ERRORES DE LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES

TÉCNICAS EXPERIMENTALES EN FÍSICA I
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA
FACULTAD DE CIENCIAS. UNIVERSIDAD DE VALLADOLID
ERRORES DE LAS MEDIDAS EXPERIMENTALES
1. INTRODUCCION
El objetivo de la mayoría de los experimentos científicos es el estudio
cuantitativo de ciertas propiedades de la materia. Es estudio se realiza midiendo una
serie de magnitudes físicas con los correspondientes aparatos de medida y tratando los
datos para una posterior interpretación de los resultados.
Los datos experimentales siempre contienen errores; así pues, el resultado de
toda medida deberá ir siempre acompañado de un cierto valor, denominado error
absoluto que indica las posibles desviaciones entre el resultado dado y el valor exacto
(imposible de alcanzar en la práctica).
Por supuesto, cuanto más pequeño sea el error en relación al orden de la
magnitud que estamos midiendo, con más precisión estará determinada la magnitud.
Esta precisión, queda reflejada por el error relativo que es igual al cociente entre el error
absoluto y el resultado de la magnitud medida.
2. TIPOS DE MEDIDAS
Antes de empezar a calcular el error, debe uno preguntarse si una magnitud es directa o
indirecta. Las definiciones son las siguientes:
- MEDIDA DIRECTA: Su valor ha sido obtenido mediante el correspondiente
aparato de medida.
- MEDIDA INDIRECTA; Su valor se ha calculado mediante un fórmula, a partir de
otras magnitudes.
3. TIPOS DE ERRORES
Existen tres tipos de errores, que son las siguientes:
a) Error de Escala: Debido a que un aparato no es capaz de proporcionarnos
una magnitud con todas sus cifras decimales, en cualquier medida que
hagamos habrá un error de escala que será el mínimo valor que podamos
apreciar con ese aparato.
1
b) Error Accidental: Las condiciones que nos rodean al hacer una medida
pueden fluctuar, así al hacer una segunda medida de algo, puede suceder
que no nos salga exactamente lo mismo. Es conveniente, por tanto repetir
una medida varias veces, y quedarnos con el valor más aproximado al real,
que será la media de todas ellas. Este valor medio tendrá un error que se
denomina error accidental que depende del número de medidas realizadas N
en la forma: Por lo tanto al aumentar N, el error accidental se puede hacer
tan pequeño como se quiera.
E acc 
1
N ( N  1)
Por lo tanto al aumentar N, el error accidental se puede hacer tan pequeño
como se quiera
c) Error Sistemático: Es debido a un mal funcionamiento del aparato, al hecho
de utilizar fórmulas aproximadas, etc. En este laboratorio se considerará que
todas estas causas, no están presentes y que por tanto el error sistemático es
nulo.
Una vez calculados independientemente cada tipo de error se sumarán todos
ellos dando lugar al error total o absoluto que deberá ir acompañando en el resultado
final al valor de la magnitud, con un ± delante y ambos escritos en la forma adecuada.
Eabs = Eesc + Eacc
NORMAS DE ESCRITURA
El error absoluto se expresa siempre con una sola cifra significativa, excepto si
esta cifra es el número 1 en cuyo caso se mantiene la segunda. Si la primera cifra
suprimida es igual o mayor que 5 se incrementa la última cifra conservada en una
unidad.
El valor de la magnitud se escribe con el número de cifras tal que, la última cifra
significativa de ésta sea del mismo orden decimal que la última cifra significativa del
error absoluto.
Ejemplos.
3546.5 ± 23.7
0.0789 ± 0.0175
0.473 ± 0.035
34084 ± 1320




3550 + 20
0.079 + 0.018
0.47 ± 0.04
34100 ± 1300
2
4. FORMULAS PARA EL CÁLCULO DE ERRORES
A) MEDIDA DIRECTA
A.1) Error de escala: Vendrá dado por el valor más pequeño que podamos
apreciar con un determinado aparato de medida.
