INTEGRACION NUMERICA

Universidad de Santiago de Chile
Facultad de Ciencia
Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación
INTEGRACION NUMERICA
Profesor: Jaime Álvarez Maldonado
Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre
INTEGRACION NUMERICA
Se considera ≔ ! , la idea de la integración numérica es aproximar la función con
un polinomio de interpolación. Al hacer esto, se acepta que habrá un error asociado. Por lo tanto
! = ! 4 + 6 .
Formulas a utilizar:
Cuadratura de Newton-Cotes
FG
•
Regla del Trapecio
< =
FH
FP
•
Regla de Simpson 1/3
< =
FH
FR
•
FZ
•
ℎ
ℎL
? + 4@ + D − O E
90
3
Segunda Regla de Simpson 3/8
< =
FH
ℎ
ℎB
? + @ − D E
2
12
3ℎ
3ℎL O
? + 3@ + 3D + B −
E
8
80
Regla de Trapecio Compuesto T.C
VW@
ℎ
V − ? ℎD D
< = S? + 2 T U + V Y −
E ;
2
12
FH
FZ
•
UX@
Regla de Simpson Compuesta S.C:n=par
V/D
V/DW@
ℎ=
V − ? \
ℎ
V − ? ℎO O
< = S? + 4 T DUW@ + 2 T DU + V Y −
E ;
3
180
FH
UX@
UX@
ℎ=
V − ? \
Notaciones:
Nodos: Puntos de la recta numérica, separados pero alguna distancia por lo general están
equiespaciados, es decir, se encuentran a la misma distancia
]? , @ , … , V _,
∀ \ a b
c = ? + ℎd, d = 0,1, … , \
ℎ=
c − ?
, d = 0,1, … , \
d
e ≈ e ,
g = 0,1,2, … , \
Se puede denotar a ? = h y a V = j.
Demostración:
-Trapecio simple
Por definición, se tiene en cuenta que se puede aproximar una función por medio de un polinomio,
y para que esta aproximación pase a ser exacta, se debe incluir un cierto error, es decir;
= 4V + 6
Según Lagrange, un polinomio se puede expresar de la siguiente forma:
V
V
4V = T e ne , op\ ne = q
UX?
Ure
eX?
− U e − U En cuanto al Error, este tiene la siguiente forma:
V
Vs@ E
q − U 6 =
\ + 1!
Luego:
eX?
V
V
Vs@ E
q − U , hℎpuh vwxh vyuvwgp\ yzvv wvu g\xv{uhh
= T e ne +
\ + 1!
eX?
V
eX?
V
Vs@ E
q − U < = < T e ne + <
\ + 1!
!
! eX?
Ordenando la expresión, queda:
V
eX?
!
V
1
< = T < e ne +
< Vs@ E q − U \ + 1!
!
eX? !
!
eX?
Como se desea demostrar la regla del trapecio, tenemos que ocupar n=1, en el caso e Simpson
n=2, además de que h = ? y j = @ , con ℎ = @ − ? . Por lo que nuestro polinomio quedara de la
forma según Lagrange:
4@ = ? XFG
− @ − ? + @ , v\xp\ovw:
? − @ @ − ? XFG
XFG
D
− @ − ? 1
} +
< = < |? + @ < D E q − U 2!
? − @ @ − ? !XFH
FG
!XFH
!XFH
FG
FG
eX?
D E
− @ − ? } +
< = < |? + @ < − ? − @ ? − @ @ − ? 2!
FH
FG
FH
FH
FG
? ~ − @ D G @ ~ − ? D G D E
 +
 +
< =
< ] D − ? + @ + ? @ _
2 ? − @ F
2 @ − ? F
2!
FH
FG
F
H
F
H
FH
G
? @ D E B
D
€ − ? + @ + ? @ 
? − @ +
@ − ? +
< = −
2
2
2!
3
2
F
FH
=
=
=
=
H
@ − ? @ D − ? D D E @ B − ? B ‚? + @ ƒ +
€
− ? + @ + ? @ @ − ? 
2
2
3
2
@ − ? D E
‚? + @ ƒ +
]2@ B − ? B − 3? + @ @ D − ? D + 6? @ D − 6? D @ _
2
12
@ − ? D E
‚? + @ ƒ +
]−@ B + ? B + 3? @ D − 3? D @ _
2
12
@ − ? D E
‚? + @ ƒ +
]? − @ _B
2
12
FG
< =
FH
FG
< =
FH
F
@ − ? D E
‚? + @ ƒ −
]@ − ? _B … xp†h\p v\ ozv\xh ‡zv ℎ = @ − ?
2
12
@ − ? ℎD D
@ − ? ‚? + @ ƒ −
E
2
12
Finalmente tenemos la regla del trapecio con su correspondiente error, esto es análogo para las
otras formulas.
Para demostrar la regla del trapecio compuesto, es solo sumar n veces, la formula trapecio simple.
1 Calcule la integral = ? v DWPŠ‹VF usando las fórmulas del trapecio y Simpson con
D
Sol:
pasos h=
obtenida.
‰
O
D‰
‰
G
y h= D , respectivamente. Obtener conclusiones con respecto a la precisión
‰
a Primero calcularemos la integral por la regla del trapecio con una distancia entre los nodos de
‰
h= O .
Los nodos son;
NodosN=Œ0, O , D ,
‰ ‰ B‰
O
, ,
,
,
L‰ B‰ Ž‰
O
D
O
, 2 = ‚? , @ , D , B , O , L ,  , Ž , ‘ ƒ 9 nodos
Entonces lo mejor es ocupar la formula de trapecio compuesto,
“
F ≅ D ? + 2@ + D + B + O + L +  + Ž + ‘ , e = e , ℎ = O .
F
H
•
‰
@

 1


3
5
3
7
= < v DWDŠ‹VF ≅ –
—0 + 2 ˜ ™ + ˜ ™ + š › +  + š › + š › + š › + 2žŸ
2
2 42
4
2
4
4
2
4
D‰
?
Siendo = v DWPŠ‹VF , ? = 0, ‘ = 2 y ℎ = .
≅
‰
G
O
  1
| ∗ 7.3890561 + 2 ∗ ‚5.1885102 + 4.4816891 + 5.1885102 + 7.3890561 + 10.522895
2 4 2
+ 12.182494 + 10.522895ƒ + 7.3890561}
¡ ≅ 77.55671548
Aproximación por regla de Trapecio compuesto
b Ahora calcularemos la integral por la regla del Simpson con una distancia entre los nodos de
‰
h= D .
Los nodos son;
NodosN=Œ0, D , ,
‰
B‰
D
, 2 = ‚? , @ , D , B , O ƒ 5 nodos
Entonces lo mejor es ocupar la formula de Simpson compuesto,
F¢
< ≅
FH
ℎ

? + 4 ∗ @ + B + 2 ∗ D + O , e = e , ℎ =
3
2
D‰
@

 1

3
= < v DWDŠ‹VF ≅ –
— 0 + 4 ∗ £ ˜ ™ + š ›¤ + 2 ∗  + 2žŸ
2
2 23
2
2
≅
?
 1
7.3890561 + 4 ∗ 4.48168907 + 12.182494 + 2 ∗ 7.3890561 + 7.3890561}
|
2 23
¥ ≅ 79.1319849 Aproximación por regla de Simpson compuesto
El resultado exacto de la integral es; ¦ ≅ 77.55671622
El Error absoluto usando la regla de Trapecio compuesto es;
6¡§ = |77.55671548 − 77.55671622| = 0.00000074 = 7.4 ∗ 10WŽ
El Error absoluto usando la regla de Simpson compuesto es;
6¥§ = |79.1319849 − 77.55671622| = 1.57526868
Entonces; 6¡§ < 6¥§
Con esto se concluye que es más preciso aproximar la integral por medio de la regla de trapecio
‰
‰
compuesto de h= O , que con la regla de Simpson compuesto de h= D , puesto que la cantidad de
nodos de la R.T.C es mayor que la de la R.S.C.
2 La función de Bessel «? x es la solución de la ecuación diferencial x D … ¬¬ + x… ¬ + x D … = 0 con
Sol:
…0 = 1, y’ 0=0. «? x queda definida por la fórmula integral «? x = ? cos xwv\®®,
‰
@
‰
obtener expresiones aproximadas de «? 2 usando las reglas del trapecio y de Simpson.
a Primero aproximaremos «? 2, con la regla del Trapecio Compuesto, con una distancia entre
‰
‰
los nodos de ℎ = podría ser de ℎ = , pero disminuiría la precisión.
O
Los nodos son; N=Œ0, , ,
‰ ‰ B‰
O D
Entonces queda;
‰
O
D
,  = ‚? , @ , D , B , O ƒ 5 nodos
1
1 ℎ
«? 2 = < °±±±²±±±³
cos 2 ∗ wv\® ® ≅ | ? + 2@ + D + B + O }

