Las Hipótesis de Expectativas Adaptativas y Racionales en los

Las Hipótesis de Expectativas Adaptativas y Racionales en los
Modelos Económicos Dinámicos Lineales
Alejo Macaya*
Agosto, 2007
Resumen
Las hipótesis de expectativas adaptativas y de expectativas
racionales son frecuentemente utilizadas en economía para
incorporar el hecho de que los resultados o equilibrios que el modelo
construido arroje dependen de la “visión del mundo” que tengan los
agentes. La segunda hipótesis introdujo cambios sustanciales en la
forma de obtener la solución de un sistema dinámico. En este trabajo
se enfatiza, a partir de dos aplicaciones económicas, la consideración
de este tipo de problemas como un sistema de ecuaciones
diferenciales con condiciones de contorno (por contraposición a los
usualmente tratados de valores iniciales). Al mismo tiempo, se
exponen algunas interpretaciones económicas de los resultados.
*
Centro de Investigaciones en Métodos Cuantitativos Aplicados a la Economía y la Gestión, Facultad de
Ciencias Económicas, Universidad de Buenos Aires. Córdoba 2122, Buenos Aires, Argentina. E- mail:
[email protected]
1. Introducción
Los agentes económicos forman expectativas porque los desplazamientos de las variables
endógenas afectan la utilidad o beneficio que reciben en el nuevo equilibrio
2
. Por otro lado, una vez incorporadas las expectativas en el análisis, los resultados o
equilibrios que el modelo construido arroje dependen de la “visión del mundo” que tengan los
agentes. Dos de las hipótesis que se han empleado para modelar cómo perciben “el mundo”
los individuos son las hipótesis de expectativas adaptativas y de expectativas racionales (o de
previsión perfecta si el contexto es determinístico). La hipótesis de expectativas adaptativas
surge a partir de los trabajos de Cagan [1956] y Nerlove [1958], por ejemplo. La hipótesis de
expectativas racionales fue propuesta por Muth [1961] y se estableció como paradigma de
trabajo a partir de la contribución de Lucas [1973].
Expectativas adaptativas supone que los agentes, para formular un pronóstico sobre una
variable endógena, lo hacen en base a los valores realizados de la variable que intentan
predecir en el pasado. Expectativas racionales asume que las expectativas de los agentes
coinciden con la predicción de la teoría (dada por la esperanza matemática condicionada al
conjunto de información disponible). El concepto de expectativas racionales introdujo
cambios sustanciales en la forma de resolver un sistema dinámico (ver, por ejemplo, Sargent y
Wallace, [1973]; Blanchard y Kahn, [1980]). Hasta la introducción de esta nueva hipótesis el
camino seguido para resolver un sistema dinámico consistía en imponer condiciones iniciales
para determinar una solución particular del problema. Con el nuevo enfoque el problema
formal cambia y el análisis económico se enriquece. Por un lado, el problema se transforma
en uno de condiciones terminales ó con condiciones de contorno, por otro, aparece la
posibilidad de estudiar los efectos de shocks (transitorios o permanentes) anticipados en el
tiempo.
Antes de seguir adelante vamos a realizar dos observaciones. La primera es que si bien a
partir de la última hipótesis se puede dar una respuesta formal a cómo la visión sobre el futuro
que tienen los agentes influye sobre el presente, ya en Keynes [1936] o Hicks [1939], por
ejemplo, podemos encontrar referencias a cómo las decisiones de los agentes se encuentran
influidas por las percepciones de acontecimientos futuros. La segunda, es que en un contexto
estocástico y siendo el tiempo una variable discreta, el pronóstico de expectativas adaptativas
puede ser óptimo (en el sentido de minimizar el error de pronóstico, ver Muth [1960, 1961]).
El trabajo está organizado en dos secciones adicionales y un anexo al final. La sección
siguiente contiene dos aplicaciones económicas con el fin de ilustrar las diferentes
formulaciones y algunas interpretaciones de los resultados. La tercera sección se destina a
realizar algunos comentarios finales.
2. Algunas aplicaciones
2.1 Determinación del precio de un activo
A partir de una condición de arbitraje el precio de una acción puede determinarse a partir
de igualar su rentabilidad esperada con la de un activo libre de riesgo (siempre que los agentes
2
Por ejemplo, en el modelo IS-LM de los primeros cursos de economía, cuando se estudian los efectos de una
política monetaria es crucial para el resultado el supuesto sobre cómo reacciona la oferta de trabajo ante cambios
en el nivel general de precios. Si los trabajadores poseen “ilusión monetaria” el aumento de la cantidad de dinero
tiene efectos expansivos mientras que si no poseen “ilusión monetaria” el dinero es neutral.
1
sean neutrales al riesgo). En tal caso, la ecuación funcional que en forma implícita determina
el precio de la acción viene dada por3:
p e ( t ) d ( t )
+
= r (t )
p (t ) p (t )
(1)
donde p ( t ) es le precio de la acción en el instante t , p e ( t ) es el tasa de cambio esperada en
el precio del activo, d ( t ) los dividendos que en forma instantánea distribuye la firma y r ( t )
la tasa de rentabilidad del activo libre de riesgo. En caso de que la rentabilidad esperada de la
acción sea superior (inferior) a la tasa libre de riesgo se produciría un exceso de demanda de
acciones (bonos) que presionaría el precio de las acciones hacia arriba (abajo). Por lo tanto, en
equilibrio las dos rentabilidades deben ser iguales y los agentes estarán indiferentes entre
demandar acciones o bonos libre de riesgo.
El problema consiste en determinar el precio del activo dada cierta información sobre el
proceso que siguen los dividendos y la tasa de interés. Notemos que para poder realizar esto
debemos agregar cierta información adicional con respecto a cómo se forman las expectativas
sobre el cambio en el precio del activo. A continuación discutimos dos hipótesis.
2.1.1 Expectativas adaptativas
La hipótesis de expectativas adaptativas supone que la regla para determinar p e ( t ) viene
dada por:
p e ( t ) = β ⋅ ( p ( t ) − p e ( t ) )
(2)
donde β > 0 . Esta ecuación indica que se esperará que el precio aumente (disminuya) cuando
el precio corriente haya resultado superior (inferior) al esperado. El ajuste de las expectativas
dependerá de la magnitud del parámetro β . El pronóstico de expectativas adaptativas puede
interpretarse también a partir de la versión integral de (2):
p e ( t ) = p0e ⋅ e − β ⋅( t −t0 ) + β ⋅
t
∫ p (s) ⋅ e
t0
− β ⋅( t − s )
⋅ ds
Es decir, el precio esperado para el instante corriente es igual a un promedio
exponencialmente ponderado de los precios pasados. Notemos que si el instante inicial está
dado entonces debemos partir de algún pronóstico inicial.
Despejando p ( t ) de (1) y reemplazando en (2) resulta el siguiente problema de valores
iniciales:
r (t ) ⋅ β e
β
 e
 p ( t ) + r ( t ) − β ⋅ p ( t ) = r ( t ) − β ⋅ d ( t )