A.2) Error accidental: Este error se puede tratar como una magnitud regulada por
las leyes de la probabilidad y utilizar un modelo matemático para su cálculo. De
acuerdo con esto las fórmulas que se deducen para el error accidental son:
E acc ( x)  t p ( f ) s ( x)
s ( x) 
 x
 x
2
i
N ( N  1)
donde N es el número de medidas realizado, x es el valor medio obtenido y s (x) es la
desviación típica de x que refleja lo que se han desviado los valores obtenidos de la
media.
t1-(f) se denomina 'función de distribución de Student' y depende de dos
parámetros  y f denominados respectivamente 'probabilidad fiducial' y 'número de
grados de libertad'. A p = l- se le denomina 'nivel de significación'. La probabilidad
fiducial debe ser dada por el experimentador en función del grado de certeza deseado
para la estimación del resultado final. Generalmente se toma  = 0.95 (o bien p = 0.05).
Por su parte el número de grados de libertad se obtiene a partir de: f = N - 1. El valor de
la 't' de Student para los valores de p y f en cuestión viene tabulado (TABLA 1).
B) MEDIDA INDIRECTA
decir:
Sea una magnitud genérica y que depende de varias magnitudes x1, x2, x3,…, es
y = f (x1, x2, x3, …)
Su valor medio se calculará sustituyendo en la fórmula los valores medios de las
correspondientes magnitudes de las que depende esto es:
y  f ( x 1 , x 2 , x 3 , )
3
Sus errores se calcularán a partir de las siguientes fórmulas:
B.l) Error de escala:
y
y
y
Eesc ( x1 ) 
Eesc ( x 2 ) 
Eesc ( x 3 )  ...
x1
x2
x3
Eesc ( y ) 
B.2) Error accidental:
E acc ( y )  1.96 s ( y )
donde s ( y ) es la desviación típica de y y se calcula a partir de las desviaciones típicas
de las variables x1, x2, x3,…
2
2
2
 y  2
 y  2
 y  2
 s ( x 3 )  ...
 s ( x1 )  
 s ( x 2 )  
s ( y )  


x

x
x
 1
 2
 3
2
5. INTERPOLACION DE VALORES EN TABLAS
Tablas de simple entrada
Supongamos que una magnitud V se encuentra tabulada en función de los
valores de la variable x de la cual depende. Si tenemos la necesidad de conocer el valor
de V para un cierto valor de x que no aparece en la tabla hemos de realizar lo que se
denomina una interpolación entre los dos valores de la tabla más próximos a x. Sean
estos x1 y x2 a los que les corresponde en la tabla los valores V1 y V2 respectivamente. Si
la relación entre V y x es lineal el valor de V buscado se obtendrá a partir de la
proporcionalidad:
(V  V1 ) (V2  V1 )

( x  x1 ) ( x2  x1 )
y por lo tanto:
V  V1 
(V2  V1 )
( x  x1 )
( x2  x1 )
Eesc (V ) 
V2  V1
Eesc ( x)
x2  x1
4
6. GRAFICAS
Cuando una práctica conlleve hacer una gráfica esta se realizará de acuerdo con
las siguientes normas:
-
Se harán en papel milimetrado.
-
Deben llevar título.
-
En los extremos de los ejes se anotará el símbolo de la magnitud representada y
entre paréntesis sus unidades.
-
La variable dependiente se representará en el eje de ordenadas y la
independiente en el eje de abscisas.
-
La escala del papel se tomará de acuerdo a una buena visualizacion de los puntos
experimentales.
-
Sobre los ejes sólo se indicarán los valores correspondientes a divisiones enteras
y no los de los valores experimentales.
-
A cada punto experimental se le añadirá una cruz, representando en el aspa
horizontal el error absoluto en dicho punto correspondiente al valor de la abscisa
y el aspa vertical el error correspondiente al valor de la ordenada.
-
No se representará ninguna otra línea en la gráfica excepto; que se trate de un
calibrado, en cuyo caso se unirán los puntos mediante segmentos; o en el caso de
llevar a cabo un 'ajuste por mínimos cuadrados' sobre los puntos.
