.
φ (t ) ≤ t , definimos:
ψ (u) = inf { v − φ (v ) para v ≥ u} .
Si
Como
φ ( u + t ) = φ ( u ) + φ ( t ), u ≥ 0 ,
se tiene que
u + t − φ ( u + t ) = u − φ ( u ) + t − φ ( t ), u ≥ 0
y entonces
ψ (u + t ) = ψ (u) + t − φ (t ), u ≥ 0.
La primera afirmación análoga a (4) es:
28
0 ≤ ψ (v ) − ψ (u) ≤ v − u , 0 ≤ u ≤ v. Esto porque ψ es creciente y para v ≥ u :
(7)
v − φ ( v ) − ( u − φ ( u )) ≤ v − u
v − φ ( v ) ≤ v − u + ( u − φ ( u ))
ψ ( v ) ≤ v − φ ( v ) ≤ v − u + ( u − φ ( u ))
y en particular
ψ ( v ) ≤ v − u + ψ ( u)
ψ ( v ) − ψ ( u) ≤ v − u .
Esto indica que
ψ ( u)
es monótona no decreciente y absolutamente continua, por lo que
ψ ' ( u)
existe en todo su dominio, salvo en un conjunto a lo más numerable. Además 0 ≤ ψ ' (u) ≤ 1 y
∫ ψ ' (u)du =ψ (t ) − ψ (0) = t − φ (t ).
t
0
El siguiente paso será demostrar que
ψ ' ( u) = δ ( u)
para toda u salvo por un conjunto a lo más
numerable:
Nótese que
a)
δ ( u) = 1
b)
ψ ( u ) ≤ u − φ ( u)
c)
ψ ' ( u) = 0
si y sólo si v − φ ( v ) ≥ u − φ ( u), ∀v ≥ u y esto si y sólo si
siempre es verdadero.
para casi toda u.
I) Comenzamos demostrando que
Si
ψ ( u ) = u − φ ( u) .
Ia) Si
ψ ' ( u)
existe, y si
Ib) Si
ψ ' ( u)
existe,
para casi toda u:
ψ ' (u) = 0 , entonces 0 ≤ δ ( u)
ψ ' ( u) > 0
ψ ' (u) > 0 , entonces ψ (v ) > ψ (u)
ψ (u) = inf { s − φ ( s), u ≤ s ≤ v}
ψ ' ( u) ≤ δ ( u)
y
y queda demostrado.
φ (u + 0) = φ (u) , entonces:
para v > u y por tanto:
para v > u .
Entonces u − φ ( v ) ≤ ψ ( u) ≤ u − φ ( u), ∀v > u y en particular:
u − φ (u + 0) ≤ ψ (u) ≤ u − φ ( u), ∀v > u .
29
Como
φ (u + 0) = φ (u)
definición se tiene que
II)
entonces
δ ( u) = 1
u − φ ( u) ≤ ψ ( u) ≤ u − φ (u), es decir ψ (u) = u − φ ( u), y por
y queda demostrado.
Ahora demostraremos que
IIa) Si
δ ( u) = 0
y
ψ ' ( u)
ψ ' ( u) ≥ δ ( u )
para casi toda u:
existe, entonces 0 ≤ ψ ' ( u) y queda demostrado.
δ (u) = 1 , ψ ' (u) existe, φ ' (u) = 0 y u es un punto de acumulación
D = { u ∋ δ (u) = 1, u ∈[0, ∞)} entonces demostraremos que ψ ' (u) = 1 :
IIb) Si
Supongamos u ∈ D , tal que u = lim un con
n→∞
del conjunto
un ∈ D, un ≠ u .
Por definición del conjunto D :
ψ ( u ) = u − φ ( u)
ψ (un ) = un − φ (un )
Si
ψ ' ( u)
existe y
ψ ' ( u) = lim
ψ (u) − ψ (un )
u − un
n →∞
ψ ' ( u) = 1 − lim
n →∞
Y como
φ ' ( u) = 0
{un }
u − φ (u) − un + φ (un )
n→∞
u − un
= lim
φ ( u) − φ (un )
u − un
entonces
= 1 − φ ' ( u) = 1
es un conjunto numerable, queda demostrada la desigualdad.
Las dos desigualdades presentadas en I) y II) implican que
ψ ' ( u) = δ ( u)
para toda u salvo por
un conjunto a lo más numerable. Esto termina la demostración del teorema.
Capítulo 4
Fluctuaciones de Sumas de Variables Aleatorias
En este capítulo se obtienen nuevos resultados a partir de los teoremas 2 y 3 del capítulo
anterior, con la finalidad de encontrar expresiones para la distribución del máximo de variables
aleatorias, descubriendo la capacidad del método de Takács para su obtención y preparando el
camino para la generalización de estos resultados a las fluctuaciones de realizaciones de los
procesos estocásticos que nos interesan.
Nótese que tanto los teoremas como las demostraciones no son sino analogías de los
resultados básicos ya presentados: tal es la elegancia del método de Takács.
30
1 Variables aleatorias cíclicamente intercambiables
1.1 Sucesión finita de v.a. cíclicamente intercambiables
Se dice que las variables aleatorias v1 , v2 ,..., vn son cíclicamente intercambiables si todas sus
permutaciones cíclicas tienen la misma distribución conjunta. Obsérvese que si v1 , v2 ,..., vn son
variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas son también cíclicamente
intercambiables.
Supóngase
que
v1 , v2 ,..., vn
pueden
tomar
valores
en
los
enteros
no
negativos,
y
vr + n = vr , r = 1,..., n . Sean las funciones
r
N r = ∑ vi con N 0 = 0 y
i =1
⎧1 si i − N i > r − N r para i > r ,
⎩0 de otra forma.
δr = ⎨
v1 , v2 ,..., vn cíclicamente intercambiables, δ r será una variable aleatoria con la misma
distribución para toda r = 0,1,2,... Si δ 0 = 1 entonces N r < r , para r = 0,1,... n , por lo que
Al ser
tenemos una variable indicadora de este evento y podemos calcular su probabilidad:
{
}
P{ N r < r , r = 1,..., n} = E P{ N r < r , r = 1,..., n N n }
= EE {δ 0 N n }
⎡1 n
⎤
= E ⎢ ∑ E {δ r N n }⎥
⎣ n r =1
⎦
⎡n
⎤
1
= EE ⎢∑ {δ r N n }⎥
n
⎣ r =1
⎦
Por el resultado (6) del capítulo 3 podemos simplificar esta última expresión como:
⎡n
⎤ 1
1
+
⎡ N ⎤
EE ⎢∑ {δ r N n }⎥ = E [n − N n ] = E ⎢1 − n ⎥
n
n ⎦
⎣
⎣ r =1
⎦ n
+
Resumiremos este análisis en el siguiente teorema:
31
Teorema 4
Sean v1 , v2 ,..., vn variables aleatorias cíclicamente intercambiables que toman valores en los
r
enteros
no
negativos.
N r = ∑ vi
Sea
para
r = 1,2,..., n .
Entonces
i =1
⎡ N ⎤
P{ N r < r , r = 1,2,..., n} = E ⎢1 − n ⎥
n ⎦
⎣
+
Para generalizar esta expresión a una sucesión infinita de variables aleatorias recurriremos al
concepto de distribución límite y a la Ley Débil de los Grandes Números.
1.2 Ley Débil de los Grandes Números:
Si v1 , v2 ,..., vr ,... es una sucesión infinita de variables aleatorias intercambiables, existe una
función de distribución G( x ) tal que
⎧N
⎫
lim P ⎨ n ≤ x ⎬ = G( x )
⎩ n
⎭
n →∞
Si v1 , v2 ,..., vr ,... son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con
media , entonces la distribución límite toma la forma:
⎧0 si x < γ ,
G( x ) = ⎨
⎩1 si x ≥ γ
donde
(1)
γ = lim
n →∞
Nn
en probabilidad.23
n
1.3 Sucesión infinita de v.a. independientes e idénticamente distribuidas
Ahora bien, gracias al teorema de continuidad para probabilidades:24
P{ N r < r con r = 1,2,...} = lim P{ N r < r con r = 1,2,..., n}
n →∞
Por definición, para toda n finita, v1 , v2 ,..., vn son variables
intercambiables, así que por el teorema 4 de este capítulo:
⎡ N ⎤
P{ N r < r con r = 1,2,...} = lim E ⎢1 − n ⎥
n →∞
n ⎦
⎣
aleatorias
cíclicamente
+
32
+
+
+
⎡ N ⎤
Por (1): lim ⎢1 − n ⎥ = [1 − γ ] en probabilidad y al estar acotado
n →∞
n ⎦
⎣
⎡ Nn ⎤
⎢⎣1− n ⎥⎦ se afirma que
+
+
⎡ N ⎤
lim E ⎢1 − n ⎥ = [1 − γ ]
n →∞
n ⎦
⎣
Podemos resumir este resultado de la siguiente manera:
Teorema 5
Sean v1 , v2 ,..., vr ,... variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con media
γ
y que toman valores en los enteros no negativos. Sea N r =
r
∑v
i
para r = 1,2,... . Entonces:
i =1
⎧1 − γ , si γ < 1,
P{ N r < r con r = 1,2,...} = ⎨
⎩0 si γ ≥ 1.
2. La Distribución del Máximo de
{ N r − r}
Teorema 6
Sean v1 , v2 ,..., vn variables aleatorias intercambiables que toman valores en los enteros no
negativos. Entonces:
{
}
P max( N r − r ) < k = P{ N n < n + k }
1≤ r ≤ n
(2)
n −1 n − j
⎛
l ⎞
− ∑ ∑ ⎜1 −
⎟ P N j = j + k , Nn = j + k + l
n − j⎠
j =1 l = 0 ⎝
{
}
para k = 0,±1,±2,... Si k<0 entonces ambos lados son cero.