 2
«? 2 ≅
?
F
1  1


3
| ∗ šcos2wv\0 + 2 šcos ˜2wv\ ™ + cos ˜2wv\ ™ + cos š2wv\ ›› + cos2wv\  ›}
 4 2
4
2
4
«? 2 ≅ 0.2239351382 Aproximación por regla de Trapecio compuesto.
b Ahora aproximaremos «? 2, con la regla del Simpson Compuesto, con una distancia entre los
‰
nodos de ℎ = O .
Los nodos son; N=Œ0, , ,
‰ ‰ B‰
O D
Entonces queda;
‰
O
,  = ‚? , @ , D , B , O ƒ 5 nodos
1
1 ℎ
«? 2 = < °±±±²±±±³
cos 2 ∗ wv\® ® ≅ | ? + 4@ + 2D + 4B + O }

 3
«? 2 ≅
?
F
1  1


3
| ∗ šcos2wv\0 + 4 cos ˜2wv\ ™ + 2 cos ˜2wv\ ™ + 4 cos š2wv\ › + cos2wv\ ›}
 4 3
4
2
4
«? 2 ≅ 0.2012713238 Aproximación por regla de Simpson compuesto.
El resultado exacto de la integral es; ¦ ≅ 0.2238907791
El Error absoluto usando la regla de Trapecio compuesto es;
6¡§ = |0.2238907791 − 0.2239351382| = 0.000044359
El Error absoluto usando la regla de Simpson compuesto es;
6¥§ = |0.2238907791 − 0.2012713238| = 0.022619455
Entonces; 6¡§ < 6¥§
La mejor aproximación es con la regla de Trapecio Compuesto
Obs: En los casos en que se tiene una cantidad par de nodos, por lo general la regla de Simpson
será más precisa que la regla de Trapecio
3 Determinar el numero M de sub-intervalos y el paso h de manera que el 6Š de la regla
Sol:
compuesta de Simpson en la aproximación D F ≈ ´, ℎ sea menor que 510Wµ .
Ž@
Se sabe que el error de la regla compuesta de Simpson en valor absoluto, pues nos interesa el
error no el signo, tiene que ser menor al error dado, entonces se tiene;
|6Š | =
¶ − ? ℎO O
E < 510Wµ
180
? : Es el límite de integración inferior.
¶ : Es el límite de integración superior.
O E: Es la el máximo absoluto de la cuarta derivada de , entre los limites de integración.
ℎ=
: Salto entre los nodos, n debe ser par.
F· WFH ¶
Es decir;
? = 2; ¶ = 7; ℎ = ¶
L
5 5̧ O
|6Š | =
š › max | O | < 510Wµ
F ∈]D,Ž_
180
Para encontrar O E, debemos encontrar el máximo absoluto de la cuarta derivada entre el
intervalo ]2,7_.
=
@
F
′=−
@
FP
′′=
D
FR
′′′=−

F¢
e» =
DO
F¼
Entre más pequeño sea el denominador más grande será el valor de la cuarta derivada, por lo
tanto nuestro mínimo posible es 2, el máximo absoluto será e» =
DO
D¼
=
DO
BD
Entonces, al reemplazar este valor en la formula de error, podremos obtener M;
5 5̧ O 24
š ›
< 510Wµ
32
180
226 < ¸
Entonces para obtener un error menor a 510Wµ , la cantidad de sub-intervalos debe ser mayor a
226.
4 Determine los coeficientes ¾@ , ¾D … ¾B de modo que la formula W@ = ¾@ −0.5 +
¾D 0 + ¾B 0.5 sea exacta para polinomios del mayor grado posible. Hallar este grado.
@
Sol:
Para determinar los coeficientes, se debe evaluar por cada una de la base canónica de un
polinomio, es decir;
= 1 W@ 1 = 2 = ¾@ + ¾D + ¾B
@
= W@ = 0 = −0.5¾@ + 0.5¾B
@
= D W@ D = = 0.25¾@ + 0.25¾B
B
@
D
Ordenándolo de forma matricial queda;
1
1
–−0.5 0
0.25 0
¾@
2
1
0.5 Ÿ –¾D Ÿ = – 0 Ÿ
2/3
0.25 ¾B
4/3
¾@
La solución es; –¾D Ÿ = –−2/3Ÿ
¾B
4/3
Entonces la formula de cuadratura queda;
@
4
2
4
< = −0.5 − 0 + 0.5
3
3
3
W@
Para analizar la precisión de la formula, se debe evaluar por una base de un polinomio canónico
hasta que la integral arroje un resultado diferente al resultado de la suma, es decir;
= 1
= W@ 1 = 2 = − + = 2 Formula de por lo menos grado 0
B
B
B
@
O
D
O
W@ = 0 = −0.5 + 0.5 = 0 Formula de por lo menos grado 1
B
B
@
O
O
= D W@ D = B = B −0.5D + B 0.5D = B Formula de por lo menos grado 2
@
D
O
O
D
Es innecesario evaluar estas 3 bases, ya que es obvio que debe cumplirse la igualdad.
= B W@ B = 0 = B −0.5B + B 0.5B = 0 Formula de por lo menos grado 3
@
O
O
= O W@ O = L ≠ B −0.5O + B 0.5O = 
@
D
O
O
@
La Formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado por lo menos 3.
5 Comprobar que la siguiente fórmula de cuadratura tiene grado de precisión ≥ 4
@
Sol:
< =
?
1
1
1
3
Â70 + 32 š › + 12 š › + 32 š › + 71Ã
90
4
2
4
Al igual que en el ejercicio anterior, es decir;
= 1
= ? 1 = 1 = µ? ‚7 + 32 + 12 + 32 + 7ƒ = 1
@
@
? = = Œ32 ˜ ™ + 12 ˜ ™ + 32 ˜ ™ + 71 =
D
µ?
O
D
O
D
@
@
@
@
@ D
@
@ D
B
B D
@
= D ? D = = Â32 ˜ ™ + 12 ˜ ™ + 32 ˜ ™ + 71D à =
B
µ?
O
D
O
B
@
@
@
@ B
@ B
B B
@
= B ? B = O = µ? Â32 ˜O™ + 12 ˜D™ + 32 ˜O™ + 71B à = O
@
@
@
@ O
@ O
B O
@
= O ? O = = Â32 ˜ ™ + 12 ˜ ™ + 32 ˜ ™ + 71O à =
L
µ?
O
D
O
L
@
@
@
@
@ L
@ L
B L
= L ? L = = Â32 ˜ ™ + 12 ˜ ™ + 32 ˜ ™ + 71L à =

µ?
O
D
O

@
@
@
@ L
@ L
B L
@
=  ?  = ≠ Â32 ˜ ™ + 12 ˜ ™ + 32 ˜ ™ + 71L à =
Ž
µ?
O
D
O
B‘O
@
@
@
LL
La formula de cuadratura tiene orden o grado de precisión a lo menos 5, que es más de lo que se
pide.
6 Determinar una fórmula de cuadratura de la forma ? = ¾‚@ + D ƒ que
integre exactamente los polinomios de hasta grado 2, es decir, para que fórmula dada sea
de grado ≥ 2.
@
Sol:
Se debe evaluar en la base canónica de grado 0, ya que solo existe un solo coeficiente
indeterminado, entonces;
= 1 ? 1 = 1 = ¾‚1 + 1ƒ ¾ = 1/2
@
La fórmula queda; ? = ‚@ + D ƒ Trapecio simple
D
@
@
Para que la formula sea exacta para polinomios de hasta grado 2, debemos evaluar en
‚, D ƒ, entonces;
= ? = = ‚@ + D ƒ
@
@
D
@
D
= D ? D = B = D ‚@ D + D D ƒ
Se tiene que;
@
@
@
@ + D = 1 @ = 1 − D
@ D + D D = 2/3 1 − D D + D D = 2/3
1 − 2D + D D + D D = 2/3
2D D − 2D + 1/3 = 0 D =
D @ = 0.2113248654 @ @ = 0.7886751346
D D = 0.7886751346 @ D = 0.2113248654
B ± √B

