Errores En Las Mediciones Y ¿Cómo Se Expresa El Resultado De

Dr. Eduardo Enrique Bordone
Errores En Las Mediciones Y ¿Cómo Se Expresa El Resultado De Una
Medición?
Eduardo Enrique Bordone - 2002
a) Medición
Es el proceso de comparar una cantidad que se quiere medir con otra cantidad llamada unidad. Esta última cantidad
generalmente se encuentra definida internacionalmente con respecto a una unidad patrón, de manera que en todo el
mundo el metro, por ejemplo, mide lo mismo para todos.1
i)
Magnitudes Y Cantidades
Las longitudes en general, las fuerzas en general, las superficies, las masas, los tiempos, son ejemplos de
magnitudes.
La longitud de una mesa en particular, o el peso de un determinado cuerpo, o la superficie de un cuadrado particular,
o la masa de tal cuerpo, etc., son ejemplos de cantidades.
La longitud de un cuerpo concreto, determinado es una cantidad; la longitud, en abstracto, sin referirse a ninguna
longitud en particular, es una magnitud. La masa de un cuerpo particular es una cantidad de masa; la masa en
abstracto, esa propiedad característica de la materia, nombrada así en general, es una magnitud física.
ii)
Los Sistemas Que Intervienen En Una Medición.
Si se observa la descripción realizada, se advierte que en un proceso de medir intervienen:
un sistema objeto de la medición: la cantidad por medir;
un sistema de medición: el equipo o aparato de medición y la teoría sobre la que fundamenta su funcionamiento;
un sistema de referencia : la unidad empleada, con su definición y su patrón;
el operador, importante e ineludible participante del proceso quien es el responsable de decidir si se han cumplido
1os criterios de operación para poder entonces, tomar las lecturas en la escala del instrumento.
Demos un ejemplo concreto: si se quiere medir la longitud de una pieza con un calibre de apreciación A = 0,1
milímetros, entonces
a)
el sistema objeto es la longitud de la pieza;
b)
el sistema de medición es el calibre y la teoría sobre la en fue construido
c)
el sistema de referencia es el metro;
d)
los criterios de medición son: 1) que la pieza esté apoyado de modo que la longitud sea paralela al eje
longitudinal del calibre; 2) que la presión no sea excesiva, ni por exceso por defecto; 3) que las superficies de la
pieza y del calibre estén limpias; 4) que la iluminación de la escala sea correcta; 5) que la posición del observador
con respecto a la escala no provoque errores de paralaje; etc.
iii)
La Apreciación de un Instrumento
Es la menor división de la escala de un instrumento. Es una cantidad objetiva porque no depende del observador.
Como ejemplo, la apreciación de la cinta métrica cuyo gráfico se
presenta, tiene una apreciación ∆x = 1mm.
1
Gran parte de la información presentada en este apunte es extraída del libro “Introducción a las mediciones de
laboratorio”, A.P.Maiztegui, R.J.Gleiser, Ed. Guayuqi (1976)
1
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iv)
La Estimación del Error de una Lectura
Es el menor intervalo que un observador puede estimar con ayuda de la escala. Es el error que el que mide “estima”
que está cometiendo; y como tal, es totalmente subjetivo: distintos observadores con un mismo instrumento pueden
tener diferentes estimaciones al medir la misma cantidad.
Por ejemplo, un observador trata de medir la longitud
de una varilla con una regla. Haciendo coincidir lo
mejor que puede el origen de la regla (el cero de la
regla) con el origen de la varilla, buscará qué división
de la regla coincide con el otro extremo de la varilla.
Lo más frecuente es que no coincida ninguna, Y que
el extremo de la varilla quede entre dos divisiones de
la regla.
La mayoría de las veces (como en el segundo dibujo mas arriba), la estimación de la lectura coincide con la
apreciación del instrumento (∆X = 0.5 cm).
En algunas oportunidades, “el ojo” del observador lo lleva a “arriesgar” una estimación menor que la apreciación del
instrumento. Es el caso de primer dibujo: la regla tiene una apreciación de 1cm, pero el observador estima que está
completamente seguro que la lectura es muy cercana a los 9 cm; y que asignarle un error de 1cm (la apreciación) es
muy grande. Estima, por ejemplo, que puede distinguir perfectamente entre 8.5 cm y 9 cm. Su estimación es, por lo
tanto, 0.5 cm.
