Momentos de inercia

Práctica − Momentos de inercia
Objetivos
• Determinar la constante recuperadora de un muelle espiral.
• Determinar, experimentalmente, el momento de inercia de diferentes cuerpos y comparar éstos con
los correspondientes valores teóricos.
• Comprobar el teorema de Steiner.
Material
• Soporte con muelle espiral.
• Barra (66,0 ± 0,1 cm) con dos masas móviles (210,0 ± 0,1 g).
• Esfera (m = 733,1 g; " = 14,0 cm)
• Cilindro macizo (m = 370,1 g; " = 10,0 cm)
• Cilindro metálico hueco (m = 375,9 g; " = 10,0 cm)
• Disco (m = 283,5 g; " = 21,6 cm)
• Disco con agujeros.
• Regla (precisión de 0,1 cm).
• Soporte adicional.
• Cronómetro (precisión, con el tiempo de reacción, de 0,1 s).
• Dinamómetros de 1 N (precisión 0,02 N).
Nota: La incertidumbre en las características de los cuerpos es del último orden de magnitud, a saber: 0,1 g en
las masas y 0,1 cm en las longitudes.
Fundamentos
Muelle espiral
Un sistema elástico que cumple la ley de Hooke es el muelle espiral. Cuando desplazamos el sistema de la
posición de equilibrio, aparece un par recuperador, que en primera aproximación y para desplazamientos
pequeños, es proporcional al desplazamiento, de forma análoga a la ley de Hooke para muelles lineales:
(1)
Donde M es el momento de la fuerza recuperadora que se produce, el ángulo que giramos el sistema y R es
la constante de proporcionalidad, denominada constante recuperadora del muelle espiral.
El periodo de oscilación del sistema sujeto al muelle espiral viene dado, y seguimos con la aproximación de
pequeñas oscilaciones, por:
(2)
Siendo I el momento de inercia del sistema respecto al eje de rotación.
Esto nos proporciona una forma de conocer el momento de inercia de un sistema, ya que si lo ponemos a
oscilar en un muelle espiral de R conocida, el periodo que obtengamos nos permitirá calcular el momento de
inercia, e incluso compararlo con el valor teórico de éste que podemos calcular en algunos cuerpos de
geometría sencilla:
1
Cuerpo
Masa puntual (d es la distancia al eje)
Esfera respecto a su diámetro
Disco (eje perpendicular por su centro)
Cilindro hueco respecto a su eje
Cilindro macizo respecto a su eje
Varilla (eje perpendicular por su c.m.)
Momento de inercia
Teorema de Steiner
Se enuncia de la siguiente manera: El momento de inercia de un cuerpo respecto de un eje cualquiera es igual
al momento de inercia respecto a un eje paralelo al dado que pase por su centro de gravedad, más es producto
de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes:
(3)
Realización
Determinación de R
Para determinar la constante del muelle espiral utilizaremos la expresión (1). Para ello montamos la varilla en
el muelle espiral y a continuación, mediante un dinamómetro y empleando el soporte adicional para su
correcta posición se hace girar la varilla un ángulo , anotando la lectura de la fuerza que registra el
dinamómetro y la distancia al eje de giro. Repetimos la operación para ángulos sucesivamente crecientes, ð/2,
ð, 3ð/2, ...
De la representación de M = f() ajustada por mínimos cuadrados, podemos calcular la constante de
recuperación de nuestro muelle.
Momento de inercia de una masa puntual
El momento de inercia de dos masas móviles dispuestas en forma simétrica respecto al centro de una barra,
respecto a un eje perpendicular a la barra que pase por su centro es:
(4)
siendo Ib el momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de gravedad, y d la distancia
desde éste al centro de cada una de las masas (que consideramos puntuales).
Dispondremos la varilla con las masas móviles y determinaremos el momento de inercia del sistema para
diferentes posiciones de las masas (simétricas respecto el eje).
Colocamos éstas en diferentes posiciones de la varilla, determinamos el periodo de las oscilaciones, midiendo
el intervalo de tiempo empleado en n oscilaciones. Emplearemos la siguiente expresión para el momento de
inercia del sistema,
que es la (2):
Llevamos los resultados a una gráfica I = f(d2), que debe presentar un comportamiento lineal, y de la que
podemos deducir el momento de inercia de la barra (de la ordenada en el origen) y el valor de las masas (de la
pendiente).
2
Momentos de inercia de un sólido
Vamos a comparar los momentos de inercia de ciertos cuerpos obtenidos por la expresión teórica con los
deducidos experimentalmente.
