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Circuito RL, Respuesta a la frecuencia.
A.M. Velasco (133384) J.P. Soler (133380) O.A. Botina (133268)
Departamento de física, facultad de ciencias,
Universidad Nacional de Colombia
Resumen.
Se estudia el comportamiento de la impedancia y el ángulo de desfase de un circuito RL
(Resistencia-Inductancia) tomando datos experimentales de señales de corriente alterna para
voltaje de entrada, voltaje en la resistencia, y corrimiento temporal entre los picos de las señales
mencionadas; haciendo uso de dos canales de un osciloscopio, y variando la frecuencia de
oscilación para la señal de entrada, con la resistencia y la inductancia fijas. Posteriormente se
realizan graficas que permiten demostrar experimentalmente las relaciones matemáticas que se
tenían de la impedancia y el ángulo de desfase en función de la resistencia, la inductancia y la
frecuencia de oscilación. Una vez demostradas las relaciones teóricas, se procede a analizar de
forma más detallada la influencia de la variación de las magnitudes que se habían fijado al
principio sobre las variables estudiadas.
Introducción.
Un circuito RL en serie, es aquel que conecta una resistencia y una bobina en serie, a un generador
de señales de corriente alterna.
Tanto la resistencia como la bobina son recorridas por la misma corriente. Esta corriente que es
variable, (se llama transitoria hasta llegar a su estado estable) crea un campo magnético. Aquel
campo magnético genera una corriente cuyo sentido está definido por la Ley de Lenz: “la corriente
inducida por un campo magnético en un conductor, tendrá un sentido que se opone a la corriente
que originó el campo magnético”.1 Por tal razón, a diferencia del voltaje en la resistencia, que se
encuentra en fase con la corriente que pasa por ella, (tienen sus valores máximos
simultáneamente); en la bobina, el voltaje esta adelantado de la corriente que pasa por la bobina,
(la tensión tiene su valor máximo antes que la corriente) 2. De lo anterior se tiene
𝑉𝑅 = 𝑅𝐼(𝑡)
(1)
Donde 𝑉𝑅 es el voltaje que circula por la resistencia y 𝑅 la resistencia en cuestión, además el
voltaje en la bobina 𝑉𝐿 :
𝑉𝐿 = 𝐿
𝑑𝐼
𝑑𝑡
(2)
Siendo 𝐿 la respectiva inductancia.
Esta discrepancia genera un ángulo de desfase, φ que se define como:
𝜙 = 2𝜋𝜏𝑓
(3)
Donde 𝑓 es la frecuencia de oscilación de la señal de corriente alterna y 𝜏 es el corrimiento
temporal entre los picos de los voltajes 𝑉0 (voltaje de entrada del circuito proveniente del
generador de señales) y 𝑉𝑅 .
Además, 𝜙 cumple la relación:
tan 𝜙 =
𝜔𝐿
𝑅
(4)
Siendo 𝜔 la frecuencia angular de oscilación de las señales de corriente alterna, (𝜔 = 2𝜋𝑓).
Se tiene además, que el voltaje 𝑉0 es:
𝑉0 = 𝐼0 𝑍
(5)
Donde 𝑍 es la impedancia del circuito, definida como:
𝑍=
𝑅 2 + 𝜔𝐿
2
(6)
Descripción del montaje experimental
El montaje experimental utilizado en la presente práctica, consta de una resistencia variable, una
bobina con una inductancia de 0.850 ± 0.034 𝐻 medidos experimentalmente, un generador de
señales de corriente alterna y un osciloscopio.
Se conectan la resistencia, la bobina y el generador de señales en un circuito en serie, y con el
osciloscopio se miden los voltajes 𝑉0 y 𝑉𝑅 en canales distintos, el esquema es el mostrado en la
Figura 1.
Figura 1, Muestra el montaje utilizado en la práctica experimental.
