6 Proporcionalidad - COLEGIO SAN VICENTE DE PAÚL GIJÓN

6 Proporcionalidad
ACTIVIDADES INICIALES
6.I.
Comprueba que la cuota para la hipoteca de Andrés está bien calculada. Usa la calculadora y
ten cuidado con los paréntesis.
Con la calculadora se obtiene una cuota mensual de 758,8872607, la aproximación es
razonablemente buena. Multiplicando 759 · 30 · 12 se obtiene el dinero que Andrés pagaría al banco,
273 240 euros.
6.II.
Andrés decide que va a pedir al banco un préstamo al doble de tiempo, es decir, a 60 años (ya
lo pagarán sus nietos). Piensa que al doblarse el tiempo, la cuota mensual debería ser la mitad.
¿Está en lo cierto?
La proporcionalidad inversa que aplica Andrés no es correcta. La cuota se reduce, sí, pero se queda
en unos 539 euros. Al finalizar la deuda, habrá pagado más de 388 000 euros, más del doble de lo
que pidió.
6.III.
Su prima Paula, al ver las cuentas de Andrés, se echa a reír. “Tú eres como aquel que decía
que si Colón hubiera llevado el doble de barcos, habría tardado la mitad de tiempo. ¡Que las
reglas de tres no valen para todo!”. Busca cinco ejemplos en los que no haya relación de
proporcionalidad, ni directa ni inversa, y otros cinco en los que sí.
Respuesta abierta. Por ejemplo, no son proporcionales el peso y la estatura, la edad y el sueldo, etc.
En cambio, son directamente proporcionales los kg de fruta y el precio que pagamos, o inversamente
proporcionales la velocidad de un coche y el tiempo que tarda en recorrer una distancia.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
6.1.
El volumen de líquido que contiene un recipiente cilíndrico es directamente proporcional a la
altura del líquido. Copia y completa la tabla.
Altura (cm)
3
Volumen (dm )
5
0,8
3
0,48
7
1,12
La razón de proporcionalidad es
5
= 6,25 .
0,8
6.2.
Actividad interactiva.
6.3.
Antonio reparte 180 € de forma directamente proporcional al número de tardes que le ayudaron
sus tres hijos. Juan se llevó 45 € por 3 tardes.
¿Cuánto se llevó Pedro, que ayudó 5 tardes? ¿Cuántas tardes ayudó Alicia?
Llamando x al dinero que se llevó Pedro:
45 x
= ⇒ x = 75 euros. Así pues, Alicia se llevó 180 – 45 – 75 = 60 euros.
3
5
Llamando y a las tardes que trabajó Alicia:
18
6.4.
Actividad interactiva.
6.5.
Actividad resuelta.
Unidad 6 | Proporcionalidad
45 60
=
⇒ y = 4 tardes.
3
y
6.6.
6.7.
Calcula mentalmente:
a)
2 % de 135
c)
1,5 % de 18 000 000
b)
200 % de 130
d)
0,3 % de 800
a)
2 % de 135 = 2,7
c)
1,5 % de 18 000 000 = 270 000
b)
200 % de 130 = 260
d)
0,3 % de 800 = 2,4
¿Qué cantidad hay que aumentar un 12,5 % para obtener 450?
Sea C la cantidad buscada: C(1 + 0,125)= 450 ⇒ C= 400 .
6.8.
En unas rebajas del 20 %, unos pantalones cuestan 40 €. ¿Cuál era el precio original?
Sea C el precio original, entonces: C(1 − 0,20) = 40 ⇒ C = 50 euros.
6.9.
Una cantidad se aumenta en un 3 % y el resultado se reduce en un 4 %. Si la cantidad final es
4948,64, ¿cuál era la cantidad inicial?
Sea C la cantidad inicial: C(1 + 0,03)(1 − 0,04)
= 4948,64 ⇒ C ≈ 5004,69 .
6.10. Actividad interactiva.
6.11. Actividad interactiva.
6.12. Actividad resuelta.
6.13. Un capital de 30 000 € produce, a interés simple, 2000 € en cierto tiempo. ¿Qué interés
producirá en ese mismo tiempo un capital de 40 000 €?
Hay que calcular el rédito r en la fórmula del interés simple:
=
i
C ⋅r ⋅t
30 000 ⋅ r ⋅ t
20
⇒ 2 000
=
⇒
=
r
100
100
3t
En ese mismo tiempo t, el capital de 40 000 euros producirá:
C ⋅r ⋅t
=
i =
100
20
40 000 ⋅
⋅t
3t
=
2666,67 euros.
100
6.14. Calcula el capital que hay que colocar en el banco para obtener 1000 € de interés al 4 % en 15
meses.
Hay que calcular C en la fórmula del interés simple para meses:
=
i
C ⋅r ⋅t
C ⋅ 4 ⋅ 15
⇒ 1 000
=
⇒=
C 20 000 euros.
100
100 ⋅ 12
6.15. ¿A qué rédito hay que colocar un capital para que en 135 días produzca un interés igual a
1
50
de este?
Hay que calcular r en la fórmula del interés simple para días:
=
i
C ⋅r ⋅t
C C ⋅ r ⋅ 135
⇒=
⇒
=
r 5,33 % .
100
50 100 ⋅ 360
Proporcionalidad | Unidad 6
19
6.16. ¿Qué tiempo deberá mantenerse un capital para que, a interés simple, produzca al 5 % un
interés igual al capital?
Hay que calcular t en la fórmula del interés simple:
=
i
C ⋅r ⋅t
C ⋅5⋅t
⇒
=
C
=
⇒ t 20 años.
100
100
6.17. Actividad resuelta.
6.18. En la fórmula del interés compuesto, despeja el capital inicial y el tipo de interés compuesto.
Partiendo de la fórmula inicial del interés compuesto, Cf = C ⋅ (1 + r )t , despejamos C y t.
C=
Cf
(1 + r )t
=
r
t
Cf
−1
C
6.19. Cuando nació Inés, sus padres depositaron 12 000 € a su nombre al 10 % de interés
compuesto. ¿Cuánto dinero tendrá Inés a los 16 años?
16
10 

Cf = C ⋅ (1 + r )t ⇒ Cf = 12 000 ⋅  1 +

 100 
=
Cf 55139,67 ≈ 55140 euros
6.20. Halla en cuánto se convertirán 10 000 € a un interés compuesto del 4 % durante 3 años si:
a)
Los intereses se pagan anualmente.
b)
Los intereses se pagan trimestralmente.
c)
Los intereses se pagan mensualmente.
d)
Los intereses se pagan diariamente.
Los datos del problema son: C = 10 000, R = 4,
=
r
4
= 0,04 , t = 3 años.
100
a)
Anualmente Cf = C (1 + r )t = 10 000(1 + 0,04)3 = 11 248,64 euros
b)
0,04 