 e
e
 p ( t0 ) = p0
r (t ) ≠ β
Asumamos que la tasa de interés y los dividendos permanecen constantes, entonces la
solución del problema anterior viene dada por:
3
Este ejemplo puede encontrarse en Blanchard y Fischer [1989], para el caso de tiempo discreto, y en de la
Fuente [2005], para una versión en tiempo continuo.
1
p (t ) = e
e
 − r ⋅β

 r −β

⋅( t − t0 )

d d

⋅  p0e −  +
r r

(3)
Sustituyendo en (1) la solución para el nivel de precios es:
 −β
p (t ) = 
r−β
 − r ⋅β 
  r − β ⋅( t −t0 )  e d  d
⋅  p0 −  +
⋅e
r r


(4)
En cambio, si los dividendos son variables la solución es:
 − r ⋅β 

⋅( t − t0 )
p e ( t ) = p0e ⋅ e r − β 
+
t
β
t0
r−β
∫
 − r ⋅β 

⋅( t − s )
⋅ d ( s ) ⋅ e r − β 
⋅ ds
(3’)
Observaciones:
•
•
La solución de equilibrio, p * ( t ) , viene dada por p * ( t ) = p e ( t ) ≡ d r .
El precio de equilibrio puede interpretarse, desde el punto de vista de quien resuelve el
modelo, como el valor presente de la corriente futura de dividendos esperados:
d
=
r
∫
t
+∞
d ⋅ e − r ( s −t ) ⋅ ds
•
La estabilidad asintótica de la solución de equilibrio requiere que las expectativas no
ajusten demasiado rápido: β < r .
•
El precio que equilibra el mercado depende del precio esperado en el instante inicial y del
precio de equilibrio de largo plazo. En el caso más general, donde los dividendos pueden
variar en el tiempo, como en (3’), la solución también depende de toda la secuencia
pasada de dividendos. La función exponencial dentro de la integral actúa como función de
peso de los dividendos, otorgando menor ponderación a los valores muy lejanos en el
pasado. Es decir, para pronosticar el precio los agentes “valúan” más la información del
pasado reciente.
•
La principal diferencia entre las fórmulas (3) y (3’) es que mientras en la primera la
dinámica (en el sentido de que el precio esperado pueda modificarse con el tiempo) viene
dada por la posibilidad de que el error inicial de pronóstico sea distinto de cero, en la
segunda el precio esperado puede modificarse también por las variaciones de la variable
exógena. Algunos autores han distinguido estos casos denominando la dinámica del
primero como “intrínseca” y a la del segundo como “extrínseca” (ver, Obstfeld y
Stockman [1985], Turnovsky [2000]).
•
La solución (3’), donde los valores pasados de la variable fundamental determinan el valor
corriente, se ha denominado “solución que mira hacia el pasado” (“backward looking
solution” [Blanchard, 1979]).
2.1.1.1 Perturbación permanente
Para ilustrar este tipo de soluciones supongamos que, partiendo de un estado inicial de
equilibrio de largo plazo, los dividendos aumentan en forma permanente desde d hasta
( d + ∆d ) en el instante t1 . El precio esperado es entonces:
2
d
r

