un estudio acerca de la construcción del concepto de función

UN ESTUDIO ACERCA DE LA CONSTRUCCIÓN DEL
CONCEPTO DE FUNCIÓN, VISUALIZACIÓN.
EN ALUMNOS DE UN CURSO DE CÁLCULO I.
1
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL
FRANCISCO MORAZÁN
VICERRECTORIA DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
DIRECCIÓN DE POSTGRADO
UN ESTUDIO ACERCA DE LA CONSTRUCCCIÓN DEL CONCEPTO
DE FUNCIÓN, VISUALIZACIÓN.
EN ALUMNOS DE UN CURSO DE CÁLCULO I
Tesis para obtener el título de
Máster en Matemática Educativa
Tesista
Licenciada: MELBA ILENIA ZÚNIGA LÓPEZ
Asesor de Tesis
Dr. FERNANDO ANTONIO HITT ESPINOSA
Tegucigalpa, M.D.C., Mayo, 2009
2
RECTORA
MSc. Lea Azucena Cruz Cruz
VICERRECTOR ACADÉMICO
MSc. David Orlando Marín
VICERRECTOR DE INVESTIGACIÓN Y POSTGRADO
Dr. Truman Bitelio Membreño
VICERRECTOR DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
MSc. Gustavo Cerrato
VICERRECTOR ADMINISTRATIVO
MSc. Hermes Alduvín Díaz
SECRETARIA GENERAL
MSc. Iris Milagro Erazo Tábora
DIRECTORA DE POSTGRADO
Dra. Jenny Margoth Zelaya
Tegucigalpa, Mayo, 2009
3
Mi agradecimiento a Dios y a la Virgen María por su protección, provisión y
compañía incondicional.
A autoridades de la U.P.N.F.M., director y alumnos de la UNICAHCholuteca, compañeros de generación, catedráticos, amigos.
4
Lo dedico a
A mi madre por su apoyo, por no cansarse de esperar.
A mis hermanos, quienes a pesar de todo, son mis admiradores.
A la memoria de mi padre, por su amor eterno y admiración, no
importa cuánto tiempo pase, siempre te recordaré con amor, papá.
5
Mi especial reconocimiento, gratitud y admiración
Al Doctor Fernando Antonio Hitt Espinosa, quien con mucha
gentileza y escamoteando tiempo a sus múltiples compromisos
académicos, proporcionó su colaboración, orientación, conocimientos,
cada momento, resultando para algunos inexplicable.
De igual manera a los integrantes de mi terna Ivy Green
Arrechavala, Marco Antonio Santillan, Jose Adalid Gutierrez,
Y les digo,… que sin ellos, sin su apoyo, sin su amor, sin su
amistad, me hubiese sido más difícil lograrlo.
Melba Ilenia Zúniga López
6
CONTENIDO
páginas
INTRODUCCION……………………………………………………………….8-10
CAPITULO 1: Problema de investigación
1.1 Presentación ………………………………………………………………13-16
1.2 Justificación ……………………………………………………………...17-23
1.3 Objetivos de la Investigación ………………………………………………..23
1.4 Preguntas de Investigación …………………………………………………..23
CAPITULO 2: Marco Teórico
2.1 Enfoque Constructivista de la Enseñanza ………………………….27-29
2.2 Algo de Historia acerca del Concepto de Función ...………………29-34
2.2 Concepto de Función. Definición. Aspectos Cognitivos …..………34-44
2.3 Visualización Matemática …………………………………………….44-48
2.4 Representaciones Semióticas …...…………………………………..48-57
CAPITULO 3: Metodología de Investigación
3.1 Tipo de Investigación ……………………………………………………..60
3.2 Población y Muestra ………………………………………………………60
3.3 Metodología ……….……………………………………………………….60
3.4 Instrumentos de Investigación ..……………………………………..61-62
CAPITULO 4: Análisis e Interpretación de Resultados
4.1 Análisis e Interpretación de Resultados …………………………..65-136
CAPITULO 5: Conclusiones
5.1 Conclusiones………………………………………………………..134-137
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
ANEXOS
Ejercicio diagnóstico
Actividades de Aprendizaje
7
INTRODUCCION
La mirada del poeta proyecta en lo visible
formas de objetos desconocidos, y su palabra
dá a las nadas inasibles un lugar y un nombre.
