Condiciones necesarias para la eliminación de corridas de

Boletín IIE
octubre-diciembre-2014
Artículo técnico
Condiciones necesarias para la eliminación
de corridas de prueba durante el balanceo de
rotores flexibles
Eduardo Preciado Delgado
Abstract
This paper analyses the conditions required to eliminate the trial runs during the balancing of large flexible rotors. These conditions include:
the identification of the principal axes of stiffness, the determination of the rotor mode shapes and modal masses, and the extraction of the
modal parameters from the measured vibration data, for each critical speed considered during the balancing. The paper also discusses possible
reasons why modal balancing without trial runs has not been incorporated to field balancing practice.
Introducción
El procedimiento utilizado
normalmente para balancear un modo de vibración consiste en rodar el
rotor dos veces a través
de la frecuencia de resonancia o velocidad crítica
correspondiente.
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El balanceo de un rotor requiere agregar masas discretas, con el fin de compensar una distribución excéntrica y continua de la masa del rotor que genera
grandes fuerzas de origen centrífugo y altos niveles
de vibración. Tradicionalmente, las masas de balanceo se calculan mediante la realización de una serie
de corridas de prueba lo cual, en el caso de rotores
flexibles de gran tamaño, requiere de un esfuerzo
importante. Tomando esto en consideración, se han
publicado varios artículos describiendo técnicas de
balanceo que supuestamente no requieren de la realización de corridas de prueba (Hundal y Harker,
1966; Palazzolo y Gunter, 1977; Gnielka, 1983;
Morton, 1985; Wiese, 1992; Preciado y Bannister,
2000; El-Shafei, El-Kabbany y Younan, 2004). No
hay, sin embargo, reportes de la aplicación generalizada de alguna de estas técnicas en la práctica de
balanceo. Esto sugiere la necesidad de resolver algunas dificultades adicionales de tipo práctico que
aún existen en la práctica del balanceo de rotores.
Artículo técnico
Este artículo analiza las condiciones requeridas para
la eliminación de las corridas de prueba durante el
balanceo de grandes rotores flexibles y comenta sobre las dificultades existentes para su incorporación
a la práctica de balanceo en campo.
El artículo revisa la ecuación requerida para el
cálculo de las masas de corrección necesarias para
compensar el desbalance para cada modo de vibración, así como la transformación de esa masa individual in en arreglo de masas, de tal manera que no
produzcan efecto alguno sobre los otros modos del
sistema.
Los planos de balanceo se incorporan en la geometría de los rotores, de tal forma que cualquier desbalance residual que excite los modos que afectan el
comportamiento vibratorio de los rotores a su velocidad nominal pueda ser suprimido mediante la
colocación de masas en esos planos. La compensación de modos de orden más alto normalmente no
es considerada, por lo que el alcance de este artículo se limita a la posible determinación de las masas
de corrección para los modos de vibración dentro
del rango normal de velocidad. Se utiliza un caso
analítico para ejemplificar el método de balanceo
y las condiciones requeridas para la eliminación de
las corridas de prueba.
El Método de Balanceo Modal
Las características modales de un rotor flexible sugieren un método de balanceo basado en el principio de ortogonalidad, el cual establece que las
energías cinética y potencial en un sistema pueden
considerarse como la suma de las correspondientes
energías cinética y potencial de cada componente
modal de vibración. Esto significa que un rotor
vibrando en uno de sus modos no excitará a ninguno de los otros modos, permitiendo el uso de
masas de corrección que afecten el contenido energético de ese modo, sin provocar efecto alguno en
otros modos que pudieran haber sido previamente
balanceados.
Asumiendo amortiguamiento de tipo proporcional,
la respuesta de un rotor flexible en cualquier coordenada z puede expresarse mediante una serie de
funciones características, de tal forma que:
n
n
∑u (z,t) =∑q (t)
u(z,t) =
r=1
r
r=1
r
•
jr(z)
donde n es el número de modos de vibración con una influencia significativa
sobre la respuesta del rotor en el rango de velocidad de operación, qr(t) representa las coordenadas principales del sistema y jr(z) son las funciones características o formas modales.