pe (t ) = 
 d + 1 − e −γ ⋅(t −t1 ) ⋅ ∆d
 r
r
(
)
t0 ≤ t < t1
,
t1 ≤ t
mientras el precio:
d
r

p (t ) = 
 d + ∆d +  β
 r r  r − β

t 0 ≤ t < t1
 ∆d −γ ⋅(t −t1 )
⋅e
⋅
 r
t1 ≤ t
donde: γ ≡ r ⋅ β ( r − β ) . La figura 1 ilustra la dinámica de ambas soluciones. Como el
sistema parte de un estado inicial de equilibrio de estado estacionario las trayectorias de p ( t )
y p e ( t ) coinciden hasta el instante del shock. La trayectoria del precio esperado es continua
mientras la del precio presenta una discontinuidad de primera especie en t1 . El hecho de que
las expectativas ajusten gradualmente se debe a que utilizan la información pasada.
La crítica que corrientemente se realiza sobre el supuesto de expectativas adaptativas (en
un contexto determinístico) es que la solución que arroja no es consistente con el supuesto
(usual en teoría microeconómica) de que los agentes son maximizadores de utilidad. Por
ejemplo, si un agente A ofreciera a otro agente B, en el instante t1 , un contrato a futuro donde
se comprometiera a comprarle el activo al precio p e ( t1 + ε ) , el agente B lo aceptaría puesto
que éste es el precio que espera para el “instante” de tiempo que sigue (figura 1). Sin
embargo, con esta estrategia el agente A puede obtener un rendimiento por encima de la tasa
libre de riesgo, cobrando los dividendos y vendiendo en t1 + ε el activo al precio p ( t1 + ε ) .
Por lo tanto, bajo el supuesto de expectativas adaptativas quedan posibilidades para arbitrar
(en un hipotético mercado de futuro). Si asumimos que los agentes son racionales tratarán de
aprovechar estas oportunidades para obtener beneficios y la trayectoria antes descripta no
puede constituir un equilibrio.
p(t )
p * = ( d + ∆d ) r
p e (t )
p0e = p0 = d r
t0
t1 t 1 + ε
t
Figura 1: Trayectorias temporales para el precio y el
precio esperado ante un shock permanente.
3
2.1.2 Expectativas racionales
La hipótesis de expectativas racionales significa que: (a) los agentes conocen el modelo
que se utiliza para determinar el precio del activo, (b) que poseen información sobre toda la
trayectoria pasada, corriente y futura de las variables exógenas o fundamentales y (c) que las
expectativas de los agentes sobre la tasa de cambio esperada en el precio, p e ( t ) , coinciden
con la predicción de la teoría, p ( t ) 4.
Enfaticemos que, en el caso de expectativas adaptativas, los agentes no conocen el modelo
(la ecuación (1)) y solo utilizan la ecuación (2) para guiar su pronóstico sobre el precio del
activo; “nosotros”, como economistas, postulamos que dado el cambio esperado en el precio,
el precio de equilibrio es aquel que logra sostener la igualdad (1).
El conjunto de información en el instante t lo denominaremos por I ( t ) y consiste en
toda la secuencia pasada, corriente y futura de las variables fundamentales:
T
I ( t ) = {r ( s ) , d ( s )}s =t .
0
Con expectativas racionales la ecuación (2) cambia por la siguiente:
p e ( t ) = p ( t )
(2’)
Como suponemos que los agentes conocen el modelo, el precio corriente es igual a:
p (t ) =
d ( t ) p e ( t )
+
r (t ) r (t )
Notemos que, ahora, el precio esperado en el instante inicial no es dato, sino que debe
determinarse una vez resuelto el problema. Por lo tanto, podemos suponer que en lugar de dar
una condición inicial damos una condición terminal, p (T ) = pT . Reemplazando (2’) en (1)
obtenemos el siguiente problema de valores terminales:
 p ( t ) − r ( t ) ⋅ p ( t ) = − d ( t )