Le songe d’ une Nuit d’été, V, 1.
Este proyecto de investigación surge a partir de sugeridas líneas de investigación
entre las que se mencionan: historia de las ideas matemáticas, obstáculos
epistemológicos, ambientes computacionales, técnicas y herramientas didácticas,
estudios acerca de dificultades en el aprendizaje del álgebra, la geometría, el cálculo,
resolución de problemas, sistemas de representaciones y visualización, entre otras.
Para la realización de esta propuesta, se tiene como sustento los marcos teóricos de
sistemas de representación semiótica y de visualización; y para ello se ha adoptado
principalmente, las ideas sobre significados y experimentos referentes a sistemas de
representación semiótica y de visualización expuestos por Hitt (1994-2008) y Duval
(1993, 1995, 1998); particularmente.
Sabemos que el concepto de función es de importancia fundamental en la enseñanza
de las matemáticas, pues aparece en el pensum de secundaria y de los cursos de
matemática I, precálculo, cálculo, por mencionar algunos, lo que es validado por
Eisenberg (1992, p.174), quien expone: “la noción de funciones desarrolla un
sentido en los estudiantes que debe ser el principal objetivo de los currículos de
secundaria y bachillerato”. (citado por Hitt, 1998)
Por medio de este estudio, se intenta mostrar las dificultades que presentan los
estudiantes en la construcción del concepto matemático como es el de función, así
como también las capacidades y debilidades en cuanto a tareas de interpretación,
articulación de representaciones y de visualización, ya que en su enseñanza se ha
tendido a sobrevalorar los procedimientos analíticos y de algoritmización
(acercamiento procedural de la enseñanza), dejando de lado los argumentos visuales
que son de apoyo en el aprendizaje significativo (acercamiento conceptual de la
enseñanza), de igual manera se limita a un solo registro de representación; para lo
8
cual se diseñaron actividades que involucran dichas tareas que nos permiten explorar
estas dificultades, capacidades y debilidades.
Una de las características que ha llevado a dicho estudio es el hecho de que las
representaciones (verbal, algebraica, gráfica, tabular) son sistemas simbólicos muy
diferentes que se articulan de tal forma en cuanto a construir y definir conjuntamente
el concepto matemático de función.
Hacer un análisis de las preguntas planteadas, permite proponer este estudio que
conlleve a mostrar errores cometidos por alumnos del curso de Cálculo I, que
muestran una construcción deficiente del concepto de función.
En general nuestra investigación, intenta elucidar sobre los procesos de visualización
que realizan los estudiantes frente a una tarea dada en relación al concepto de
función.
Partiendo de lo anterior, surgen interrogantes acerca de ¿De qué naturaleza son los
procesos de visualización de los alumnos con respecto del concepto de función? En
forma específica, ¿Qué dificultades presentan los alumnos en las tareas de
tratamiento y de conversión entre representaciones respecto a funciones? Haciendo
mención de algunas.
La presente tesis se estructura en 5 capítulos: problema de investigación, marco
teórico, metodología de investigación, análisis e interpretación de resultados y
conclusiones.
El capítulo 1 “El problema de investigación”, presenta la manera en que se concibe el
problema de investigación, ideas de cómo surge, en qué consiste la propuesta de
estudio, qué se pretende con su realización y por qué se considera necesario llevar a
cabo el estudio en mención. Así también se dan a conocer los objetivos que se
persiguen y las preguntas sugeridas para encontrar respuesta a través de la
realización de dicha investigación.