Trimestralmente Cf = 10 000  1 +

4 

c)
0,04 

Mensualmente Cf = 10 000  1 +

12 

d)
0,04 

Diariamente Cf =10 000  1 +

360 

3⋅ 4
= 11 268,25 euros
3⋅12
= 11 272,72 euros
3⋅360
=11 274,89 euros
6.21. ¿Qué capital, colocado al 4,25 % anual de interés compuesto con capitalización anual, se
convertirá en 6418,39 € en 6 años?
Hay que calcular C en la fórmula del interés compuesto:
Cf = C (1 + r )t ⇒ 6418,39 = C (1 + 0,0425)6 ⇒ C = 5000 euros
6.22. (TIC) Un capital de 5000 € al 4 % anual de interés compuesto se convierte en 6000 € al cabo de
un tiempo. Usa la calculadora y halla este tiempo de forma aproximada.
Hay que calcular t en la fórmula del interés compuesto:
Cf = C (1 + r )t ⇒ 6000 = 5000(1 + 0,04)t ⇒ 1,04t = 1,2 . Con la calculadora, vamos elevando 1,04 a
potencias diferentes hasta encontrar un valor muy próximo a 1,2.
En este caso, 1,044,65 = 1,2000657 es una buena aproximación. Así pues, se necesitan 4,65 años.
20
Unidad 6 | Proporcionalidad
6.23. Actividad interactiva.
6.24. Actividad interactiva.
6.25. Actividad resuelta.
6.26. Actividad resuelta.
6.27. Completa la tabla sabiendo que las magnitudes x e y son inversamente proporcionales:
x
y
5
2,7
3
4,5
27
0,5
0,1
135
La constante de proporcionalidad inversa es 5 ⋅ 2,7 =
13,5 .
2
6.28. Dos rectángulos tienen un área de 60 m .
a)
Estudia si las longitudes de sus bases y alturas son magnitudes inversamente
proporcionales.
b)
Elabora a continuación una tabla en la que aparezcan todas las posibles longitudes
enteras en metros de dichos rectángulos.
a)
Sí, son inversamente proporcionales, ya que el producto de la altura por la base es siempre 60.
b)
Altura (m) 1
Base (m) 60
2
30
3
20
4
15
5
12
6
10
10
6
12
5
15
4
20
3
30
2
60
1
6.29. Para que dos magnitudes sean inversamente proporcionales, ¿basta con que al aumentar una
disminuya la otra?
Por ejemplo: ¿son inversamente proporcionales el importe de la compra en un supermercado
y la vuelta obtenida al pagar con 100 €?
La respuesta es no.
Importe compra (€) 5
Vuelta (€)
95
20
80
No son inversamente proporcionales, ya que el producto de 5 por 95 no es igual al de 20 por 80.
6.30. Antonio reparte 120 € entre sus dos hijos de forma inversamente proporcional al número de
errores gramaticales en un trabajo. Si Alicia, que tuvo 5 errores, obtuvo 70 €, ¿cuántos errores
tuvo Pedro?
Sabemos, por tanto, que Pedro recibió 50 euros. Llamando x a los errores que cometió Pedro, debe
cumplirse que 70 · 5 = 50 · x, de donde se deduce que Pedro cometió 7 errores.
6.31. Si dos magnitudes m y n son inversamente proporcionales, ¿son también inversamente
proporcionales las magnitudes siguientes?
a)
2m y 2n
b)
m+5yn+5
c)
m
n
y
3
3
Al ser m y n inversamente proporcionales se cumple que su producto es constante, esto es, m · n = k.
Veamos ahora si las magnitudes que debemos estudiar son también inversamente proporcionales.
Para ello, calculemos sus productos:
a)
2m ⋅ 2n= 4mn= 4k , sí son inversamente proporcionales.
b)
(m + 5)(n + 5) =mn + 5m + 5n + 25 =k + 5m + 5n + 25 , no son inversamente proporcionales.
c)
m n mn k
, sí son inversamente proporcionales.
⋅ =
=
3 3
9
9
Proporcionalidad | Unidad 6
21
6.32. Queremos repartir una cantidad inversamente proporcional a los números 1, 3 y 4. Pon varios
ejemplos de esa cantidad con la condición de que las respuestas sean números enteros.
La cantidad buscada debe ser divisible entre
1 1 1 19
+ + = , es decir, ha de ser múltiplo de 19.
1 3 4 12
La menor cantidad posible es, por tanto, 19. Y el reparto será 12, 4 y 3 respectivamente.
Cualquier otro múltiplo de 19 también sería solución, como por ejemplo, 190, y el reparto arrojaría
120, 40 y 30, respectivamente.
6.33. Actividad interactiva.
6.34.
Actividad interactiva.
6.35. Actividad resuelta.
6.36. Si 5 gatos cazan 5 ratones en 5 minutos, ¿cuántos gatos harán falta para cazar 100 ratones en
100 minutos?
directa
inversa
Ratones
5
100
100
Minutos
5
5
100
Gatos
5
5 · 20 = 100
100 : 20 = 5
Hacen falta 5 gatos.
6.37. Con 34 kg de lana tejemos una pieza de 0,60 m de ancho y 25 de largo. Si queremos tejer una
pieza de 0,80 m de ancho y disponemos de 100,8 kg de lana, ¿qué longitud tendrá la pieza?
directa
inversa
Peso (kg)
34
34
1
1
100,8
l=
Ancho (m)
0,60
1
1
0,80
0,80
Largo (m)
25
25 · 0,60 = 15
15 : 34
0,44 : 0,80
0,55 · 100,8
25 ⋅ 60 ⋅ 100,8
 55,59 m . Tendrá un largo de 55,59 metros.
34 ⋅ 0,8
6.38. El transporte de 1700 kg de mercancía a 165 km ha costado 1200 €. ¿Cuánto costaría
transportar 3400 kg de mercancía a 55 km?
directa
directa
Peso (kg)
1700
3400
3400
Costará 800 euros.
22
Unidad 6 | Proporcionalidad
Distancia (km)
165
165
55
Precio (€)
1200
1200 · 2 = 2400
2400 : 3 = 800
6.39. Si 25 obreros han hecho una obra en 45 días con jornadas de 8 horas, ¿cuántos obreros se
habrían necesitado para hacer esa misma obra en 40 días con jornadas de 9 horas?
inversa
inversa
Días
45
45
1
1
40
Horas diarias
8
1
1
9
9
Obreros
25
25 · 8 = 200
200 · 45 = 9000
9000 : 9 = 1000
1000 : 40 = 25
Se necesitarían 25 obreros.
EJERCICIOS
Magnitudes directamente proporcionales. Repartos
6.40. Explica cuáles de las siguientes parejas de magnitudes son directamente proporcionales.
a)
El número de lados de un polígono regular de 15 centímetros de lado y su perímetro.
b)
El número de prendas de ropa compradas en una tienda y el precio total de la compra.
c)
La longitud de una palabra y el número de vocales que tiene.
d)
El radio de una circunferencia y su longitud.
e)
La edad de una persona y su peso.
f)
El número de horas trabajadas durante un mes y el sueldo cobrado al final del mismo.
1
1
y
las
2π
15
constantes de proporcionalidad respectivas, porque es el único caso en el que al multiplicar (o dividir)