Similarmente, la distribución de excentricidad puede expresarse como:
n
∑ e j (z) (2)
e(z) =
r
r=1
r
Los elementos de la serie en la ecuación (2) representan las componentes modales de excentricidad; cada una de estas componentes modales excita a un solo
modo de vibración. Multiplicando ambos lados de la ecuación por rA(z)er jr(z)
e integrando a lo largo de la flecha, es posible demostrar que:
er = 1
mr
∫
1
0
r A(z) e(z) jr(z) dz (3)
donde mr representa la masa modal, r es la densidad del material, A(z) es el
área de la sección transversal de la flecha y la función característica jr(z) se
expresa como la relación entre la vibración a lo largo del rotor y un valor de
referencia, usualmente considerado como la vibración medida por uno de los
transductores del rotor. Si el transductor de referencia se encuentra localizado
en z=zi, el factor de forma modal r th correspondiente a la coordenada axial
z=zj está dado por:
jrj = jr(zj ) =
ur(zj , t) urj
(4)
=
ur(zi , t) uri
La naturaleza relativa de las funciones características demuestra que la componente modal de excentricidad er es una función de la deflexión utilizada como
valor de referencia uri . Lo mismo aplica para cualquier parámetro modal que se
exprese como una función de las formas modales.
La vibración producida por la componente modal de desbalance en la posición
del transductor de referencia puede expresarse como:
ur i =
Wr2 eri
= Ar (w) • er i (5)
2
√(1-Wr ) + (2VrWr )
2 2
donde eri es la componente modal de excentricidad observada desde la posición del transductor de referencia, Wr representa la relación entre la frecuencia
de rotación y la frecuencia natural rth del sistema, y Vr es la relación de amortiguamiento correspondiente.
La respuesta tiene un retraso de fase fri con respecto a la fuerza de desbalance,
el cual está dado por:
fri = tan-1
2V W
( 1-W
) (6)
r
r
2
r
(1)
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Artículo técnico
Se puede observar que el factor de amplificación dinámico Ar (w) es una constante para una frecuencia dada y es independiente de la coordenada axial.
El modo rth del rotor puede ser balanceado mediante la adición de una masa
discreta, de tal forma que la fuerza centrífuga generada por esta masa cancele la
fuerza centrífuga generada por la componente r th de la excentricidad.
Considere que el desbalance de un rotor, observado por un transductor localizado en z = zi, es representado por las excentricidades eri y eU, antes y después
de agregar una masa de prueba Ur j a un plano de balanceo localizado z = zj . Es
posible demostrar que:
1
Urj Rj jrj (7)
mri
eU = er i +
donde Rj es el radio del plano de balanceo localizado en z = zj. De acuerdo con
la ecuación (3), el segundo término de lado derecho de la ecuación (7) es la
representación modal de la masa de prueba observada por el transductor localizado en z = zi. El objetivo del balanceo es eliminar el valor de la excentricidad
después de agregar la masa, tal que eU = 0. Esto es:
er i +
1
Ur j Rj jr j = 0 (8)
mr i
Por lo tanto, de acuerdo con la ecuación (8), la masa de corrección está dada
por:
Ur j= -
mr i
• e (9)
Rj jr j r i
donde mr i es la masa modal observada desde la localización del transductor de
referencia.
Introduciendo la ecuación (5) en la ecuación (9) resulta en:
Ur j= -
(R A m(w) j ) u ri
j
•
•
r
•
rj
ri
(10)
Para la resonancia se tiene que Wr = 1, de tal forma que el factor de amplificación dinámico en la ecuación (5) se reduce a:
Ar (w)=
1
2 zr
(11)
con un desfasamiento de 90° con respecto a la fuerza de desbalance. Sustituyendo (11) en la ecuación (10), transforma la expresión para la masa de corrección en:
Ur j= -
156
(2 Rz jm ) u
•
j
r
•
•
ri
rj
•
ri
(12)
La ecuación anterior proporciona la masa de corrección que debe agregarse al plano de balanceo
localizado en z = zj con el objeto de compensar la
componente de desbalance r th. El signo negativo
indica que esta masa debe colocarse opuesta a la
posición de la fuerza de desbalance, la cual va 90°
adelante del desplazamiento en la resonancia.