Si en particular
{
v1 , v2 ,..., vn son independientes e idénticamente distribuidas:
}
P max( N r − r ) < k = P{ N n < n + k } −
(3)
1≤ r ≤ n
⎡ N n− j ⎤
− ∑ P N j = j + k E ⎢1 −
⎥
j =1
⎣ n− j⎦
n −1
{
}
+
33
Demostración
El lado izquierdo de (2) es:
P{ N r − r < k , r = 1,2,..., n y N n − n < k }
= P{ N r < r + k , r = 1,2,..., n y N n ≤ n + k − 1}
{
}
= P Nn ≤ n + k − 1 −
(4)
⎧ N r ≥ r + k para alguna r = 1,2,..., n − 1⎫
P⎨
⎬
⎩ y Nn ≤ n + k − 1
⎭
Para obtener el sustrayendo de (4) definimos:
j = max {r ∋ N r ≥ r + k }
1≤ r ≤ n −1
Nj = j+k
y
N r − N j < r − j , r = j + 1,..., n .
Nr < r + k
Entonces
r = j + 1, j + 2,..., n .
para
Es
decir,
Por el teorema 4 sabemos que:
{
}
P N r − N j < r − j , r = j + 1,..., n N j = j + k , N n − N j = l
⎛
l ⎞
= ⎜ 1−
⎟
⎝ n − j⎠
+
Y mediante la Ley de Probabilidades Totales se obtiene el sustrayendo de (4). Obsérvese que
l = N n − N j < n − j y j = 1,2,..., n − 1 , por tanto, los posibles valores de ( j , l ) son
1 ≤ j ≤ j + l ≤ n − 1 . Esto termina la demostración de (2).
Cuando
v1 , v2 ,..., vn son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas
{
}
{
} {
Pr N j = j + k , N n = j + k + l = Pr N j = j + k Pr N n − N j = l
Pero
}
N n − N j = v j +1 ,..., vn tiene la misma distribución que v1 , v2 ,..., vn − j , pues las vi son
intercambiables, entonces
{
}
} {
}
{
}
Pr N n − N j = l = Pr N n − j = l y el sustrayendo del lado derecho de
(2) es:
n −1 n − j
⎛
l ⎞
∑ ∑ ⎜⎝1 − n − j ⎟⎠ Pr{ N
j =1 l = 0
j
= j + k Pr N n − j = l
34
n −1
{
= ∑ Pr N j = j + k
j =1
n− j
}∑ ⎛⎜⎝1 − n −l j ⎞⎟⎠ Pr{ N
⎡ N n− j ⎤
= ∑ Pr N j = j + k ⎢1 −
⎥
j =1
⎣ n− j⎦
n −1
{
n− j
=l
l =0
}
}
+
y (3) queda demostrado.
Una vez especificada la distribución del máximo del proceso
{ N r − r} , encontraremos su valor
esperado para el caso de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
{ N r − r}
3. El valor Esperado del máximo de
Teorema 7
Sean v1 , v2 ,..., vn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media
γ , que toman valores en los enteros no negativos. Entonces
{
}
[
n
1
E max( N r − r ) = ∑ E N j − j
0≤ r ≤ n
j =1 j
(5)
]
+
Demostración25
Como
{
}
{
∞
}
E max( N r − r ) = ∑ ⎡⎢1 − P max( N r − r ) < k ⎤⎥
0≤ r ≤ n
1≤ r ≤ n
⎣
⎦
k =1
(6)
El lado derecho de (6) es, por el teorema 6
∞
∑ {1 − Pr[ N
(7)
k =1
n
∞ n −1 n − j
⎛
l ⎞
< n + k ]} + ∑ ∑ ∑ ⎜ 1 −
⎟ Pr N j = j + k , N n = j + k + l
n − j⎠
k =1 j =1 l = 0 ⎝
[
]
Por el teorema 6, sabemos que para k<0 los dos lados de la ecuación (2) son cero, así que
"sumamos cero" a (7) para obtener:
∞
∑ Pr[ N
k =1
−∞
n
≥ n + k] +
∞
n −1 n − j
⎛
l ⎞
∑ ∑ ∑ ⎜⎝1 − n − j ⎟⎠ Pr[ N
k =−∞ j =1 l = 0
{
j
= j + k , Nn = j + k + l
]
}
− ∑ Pr[ N n < n + k ] + Pr max( N r − r ) < 0
k =0
1≤ r ≤ n
y término a término se obtiene:
35
E [ N n − n]
(8)
+
+
+
⎡ Nj ⎤
+
⎡ Nn ⎤
+ ∑ E ⎢1 −
−
E
n
−
N
+
E
1
−
[
n]
⎥
⎢
j ⎦
n ⎥⎦
⎣
j =1
⎣
n −1
Nótese que
(9)
[
E Nj − j
[ ]
]
+
[
−E j− Nj
]
[
+
= E Nj − j
]
= E N j − j = jγ − j = j(γ − 1)
Aplicando (9) a (8) y juntando el segundo y cuarto términos:
+
(10)
⎡ Nj⎤
n(γ − 1) + ∑ E ⎢1 −
⎥ y aplicando nuevamente (9):
j ⎦
j =1
⎣
(11)
n
⎤
⎡Nj
⎤
⎡Nj
n(γ − 1) + ∑ E ⎢
− 1⎥ − ∑ E ⎢
− 1⎥
j =1
j =1
⎣ j
⎦
⎣ j
⎦
n
+
n
+
n
⎡Nj ⎤
1
− 1⎥ − ∑ (γ − 1) j
= n(γ − 1) + ∑ E ⎢
j =1
⎣ j
⎦ j =1 j
n
+
⎡Nj ⎤
− 1⎥ −n(γ − 1)
= n(γ − 1) + ∑ E ⎢
j =1
⎣ j
⎦
n
+
n
⎡Nj ⎤
1
− 1⎥ = ∑ E N j − j
=∑ E⎢
j =1
j =1 j
⎣ j
⎦
n
[
]
+
que es el lado derecho de (5), con lo que queda demostrado.
4. Distribución del Supremo de
{ N r − r}
4.1 Una expresión explícita para la distribución
En esta sección se busca generalizar el teorema 6 a una sucesión infinita de variables
aleatorias independientes e idénticamente distribuidas.
Esto se logra mediante el siguiente teorema:
36
Teorema 8
Sean v1 , v2 ,..., vr ,... variables aleatorias independientes, idénticamente distribuidas con media
γ y que toman valores en los enteros no negativos.
∞
{
}
Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < k ⎫⎬ = 1 − (1 − γ )∑ Pr N j = j + k para toda k = 0,±1,±2,... .
⎩1≤ r ≤∞
⎭
j =1
Si
γ <1
entonces
Si
γ ≥1
y
Si
Pr {vr = 1} = 1 entonces Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) = 0⎫⎬ = 1 .
⎩1≤ r <∞
⎭
Pr {vr = 1} ≠ 1 entonces Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < k ⎫⎬ = 0 para toda k = 0,±1,±2,... .
⎩1≤ r <∞
⎭
Demostración:
Nuevamente por el teorema de continuidad para probabilidades:
{
Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < k ⎫⎬ = lim Pr max( N r − r ) < k
1≤ r ≤ n
⎩1≤r <∞
⎭ n→∞
}
y por (4)
(12)
+
n −1
⎡
⎡ N n− j ⎤ ⎤
= lim ⎢ Pr{ N n < n + k } − ∑ Pr N j = j + k E ⎢1 −
⎥ ⎥
n →∞
j =1
⎢⎣
⎣ n − j ⎦ ⎥⎦
{
}
Y queda por determinar este límite, para lo cual se distinguen tres casos:
Caso I:
Cuando
γ <1
sabemos por la Ley débil de los Grandes Números que
lim
n →∞
Nn
=γ
n
en
probabilidad.
Entonces
k⎫
⎧N
lim Pr{ N n < n + k } = lim Pr ⎨ n < 1 + ⎬
n→∞
n⎭
⎩ n
= Pr {γ < 1} = 1 para toda k = 0,±1,±2,... ,
n →∞
y por lo visto en 1.3
+
⎡ N n− j ⎤
lim E ⎢1 −
⎥ = 1 − γ , j=1,2,...
n →∞
⎣ n− j⎦
por lo que (12) es igual a
37
∞
{
}
1 − (1 − γ )∑ Pr N j = j + k , para toda k = 0,±1,±2,... ,
(13)
j =1
Siempre que este valor esté bien definido, lo cual se verifica en seguida:
+
⎡ N n− j ⎤
⎡ N n− j ⎤
≥ E ⎢1 −
De (9) 1 ≥ E ⎢1 −
⎥
⎥ = 1 − γ , por lo que
⎣ n− j⎦
⎣ n− j⎦
n −1
(1 − γ )∑ Pr{ N j =
}
j + k ≤ 1 y (13) está bien definido.
j =1
Caso II:
Cuando
γ >1
{
}
Se tiene que lim Pr N n < n + k = Pr
n →∞
{γ
< 1} = 0 para toda k = 0,±1,±2,...
Además, por el teorema 6 la desigualdad
{
}
0 ≤ P max( N r − r ) < k ≤ P{ N n < n + k } es siempre verdadera y cuando n → ∞ :
1≤ r ≤ n
Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < k ⎫⎬ = 0
⎩1≤ r <∞
⎭
(15)
Caso III:
γ =1
⎧
(
⎩1≤ r <∞
)
⎫
⎭
Por el teorema 5 sabemos que Pr ⎨ sup N r − r < 0⎬ = 0 y (15) se mantiene para
Cuando
[ Pr(v
r
k ≤ 0.
k > 0 y Pr {vr = 1} ≠ 1 , entonces Pr {vr = 0} > 0 y la desigualdad:
k
= 0) Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < 0⎫⎬ ≤ Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < 0⎫⎬
⎩1≤r <∞
⎭
⎩1≤ r <∞
⎭
]
indica que (15) es verdadero.