7. AJUSTE POR EL METODO DE MINIMOS CUADRADOS
Supongamos que entre dos variables x e y existe una dependencia lineal, es
decir, matemáticamente están relacionadas por una expresi6n del tipo:
y = a + b·x
Al representar gráficamente y frente a x obtendríamos una línea recta. La
pendiente de dicha recta sería b y la ordenada en el origen a.
Supongamos que existe ese tipo de relaci6n entre dos magnitudes medidas en el
laboratorio pero desconocemos los valores concretos que tienen a y b. Una forma de
hallarlos es realizar un ajuste por mínimos cuadrados. Este método consiste en buscar la
recta que más se aproxime a los N puntos experimentales en la gráfica haciendo mínima
la distancia entre dichos puntos y la recta buscada. Esto se consigue haciendo mínimo el
sumatorio:
2
 ( yi  Yi )
5
donde Yi son los valores correspondientes a la recta, esto es, obtenidos a partir de su
ecuación:
Yi = a + b·xi
Después de una serie de operaciones matemáticas finalmente se obtiene que los
valores de a y b satisfacen las fórmulas:
a
b
 ( y )  ( x )   ( x ) ( x y )
N  ( x )  x 
i
2
i
i
i
i
2
2
i
i
N  ( xi yi )   ( xi ) ( yi )
N  ( xi2 )  xi 
2
ERRORES DE LOS PARAMETROS a y b
La realización de este cálculo conlleva a la existencia de un error en a y un error
en b calculados a partir de las fórmulas:
Eacc(a) = tp(f) s(a)
Eacc(b)= tp (f) s(b)
donde, en este caso, f = N - 2 y s(a) y s(b) se obtienen:
s
2
 ( x ) ( y  Y )
(a) 
( N  2)N  ( x )  x  
2
i
2
i
i
2
2
i
i
 y  Y 
(b) 
( N  2)N  ( x )  x  
2
s
2
i
i
2
i
2
i
Siempre que sea posible debe conseguirse que la relación entre dos magnitudes
representadas sea una línea recta. Para ello hay que elegir adecuadamente las variables
que se van a representar en cada uno de los ejes de coordenadas. Para comprobar que
realmente existe una relación lineal entre las variables se calcula el coeficiente de
correlación (r) que da cuenta de como se aproximan los puntos experimentales a la recta
obtenida. Se calcula mediante la expresión:
6
r
 ( x y )  1 N  ( x ) ( y )
 ( x ) 1 N  x   ( y ) 1 N  y  
i
i
i
2
2
i
i
2
i
i
2
i
r es un número que varía entre los valores de -1 y + 1.
Si r = +1 ó r = -1 significa que los puntos se ajustan perfectamente a una recta.
Si r = 0, la relación entre las magnitudes representadas no es de tipo lineal. Los
puntos no se ajustan a ninguna recta, en este caso puede ocurrir que no exista ninguna
función que relacione las magnitudes, o que sea cualquier otro tipo de relación diferente
a la lineal como una exponencial, potencial, logarítmica, etc... En estos casos hay que
procurar, si se puede, mediante un cambio de variable o cualquier artificio matemático
conseguir transfonnar la expresión en una ecuación lineal.
Estudiaremos el siguiente ejemplo:
Variación de una resistencia en función de la temperatura
La resistencia que un conductor metálico presenta al paso de la corriente
eléctrica varía con la temperatura en la forma:
R = Ro (1 + ·T) donde Ro es la resistencia a 0°C,  es el coeficiente de
variación de la resistencia con la temperatura, característico de cada tipo de material y T
la temperatura.
