Propiedades de la fuerza nucleón-nucleón

Curso 2001-2002
Propiedades de la fuerza nucleón-nucleón
• A cortas distancias es más fuerte que la interacción coulombiana
⇒ interacción fuerte
• La energía para separar un nucleón
∼ 5-10 MeV
La energía cinética media de los nucleones
⇒ es no relativista
∼ 25 MeV
• La energía de enlace por nucleón es prácticamente constante
⇒ es de corto alcance ∼ 1 fm (radio de la partícula α)
• La densidad de nucleones es ∼ constante: ∼0.15 nucleones/fm3
⇒ se satura
• Hay núcleos ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . .
⇒ es predominantemente atractiva
•
. . . . . . . . . . . . .pero los nucleones no colapsan
⇒ incluye un término repulsivo a cortas distancias
• Parece no depender de la naturaleza de los nucleones (neutrones o
protones)
⇒ es independiente de la carga
• La fuerza nucleón-nucleón
⇒ depende de los espines de los nucleones
• No es una fuerza exclusivamente central
⇒tiene una componente no central o tensorial, que no conserva el
momento angular
• Problema de dos cuerpos ⇒ mejor fuente de información sobre
las fuerzas nucleares
Problema de
dos cuerpos
Estado ligado
Estado no ligado
p-p
No existe
Dispersión p-p
n-p
Deuterón
Dispersión n-p
n-n
No existe
No se puede observar directamente
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La fuerza entre nucleones
1
Curso 2001-2002
El deuterón: 12 H1
• No tiene estados ligados excitados
• Energía de enlace:
B =  m( 1H ) + m(n) − m( 2 H )  c 2 = 2.225 MeV
 m( 1H ) = 938.280 MeV

 m(n) = 939.573 MeV
 m( 2 H ) = 1875.628 MeV

Este valor es congruente con los obtenidos a partir de las reacciones:
1
H + n → 2H + γ
γ + 2 H → 1H + n
La energía de enlace media por nucleón es de alrededor de 8 MeV
⇒ el deuterón es un núcleo poco ligado
• Espín: I=1.
Deducido a partir de espectroscopía molecular del deuterio.
• Momento dipolar magnético:
µ d = 0.8574376(4) µ N
µ p + µn = 2.792845 − 1.913042 = 0.879804 µ N
La suma de los momentos magnéticos del protón y neutrón casi coincide
con la del deuterón
⇒ el deuterón tiene casi simétrica esférica
• Momento cuadrupolar eléctrico: Qd = 2.88(2) mbarn
El momento cuadrupolar eléctrico del deuterón es muy pequeño en
comparación con otros núcleos
⇒ el deuterón tiene casi simétrica esférica
⇒ Por tanto la interacción n-p es casi central
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2
Curso 2001-2002
El deuterón con fuerzas centrales
!"V0 ; r # R
$
Potencial nucleón-nucleón: V (r ) % $
&
$
r 'R
0;
$
(
r: separación entre el protón y el neutrón
R: alcance de la fuerza nuclear
• La ecuación de Schrödinger para la función de onda que describe el
movimiento relativo del sistema será:
 µ : masa reducida

 "2
 !
M

−
∆
+
−
=
=
=
⇒
=
ψ
µ
V
r
E
r
M
M
M
(
)
(
)
0
 p
n


2
 2µ


 E < 0 (estado ligado)
• Para una interacción central, el estado fundamental tiene
• l = 0 (estado S )
!
u (r )
r
 u (r ) = A sin k1r + B cos k1r

M ( E + V0 )

k12 =
2
2
d u M

"
− [V (r ) − E ]u (r ) = 0 ⇒ 
− k2r
k2r
dr 2 " 2
u (r ) = Ce + De
 2
ME
Mε
2
 k2 = − 2 = α = 2

"
"
• simetría esférica: ψ (r ) =
Condiciones de contorno :
r<R
r>R
ε= E
u (0) = 0 ⇒ B = 0 ⇒ u1 ( r ) = A sin k1r