 p (T ) = pT
Si la firma tiene un período de duración finito y conocido, entonces el precio en el instante
final puede pensarse como el precio residual de la firma una vez que deja de operar.
Si asumimos que los dividendos y la tasa de interés se espera que permanezcan constantes
la solución del problema viene dada por:
d d

p(t ) = e − r ⋅(T −t ) ⋅  pT −  +
r r

4
(5)
En un contexto estocástico la predicción de la teoría viene dada por E ( p I ( t ) ) , donde E es la esperanza
matemática condicionada al conjunto de información disponible en t . Notemos que, en principio y sin asumir
expectativas racionales, podría haber distintas formas funcionales para determinar p e ( t ) : un promedio simple o
ponderado de los valores pasados de p ( t ) , el valor alcanzado por p ( t − τ ) en cierto instante pasado, etc. Sin
embargo, el supuesto de expectativas racionales o previsión perfecta supone que p e ( t ) se determina en base a la
predicción que haría la teoría para ese instante, p ( t ) . De otra manera, si p e ( t ) ≠ p ( t ) siempre quedarían
oportunidades para que los agentes obtengan beneficios [Muth, 1961].
4
Observaciones:
•
Notemos que la solución se compone de dos partes: pT ⋅ e − r ⋅(T −t ) , es el valor presente al
(
)
instante t del precio terminal del activo mientras que 1 − e − r ⋅(T −t ) ⋅ ( d r ) es igual al valor
presente descontado de recibir una corriente de dividendos igual a d en el período [t , T ] ,
∫
T
t
•
d ⋅ e − r ⋅(T −s ) ⋅ ds .
Nótese que la raíz característica de la ecuación p ( t ) − r ⋅ p ( t ) = − d es positiva. Siguiendo
el camino tradicional para hallar la solución general de la ecuación, la misma viene dada
por p(t ) = c ⋅ e r ⋅t + d r . Sin embargo, como el precio inicial no es un dato no podemos
determinar una solución particular del problema. Por esta razón, si no agregamos algún
criterio adicional para buscar una solución particular, el problema tendría infinitas
soluciones. Asumiendo que las variables endógenas no pueden “explotar” en el infinito,
Blanchard y Kahn establecieron condiciones para que la solución exista y sea única: el
número de raíces positivas debe ser igual al número de variables “libres” o “salto”(es
decir, que no tienen asignadas condiciones iniciales)5.
Supongamos ahora que el horizonte de tiempo hacia el futuro es infinito, el problema
anterior puede plantearse como:
 p ( t ) − r ⋅ p ( t ) = − d

limT →+∞ pT ⋅ e − r ⋅(T −t ) = 0
La condición terminal indica que en el largo plazo el precio del activo no puede crecer a
una tasa superior o igual a la tasa de interés. Este supuesto implica que la solución particular
del problema corresponde a la parte fundamental y se dejen de lado posibles soluciones no
acotadas en el tiempo llamadas “burbujas”6.
p(t ) ≡
d
r
En el caso más general donde los dividendos y la tasa de interés pueden variar en el
tiempo la solución del problema, asumiendo que no se producen burbujas, viene dada por:
p(t ) =
5
∫
t
+∞
s
r ( v )⋅dv
d ( s ) ⋅ e ∫t
⋅ ds
−
(6)
Hemos indicado otro camino posible para encontrar la solución propuesta por Blanchard y Kahn en [1].
Si no imponemos la condición terminal p (T ) deja de ser un dato del problema. Sin embargo debe verificar la
ecuación diferencial que define la ausencia de arbitraje: p (T ) − r ⋅ p (T ) = − d . La solución general de esta
6
ecuación es p (T ) = c ⋅ e r ⋅T + d r . Reemplazando ésta en (5) obtenemos: p ( t ) = c ⋅ e r ⋅t + d r . El término c ⋅ e r ⋅t
recibe el nombre de “burbuja” porque es la parte del precio del activo que no se puede explicar por los
“fundamentals” (es decir, los dividendos que la firma distribuye). La burbuja especulativa tiene una
interpretación en términos de expectativas que se auto-validan.
5
Por lo tanto, el precio corriente depende de la secuencia futura esperada para los
dividendos y la tasa de interés. Desde este punto de vista el futuro determina el presente. Este
tipo de soluciones han si llamadas “soluciones que miran hacia adelante” (forward looking
solution [Blanchard, 1979])7.
2.1.2.1 Perturbación permanente y no anticipada
En la sección de expectativas adaptativas buscamos la solución para el caso de un
aumento permanente de los dividendos. Notemos que como el conjunto de información de los
agentes contiene información futura, ahora, es posible distinguir entre desplazamientos
anticipados y no-anticipados de las variables exógenas. En esta sección sólo analizaremos las
consecuencias de un shock no-anticipado.
En el instante que se produce el cambio de política de dividendos el conjunto de
información de los agentes se modifica: ahora tienen información (y que es creíble) de que a
partir de este instante los dividendos serán iguales ( d + ∆d ) . Reemplazando en (6) la solución
viene dada por:
d
r