Por último, puede darse el caso de la figura en este párrafo. La apreciación
del instrumento es 0.5 cm, pero el objeto es tan irregular que no puedo
estimar mejor que 1cm de error. Esto podría haber ocurrido también porque
no puedo ver bien, o la escala está mal dibujada... etc.
b) Cómo expresar el resultado de la medición con una
única lectura
Si bien nunca es conveniente realizar una única lectura de la medición (es sumamente aconsejable realizar al menos
una pocas; incluso es mejor realizar muchas para dar significado estadístico al error), sucede a veces que no nos
queda mas remedio que conformarnos con ese único valor leído. En tal caso, el resultado se expresa así:
Estimación del error
X = ( X ± ∆X )
Valor leído
Por ejemplo, al medir la longitud L llego al siguiente resultado: L = (9.0 ± 0.5) cm donde el error corresponde a la
estimación realizada por quien midió. Observe que:
•
el error (en este caso la estimación del error) es expresado con una sola cifra significativa (cifra significativa es
lo que le queda a un número cuando se le quitan todos los ceros a la izquierda y todos los ceros - que no tienen
sentido - a la derecha). Esta regla puede modificarse en algunas oportunidades para presentar el error con (a lo
sumo) dos cifras significativas.
•
El valor leído es expresado de manera que su dígito menos significativo (el que está a la derecha) es justamente
el dígito que es corregido por el error. En este caso, el error es de 5 décimos. Por lo tanto, la cifra mas pequeña
del resultado es décimos (0 décimos, en este caso). El resultado no puede ser expresado, por lo tanto, con más
decimales que los que tiene el error.
Luego, al expresar el resultado de la medición, el error debe ser redondeado a una cifra significativa y el valor leído
debe ser redondeado hasta la cifra que es corregida por ese error.
2
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c) Cómo expresar el resultado de la medición con pocas lecturas.
Si mido pocas veces (3 o 5 veces por ejemplo), puede ocurrir que el valor leído sea siempre el mismo, o que mida
valores diferentes. Para saber cuán dispersos son los datos, definimos:
Dispersión de las lecturas
Es la diferencia entre el mayor valor leído Xmax y el menor valor leído Xmin.
Dispersión = Xmax - Xmin
De esta manera, al medir pocas veces el resultado se expresa de la siguiente manera:
X = ( X ± ∆X )
Promedio de los
valores leídos
El mayor entre:
• la estimación del error de cada
lectura
• la mitad de la dispersión de las
lecturas
Ejemplo: Al medir una longitud estimo para cada lectura un error de ∆X=0.1mm. Obtengo los siguientes valores:
2.3mm, 1.9mm, 2.2mm, 2.0mm, 1.9mm.
Xmax= 2.3mm
Xmin= 1.9mm
Dispersión = Xmax - Xmin = (2.3 - 1.9)mm = 0.4mm
Error = mayor valor entre la estimación (0.1mm) y la mitad de la dispersión (0.4mm)/2 = 0.2mm
Promedio de las lecturas: (2.3 + 1.9 + 2.2 + 2.0 + 1.9)mm / 5 = 2.06mm
Resultado final:
longitud X = (2.1 ± 0.2)mm donde el error es la mitad de la dispersión de los datos.
d) Cómo expresar el resultado de la medición con muchas lecturas.
Si mido muchas veces (mas de 10) puedo hacer uso de la estadística para expresar los resultados de la medición.
Para ello necesitamos definir:
Desviación de una lectura
Cada lectura tiene su propia desviación con respecto al promedio de todas ellas: la resta entre ese promedio y la
lectura correspondiente.
Desviación de la i-ésima lectura (lectura N° i) δ i = X i − X
Error cuadrático Medio σ
Se define como
σ=
∑δ
2
N −1
donde N es el número de lecturas y el símbolo
∑
significa “suma de”. En
otras palabras: se calculan todas las desviaciones, se las eleva al cuadrado a cada una de ellas, se suma los cuadrados
calculados, se divide por N-1 y después se saca la raíz cuadrada.
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Así definido, el error cuadrático medio tiene un significado estadístico muy claro: si se mide una vez más, existe una
probabilidad del 68% que la lectura realizada caiga dentro del intervalo entre
X −σ y X +σ .