En este punto podemos elegir uno de los 2 pares de raíces el resultado será el mismo.
Con @ = 0.7886751346 y D = 0.2113248654
@
< =
?
1
‚0.7886751346 + 0.2113248654ƒ
2
Análisis de precisión;
= ? = D = D ‚0.7886751346 + 0.2113248654ƒ ≈ D
@
@
@
@
= D ? D = B = D ‚0.7886751346D + 0.2113248654D ƒ ≈ B
@
@
@
@
= B ? B = = ‚0.7886751346B + 0.2113248654B ƒ ≈
O
D
O
@
@
@
La formula de cuadratura tiene grado al menos 3, más de lo necesario.
@
7 La regla de Lobato es una fórmula de cuadratura gaussiana tal que;
@
VW@
< = ¾? −1 + T ¾e e + ¾V 1
W@
eX@
a Obtener la regla de Lobatto para n=3. ¿Qué tan precisa es esta regla?
b Estimar @ v F usando la regla de Lobatto.
Sol:
D
a La regla de Lobatto para n=3 es;
@
< = ¾? −1 + ¾@ @ + ¾D D + ¾B 1
W@
Si consideramos los nodos como equiespaciados, los nodos intermedios se pueden obtener por
medio de la formula c = ? + ℎd, entonces;
B = ? + 3ℎ 1 = −1 + 3ℎ ℎ = 2/3
@ = ? + 1ℎ @ = −1 + ℎ @ = −1/3
D = ? + 2ℎ D = −1 + 2ℎ D = 1/3
Entonces la regla de Lobatto para n=3 con nodos equiespaciados es;
@
1
1
< = ¾? −1 + ¾@ š− › + ¾D š › + ¾B 1
3
3
W@
Ahora para obtener los coeficientes indeterminados ¾e , la formula debe ser exacta para todos los
polinomios de grado menor o igual a 3, por lo que se debe evaluar en la base ‚1, , D , B ƒ,
entonces;
= 1 W@ 1 = 2 = ¾? + ¾@ + ¾D + ¾B
@
= W@ = 0 = −¾? − ¾@ + ¾D + ¾B
B
B
@
@
@
@ D
@ D
= D W@ D = = ¾? + ¾@ ˜− ™ + ¾D ˜ ™ + ¾B
B
B
B
@
D
@ B
@ B
= B W@ B = 0 = −¾? + ¾@ ˜− B™ + ¾D ˜B™ + ¾B
@
De Forma ordenada queda;
1
−1
É
1
−1
1
1
1/3
−1/3
1/9
1/9
−1/27 1/27
1 ¾?
2
1 ¾@
0
ÊÉ Ê = É
Ê La solución es 2/3
1 ¾D
0
1 ¾B
La cuadratura finalmente queda;
W@ = O −1 + O ˜− B™ + O ˜B™ + O 1
@
@
B
Análisis de precisión;
@
B
@
1/4
¾?
3/4
¾@
É Ê=É
Ê
¾D
3/4
¾B
1/4
@
Regla de Lobatto para n=3
@ B
@ B
= B W@ B = 0 = Â−1 + 3 ˜− ™ + 3 ˜ ™ + 1à = 0
O
B
B
@
@
@ O
@ O
= O W@ O = ≠ Â−1 + 3 ˜− ™ + 3 ˜ ™ + 1à =
L
O
B
B
DŽ
@
D
@
@O
La Regla de Lobatto para n=3, es exacta para polinomios de por lo menos grado 3.
b Para estimar @ v F con la regla de Lobatto para n=3, se debe cambiar los limites de
D
integración actuales 1,2 a los limites de integración de la regla -1,1,esto se hace
asociándolos a una recta, esta recta hará cambiar la variable con la que se está tratando, es
decir;
]1,2_ → ]−1,1_
→ … = † + \
= 1 ⟹ −1 = †1 + \
= 2 ⟹ 1 = †2 + \
La solución del sistema es; † = 2 … \ = −3, al reemplazarlos en la recta se tiene;
… = 2 − 3 La derivada es
ÎÍ
D
ÍsB
D
=
= D
@
= < v F → <
ÑÒ
@
!ÓÓÒ
W@
v
ÍsB
D
2
1 1
… = | Ïv@ + 3v O/B + 3v L/B + v D Ð} = 4.6714764703563
2 4
= 4.6714764703563
vhoxh‹F!ÔÓ! = 4.6707742704716
6Õ ÑÒ
ÑÒ
!ÓÓÒ =| ‹F!ÔÓ!
!ÓÓÒ
− ÑÒ
!ÓÓÒ |
= 0.00 07022
Es una buena estimación de la integral
8) Determine las constantes A1, A2 y A3 de modo que la siguiente fórmula de cuadratura
@
1
< ( ) = ¾? (0) + ¾@ (0.5) + ¾D (1)
2
?
D
sea exacta para polinomios de grado al menos 2. Úsela para estimar ? v WF .
P
Sol:
La formula debe ser exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a 2, por lo que se
debe evaluar () en la base ‚1, , D ƒ, entonces;
( ) = 1 ? = 1 = ¾? + D ¾@ + ¾D
@
( ) = ? = =
D
@
@
?.L
D
( ) = D ? D = =
B
@
@
@
¾@ + ¾D
(?.L)P
D
¾@ + ¾D
En forma matricial queda;
1 1/2 1 ¾?
1/6
1
¾?
–0 1/4 1Ÿ –¾@ Ÿ = –1/2Ÿ –¾@ Ÿ = –4/3Ÿ
1/3
¾D
0 1/8 1 ¾D
1/6
La cuadratura entonces es;
@
< () =
?
1
2
1
(0) + (0.5) + (1)
6
3
6
Análisis de precisión;
( ) = D ? D = = (0.5)D + =
B
B