p (t ) = pe (t ) = 
 d + ∆d
 r r
t 0 ≤ t < t1
t1 ≤ t
Notemos que a diferencia del caso de expectativas adaptativas el precio salta
inmediatamente al nuevo precio de equilibrio (figura 2).
7
La concepción de que de alguna manera el futuro determina el presente no es nueva o atribuible
exclusivamente a la literatura que originó la hipótesis de expectativas racionales. Keynes, por ejemplo, al discutir
la división de la economía entre teoría de la industria y de la distribución, por un lado, y teoría de la producción
y ocupación en conjunto, por la otra, sugirió que la división también podría realizarse entre una teoría del
equilibrio estacionario y otra teoría del equilibrio móvil. Por esta última aludía a “un sistema en que los puntos
de vista cambiantes acerca del futuro son capaces de influir en la situación presente” o… una economía que
cambia pero en le que todas las cosas se prevén desde el principio” [Keynes, 1936, cap. 21]. Sin embargo, en
ningún caso llevó su análisis hasta realizar los tres supuestos de la hipótesis de expectativas racionales. Hicks
también consideró este tipo de cuestiones. Por ejemplo, decía “Tiene importancia capital darse cuenta de que las
decisiones de los empresarios de comprar y vender (….) forman casi siempre parte de un sistema de decisiones
que no está limitado por el presente, sino que hace referencia a acontecimientos futuros…” [Hicks, 1939, caps.
IX y XVI].
6
p(t ) = p e (t )
p ( t ) ≡ ( d + ∆d ) r
p0e = p0 = d r
t0
t1
t
Figura 2: Trayectorias temporales para el precio y el
precio esperado ante un shock permanente y noanticipado.
2.2 Volatilidad del tipo de cambio
El siguiente ejemplo es una versión de Taylor [1986] del modelo de volatilidad del tipo de
cambio de Dornbusch [1976]. Dornbusch realizó una extensión del modelo IS-LM de
economía abiertas con el objetivo de explicar la volatilidad del tipo de cambio aún
suponiendo expectativas racionales. Las ecuaciones son las siguientes:
(1) r ( t ) = r * + e ( t )
(equilibrio en el mercado de valores + previsión perfecta)
(2) m ( t ) − p ( t ) = −α ⋅ r ( t )
(equilibrio continuo en el mercado de dinero)
(3) p ( t ) = β ⋅ ( e ( t ) + p * − p ( t ) )
(4) p ( t0 ) = p0
(5) lim t →+∞ e ( t ) = e
(ajuste de precios al EDB)
t ∈ [t0 , T ]
(condición inicial)
(condición terminal)
Todas las variables, con excepción de los tipos de interés, se encuentran expresadas en
logaritmo natural. Los coeficientes del sistema estructural, α y β , son positivos. La primera
ecuación establece la condición de equilibrio para el mercado de valores: los agentes estarán
indiferentes entre demandar títulos denominados en moneda doméstica o en moneda
extranjera siempre que cualquier diferencia entre tasas de interés sea compensada por una
expectativa de apreciación o depreciación de la moneda doméstica8. La segunda ecuación es
la condición de equilibrio para el mercado de dinero dada por la igualdad (para todo instante
de tiempo) entre oferta y demanda de saldos reales. El modelo asume que el producto se
encuentra dado. La tercera ecuación indica que el nivel de precios responde al exceso de
demanda de bienes. La demanda agregada depende positivamente del tipo real de cambio. Las
ecuaciones (4) y (5) son condiciones de contorno. La condición (4) indica que el nivel de
precios inicial es un dato mientras la (5) es una condición terminal (en el largo plazo tipo de
cambio converge al cambio de equilibrio dado por los “fundamentals” - e , por ejemplo, es el
tipo de cambio de equilibrio para una cantidad nominal de dinero constante-).
La condición terminal (5) es equivalente, cuando operamos con el sistema, a las dos
siguientes:
esp
En realidad e debería ser una tasa esperada de variación del cambio: e . Sin embargo, con el supuesto de
expectativas racionales la variación esperada debe coincidir con la realizada.
8
7
limT →+∞ e (T ) ⋅ e − λ1 ⋅T = 0
limT →+∞ e − λ1 ⋅T ⋅
∫
T
t0
(5.1)
m ( s ) ⋅ e λ2 ⋅(T −s ) ⋅ ds = 0
(5.2)
La primera indica que el cambio en el infinito no puede crecer a una tasa superior o igual
a la raíz positiva del sistema, λ1 . En términos del diagrama de fase asociado al sistema esta
condición es equivalente a seleccionar como solución particular aquellos puntos sobre la rama
estable. La segunda es una condición para que la solución de equilibrio de largo plazo sea
finita; la cantidad de dinero no puede crecer en el largo plazo a una tasa superior o igual a la
raíz positiva.
El modelo, entonces, determina soluciones para el tipo de cambio, el nivel de precios y la
tasa de interés dados ciertos procesos para la cantidad nominal de dinero, el nivel de precios
extranjero y la tasa de interés internacional. En este contexto, aquellas variables endógenas
sobre las cuales se asigna una condición inicial se llaman variables predeterminadas
(“sluggish variables”) en tanto aquellas que sólo tienen asignadas condiciones terminales y
que pueden “saltar” en cualquier instante de tiempo corriente se las ha denominado variables
salto (“jump variables”, ver Turnovsky [2000]).
Asumiendo, por simplicidad, r * = p * = 0 y reemplazando (1) en (2) obtenemos el
siguiente problema con condiciones de contorno:
 e   0
 p  =  β
  