Si
Pr {v r = 1} = 1
entonces
Pr { N r = r} = 1
para
todo
r = 1,2,...
y
obviamente
Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) = 0⎫⎬ = 1 .
⎩1≤ r <∞
⎭
Con esto termina la demostración.
4.2 La función generatriz de la distribución del supremo
38
Teorema 9
Sean los mismos supuestos que en el teorema 8, con
γ < 1 , entonces:
Pr ⎧⎨ sup ( N r − r ) < k ⎫⎬ = Qk
⎩1≤ r <∞
⎭
donde para k < 0 , se tiene Q k = 0 , Q0 = 1 − γ y
∞
Q( z ) = ∑ Qk z =
k
k =0
[ ]
E[z ] − z
Q0 E z vr
vr
con
z < 1.
Demostración
Evidentemente para
k < 0 se tiene Qk = 0 .
Condicionando sobre el valor de
vn +1 y aplicando la Ley de Probabilidades Totales:
k
Pr { N r < r + k para r = 1,..., n +1} = ∑ Pr { N r < r + k + 1 − j para r = 1,..., n}
j =0
Cuando
n → ∞:
k
Qk = ∑ Pr {vr = j}Qk +1− j para k = 0,1,2,...
(16)
j =0
Es decir, obtenemos una fórmula recursiva para las probabilidades
teorema 5,
Q0 = 1 − γ .
Multiplicando (16) por
Q1 , Q2 ,... donde por el
zk :
k
Qk z k = ∑ Pr {vr = j}Qk +1− j z k +1− j z j −1
j =0
sumando sobre todos los valores de k:
∞
∑Q z
∞
k
k
k =0
k
= ∑ ∑ Pr {vr = j}Qk +1− j z k +1− j z j −1
k =0 j =0
y reescribiendo la doble sumatoria:
∞
∑Q z
k
k =0
∞
k
∞
= ∑ ∑ Pr {vr = j}Qk +1− j z k +1− j z j −1
j =0 k = j
39
se obtiene:
∞
∞
∞
k =0
j =0
k= j
∑ Qk z k = ∑ Pr{vr = j}z j −1 ∑ Qk +1− j z k +1− j
Q( z ) =
Q( z ) =
( ) Q( z) − Q y despejando:
[
]
z
E z vr
0
[ ] , con lo que termina la demostración.
E[z ] − z
Q0 E z vr
vr
Debe recalcarse la importancia de este teorema: Permite obtener la función generadora de las
Qk a partir de la función generadora de probabilidades de las variables aleatorias vr . Estas
probabilidades Qk son precisamente las probabilidades de no ruina para el modelo de reserva
en tiempo discreto. En el siguiente capítulo se presentará la versión de este teorema para el
Modelo de Lundberg definido en el capítulo 2.
Capítulo 5
Fluctuaciones de Realizaciones de Procesos Estocásticos y Probabilidad de
Ruina Eventual
En este capítulo se obtienen resultados análogos al capítulo anterior para encontrar la
distribución del supremo de procesos estocásticos y por consiguiente, de la probabilidad de
ruina eventual.
1. Procesos con incrementos cíclicamente intercambiables.
1.1 Procesos en tiempo finito con incrementos cíclicamente intercambiables y procesos con
incrementos estacionarios independientes.
Un proceso
{ R(u), u ∈[0, t ]}
tiene incrementos cíclicamente intercambiables si para toda
n = 2,3,... las variables aleatorias
(1)
⎛ rt ⎞
⎛ rt − t ⎞
R⎜ ⎟ − R⎜
⎟ , r = 1,2,..., n .
⎝ n⎠
⎝ n ⎠
son cíclicamente intercambiables. Nótese que si las variables aleatorias (1) son mutuamente
independientes e idénticamente distribuidas, son también cíclicamente intercambiables.
Teorema 10
40
Sea r = 1,2,..., n un proceso estocástico separable que toma valores reales con incrementos
cíclicamente intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes
con r = 1,2,..., n , entonces:
{
}
P R(u) ≤ u, u ∈[0, t ] R(t ) = y
+
t − y)
(
=
t
y en consecuencia:
⎡ R( t ) ⎤
P{ R(u) ≤ u, u ∈[0, t ]} = E ⎢1 −
⎥
t ⎦
⎣
+
Demostración
R( u) para u ∈[u, ∞) mediante R(u + t ) = R(u) + R( t ) , u ≥ 0 y sea
Defínase
⎧1 si R(v ) − R(u) ≤ v − u para v ≥ u,
δ ( u) = ⎨
⎩0 de otra forma.
δ (u) es
nuevamente δ ( 0)
Entonces
una variable aleatoria con la misma distribución para toda
es una función indicadora del evento
{ R(u) ≤ u, u ∈[0, t ]} ,
u ≥ 0. Y
por lo que
podemos calcular su probabilidad de manera totalmente análoga a la presentada en el teorema
4:
{R(u) ≤ u, u ∈[0, t ] R(t )} = E {δ (0) R(t )}
1
⎧1
⎫
= ∫ E {δ (u) R(t )}du = E ⎨ ∫ δ (u)du R(t )⎬
t
⎩t
⎭
t
t
0
0
y por el teorema 3:
⎧1 t
⎫ ⎛ R( t ) ⎞
E ⎨ ∫ δ ( u)du R(t )⎬ = ⎜ 1 −
⎟
0
t ⎠
⎩t
⎭ ⎝
+
y queda demostrado.
Se dice que un proceso estocástico
[
toda t ∈ 0, T
]
{ R(u), u ∈[0, T ]}
tiene incrementos intercambiables si para
finita, las variables aleatorias (1) son intercambiables. Si además para toda
n = 2,3,... y toda t ∈[0, T ] finita las variables aleatorias (1) son mutuamente independientes e
idénticamente distribuidas, se dice que el proceso estocástico tiene incrementos estacionarios
independientes.
Obsérvese
que
cualquier
proceso
{ R(u), u ∈[0, t ]}
con
incrementos
41
{
}
intercambiables o incrementos estacionarios independientes tal que Pr R( 0) = 0 = 1 , tendrá
[
incrementos cíclicamente intercambiables para toda t ∈ 0, T
]
finita. Además para estos dos
tipos de procesos
E { R(u)} = ρu , u ∈[0, T ] , ρ ≥ 0
y cuando
ρ=0
{
}
[
se tiene Pr R( u) = 0 = 1, u ∈ 0, ∞ ) , caso que excluiremos de aquí en adelante.
Para generalizar el teorema 10 a un proceso en tiempo infinito, presentaremos la versión
correspondiente de la Ley Débil de los Grandes Números:
1.2 Ley Débil de los Grandes Números
Sea
el
proceso
estocástico
en
tiempo
infinito
{ R(u), u ∈[0, ∞)}
con
incrementos
intercambiables. Entonces existe una función de distribución G( x ) tal que
⎧ R( t )
⎫
lim Pr ⎨
≤ x ⎬ = G( x )
n →∞
⎩ t
⎭
Si
en
particular
{ R(u), u ∈[0, ∞)}
tiene
incrementos
estacionarios
independientes
y
E { R(u)} = ρu , G( x ) toma la forma:
⎧0 si x < ρ ,
G( x ) = ⎨
⎩1 si x ≥ ρ
donde
(2)
R( t )
t →∞
t
ρ = lim
1.3 Procesos en tiempo infinito con incrementos estacionarios e independientes
La generalización del teorema 10 es la siguiente:
Teorema 11
Sea
{ R(u), u ∈[0, ∞)}
un proceso estocástico separable que toma valores reales con
incrementos estacionarios independientes y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no
decrecientes con R( 0) = 0 , entonces:
P{ R(u) ≤ u, u ∈[0, ∞)} = (1 − ρ )
+
42
Demostración
Nuevamente por el teorema de continuidad para probabilidades:
Pr { R( u) ≤ u, u ∈[0, ∞ )} = lim Pr { R(u) ≤ u, u ∈[0, t ]}
t →∞
Por definición, para toda t finita,
{ R(u), u ∈[0, t ]}
tiene incrementos intercambiables, así que
por el teorema 10:
Pr { R( u) ≤ u, u ∈[0, ∞)}
⎡ R( t ) ⎤
= lim E ⎢1 −
⎥ .
t →∞
t ⎦
⎣
+
⎡ R( t ) ⎤
⎡ R( t ) ⎤
+
= (1 − ρ ) en probabilidad y al estar acotado ⎢1 −
Por (2): lim ⎢1 −
⎥
⎥ se afirma que
t→∞
t ⎦
t ⎦
⎣
⎣
+
+
⎡ R( t ) ⎤
+
lim E ⎢1 −
= (1 − ρ )
⎥
t→∞
t ⎦
⎣
+
con lo que termina la demostración.
2. La distribución del supremo de
{ R(u) − u}
y su valor esperado
En esta sección presentaremos los resultados análogos a los teoremas de la sección 1, por lo
que solamente se muestra la demostración del teorema 12, remitiéndose al lector a dicha
sección para la prueba del teorema 13.
Teorema 12
Sea
{ R(u), u ∈[0, T ]}
un proceso estocástico separable que toma valores reales con
incrementos intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes
con R( 0) = 0 , entonces:
(3)
Pr ⎧⎨ sup [ R( u) − u] ≤ x ⎫⎬ = Pr { R( t ) ≤ t + x}
⎩0 ≤ u ≤ t
⎭
⎛ t − z⎞
− ∫∫ ⎜
⎟ d y d z Pr { R( y ) ≤ y + x , R( t ) ≤ z + x}
⎝ t − y⎠
0< y ≤ z ≤ t
[
]
para toda x y t ∈ 0, T finita.