Para calcular R0 y a se miden con un óhmetro la resistencia del material a
distintas temperaturas. Los datos obtenidos se reflejan en la tabla siguiente:
T(ºC)
30
40
60
75
95
R()
2.245
2.330
2.482
2.597
2.765
Eliminando el paréntesis en la ecuación anterior se ve más fácilmente que existe
una relación lineal entre R y T. Comparándola con la ecuación general de una recta:
R = R0 + R0..T
y = a + b.x
Utilizando la temperatura T (variable independiente) como abcisa y la
resistencia R (variable dependiente) como ordenada podemos obtener los parámetros a y
7
b mediante un ajuste por mínimos cuadrados, según la expresiones dadas en el
apartado anterior y a partir de ellas calcular las constantes R0 y  buscadas.
Identificando el resto de los términos de la ecuación:
Si
T= x y
R=y
R0 = a
R0. = b, despejando  = b/R0 = b/a
Experimentalmente, para nuestros datos se obtiene:
a = 2.0086
b= 7.92.10-3
r = 0.99979
es decir:
R0 = 2.0086 
 = b/a = 3.9410-3 °C-1
8
TABLA 1
Valores del parámetro t de Student en función de la probabilidad y del grado de libertad.
tp (f)
f
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
40
80
120
∞
p
0,50
1,0000
0,8165
0,7649
0,7407
0,7267
0,7176
0,7111
0,7064
0,7027
0,6998
0,6974
0,6955
0,6938
0,6924
0,6912
0,6901
0,6892
0,6884
0,6876
0,6870
0,6864
0,6858
0,6853
0,6848
0,6844
0,6840
0,6837
0,6834
0,6830
0,6828
0,6807
0,6776
0,6765
0, 6745
0,25
0,10
2,4142
1,6036
1,4226
1,3444
1,3009
1,2733
1,2543
1,2403
1,2297
1,2213
1,2145
1,2089
1,2041
1,2001
1,1967
1,1937
1,1910
1,1887
1,1866
1,1848
1,1831
1,1816
1,1802
1,1789
1,1777
1,1766
1,1757
1,1748
1,1739
1,1731
1,1673
1,1616
1,1559
1,1503
6,3137
2,9200
2,3534
2,1318
2,0150
1,9432
1,8946
1,8595
1,8331
1,8125
1,7959
1,7823
1,7709
1,7613
1,7531
1,7459
1,7396
1,7341
1,7291
1,7247
1,7207
1,7171
1,7139
1,7109
1,7081
1,7056
1,7033
1,7011
1,6991
1,6973
1,6839
1,6641
1,6576
1,6449
0,05
12,7062
4,3027
3,1824
2,7765
2,5706
2,4469
2,3646
2,3060
2,2622
2,2281
2,2010
2,1788
2,1604
2,1448
2,1315
2,1199
2,1098
2,1009
2,0930
2,0860
2,0796
2,0739
2,0687
2,0639
2,0595
2,0555
2,0518
2,0484
2,0452
2,0423
2,0211
1,9901
1,9799
1,9600
9
0,03
25,452
6,2053
4,1765
3,4954
3,1634
2,9697
2,8412
2,7515
2,6850
2,6338
2,5931
2,5600
2,5326
2,5096
2,4899
2,4729
2,4581
2,4450
2,4334
2,4231
2,4138
2,4055
2,3979
2,3910
2,3846
2,3766
2,3734
2,3685
2,3638
2,3596
2,3289
2,2991
2,2699
2,2414
0,01
0,005
63,6559
9,9250
5,8408
4,6041
4,0321
3,7074
3,4995
3,3554
3,2498
3,1693
3,1058
3,0545
3,0123
2,9768
2,9467
2,9208
2,8982
2,8784
2,8609
2,8453
2,8314
2,8188
2,8073
2,7970
2,7874
2,7787
2,7707
2,7633
2,7564
2,7500
2,7045
2,6387
2,6174
2,5758
127,3213
14,0890
7,4533
5,5976
4,7733
4,3168
4,0293
3,8325
3,6897
3,5814
3,4966
3,4284
3,3725
3,3257
3,2860
3,2520
3,2224
3,1966
3,1737
3,1534
3,1352
3,1188
3,1040
3,0905
3,0782
3,0669
3,0565
3,0469
3,0380
3,0298
2,9712
2,8870
2,8599
2,8070
10