Eliminación de las corridas de
prueba
El procedimiento utilizado normalmente para balancear un modo de vibración consiste en rodar
el rotor dos veces a través de la frecuencia de resonancia o velocidad crítica correspondiente: una
vez en su condición de desbalance original y otra
más con la adición de una masa de prueba. El efecto de la masa de prueba es calculado mediante la
sustracción de las vibraciones de ambos rodados.
Esto define el valor global del paréntesis en la ecuación (12), la cual puede ser utilizada para calcular
la masa de corrección requerida para compensar las
vibraciones originales.
Así, para balancear un rotor sin corridas de prueba
se rodaría el rotor una sola vez, lo que significa que
los términos dentro del paréntesis en la ecuación
(12) deberían determinarse por algún otro medio.
Radio de los planos de balanceo. El radio de cada
plano de balanceo Rj es una característica geométrica del sistema y representa la excentricidad de cada
masa agregada. Los radios de los planos de balanceo
necesitan medirse directamente en el rotor o identificarse en la información geométrica del rotor, lo
cual no representa dificultad alguna.
Parámetros modales de la respuesta del rotor.
Dos parámetros en la ecuación (12) requieren ser
extraídos de las vibraciones registradas: (a) la amplitud y el ángulo de fase de la componente modal de
vibración uri, y (b) la relación de amortiguamiento z r. Estos parámetros pueden obtenerse utilizando un programa para extracción de parámetros
modales. Existen varios programas que permiten la
extracción de parámetros modales de la respuesta
vibratoria y que consideran la interacción de
múltiples grados de libertad. Cuando se balancea
un rotor, la extracción de parámetros modales proporciona no solo la frecuencia natural, sino la rela-
Artículo técnico
ción de amortiguamiento y la amplitud y fase de la
componente modal de vibración, para cada modo
presente en la respuesta del rotor.
Efecto de la posición angular del transductor. La
teoría modal dice que la respuesta de cada modo
de vibración está definida por las ecuaciones (5) y
(6). Para que esta aseveración se sostenga, sin embargo, el transductor de vibración debe coincidir
con uno de los ejes principales de rigidez tal como
se demuestra en Preciado (Preciado, 1998). Un eje
principal de rigidez es la dirección para la cual la
ecuación diferencial de movimiento se desacopla de
cualquier otro modo.
Para el caso de un rotor soportado sobre chumaceras asimétricas, las coordenadas principales se
presentan en pares. La experiencia práctica demuestra que la localización angular de los transductores
usualmente difiere de la de los ejes principales, introduciendo la influencia de ambos modos en las
mediciones de vibración. De acuerdo con Preciado,
(Preciado, 1998), la localización de un transductor en cualquier otra posición que no sea la del eje
principal de rigidez, producirá no sólo una diferencia en la magnitud, sino también una localización
angular diferente para la masa de corrección. Con
el objeto de evitar estos errores, es necesario identificar la posición de cada eje principal de rigidez.
Considere dos transductores en la misma posición
axial y colocados de tal forma que coincida con los
ejes x y y de un sistema rectangular de coordenadas.
De Preciado (Preciado, 1998), las posiciones angulares a y b de los ejes principales, correspondientes
a un par de modos con frecuencias naturales w1 y
w2, están dadas por:
( uu )
a= tan -1 -
x2
y2
( uu ) (13)
and b= tan -1 -
x1
y1
donde ux y uy son los vectores de resonancia capturados por los transductores en las direcciones x y
y, y los subíndices 1 y 2 se refieren a las dos resonancias. Así, considerando un transductor localizado en la dirección de uno de los ejes principales, el
vector en resonancia está dado por:
ua = ux cos a + uy sin a
(14)
y una expresión similar para la otra dirección
principal. El parámetro ua es el que debe introdu-
cirse en la ecuación (12) para determinar la magnitud de la masa de corrección
correspondiente a cada modo de vibración. La utilización del transductor
virtual en la dirección a proporciona también la correcta localización angular
para la masa de corrección (Preciado, 1998).
Formas modales y masas modales. La masa modal en la ecuación (12) es una
función de la posición axial desde la cual se observa el comportamiento del
rotor y está dada por:
∫
1
mr = r A(z) [jr(z)]2dz 0
(15)
El uso de un modelo de parámetros discretos transforma la ecuación (15) en:
n
mri =
∑m (j ) j
j=1
rj
2
(16)
donde n representa el número de elementos en el modelo y mj es la masa del
elemento jth. El término mri en la ecuación (16) representa la masa modal rth
observada desde la posición del transductor de vibración utilizado como referencia, y jrj representa el factor de forma modal r th tal como se define en
la ecuación (4). La forma más común de determinar las formas modales y las
correspondientes masas modales consiste en utilizar un modelo numérico del
rotor y un programa para la determinación de frecuencias naturales y formas
modales.