una de ellas por una cantidad, la otra también queda multiplicada (o dividida) por la misma cantidad.
Son directamente proporcionales las magnitudes de los apartados a y d, siendo
6.41. Copia y completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes directamente
proporcionales y calcula su razón de proporcionalidad.
a)
b)
c)
A
1
3
4
6
B
16
48
64
96
C
27
54
81
216
D
1
2
3
8
E
1936
9196
10
704
F
88
418
10
22
32
Proporcionalidad | Unidad 6
23
6.42. Reparte 22 000 de forma directamente proporcional a los siguientes números.
a)
4y6
c)
2, 3 y 4
b)
12 y 18
d)
5, 10 y 20
a)
x y 22 000
=
=
= 2200 ⇒ x = 8800; y = 13 200
4 6
10
b)
x
y
22 000
=
=
⇒ x = 8800; y = 13 200
12 18
30
c)
x y z 22 000
=
= =
⇒ x = 4888,89; y = 7333,33; z = 9777,78
2 3 4
9
d)
x
y
z
22 000
=
=
=
⇒ x = 3142,86; y = 6285,71; z = 12 571,43
5 10 20
35
6.43. Reparte 60 000 de forma directamente proporcional a los siguientes números.
a)
10, 12 y 8
c)
2, 6 y 7
b)
3, 5 y 12
d)
5, 4 y 3
a)
x
y
z 60 000
=
= =
⇒ x = 20 000; y = 24 000; z = 16 000
10 12 8
30
b)
x y
z
60 000
=
=
=
⇒ x = 9000; y = 15 000; z = 36 000
3 5 12
20
c)
x y z 60 000
=
= =
⇒ x = 8000; y = 24 000; z = 28 000
2 6 7
15
d)
x y z 60 000
=
= =
⇒ x = 25 000; y = 20 000; z = 15 000
5 4 3
12
6.44. Tres amigos han compuesto las 12 canciones de un CD. Uno de ellos es el autor de 2
canciones; otro, de 4, y el tercero, de las restantes. Por cada CD vendido obtendrán un
beneficio de 6 euros.
¿Qué cantidad ganará cada uno si reparten el beneficio de forma directamente proporcional al
número de canciones que han compuesto?
x y z
6
=
= =
⇒ x = 1 €; y = 2 €; z = 3 €
2 4 6 12
Recibirán 1, 2 y 3 euros, respectivamente.
6.45. Los abuelos maternos de Ada quieren repartir 180 euros entre ella y su hermano de forma
proporcional a sus edades, 8 y 12 años.
Por otra parte, sus abuelos paternos distribuirán 216 euros entre sus tres nietos también de
forma proporcional a sus edades, 4, 8 y 12 años. Si Ada es la nieta de 12 años, ¿con qué
reparto obtendrá más dinero? ¿Y su hermano, que es el nieto de 8 años?
x
y
180
=
=
⇒ x = 72 € al de 8 años. y = 108 € al de 12 años.
8 12
20
x y
z
216
=
=
=
⇒ x = 36 € al de 4 años. y = 72 € al de 8 años. z = 108 € al de 12 años.
4 8 12
24
En los dos casos, Ada y su hermano reciben la misma cantidad.
24
Unidad 6 | Proporcionalidad
Porcentajes
6.46. Expresa en tantos por ciento los siguientes casos.
a)
Dos de cada cinco personas dejaron de fumar en los seis primeros meses de 2012.
b)
Ocho de cada nueve encuestados duermen menos de ocho horas diarias.
c)
Uno de cada doce residentes españoles colabora con una ONG.
2
40
a) =
⇒ El 40 %
5 100
8 88,89
b)=
⇒ El 88,89 %
9
100
1 8,33
c) =
⇒ El 8,33 %
12 100
6.47. Calcula los siguientes porcentajes.
a)
18 % de 30
c)
35 % de 90
b)
7 % de 12
d)
86 % de 210
a)
0,18 ⋅ 30 =
5,4
c)
0,35 ⋅ 90 =
31,5
b)
0,07 ⋅ 12 =
0,84
d)
0,86 ⋅ 210 =
180,6
6.48. Realiza los siguientes cálculos.
a)
El tanto por ciento que hay que aplicar a 84 para que se incremente en 16,8 unidades.
b)
La cantidad cuyo 95 % es 513.
a)
x
16,8 ⋅ 100
⇒ x = 20 ⇒ Hay que aplicar un 20 %.
84 = 16,8 ⇒ x =
100
84
b)
95
513 ⋅ 100
x= 513 ⇒ x=
⇒ x= 540
100
95
6.49. Halla, en cada caso, el valor de la variable x.
a)
El 24 % de x es 348.
b)
El x % de 250 es 40.
a)
24
348 ⋅ 100
x= 348 ⇒ x=
⇒ x= 1450
100
24
b)
x
40 ⋅ 100
250 = 40 ⇒ x =
⇒ x = 16
100
250
c)
95
95 ⋅ 3200
3200 = x ⇒ x =
⇒ x = 3040
100
100
c)
El 95 % de 3200 es x.
6.50. Calcula el descuento que se ha aplicado a un artículo de liquidación que costaba 2850 euros si
en la primera oferta se rebajó un 30 %, y en la segunda, un 20 % sobre el precio ya rebajado.
Explica razonadamente si el descuento total fue o no del 50 %.
0,80 · 0,70 · 2850 = 1596 € fue el precio final.
El descuento fue 2850 – 1596 = 1254 €, un 44 % del precio.
Si la rebaja hubiera sido del 50 %, se habría descontado la mitad. Por tanto, no ha sido ese el
descuento total.
Proporcionalidad | Unidad 6
25
6.51. Se hallan, consecutivamente, el 28 % y el 43 % de una determinada cantidad. ¿Qué único
porcentaje se podría aplicar a dicha cantidad para obtener el mismo resultado?
0,43 ⋅ 0,28=
⋅ x 0,1204 ⋅ x
Se podría haber aplicado como único porcentaje el 12,04 %.
6.52. El presupuesto de una cocina es de 7200 euros. En la factura hay que añadir el 18 % de IVA.
Del importe final, los clientes deben pagar un 40 % antes de empezar a fabricarla, y el resto,
una vez terminada. ¿Qué cantidad han de pagar al finalizar el trabajo?
7200 · 1,18 = 8496 € será el precio de la factura.
Como hay que pagar el 40 % antes de empezar el trabajo, al terminar se pagará el 60 %.
0,6 · 8496 = 5097,6 € habrá que pagar entonces.
Interés simple y compuesto
6.53. Calcula el capital acumulado por un depósito de 1200 euros a un interés simple del 3,2 %
después de 5 y 10 años. ¿La cantidad acumulada entre los 5 y los 10 años es el doble que la
correspondiente a los 5 primeros?
C = 1200 · (1 + 5 · 0,032) = 1392 €
C = 1200 · (1 + 10 · 0,032) = 1584 €
1584 – 1392 = 192 € entre los años 5 y 10
1392 – 1200 = 192 € en los 5 primeros años
Por tanto, la cantidad acumulada entre los años 5 y 10 es la misma que acumula entre los 5 primeros
años, no es el doble.
6.54. Halla en qué cantidad se incrementarían 3000 euros depositados en una cuenta corriente
durante 4 años a un interés simple anual y a un interés compuesto anual del 6 %. Compara los
resultados obtenidos y coméntalos.
Interés simple: i = 3000 · 4 · 0,06 = 720 €
Interés compuesto: C = 3000 (1 + 0,06) = 3787,43 ⇒ i = 3787,43 – 3000 = 787,43 €
4
El interés acumulado en el caso compuesto es de 57,43 € más que en el simple.
6.55. Calcula el interés simple al que se han depositado 1800 euros en un banco durante un año si el
capital final ha sido de 1872 euros.
r 