B
@
@
D
@
@
( ) = B ? B = O = B (0.5)B +  = O
@
@
D
@
@
( ) = O ? O = ≠ (0.5)O + =
L
B

DO
La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado al menos 3.
@
@
D
D
@
L
Ahora para estimar ? v WF , debemos hacer el mismo proceso que en el problema anterior, es
decir;
]0,2_ → ]0,1_
P
→ … = † + \
=0⟹0=\
= 2 ⟹ 1 = †2 + \ † = 1/2
…=
F
D
2… = /*d 2… = Entonces la integral queda;
D
= <v
?
WF P
@
1
2
1
P
P
→ < v WDÍ 2… = 2 | v ? + v WO∗?.L + v WO } = 0.82994446785818
6
3
6
?
ÕØÙÒF = 0.82994446785818
¦F!ÔÓ! = 0.88208139076235
6Ú (ÕØÙÒF )=
|ÛÜÝÞßàÞ WÛáâãäÝ |
|ÛåÝÞßàÞ |
= 0.0591067
6Õ ÕØÙÒF =| ‹F!ÔÓ! − ÕØÙÒF | = 0.052136923
6Ú% ÏÕØÙÒF Ð = 5.91%
9) Determinar los valores de las constantes A1, A2 y A3 de modo que la fórmula de cuadratura
? () = ℎ Œ¾@ (0) + ¾D ˜B ™ + ¾B (ℎ) sea exacta para polinomios del mayor grado posible.
•
Estime la integral =
•
D ?.L WÓ P
v x.
√‰ ?
Sol:
Para que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a 2, se debe
evaluar ( ) en la base ‚1, , D ƒ, entonces;
( ) = 1 ? = ℎ = ℎ‚¾@ + ¾D + ¾B ƒ
•
( ) = ? =
( ) = D
•
•
? D •P
D
=
= ℎ Œ¾D ˜ ™ + ¾B ℎ
•R
B
•
B
• D
= ℎ ¾D ˜ ™ + ¾B ℎD Ã
B
De forma matricial;
1
1
1 ¾@
1
¾@
0
D
ℎ
0
ℎ/3
ℎ
/2
3/4
è –¾D Ÿ = ç
è –¾D Ÿ = –
Ÿ
ç
¾B
1/4
0 ℎD /9 ℎD ¾B
ℎB /3
La cuadratura entonces es;
•
3 ℎ
1
< () = ℎ  š › + (ℎ)Ã
4
4 3
?
Análisis de precisión;
( ) = D ? D =
() = B •
•
? B =
•R
B
•¢
O
B • D
= ℎ  ˜ ™ + ℎD à =
O B
B • B
@
O
≠ ℎ  ˜ ™ + ℎB à =
O B
@
O
•R
B
L•¢
@‘
La fórmula de cuadratura es exacta para polinomios de al menos grado 2.
Ahora para estimar la integral =
P
?.L
? v WÓ x,
‰
√
D
pues ℎ = 0.5, entonces la cuadratura queda;
?.L
3 0.5
1
< = 0.5  š › + 0.5Ã
4
3
4
?
con nuestra cuadratura, hay que solo aplicarla,
Y al aplicarla en la integral resulta;
ÕØÙÒF =
?.L
2
2
3 W˜?.L™P 1 W?.LP
€0.5 ê v B + v
ë = 0.521397808543
x =
4
4
√
< v
√
?
ÕØÙÒF = 0.521397808543
¦F!ÔÓ! = 0.520499877813
6Ú (ÕØÙÒF )=
WÓ P
|ÛÜÝÞßàÞ WÛáâãäÝ |
|ÛåÝÞßàÞ |
= 0.001725131
6Õ ÕØÙÒF =|‹F!ÔÓ! − ÕØÙÒF | = 0.000897931
6Ú% ÏÕØÙÒF Ð = 0.17%
10) Determinar los valores de los coeficientes A1, A2 y A3 de modo que la fórmula de cuadratura
B•
? ()
= ¾@ (0) + ¾D (ℎ) + ¾B (3ℎ) sea exacta para polinomios del mayor grado posible.
Sol:
Para que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a 2, se debe
evaluar ( ) en la base ‚1, , D ƒ, entonces;
( ) = 1 ? = 3ℎ = ¾@ + ¾D + ¾B
B•
( ) = ? =
B•
µ•P
( ) = D ? D =
B•
= ¾D ℎ + ¾B 3ℎ
D
DŽ•R
B
= ¾D ℎD + ¾B 9ℎD
De forma matricial;
3ℎ
¾@
0
1 1
1 ¾@
D
9ℎ
/2
–0 ℎ 3ℎ Ÿ –¾D Ÿ = ç
è –¾D Ÿ = –9ℎ/4Ÿ
¾B
3ℎ/4
27ℎB /3
0 ℎD 9ℎD ¾B
La cuadratura entonces es;
B•
< ( ) =
?
9ℎ
3ℎ
(ℎ) +
(3ℎ)
4
4
Análisis de precisión;
( ) = D ? D =
B•
( ) = B ? B =
B•
DŽ•R
B
‘@•¢
O
=
≠
µ•
ℎD +
O
µ•
O
ℎB +
B•
9ℎD = 9ℎB
O
B•
O
27ℎB =
OL•¢
D
La fórmula de cuadratura es exacta para polinomios de al menos grado 2.
11Calcular W@ D mediante una regla de cuadratura de la forma
@
W@ D = ¾? ? + ¾@ @ que sea exacta para polinomios de grado menor o igual que 3.
@
Sol:
Para que la fórmula sea exacta para todos los polinomios de grado menor o igual a 3, se debe
evaluar en la base ‚1, , D , B ƒ, entonces;
g = 1 W@ D = B = ¾? + ¾@
@
D
gg = W@ B = 0 = ¾? ? + ¾@ @
@
ggg = D W@ O = = ¾? ?D + ¾@ @D
L
@
D
gì = B W@ L = 0 = ¾? ?B + ¾@ @B
@
Tomando i y ii, se tiene una solución posible;
WDFG
1
|
?
¾
1 ¾?
BFH WFG 2/3
}| } = í
î | ? } = ç DF
è
H
@ ¾@
¾@
0
D
€ ?B
?
@D ¾?
¾?
LFHP FH WFG 2/5