Determinación de masas individuales de corrección. Una vez que se obtienen los parámetros modales, se introducen en la ecuación (12) para calcular
una masa discreta de corrección. Esta masa representa la corrección requerida
para compensar el desbalance del modo que se está balanceando, para lo cual
se coloca en la misma posición axial para la cual se calcula el factor de forma
modal dado en el denominador de la ecuación (12).
Cálculo de arreglos modales de masas. En general, una masa individual afectará a todos los modos de vibración del rotor. Por lo tanto, esta masa debe ser
transformada en un arreglo de masas tal que: (a) corrija el desbalance original,
y (b) lo haga sin afectar a los otros modos de vibración. Estas dos condiciones
son representadas por el siguiente sistema de ecuaciones:
n
∑U (z ) R
j=1
r
j
•
j
•
jsj =
{
2 z r mr i ur i for
r=s
for
r≠s
0
(17)
donde Ur (zj ) es la masa de corrección requerida en el plano de balanceo
localizado en z = zj, la cual forma parte del arreglo de masas modales necesario
para compensar el desbalance en el modo de vibración rth, y jsj es el factor
de forma modal correspondiente para el modo de vibración s th. Cada arreglo
de masas modales está compuesto por n elementos y el número de planos de
balanceo necesita ser igual al número de modos de vibración considerados durante el balanceo.
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Artículo técnico
Ejemplo
Figura 1. Modelo de dos turbinas acopladas, con tres soportes y seis planos de balanceo.
Figura 2. Vibraciones originales en direcciones horizontal y vertical.
El procedimiento de balanceo descrito fue utilizado para el balanceo del modelo numérico mostrado
en la figura 1. El modelo representa dos turbinas
acopladas y consiste de 20 elementos viga soportados sobre tres chumaceras. Se agregó un total de 19
masas de desbalance escogidas de forma arbitraria y
con una distribución aleatoria a lo largo del rotor.
Las vibraciones utilizadas como referencia fueron
las de la chumacera del extremo izquierdo. El rotor
tiene tres pares de resonancias en el rango de 0 a
3000 r/min. Por lo tanto, se consideraron seis planos de balanceo en las posiciones mostradas por los
círculos en la figura 1.
Las vibraciones para las direcciones x y y (figura 2)
fueron analizadas con la ayuda de un programa para extracción de parámetros modales. El programa
identificó seis frecuencias naturales con sus correspondientes relaciones de amortiguamiento y vectores en resonancia.
Los vectores correspondientes a las frecuencias de
resonancia fueron utilizados en la ecuación (13) para determinar la localización de los ejes principales
de rigidez, los cuales fueron identificados en 60° y
339°, respectivamente. Las vibraciones para esas direcciones principales se muestran en la figura 3.
Figura 3. Vibraciones originales en las direcciones de los ejes principales.
La aplicación de la ecuación (12) proporcionó una
masa de corrección para cada modo de vibración.
Estas masas fueron entonces transformadas en arreglos modales utilizando el sistema de ecuaciones
(17). A continuación se sumaron los arreglos modales para calcular una sola masa para cada plano
de balanceo. El resultado de agregar esas masas al
modelo del rotor se muestra en la figura 4.
Los resultados del balanceo del modelo pueden
apreciarse fácilmente comparando la respuesta antes y después de la adición de las masas de corrección. Aún existen vibraciones residuales, aunque
pequeñas, las cuales tienen su origen en errores
numéricos durante la determinación de los parámetros modales utilizados en la ecuación (12), así como por la influencia de modos superiores no considerados durante el balanceo.
Figura 4. La curva inferior muestra las vibraciones con el desbalance original
más las masas de corrección.
