La Ley de Gauss

La Ley de Gauss
1.
Introducción
− La ley de Gauss desempeña un papel importante dentro de la electrostática y del electromagnetismo por dos razones básicas:
1. En primer lugar, porque permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido
a una distribución de cargas cuando ésta presenta buenas propiedades de simetrı́a.
En estos casos, suele resultar mucho más simple usar la ley de Gauss que obtener E
por integración directa sobre la distribución de cargas, tal y como se ha descrito en
el tema anterior.
2. En segundo lugar, porque la ley de Gauss constituye una ley básica, no sólo de la
electrostática, sino del electromagnetismo en general. De hecho, constituye una de
las ecuaciones de Maxwell (que son las ecuaciones que permiten describir todos los
fenómenos electromagnéticos).
− Como veremos, la ley de Gauss es esencialmente una ecuación matemática que relaciona
el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga eléctrica encerrada en su
interior.
− La ley de Gauss puede interpretarse cualitativamente de forma simple usando el concepto
de lı́neas de campo. Como se vió en el tema anterior, el número de lı́neas de campo que
parten de una carga q es proporcional a dicha carga. De este modo, si una superficie
cerrada imaginaria encierra una carga en su interior, el número total de lı́neas que pasan
a través de ella debe ser proporcional a la carga neta en su interior (ver Fig. 1). Además,
como se puede apreciar en la figura, el número de lı́neas debe ser independiente de la forma
de la superficie que encierra a la carga. Este es esencialmente, desde un punto de vista
cualitativo, el significado de la ley de Gauss: el número de lı́neas de campo que atraviesan
una cierta superficie cerrada es directamente proporcional a la carga neta encerrada en
su interior.
Figura 1:
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2.
Flujo Eléctrico
− El flujo eléctrico dΦ a través de una superficie elemental da se define como el producto escalar del vector campo E en dicho punto por el vector elemento de área da (ver
Fig. 2 (a)):
dΦ = E · da
(1)
Figura 2:
− El flujo total a través de una cierta superficie S, a lo largo de la cual el campo E puede
variar de punto a punto, se obtiene dividiendo S en pequeños elementos de superficie ∆a,
en cada uno de los cuales E se puede suponer uniforme, y sumando el flujo a través de
cada uno de estos elementos de superficie (Fig. 2 (b)),
Φ=
X
E · ∆a =
S
Z
S
E · da
(2)
Por tanto, el flujo eléctrico a través de una superficie arbitraria S es igual a la integral
de superficie del campo E sobre dicha superficie.
− Si la superficie es cerrada, la integral de superficie se suele designar mediante
que el flujo a través de una superficie cerrada S se suele escribir:
Φ=
I
S
I
, de modo
S
E · da
(3)
− Es conveniente hacer notar los siguientes puntos en torno al flujo eléctrico a través de
una superficie:
Significado: el flujo eléctrico a través de una superficie puede interpretarse como
una medida del número de lı́neas de campo que atraviesan dicha superficie;
en el caso de una superficie cerrada, las lı́neas de campo que salen a través de la
superficie dan una contribución positiva al flujo, mientras que las lı́neas que entran
dan una contribución negativa. Por tanto, el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es una medida del número neto de lı́neas que pasan a través de dicha
superficie, es decir, del número de lı́neas que salen menos el número de lı́neas que
entran;
las unidades de flujo eléctrico en el sistema internacional son Newton · m2 /C;
2
3.
La Ley de Gauss
− Ley de Gauss: el flujo eléctrico neto a través de una superficie cerrada cualquiera es
igual a la carga neta que se encuentra dentro de ella dividida por ε 0 :
Φ=
I
Q
E · da = εint
0
S
(4)
donde Qint es la carga neta en el interior de S.