Demostración
43
El sustraendo del lado derecho de (3) es la probabilidad de que R( t ) ≤ t + x y R( u) > u + x para
]
algún u ∈( 0, t .
{
[ ]} , entonces
Sea y = sup u ∋ R( u) > u + x , u ∈ 0, t
R( y ) = y + x y R(u) ≤ u + x , y ≤ u ≤ t , por lo que
R( u ) − R( y ) ≤ u − y , y ≤ u ≤ t .
(4)
Ahora, bajo la condición de que R( y ) ≤ y + x y R( t ) ≤ z + x podemos aplicar el teorema 10 para
[
]
el proceso R( y + u) − R( y ), u ∈ 0, t − y y obtenemos que la probabilidad de (4) es:
t−z
para 0 ≤ y ≤ z ≤ t .
t−y
(5)
Como
d y d z P{ R( y ) ≤ y + x , R(t ) ≤ z + x} =
(6)
P{ y + x < R( y ) < y + x + dy , z − y < R( t ) − R( y ) < z − y + dz}
podemos integrar (5) con respecto a (6) en 0 ≤ y ≤ z ≤ t y obtener el sustraendo del lado
derecho de (3).
Para el caso x = 0 se tiene, mediante el teorema 10:
t⎛
P{ R(u) ≤ u, u ∈[0, t ]} = ∫ ⎜ 1 −
0⎝
(7)
y⎞
⎟ d y P{ R(t ) ≤ y}
t⎠
con lo que termina la demostración.
Teorema 13
Sea
{ R(u), u ∈[0, T ]}
un proceso estocástico separable que toma valores reales con
incrementos intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes
con R( 0) = 0 , entonces:
t 1
+
E ⎧⎨ sup [ R(u) − u]⎫⎬ = ∫ E [ R( y ) − y ] dy
0
y
⎩0 ≤ u ≤ t
⎭
[
]
para t ∈ 0, T .
44
Si en particular el proceso
{ R(u), u ∈[0, T ]}
tiene incrementos estacionarios independientes,
entonces podemos aplicar en (3) la siguiente sustitución:
d y d z P{ R( y ) ≤ y + x , R( t ) ≤ z + x} =
P{ y + x < R( y ) < y + x + dy} P{ z − y < R( t ) − R( y ) < z − y + dz}
Resultando la siguiente expresión
(8)
Pr ⎧⎨ sup [ R( u) − u] ≤ x ⎫⎬ = Pr { R( t ) ≤ t + x}
⎩0 ≤ u ≤ t
⎭
⎧⎪⎡ R( t − y ) ⎤ + ⎫⎪
t
− ∫ + E ⎨⎢1 −
⎬d y Pr { R( y ) ≤ y + x}
0
t − y ⎥⎦ ⎪
⎪⎩⎣
⎭
3. Características de las Transformadas de Laplace sobre los procesos utilizados.
Una vez presentados los teoremas anteriores, será necesario conocer ciertas propiedades de
los procesos con los que hemos trabajado, de los cuales el proceso Poisson Compuesto es un
caso muy importante:
Si suponemos que
{ R(u), u ∈[0, ∞]}
un proceso estocástico separable que toma valores reales
con incrementos intercambiables y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no
decrecientes con R( 0) = 0 , podemos afirmar:26
(9)
{
}
E e − sR ( u ) = e − uΦ ( s ) , para toda u ≥ 0 y Re( s) ≥ 0 ,
donde
(10)
∞
(
)
Φ( s) = ∫ + 1 − e − sx dN ( x )
0
con N ( x ) , x > 0 una función no decreciente, continúa a la derecha, tal que lim N ( x ) = 0 y
x →∞
(11)
∫
1
0+
xdN ( x ) < ∞
Con la siguiente interpretación: El número esperado de saltos de magnitud mayor que
[
]
ocurren en el intervalo ( 0,t ) es t N ( ∞) − N ( x ) .
Defínase
λ = [ N ( ∞) − N (0)] = − N ( 0) , no necesariamente finito, para afirmar:
45
(
)
lim Φ( s) = lim ∫ + 1 − e − sx dN ( x ) = ∫ + dN ( x ) = [ N ( ∞) − N ( 0)] = λ
∞
s→∞
s→∞ 0
y cuando
λ=0
∞
0
{
}
se tiene el caso trivial P R( u) = 0 = 1 .
Por tanto, el número de ocurrencias en el intervalo cero a t es
t ≥ 0.
λt
{
}
y P R( t ) = 0 = e
− λt
para
Además
∞
Var { R(t )} = σ 2 t = ∫ x 2 dN ( x ) = − Φ' ' ( +0) .
0+
Cuando
λ>0
finito, nos referimos a un proceso Poisson Compuesto y la función.
F ( x) =
N (0) − N ( x )
N (0)
−λ − N ( x)
−λ
N ( x)
= 1+
=
(12)
λ
es la función de distribución de una variable aleatoria no negativa, con transformada de
Laplace-Stieltjes
∞
ϕ ( s) = ∫ e − sx dF ( x ) , Re( s) ≥ 0 .
(13)
0
Despejando de (12) obtenemos que
N ( x ) = − λ[1 − F ( x )]
y por definición de
∞
(
(expresión 10):
)
∞
(
)
Φ( s) = ∫ + 1 − e − sx dN ( x ) = λ ∫ 1 − e − sx dF ( x )
0
(14)
0
Φ( s) = λ[1 − ϕ ( s)] , para Re( s) ≥ 0 ,
es decir, la expresión (13) resulta ser:
(15)
ϕ ( s) = 1 −
Φ( s )
λ
, Re( s) ≥ 0
46
y para este tipo de procesos tenemos por (5) del capítulo 1:
∞
P[ R(t ) ≤ x ] = ∑ e
( λt ) n F * n
− λt
n!
n=0
( x)
Sea
(16)
∞
ρ = ∫ xdN ( x ) .
−∞
Si Re( s) ≥ 0 entonces Φ' ( s) existe y por propiedades de las transformadas de Laplace27
sabemos que
(17)
∞
Φ' ( s) = ∫ + e − sx xdN ( x ) .
0
y se tiene
(18)
ρ = lim Φ' ( s)
(19)
E { R(t )} = ρt , t ≥ 0 .
s→ 0 +
y
Además si
∞
p1 = ∫ xdF ( x )
0
entonces
∞
ρ = ∫ xdN ( x )
0
∞
= λ ∫ xdF ( x )
0
= λp1
y si esta cantidad es positiva y finita la función
∫ N ( y )dy I ( )
[ )
∫ N ( y)dy
x
F ( x) =
0
∞
x
0,∞
0
(20)
⎧1 x
[1 − F ( y)]dy, x > 0
⎪
F ( x ) = ⎨ p1 ∫0
⎪0 de otra forma
⎩
47
es la función de distribución de una variable aleatoria no negativa cuya transformada de
Laplace-Stieltjes es:
(21)
∞
ϕ ( s) = ∫ e − sx dF ( x ) =
0
Φ( s)
, Re( s) > 0
ρs
o también
(22)
ϕ ( s) =
λ[1 − ϕ ( s)]
, Re( s) > 0 .
ρs
Lo cual se verifica enseguida:
Aplicando a cada lado de (20) la transformada de Laplace-Stieltjes correspondiente obtenemos
para el lado izquierdo:
∞
ϕ ( s) = ∫ e − sx dF ( x )
0
y para el lado derecho:
∞
1 ∞ − sx
1 ⎡ ∞ − sx
1
−
=
−
e
F
x
dx
e
dx
e − sx F ( x )dx ⎤
(
)
[
]
∫
∫
∫
⎥⎦
⎢
0
0
0
p1
p1 ⎣
=
(23)
1 ⎡ 1 ϕ ( s) ⎤
1
[1 − ϕ ( s)] , es decir
⎢ −
⎥=
p1 ⎣ s
s ⎦ p1s
ϕ ( s) =
1
[1 − ϕ ( s)] , Re( s) > 0 ,
p1s
que es precisamente (22); o bien aplicando (14)
(24)
ϕ ( s) =
Φ( s )
, Re( s) > 0 ,
ρs
que es precisamente (21).
Ahora bien, para obtener conclusiones útiles que conduzcan a la distribución del supremo de
estos procesos, requerimos mostrar las siguientes propiedades de la función Φ( s) :
Propiedades de Φ( s)
Φ( s )
= 0.
s →∞
s
Propiedad 1: Si Re( s) > 0 entonces lim
48
Esto se debe a que 1− e
− sx
≤ s x y 1 − e − sx ≤ 2 cuando x ≥ 0 , entonces por (10):
ε
Φ( s) ≤ s ∫ xdN ( x ) − 2 N (ε )
0
para toda
ε >0
siempre que Re( s) ≥ 0 . Y por tanto
ε
Φ ( s)
≤ ∫ xdN ( x )
0
s →∞
s
lim
para toda
Cuando
ε > 0.
ε→0
se obtiene la propiedad 1, pues esta última integral tiende a cero.
Propiedad 2: Si la mayor raíz real no negativa de Φ( s) = s es
ω >0
si
ρ > 0 . Además no existe otra raíz en Re( s) > ω .