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Artículo técnico
Discusión
El ejemplo mostrado en la sección previa, junto con
resultados experimentales reportados en otras publicaciones (Preciado, 2002), por ejemplo, demuestran que el balanceo sin corridas de prueba es una
posibilidad real. Esto tiene el potencial de ahorrar
un tiempo precioso, considerando que el balanceo
en línea, en caso de ser necesario, cae directamente
dentro de la ruta crítica de un programa de mantenimiento. Por lo tanto, considerando el tiempo de
retraso en poner un turbogenerador de regreso en
operación después de un mantenimiento, uno tiene
que preguntarse por qué el balanceo sin corridas de
prueba no se ha incorporado a los procedimientos
normalmente utilizados en la práctica de balanceo.
Este artículo considera que la respuesta del rotor
puede expresarse como una serie de componentes
modales, cada una asociada a una frecuencia natural y a una forma modal específica. Similarmente,
también se considera que el desbalance de un rotor puede expresarse como una serie de desbalances
modales, cada uno de los cuales excita un sólo modo de vibración.
Además, la teoría modal indica la posibilidad de
identificar las características de cada componente
de desbalance, eliminando con ello la necesidad
de realizar corridas de prueba. De acuerdo con la
ecuación (12), el proceso requiere conocer las formas modales, las relaciones de amortiguamiento,
las masas modales y la amplitud y fase de los vectores de vibración en resonancia para cada modo de
vibración dentro del rango de operación del rotor.
Así, el analista tendría que conseguir una herramienta para extracción de parámetros modales por su propia cuenta, pero su uso requeriría que la información de vibraciones del rotor estuviera en el formato adecuado para alimentarlas al programa. Esto, por supuesto, asume que la información de vibraciones
puede ser extraída del sistema de monitoreo en forma digital para ser manipulada, lo cual no necesariamente es cierto.
Cuando un rotor se soporta en chumaceras asimétricas, las características de rigidez del sistema no son las mismas para observadores colocados en diferentes
posiciones alrededor de la flecha. Solamente hay dos direcciones, llamadas ejes
principales de rigidez, para las cuales una fuerza estática resulta en un desplazamiento en la misma dirección. Esto provoca que las resonancias se presenten
en pares, una para cada dirección principal.
El análisis presentado en este y otros artículos demuestra que la única posición
angular que proporciona la amplitud correcta del vector de resonancia es la
del eje principal de rigidez correspondiente. Así, asumiendo que los parámetros modales ya han sido obtenidos, el siguiente paso consiste en identificar la
localización de los ejes principales los cual, de acuerdo con la ecuación (13),
requiere la información de dos transductores por chumacera, lo cual afortunadamente se está transformando en una práctica estándar. Conociendo la localización de los ejes principales, los valores de vibración se convierten en aquellos
que observarían transductores observando en esas direcciones principales, alimentándolos al programa para extracción de parámetros modales, con el objeto de obtener los valores correctos para la amplitud de vibración requerida en
la ecuación (12). Todo esto representa un obstáculo adicional, ya que el procesamiento de las señales requiere herramientas específicas que normalmente no
están disponibles.
Otro obstáculo más está relacionado con el cálculo de las formas modales y sus
masas modales correspondientes, las cuales requieren del desarrollo de un modelo numérico y del uso de un programa de cómputo. El desarrollo del modelo
requiere de cierto grado de conocimiento y experiencia, si es que se espera que
el modelo reproduzca el comportamiento real del rotor. Para esto, el analista
requiere la información geométrica del rotor, pero los fabricantes normalmente
La relación de amortiguamiento y los vectores para
cada modo pueden obtenerse directamente de las
vibraciones capturadas por los transductores, pero
esto requiere del uso de un programa de computadora especializado para llevar a cabo esta tarea,
el cual no está normalmente a la mano, ya que los
sistemas de monitoreo no incluyen este tipo de
programas como parte de sus características. Una
razón podría ser que los usuarios no solicitan que
el sistema incluya una herramienta de estas características, pero otra más importante es tal vez que las
herramientas para extracción de parámetros modales han sido desarrolladas pensando en el análisis de
estructuras estacionarias, lo cual hasta el momento
representa un mayor mercado que el análisis de sistemas rotatorios.
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Artículo técnico
Así, aun cuando la teoría soporta la posibilidad de
eliminar las corridas de prueba, en la realidad esto
podría ser impedido por una serie de obstáculos,
algunos de los cuales son más difíciles de superar
que otros. Sin embargo, no hay razón por la cual las
herramientas necesarias no puedan estar disponibles
para el analista de vibraciones; los beneficios
económicos asociados con la reducción del tiempo
fuera de servicio de un turbogenerador de gran
tamaño debería fácilmente justificar el costo de
desarrollo o de adquisición de esas herramientas.
