Momentos de inercia y teorema de Steiner

MEMORIA DE LA PRACTICA NUMERO 8
Objetivos
• Pretendemos averiguar experimentalmente cual es la constante recuperadora R de un muelle en
espiral.
• Calcular, tanto experimental como teóricamente, los momentos de inercia de los diferentes objetos
problema.
• Comprobar que se cumple el teorema de Steiner.
Material
• Soporte en forma de trÃ−pode pequeño con el muelle en espiral a estudiar.
• Barra con dos masas móviles.
• Objetos problema :
♦ Esfera
♦ Cilindro macizo
♦ Cilindro metálico hueco
♦ Disco
♦ Disco con agujeros
♦ Soporten adicional.
♦ Cronómetro.
♦ Dos dinamómetros de 1 y 3 Newtones.
Fundamento
Trabajamos con un sistema elástico en rotación, esa rotación está producida por un
muelle en espiral. El sistema se encontrará en equilibrio cuando la energÃ−a potencial sea
mÃ−nima. Cuando el sistema da un giro, aparece un momento que tiende a devolverlo a su
posición inicial.
Si suponemos que dicho momento recuperador es función únicamente del ángulo de giro,
entonces podemos poner que:
(1)
Donde R recibe el nombre de constante recuperadora, y tiene signo negativo.
El perÃ−odo de oscilación del sistema para pequeñas oscilaciones viene dado por:
(2)
Cuando conocemos el valor de la constante R, despejando de la anterior ecuación, podemos
calcular el momento de inercia I, este momento serÃ−a experimental y lo podemos
comprobar posteriormente con los momentos de Inercia calculados teóricamente.
El teorema de Steiner se basa en que si calculamos el momento de Inercia de un cuerpo
respecto al eje principal, luego el momento de inercia respecto de un eje paralelo al eje
anterior vendrá dado por la fórmula:
1
donde Io es el momento de inercia respecto del eje principal, y d la distancia entre ambos
ejes.
Datos y Resultados
A) Pretendemos averiguar el valor de la constante R.
Colocamos la varilla sobre el soporte y la giramos 90º, con el dinamómetro observamos la
fuerza que se ejerce. AsÃ− sucesivamente hasta un ángulo de 540º.
El momento vendrá dado por M=F·d·sen 90, pero como sen 90=1, entonces M=F·d.
Siendo d la distancia del dinamómetro al centro del sistema, que es constante y vale 30 cm.
d=30 cm. = 0.3 m
Momento obtenido en función del ángulo
à ngulo de giro
Momento
Fuerza ejercida
en radianes
Ï /2
Ï
3Ï /2
2Ï
2Ï +Ï /2
2Ï +Ï
0.06 N
0.16 N
0.26 N
0.4 N
0.47 N
0.58 N
M=F·d
0.018
0.048
0.078
0.120
0.141
0.174
B) Hemos obtenido el valor de R por la recta ajustada por mÃ−nimos cuadrados:
R = 0.02
Ahora calcularemos los momentos de inercia experimentales de los diferentes objetos
problema empleando la expresión nº(2).
Colocamos sobre el soporte la esfera, la hacemos girar 90º y cronometramos el tiempo que
tarda en realizar 10 oscilaciones, asÃ− obtendremos el perÃ−odo, realizamos la misma
operación con los demás objetos.
R = 0.02
à ngulo que giramos = 90º
Oscilaciones = 10
Momentos de inercia experimentales
En los errores de los datos, hemos considerado el error absoluto.
Para el perÃ−odo hemos tomado el mismo error que el de la media del tiempo, solo que
dividido por 10.
2
El error del momento de inercia lo calculamos teniendo en cuenta el error del perÃ−odo,
calculamos el valor que tendrÃ−a dicho momento si el perÃ−odo (dentro de su error) tomase
el valor mÃ−nimo o máximo, y posteriormente lo restamos del momento que hemos
calculado como válido.
Esfera
Tiempo en s.
16.33
16.60
16.52
16.51
16.59
16.59
Cilindro macizo
<Tiempo>
PerÃ−odo
Inercia
16.52±0.07
1.652±0.007
(1.383±0.011)·10-3
Tiempo en s.
8.57
8.53
8.59
Cilindro hueco
<Tiempo>
PerÃ−odo
Inercia
8.56±0.02
0.856±0.002
(3.712±0.017)·10-4
Tiempo en s.