ω,
entonces
ω =0
si
ρ ≤1
y
Esto resulta de observar que Φ( s) es monótona creciente y Φ' ( s) monótona decreciente, con
Φ( s )
= 0 . Además Φ' ( s) < Φ' (ω ) ≤ 1 en Re( s) > ω , por lo que
s→∞
s
( )
Φ(0) = 0 , Φ' 0+ = ρ y lim
Φ( s) − Φ(ω ) =
Propiedad 3:
∫ω Φ' ( z)dz < s − ω , es decir, no existe otra raíz en Re( s) > ω .
s
ω ( z)
es la única raíz no negativa de Φ( s) = s − z , z > 0 y lim+ ω ( z ) = ω .
z→0
Esto se debe a la propiedad 2 y al hecho de que
ω ( z)
es no decreciente y
ω ( z ) > ω , ∀z .
Con estas propiedades es posible encontrar una expresión para la distribución del supremo y
por consiguiente para la probabilidad de ruina eventual:
4 Probabilidad de Ruina Eventual
Esta sección utiliza la siguiente generalización del teorema 9 al caso continuo. Obsérvese que
se refiere precisamente a la probabilidad eventual de no ruina U ( x ) :
Teorema 14
Sea
{ R(υ ), 0 ≤ υ < ∞}
un proceso estocástico separable con incrementos estacionarios
independientes y cuyas realizaciones son funciones escalonadas no decrecientes con R( 0) = 0
y
ρ < 1 , entonces:
49
(24)
Pr ⎧⎨ sup [ R(υ ) − υ ] ≤ x ⎫⎬ = U ( x )
⎩0≤υ <∞
⎭
donde U ( x ) = 0 para x < 0 , U ( 0) = 1 − ρ y
(25)
∫
∞
0
e − sx dU ( x ) =
U (0) s
, Re( s) > 0 .
s − Φ ( s)
Demostración
Por el teorema 11 se obtiene U ( x ) para x ≤ 0 .
Si y > 0 y x + y ≥ 0 se tiene:
(26)
U ( x) = ∫
y+ x
0
U ( y + x − z )d z P{ R( y ) ≤ z}
−U (0) ∫ d z P{ R( z ) ≤ z + x}
y
0
El primer término del lado derecho es la probabilidad de que R( y ) = z para 0 ≤ z ≤ y + x y
R(υ ) − υ ≤ x para y ≤ υ < ∞ .
El segundo término es la probabilidad de que R(υ ) − υ ≤ x no se cumpla para alguna
intervalo
(0, y )
υ
en el
{υ: R(υ ) − υ > x, 0 ≤ υ < y} , entonces
y R(υ ) − υ ≤ x para y ≤ υ < ∞ . Si z = sup
{ R(υ ) − υ ≤ x, z ≤ υ < ∞} tienen la misma probabilidad que el evento
{ R(υ ) − R( z) ≤ υ − z, 0 ≤ υ − z < ∞} , es decir, W (0) . Con esto se obtiene el segundo término.
R( z ) − z = x y el evento
Cuando − y ≤ x < 0 , este término es cero al ser el evento imposible.
Defínase Ω( s) =
∫
∞
0
e − sx dU ( x ) para Re( s) ≥ 0 .
Ahora bien, tomando la transformada de Laplace-Stieltjes de U ( x ) obtenemos para Re( s) ≥ 0 :
y z s−Φ s
y s− Φ s
Ω( s) = e [ ( ) ]Ω( s) − U ( 0) s ∫ e [ ( ) ]dz para toda y > 0 .
0
Pero
∫
y
0
e
z[ s − Φ ( s ) ]
y s− Φ s
e [ ( )] − 1
dz =
para Re( s) > 0 , obteniéndose
s − Φ( s )
50
∫
∞
0
e − sx dU ( x ) =
U (0) s
para Re( s) > 0 , con lo que queda demostrado.
s − Φ ( s)
Nótese nuevamente que el razonamiento es similar al de los teoremas anteriores. Esto indica
que el método de Takács es efectivo no sólo por sus resultados, sino por proveer una forma de
razonamiento adecuada para analizar el comportamiento de múltiples procesos estocásticos.
Aplicando la propiedad 2 de Φ( s) en el caso
ρ = λp1 > 1
y por expansión de Lagrange28 se
obtiene que la mayor raíz no negativa de Φ( s) = s es:
j −1
∞
⎤
⎡
∞
− λx ( λx )
ω = λ ⎢1 − ∑ ∫ e
dF * j ( x )⎥
j!
⎥⎦
⎢⎣ j =1 0
(27)
Por lo que Ω( s) =
∫
∞
0
e − sx dU ( x ) existe para Re( s) > ω . Y por inversión se obtienen diferentes
expresiones para U ( x ) .
Al ser
ρ = λp1
ρϕ ( s) < 1
(28)
un numero positivo finito se tiene por (14) y (22) que Φ( s) = ρsϕ ( s) . Además
si Re( s) > ω , por lo que podemos escribir:
∞
U ( 0) s
1 − ρ )s
1 − ρ)
n
(
(
Ω( s) =
=
=
= (1 − ρ )∑ ρ n [ϕ ( s)]
s − Φ( s) s − ρsϕ ( s) 1 − ρϕ ( s)
n=0
para Re( s) > ω .
Y por inversión Takács obtiene una primer expresión29:
∞
(29)
U ( x ) = U ( 0)∑ ρ n F *n ( x )
n=0
Si
ρ ≠ 1 , se puede obtener una segunda expresión30:
(30)
∞
⎡ e wx
∞
(λu)n d H u + x ⎤
U ( x ) = U ( 0) ⎢
− ∑ ∫ e − λu
)⎥
u n(
n!
⎢⎣1 − Φ' ( w) n = 0 +0
⎥⎦
Finalmente, una tercera expresión se obtiene de manera muy simple:
Mediante integración por partes se verifica31 que
(31)
∫
∞
0
e − sxU ( x )dx =
Ω( s)
s
entonces podemos aplicar (14) y (25):
51
Ω( s) 1 U (0) s
U ( 0)
U ( 0)
=
=
=
s
s s − Φ( s) s − Φ( s) s − λ[1 − ϕ ( s)]
factorizando:
⎤
Ω( s) U (0) ⎡
λ
=
⎢
⎥
λ ⎣⎢ s − λ[1 − ϕ ( s)] ⎥⎦
s
⎡
⎤
⎢
⎥
U (0) ⎡ λ ⎤
1
⎢
⎥
=
λ ⎢⎣ s − λ ⎥⎦ ⎢ ⎛ λ ⎞
1+ ⎜
⎟ ϕ ( s) ⎥
⎢⎣ ⎝ s − λ ⎠
⎥⎦
se obtiene la siguiente suma infinita:
Ω( s) U (0) ⎡ λ ⎤ ∞
λ
⎤
=
ϕ ( s) ⎥
( −1)n ⎡⎢
∑
⎢
⎥
s
λ ⎣ s − λ ⎦ n=0
⎣s − λ
⎦
=
U (0)
λ ⎞
( −1)n ⎛⎜⎝
⎟
∑
s−λ⎠
λ n=0
∞
n +1
n
[ϕ ( s)]
n
con Re( s) suficientemente grande.
Finalmente por inversión se obtiene la probabilidad eventual de no ruina para el Modelo de
Lundberg:
(32)
∞
( −1)n λn e λx
n=0
n!
U ( x ) = U (0)∑
para x ≥ 0 .
∫
x
0
e − λy ( x − y ) dF *n ( y )
n
Capítulo 6
Aplicaciones al Problema de Ruina
En este capítulo se utilizan los resultados de Takács con el fin de obtener una expresión útil
para la probabilidad de ruina eventual en el caso en que la distribución de montos de las
reclamaciones tome valores únicamente en los enteros positivos.
Este problema, motivo de numerosos artículos de investigación (ver capítulo 2), representa la
posibilidad de aplicar la Teoría de Riesgo en un problema frecuente al que se enfrentan los
actuarios en el diseño y monitoreo del comportamiento de los productos. De esta situación
resulta muy importante contar con un algoritmo que permita obtener las probabilidades de
ruina en forma rápida y sin requerir equipos de cómputo costosos.
Para mostrar la capacidad de este algoritmo, se utilizará en algunos ejemplos bien conocidos
en la literatura.
52
En el apéndice del capítulo, el algoritmo es plasmado en un programa que puede ser ejecutado
en una PC y se incluyen las consideraciones utilizadas en su construcción.
1. Fórmula de ruina para distribución de montos discreta.
Dado32 que U ( 0) =
θ
1+θ
, y en el caso en que
FX sea discreta, la fórmula (32) del capítulo
anterior se traduce en:
λ
*j λ
θe w ⎧⎪ ⎣ w ⎦ − w λ k f ( k ) [ c ( k − w)]
ψ ( w) = 1 −
⎨1 + ∑ e ∑
j!
1 + θ ⎪ k =1
j =1
c
(1)
c
⎩
j
⎫
⎪
⎬
⎭⎪
⎛ j
⎞
X i = k ⎟ para j = 1,2,3,... y ⎣ w⎦ es el mayor entero menor o igual a w .
∑
⎝ i =1
⎠
donde f ( k ) = Pr ⎜
*j
Nótese que la unidad monetaria es la original del problema, esto es para facilidad de uso de la
fórmula y evitar confusiones al aplicarla.
Shiu(1988) obtiene esta fórmula a partir de la fórmula de convolución de Beekman de 1968.
Pero ésta a su vez proviene (como lo reconocen Beekman y Shiu) de resultados más generales
publicados por Takács en 1965. También en el artículo de Shiu(1988) se incluye una
demostración desarrollada por Willmot.
Sin embargo, una demostración sin referencias directas a los teoremas de Takács se encuentra
en Seah(1990), sin embargo ésta carece de argumentos que permitan mostrar los conceptos
realmente involucrados y puede ser una referencia para evaluar la importancia del método de
Takács así como su rigor y contundencia de argumentos.