Referencias
Hundal, M. S., Harker, R. J. Balancing of flexible rotors having
arbitrary mass and stiffness distribution. Transactions of the ASME, Journal of Engineering for Industry, 88(2), 217-223, 1966.
no ofrecen esta información de forma voluntaria. Así, el desarrollo del modelo
puede significar la medición de todas las dimensiones necesarias. Además, el
modelo de computadora requiere de las características de rigidez y amortiguamiento de cada soporte y chumacera. Esto representa necesidades adicionales
en términos de esfuerzo de modelado y herramientas de cálculo, las cuales una
vez más pudieran no estar al alcance del analista.
Finalmente, a pesar de que una sola masa es suficiente para compensar un modo de vibración, esta generalmente excitaría todos los modos de vibración del
rotor. Por lo anterior, la masa de corrección tiene que transformarse en un conjunto de masas equivalente que produzca el mismo efecto que la masa individual, pero sin disturbar la condición de desbalance en otros modos. El número
de masas de cada arreglo debe ser igual al número de planos de balanceo requerido para compensar la distribución original del desbalance, el cual a su vez debe ser igual al número de modos de vibración considerado en la respuesta. Esta
transformación de las masas de corrección individuales en arreglos equivalentes
de masas de corrección está dada por la ecuación (17) y requiere una vez más
del conocimiento de las formas modales, las cuales ya fueron utilizadas para la
determinación de las masas modales del rotor. Sin embargo, durante un balanceo en campo pudiera no haber acceso a los planos de balanceo requeridos.
En el ejemplo mostrado en este artículo, se utilizaron seis planos de balanceo,
incluyendo dos planos localizados en el centro de las dos turbinas. Sin embargo, normalmente no hay acceso a los planos centrales durante un balanceo en
campo, y retirar la carcasa para ganar acceso a esos planos normalmente no es
una opción a considerar.
Finalmente, el balanceo sin corridas de prueba sólo es posible si el rotor puede rodarse a través de los diferentes modos de vibración sin que se presenten
amplitudes de vibración que sobrepasen los máximos valores tolerables. En el
ejemplo analizado el rotor alcanza amplitudes de vibración global superiores a
los 1000 micrómetros, lo cual en un rotor real estaría muy por encima de los
límites de disparo de la máquina.
160
Palazzolo, A. B., Gunter, E. J. Modal balancing without trial
weights by a modified Nyquist plot procedure. In: Machinery Vibration Seminar, Vibration Institute, Cherry Hill, New Jersey,
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Gnielka, P. Modal balancing of flexible rotors without test runs:
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Artículo técnico
EDUARDO PRECIADO DELGADO [[email protected]]
Doctor en Ingeniería Mecánica con especialidad en Turbomaquinaria por la Universidad de Cranfield, Inglaterra. Maestro en Ciencias en Mecánica Aplicada con especialidad en Vibraciones y
Ruido en Maquinaria Rotatoria por el Instituto Tecnológico de Cranfield, Inglaterra. Ingeniero
Mecánico por la Universidad de Guanajuato. Ingresó al Instituto de Investigaciones Eléctricas
(IIE) en 1983 a la hoy División de Sistemas Mecánicos. Su área de especialidad se enfoca al análisis
del comportamiento dinámico de maquinaria rotatoria. Dirigió el proyecto para el desarrollo del
Sistema Computarizado para Análisis Dinámico (SICAD II), y colaboró en el desarrollo de algoritmos para balanceo de rotores flexibles que conjuntan el balanceo modal con el de coeficientes
de influencia. También ha trabajado en la implantación de técnicas de análisis de vibraciones como apoyo al mantenimiento predictivo de equipo rotatorio. Ha publicado varios artículos a nivel
internacional y ha presentado ponencias en conferencias y congresos de su área de especialidad.
Tiene experiencia como docente a nivel bachillerato, licenciatura y maestría. Desde 2001 dirige la
Gerencia de Turbomaquinaria, dentro de la División de Sistemas Mecánicos del IIE.
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