1 α   e   −m ( t ) α 
⋅
+
,
− β   p  
0

 p ( t0 ) = p0


limT →+∞ e (T ) ⋅ e − λ1 ⋅T = 0
La solución del sistema homogéneo viene dada por:
 eh (t ) 
 1  λ1 ⋅t
 1  λ2 ⋅t
⋅ e + c2 ⋅ 
 h  = c1 ⋅ 

⋅e ,
α ⋅ λ1 
α ⋅ λ2 
 p ( t ) 
donde: λ1 > 0 y λ2 < 0 son los autovalores de la matriz de coeficientes del sistema y
vTi = [ 1 α ⋅ λi ] ( i = 1, 2 ) los autovectores correspondientes. La solución particular del
sistema puede obtenerse a partir del método de variación de las constantes; que consiste en
proponer como solución particular la solución antes encontrada pero haciendo depender a las
constantes ci ( i = 1, 2 ) del tiempo9. Procediendo de esta forma y utilizando las condiciones de
contorno obtenemos:
9
Una razón para proponer como solución particular (o general si es que agregamos, luego, las constantes de
integración) del sistema una función vectorial de la forma X ( t ) = X h ( t ) ⋅ C ( t ) , donde X h ( t ) es la solución
homogénea o fundamental del sistema, es que debe ser linealmente independiente de la solución homogénea.
De otra manera, si esas “constantes” no son funciones del tiempo al aplicar el operador lineal implícito en el
sistema obtendremos como imagen el vector idénticamente nulo.
8

e ( t ) =  p0 +

+
∫
t
2
1
t0
0
0
∫
+∞
∫
+∞
λ2 ⋅ m ( s )
⋅ e − λ ⋅( s −t ) ⋅ ds +
α ⋅ ( λ2 − λ1 )
1
t
λ1 ⋅ m ( s )
⋅ e λ ⋅( t −s ) ⋅ ds
α ⋅ ( λ2 − λ1 )

p ( t ) =  p0 +

∫
∫
 e λ ⋅( t −t )
β ⋅ m (s)
− λ ⋅( s −t )
⋅e
⋅ ds  ⋅
+
α ⋅ ( λ2 − λ1 )
 α ⋅ λ2
(6)
2
t0
+
+∞
t
t0
∫
+∞
t0

β ⋅ m (s)
⋅ e − λ ⋅( s −t ) ⋅ ds  ⋅ e λ ⋅(t −t ) +
α ⋅ ( λ2 − λ1 )