Cabe señalar que para valores grandes de la reserva inicial w , un método eficiente para
evaluar ψ ( w) es el uso de la fórmula asintótica de Cramér-Lundberg33 presentada en el
capítulo 2. Sin embargo, estos casos son de menor interés, porque implican valores en general
muy pequeños para ψ ( w) . En la práctica las aseguradoras se encuentran limitadas en dicho
capital inicial y por ello el uso de valores pequeños de w es más relevante. La importancia de
la fórmula (1) se hace entonces evidente.
2. Ejemplos
Una vez establecido el algoritmo, se procederá a utilizarlo en la obtención de probabilidades de
ruina para ciertos ejemplos bien conocidos en la literatura de ruina.
El primer ejemplo considera que todas las reclamaciones son de monto unitario. Este caso es
presentado prácticamente en todos los textos de Teoría de Riesgo obteniéndose expresiones
explícitas para la probabilidad de ruina. Véase por ejemplo Seal (1969) página 92.
53
El segundo ejemplo es tomado de Mereu (1972) tabla 3. En este artículo se muestra un método
para calcular la pérdida esperada en un grupo de pólizas de seguro de vida utilizando el
supuesto de fuerza de mortalidad constante, lo que permite el empleo de la Teoría Colectiva de
Riesgo Clásica tal y como se expuso en el primer capítulo. La distribución de montos resultante
está denominada en unidades de 1,000 dólares y es utilizada posteriormente en diferentes
artículos de la Sociedad de Actuarios. Por este motivo, obtener las probabilidades de ruina para
esta distribución resulta interesante y de consideración en futuros artículos que retomen este
ejemplo ilustrativo.
El tercer ejemplo proviene de un estudio comparativo basado en la Teoría Colectiva de Riesgo
de Beekman y Fuelling (1987). Es en este ejemplo donde ocurren las mayores dificultades de
cálculo mostradas en el apéndice de este capítulo, especialmente los errores de redondeo y
w
pérdida de dígitos significativos al evaluar la función e para valores grandes de la reserva
inicial. El tiempo de procesamiento y la cantidad de archivos necesarios para almacenar las
convoluciones se incrementa notablemente por lo que es recomendable realizar este
almacenamiento directamente en la memoria del ordenador mediante el siguiente comando en
el archivo "config.sys":
DEVICEHIGH=C:\DOS\RAMDRIVE.SYS 2048 512 512/E
Esta instrucción permite simular un disco duro de 2 Megabytes en la memoria extendida del
sistema, incrementando notablemente la velocidad de proceso.
El programa en Turbo Pascal 6.0 mostrado en el apéndice A ya considera la existencia del disco
RAM, como puede apreciarse en las instrucciones de creación y lectura de archivos, las cuales
hacen referencia a la unidad de disco "e:" que es precisamente la unidad RAM creada en el
ordenador donde se realizaron las operaciones.
A continuación se presenta para cada ejemplo su distribución de montos y las probabilidades
de ruina para ciertos valores tanto de la reserva inicial w como del recargo de seguridad θ .
Cabe señalar que estas operaciones fueron realizadas en una computadora personal con
procesador 386SX a 33 Mhz con coprocesador matemático y una memoria extendida suficiente
para la creación del disco RAM. Al utilizar este programa en ordenadores con procesadores de
mayor velocidad y con menores tiempos de acceso a la memoria extendida, pudo reducirse el
tiempo de proceso hasta en un factor de 20 (Procesador 586 a 90 Mhz).
DISTRIBUCIÓN DE MONTOS DEL EJEMPLO 1
⎧1 si x = 1
f X ( x) = ⎨
⎩0 en otro caso
54
PROBABILIDADES DE RUINA
w
θ = 0.01
θ = 0.02
θ = 0.03
θ = 0.04
θ = 0.05
θ = 0.06
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0.973351
0.954660
0.935920
0.917509
0.899459
0.881765
0.864420
0.847415
0.830745
0.814403
0.947735
0.911928
0.876707
0.842772
0.810151
0.778792
0.748648
0.719671
0.691815
0.665037
0.923100
0.871624
0.821935
0.774975
0.730698
0.688951
0.649590
0.612478
0.577485
0.544492
0.899395
0.833582
0.771222
0.713398
0.659909
0.610432
0.564664
0.522328
0.483166
0.446940
0.876577
0.797650
0.724222
0.657403
0.596747
0.541690
0.491712
0.446346
0.405165
0.367784
0.854602
0.763686
0.680622
0.606423
0.540311
0.481409
0.428928
0.382169
0.340507
0.303386
PROBABILIDADES DE RUINA
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
θ = 0.01
θ = 0.02
θ = 0.03
θ = 0.04
θ = 0.05
θ = 0.06
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Reserva inicial w
DISTRIBUCIÓN DE MONTOS DEL EJEMPLO 2
x
f(x)
4
6
8
10
12
14
16
20
25
0.15304533960
0.07882237436
0.11199119040
0.10432698260
0.09432769021
0.10925807990
0.09727308107
0.18073466720
0.07022059474
55
PROBABILIDADES DE RUINA
w
θ = 0.25
θ = 0.50
θ = 0.75
θ =1.00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
0.800000
0.648244
0.496366
0.380345
0.291056
0.222739
0.170456
0.130446
0.099827
0.076395
0.058463
0.666667
0.467912
0.293844
0.184890
0.115984
0.072766
0.045652
0.028641
0.017968
0.011273
0.007072
0.571429
0.361256
0.194107
0.104628
0.056127
0.030113
0.016156
0.008668
0.004651
0.002495
0.001339
0.500000
0.291922
0.138083
0.065584
0.030950
0.014607
0.006894
0.003254
0.001536
0.000725
0.000342
PROBABILIDADES DE RUINA
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
θ = 0.25
θ = 0.50
θ = 0.75
θ =1.00
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Reserva inicial w
DISTRIBUCIÓN DE MONTOS DEL EJEMPLO 3
x
f(x)
1
2
3
4
5
7
8
10
12
13
15
16
0.5141
0.3099
0.0639
0.0220
0.0194
0.0096
0.0276
0.0036
0.0041
0.0019
0.0013
0.0226
56
PROBABILIDADES DE RUINA
w
θ = 0.1
θ = 0.2
θ = 0.3
θ = 0.4
θ = 0.5
100
200
300
400
0.522132
0.307110
0.180699
0.091223
0.308428
0.118771
0.045752
0.016231
0.199082
0.054149
0.014725
0.003896
0.137226
0.027873
0.005654
0.001105
0.099443
0.015734
0.002482
0.000383
PROBABILIDADES DE RUINA
0.6
0.5
θ = 0.1
0.4
θ = 0.2
0.3
θ = 0.3
0.2
θ = 0.4
0.1
θ = 0.5
0
100
200
300
400
Reserva inicial w
3. Observaciones Finales
El algoritmo desarrollado y los ejemplos anteriores muestran que la fórmula (1) puede ser
utilizada en la práctica con éxito. Esta fórmula exacta implica la evaluación de una suma finita,
lo cual tiene ventaja sobre fórmulas infinitas también exactas, que son por su naturaleza
aproximaciones y cuya convergencia puede ser lenta.34
Las distribuciones de montos discretas son un caso particular en la Teoría de Riesgo, sin
embargo en la práctica se observan este tipo de distribuciones con notable frecuencia e incluso
existen procedimientos bien conocidos en la práctica actuarial para la discretización de
distribuciones continuas, como los propuestos por De Vylder y Goovaerts (1988). La fórmula
(1) permite entonces una manera eficiente para obtener probabilidades de ruina35 en muy
diversas situaciones prácticas o estrictamente teóricas de acuerdo con el interés del
investigador.
Esta aplicación es un ejemplo de cómo el enfoque de Takács provee expresiones útiles, pero
debe considerarse que los teoremas de los capítulos 3 y 4 comprenden a una amplia gama de
procesos estocásticos, por lo que siguiendo un procedimiento similar al del caso de Poisson, se
pueden obtener probabilidades de ruina de otros procesos, incluyendo aquéllos propios de
modelos más completos, necesarios en la Teoría de Riesgo Contemporánea.
57
Apéndice A:
Diseño del algoritmo para las probabilidades
de ruina en el caso de montos discretos
Para el desarrollo del algoritmo, se consideró indispensable su uso en una computadora
personal, pues de lo contrario su utilidad estaría restringida a la disponibilidad de equipos más
poderosos, que aunque pueden encontrarse en las compañías aseguradoras, su uso intensivo
durante el proceso de diseño de productos o análisis de suficiencia de primas en cartera
(aplicaciones directas de esta fórmula) resultará en costos elevados e innecesarios, sobre todo
si existe la posibilidad de llevarlos a cabo en PC.
La expresión (1) del capítulo 5 involucra la suma de series alternantes finitas, razón que motiva
su uso al menos para valores relativamente pequeños de w . Sin embargo, conforme esta
reserva inicial se incrementa, se presentan cuatro problemas:
a) Errores de redondeo en la fórmula de ruina:
w
Causados por la presencia de la función e , la cual se incrementa rápidamente, implicando la
pérdida de un número creciente de dígitos en el ordenador. Este problema puede ser al menos
retrasado mediante el uso de más dígitos en el formato numérico, pero debe reconocerse su
inevitabilidad. Aunque existen lenguajes de programación (p. ej. Mathematica) que permiten
manejar un número arbitrario de dígitos de precisión, esto se realiza a costa de tiempo de
procesador y capacidad de almacenamiento/transmisión de la información, obstáculos que al
menos con los ordenadores actuales disponibles no permiten eliminar definitivamente este
problema.
b) Errores de redondeo en el cálculo de la convolución:
{ f ( ) } pueden ser evaluados mediante la fórmula
*j
k
Los coeficientes
f (*k )j =
∑ f ( ()
m+ n = k
* j −1)
m
f (*1
n)
que implica un total de
f
*j
(k )
( j − 1)
operaciones de convolución para obtener la j -ésima convolución
. Esto puede causar errores de redondeo notables, sobre todo en el caso de valores
grandes de la reserva inicial. Seah(1990) propone un método heurístico para reducir estos
errores, basado en el cálculo de las convoluciones mediante la fórmula más general:
f (*k )j =
∑ f(
m+ n = k
*g
m)
f (*nh)
donde g + h = j .