 1872 
1872= 1800  1 + 1⋅
− 1 ⇒ r= 4 %
 ⇒ r= 100 ⋅ 
100 

 1800 
Se depositó a un interés simple del 4 %.
6.56. Estudia, de entre las siguientes, cuál es la opción más rentable al ingresar 600 euros en una
cuenta durante 2 años a un interés simple.
a)
Mensual del 0,6 %
c)
Semestral del 1,7 %
b)
Trimestral del 1,2 %
d)
Anual del 2,5 %
a)
C = 600 · (1 + 24 · 0,006) = 686,40 €
c)
C = 600 · (1 + 4 · 0,017) = 640,80 €
b)
C = 600 · (1 + 8 · 0,012) = 657,60 €
d)
C = 600 · (1 + 2 · 0,025) = 630 €
La opción más rentable es la primera.
26
Unidad 6 | Proporcionalidad
6.57. *(TIC) Después de 450 días a un interés compuesto del 6,2 % anual, la cantidad que figura en
una cartilla de ahorros es de 2698,57 euros.
a)
¿Cuál ha sido el capital inicial?
b)
¿Qué interés habría producido durante el mismo tiempo un capital final de 3000 euros?
c) Si se quisiera duplicar los 2698,57 euros en la mitad de tiempo a partir de ahora, ¿qué
interés debería ofrecer el banco?
450 días = 1,25 años.
a)
2698,57 = C0 ⋅ (1 + 0,062 )
1,25
2698,57
 2503,1 €
(1,062)1,25
⇒ C0 =
4
1,25


i 
3000
 3000 

5

 15,59 %
i
100
1
⇒ 1 +
=
=
⇒
=
−



  2496,36 

2496,36
 100 


5
La mitad de tiempo son 225 días, que son
de año.
8
1,25
b)
c)
i 

3000
= 2496,36 ⋅  1 +

 100 
8


i 8
 5397,14 

5

 100
= 2698,571 +  1 +
=
⇒
i
=
−
5397,14
100
1



  2698,571 

 100 


5
(
5
)
28 − =
1 ⇒ i 203,14 %
6.58. (TIC) Supón que una determinada cantidad se deposita en un banco al mismo interés
compuesto durante un año. ¿Qué resultará más beneficioso, un interés diario, mensual,
trimestral, semestral o anual?
12
r 

Mensual:
=
C C0  1 +

 1200 
r 

Trimestral:
=
C C0  1 +

400 

r 

Semestral:
=
C C0  1 +

200 

4
1
r 

Anual:
C C0  1 +
=

 100 
Comparando las bases mensuales y trimestrales:
12
1
1
1 

<
⇒ 1 +

1200 400
1200


r
r
<
⇒ Dividiendo entre r, que es positivo:
1200 400
4
1 

> 1 +
 ⇒ 1,010045 > 1,010037. Por tanto, es mejor mensual.
400


Comparando las bases mensuales y semestrales:
4
2
r
r
<
⇒ Dividiendo entre r, que es positivo:
400 200
2
1
1
1 
1 