11.75
11.72
11.78
Disco relleno
<Tiempo>
PerÃ−odo
Inercia
11.75±0.02
1.175±0.002
(6.994±0.024)·10-4
<Tiempo>
PerÃ−odo
Inercia
16.27±0.02
1.627±0.002
(1.341±0.034)·10-3
PerÃ−odo
Inercia
2.597±0.012
(3.417±0.314)·10-3
Tiempo en s.
16.23
16.27
16.32
Varilla
Tiempo en s.
<Tiempo>
26.07
25.80
25.97±0.12
26.05
Momentos de inercia teóricos
El error que asignamos al momento de inercia lo hemos calculado de la misma forma que el
anterior, pero esta vez teniendo en cuenta los errores que podrÃ−amos cometer al calcular la
masa o el radio.
Ahora empleamos las fórmulas para calcular los momentos de inercia teóricos de los
mismos objetos anteriores.
3
Esfera
Masa = 873 g. = 0.873 Kg.
Radio = Diámetro / 2 = 138 mm. /2 = 69 mm. = 0.069 m.
(I=1.662±0.049)·10-3
Cilindro macizo
Masa = 370.1 g. = 0.3701 Kg.
Radio = Diámetro / 2 = 99 mm. /2 = 49.5 mm. = 0.0495 m.
(I=4.534±0.019)·10-4
Cilindro hueco
Masa = 375.9 g. = 0.3759 Kg.
Radio = Diámetro / 2 = 100 mm. /2 = 50 mm. = 0.05 m.
(I=9.397±0.383)·10-4
Disco relleno
Masa = 283.5 g. = 0.2835 Kg.
Radio = Diámetro / 2 = 216 mm. /2 = 108 mm. = 0.108 m.
I=(1.663±0.022)·10-3
Varilla
Masa = 131.9 g. = 0.1319 Kg.
Longitud = 60 cm. = 0.6 m.
I=(3.957±0.134)·10-3
A continuación relacionamos en una tabla los momentos de inercia obtenidos tanto de la
forma experimental como teórica para poder verificar su semejanza. Los presentamos de
esta forma, sin exponente, para observar mejor su relación.
Tabla comparativa de los momentos de inercia
Esfera
Cilindro macizo
Cilindro hueco
Disco relleno
Momento experimental
0.0013830 ± 0.0000110
0.0003712 ± 0.0000017
0.0006994 ± 0.0000024
0.0013410 ± 0.0003400
Momento teórico
0.0016620 ± 0.0000490
0.0004550 ± 0.0000019
0.0009397 ± 0.0000383
0.0016630 ± 0.0000220
4
Varilla
0.0034170 ± 0.0003140
0.0039570 ± 0.0001340
Se aprecia que los momentos de inercia calculados de diferentes formas son muy semejantes,
y también que en los momentos de inercia más pequeños; en los dos cilindros, las
diferencias son ligeramente mayores.
C) Ahora comenzamos con el disco perforado, es un disco que tiene unos orificios separados
entre sÃ− a una distancia constante de 3 cm. de forma que al introducirlo en el soporte por los
diferentes agujeros se obtienen los ejes paralelos.
Colocamos el disco con el orificio central como eje principal, lo hacemos girar 90º y
contamos el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones, realizamos la misma operación
pero cambiando el eje. Nos vamos alejando del centro con una distancia constante de 3 cm.
Calculamos el momento de inercia experimental de la misma forma que hemos calculado los
anteriores.
R = 0.02
à ngulo que giramos = 90º
Oscilaciones = 10
Distancia que separamos = 3 cm.
Momentos de inercia experimentales
Disco con agujeros
Distancia del eje al centro = 0 cm. = 0 m.
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
PerÃ−odo s-1 Inercia
27.28
27.46
0.657±0.044 27.36±0.01 2.736±0.001 (3.792±0.003)·10-3
27.33
Distancia del eje al centro = 3 cm. = 0.03 m.
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
PerÃ−odo s-1
28.16
28.03
0.817±0.057 28.15±0.04 2.815±0.004
28.26
Distancia del eje al centro = 6 cm. = 0.06 m.
Inercia
(4.018±0.076)·10-3
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
PerÃ−odo s-1 Inercia
29.07
29.05
0.206±0.015 29.08±0.01 2.908±0.001 (4.284±0.003)·10-3
29.11
Distancia del eje al centro = 9 cm. = 0.09 m.
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
PerÃ−odo s-1 Inercia
5
30.96
31.06
0.322±0.025 31.02±0.01
31.04
Distancia del eje al centro = 12 cm. = 0.12 m.
Tiempo en s.