1
0
2
0
t
λ1 ⋅ λ2 ⋅ m ( s ) − λ ⋅( s −t )
⋅e
⋅ ds +
( λ2 − λ1 )
1
λ1 ⋅ λ2 ⋅ m ( s ) λ ⋅( t −s )
⋅e
⋅ ds
( λ2 − λ1 )
(7)
2
Si asumimos que la cantidad nominal de dinero es constante (es decir, se mantuvo, es y se
espera que se mantenga constante): m ( t ) ≡ m , la solución del problema viene dada por:
e λ2 ⋅( t −t0 )
+m
α ⋅ λ2
(6’)
p ( t ) = ( p0 − m ) ⋅ e λ2 ⋅( t −t0 ) + m
(7’)
e ( t ) = ( p0 − m ) ⋅
p m = m = 0
p
p=m
E
e m = m = 0
p0
e =m
e0
e
Figura 3: Trayectorias temporales para el precio y el
precio esperado.
Observaciones:
•
La solución particular del problema, en el caso general, está compuesta de una “suma”
descontada de los valores esperados para la cantidad de dinero en el futuro más otra
“suma” ponderada de los valores pasados de esa misma variable. Nótese que las funciones
exponenciales actúan como funciones de peso: la raíz positiva descuenta los valores
futuros de m ( s ) , mientras la raíz negativa otorga más peso a los valores de m ( s ) del
pasado reciente. El término que incluye el corchete no es más que la parte de la solución
homogénea.
9
•
Es claro que la causalidad en este tipo de problemas también se invierte: el futuro
determina el presente.
•
Las fórmulas (6) y (7) pueden interpretarse a partir de la definición de Keynes [1936] de
“equilibrio móvil”: los valores de equilibrio pueden modificarse de acuerdo al
comportamiento de la cantidad de dinero pero donde todo el comportamiento futuro está
previsto desde el comienzo.
•
•
En la Figura 2, e0 = e ( t0 ) no es un dato del problema, sino que esta variable se ajusta en
el instante inicial de manera tal que en el largo plazo las variables converjan al equilibrio
de largo plazo.
Nótese que la línea de flujo descripta por (6’) y (7’) viene dada por:
p ( t ) − m = α ⋅ λ2 ⋅ e ( t ) − m . Esta ecuación es, justamente, la ecuación del segundo
autovector centrada en el punto de equilibrio.
2.2.1 Perturbación no-anticipada
Supongamos que, a partir de una situación de equilibrio, el banco central aumenta en t0′ de
manera inesperada la cantidad de dinero desde m hasta m + ∆m . El problema es, a partir del
instante del shock, el siguiente:
 e   0
 p  =  β
  
1 α   e   − ( m + ∆m ) α 
⋅
+
,
− β   p  
0

 p ( t0′ ) = m


− λ1 ⋅T
=0
limT →+∞ e (T ) ⋅ e
La solución particular del problema viene dada por:
′

e λ2 ⋅( t −t0 ) 
e ( t ) = m + ∆m ⋅  1 −


α ⋅ λ2 

(
p ( t ) = m + ∆m ⋅ 1 − e λ2 ⋅( t −t0 )
′
)
′

e λ2 ⋅(t −t0 ) 
r ( t ) = ∆m ⋅  1 −


α 

Las trayectorias pueden observarse en las figuras 4 y 5.
Observaciones:
•
El cambio sobrerreacciona (“overshooting”) a la perturbación monetaria; es decir, se eleva
por arriba del valor de equilibrio de largo plazo (recordemos que λ2 < 0 ):

1
e ( t ) = m + ∆m ⋅  1 −
 α ⋅ λ2

 > m + ∆m

10
•
Al incrementarse la cantidad de dinero la tasa de interés disminuye para equilibrar el
mercado monetario. Por otro lado, para que los agentes estén indiferentes entre demandar
títulos domésticos ó extranjeros el cambio debe comenzar a apreciarse luego del shock
monetario. Por lo tanto, la apreciación posterior al shock implica que el cambio se elevó
por encima de su equilibrio de largo plazo en el instante de la perturbación.
•
En el instante de la perturbación monetaria hay pérdidas y ganancias inesperadas de
capital. Los tenedores de valores domésticos “pierden”mientras los tenedores de títulos
extranjeros “ganan”.
e(t )
m + ∆m
p (t )
m
e (t ) = p (t ) = m
t0′
t
Figura 4: “Overshooting” del tipo de cambio y
ajuste suave del nivel de precios ante un shock
monetario permanente y no-anticipado.
0
t0′
t
r (t )
Figura 5: Ajuste de la tasa de interés.
3. Comentarios finales
En el trabajo destacamos las diferencias que existen a la hora de resolver un modelo
económico dinámico que puede asumir la hipótesis de expectativas adaptativas ó de
expectativas racionales. En el primer caso, el problema dinámico es uno con condiciones
iniciales mientras en el segundo caso uno con condiciones terminales o de contorno. Varios
aspectos del problema con expectativas racionales hemos señalado: (i) la posibilidad de
analizar los efectos tanto de perturbaciones anticipadas como no-anticipadas, (ii) la solución,
si existe, puede no ser única y (iii) un método para obtener la solución particular del problema
11
cuando la solución existe y es única (el número de variables “salto” es igual a la cantidad de
autovalores con parte real positiva).
La extensión a un contexto estocástico es un problema interesante para una futura
investigación.
12
4. Anexo
4.1 Posibilidad de arbitraje en el mercado de futuros:
El contrato establece comprar el activo a futuro al precio:
p ( t1 + ε ) = e
e
 − r ⋅β 