|
}
=
í
î
|
}
=
ç
è
DFH
¾@
0
@B ¾@
P
BFH WFG Con ? ≠ @
Tomando iii y iv, se tiene otra solución posible;
WDFG
LFG FH WFG Con ? ≠ @
Ahora si igualamos nuestros pares de soluciones, se tiene que;
WDFG
BFH WFG DFH
BFH WFG =
WDFG
LFHP FH WFG = LF PF HWF
G
DF
H
? = ±ï
G
B
L
@ = ±ïL
B
Como ? ≠ @ , entonces las nodos posibles son; ? = ïL … @ = −ïL ó ? = −ïL … @ = ïL
En cuanto a los coeficientes estos son; ¾? = ¾@ =
La cuadratura finalmente queda;
@
1
3
1
3
< D = S±ð Y + S∓ð Y
3
5
3
5
W@
Análisis de precisión;
@
B
B
B
B
B
= 1 W@ D = B = B + B = B
@
D
@
@
D
= W@ B = 0 = B £−ïL¤ + B £ïL¤ = 0
@
= = D
B
@
@
W@ O @
W@ L B
D
@
B
D
= L = B £−ïL¤ + B £ïL¤ = L
D
@
B
B
@
B
B
D
= 0 = B £−ïL¤ + B £ïL¤ = 0
@
B
@
B
La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3
12 Dada la integral
∫
1
0
1− x2
dx se pide:
1+ x2
a Calcular la estimación proporcionada por la fórmula de Simpson básica.
b Calcular la estimación de la fórmula de Simpson compuesta de 11 sumandos.
Sol:
a Para aplicar la formula de Simpson simple, debemos conocer 3 nodos.
FP
< ≅
FH
ℎ
Ï? + 4@ + D Ð
3
Los nodos son; NodosN=‚0,0.5,1ƒ = ‚? , @ , D ƒ 3 nodos equiespaciados ℎ = 0.5
@
=<
?
1 − D
0.5
Ï0 + 4 0.5 + 1Ð
≅
D
1+
3
1
1 − 0.5D
¤ + 0¤
≅ £1 + 4 £
6
1 + 0.5D
≅ 0.56666667
ÕØÙÒFW@ ≅ 0.566666667
La integral exacta es; ¦F!ÔÓ! ≅ 0.570796327
Los errores son;
6Õ ÕØÙÒFW@ =| ‹F!ÔÓ! − ÕØÙÒFW@ | = 0.00412966
6Ú (ÕØÙÒFW@ )=
|ÛÜÝÞßàÞ WÛáâãäÝòG |
|ÛåÝÞßàÞ |
= 0.00723491
6Ú% ÏÕØÙÒFW@ Ð = 0.72%
b) Para aplicar la formula compuesta de Simpson de 11 nodos (sumandos), debemos conocer
esos nodos, y la distancia entre ellos.
FGH
ℎ
+ 4@ + B + L + Ž + µ + 2D + O +  + ‘ + @? , e = e , ℎ = 0.1
3 ?
< ≅
FH
NodosN=‚0; 0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6; 0.7; 0.8; 0.9; 1ƒ = ‚? , @ , D , B , O , L ,  , Ž , ‘ , µ , @? , ƒ
11 nodos equiespaciados ℎ = 0.1
@
<
?
1 − D
0.1
1 − 0.1D
1 − 0.3D
1 − 0.5D
1 − 0.7D
1 − 0.9D
¤
£
¤
£
¤
£
¤
£
¤ž
≅
–1
+
4
—£
+
+
+
+
1 + D
3
1 + 0.1D
1 + 0.3D
1 + 0.1D
1 + 0.7D
1 + 0.9D
1 − 0.2D
1 − 0.4D
1 − 0.6D
1 − 0.8D
¤
£
¤
£
¤
£
¤ž + 0Ÿ
+
+
+
1 + 0.2D
1 + 0.4D
1 + 0.6D
1 + 0.8D
≅ 0.57079630697
+ 2 —£
ÕØÙÒFWD ≅ 0.57079630697
Los errores son;
6Õ ÕØÙÒFWD =| ‹F!ÔÓ! − ÕØÙÒFWD | = 0.00000002
6Ú (ÕØÙÒFWD )=
|ÛÜÝÞßàÞ WÛáâãäÝòP |
|ÛåÝÞßàÞ |
= 0.000000035
6Ú% ÏÕØÙÒFWD Ð ≅ 0%
13) Sea () = D + B − O . Averiguar el número de veces que hay que dividir el intervalo
B
@D
@
@
(0,2) para que al estimar el valor de
∫
2
f ( x) dx usando las fórmulas compuestas de los
trapecios y de Simpson el error (en valor absoluto) sea inferior a 10 −3 .
0
Sol:
• En el caso de Trapecio Compuesto.
Para averiguar el número de subintervalos, se necesita que el error (en valor absoluto) de la regla
de trapecio compuesto sea menor que 10WB , es decir;
(V − ? )ℎD (D)
(V − ? )
(
)
(E) ≤ 10WB ; ℎ =
|6 | =
12
\
=
(FZ WFH )R
@DVP
maxF ∈]?,D_ | (D) ()| ≤ 10WB
Para encontrar (D) (E), debemos encontrar el máximo absoluto de la segunda derivada entre el
intervalo ]0,2_.
()= D + B −
@
B
@
@D
O ′()=2 + D −
FR
B
′′()=2 + 2 − D
Si obtenernos la tercera derivada y la igualamos a 0, encontraremos un máximo absoluto.
¬¬¬ ()=2 − 2 = 0 = 1
Entonces; maxF ∈]?,D_ | (D) ()| = ′′(1)=3
Por lo tanto;
(DW?)R
@DVP
3 ≤ 10WB 2000≤ \ D 44.7 ≤ \ 45= \
Hay que dividir el intervalo (0,2) 45 veces a lo menos, para que el error según la regla compuesta
de trapecio sea inferior a 10 −3 .
• En el caso de Simpson Compuesto.
Para averiguar el número de subintervalos, se necesita que el error (en valor absoluto) de la regla
de Simpson compuesto sea menor que 10WB , es decir;
(V − ? )ℎO (O)
(V − ? )
(
)
|6 | =
(E) ≤ 10WB ; ℎ =
180
\
=
(FZ WFH )¼
@‘?V¢
maxF ∈]?,D_ | (O) ()| ≤ 10WB
Para encontrar (O) (E), debemos encontrar el máximo absoluto de la cuarta derivada entre el
intervalo ]0,2_.
′′()=2 + 2 − D ¬¬¬ ( )=2 − 2 e» ()=−2
Entonces; maxF ∈]?,D_ | (O) ()| = 2
Por lo tanto;
(DW?)¼
@‘?V¢
2 ≤ 10WB 355.555≤ \ O 4.34 ≤ \ 6= \
Hay que dividir el intervalo (0,2) 6 veces a lo menos, para que el error según la regla compuesta
de Simpson sea inferior a 10 −3 .
14) Se consideran los nodos: ‚-1, c, 1ƒ con c fijo y distinto de 1 y -1. Sea f (x) una función definida
en el intervalo ]-1, 1_.
a) Determinar los coeficientes a 0 , a1 , a 2 en la fórmula:
W@ () ≅ h? (−1) + h@ (o ) + hD (1) para que integre exactamente polinomios de
@
grado inferior o igual a 2.
b) Obtener el valor de c para que también integre de forma exacta polinomios de grado 3.
Sol:
c) Aplicar la fórmula obtenida anteriormente a f ( x) =
x+5
y compara con el valor exacto.
11
a) Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios de grado menor o igual a 2, se debe
evaluar ( ) en la base ‚1, , D ƒ, entonces;
@
< ≅ h? −1 + h@ o + hD 1
W@
= 1 W@ 1 = 2 = h? + h@ + hD
@
= W@ = 0 = −h? + h@ o + hD
@
= D W@ D = = h? + h@ o D + hD
B
@
D
En forma matricial;
@sBÔ
ö B@sÔ ù
h?
2
1
1 1 h?
õ O ø
–−1 o 1Ÿ –h@ Ÿ = – 0 Ÿ –h@ Ÿ = õB@WÔ Pø
hD
2/3
1 o D 1 hD
õ @WBÔ ø
ô B@WÔ ÷
La cuadratura entonces es;
@
< ≅
W@
1 + 3o
4
1 − 3o
−1 +
o
+
1
31 + o
31 − o D 31 − o
b Para que integra de forma exacta polinomios de grado 3, debemos evaluar fx como B para
obtener c.
= B W@ B = 0 = −
+
oB +
B@WÔ
B@sÔ
B@WÔ P @
@sBÔ
O
0 = −1 + 3o1 − o + 4o B + 1 − 3o 1 + o
@WBÔ
0 = −1 − 2o + 3o D + 4o B + 1 − 2o − 3o D
0 = 4o o D − 1 o = 0 p o = ±1
Ya que c≠ ‚−1,1ƒ, entonces el o buscado es o = 0 es el valor con el cual se puede integrar de
forma exacta polinomios de grado menor o igual a 3.
c Ahora aplicaremos la formula de cuadratura a = ï
@
+5
1
4
1
ÕØÙÒF = < ð
≅ −1 + 0 + 1
11
3
3
3
W@
≅
1
4
5
6
úð + 4 ð + ð û
3
11
11
11
ÕØÙÒF ≅ 1.3461236949615 = 0.13461236949615 ∗ 10üX@
¦F!ÔÓ! ≅ 1.3461352790892 = 0.13461352790892 ∗ 10@
6Õ ÕØÙÒF =|‹F!ÔÓ! − ÕØÙÒF | = 0.000011584
FsL
@@
, con c=0.
6Ú ÕØÙÒF =
|ÛÜÝÞßàÞ WÛáâãäÝ |
|ÛåÝÞßàÞ |
Dígitos Significativos
6Ú% ÏÕØÙÒF Ð ≅ 0%
= 0.000008605
6Õ ÏÕØÙÒF Ð ≤ 0.5 ∗ 10üWý
0.000011584 ≤ 0.5 ∗ 10@Wý
0.000011584
≤ 10@Wý /∗ þp{
0.5
?.????@@L‘O
þp{ ˜
™ ≤ 1 − ≤ 5.62 = 5 (5 dígitos significativos)
?.L
15) Se considera la siguiente fórmula de cuadratura:
∫
1
f ( x ) dx ≈ a 0 f (−1 / 2) + a1 f (0) + a 2 f (1 / 2)
a) Determinar los coeficientes a0 , a1 y a2 para que sea exacta para polinomios del mayor
grado posible.
b) Sea P3 ( x) el polinomio de interpolación "mixta" tal que:
−1
P3 (−1 / 2) = f (−1 / 2) , P3 (0) = f (0) , P3 ' (0) = f ' (0) y P3 (1 / 2) = f (1 / 2)
Razonar que la fórmula de cuadratura obtenida en el apartado a) es la misma que la que se
obtendría integrando el polinomio P3 ( x) .
Sol:
@
a) Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe
evaluar ( ) en la base ‚1, , D ƒ, como mínimo, entonces;
< () ≅ h? (−1/2) + h@ (0) + hD (1/2)
W@
( ) = 1 W@ 1 = 2 = h? + h@ + hD
@
( ) = W@ = 0 =
@
W!H
D
( ) = D W@ D = =
B
@
En forma matricial;
D
!H
O
+
+
!P
D
!P
O
O
öBù
h?
1 h?
2
WD
1/2Ÿ –h@ Ÿ = – 0 Ÿ –h@ Ÿ = õõ øø
B
hD
2/3
1/4 hD
õOø
ôB÷
La cuadratura entonces es;
1
1
–−1/2 0
1/4 0
@
< ( ) ≅
W@
4
−2
4
(−1/2) +
(0) + (1/2)
3
3
3
Formula exacta para polinomios de grado por lo menos 2.
Análisis de precisión;
@ B
O @ B
= B W@ B = 0 = ˜− ™ + ˜ ™ = 0
B
D
B D
@
O
@ O
O @ O
= O W@ O = ≠ ˜− ™ + ˜ ™ =
L
B
D
B D