34.38
34.32
34.60
3.102±0.001 (4.875±0.003)·10-3
Dispersión
<Tiempo>
PerÃ−odo s-1 Inercia
0.813±0.069
34.43±0.05 3.443±0.005 (6.005±0.018)·10-3
Calculamos los correspondientes errores de la recta.
Error de la pendiente:
Error = 0.00021
Error de la ordenada:
Error = 0.00006
Pendiente a = 0.01760 ± 0.00021
Ordenada b = 0.00350 ± 0.00006
A continuación realizamos una tabla para comprobar que se cumple el teorema de Steiner,
para ello tomamos los datos de la ecuación de la recta ajustada, donde x representa la
distancia.
(3)
y sustituimos en la ecuación (3) la x por el valor de d.
Tabla comparativa de los momentos de inercia calculados de dos formas.
Momento de inercia con la
ecuación (2)
0.00
0.003500 ± 0.003560
0.003792 ± 0.00003
0.03
0.004028 ± 0.004818
0.004018 ± 0.00076
0.06
0.004556 ± 0.009577
0.004284 ± 0.00003
0.09
0.005084 ± 0.014335
0.004875 ± 0.00003
0.12
0.005612 ± 0.019093
0.006005 ± 0.00018
Las semejanzas entre los momentos de inercia son obvias, e incluso en los dos últimos
resultados en los cuales las diferencias son mayores, también lo es el error cometido al
calcularlas por la ecuación de la recta.
Distancia
Momento de inercia con la recta (3)
D) En ésta última parte de la práctica empleamos la varilla, la colocamos en el soporte y
a cada extremo le ponemos dos masas móviles. Procedemos igual que las veces anteriores,
giramos 90º, contamos 10 oscilaciones..., y vamos acercando las masas móviles hacia el
eje de giro con una distancia constante de 3 cm.
6
R = 0.02
à ngulo que giramos = 90º
Oscilaciones = 10
Distancia que acercamos = 3 cm.
Longitud de la varilla = 60 cm.
Masa de la varilla = 131.9 g.
Momentos de inercia experimentales
Varilla
Distancia del eje al centro = 30 cm. = 0.3 m.
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
83.10
82.71
0.495±0.102 82.83±0.05
82.69
Distancia del eje al centro = 27 cm. = 0.27 m.
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
75.03
75.13
0.133±0.025 75.07±0.07
75.05
Distancia del eje al centro = 24 cm. = 0.24 m.
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
67.32
67.52
0.495±0.077 67.49±0.05
67.63
Distancia del eje al centro = 21 cm. = 0.21 m.
PerÃ−odo
Inercia
8.283±0.005
0.03476±0.00004
PerÃ−odo
Inercia
7.507±0.007
0.02857±0.00003
PerÃ−odo
Inercia
6.749±0.005
0.02317±0.00012
Tiempo en s.
Dispersión
<Tiempo>
60.43
60.31
0.199±0.029 60.35±0.01
60.32
Distancia del eje al centro = 18 cm. = 0.18 m.
PerÃ−odo
Inercia
6.035±0.001
0.01845±0.00155
Tiempo en s.
53.20
52.90
52.90
Dispersión
<Tiempo>
PerÃ−odo
Inercia
0.566±0.075
53.00±0.03
5.300±0.003
0.01423±0.00120
7
Podemos observar como varÃ−a claramente el momento de inercia en relación con la
distancia al eje de giro, asÃ− para la misma masa. Cuando se encontraban más distantes al
eje de giro el momento de inercia es menor, y a medida que se acerca al eje, el momento de
inercia va aumentando, para entendernos mejor, diremos que a la varilla le cuesta más girar
cuando las masas se encuentran cerca del eje de giro, esto se aprecia en el perÃ−odo que este
también aumenta.
Conclusión
En esta práctica podemos afirmar que nuestros resultados han sido bastante correctos, ya
que cuando calculábamos los momentos de inercia de diferentes formas, se ha podido
observar en las tablas, que estos se asemejaban bastante. Aunque ciertamente, la parte más
importante de la práctica es el cálculo de la constante R, porque en torno a ella giran los
demás apartados, pero el hecho de que los momentos de inercia experimentales coincidan
con los teóricos, no sirve para asegurar que el cálculo de dicha constante se ha acercado
mucho a la realidad.
Si el cálculo de la constante R es correcto, el resto de la realización de la práctica no
conlleva mayor dificultad.
MOMENTOS DE INERCIA Y TEOREMA DE STEINER
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