<
⇒ 1 +
 > 1 +
 ⇒ 1,010037 > 1,010025.
400 200
400 
200 


Por tanto, la opción más beneficiosa es la mensual.
Magnitudes inversamente proporcionales
Repartos
6.59. Escribe
dos ejemplos de dos
razonadamente por qué lo son.
magnitudes
inversamente
proporcionales
y
explica
La velocidad y el tiempo que tarda un coche en recorrer un espacio determinado, porque el producto
v · t = e (constante).
El número de camiones utilizados en transportar una determinada mercancía y el número de viajes
que han de dar para ello, porque n · v = c (cantidad total de mercancía).
Proporcionalidad | Unidad 6
27
6.60. Estudia si las magnitudes de las siguientes tablas son o no inversamente proporcionales.
a)
b)
1
450
A
B
2
225
3
150
4
100
C
D
120
2
60
4
a)
1⋅ 450 =⋅
2 225 =⋅
3 150 ≠ 4 ⋅ 100 . No son inversamente proporcionales.
b)
120 ⋅ 2 = 60 ⋅ 4 = 30 ⋅ 8 = 15 ⋅ 16 . Son inversamente proporcionales.
30
8
15
16
6.61. Copia y completa las tablas siguientes sabiendo que son magnitudes inversamente
proporcionales y calcula su constante de proporcionalidad.
a)
b)
C
1
1
2
3
A
5
2
6
7
84
42
14
12
B
a)
330
k = 330
165
110
D
66
b)
k = 84
6.62. Distribuye 8500 de forma inversamente proporcional a los siguientes números.
a)
1y2
b) 3 y 6
c) 1, 4 y 8
d) 2, 4 y 6
1
3
a) k + k = 8500 ⇒ k = 8500
2
2
1
=
k 5666,67 ⇒ ⋅ 5666,67
= 2833,33
2
1
1
3
b)
k + k = 8500 ⇒ k = 8500
3
6
6
1
1
k = 17 000 ⇒ ⋅ 17 000 = 5666,67;
⋅ 17 000 = 2833,33
3
6
1
1
11
c) k + k + k = 8500 ⇒ k = 8500
4
8
8
1
1
k = 6181,82 ⇒ ⋅ 6181,82 = 1545,46;
⋅ 6181,82 = 772,73
4
8
1
1
1
11
d)
k + k + k = 8500 ⇒
k = 8500
2
4
6
12
1
1
1
k = 9272,73 ⇒ ⋅ 9272,73 = 4636,37;
⋅ 9272,73 = 2318,18;
⋅ 9272,73 = 1545,46
2
4
6
6.63. Reparte 12 000 de forma inversamente proporcional a los siguientes números.
a)
a)
b)
c)
d)
28
2y6
b) 4 y 5
c) 2, 3 y 4
d) 2, 4 y 8
1
1
2
k +=
k 12 000 ⇒ =
k 12 000 ⇒
=
k 18 000
2
6
3
1
1
⋅ 18 000= 9000;
⋅ 18 000= 3000
2
6
1
1
9
k +=
k 12 000 ⇒ =
k 12 000 ⇒
=
k 26 666,67
4
5
20
1
1
⋅ 26 666,67 = 6666,67;
⋅ 26 666,67 = 5333,33
4
6
1
1
1
13
k + k +=
k 12 000 ⇒ =
k 12 000 ⇒
=
k 11 076,92
2
3
4
12
1
1
1
⋅ 11 076,92= 5538,46;
⋅ 11 076,92= 3692,31;
⋅ 11 076,92= 2769,23
2
3
4
1
1
1
7
k + k +=
k 12 000 ⇒ =
k 12 000 ⇒
=
k 13 714,29
2
4
8
8
1
1
1
⋅ 13 714,29 = 6857,15;
⋅ 13 714,29 = 3428,58;
⋅ 13 714,29 = 1714,29
2
4
8
Unidad 6 | Proporcionalidad
6.64. En un concurso de pintura rápida se va a repartir la cantidad de 6000 euros entre los tres
primeros clasificados de manera inversamente proporcional a su lugar en la clasificación.
Calcula la cantidad que recibirá cada uno.
1
1
11
k+ k + =
k 6000 ⇒ =
k 6000 ⇒ =
k 3272,73
2
3
6
El primer clasificado se lleva 3272,73 €.
1
1636,37 €
El segundo: ⋅ 3272,73 =
2
1
El tercero: ⋅ 3272,73 =
1090,91 €
3
6.65. Dadas dos magnitudes, al aumentar los valores de una de ellas, los correspondientes de la
otra disminuyen. ¿Puede afirmarse que ambas magnitudes son inversamente proporcionales?
Razona tu respuesta y pon un ejemplo que la confirme.
No, si no lo hacen de forma que al multiplicarse una de ellas por un número, la otra se divida por el
mismo número.
Por ejemplo, el tiempo empleado en recorrer una distancia y la velocidad si esta no es constante.
6.66. En una carrera popular participan 20 trabajadores de una misma compañía. La dirección de la
empresa ha ofrecido un premio especial de 600 euros para repartir entre los cuatro primeros
empleados que crucen la línea de meta. El premio lo repartirán de manera inversamente
proporcional al orden de llegada.
¿Cuánto dinero obtendrá cada uno de ellos?
k+
1
1
1
25
k + k + k = 600 ⇒
k = 600 ⇒ k = 288
2
3
4
12
1
⋅ 288 =
96 €
3
1
El cuarto: ⋅ 288 =
72 €
4
El primer clasificado se lleva 288 €.
El segundo:
El tercero:
1
144 €
⋅ 288 =
2
Proporcionalidad compuesta
6.67. En un viaje de 7 días, 4 amigos han gastado en comer 420 €. ¿Cuánto gastarían 6 amigos en un
viaje de 5 días en las mismas condiciones?
directa
directa
Días
7
1
1
5
5
Amigos
4
4
1
1
6
Precio (€)
420
420 : 7 = 60
60 : 4 = 15
15 · 5 = 75
75 · 6 = 450
Gastarán 450 euros.
Proporcionalidad | Unidad 6
29
6.68. Una fuente que proporciona 150 L de agua por minuto tarda 6 horas y 40 minutos en llenar un
depósito. Para llenar otro depósito de igual base, otra fuente que proporciona 120 L de agua
por minuto tarda la mitad de tiempo que la anterior. ¿Cuál es la altura de este otro depósito en
comparación con la del primero?
directa
inversa
Volumen
Caudal (l)
Tiempo (min )
V
V
V
150
1
120
400
400 · 150 = 60 000
60000 : 120 = 500
V
500
V
2
200 ⋅
=
V
500 5
120
500: 500 = 1
120
1 · 200 = 200
V : 500 =
Así pues la altura del segundo depósito debe ser los
volumen pasa de ser V a ser
2
de la altura del primer depósito, ya que el
5
2
de V y, como la base se mantiene constante, la altura es la que debe
5
variar.
6.69. María alimentaba a sus 5 perritos con 3 cajas de 2 L de leche durante 4 días. Ahora tiene 6
perritos y quiere comprar cajas de 3 L para poder alimentarlos durante 5 días. ¿Cuántas cajas
debe comprar?
directa
inversa
directa
Perritos
5
5
5
1
6
6
6
Capacidad (l)
2
1
1
1
1
1
3
Tiempo (días)
4
4
1
1
1
5
5
Cajas
3
3·2=6
6 : 4 = 1,5
1,5 : 5 = 0,3
0,3 · 6 = 1,8
1,8 · 5 = 9
9:3=3
Hay que comprar 3 cajas.
PROBLEMAS
6.70. Alicia ha estado enferma y ha necesitado cuidados durante 5 meses. Ha decidido repartir 4000
euros que tenía ahorrados entre las tres personas que la atendieron durante su convalecencia
de forma directamente proporcional al tiempo que estuvieron con ella.
La primera persona la acompañó durante un mes y medio; la segunda, durante dos meses y
medio, y la tercera, el resto del tiempo.
¿Cuánto le dará a cada uno de ellos?
x
y
z 4000
=
= =
⇒ x = 1200 €; y = 2000 €; z = 800 €
1,5 2,5 1
5
30
Unidad 6 | Proporcionalidad
6.71. En un videoclub han alquilado 260 películas durante julio. De ellas, 108 fueron en Blu-Ray. En
agosto se alquilaron 72 Blu-Ray de un total de 208 películas.
¿En qué mes fue mayor el porcentaje de películas en alta definición alquiladas?
108
= 41,54 % películas en Blu-Ray en julio
260
72
= 66,67 % películas en Blu-Ray en agosto
108
Durante agosto, el porcentaje de películas alquiladas en alta definición fue mayor.
6.72. Al solicitar un préstamo de 12 000 euros a 4 años para comprar un coche, Lucía ha estudiado
estas tres opciones.
a)
El banco le ofrece un interés simple anual del 3,2 %.
b)
El concesionario le presenta un interés compuesto semestral del 1,5 %.
c)
Una empresa de crédito rápido le garantiza un interés compuesto del 2,6 % anual.
¿Qué opción le será más conveniente a Lucía?
a)
C = 12 000 · (1 + 4 · 0,032) = 13 536
b)
1,5 