− k2r
u (∞) = 0 ⇒ D = 0 ⇒ u2 (r ) = Ce
 dudr1 
 dudr2 
Condiciones de continuidad :   =   ⇒ k1 cot ( k1 R ) = − k2 = −α
 u1 r =R  u2 r = R
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3
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El deuterón con fuerzas centrales
cot(k1 R ) = −
E
−E
k2
=−
#−
; ya que E $ V0
k1
V0 + E
V0
π
π 2 "2
2
k1 R # → V0 R #
2
4M
B $ V0
Para R # 2.1 fm → V0 = 35MeV
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4
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El deuterón con fuerzas “casi” centrales
Espín y paridad: I π = 1+
! ! ! ! %! ! !
I = sn + s p + l S = sn + s p
Posibilidades de valores del spin del sistema n-p:
2 S +1
LI
π=(-1)l
I=0
I=1
I=2
S=0
par
1
S0
---1
D2
S=1
impar
---1
P1
----
par
---3
S1+3D1
3
D2
impar
3
P0
3
P1
3
P2+3F2
Momento dipolar magnético:
%! %! %!
g sp ! 
 g sn !
sn +
sp 
Si l = 0 µ = µ n + µ p = µ N 
"
"


1
µ = µ N ( g sn + g sp ) = µ n + µ p # µ d
2
La pequeña discrepancia puede ser debida a una mezcla del estado D
(l=2) en la función de onda del deuterón
ψ = aSψ (l = 0) + aDψ (l = 2)
Si l ≠ 0
%! %! %! 1 µ N ! g sn µ N !
g sp µ N !
1 µN !
µ =µ n +µ p +
l=
sn +
sp +
l
"
"
2 "
2 "
%! 1  g sn µ N g sp µ N  ! !
1  g sn µ N g sp µ N  ! !
1 µN !
+
−
µ= 
l
 sn + s p + 
 sn − s p +
" 
" 
2 "
2 "
2 "
! !
Pero el valor medio de s n − s p en el estado fundamental (triplete) es
(
)
(
)
(
)
nulo
%!
%%!
%!
I
l
1
µ = ( µn + µ p ) − ( µn + µ p − µ N )
"
"
2
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5
Curso 2001-2002
El deuterón con fuerzas “casi” centrales
!
%!
El valor esperado de µ es su componente en la dirección de I
! !
1

l⋅I
µ = ( µn + µ p ) −  µn + µ p − µ N  2
2

 I
2
2
2
1

 I +l −S
= ( µn + µ p ) −  µn + µ p − µ N 
2
2I 2


 I 2 = I ( I + 1) = 2


Para el estado fundamental  S 2 = S ( S + 1) = 2
 2
2
2
2
 l = aS × [0(0 + 1)] + aD × [2(2 + 1)] = 6aD
3
1

µ = ( µ n + µ p ) −  µ n + µ p − µ N  aD2
2
2

A partir de los datos experimentales aD2 = 0.04
• El deuterón es un estado l=0 (96%) y un estado l=2 (4%)
Momento cuadrupolar eléctrico:
Si l = 0
Si hay contribución del estado l=2
Q = ∫ψ * (3z 2 − r 2 )ψ dV =
r2
r2
Q=0
2
aS a D r 2
10
SD
−
SD
= ∫ r 2 RS (r ) RD (r )r 2 dr
DD
= ∫ r 2 RD (r ) RD (r )r 2 dr
1 2 2
aD r
20
DD
• Las predicciones de la contribución de un 4% del estado D son
consistentes con los resultados experimentales
• La mezcla de valores de l es evidencia del carácter tensorial de la
fuerza nuclear
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6
Curso 2001-2002
Dispersión nucleón-nucleón
• Dispersión de un haz de neutrones de
1
energía E = M n v 2 por un blanco de
2
hidrógeno
• Si b es el parámetro de impacto, el
momento angular del neutrón respecto
del protón será (notación semiclásica):
"
= l&
Mv
El neutrón será dispersado sólo si
b ! R (alcance del campo de fuerzas del proton)
L = Mvb = l " ⇒ b = l
• Para energías bajas E ! 10 MeV ⇒ & " 1.4 fm sólo contribuye l=0
Para energías mayores E ≈ 100MeV ⇒ & ≈ 0.45 fm contribuyen más
valores de l
• La ecuación de Schrödinger para la función de onda que describe el
movimiento relativo del sistema será:
 µ : masa reducida