Para hallar el momento de inercia de un cuerpo experimentalmente, lo ponemos a oscilar en el muelle espiral
de constante R conocida y medimos el periodo (midiendo varias oscilaciones y dividiendo), que llevaremos a
la expresión (2).
Teorema de Steiner
Para comprobar el teorema de Steiner, utilizaremos el disco con agujeros, haciendo que oscile respecto a los
ejes que pasan por los diferentes orificios, midiendo en cada caso el periodo de oscilación y calculando la
correspondiente I en cada caso (momento de inercia respecto aleje que pasa por el orificio correspondiente).
Llevamos estos pares de datos a otra gráfica I = f(d2), que debe tener un comportamiento lineal.
Interpretaremos los valores de la ordenada en el origen y de la pendiente.
Resultados
a) Gráfica M = f() y valor de la constante R del muelle espiral.
Mediante el procedimiento descrito anteriormente, medimos para diferentes ángulos el momento recuperador
del muelle (midiendo la fuerza y teniendo en cuenta la longitud del brazo). Estos datos los agrupamos en la
Tabla I, a continuación. En ella ya está indicado lo que serán las variables x e y en la posterior Gráfica 1.
En este caso hemos pasado todos los valores a unidades del SI (mks).
Tabla I − Cálculo de la constante recuperadora del muelle.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
xi=ði
(rad)
1,571
3,142
4,712
6,283
7,854
9,425
10,996
12,566
ð(ði)
(rad)
0,017
0,017
0,017
0,017
0,017
0,017
0,017
0,017
Fi
(N)
0,08
0,18
0,28
0,36
0,46
0,54
0,62
0,74
ð(Fi)
(N)
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
0,02
yi=Mi=Fidsen(90º)
(N m)
0,03040
0,06840
0,1064
0,1368
0,1748
0,2052
0,2356
0,2812
ð(Mi)
(N m)
0,00008
0,00018
0,0003
0,0004
0,0005
0,0005
0,0006
0,0007
En la página siguiente vemos la gráfica a que se hace referencia en este apartado, de la cual, mediante su
ajuste obtenemos los siguientes datos:
m = 0,0222 ± 0,0003
n = −0,002 ± 0,003
r = 0,9991
3
Como vemos en el coeficiente de correlación, tenemos el comportamiento fuertemente lineal que habíamos
predicho. Sabiendo que la recta es reflejo de la expresión (1), y comparándolas, podemos dar como resultado:
R = 0,0222 ± 0,0003 N·m/rad = (222 ± 3)·103 din·cm/rad
El resultado en dinas por centímetros por radián corresponde al sistema cegesimal (cgs), que utilizaremos en
esta práctica porque es similar al SI pero a menor escala (gramos y cm en lugar de kilos y metros, y la dina
que es 1/100000 N).
Y dado que la expresión (1) no tiene término independiente, la ordenada en el origen debe (tal y como ocurre)
aproximarse a cero, de forma que como el cero está dentro de su límite de incertidumbre podemos afirmar que
n es cero y hemos obtenido un valor fruto de fluctuaciones aleatorias.
b) Gráfica I=f(d2) para las masas móviles y valor deducido de Ib y m.
Después de haber hecho las medidas que corresponden a la determinación de periodos de oscilación, que
como siempre que se trata de medir tiempos implican varias repeticiones y los cálculos de las dispersiones y
errores pertinentes, y como en el caso particular de las oscilaciones que además implica medir varias para
dividir posteriormente, podemos presentar la Tabla II, con la que se construye la Gráfica 2 de la página
siguiente:
Tabla II − Momento de inercia de una masa puntual
di
(cm)
13,0
15,0
17,0
19,0
21,0
23,0
25,0
27,0
29,0
31,0
ð(di)
(cm)
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
di2
(cm2)
169
225
289
361
441
529
625
729
841
961
ð(di2)
(cm2)
3
3
3
4
4
5
5
5
6
6
ti
(s)
9,9
10,5
11,1
11,6
12,3
13,6
14,8
15,4
16,6
17,6
ð(ti)
(s)
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
0,1
Ti=ti/n
(s)
4,95
5,24
5,52
5,80
6,16
6,79
7,38
7,70
8,31
8,78
ð(Ti)
(s)
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
0,05
Ii=(Ti2/4ð2)R ð(Ii)
x103 (g cm2) x103 (g cm2)
138
3
154
4
172
4
189
4
213
4
259
5
306
6
334
6
388
7
433
8
En la gráfica hemos quitado tres de los puntos porque teníamos demasiados valores y se alejaban mucho de
pasar por la recta.