− Notar los siguientes puntos en relación a la ley de Gauss:
Significado fı́sico: la ley de Gauss nos dice que el flujo a través de una superficie
cerrada es proporcional a la carga eléctrica Qint encerrada en su interior,
Φ=
Qint
ε0
El flujo es positivo si la carga es positiva, y negativo si la carga es negativa. De esta
manera, lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga eléctrica constituye la fuente
del flujo eléctrico: las cargas positivas (flujo positivo) son las fuentes y las cargas
negativas (flujo negativo) son los sumideros. Desde un punto de vista cualitativo,
dado que el flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es una medida del
número neto de lı́neas de campo que pasan a través de dicha superficie (número de
lı́neas que salen menos número de lı́neas que entran), la ley de Gauss nos dice que
el número neto de lı́neas de campo que pasan a través de una superficie cerrada es
proporcional a la carga neta encerrada en su interior. Por tanto, la carga eléctrica
constituye la fuente de las lı́neas de campo (las cargas positivas son las fuentes, donde
nacen las lı́neas de campo, y las cargas negativas los sumideros, donde terminan las
lı́neas de campo). Resumiendo: lo que nos dice la ley de Gauss es que la carga
eléctrica constituye la fuente del flujo eléctrico o, lo que es lo mismo, la fuente de
las lı́neas de campo (las cargas positivas son las fuentes y las cargas negativas son
los sumideros).
Es importante fijarse en que el campo eléctrico que aparece en la integral de superficie
de la ley de Gauss es el campo eléctrico debido a todas las cargas presentes en el
problema, tanto a las cargas situadas dentro de la superficie cerrada S sobre la que
se calcula el flujo como a las cargas situadas fuera de ella, mientras que el flujo Φ
a través de dicha superficie sólo depende de la carga en su interior. Notar que si
cambiamos la posición de las cargas dentro o fuera de S, o añadimos más cargas
fuera de S, aunque el valor del campo E en cada punto de la superficie S varı́a, si
mantenemos la misma carga neta dentro de la superficie, el flujo
Φ=
I
S
E · da
a través de S sigue siendo el mismo e igual a la carga total dentro de S dividida por
ε0 . El flujo a través de una superficie cerrada sólo depende de la carga dentro de ella;
no depende de la forma de la superficie, ni de la posición de las cargas dentro de ella,
o del número y posición de las cargas fuera de S, siempre y cuando mantengamos la
misma carga neta dentro de S.
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La ley de Gauss constituye una ley fundamental, no sólo de la electrostática, sino
del electromagnetismo. De hecho, es una de las ecuaciones de Maxwell, que son las
ecuaciones básicas del electromagnetismo.
4.
Algunas Aplicaciones de la Ley de Gauss
− La ley de Gauss permite calcular de forma simple el campo eléctrico debido a distribuciones de carga con alto grado de simetrı́a, particularmente para distribuciones de carga
con simetrı́a esférica, cilı́ndrica o plana.
− Definiremos una superficie gaussiana como cualquier superficie cerrada imaginaria que
empleamos en la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido a una cierta distribución de cargas.
− Para aplicar la ley de Gauss al cálculo del campo eléctrico debido a una cierta distribución de cargas con propiedades de simetrı́a adecuadas es aconsejable seguir el siguiente
procedimiento:
1. Seleccionar una superficie gaussiana que tenga las siguientes propiedades:
(a) la superficie debe tener la misma simetrı́a que la correspondiente distribución
de carga;
(b) en cada punto de la superficie, E debe ser normal o tangencial a la superficie;
(c) en todos los puntos en los que E es normal a la superficie, E debe tomar un
valor constante.
Los casos más frecuentes son:
(a1) para cargas puntuales o distribuciones de carga con simetrı́a esférica, debe
elegirse como superficie gaussiana una esfera centrada en la carga o
cuyo centro coincida con el centro de la distribución de carga;
(a2) para lı́neas de carga o cilindros uniformemente cargados, debe elegirse una
superficie cilı́ndrica coaxial con la lı́nea de carga o cilindro;
(a3) para planos (o láminas) cargados que tienen simetrı́a plana, debe elegirse
como superficie gaussiana un cilindro pequeño simétrico con el plano.
2. Calcular el flujo Φ a través de dicha superficie.
3. Calcular la carga total Qint dentro de la superficie, y usar ley de Gauss, Φ = Qint /ε0 ,
para obtener el campo E.
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