Siendo uno de los fines de este experimento demostrar experimentalmente las expresiones (4) y
(6), y teniendo en cuenta que ambas son funciones de las tres variables 𝑅, 𝐿, 𝑓 , ya teniendo 𝐿
fijo, se fija la resistencia variable en 𝑅 = (8500 ± 20)Ω con el fin de estudiar la dependencia de
𝜙 y 𝑍 de la frecuencia 𝑓 .
En el osciloscopio, se mide el periodo de oscilación 𝑇 de cada una de las señales 𝑉0 y 𝑉𝑅 y se hace
uso de la relación:
𝑓=
1
𝑇
(7)
Para encontrar la frecuencia que de la onda de 𝑉0 proporcionada por el generador de señales.
Se miden ahora las amplitudes de cada una de las señales para obtener directamente 𝑉0 y 𝑉𝑅 .
Posteriormente se sobreponen las ondas mostradas en el osciloscopio para cada uno de los
canales y se anota el corrimiento temporal 𝜏, el cuál es la distancia graficada en el osciloscopio
entre uno de los picos de 𝑉0 y el pico más cercano a este, perteneciente a la onda de 𝑉𝑅 .
Al ser medidos todos los datos experimentales con el osciloscopio, y ya que este posee un escala
de medición variable, además de los datos, se anota su respectiva incertidumbre dependiendo de
la escala usada para realizar cada una de las mediciones.
Análisis de resultados.
Los datos tomados experimentalmente son mostrados en la Tabla 1. En dicha tabla puede verse
que 𝜏 permanece constante ante una variación de la frecuencia, al igual que 𝑉0 , que aunque los
valores medidos no tengan la misma magnitud, si se tiene en cuenta el rango de incertidumbre
puede decirse que permanece constante.
Ya que 𝑍 no fue medido directamente del experimento, para poder hablar de un 𝑍 experimental y
compararlo con el 𝑍 que da la ecuación (6), el cual es meramente teórico, se hace uso de la
ecuación (5) donde es necesario para encontrar 𝐼0 y recurrir al hecho de que la corriente que
circula por la resistencia es la misma que circula por la bobina y aplicando la ley de Ohm hacer:
𝐼0 = 𝑅𝑉0
(7)
También es necesario, calcular el ángulo 𝜙 de la ecuación (3), todos los datos calculados a partir
de mediciones experimentales se muestran en la Tabla 2.
Ahora, con el fin de llegar experimentalmente a la ecuación (6), se reescribe esta como:
𝑍 2 = 𝑅 2 + 2𝜋𝐿 2 𝑓 2
(8)
Y se definen 𝑍 2 y 𝑓 2 como dos nuevas variables, dándole a (8) la forma que tiene la ecuación de
una recta, cuyo intercepto con el eje de las ordenadas es 𝑅 2 y pendiente es 2𝜋𝐿 2 , por tal razón,
al graficar 𝑍 2 en función de 𝑓 2 experimentales, (Figura 2) debe encontrarse una recta con dichas
características.
Figura 2, Muestra la grafica de 𝒁𝟐 en función de 𝒇𝟐 experimentales
A pesar de que los datos experimentales no están sobre una recta, puede verse que las
incertidumbres son bastante grandes debido a la propagación de errores, incertidumbres que
además se incrementan a medida que se incrementa tanto 𝑍 2 como 𝑓 2 , y es posible realizar un
ajuste lineal con aproximadamente un 80% de fidelidad. Finalmente, la ecuación de la recta
obtenida del ajuste sobre los datos experimentales es:
𝑍 2 = 7.6078 ± 1.3215 𝑥107 + (29.0373 ± 6.3755)𝑓 2
(9)
Los datos del intercepto y la pendiente de (9) se comparan en la Tabla 3 con los valores calculados
teóricamente partiendo de (8), se encuentra un porcentaje de error suficientemente pequeño
para decir que experimentalmente queda demostrada la ecuación (6), sin embargo, con mayor
objetividad, se puede observar que los valores teóricos se encuentran dentro del intervalo de
incertidumbre de los valores experimentales, lo que ratifica lo anteriormente dicho sobre la
veracidad de la ecuación (6).