En el ajuste por mínimos cuadrados obtenemos los siguientes resultados
m = 382 ± 8
n = (63 ± 6)·103
r = 0,9986
Los puntos siguen un comportamiento lineal. Debemos comparar la ecuación de la recta con la expresión (4):
4
Podemos ver que la ordenada en el origen es el valor de Ib, y que la pendiente nos da el valor de las dos masas
juntas, de forma que dividiendo la pendiente y su error por dos podemos dar los resultados:
Ib = (63 ± 6)·103 g·cm2
m = 191 ± 4 g
Observamos que el valor obtenido para las masas es inferior al que pesamos en la balanza (210,0 ± 0,1 g).
Esto se puede deber a imprecisiones en nuestro experimento, o probablemente por la aproximación de haber
considerado las masas como puntuales.
c) Valor teórico y experimental del momento de inercia de los diversos objetos de que disponemos.
A continuación vemos las Tablas III y IV con los valores teóricos y experimentales de los momentos de
inercia:
Tabla III − Momentos de inercia teóricos
Esfera
Disco
Cilindro hueco
Cilindro
macizo
I
r
7,0
10,8
5,0
ð(r)
(cm)
0,1
0,1
0,1
m
(cm)
733,1
283,5
375,9
(2/5)mr2
(1/2)mr2
mr2
(1/2)mr2
ð(m)
(g)
0,1
0,1
0,1
5,0
0,1
370,1 0,1
I
(g)
14400
16500
9400
ð(I)
(g·cm2) (g·cm2)
400
300
400
4630
180
Tabla IV − Momentos de inercia experimentales
t
Esfera
Disco
Cilindro
hueco
Cilindro
macizo
5,0
5,0
ð(t)
(s)
0,1
0,1
T=t/n
(s)
1,67
1,66
ð(T)
(s)
0,03
0,03
I=(T2/4ð2)Rð(I)
(s)
(g·cm2)
15700
600
15500
600
3,6
0,1
1,19
0,03
8000
400
2,7
0,1
0,91
0,03
4700
300
(g·cm2)
Vemos que los valores difieren, excepto en el caso del cilindro macizo, que encajan perfectamente. En la
esfera la diferencia es de 1300 ± 700 g·cm2, en el disco tenemos 1000 ± 900 g·cm2 de diferencia y con el
cilindro hueco nos desviamos
1400 ± 600 g·cm2. El que mas desajustado está es el del cilindro hueco, que tiene una diferencia apreciable y
del mismo orden de magnitud que los valores, ya que los otros dos cuerpos tienen diferencias pequeñas en
comparación con el error de la diferencia e inferiores al 10% de la magnitud.
d) Valores del momento de inercia del disco perforado según las diversas posiciones del mismo y
comprobación del teorema de Steiner.
Colocamos el disco con el eje en sus distintos orificios y medimos el periodo de las oscilaciones que se dan en
cada posición. Estos datos los vemos en la Tabla V:
5
Tabla V − Momentos de inercia del disco perforado
A continuación construiremos la Gráfica 3 − I = f(d2), que adjuntamos en la página siguiente, y de la que
obtenemos los siguientes valores por ajuste de mínimos cuadrados:
m = 500 ± 20
n = (48 ± 2)·103
r = 0,9976
Se observa que es lineal, como lo es la ecuación de Steiner respecto a d2. Y de la expresión del teorema de
Steiner, I = Icm + md2, de educimos que la ordenada en el origen es el momento de inercia del disco respecto
al eje del centro de masas, y la pendiente es la masa del disco, que es el coeficiente de d2 en la ecuación.
Icm = (48 ± 2)·103 g·cm2
m = 500 ± 20 g
En efecto el valor obtenido para Icm es comparable al que vemos en la primera entrada de la Tabla V, en la
que el disco está pinchado en su orificio central, y difiere porque el del ajuste viene de considerar la evolución
de todos los puntos y extrapolarlos hasta el origen, mientras que la medida de la tabla puede haber fluctuado
más, al venir de la medida de un tiempo, siempre problemática, o tener que utilizar además un valor de la
constante R del muelle que determinamos anteriormente también por nuestros medios.
Conclusiones
En esta práctica nos ha sorprendido que al contrario que en la mayoría de las demás nos hemos empezado a
encontrar con resultados discordantes. Pensamos que la razón, además de todas las que podamos haber dado
en los diferentes apartados está en que nuestro muelle espiral no estaba en perfectas condiciones, y aunque a
simple vista no lo parecía, y no empezamos a sospecharlo hasta prácticamente el final de las medidas, debía
rozar por algún sitio y de vez en cuando nos obsequiaba con una oscilación frenada al mas puro estilo de
envolvente exponencial de una sinusoide que disminuye su amplitud.
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