De esta manera, al medir muchas veces el resultado se expresa de la siguiente manera:
X = ( X ± ∆X )
El mayor entre:
• la estimación del error de cada
lectura
• el error cuadrático medio
Promedio de los
valores leídos
Ejemplo: Se miden los siguientes valores de una masa, con una balanza que permite estimar un error de 10 g para
cada lectura.
masa
m
(g)
lectura #
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Suma:
Promedio:
σ =
1230
1250
1200
1270
1230
1240
1290
1230
1210
1260
1280
1230
1240
1250
17410
1243.57143
Desviación
δ
(g)
-13.5714286
6.42857143
-43.5714286
26.4285714
-13.5714286
-3.57142857
46.4285714
-13.5714286
-33.5714286
16.4285714
36.4285714
-13.5714286
-3.57142857
6.42857143
Suma:
δ2
(g2)
184.183673
41.3265306
1898.46939
698.469388
184.183673
12.755102
2155.61224
184.183673
1127.04082
269.897959
1327.04082
184.183673
12.755102
41.3265306
8321.42857
8321.42857 g 2
= 25.3003931 g
14 − 1
Como el error cuadrático medio es mayor que la estimación de cada lectura, el resultado se expresa del siguiente
modo:
masa m = (1240 ± 30) g donde el error es la desviación cuadrática media de 14 lecturas realizadas.
(observe cómo σ ha sido redondeado a una cifra significativa (30 gramos) y, dado que esa cifra significativa está en
la decenas, el promedio fue redondeado a las decenas). Para no “rellenar” los espacios hasta las unidades con ceros a
la derecha, el resultado se podría haber expresado en notación científica:
masa
m = (1.24 ± 0.03) x 103 g donde el error es la desviación cuadrática media de 14 lecturas realizadas.
Nota:
1.
Observe que al escribir el resultado final con su error, siempre hace falta decir si el error es
•
La estimación del error realizada por quien mide
4
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2.
•
La mitad de la dispersión de los datos
•
O la desviación cuadrática media de ...(tantas)... lecturas
Cuando no se informa del error de un valor citado, se supone que la última cifra significativa puede variar
en 1. Ejemplo: En un trabajo se informa que hay 0,33 gramos de azúcar. Este dato se debe entender como
(0,33±0,01) gramos de azúcar.
e) Exactitud y Calidad de una Medición
Los errores con los cuales se expresan los resultados de las mediciones son conocidos también con el nombre de
errores absolutos. Ellos nos dan una idea de cuán exacta es una medición. Por lo tanto la exactitud de una
medición se mide con el error absoluto.
Al mismo tiempo, se observará que medir el ancho de la provincia y el de una regla requieren diferentes cuidados:
para lograr la misma exactitud (por ejemplo medir con un error absoluto de 1 milímetro en cada caso) es necesario
pensar en una medición de mas calidad al medir la cantidad más grande (cualquiera mide el ancho de una regla al
milímetro; pero no cualquiera mide el ancho de la provincia al milímetro). Por ello es que la calidad de una
medición se mide con el error relativo (o el error porcentual).
error relativo =
error absoluto
o, dicho de otro modo:
promedio
error porcentual = error relativo x 100
ep =
er =
∆X
X
∆X
× 100 = er × 100
X
Es habitual expresar el resultado de la medición acompañado del error porcentual (o relativo, si se prefiere) como
forma de resaltar la “calidad” de la medición. Los ejemplos anteriores concluirían con la siguiente expresión:
longitud X = (2.1 ± 0.4)mm, ep= 19%
masa m = (1.24 ± 0.03) x 103 g, ep= 2%
f) Propagación de errores
Hay veces que para medir algo debemos primero realizar varias mediciones y luego operar con ellas. Es el caso de
las mediciones indirectas.
Ejemplo 1: para medir el peso de una moneda con una determinada balanza, se mide el peso de N monedas y al
resultado se lo divide por N
Ejemplo 2: para determinar la longitud mínima de una cartuchera se mide la longitud de un lápiz y la de un
sacapuntas. La longitud buscada es la suma de las otras dos.
Ejemplo 3: para medir la velocidad promedio de un auto, se mide la distancia recorrida y el tiempo que demora.
Luego se dividen ambas cantidades.
En todos los casos, las cantidades medidas directamente estarán acompañadas por su error absoluto y error relativo.
