Ejemplos de variable aleatoria discreta

Variable aleatoria discreta
1. A partir del experimento aleatorio consistente en lanzar tres monedas a la vez,
consideramos la variable aleatoria X = “nº de caras obtenidas”.
a)
b)
c)
d)
Determina la función de probabilidad de la variable.
Determina la función de distribución.
Calcula P( X  2) , P( X  3) , P(1  X  2,5)
Calcula la media y desviación típica de X.
2. El número de ejemplares de una especie de aves que pueden resultar dañados por las
aspas de molinos eólicos en la zona de estudio a lo largo de un cierto intervalo, se
estima a partir del siguiente modelo probabilístico:
kx
P( X  x )  
2k
para x  1,2,...,15
para x  16,17,...,30
a) Halla el valor de k para que la ley anterior sea realmente una ley de
probabilidad.
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 10 aves resulten dañadas?
3. La probabilidad de que determinado umbral de CO2 sea superado x días dentro de un
mes, es
x
1
P( X  x)  k   
 4
a) Calcula el valor de k para que la ley anterior sea realmente una ley de
probabilidad.
b) Calcula la probabilidad de que dicho umbral no sea superado en ningún día del
mes.
c) Calcula la probabilidad de que dicho umbral sea superado: (i) A lo sumo un día;
(ii) entre 1 y 3 días; (iii) todos los días.
4. Experimentalmente, se ha determinado la siguiente ley de probabilidad para el
número de crías de una cierta especie que sobrevive después del parto y las primeras
semanas:
Nº crías
Probabilidad
0
0,1
1
0,3
2
0,3
3
0,2
a) ¿Por qué representa lo anterior una ley de probabilidad?
b) Determina el número medio de crías supervivientes.
c) Determina la varianza y desviación típica de la variable.
4
0,1
5. Se está desarrollando una nueva variedad de maíz en una estación agrícola
experimental. Se espera que germine el 90% de las semillas. Para verificar esto, se
plantan 20 semillas en un suelo de idéntica composición y se le dedican los mismos
cuidados. Suponiendo que efectivamente la cifra 90% es correcta, calcula la
probabilidad de que:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Germinen exactamente 18 semillas.
Germinen al menos dos semillas.
Germinen menos de 19 semillas.
No germine ninguna semilla.
Germinen todas las semillas.
¿Qué cantidad de semillas se espera que germinen? Si sólo germinan 15 o
menos, ¿hay razones para sospechar de la cifra 90%?
6. Se está llevando a cabo un sondeo para determinar la opinión con respecto a la
construcción de una presa para controlar inundaciones en New River Valley. Para ello
se elige aleatoriamente a 15 residentes del área. Si un 80% de los habitantes del área se
oponen a la construcción de la presa,
a) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 individuos de la muestra estén en
contra de la construcción de la presa?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que estén en contra al menos 12 individuos?
c) ¿Cuántos individuos, de los encuestados, cabe esperar que estén en contra de la
presa?
7. Se sabe que el número de veces que una planta de energía nuclear emite gases
radiactivos en un periodo de tres meses sigue una distribución de Poisson.
Experimentalmente, se ha determinado que la media de dicha variable es de 2.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que en dicho periodo de tiempo la planta realice
alguna emisión de gases?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la planta realice entre 2 y 4 emisiones? ¿Y más
de 2 emisiones?
8. La proporción de individuos daltónicos en una población es del 0’005%. Determínese
la probabilidad de que, entre 5000 individuos examinados, exactamente diez sean
daltónicos.
Para más ejemplos sobre la distribución binomial y la distribución de Poisson, se
recomienda el libro de Susan Milton (“Estadística para Biología y Ciencias de la
Salud”).