C= 12 000  1 +
 = 12 739,19
200 

c)
2,6 

C= 12 000  1 +
 = 13 297,52
 100 
8
4
La más conveniente es la opción b.
6.73. Una empresa ha pedido presupuesto de una mercancía a un proveedor habitual. El precio de
coste de la misma es de 2350 euros, pero el proveedor le aplicará un 20 % de margen y un 2 %
por su transporte. ¿A cuánto ascenderá el presupuesto total?
Si finalmente la empresa acepta la oferta y la paga al contado, el proveedor le hará un
descuento del 5 %. ¿Cuánto pagará finalmente la empresa por la mercancía? ¿Cuál sería el
porcentaje final de incremento sobre el precio de coste?
(0,2 + 0,02) ⋅ 2350 = 517 ⇒ 2350 + 517 = 2867 € será el presupuesto en total.
0,95 ⋅ 2867 =
2723,65 € pagará por la mercancía.
2723,65 − 2350= 373,65 ⇒
373,65 ⋅ 100
= 15,9 % de aumento fue el porcentaje final aplicado.
2350
6.74. Miranda, Juan, Gabriel y María van a viajar de Madrid a París. Conducirán todos, de modo que
el número de kilómetros que haga cada uno sea directamente proporcional al tiempo que hace
que obtuvieron el permiso de conducir.
Miranda lo consiguió hace 7 años; Juan, hace 6; Gabriel, hace 9, y María, hace solo 6 meses.
Si en total recorrerán 1200 kilómetros, ¿cuántos kilómetros conducirá cada uno?
x
y
z
t 1200
=
=
= =
⇒
84 72 108 6
270
x = 373,33 km conducirá Miranda.
y = 320 km conducirá Juan.
z = 480 km conducirá Gabriel.
t = 26,67 km conducirá María.
Proporcionalidad | Unidad 6
31
6.75. Una de las recomendaciones para ahorrar agua es no utilizar el inodoro como cubo de basura,
porque cada vez que se vacía la cisterna se consumen entre 6 y 12 litros de agua.
Javier contó el número de veces que se vació la cisterna en su casa cada día durante una
semana y obtuvo una media de 15 veces diarias, de las cuales 6 eran innecesarias.
¿Qué porcentaje de agua al día se despilfarra como media en casa de Javier?
¿A cuántos litros equivale?
=
x
6 ⋅ 100
= 40 % de agua al día se gasta innecesariamente.
15
90 L ≤ gasto diario ≤ 180 L, 36 L ≤ gasto innecesario ≤ 72 L
6.76. Al comienzo del año 2011, la población mundial era de 6000 millones de personas,
aproximadamente. Si la tasa de natalidad ese año fue del 28 ‰, y la de mortalidad, del 8,1 ‰,
¿cuál era el número de habitantes aproximadamente al comenzar enero de 2012?
6000 · 0,028 = 168 millones de personas aumentó la población.
6000 · 0,0081 = 48,6 millones de personas disminuyó la población.
En total, 6000 + 168 – 48,6 = 6119,4 ≈ 6120 millones de habitantes había al comenzar 2012.
6.77. En una carrera se ofrece un premio de 680 euros para repartir entre los tres primeros
clasificados. El comité organizador ha aprobado los siguientes criterios.
•
El primer clasificado debe recibir más dinero que el segundo, y el segundo, más que el
tercero.
•
Cuantas más horas de entrenamiento certificadas por el inspector de la carrera, mayor
premio se debe recibir.
La tabla siguiente muestra el resultado de la prueba.
Corredor
Puesto
Horas certificadas de entrenamiento
A
B
C
2.º
1.º
3.º
4
2
5
Finalmente, se decide que la cantidad a recibir sea directamente proporcional al cociente entre
las horas de entrenamiento y el puesto conseguido.
Calcula cuánto dinero obtendrá cada corredor y comprueba si se han cumplido los criterios
aprobados por el comité.
4
2
5
Se trata de un reparto proporcional a= 2,= 2 y .
2
1
3
Los corredores A y B reciben cada uno
680
2+2+
El C recibe
5
3
⋅2 =
240 euros.
680
5
⋅ =
200 euros.
5 3
2+2+
3
Si se hubieran seguido los criterios iniciales, habría habido un conflicto de intereses ya que, según el
primer criterio, el corredor B debería haber recibido una cantidad mayor, mientras que según el
segundo criterio el mayor premio debería haber sido para el corredor C.
32
Unidad 6 | Proporcionalidad
6.78. Un buey atado a un árbol por una cuerda de 8 metros de longitud tarda 3 días, comiendo 6
horas cada día, en consumir la hierba que hay a su alcance alrededor del árbol. Si se alarga la
cuerda 2 metros y come 9 horas al día, ¿tendrá hierba para más de 3 días?
2
Con una cuerda de 8 m de longitud, el buey abarca una superficie de 64 π m . Y con una de 10 m le da
2
para una superficie de 100 π m .
directa
inversa
2
Superficie (m )
64 π
64 π
Horas diarias
6
1
1
1
100 π
1
100 π
9
Días
3
3 · 6 = 18
9
18 : 64π =
32π
9
225
⋅ 100 ⋅ π =
32π
8
225
: 9 = 3,125
8
Sí, tendría hierba para 3,125 días, es decir para 3 días y 3 horas.
6.79. Cinco amigos de Juan, pagando la misma cantidad cada uno, le compraron un regalo el año
pasado. Este año se juntaron seis amigos y decidieron comprarle un regalo el doble de caro
que el del año pasado. Calcula el cociente entre lo que pagó cada uno este año y lo que pagó
cada uno el año pasado.
Si el pasado año cada uno de los cinco amigos pagó x euros, el regalo costó 5x euros.
Este año el regalo ha costado el doble, es decir, 10x euros y cada uno de los seis amigos pagó
5
10 x
euros, es decir, ⋅ x euros.
3
6
5
5 
.
El cociente es  ⋅ x  : x =
3
3 
6.80. Con el fin de obtener dinero para el viaje de fin de curso, 5 amigos deben montar unas cajas de
regalos. Han tardado 4 horas en hacer 50 cajas. Como deben montar 300 cajas y solo disponen
de 2 horas más, ¿cuántos compañeros más deben participar para conseguir el objetivo?
directa
inversa
Cajas
50
300
300
300
Horas
4
4
1
6
Amigos
5
5 · 6 = 30
30 · 4 = 120
120 : 6 = 20
20 amigos deben participar en total. Por tanto, 15 compañeros más.
Proporcionalidad | Unidad 6
33
AMPLIACIÓN
6.81. Un supermercado ofrece detergente en tres tipos de envase: pequeño (P), mediano (M) y
grande (G). El mediano cuesta un 50 % más que el pequeño y contiene un 20 % menos de
detergente que el grande. El envase grande contiene el doble de detergente que el pequeño y
cuesta un 30 % más que el mediano. Al ordenar de menor a mayor rentabilidad los tres
envases, se obtendría:
a)
P–M–G
c)
G–P–M
b)
P–G–M
d)
M–P–G
Llamando p, m, g a los pesos de los envases pequeños, mediano y grande y x, y, z a sus precios
Precio
.
respectivamente, la rentabilidad será mayor cuanto menor sea el cociente
Peso
Escribamos todos los datos en términos de p y x:
x 3x 
y =x + =
2
2 
8p