Pero ¿Cuál es el error de la cantidad medida indirectamente?
Al multiplicar o dividir una cantidad por una constante, su error queda multiplicado o dividido por la misma
constante.
Esto nos permite solucionar el problema presentado por el primer ejemplo. Supongamos que 100 monedas tienen
una masa de m100 = (85±1)g. Cada moneda masará (85/100)g = 0.85g. El error de esta última cantidad lo obtenemos
dividiendo el error de las 100 monedas por el mismo número: 100. El resultado para la masa de una sola moneda
será entonces:
m = (0.85±0.01)g
Al sumar o restar dos cantidades, sus errores absolutos se suman
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Es el caso del segundo ejemplo. Medimos la longitud del lápiz l1=(7.2±0.1)cm y la del sacapuntas l2=(2.5±0.1)cm.
De manera que la longitud buscada será
L = l1 + l2 = (7.2+2.5)cm = 7.7 cm Y tendrá un error:
∆L = (0.1+ 0.1) cm
Y el resultado se expresa: L = (7.7±0.2) cm
Al multiplicar o dividir dos cantidades, sus errores relativos se suman
Es el caso del tercer ejemplo. Se ha medido la distancia recorrida por el auto en X = (307±5)m y el tiempo que
demoró en t =(75±2) segundos. La velocidad será de
v=
307m
= 4.09333333 m/s
75s
Pero el error no se calcula directamente: lo que sabemos es que su error relativo será la suma de los errores relativos
de la distancia y el tiempo. O sea:
∆v ∆X ∆t
5
2
=
+
=
+ = 0.04295331
307 75
v
X
t
Por lo tanto
∆v = 0.04295331 × v = 0.04295331 × 4.09333333
m
= 0.17582222 m/s
s
Por fin, el resultado es:
Velocidad v = (4.1±0.2) m/s, con ep= 4%
g) ¿Cómo saber si dos valores medidos son iguales?
Frecuentemente tenemos que comparar los resultados de las mediciones efectuadas. Por ejemplo, si tres grupos de
alumnos miden la misma cantidad (supongamos la velocidad de caminar) pero encuentran resultados aparentemente
diferentes:
V1= (4.1±0.2) m/s
V2= (4.3±0.2) m/s
V3= (4.9±0.3) m/s
Aparentemente estos resultados son diferentes porque sus valores medios son diferentes. Pero ¿qué hay con el
error?. El error me dice que el verdadero valor medido no es ese promedio, sino que está cercano a él, y me marca
una zona dentro de la cual se encuentra: esa zona se llama el intervalo de error. El intervalo de error se obtiene
sumando y restando al valor medio el error. Por ejemplo, el intervalo de error de V1 abarca desde (4.1-0.2) m/s hasta
(4.1+0.2)m/s.
Intervalo de
error de V1
Zona de superposición de
los intervalos de error de
V 1 y V2
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
Intervalo de
error de V3
Intervalo de
error de V2
En el gráfico anterior se pueden ver los intervalos de error de las tres cantidades medidas. Se observa que los únicos
intervalos de error que se superponen son los de V1 y V2. Por lo tanto, se concluye que las cantidades V1 y V2 son
iguales. Como V3 no tiene ningún punto de su intervalo de error en común con las otras cantidades, es diferente a
ellas.
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Dos cantidades son iguales si existe una zona de superposición entre sus intervalos de error.
Otro Ejemplo
Supongamos que deseamos comprobar si la 2ª ley de Newton es cierta. Para ello Cecilia se sube arriba de un carrito
que es tirado por una soga. Juan utiliza un dinamómetro para tirar de la soga y conocer al mismo tiempo la fuerza
con la que está tirando. Y Manuel, separado de ellos dos, observa y mide la distancia que recorre el carrito y el
tiempo que demora; con estos datos hace cálculos y conoce la aceleración.
La 2ª ley de Newton dice que F = M.a donde F es la resultante de todas las fuerza aplicadas a un sistema, M la masa
del sistema y a su aceleración. Los chicos concluyen que para demostrarla deben comparar F (la fuerza con la que
Juan tira del carro) con el producto M.a donde M es la masa de Cecilia y el carro, y a la aceleración medida por
Manuel.
