1 - Uprm

Movimiento en una dimensión
Problema simplificado (casi)
Desplazamiento:
∆x = x2 − x1
Velocidad promedio: v prom
Rapidez promedio: s prom
∆ x x 2 − x1
=
=
t 2 − t1
∆t
distancia total
=
tiempo total
Ejemplo:
Un corredor recorre 100 m en 12 s; luego da la vuelta
y recorre 50 m más despacio en 30 s y en dirección al
punto desde que inició el movimiento. Calcula la
velocidad y la rapidez promedio para toda su
trayectoria.
Representación gráfica de la velocidad promedio
∆x
pendiente =
= v prom
∆t
Velocidad instantánea
∆ x dx
v = lim
=
= pendiente de la línea tangente
∆ t →0 ∆t
dt
Ejemplo:
La posición de una partícula viene descrita por la
función en la figura. Hallar la velocidad instantánea
para t = 2 s. ¿Cuándo es mayor la velocidad?
¿Cuándo es nula? ¿Es negativa alguna vez?
Ejemplo:
La posición de una partícula moviéndose en el eje de
x está dada por la siguiente ecuación:
x = 7.8 + 9.2t − 2.1t
3
donde x es en metros y t en segundos. Calcula la
velocidad cuando t = 1 s y 3.5 s.
Aceleración
Promedio:
a prom
v 2 − v1 ∆v
=
=
t 2 − t1
∆t
Instantánea:
∆ v dv
=
a = lim
∆ t →0 ∆t
dt
= pendiente de la línea tangente a la curva de v contra t
Movimiento con aceleración constante
ti = 0
tf = t
xi = x 0
xf = x
vi = v 0
dv
a=
,
dt
O
dv = a dt
vf = v
Si a = constante,
∫
v
v0
t
dv = a ∫ dt
0
v − v0 = a t ⇒ (1) v = v0 + a t
dx
Para calcular x, integramos v =
:
dt
x
t
t
(
)
dx
=
v
dt
=
v
+
a
t
dt
0
∫
∫
∫
x0
0
0
1 2
( 2 ) x − x0 = v0 t + a t
2
Resolviendo (1 ) por a y substituyendo en ( 2 ), tenemos
(3)
1
x − x0 = (v0 + v )t
2
Resolviendo (1 ) por t y substituyendo en ( 2 ), tenemos
(4)
v 2 = v02 + 2a ( x − x0 )
Resumen gráfico
1 2
x = x0 + v0 t + a t
2
v = v0 + a t
a = constante
Ejemplo:
Un carro que va a 100 km / h choca contra una pared
de cemento. Asumiendo que el centro del coche se
mueve 0.75 m después del impacto, determina (a) el
tiempo que tarda el carro en detenerse y (b) su
aceleración.
Ejemplo:
Un carro lleva una velocidad de 25 m/s (56 mi/hr ) en
una zona escolar. Una patrulla de policía en reposo,
arranca a 5 m/s2 cuando el infractor le pasa por el
lado. Calcula (a) el tiempo que tarda la patrulla en
alcanzar al infractor, (b) su velocidad cuando lo
alcanza y (c) la distancia que ambos carros han
recorrido.
v 0,1 = 0 (reposo )
o
v 0, 2 = v 2 = constante,
policía (1)
infractor (2)
1
2
x1 = a 1 t
2
x2 = v2 t
a2 = 0
Caída Libre:
a = − g = −9.81 m s
2
Ejemplo:
Después de su graduación, un estudiante lanza su
birrete hacia arriba con una velocidad inicial de 14.7
m/s. Determina (a) el tiempo que tarda el birrete en
alcanzar su altura máxima, (b) la altura máxima y (c)
el tiempo total en el aire.