Las ecuaciones (8) y (9) representan rectas de pendiente positiva, lo que expresa una relación
directamente proporcional entre el cuadrado de la impedancia del circuito y el cuadrado de la
frecuencia de oscilación de la señal de entrada. Además, se encuentra que estas rectas no pasan
por el origen sino que tienen un punto de corte sobre el eje de las ordenadas igual al cuadrado de
la resistencia, por lo tanto, si se hace cero la frecuencia de oscilación se tendría que:
𝑍2 = 𝑅2
(10)
Que al reemplazar en la ecuación (5) nos remitiríamos al caso de corriente directa, como
intuitivamente se esperaría.
Por otro lado, la pendiente de las rectas depende de la inductancia 𝐿; cuanto mayor sea la
inductancia de la bobina, mayor será la variación de 𝑍 2 respecto a 𝑓 2 y por consiguiente de 𝑍
respecto a 𝑓. Igualmente, si se hace cero la inductancia del circuito, la grafica de las funciones (8) y
(9) será constante e igual al valor del cuadrado de la resistencia, sin importar la frecuencia de
oscilación.
Ahora, se procede a analizar los datos tomados experimentalmente de 𝜏 y los calculados de 𝜙 para
encontrar una relación que permita demostrar la ecuación (4), para esto, se reescribe la ecuación
(4) como:
tan 𝜙 =
2𝜋𝐿
𝑅
𝑓
(11)
Nuevamente, si se toma tan 𝜙 como una nueva variable, se obtiene la ecuación de una recta, de
pendiente
2𝜋𝐿
𝑅
y que parte del origen. Con el fin de comparar esta relación con los datos
experimentales, se calcula tan 𝜙 del 𝜙 calculado a partir de la ecuación (3) y se grafica en función
de la frecuencia de oscilación, Figura 3.
Figura 3, Muestra la grafica de 𝐭𝐚𝐧 𝝓 en función de 𝒇 experimentales.
Nuevamente aunque los datos no están sobre una recta, la incertidumbre de las magnitudes
calculadas permite realizar un ajuste, esta vez, con un 87% de fidelidad, y que permite encontrar la
siguiente ecuación:
tan 𝜙 = −0.1233 ± 0.5497 + 6.85 ± 4.07 𝑥10−4 𝑓
(12)
En la anterior ecuación se encuentra un intercepto distinto de cero, que indica un desfase en los
picos de las señales de las tensiones 𝑉0 y 𝑉𝑅 independiente del valor de la frecuencia, lo cual
puede representar que aún cuando la corriente sea directa, el campo magnético en la bobina
generará una corriente en sentido opuesto a la que lo genera; esto es permitido por el enunciado
de la Ley de Lenz, sin embargo, tomando en cuenta el rango de incertidumbre puede verse que el
origen de coordenadas está incluido en él. La pendiente de la grafica mostrada en la Figura 3, y el
valor de
2𝜋𝐿
𝑅
son comparados en la Tabla 4.
En este caso, aunque el porcentaje de error es bastante alto, puede verse que el valor teórico se
encuentra dentro del rango de incertidumbre del valor experimental, lo cual permite afirmar que
ha sido demostrada la ecuación (4) partiendo de datos experimentales para cierto rango de
frecuencias escogidas.
Partiendo de las ecuaciones (4) y (12), puede decirse que la tangente del ángulo de desfase y por
ende del ángulo de desfase, es directamente proporcional a la frecuencia de oscilación de las
señales, y la variación de dicha tangente con respecto a la frecuencia depende tanto del valor de la
resistencia 𝑅 como de la inductancia 𝐿; para una resistencia mayor, la variación de la tangente con
respecto a la frecuencia será menor, y para una inductancia mayor, la variación de la tangente con
respecto a la frecuencia será mayor.