Se juntan con los siguientes datos:
•
La fuerza que hizo Juan para tirar del carrito: F1 = 110N medida con un dinamómetro que tiene apreciación de
5N. Por lo tanto F1 = (110±5)N.
•
La masa de Cecilia es M1=(47,0±0,7)kg. y la del carrito M2=(53±1)kg
•
La aceleración calculada por Manuel es de a=(1,0±0,2) m/s2.
Se trata de comparar F1 con el resultado de hacer (M1 + M2).a Llamemos F2 a esta última cantidad, F2 = M.a (M es
la suma de las masas de Cecilia y del carrito).
M = M1 + M2 = 47,0 kg + 53 kg = 100 kg
El error de M lo obtengo por propagación de los errores de M1 y M2. Como M es la suma de ellos, el error de M
será la suma de los errores de M1 y M2 (ver 1.g: los errores son llamados también errores absolutos )
∆M = ∆M1 + ∆M2 = 0,7 kg + 1 kg = 1,7 kg
Redondeando el error a una solo cifra significativa, se concluye que M = (100±2)kg
De la misma manera,
F2 = M.a = 100 kg
x 1 m/s2 = 100 N
Como F2 se calcula con el producto de estas otras dos cantidades, el error relativo de F2 es la suma de los errores
relativos de M y de a:
∆F2
F2
=
∆M
M
2
+ ∆aa = 100
+ 01, 2 = 0,22
y por lo tanto ∆F2 = 0.22 F2 = 0.22 x 100N = 22 N
Por fin, se trata de comparar F1=(110±5)N con F2=(100±22)N. Los intervalos de error graficados son los siguientes
105 N
78 N
F2
F1
115 N
122 N
Y gracias a que la zona de superposición entre las dos zonas de error existe, se puede afirmar que, dentro de la
precisión utilizada en esta experiencia, F1 = F2 .
Observación: Cuando se desea demostrar un hecho conocido, no siempre es posible. El hecho de haber llegado a la
conclusión que no se cumple no significa que está mal realizada la experiencia. En cambio hay que sentarse a pensar
y ver si en realidad es que no se está cumpliendo la “ley” que se quiere demostrar, o está pasando algo no previsto.
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Al día siguiente de haber hecho el trabajo al que nos hemos referido, Cecilia, Juan y Manuel se propusieron realizar
nuevamente la experiencia con el objetivo de medir mas cuidadosamente todo, y así disminuir los errores de las
mediciones realizadas.
Hecha nuevamente la experiencia y los cálculos, concluyen que F1=(115±5)N y F2=(84±15)N
110 N
F2
69 N
F1
120 N
99 N
Para sorpresa de los tres jóvenes, los intervalos de error no se superponían. Aparentemente habían demostrado que la
ley de Newton no se cumple. En realidad, estuvieron de acuerdo en la siguiente conclusión: tal como hemos aplicado
la ley de Newton, ésta no se cumple en las condiciones con las que hemos realizado la experiencia.
Razonaron que la fuerza que hizo Juan para empujar el carro dio mayor que el producto de masa por aceleración. Y
estuvieron seguros de haber medido bien. ¿Qué pudo haber pasado? Revisando el carro observaron que una de las
ruedas traseras estaba un poco frenada por un hilo que se había introducido en el rodamiento. Este hecho introduce
la presencia de una fuerza de fricción que antes no existía.
En términos de diagrama de cuerpos libres:
Antes:
Carro con Cecilia
Ahora:
FR
Carro con Cecilia
F1
F1
Y recordaron que aplicar correctamente la ley de Newton F = M.a significaba incluir en F todas las fuerzas
exteriores al sistema que se acelera. Por lo tanto, si ellos conocieran el valor de la fuerza de rozamiento FR podrían
ver si se cumple la ley de Newton comparando F1+FR con F2. Esta explicación los satisfizo porque demostró porqué
les dio tan grande F1: debía ser suficiente como para acelerar el carro y vencer al mismo tiempo el rozamiento.
En cambio, pudieron calcular la fuerza de rozamiento:
F1 + FR = F2
Î
FR = F2 – F1 = 84N – 115 N = -31N
Recordando que en el caso de resta de magnitudes, el error absoluto es la suma de los errores absolutos:
∆FR = ∆F2 + ∆F1 = 5N + 15N = 20 N
Concluyeron, por fin, que
FR = (-31±20)N
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