@
D
O
@
La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3.
b Para este caso se debe ocupar la interpolación de Hermite, ya que nos dan la derivada de un
punto en específico.
x fx
-1/2 − 0
0
1/2
0
@
D
G
P
?WW
0
@
D
G
P
?WW ′0
G
P
G
W?
P
G
P
˜ ™W?
1
G
P
?WD?sDW G
?WW
P
G
W?
P
1
G
P
G
P
O˜ ™WO?WD ?WD ?WO?sO˜W ™
D˜ ™WD?W¬?
1
G
G
WW
P
P
1
1
4B = š− › + £20 − 2 š− ›¤ š + › + £2′ 0 − 40 + 4 š− ›¤ š + › − 0
2
2
1
1
2
2
1
+ 4 š › − 4′ 0 − 4 š− › š + › − 02
2
2
2
Al expandir esta expresión podemos llegar lo siguiente:
1
2
1
4B = 22 − 43 š− › + 1 − 42 0 + − 43 ′ 0 + 43 + 22 š ›
2
Ahora se debe integrar desde -1 a 1, entonces:
@
1
2
1
1
1
−1
1
−1
−1
< 4B = š− › <22 − 43 + 0 <1 − 42 + ′ 0 < − 43 W@
2
1
+ š › <43 + 22 2
−1
Lo que resulta en que;
@
4
1
2
4 1
< 4B = š− › − 0 + š ›
3
2
3
3 2
W@
Por lo tanto, al integrar el polinomio de interpolación que se obtiene por medio de la interpolación
de Hermite, se obtiene que la cuadratura obtenida es la misma que la del ítem a.
16 Un polinomio P3 ( x) de grado 2 verifica que : P3 (0) = 1 , P3 (2) = 3 y que:
Sol:
Averiguar P3 (1) .
x fx
0
1
2
1
4B 1
3
43 1W@
@W?
BW43 1
DW@
BW43 1W43 1W@
DW?
∫
2
0
P3 ( x) dx = 4 .
= 2 − 43 1
4B = 1 + 4B 1 − 1 − 0 + Ï2 − 4B 1Ð − 0 − 1
4B = 1 + 4B 1 − + 22 − 2 − 2 4B 1 + 4B 1
4B = 1 + 24B 1 + 22 − 2 4B 1 − 3 /*? D
D
< 4B = 2 + 44B 1 +
?
16 8
− 4 1 − 6 = 4 /∗ 3
3 3 B
6 + 124B 1 + 16 − 84B 1 − 18 = 12
Despejando 4B 1 se obtiene que; 4B 1 = 2
17 ¿Alguna de las fórmulas de integración numérica estudiadas permite integrar de forma exacta
Sol:
polinomios de grado 5? Comprobarlo con f ( x ) = x 5 + 1 en el intervalo ]0, 1_.
La integral exacta de fx es: ¦ = ? = ? L + 1 = ≅ 1.1666666666667