Además, si se suprime la inductancia del circuito se tendrá un valor de la tangente del ángulo de
desfase igual a cero para la ecuación (4) (muy cercano a cero en cuanto a la ecuación (12)) para
cualquier valor de la frecuencia. Y en caso de suprimir la resistencia del circuito, el valor de la
tangente quedará indeterminado para todas las frecuencias de oscilación que se escojan, por lo
que el ángulo de desfase tomaría en este caso la forma:
𝜙=
𝑛𝜋
2
(13)
Donde 𝑛 es cualquier número impar.
Conclusiones
1. La variación de la impedancia del circuito RL con respecto a la frecuencia, depende del
valor de la inductancia y no de la resistencia.
2. Cuando la inductancia del circuito es cero, el ángulo de desfase toma un valor muy
cercano a cero y la impedancia toma el valor de la resistencia del circuito.
3. La variación de la tangente del ángulo de desfase con respecto a la frecuencia, depende
tanto de la resistencia del circuito como de la inductancia.
4. Cuando la resistencia en el circuito se hace cero, la impedancia tiende a cero cuando la
frecuencia tiende a cero, y el ángulo de desfase toma valores múltiplos impares de 𝜋 2.
5. Cuando se aumenta la inductancia del circuito, tanto la impedancia como la tangente del
ángulo de desfase varían más rápido con respecto a la frecuencia.
Bibliografía.
[1] http://www.unicrom.com/Tut_circuitoRLenCD.asp
[2] http://www.unicrom.com/Tut_circuitoRL.asp
[3] http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/induccion/autoinduccion/autoinduccion.htm
Anexo
f (Hz)
1041,67
1218,51
1388,89
1562,50
1785,71
2083,33
Tabla (1).
Datos experimentales
τ (s)
±∆f Vo (±0,5 V) Vr (±0,5 V)
43,40
11,3
9,5
8,00E-05
59,39
11,5
9,0
8,00E-05
77,16
11,5
8,0
8,00E-05
97,66
11,5
8,0
8,00E-05
127,55
11,5
7,0
8,00E-05
173,61
11,0
7,0
8,00E-05
Datos obtenidos experimentalmente.
±∆τ
2E-05
2E-05
1E-05
1E-05
1E-05
1E-05
Datos Calculados con los valores experimentales
f² (Hz²)
±∆f²
Io (A)
±∆Io
Z² (Ω²)
±∆Z²
φ (rad) ±∆φ
1041,67 1085069,45 90422,45 0,00112 5,9E-05 1,01E+08 1,4E+07
0,524 0,133
1218,51 1484771,97 144737,02 0,00106 5,9E-05 1,18E+08 1,7E+07
0,612 0,156
1388,89 1929012,35 214334,71 0,00094 5,9E-05 1,49E+08 2,3E+07
0,698 0,095
1562,50 2441406,25 305175,78 0,00094 5,9E-05 1,49E+08 2,3E+07
0,785 0,110
1785,71 3188775,51 455539,36 0,00082 5,9E-05 1,95E+08 3,3E+07
0,898 0,129
2083,33 4340277,76 723379,63 0,00082 5,9E-05 1,78E+08 3,0E+07
1,047 0,157
Tabla (2). Datos calculados con los valores experimentales.
f (Hz)
Comparación de datos teóricos con los de la figura 2
Teórico Experimental
Porcentaje de Error
Intercepto 72250000 7.6078 ± 1.3215 𝑥107
5,3%
(29.0373
±
6.3755)
Pendiente 28,5232
1,8%
Tabla (3). Comparación de datos para la impedancia.
tan φ ±∆tan φ
0,577
0,177
0,703
0,233
0,839
0,163
0,999
0,220
1,000
0,332
1,732
0,629
Comparación de datos de la figura 3 con los teóricos.
Teórico Experimental
Porcentaje de Error
−4
−4
6.85
±
4.08
𝑥10
9.05%
Pendiente 6.28𝑥10
Tabla (4). Comparación de datos para φ.