g 4g 
m = 5
Precio
m =g − =

, por lo que la relación
es:
5
5  Así pues, 
x
x
13
3
39
Peso


g = 2p
=
z =


10 2
20
3 y 13 y 
=
z =y +
10
10 
Pequeño
x
p
Mediano
3x
y
15 x
2
= =
m 8 p 16 p
5
Grande
13 3 x
z 10 2
39 x
= =
g
2p
40 p
15 39
<
< 1 , se sigue que la rentabilidad, de menor a mayor, sería P – G – M, es decir, el
16 40
menos rentable el pequeño y el más, el mediano, respuesta b).
Como
6.82. Tres personas se han repartido una cantidad de dinero de forma directamente proporcional a
los números 2, 3 y 4. Si al que menos recibe le corresponden 120 €, ¿cuánto dinero se han
repartido?
a)
480 €
c)
540 €
b)
500 €
d)
600 €
Al ser el reparto directamente proporcional, la persona que más dinero ha recibido llegó a
4
3
120 ⋅ =
240 € y la otra, 120 ⋅ =
180 € siendo, pues, la cantidad repartida 120 + 180 + 240 = 540 €,
2
2
respuesta c).
6.83. Pedro tiene una bolsa con gominolas y se come cada día el 20 % de las que hay por las
mañanas. Si en la mañana del miércoles quedaban 32, ¿cuántas gominolas había el lunes
anterior por la mañana?
a)
50
b)
5
c)
60
d)
75
Si el lunes por la mañana había x gominolas en la bolsa, el martes por la mañana habría x −
y el miércoles,
34
Unidad 6 | Proporcionalidad
4 x 1 4 x 16
16 x
= 32 , x = 50, respuesta a).
− ⋅
= x . Así pues, como
25
5 5 5
25
x 4x
=
5
5
6.84. Supón que los “palmos”, “pies” y “saltos” son medidas de longitud. Si b “palmos” equivalen a
c “pies”, d “saltos” equivalen a e “palmos” y f “saltos” equivalen a g metros, ¿cuántos pies
equivalen a 1 metro?
a)
bdg
cef
cdf
beg
b)
Nos dicen que 1 salto equivalente a
pie equivale a
cdg
bef
c)
d)
cef
bdg
g
b
d
metros, 1 pie a
palmos y 1 palmo a
saltos. Así pues, 1
f
c
e
b d g
·
·
metros, respuesta a).
f
c e
6.85. Si 17 osos comen la misma cantidad que 170 lobos; 100 000 pájaros, lo mismo que 50 lobos, y
10 osos, lo mismo que 4 rinocerontes, ¿cuántos pájaros hacen falta para comerse lo que 12
rinocerontes?
a)
400 000
b)
500 000
c)
600 000
d)
700 000
Simplificando los datos, tenemos que 1 oso come lo que 10 lobos, 1 lobo lo que 2000 pájaros y 5
osos lo que 2 rinocerontes. Así pues, 12 rinocerontes comerán lo que 30 osos, es decir, lo que 300
lobos, y, por tanto, lo que 300 · 2000 = 600 000 pájaros, respuesta c).
AUTOEVALUACIÓN
6.1.
Calcula la constante de proporcionalidad y copia y completa la tabla correspondiente a dos
magnitudes directamente proporcionales.
A
B
1
15
2
30
4
60
4,8
72
r = 15.
6.2.
Indica si las siguientes magnitudes son directa o inversamente proporcionales y calcula, en su
caso, la constante de proporcionalidad.
a)
A
1
2
3
4
C
120
60
30
15
B
450
225
150
100
D
2
4
8
16
No son inversamente proporcionales porque: 450 ⋅ 1= 225 ⋅ 2= 150 ⋅ 3 ≠ 100 ⋅ 4 .
No hay una constante de proporcionalidad.
b)
Son inversamente proporcionales porque: 120 ⋅ 2 = 60 ⋅ 4 = 30 ⋅ 8 = 15 ⋅ 16 .
La constante de proporcionalidad inversa es: k = 240.
6.3.
Calcula x en los siguientes casos.
a)
x es el 8 % del 17 % de 3000.
b)
El 64 % de x es 140,8.
c)
El x % de 1600 es 57,6.
a)
x= 0,08 ⋅ 0,17 ⋅ 3000 ⇒ x= 40,8
b)
64
140,8 ⋅ 100
⋅=
x 140,8 ⇒=
x
⇒=
x 220
100
64
c)
x ⋅ 1600= 57,6 ⇒ x=
57,6
⇒ x= 0,036 ⇒ x= 3,6 %
1600
Proporcionalidad | Unidad 6
35
6.4.
Halla el importe del alquiler mensual de una vivienda por la que se pagaban 640 euros
sabiendo que ha subido un 12 %.
640 · 1,12 = 716,80 € se paga actualmente.
6.5.
¿Cuánto costará una lavadora de 425 euros que por estar en exposición se encuentra rebajada
un 18 %?
425 · 0,82 = 348,50 € costará después del descuento.
6.6.
Con 2 litros de leche, César puede alimentar a sus cachorros durante 6 días. ¿Para cuántos
días tendrá comida si compra una caja de 5 litros de leche?
2 L de leche ----------- 6 días
5 L de leche ----------- x días
Con un litro tiene para 3 días.
Con 5 litros tiene para: 5 · 3 = 15 días.
6.7.
Un empresario decide repartir unos beneficios de 4800 euros entre sus tres empleados de
forma directamente proporcional al tiempo que llevan trabajando en la empresa: 2, 6 y 12 años,
respectivamente. ¿Qué cantidad le corresponderá a cada uno?
x y
z
4800
= = =
⇒
2 6 12
20
x = 480 € para el que lleva 2 años en la empresa.
y = 1440 € para el que lleva 6 años en la empresa.
z = 2880 € para el que lleva 12 años en la empresa.
6.8.
En un concurso de ortografía se van a repartir 3300 euros entre los tres mejores participantes.
El reparto será de manera inversamente proporcional al número de faltas cometidas. Si los
ganadores tuvieron 2, 4 y 5 errores, respectivamente, calcula la cantidad que recibirá cada uno
de ellos.
1
1
1
19
k+ k+ =
k 3300 ⇒
=
k 3300 ⇒ =
k 3473,68
2
4
5
20
El ganador con menos faltas recibirá
1
k = 1736,84 € .
2
El ganador con 4 errores obtendrá un premio de
El ganador con más faltas recibirá
6.9.
1
k = 868,42 € .
4
1
k = 694,74 € .
5
Leo ha prestado 15 000 euros a un amigo, que se los devolverá en 16 meses con un interés
simple del 0,9 % anual. Halla la cantidad total que recibirá Leo.
1 0,9 