@
@
Ž
Debemos crear una formula de integración con los nodos ‚0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1ƒ, ya que esta
fórmula debe integrar de forma exacta polinomios de grado 5, por lo que se requieren 6 nodos
para el procedimiento.
@
< = ¾? + @ + D + B + 6O + L ?
@
< = ¾ 0 + 0.2 + 0.4 + 0.6 + 60.8 + 1
?
= 1
= ? 1 = 1 = ¾ + + + + 6 + @
? = = 0.2 + 0.4 + 0.6 + 0.86 + D
@
@
= D ? D = B = 0.2D + 0.4D + 0.6D + 0.8D 6 + @
@
= B ? B = = 0.2B + 0.4B + 0.6B + 0.8B 6 + O
@
@
= O ? O = = 0.2O + 0.4O + 0.6O + 0.8O 6 + L
@
@
= L ? L = = 0.2L + 0.4L + 0.6L + 0.8L 6 + 
@
@
Ordenando de forma matricial:
1
ö0
õ
õ0
õ0
õ0
ô0
1
0.2
0.2D
0.2B
0.2O
0.2L
1
0.4
0.4D
0.4B
0.4O
0.4L
El resultado es:
1
0.6
0.6D
0.6B
0.6O
0.6L
1
0.8
0.8D
0.8B
0.8O
0.8L
1
1
¾
ö1/2ù
ù
ö
ù
1
ø
ø õ ø õ
1ø õ ø õ1/3ø
∗
=
1ø õ ø õ1/4ø
1ø õ 6 ø õ1/5ø
1÷ ô ÷ ô1/6÷
¾
0.0659722222
ö ù ö0.2604166667ù
ø
õ ø õ
õ ø ≅ õ 0.173611111 ø
õø õ 0.173611111 ø
õ 6 ø õ0.2604166667ø
ô ÷ ô0.0659722222÷
Entonces la cuadratura queda como:
@
< ≅ 0.0659722222 0 + 0.2604166667 0.2 + 0.173611111 0.4
?
@
+ 0.1736111110.6 + 0.26041666670.8 + 0.06597222221
< ≅ 0.0659722222Ï0 + 1Ð + 0.2604166667Ï0.2 + 0.8Ð
?
+ 0.1736111110.4 + 0.6
Tomando = L + 1, tenemos que el resultado de la integral que se aproxima a la integral
exacta es:
@
< ≅ 0.06597222220L + 1 + 1L + 1 + 0.26041666670.2L + 1 + 0.8L + 1
?
+ 0.1736111110.4L + 1 + 0.6L + 1 = 1.1666666664456
Õ = 1.1666666664456 ≅
7
6
Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta
Error Absoluto 6Õ = |¦ − Õ | = 2.211 ∗ 10W@? ≅ 0
Error Relativo 6Ú =
= 1.895 ∗ 10W@? ≅ 0
|Ûå WÛá |
|Ûå |
Error Relativo Porcentual 6Ú% =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
∗ 100% = 1.895 ∗ 10W‘ % ≅ 0%
Podríamos decir que la formula de integración numérica es exacta para polinomios de grado 5, en
especial = L + 1
18 Se desea aproximar
∫
2
f ( x ) dx mediante la fórmula I = a0 f (1 / 4) + a1 f (1) + a2 f (3 / 4)
Determinar los coeficientes a0 , a1 , a 2 para que integre exactamente polinomios de grado inferior
0
o igual a 2. Comprobar la fórmula con f ( x) = 3 x 2 − 2 .
Sol:
= 1 ? = 2 = h? + h@ + hD
D
= ? = 2 =
D
!H
O
+ h@ +
B!P
O
= D ? D = = H + h@ +
B
@
D
En forma matricial;
D
!
µ!P
@
@
ö µ ù
h?
h?
1
1
1
2
õ L? ø
– 1/4 0 1/4 Ÿ –h@ Ÿ = – 2 Ÿ –h@ Ÿ = õ µ ø
hD
8/3
1/16 0 1/16 hD
õW@ø
ô B ÷
La cuadratura entonces es;
D
< =
?
16
1
50
16 1
š− › + 0 − š ›
9
2
9
3
2
Formula exacta para polinomios de grado por lo menos 2.
Para f ( x) = 3 x 2 − 2
D
16
1 D
50
16
1 D
D
£3 š− › − 2¤ + 30 − 2 − £3 š › − 2¤ = 4
Õ = < 3 − 2 =
9
2
9
3
2
?
D
La integral exacta tiene el mismo valor que la integral de aproximación, por lo que el error es 0.
19 Se desea averiguar el valor aproximado de
Sol:
∫
2
ln ( x + 1) dx utilizando las fórmulas
compuestas de los trapecios y de Simpson. Averiguar el valor de n para que el error en valor
1
absoluto que se cometa al aplicar estas fórmulas sea como mucho 10-4.
El error absoluto de la formula compuesta del Trapecio es:
V − ? ℎD D
V − ? 6 =
E op\ ℎ =
12
\
Siendo en este caso que V = 2 y que ? = 1, por lo que ℎ = V, entonces;
6 =
1
1
D max | (D) ( )| ≤ 10WO
E
=
D
D
F
12\
12\ ]@,D_
′() =
1
+1
@
( ) = ln ( + 1)
¬¬(F) = (Fs@)P maxF ]@,D_ (D) ( ) ¬¬ (1) = −0.25
@
@DVP
W@
¬¬ (1.5) = −0.16
¬¬ (2) = −0.111
0.25 ≤ 10WO 14.43 ≤ \ \ = 15
Se necesita 15 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 10WO .
El error absoluto de la formula compuesta del Simpson es:
6 =
V − ? V − ? ℎO O
E op\ ℎ =
\
180
6 =
1
1
O E =
max | (O) ()| ≤ 10WO
O
180\ O F ]@,D_
180\
′() =
1
+1
Siendo en este caso que V = 2 y que ? = 1, por lo que ℎ = V, entonces;
@
( ) = ln ( + 1)
¬¬(F) = (Fs@)P
W@
¬¬¬ () =
2
( + 1)B
¬» ( ) = (Fs@)¢ maxF ]@,D_ (O) ( ) ¬» (1) = −0.375
@
@‘?V¢
W
¬» (1.5) = −0.1536
¬» (2) = −0.0741
0.375 ≤ 10WO 20.83333 ≤ \O 2.136 ≤ \, pero como n debe ser par \ = 4
Se necesita 4 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 10WO
20) Se desea averiguar un valor aproximado de ln 2 . Sabiendo que
∫
2
1
1
dx = ln 2 , averiguar el
x
valor de n para que al usar la fórmula compuesta de Simpson el error sea inferior a 10-3.
Sol:
Comprobar este resultado.
El error absoluto de la formula compuesta del Simpson es:
6 () =
(V − ? )ℎO (O)
(V − ? )
(E) op\ ℎ =
180
\
6 () =
1
1
(O) ( )
E
=
max | (O) ( )| ≤ 10WB
O
O
F
180\ ]@,D_
180\
Siendo en este caso que V = 2 y que ? = 1, por lo que ℎ = V, entonces;
@
=
′ =
¬¬F =
1
−1
D
D
FR
¬¬¬ =
¬» =
@
@‘?V¢
−6
O
DO
F¼
maxF ]@,D_ O ¬» 1 = 24
24 ≤ 10WB 133.3333 ≤ \ O 3.398≤ \, entonces \ = 4
Se necesita 4 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 10WB
Para comprobar el resultado anterior debemos aplicar la formula de Simpson compuesto, y según
el resultado la cantidad de nodos deben ser 5, y estos nodos son‚1, 1.25, 1.5, 1.75, 2ƒ
D
1
1
˜ 1 + 4Ï1.25 + 1.75Ð + 21.5 + 2™
< =
12
@
D
1
1 1
1
1
1
1
Õ = < =
š + 4š
+
›+2
+ › ≅ 0.6932539683
12 1
1.25 1.75
1.5 2
@
¦ = ln 2
Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta
Error Absoluto 6Õ = |¦ − Õ | = 0.0001067877
Error Relativo 6Ú =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
= 0.0001540621
Error Relativo Porcentual 6Ú% =
21
21 Se considera la integral
∫
1
|Ûå WÛá |
|Ûå |
∗ 100% = 0.015%
e x (4 − x) dx
0
a Determinar el valor de n para que al aplicar la fórmula de integración numérica compuesta de
Simpson el error en valor absoluto sea inferior a 10-4.
b ¿La estimación que dará la fórmula será inferior o superior al verdadero valor de la integral?.
c Comprobar los resultados anteriores.
Sol:
a Siendo en este caso que V = 1 y que ? = 0, por lo que ℎ = , entonces;
6 =
1
1
O E =
max | (O) ( )| ≤ 10WO
O
180\
180\ O F ]@,D_
@
V
( ) = v F (4 − )
′() = v F (3 − )
¬¬(F) = v F (2 − )
¬¬¬ () = v F (1 − )
¬» () = −v F maxF ]@,D_ (O) () ¬» (0) = 0
@
@‘?V¢
¬» (1) = −v
v ≤ 10WO 151,015657 ≤ \O 3.505 ≤ \, entonces \ = 4
Se necesita 4 sub intervalos para que el error que se cometa sea menor a 10WO
b) Para comprobar el resultado anterior debemos aplicar la formula de Simpson compuesto, y
según el resultado la cantidad de nodos deben ser 5, y estos nodos son‚0, 0.25, 0.5, 0.75, 1ƒ
@
< v F (4 − ) =
?
D
1
˜(0) + 4Ï(0.25) + (0.75)Ð + 2 (0.5) + (1)™
12
1
1
(4 + 4(v ?.DL (4 − 0.25) + v ?.ŽL (4 − 0.75)) + 2v ?.L (4 − 0.5) + v@ (4 − 1))
Õ = < =
12
@
≅ 5.87310632055
¦ = 4e − 5 = 5.87312731384 ¦ > Õ
Según los resultados el valor de la integral de aproximación es inferior al valor exacto.
c) Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta
Error Absoluto 6Õ = |¦ − Õ | = 0.0000209933
Error Relativo 6Ú =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
= 0.0000035745
Error Relativo Porcentual 6Ú% =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
∗ 100% = 0.000357% ≅ 0%
22 Determine a, b, c y d de manera que la siguiente formula de integración
@
< uu = h−1 + j1 + o ¬ −1 + ¬ 1
W@
Sea exacta para polinomios del mayor grado posible.
Sol:
Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe evaluar
u en la base ‚1, u, u D , u B ƒ, como mínimo, entonces;
u = 1
′u = 0
u = u
′u = 1
W@ 1u = 2 = h + j
@
W@ uu = 0 = −h + j + o + @
u = u D
@
D
W@ u D u = = h + j − 2o + 2
B
′u = 2u
u = u B
@
W@ u B u = 0 = −h + j + 3o + 3
D
′u = 3u
Ordenando de forma matricial:
1
−1
ç
1
−1
1
1
1
1
2
h
0 0
1 1 è ∗ çj è = ç 0 è El resultado es:
o
−2 2
2/3
3 3
0
Entonces la cuadratura queda como:
1
h
1
çj
o è = É 1/3 Ê
−1/3
@
1
1
< uu = −1 + 1 + ¬ −1 − ¬ 1
3
3
W@
Análisis de Precisión
u = u O W@ u O u = ≠ 1 + 1 − − = −
L
B
B
B
@
D
O
O
D
La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 3.
23 Usando la formula de cuadratura: W@ = ˜−
@
Sol:
™ + ˜ B™, estime ? v WF .
B
@
@
√
√
@
P
Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la cuadratura
no tiene los mismos límites que esta. El cambio de límites, se hace por medio de una recta.
]−1,1_
]0,1_
→
…
=
† + \
−1 = † ∗ 0 + \
La solución de este sistema de ecuaciones es:
1= †∗1+\
† = 2 … \ = −1
Entonces; … = 2 − 1, se debe despejar x de la ecuación
=
Ís@
D
La derivada es =
ÎÍ
D
Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la
cuadratura.
@
< v
?
WF P
@
≅ < v
@
W@
W˜
Ís@ P
™
D
1
…
=
v
2
2
P
@
W s@
B
√
W
D
+v
¦ = < v WF = 0.74682413281229
?
P
P
@
s@
B
√
W
D
≅ 0.746594688283 = Õ
Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta
Error Absoluto 6Õ = |¦ − Õ | = 0.0002294445
Error Relativo 6Ú =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
= 0.000307227
Error Relativo Porcentual 6Ú% =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
∗ 100% = 0.0307%
24 Considere la formula de cuadratura de la formaWD ≅ ¾−2 + 0 + 2
D
a Calcule los coeficientes, de manera que sea exacta para polinomios del mayor grado
posible.
Sol:
b Estime @ v WF .
B
P
a Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe
evaluar en la base ‚1, , D ƒ, como mínimo, entonces;
= 1 WD = 0 = ¾ + + D
= WD D =
D
@
B
= −2¾ + 2
= D WD B = 0 = 4¾ + 4
D
En forma matricial;
WO
0
1 1 1 ¾
¾
B
–−2 0 2Ÿ – Ÿ = –16/3Ÿ – Ÿ = É 0 Ê
O
4 0 4 0
La cuadratura entonces es;
D
B
< ≅
WD
−4
4
−2 + 2
3
3
Formula exacta para polinomios de grado por lo menos 2.
Análisis de Precisión:
= B WD O =
D
O
L
≠
WO
B
∗ −8 + ∗ 8 =
O
B
O
B
La formula de cuadratura es exacta para polinomios de grado menor o igual a 2.
b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la
cuadratura no tiene los mismos límites que esta.
]−2,2_
]1,3_
→
…
=
† + \
−2 = † ∗ 1 + \
La solución de este sistema de ecuaciones es:
2= †∗3+\
† = 2 … \ = −4
Entonces; … = 2 − 4, se debe despejar x de la ecuación
=
ÍsO
D
la derivada es =
ÎÍ
D
Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la
cuadratura. Además se debe general la función de peso.
B
D
< v WF ≅ < …
@
P
B
WD
v
W˜
ÍsO P
™
D
…
DsO P
… 1 W˜WDsO™P
W˜
™
D
= êv
+ v D ë ≅ 0.122667616992 = Õ
2
2
¦ = < v WF = 0.139383215447
@
P
Ahora veremos el error de la cuadratura con respecto a la solución exacta
Error Absoluto 6Õ = |¦ − Õ | = 0.0167155985
Error Relativo Porcentual 6Ú% =
|Ûå WÛá |
|Ûå |
∗ 100% ≅ 12%
Según los datos, podemos concluir que no es muy buena la cuadratura para aproxima nuestra
integral error porcentual muy alto.
25 a Determine los coeficientes en la siguiente aproximación numérica
@
< √ = h0 + j 0.5 + o1
?
b Calcule el valor de @ v WF con cuadratura de item a ¿Cuál es el error cometido?
B
Sol:
a Para que la fórmula integre de forma exacta polinomios del mayor grado posible, se debe
evaluar en la base ‚1, , D ƒ, como mínimo, entonces;
= 1 ? √ = = h + j + o
B
@
D
= ? √ = = 0.5j + o
L
@
D
= D ? D √ = Ž = 0.5D j + o
@
En forma matricial;
D
O
ö@?Lù
2/3
h
1
1
1 h
õ @ ø
–0 0.5 1Ÿ €j  = –2/5Ÿ €j = õ BL ø
o
õ  ø
2/7
0 0.5D 1 o
ô BL ÷
La cuadratura entonces es;
@
< √ =
?
4
16
6
0 + 0.5 + 1
105
35
35
Formula exacta para polinomios de grado por lo menos 2.
b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la
cuadratura no tiene los mismos límites que esta.
]0,1_
]1,3_
→
… = † + \
1=†∗0+\
La solución de este sistema de ecuaciones es:
1=†∗3+\
1
1
†= …\=−
2
2
Entonces; … = − , se debe despejar x de la ecuación
F
D
@
D
= 2… + 1 La derivada es = 2…
Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la
cuadratura. Además se debe general la función de peso.
B
@
16
6
2… + 1v WDÍs@
4
 2… = 2 Â
0 +
0.5 +
1Ã
< v WF ≅ < … €
105
35
35
…
?
@
Existe singularidad en 0, por lo que no hay cuadratura.
25 a Aproxime la integral @
exacto.
D FsD‹ òÝ
Fs@
usando trapecio doble y triple. Compare con el valor
b Aproxime el valor de la integral @
L
D FsD‹ òÝ
Fs@
, con la siguiente formula de cuadratura:
< = 0.52 + 0.73.5 + 1.24.6
@
Sol:
a Primero calcularemos la integral usando regla del trapecio doble con una distancia entre los
nodos de ℎ = 0.5.
Los nodos son; NodosN=‚1,1.5,2ƒ = ‚? , @ , D ƒ 3 nodos
Entonces la suma de 2 reglas de trapecio resulta en:
P
F ≅ D ? + @ + D @ + D , e = e , ℎ = 0.5
F
H
•
2 +2v−
+1
= 1
Siendo =
≅
?.L
D
˜
•
0.5
≅ 0.5
˜ 1 + 1.5™ + 2 ˜ 1.5 + 2™
2
FsD‹ òÝ
@sD‹ òG
@s@
Fs@
+2
, ? = 1, D = 2 y ℎ = 0.5
@.LsD‹ òG.¼
@.Ls@
¡ ≅ 0.339257663622
+
DsD‹ òP
Ds@
™
Aproximación por regla de Trapecio doble.
Ahora calcularemos la integral usando regla del trapecio triple con una distancia entre los nodos
@
de ℎ =
B
Los nodos son; NodosN=Œ1, , , 2 = ‚? , @ , D , B ƒ 4 nodos
O L
B B
Entonces la suma de 3 reglas de trapecio resulta en:
P
F ≅ D ? + @ + D @ + D + D D + B , e = e , ℎ = B
F
H
•
2 +2v−
+1
= 1
Siendo =
≅
•
•
@
4
1/3
4
5
1/3
5
≅ 1/3
š 1 + ˜ ™› +
š ˜ ™ + ˜ ™› +
š ˜ ™ + 2›
2
3
2
3
3
2
3
FsD‹ òÝ
Fs@
1/3 1 + 2v
S
2
1+1
W@
, ? = 1, D = 2 y ℎ =
@
B
O
L
4
5
+ 2v WB
+ 2v WB 2 + 2v WD
+2 3
+2 3
+
Y
4
5
2+1
+
1
+
1
3
3
¡¡ ≅ 0.334134799034
¦ ≅ 0.3300000350376
En cuanto a los errores:
Aproximación por regla de Trapecio triple.
Integral exacta.
Error Absoluto para el trapecio doble 6Õ ¡ = |¦ − ¡ | = 0.009257313246
|Û WÛ |
Error Relativo Porcentual para el trapecio doble 6Ú% ¡ = å|Û ∗ 100% ≅ 2.8%
|
å
Error Absoluto para el trapecio triple 6Õ ¡¡ = |¦ − ¡¡ | = 0.004134448658
|Û WÛ |
Error Relativo Porcentual para el trapecio triple 6Ú% ¡¡ = å|Û ∗ 100% ≅ 1.25%
|
å
6Õ ¡ > 6Õ ¡¡ … 6Ú% ¡ > 6Ú% ¡¡ , entonces hay una mejor aproximación usando trapecio
doble.
b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la
cuadratura no tiene los mismos límites que esta.
]1,5_
]1,2_
→
… = † + \
1=†∗1+\
La solución de este sistema de ecuaciones es:
5=†∗2+\
† = 4 … \ = −3
Entonces; … = 4 − 3, se debe despejar x de la ecuación
=
ÍsB
O
La derivada es =
ÎÍ
O
Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la
cuadratura.
ÍsB
…+3
W˜
™
L
O …
+
2v
+ 2v WF
4
<
≅ <
= 0.5 2 + 0.7 3.5 + 1.24.6
…+3
+1
4
@
+1
@
4
D
DsB
B.LsB
O.sB
2+3
3.5 + 3
4.6 + 3
+ 2v W˜ O ™
+ 2v W˜ O ™
+ 2v W˜ O ™
4
4
Õ = 0.5 4
+ 0.7
+ 1.2
2+3
4.6 + 3
3.5 + 3
+1
+1
+
1
4
4
4
Õ ≅ 0.159660222489
En cuanto a los errores:
Error Absoluto para el trapecio doble 6Õ Õ = |¦ − Õ | = 0.170340127887
|Û WÛ |
Error Relativo Porcentual para el trapecio doble 6Ú% Õ = å|Û |á ∗ 100% ≅ 51.62%
å
Según los resultados, la aproximación de la integral por medio de la cuadratura dada, es muy mala,
pues alcanza un error del 51.62%. Por lo que es muy poco eficiente y efectivo.
26 a Encuentre los coeficientes de una cuadratura que tiene la forma:
?
‰/D
= ¾ 0 + /4 + /2 y que es exacta para funciones que son una
combinación lineal de = ‚1, cos , cos D ƒ.
j Use ítem a para aproximar ? Ï1 + 2 cos + 3wv\D Ð y calcule el porcentaje de error
cometido.
‰
Sol:
a Para que la fórmula integre de forma exacta funciones que son una combinación lineales de
= ‚1, cos , cos D ƒ, entonces;
= 1 ?
‰/D
1 =
= cos ?
‰/D
= opw D ?
En forma matricial;
1
1
‰
D
=¾++
cos = 0 = ¾ + ‰/D
opw D =
‰
O
√D
D
= ¾ + 0.5
1 ¾
¾
0.2673035
D
√D
ç1
0è – Ÿ = É1Ê –Ÿ = –1.03618933Ÿ
D
‰
0.2673035
1 0.5 0 O
La cuadratura entonces es;
‰
‰
D