 "2
 !
M

−
∆
+
−
=
=
=
⇒
=
ψ
µ
V
r
E
r
M
M
M
(
)
(
)
0

p
n


2
 2µ


 E > 0 (estado no ligado)
r > R
d 2u M

−
−
=
⇒
V
r
E
u
r
(
)
(
)
0
[
]
ME

2
dr 2 " 2
=
+
=
δ
u
r
C
k
r
k
(
)
sin(
)
2
2
 2
"2
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La fuerza entre nucleones
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Curso 2001-2002
Dispersión nucleón-nucleón
Significado del corrimiento de fase δ
• Si V0 → 0 k1 → k2
δ → 0 (partícula libre)
Para calcular δ aplicaremos la teoría general de la dispersión
eikr
ψ = ψ incidente + ψ saliente 
→ e + f (θ )
r →∞
r
La onda plana incidente se puede escribir como:
ikz
∞
e
ikz
= ∑ (2l + 1)i l jl (kr ) Pl (cos θ )
l =0
Para l = 0 ⇒
ψ incidente (r ) = D j0 (kr )
sin( kr )
=D
kr
D ikr
=
e − e− ikr )
(
2ikr
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Curso 2001-2002
Dispersión nucleón-nucleón
Por tanto la función de ondas fuera del alcance de las fuerzas nucleares,
para l=0, debe ser:
u2 (r ) C sin( k2 r + δ 0 ) Ce− iδ 0  eik2r e 2iδ 0 e− ik2r 
=
=
−
ψ 2 (r ) =


r
r
r
r 
2i 
u
D eiδ 0
Tomando C =
k
uincidente
'((
(
)(((
* '(((dispersa
)(((*
D ik2r
1
u2 (r ) =
e − e − ik2r +
e 2iδ 0 − 1 D eik2r
2ik2
2ik2
+(
(,((
-
(
)
(
)
f (θ )
f (θ ) =
1
1
(e2iδ 0 − 1) = eiδ 0 sin δ 0
k2
2ik2
La corriente de partículas dispersas por unidad de área es
2
jdispersa
"  * ∂ψ ∂ψ *  " D
=
−
ψ=
sin 2 δ 0
ψ
2
∂r
∂r  mkr
2mi 
La corriente de partículas incidente es:
jincidente =
"k D
2
m
La probabilidad dσ de que una partícula incidente sea dispersada en el
ángulo sólido dΩ (atravesando la superficie r 2 dΩ ) viene dada por:
jdispersa (r 2 d Ω) sin 2 δ 0
=
dσ =
dΩ
jincidente
k22
y la sección eficaz diferencial es:
dσ sin 2 δ 0
=
dΩ
k22
La sección eficaz total es la probabilidad de que sea dispersada en
dσ
sin 2 δ 0
σ =∫
d Ω = 4π
cualquier dirección:
dΩ
k22
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Curso 2001-2002
Dispersión nucleón-nucleón
El defasaje δ0 lo obtendremos a partir de las condiciones de continuidad
entre las funciones de onda dentro y fuera del alcance de las fuerzas
nucleares. Si suponemos que la energía del movimiento relativo E $ V0
u1 (n − p ) ≈ u1 (deuteron)
k2 cot(k2 R + δ ) =
u1′( R)
= −α
u1 ( R)
y por tanto
2


α
2
 cos k2 R + sin k2 R 
k2

α
4π 


2
⇒σ = 2
sin δ 0 =
cos k2 R + sin k2 R 
2
2 
α
+
k
k2
α 


2
1+  
 k2 
Expresiones límites:
4π
(1 + α R) 2 k2 → 0
2
α
4π
σ= 2
R→0
2
k2 + α
σ=
σ=
4π
α2
k2 → 0

R → 0
(1)
(2)
En el límite de energía nula: k2 → 0
 R = 2 fm



Mε
938MeV × 2.225MeV
(1) ⇒ 
−1  ⇒ σ teo = 5.1 b
=
= 0.23 fm
α=
2


"2
M
eV
fm
197.
3
.
(
)


La sección eficaz experimental en el límite de energía nula es σ exp = 20.4 b
σ teo $ σ exp ⇒ dependencia de la interacción con el espín
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10
Curso 2001-2002
Dispersión nucleón-nucleón
Física Nuclear y de Partículas
La fuerza entre nucleones
11
Curso 2001-2002
Dispersión nucleón-nucleón
El sistema nucleón-nucleón puede tener diferentes valores del espín total:

1
=
s
 p 2   S = 1 → M S = −1, 0, +1 estado triplete
%! ! !
S = s p + sn ⇒ 
⇒ 
estado singlete
1
 s =  S = 0 → M S = 0
n
2 

3
1
σ = σt + σs
4
4
Por tanto
Tomando
σ = 20.4 b 
 → σ s = 66.3 b . σ t
σ t = 5.1 b 
El estado fundamental del deuterón tiene S=1, pero no hay estado ligado
con S=0
⇒
La fuerza nuclear debe ser dependiente del espín
• Longitud de dispersión
sin δ 0
⇐(signo negativo)
k →0
k →0
k
⇒ tiene dimensiones de longitud
⇒ representa la intensidad de la dispersión
δ
1 2iδ 0
f (θ ) =
(e − 1) # 0 = − a
δ 0 →0 k
2ik
⇒ para bajas energías u (r ) = C sin k2 (r − a )
• para el estado triplete ligado:
at > 0
lim σ = 4π a 2 → a = − lim
• para el estado singlete no
ligado: as < 0
• A partir de σ s y σ t
at = +6,4 fm
as = −23,0 fm
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12
Curso 2001-2002
Dispersión de neutrones lentos por H2
• En los experimentos de dispersión n-p no se puede obtener el signo de
a sólo su valor absoluto.
• Dispersión n-H2 En < 0.01 eV → λn > 0.05 nm
⇒ la onda incidente solapa ambos protones en la molécula H2
⇒ las ondas dispersadas se combinan coherentemente
2
σ ∝ ψ1 +ψ 2
⇒ no se excitan estados rotacionales moleculares
• La teoría de la dispersión de neutrones por orto- (S=1) y
parahidrógeno (S=0) da

→ vn = 770 m / s
2
+ 12.9 ( at − as ) 
σ para = 5.7 (3at + as )2
σ orto = σ para
lo que permite el cálculo de los signos de as y at
σ para = 3.2 b  as = −23.55 fm
→
σ para = 108 b  at = +5.35 fm
• Otros experimentos sensibles a las longitudes de dispersión as y at :
• difracción de neutrones por cristales que contienen H
• reflexión total de haces de neutrones a pequeños ángulos
por materiales ricos en H
confirman los valores anteriores
⇒ La fuerza nuclear depende del spin:
• la interacción n-p en estado triplete proporciona un estado ligado y
• la interacción n-p en estado singlete proporciona un estado no
ligado
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La fuerza entre nucleones
13
Curso 2001-2002
Propiedades de la fuerza nuclear
• En primer orden de aproximación, se puede interpretar mediante un
potencial central atractivo: Vc (r )
• Depende fuertemente del espín: ⇒ Vspin
! !
= V (r , s1 , s 2 )
!
!
• Pero … la fuerza nuclear es invariante respecto paridad (r → −r ) e
inversión de tiempo (t → −t )
! !
⇒ Vspin = Vs (r ) ( s1 / s 2 )
! !
1
s1 / s 2 = [S ( S + 1) − s1 ( s1 + 1) − s2 ( s2 + 1)] " 2
2
! !
1
Para estado triplete ( S = 1) → s1 / s 2 = " 2
4
! !
3
Para estado singlete ( S = 0) → s1 / s 2 = − " 2
4
! !
! !
 s1 / s 2 1 
 s1 / s 2 3 
Se podría escribir: V (r ) =  2 −  V1 (r ) +  2 +  V3 (r )
4
4
 "
 "
• Incluye término no central: Potencial tensorial
! ! !
⇒ Vtensorial = V (r , s1 , s 2 )
!
!
• Pero … la invariancia respecto paridad (r → −r ) ⇒
! ! ! !
 ( s1 / r )( s 2 / r ) ! ! 
− ( s1 / s 2 ) 
Vtensorial = VT (r ) S12 = VT (r ) 3
2
r