=
C 15 000  1 + 16 ⋅
⋅=
 15 180 € recibirá Leo.
12 100 

6.10. Calcula la renta que producen 2800 euros a un interés compuesto del 1,6 % durante 5 años.
5
1,6 

C
= 2800 ⋅  1 +
= 3031,28 €
 100 
=
i 3031,28 − 2800= 231,28 € de interés
36
Unidad 6 | Proporcionalidad
PON A PRUEBA TUS COMPETENCIAS
Calcula y aprende > ¿Menos cuota o mejor plazo?
A Paula le quedan por pagar 30 000 euros de una hipoteca, a un interés fijo del 5 %, durante los
próximos 10 años. Pero Paula ha tenido suerte, le han tocado 15 000 euros en la lotería, y decide
amortizar parte del préstamo.
Al hacer la operación en internet, le aparece el mensaje de la izquierda, que le indica que puede
elegir entre pagar menos cada mes o pagar lo mismo que ahora, pero durante menos tiempo. Como
su cuota actual no es muy alta, lo que quiere es que la cantidad total que pague al banco sea lo
menor posible.
Si te atascas en algún cálculo, puedes usar un simulador del Banco de España (www.esm.net/4aesoz16) o cualquiera que encuentres en internet.
6.1.
Calcula su cuota actual, usando la fórmula de la entrada de la unidad.
Paga 318,20 euros.
6.2.
Al pagar una parte, el capital restante es igual a 15 000 euros. Calcula la cuota a pagar cada
mes si se mantiene el plazo. Al ser la cantidad la mitad de la del principio, ¿la cuota es también
la mitad de la que pagaba?
Pagaría 159,10 euros de cuota mensual, la mitad.
6.3.
Calcula el plazo del préstamo si se mantiene la cuota. ¿Es la mitad del anterior, 10 años?
Para hacer los cálculos se necesita manejar los logaritmos, y las operaciones necesarias no son
sencillas, por lo que es recomendable usar el simulador. El plazo se reduce a 53 meses, es decir, 4
años y 5 meses. Es menos de la mitad. Además, el último plazo sería menor, solo 188,30 euros.
6.4.
Calcula cuánto paga en total al banco en cada caso. ¿Qué debería hacer?
En el primer caso pagaría 159,10 · 120 = 19 092. En el segundo, 52 · 318,20 + 188,30 = 16 734,70
euros. Es mejor reducir plazo. En este caso, el ahorro total es de 2357,30 euros.
Calcula e imagina > Repartiendo justicia
Ana, Carla, David, Elena y Ferrán quieren repartirse una tarta de nata de 1 kg de peso entre los cinco,
pero no se ponen de acuerdo en la forma de cortarla. Hacer cuatro trozos iguales no es muy
complicado, pero… ¿cómo hacer cinco?
– La base es circular. Yo tengo un transportador… –dice David.
– ¡Ni se te ocurra poner eso encima de la tarta!
– ¿Y si la “deconstruimos”, la hacemos migas, las pesamos y repartimos al peso? Nos tocan 200
gramos a cada uno –dijo Ferrán.
– ¡Qué asco! Además, no tendríamos todos la misma cantidad de nata…
6.1.
¿Se te ocurre alguna forma de hacer un reparto que satisfaga a todos?
Respuesta abierta.
6.2.
Quizá puedan sacarle partido al transportador de David… Con un transportador, regla y
compás, ¿podrías hacer cinco partes iguales? ¡Sin poner nada sobre la tarta!
Usando el transportador, se pueden marcar sobre la mesa cinco sectores circulares de
360º
= 108º ,
5
y usarlos como guía para hacer los cortes.
Proporcionalidad | Unidad 6
37
6.3.
Ana propone que ella haga los cortes y sea la última en elegir, y los demás hagan un sorteo
para determinar en qué orden eligen. ¿Es un método justo?
El método puede no ser justo. Si, por ejemplo, ha hecho un trozo mucho más grande, otro de los
amigos saldrá beneficiado, y los otros tres recibirán menos de lo que les tocaba.
6.4.
Carla propone hacer un corte radial e ir moviendo el cuchillo despacio hasta la posición en la
que ella cree que corta un quinto de la tarta. Si antes de llegar a esa posición alguien dice
“¡Corta!”, Carla hace el corte y le da la porción al que ha hablado, y vuelve a empezar. Si no, se
lleva el trozo que ha cortado, y los demás se reparten el resto de la misma manera. ¿Es justo
este método?
Se conoce como el método Dubins-Spanier, y puedes ver en qué consiste en la red o en el
libro Locos por las matemáticas, escrito por Ian Stewart, junto con otros métodos como el de
Banach - Knaster, muy parecido al explicado en la actividad 3.
Aunque no asegura que todos reciban la misma parte, este método tiene la ventaja de que todos los
amigos han podido elegir un trozo que les parecía justo.
Aprende a pensar > Rafa y el interés continuo
Los bancos suelen dar un interés por el dinero que sus clientes
depositan en ellos. La cuantía del interés depende del tiempo que se
deposita el dinero, de la cantidad depositada y de las condiciones
económicas generales, por ejemplo, de los tipos de interés oficiales.
Vamos a analizar diferentes opciones de interés:
•
Caja Anual realiza el abono de intereses anualmente.
•
Banco Semestre los abona cada seis meses.
•
Banco Estaciones ingresa los intereses en cuenta cada tres
meses.
•
Caja Mensual abona intereses una vez al mes.
6.1.
Rafa quiere ingresar durante un año 5000 euros en alguna de las entidades descritas
anteriormente. Todas ofrecen un 4 % de interés anual.
a)
Copia y completa la siguiente tabla calculando cuánto dinero tendrá Rafa después de un
año.
Caja Anual
•
Banco Estaciones
•
Banco Semestre
•
Caja Mensual
•
b)
¿Crees que Rafa puede conseguir intereses tan grandes como quiera con tal de lograr
ofertas de otros bancos que bajen aún más el período de abono?
c)
Encuentra una fórmula que te permita calcular el dinero que tendrá Rafa al final del año si
el abono de intereses se hace n veces al año.
a)
Caja Anual: 5000 · 1,04 = 5200
b)
 0,04 
= 5202
Banco Semestre: 5000 ⋅  1 +
2 

No
4
 0,04 
= 5203,02
Banco Estaciones: 5000 ⋅  1 +
4 

2
c)
38
 0,04 
5000 ⋅  1 +
n 

Unidad 6 | Proporcionalidad
n
12
 0,04 
Caja Mensual: 5000 ⋅  1 +
12 

= 5203,71
6.2.
El Banco Continuo dice que abona intereses infinitas veces en un año, pues lo hace “instante
a instante”.
a)
¿Cómo interpretas esto matemáticamente?
b)
¿Cuánto dinero tendrá Rafa al final del año si lo ingresa en el Banco Continuo?
c)
A la vista de los resultados anteriores, ¿qué entidad resulta más conveniente?
a)
 0,04 
lim 5000 ⋅  1 +
= 5000 ⋅ e0,04
n →∞
n 

b)
5000 · e
c)
El Banco Continuo
n
0,04
= 5204,05
Las entidades bancarias están obligadas a publicar la tasa anual equivalente (T.A.E.) para garantizar
la transparencia de las operaciones y la protección de la clientela. La T.A.E. es la tasa anual que
realmente produce el dinero contando tanto los intereses como las comisiones bancarias.
6.3.
El Banco Semestre paga al final de cada semestre unos intereses iguales al 2 % del capital,
esto es, el 4 % anual que ofrece dividido por los dos semestres que tiene un año. Por tanto, si
se ingresan 100 euros tendremos:
100 · (1 + 0,02) = 102 € al final del primer semestre.
102 · (1+ 0,02) = 104,04 € al final del año.
Como los 100 € iniciales se han convertido en 104,04 €, resulta una T.A.E. del 4,04 %.
Calcula la T.A.E. para el resto de las entidades bancarias anteriores (supón que ninguna cobra
comisiones).
Si ingresamos 100 €, al cabo de un año tendremos:
Caja Anual: 104 €, así que el T.A.E. es del 4 %
Banco Estaciones: 104,06 €. El T.A.E. es del 4,06 %
Caja Mensual: 104,07 €, lo que significa un 4,07 % T.A.E.
Banco Continuo: 104,08 €, que supone un 4,08 % T.A.E.
6.4.
¿Piensas que los bancos son equitativos a la hora de pagar intereses y de exigirlos en sus
préstamos
(hipotecarios,
por
ejemplo)?
Lee
la
información
y
opina
en
http://matematicas20.aprenderapensar.net/.
Respuesta abierta.
Proporcionalidad | Unidad 6
39
Proyecto editorial: Equipo de Educación Secundaria del Grupo SM
Autoría: Antonia Aranda, Rafaela Arévalo, Juan Jesús Donaire, Vanesa Fernández, Joaquín Hernández, Juan
Carlos Hervás, Miguel Ángel Ingelmo, Cristóbal Merino, María Moreno; Miguel Nieto, Isabel de los Santos,
Esteban Serrano, Yolanda A. Zárate
Edición: Oiana García, Inmaculada Fernández, Aurora Bellido
Revisión contenidos solucionario: Juan Jesús Donaire
Corrección: Javier López
Ilustración: Modesto Arregui, Estudio “Haciendo el león”, Jurado y Rivas, Félix Anaya, Juan Francisco Cobos,
José Santos, José Manuel Pedrosa
Diseño: Pablo Canelas, Alfonso Ruano
Maquetación: SAFEKAT S. L.
Coordinación de diseño: José Luis Rodríguez
Coordinación editorial: Josefina Arévalo
Dirección del proyecto: Aída Moya
(*) Una pequeña cantidad de ejercicios o apartados han sido marcados porque contienen alguna corrección en su
enunciado respecto al que aparece en el libro del alumno.
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