Sin embargo este enfoque requiere de obtener los valores de g y h que minimicen el número
de operaciones de convolución y nos remite al problema nada trivial de la "cadena de adición",
estudiado ampliamente en la literatura de sistemas digitales. Para evaluar este método se
58
programó el algoritmo aplicándolo a los ejemplos del capítulo 6, sin encontrar diferencias
numéricas con el método finalmente utilizado.
Otro método que también busca minimizar los errores de redondeo se encuentra en Shiu(1988;
fórmula 4.8), y se basa en los métodos utilizados en sistemas digitales para minimizar el
número de operaciones en el cálculo de la "transformación Z", conocida en la Teoría de
Probabilidad como la función generadora de probabilidades.
c) Desbordamientos de memoria:
Debidos al hecho de que cada escalar es almacenado utilizando una cantidad determinada de
memoria del ordenador, implicando un límite para el número de valores que pueden
manipularse.36
Ante esta situación se presentan dos opciones: La primera consiste en realizar las operaciones
de convolución en el momento en que son requeridas por la función de ruina, eliminando los
valores de la convolución en cada iteración. Esta opción es viable cuando se dispone de
procesadores de alta velocidad en cuanto a la realización de las operaciones y tiempo de acceso
a la memoria física del sistema, lo cual no es siempre posible en computadoras personales. La
segunda opción, utilizada en el algoritmo finalmente propuesto, consiste en el uso de los
dispositivos de almacenamiento externos (disco duro) para almacenar como archivos los
valores de cada convolución.
d) Tiempo de Procesamiento
Adicional a los incrementos en el tiempo de procesamiento ocasionados por los problemas
arriba mencionados, el cálculo de las operaciones de convolución es en sí mismo un proceso
intensivo en cuanto al número de operaciones aritméticas necesarias. Debido a su frecuente
uso en numerosas disciplinas, principalmente la Física y la Electrónica, se han estudiado
algoritmos eficientes para su obtención. La rama de la ingeniería que requiere en mayor
medida de estos algoritmos es el Procesamiento de Sistemas Digitales y es precisamente la que
aporta los mejores resultados. En el Apéndice B se describe la técnica que puede utilizarse para
reducir el número de operaciones, especialmente el de multiplicaciones.
Finalmente, se presenta el programa en Turbo Pascal 6.0 resultado de estas consideraciones:
{$N+}
program seah;
uses crt,dos,binarios;
type
archnum=file of double;
var p,theta:double;
s:real;
u,n,h,m,i,tot:integer;
h1,h2,m1,m2,s1,s2,cs1,cs2:word;
val:array[1..50] of integer;
p1:array[1..50] of double;
for i:=1 to b do m:=m*a;
pot:=m;
end;
{------------------------------------}
procedure presentacion;
begin
clrscr;
window(1,5,60,20);
TextColor(Yellow);
TextBackground(blue);
clrscr;
59
{------------------------------------}
procedure beep;
begin
sound(1700);delay(1500);nosound;
end;
function
duration(h1,m1,s1,h2,m2,s2:real):real;
begin
duration:=(h2-h1)*3600+(m2-m1)*60+s2s1;
end;
procedure sec2hms(x:real;var
h,m:integer;var s:real);
var cs:real;
begin
cs:=frac(x);
m:=trunc(x) div 60;
s:=(trunc(x) mod 60)+cs;
h:=m div 60;m:=m mod 60;
end;
function
pot(a:double;b:integer):double;
var i:integer;m:double;
begin
m:=1;
procedure param(var n:integer;var
p:double);
var
s,f:double;aux:string;ent:text;x:integer;
er;
begin
assign(ent,'e:f1.txt');reset(ent);
c:=cc;s:=0;
while not(eof(ent)) do
begin
readln(ent,x,f);
s:=s+x*f;
end;
n:=x;p:=s;
close(ent);
gotoxy(1,1);
writeln('PROBABILIDADES DE
RUINA');
writeln('-----------------------');
write('MAX. RESERVA INICIAL:
');
readln(u);
end;
procedure dartiempo;
begin
sec2hms(duration(h1,m1,s1+cs1/
100,h2,m2,s2+cs2/100),h,m,s);
gotoxy(30,5);write('duraci¢n');
gotoxy(30,6);write(h,' horas');
gotoxy(30,7);write(m,' minutos');
gotoxy(30,8);write(s:4:2,'
segundos');
beep;
end;
{------------------------------------}
procedure salida;
begin
TextBackground(Black);
TextColor(White);
Window(1,1,80,25);
ClrScr;
end;
{------------------------------------}
begin
param(n,f);p:=f;primer(n);
for i:=2 to u do
begin
gotoxy(2,6);
write('CONVOLUCION:',i);
str(i-1,aux);
assign(ant,'e:f'+aux+'.bin');
reset(ant);
str(i,aux);
assign(enti,'e:f'+aux+'.bin');
rewrite(enti);
for x:=0 to i*n do
begin
60
end;
procedure primer(n:integer);
var f,s:double;ent1:archnum;x,i:integer;
ent:text;
begin
assign(ent,'e:f1.txt');reset(ent);
assign(ent1,'e:f1.bin');rewrite(ent1);
s:=0;for i:=0 to n do
write(ent1,s);reset(ent1);
i:=1;
while not(eof(ent)) do
begin
readln(ent,x,f);
val[i]:=x;p1[i]:=f;i:=i+1;
seek(ent1,x);
write(ent1,f);
end;
tot:=i-1;
close(ent);close(ent1);
end;
procedure makec(u:integer;var
p:double);
var a,b,x,i,j:integer;
ant,enti:archnum;
s,f:double;
aux:string;
end;
end;
function
psi(u,p,theta:double):double;
var
auxfact,s1,s2,a:double;k,j:integer;
begin
a:=1/(1+theta)/p;
s1:=0;
for k:=1 to trunc(u) do
begin
s2:=0;
auxfact:=1;
for j:=1 to k do
s:=0;j:=1;b:=x-n*(i-1);
if x<n then a:=x else a:=n;
while val[j]<b do j:=j+1;
while val[j]<=a do
begin
seek(ant,x-val[j]);read(ant,f);
s:=s+f*p1[j];
j:=j+1;
end;
write(enti,s);
end;
close(ant);close(enti);
end;
end;
function c(j,k:integer):double;
var ent:archnum;
aux:string;
cc:double;
begin
if k>j*n then c:=0
else
begin
str(j,aux);
assign(ent,'e:f'+aux+'.bin');
reset(ent);
seek(ent,k);
read(ent,cc);
close(ent);
c:=cc;
procedure ruinas;
label 1,2;
begin
1:
gotoxy(1,8);
write('RESERVA INICIAL: ');
readln(u);
if u<0 then goto 2;
write('RECARGO SEGURIDAD:
');
readln(theta);
gotoxy(1,10);
write('PROBAB. DE RUINA :
',psi(u,p,theta):8:6);
61
begin
s2:=s2+c(j,k)*pot(a*(k
-u),j)/(j*auxfact);
auxfact:=auxfact*j;
end;
s2:=s2*exp(-a*k);
s1:=s1+s2;
end;
psi:=1theta*exp(a*u)/(1+theta)*(1+s1);
end;
goto 1;
2:
end;
BEGIN
presentacion;
GetTime(h1,m1,s1,cs1);
makec(u,p);
GetTime(h2,m2,s2,cs2);
dartiempo;
ruinas;
salida;
END.
62
Apéndice B:
Cálculo de convoluciones mediante
la Transformada Rápida de Fourier
Esta breve exposición se basa en Oppenheim (1975) y Myers(1990).
En términos de la Teoría de Sistemas Digitales, la "salida" de un procesador digital está dada
por la expresión:
∞
y( n) = ∑ h(m) x(n − m) , n = −∞, ∞
m= 0
la cual considera como caso particular la convolución cíclica de dos secuencias infinitas x y h
periódicas con periodo N donde :
N −1
y(n) = ∑ h(m) x(n − m), n = 0,1,..., N -1
m= 0
describe un periodo de la señal digital infinita.
Un periodo de esta señal describe precisamente una convolución lineal, que es precisamente el
tipo de convolución que necesitamos calcular eficientemente en nuestro problema.
Estas convoluciones cíclicas tienen una propiedad interesante:
Sea una señal digital x( n) periódica con periodo N, defínase la Transformada Discreta de
Fourier como:
N −1
X ( k ) = ∑ x(n)WNkn , k = 0,1,... N − 1 ,
n=0
(
donde W = exp − 2Nπ
−1
)
y cuya transformación inversa es:
x( n) = −
1
N
N −1
∑ X ( k )W
− nk
N
, n = 0,1,..., N − 1 .
k =0
Entonces la convolución cíclica de dos señales periódicas x y h tiene una Transformada Discreta
de Fourier Y ( k ) tal que
Y ( k ) = H ( k ) X ( k ), k = 0,1,..., N − 1
63
X ( k ) son las Transformadas Discretas de Fourier de h(n) y x( n)
H( k ) y
donde
respectivamente.