⋅( t1 + ε )
 r −β 
⋅ ( p0e − p * ) + p *
(i)
Llegado el instante ( t1 + ε ) el agente cobra los dividendos y vende la acción al precio:
 −β
p ( t1 + ε ) = 
r−β
 − r ⋅β 
  r − β ⋅( t1 +ε )
⋅ ( p0e − p * ) + p *
⋅e

(ii)
La rentabilidad de esta operación es:
p ( t1 + ε ) − p e ( t 1 + ε )
ε
+d
p e ( t1 + ε )
,
Sustituyendo por (i) y (ii) en la anterior se puede demostrar que esta rentabilidad es
superior a la del activo libre de riesgo:
p ( t1 + ε ) − p e ( t 1 + ε )
ε
p e ( t1 + ε )
dado que ( r − β ) ε  > −1
+d
>r,
■
4.2 Volatilidad del tipo de cambio: solución particular del sistema
Para buscar la solución particular del sistema ó la solución general, en caso que se
agreguen las constantes de integración, proponemos una combinación lineal de las soluciones
particulares del sistema homogéneo siendo los coeficientes de la combinación funciones del
tiempo a determinar [Rey Pastor, 1959, pp. 235-36],
 e (t ) 
 1  λ1 ⋅t
 1  λ2 ⋅t
 p t  = c1 ( t ) ⋅ α ⋅ λ  ⋅ e + c 2 ( t ) ⋅ α ⋅ λ  ⋅ e
1
2


 ( )
(iii)
Reemplazando la solución propuesta en el sistema no homogéneo obtenemos:
 e λ1 ⋅t
e λ2 ⋅t   c1′   −m ( t ) α 
⋅
=

,
λ ⋅t
λ ⋅t   
0
α ⋅ λ1 ⋅ e 1 α ⋅ λ2 ⋅ e 2  c ′2  

Las funciones buscadas pueden obtenerse luego resolver este sistema lineal en las
derivadas, reemplazar en (iii) y aplicar las condiciones de contorno.
■
13
Referencias
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Blanchard and Kahn Solutions of Rational Expectations Models, Documento de Trabajo.
[2] Blanchard, O.J. (1979). Backward and Forward Solutions for Economies with Rational
Expectations, American Economic Review, 69 (Mayo): 114-118.
[3] Blanchard, O.J. y S. Fischer. (1989). Lectures on Macroeconomics. MIT Press,
Cambridge, Massachussets.
[4] Blanchard, J.O. y Kahn, Ch.M. (1980). The Solution of Linear Difference Models Under
Rational Expectations, Econometrica 48 (Julio): 1305-1311.
[5] de la Fuente, A. (2005). Mathematical Methods and Models for Economists, octava
edición, Cambridge University Press, Cambridge, UK.
[6] Dornbusch, R. (1976). Expectations and Exchange Rate Dynamics, Journal of Political
Economy 84 (Diciembre): 1161-76.
[7] Hicks, J.R. (1939). Valor y Capital. Tercera edición en español, Fondo de Cultura
Económica, México.
[8] Keynes, J.M (1936). Teoría general de la ocupación, el interés y el dinero, Primera
reimpresión, Fondo de Cultura Económica, Argentina.
[9] Lucas, R.E. (1973). Some International Evidence on Output-Inflation Tradeoffs, American
Economic Review, 63, No. 3 (junio): 326-334.
[10] Muth, J.F. (1960). Optimal Properties of Exponentially Weighted Forecasts, Journal of
the American Statistical Association, vol. 55, No. 290 (junio): 299-306.
[11] Muth, J.F. (1961). Rational Expectations and the Theory of Price Movements,
Econometrica 29 (Julio): 315-335.
[12] Nerlove, M. (1958) Adaptative Expectations and Cobweb Phenomena, Quarterly Journal
of Economics, 73 (Mayo): 227-240.
[13] Obsteld, M. and A.C. Stockman (1985). Exchange-Rate Dynamics. Handbook of
International Economics, vol. II, edited by R.W. Jones and P.B. Kenen, Elsevier Science
Publishers, Amsterdam.
[14] Rey Pastor, J., P. Pi Calleja, C. A. Trejo (1959), Análisis Matemático, tercera edición,
vol 3, Ed. Kapelusz, Buenos Aires.
[15] Sargent, T. y N. Wallace (1973). The Stability of Models of Money and Growth with
Perfect Foresight, Econometrica, 41 (Noviembre): 1043-48.
[16] Turnovsky, S.J. (2000). Methods of Macroeconomic Dynamics, second edition, MIT
Press, Cambridge, Massachusetts.
14