< = 0.26730350 + 1.03618933 ˜ ™ + 0.2673035 ˜ ™
2
4
?
Formula exacta para combinación lineal dada.
b Se debe cambiar los límites de integración de la integral que se quiere calcular, pues la
cuadratura no tiene los mismos límites que esta.
]0, /2_
]0, _
→
…
=
† + \
0=†∗0+\
La solución de este sistema de ecuaciones es:
/2 = † ∗  + \
†=
1
…\=0
2
Entonces; … = , se debe despejar x de la ecuación
F
D
= 2… La derivada es = 2…
Con estos datos debemos reemplazar en la integral que queremos calcular por medio de la
cuadratura.
‰/D
‰
<Ï1 + 2 cos + 3wv\D Ð ≅ < 1 + 2 cos2… + 31 − opw D 2…2…
?
‰/D
?
= < Ï4 + 2 cos2… − 3opw D 2…Ð2…
?


= 2 Œ0.2673035 0 + 1.03618933 ˜ ™ + 0.2673035 ˜ ™
4
2


= 2 ê0.2673035Ï4 + 2 cos0 − 3opw D 0Ð + 1.03618933 £4 + 2 cos ˜2 ™ − 3opw D ˜2 ™¤
4
4


+ 0.2673035 £4 + 2 cos ˜2 ™ − 3opw D ˜2 ™¤ë
2
2
Õ ≅ 9.35872864
‰
¦ = <Ï1 + 2 cos + 3wv\ D Ð =
?
En cuanto al error cometido:
5
= 7.85398163
2
Error Relativo Porcentual 6Ú% Õ =
|ÛåWÛá |
|Ûå |
∗ 100% ≅ 19.16%
Según los resultados, la aproximación de la integral por medio de la cuadratura dada, no es buena,
pues alcanza un error del 19.16%. Una explicación a esto, puede ser la combinación lineal que se
utilizo para obtener los coeficientes de la cuadratura.