Bajo este resultado es posible obtener una convolución cíclica (y por ende una lineal) siguiendo
este procedimiento:
1. Aplicar la transformación arriba descrita a las secuencias h( n) y x( n) .
2. Multiplicar término a término las dos secuencias H ( k ) y X ( k ) , obteniendo Y ( k ) .
3. Aplicar la transformación inversa a Y ( k ) .
Obviamente el número de operaciones involucradas es mucho mayor bajo este procedimiento:
2
Para el cálculo de una convolución cíclica (lineal) son necesarias N multiplicaciones de
números reales y N ( N − 1) sumas de números reales. Por el contrario, cada Transformación
requiere
(N
2
)
− 2 N + 1 multiplicaciones de números complejos y N ( N − 1) sumas de números
complejos, lo que aproximadamente37 resulta en
(4 N
2
)
2
)
− 8 N + 4 multiplicaciones de reales y
− 6 N + 2 sumas de reales. Esto implica que el número de operaciones requeridas para la
convolución
(16 N
(4 N
2
mediante
) 38
− 24 N + 8
la
Transformada
es
de
(16 N
2
)
− 30 N + 16
multiplicaciones
y
sumas.
Sin embargo, en 1965 Cooley y Tukey39 publican un algoritmo para la Transformada Discreta
de Fourier aplicable cuando N es el producto de dos o más enteros, el cual reduce
drásticamente el número de operaciones, explotando tanto la simetría como la periodicidad de
kn
la secuencia WN , originando una revolución en el campo de aplicación de la teoría de sistemas
digitales basada en el empleo de algoritmos que serán denominados "Transformada rápida de
Fourier" y cuya idea básica es la siguiente:
Para obtener la Transformada Discreta de Fourier
N −1
X ( k ) = ∑ x(n)WN , k = 0,1,... N − 1
kn
n=0
Salvo el caso en que N sea primo, siempre podrá factorizarse como:
N = ML
Ahora hágase un mapeo de x( n) en un arreglo x( u, v ) de M renglones y L columnas de la
siguiente manera:
64
x( 0)
x(1)
x( L)
M
x( ( M − 1) L)
x( L + 1)
M
K
K
K
x( L − 1)
x(2 L − 1)
M
x( ( M − 1) L + 1) K x( ( M − 1) L + L − 1)
Es decir, el mapeo se logra transformando el índice n tal que
0 ≤ n ≤ N − 1, 0 ≤ u ≤ M − 1, 0 ≤ v ≤ L − 1.
n = uL + v , donde
Por otro lado se puede realizar un mapeo similar de X ( k ) en un arreglo X ( s, r ) mediante:
k = rM + s
donde 0 ≤ k ≤ N − 1, 0 ≤ r ≤ L − 1, 0 ≤ s ≤ M − 1.
Entonces la Transformada Discreta de Fourier toma la forma:
X ( s, r ) =
M −1 L −1
∑ ∑ x(u, v)W (
rM + s )( uL + v )
N
u=0 v =0
Como
WN es periódica en N se tiene:
WN( rM + s )( uL + v ) = WNruML + rvM + suL + sv
= WNruN +( rvM + suL + sv )
= WNrvM + suL + sv
Y por tanto:
X ( s, r ) =
M −1 L −1
∑ ∑ x(u, v)W
rvM + suL + sv
N
u=0 v =0
que se puede reexpresar como:
L −1
⎧
⎧ m −1
⎫⎫
X ( s, r ) = ∑ WNrvm ⎨WNsv ⎨∑ x( u, v )WNsuL ⎬⎬
v =0
⎩ u=0
⎭⎭
⎩
Implicando
( M + L) N − 3 N + 1 multiplicaciones complejas y N ( M + L − 2)
adiciones complejas,
que es claramente un número menor de operaciones. De hecho, conforme N se incrementa
este algoritmo requiere tanto para las multiplicaciones como para las adiciones
( M + L) =
1 1
+
N
M L
M ≈L≈ N .
del número original de operaciones, que es aproximadamente
2
si
N
65
Un caso particular de este tipo de algoritmos considera potencias de 2 como longitud de la
secuencia. A continuación se muestra el código de un programa que permite realizar la
Transformada Rápida de Fourier (FFT) y su inversa (IFFT), que aunque todavía es factible de
optimar, puede incluirse fácilmente en el programa del apéndice A:
procedure
FFT(var
x:vector;m,n:integer);
var u,w,t,aux:complex;l,le,le1,j,
i,ip,nv2,nm1,k:integer;
begin
for l:=1 to m do
begin
le:=pot(2,m+1-l);
le1:=le div 2;
u.r:=1;u.i:=0;
w.r:=cos(pi/le1);
w.i:=-sin(pi/le1);
for j:=1 to le1 do
begin
i:=j;
while i<=n do
begin
ip:=i+le1;
t.r:=x[i].r+x[ip].r;
t.i:=x[i].i+x[ip].i;
aux.r:=x[i].r-x[ip].r;
aux.i:=x[i].i-x[ip].i;
j:=j+k;
end;
end;
procedure
IFFT(var
v:vector;m,n:integer);
var i:integer;
begin
for i:=1 to n do v[i].i:=v[i].i;
fft(y,m,n);
for i:=1 to n do
v[i].r:=v[i].r/n;
end;
Nota: Se utiliza una estructura de
registros para manejar los números
complejos y cxc denota el producto
de dos números complejos.
cxc(aux,u,x[ip]);
x[i]:=t;
i:=i+le;
end;
cxc(u,w,u);
end;
end;
nv2:=n div 2;
nm1:=n-1;
j:=1;
for i:=1 to nm1 do
begin
if(i<j) then
begin
t:=x[j];x[j]:=x[i];
x[i]:=t
end;
k:=nv2;
while (k<j) do begin
j:=j-k;k:=k div 2 end;
66
Notas:
*
Este Documento obtuvo el Segundo Lugar del Premio de Investigación Sobre Seguros y
Fianzas, 1996. Las opiniones que aparecen en este artículo son del autor y no
necesariamente coinciden con las de la CNSF.
1
Medios que reducen las consecuencias financieras de eventos desfavorables.
2
Trowbridge(1989)
3
Considérese un seguro con un millón de suma asegurada, pagadera en su totalidad al ocurrir un evento con
probabilidad 0.000001. La prima neta es obviamente 1 peso. ¿No resulta muy cuestionable cobrar una prima
por riesgo tan insignificante para cubrir un riesgo "catastrófico"?. Una alternativa razonable se obtiene al
observar que la desviación estándar de la indemnización bajo este contrato es de N$1000; y cobrar una prima
por riesgo igual a dos o tres desviaciones estándar. Ver Beard et. al. (1984) p.1.
4
Borch (1974) pp. 202, 205, 265.
5
Ibidem.
6
Este enfoque es conocido actualmente como el Modelo Individual de Riesgo.
7
Ob. Cit. p. 268.
8
Cramér (1930).
9
Para mayores referencias se puede consultar Feller, W. An Introduction to Probability Theory and its
Applications, Vol. 1, Wiley, New York, 1968, Caps. XII, XIII y XIV.
10
Bühlmann (1982)
11
Las finanzas económicas convencionales insisten en que los precios de los activos (incluyendo pólizas de seguro)
dependen únicamente del riesgo sistemático o no diversificable y que la estructura de capitales es irrelevante.
La ciencia actuarial asume que las probabilidades de ruina, exógenamente determinadas son relevantes y que
las compañías tienen un control casi absoluto sobre los precios y las utilidades. Ver Cummins y Derrig (1989)
p.xviii.
12
Borch ob. cit. Un ejemplo de textos que manejan esta teoría aplicada a seguros es Cummins y Derrig (1989), o
artículos relacionados con los nombres de Rantala y Pentikäinen.
13
Entre ellos, los dividendos y productos financieros.
14
Una revisión de los argumentos originales utilizados por Lundberg se encuentra en Seal (1969).
15
Ver Seal (1969) p. 15
16
Recordando la notación actuarial p = E X i
i
17
Borch (1974)
18
N(x) denota la distribución normal estándar en x.
19
Filosofía de Garantía Real y un Nuevo Sistema de Seguridad para la Apertura del Seguro Mexicano, Asociación
Mexicana de Instituciones de Seguros A.C., 1989, pp. 80-82.
20
Ver Ramsay (1992).
21
Taylor y Buchanan (1989)
*
Las permutaciones cíclicas de (k1, k2,…,kn) son: (k2,k3…,kn,k1), (k3,k4,…,kn,k1,k2),…,(kn,k1,k2,…,kn-1).
[ ]
67
22
Farah J.L., Una Nota de Corrección de una Demostración de L. Takács, comunicación personal, 1994.
23
Esto es, lim P N / n − γ > ε = 0
n
n→∞
{
}
24
Ver Feller I, Cap. XI, pp. 280, 281.
25
Agradezco al Dr. Alberto Tubilla su ayuda en la realización de esta demostración
26
Ver Feller II, Sección XIII. 7, teoremas 1 y 2
27
Ob. Cit. Cap. XIII.2
28
Ibidem p. 209
29
Takács (1977) p. 60
30
Ob. Cit. Teorema 2, sección 16
31
Feller II, XIII 2, propiedad iii)
32
Bowers et. Al. p. 359
33
Shiu (1988)
34
Ver Seah (1990) formula 2.4 y su discusión en la página 426
35
O aproximaciones en el caso de descretización
36
Este límite, además de presentarse en forma definitiva por la capacidad física de la memoria de los ordenadores,
se presenta en muchos lenguajes de programación al manejar estructuras de información estáticas (arreglos) y
aunque el manejo de estructuras dinámicas (apuntadores) puede ser una solución, ésta se encuentra
nuevamente limitada en cuanto a la velocidad de los procesos de búsqueda de la información.
37
Dependiendo del algoritmo utilizado
38
Por supuesto el número de operaciones se reduce cuando las secuencias son de números reales, como es el
caso de la convolución que nos interesa
39
Oppenheim (1975) p. 286
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70