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La fuerza entre nucleones
14
Curso 2001-2002
Propiedades de la fuerza nuclear
• Presenta simetría de carga: Las fuerzas p-p y n-n son idénticas
• Es casi independiente de la carga:
Las fuerzas p-p, n-n y n-p son idénticas en estados análogos de espín
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15
Curso 2001-2002
Propiedades de la fuerza nuclear
• Se hace repulsiva a cortas distancias.
• densidad nuclear ≈ cte
• dispersión N-N a altas energías → δ 0 < 0 para E 0 300 MeV
• Core repulsivo: Rc # 0.5 fm
Puede depender de la velocidad relativa o el momento de los nucleones
! %!
⇒ Vmomento = V ( r , p )
%!
%!
• Pero … la fuerza nuclear es invariante respecto paridad ( p → − p )
%!
%!
e inversión de tiempo ( p → − p)
! %! %!
! %!
⇒ Vspin−orbita = Vso ( r ) ( r × p) / S = Vso ( r ) l / S
• Evidencia experimental: Polarización de un haz de nucleones
P=
N (↑) − N (↓)
N (↑) + N (↓)
 P = +1 100% ↑

 P = 0 no polarizado
 P = −1 100% ↓

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La fuerza entre nucleones
16
Curso 2001-2002
Propiedades de la fuerza nuclear
Potenciales fenomenológicos que dan una interpretación razonable de los
datos experimentales nucleón-nucleón
Sección eficaz diferencial neutrón-protón a energía medias. Presenta pico
acusado hacia atrás (cerca de 180º)
Física Nuclear y de Partículas
La fuerza entre nucleones
17
Curso 2001-2002
Modelo de fuerzas de intercambio
• Los potenciales fenomenológicos obtenidos en apartados anteriores
han tenido éxito para interpretar muchas propiedades de la
interacción N-N
• Pero … ¿cuál es el carácter fundamental de la interacción N-N?
• Intentaremos describir un mecanismo físico que de lugar a
potenciales similares a los encontrados fenomenológicamente.
• Fuerzas de intercambio:
• Las fuerzas nucleares se saturan → analogía con enlaces
moleculares
• La sección eficaz diferencial de la dispersión n-p a energías medias
presenta un fuerte pico para ángulos grandes → se puede explicar
que ambos nucleones intercambian su naturaleza.
• La interacción entre nucleones se puede describir mediante un
campo de fuerza, cuyos quanta son los mesones. Los nucleones
interaccionan entre sí intercambiándose mesones.
• Estos mesones, de masa m, “existirían” durante un tiempo ∆t lo
suficientemente corto como para no detectar que se ha violado el
principio de conservación de la energía en la cantidad ∆E=mc2
"
∆t <
mc 2
• El alcance de la fuerza será la máxima distancia que recorre el
mesón en dicho tiempo
R = c∆t =
"c
200 MeV . fm
≈
mc 2
mc 2
• Para fuerzas nucleares con alcances del orden de 1 fm, la masa de
la partícula intercambiada debe ser del orden de 200 MeV (masa
media entre el electrón y el nucleón = mesón)
• Tales partículas son virtuales, existen sólo durante la interacción y
permiten violar la conservación de la energía y el momento.
Física Nuclear y de Partículas
La fuerza entre nucleones
18
Curso 2001-2002
Modelo de fuerzas de intercambio
• El más ligero de los mesones es el pión, que tiene espín 0 y tres
estados de carga
mπ ± = 139.6 MeV mπ 0 = 135.0 MeV
es el responsable de la parte de largo alcance (1-1.5 fm) del potencial
N-N
El resto de mesones que aparecen en las fuerzas de intercambio son:
Mesón
π±
π0
ππ
ω
ρ
Masa
139.6 MeV
135.0 MeV
≈500 MeV
783 MeV
769 MeV
Espín
00011-
n
Alcance
1.0-1.5 fm
Potencial
largo alcance
0.5-1.0 fm
0.25 fm
0.25 fm
corto alcance
core repulsivo
espín-órbita
p
p
p
p
π+
n
n
p
n
π0
n
n
π-
p
• La teoría del intercambio de mesones de las fuerzas nucleares fue
propuesta inicialmente por Yukawa en 1935
• El potencial de intercambio de un pión (OPEP), que describe la
parte de largo alcance de la interacción N-N-, se puede escribir:
gπ2 ( mπ c 2 )  ! !
 3R 3R 2   e − r / R
+ 2 
V (r ) =
( s1 / s 2 ) + S12 1 +
2 2 2
r
r  r / R

3 ( Mc ) " 
3
donde:
gπ2: es la constante de acoplamiento que da la intensidad del campo
M: masa del nucleón
• El modelo de fuerzas de intercambio tiene un considerable éxito al
interpretar las propiedades del sistema N-N.
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La fuerza entre nucleones
19