El capítulo 2 “Marco Teórico”, resume las principales referencias teóricas del trabajo
de investigación; de tal manera que considerándose en nuestro sistema educativo el
enfoque constructivista como modelo de enseñanza, primeramente se presenta un
extracto referente al enfoque en mención, seguidamente se expone acerca del
9
concepto en cuestión, algo de historia que conlleva a su definición, y aspectos acerca
de su adquisición como conocimiento matemático significativo; y debido a que el
tema de estudio está enfocado hacia la visualización, se ha creído conveniente y
sobre todo necesario, hablar sobre esta teoría del pensamiento. De este modo, aquí
encontraremos algunos puntos de vista sobre la visualización como un proceso del
pensamiento matemático, revisando algunas posturas de teóricos sobre este menester,
para después acercarnos y estudiar la teoría de semiosis, esto porque las
representaciones semióticas están fuertemente ligadas con la visualización.
El capítulo 3 “Metodología de investigación”, describe los aspectos de carácter
metodológico del trabajo de investigación, cada una de las tareas que se han de
realizar durante el proceso de investigación. De igual manera se explican los
instrumentos aplicados para la recolección de datos que se utilizan en el proceso de
investigación.
En el capítulo 4 “Análisis e interpretación de resultados”, se muestran los datos
generados en el proceso. Para este análisis se toma como punto de partida el conjunto
de respuestas de los estudiantes a distintas tareas incluidas en las actividades
asignadas.
En el capítulo 5 “Conclusiones”, se da una interpretación de los resultados obtenidos
de la investigación, en relación con los objetivos propuestos y del contexto en que se
desarrolla en correspondencia con el marco de referencia.
Termina listando todas las referencias bibliográficas utilizadas para el desarrollo de
la investigación y, posteriormente aparecen los anexos que son de utilidad para el
entendimiento de los datos, las ideas y resultados de este trabajo.
10
CAPITULO 1
11
PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
12
1.1 Presentación
El presente es un estudio sobre el aprendizaje de diferentes aspectos relacionados con
el concepto de función, realizada con alumnos del curso de Cálculo I de la
Universidad Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu Santo, de la ciudad de
Choluteca; cuya finalidad principal es aportar al desarrollo del pensamiento
matemático en el alumnado, en concreto sobre los razonamientos que utilizan y las
estrategias que aplican los estudiantes para resolver cuestiones relacionadas con la
construcción del concepto de función, visualización y la conversión de sus diferentes
representaciones.
Como lo señala Dreyfus (1990), uno de los campos de investigación actual se centra
en el estudio de las dificultades que presentan los alumnos en procesos ligados a la
visualización, tanto a los que se refieren a la interpretación que se hace a través de un
gráfico por ejemplo, así como también de los distintos subconceptos ligados al
concepto de función. (citado por Hitt, 2003)
Tomamos entre otras, como referencias significativas, Hitt (1994, 1998, 2003, 2005,
2008); Duval (1993, 1995, 1998); De Guzmán (1996), Leinhardt (1990); Cuesta
(2007); Santos y Agüero (2002); donde se revisan de manera exhaustiva las
investigaciones sobre funciones centradas en visualización, representaciones
semióticas, construcción de conceptos.
Consideramos necesario entonces el preguntarnos y encontrar respuesta a:
¿Por qué debemos desarrollar habilidades en nuestros estudiantes sobre la
visualización matemática?
¿Cómo induce, cómo genera el profesor la construcción del concepto de
función en sus alumnos? Más aún
¿Qué importancia tienen las diferentes representaciones en la adquisición de
este concepto? Y,
¿Qué habilidades poseen los alumnos para comprender dicho concepto?
La visualización ha estado generalmente considerada sólo como un soporte que
ayuda a la intuición y formación del concepto en el aprendizaje matemático, pero
13
desde hace pocos años, muchos matemáticos han reconocido la importancia del
razonamiento visual no sólo en el descubrimiento, sino también en la descripción y
justificación de resultados. Pues, la visualización también juega un papel importante
en el desarrollo de las estructuras cognitivas del alumno y un papel esencial en el
pensamiento matemático.
Eisenberg y Dreyfus (1990) (citados por Hitt, 2003) nos han mostrado que existe una
resistencia por parte de estudiantes y profesores a visualizar en matemáticas. Existen
muchas investigaciones que nos muestran de manera contundente que los estudiantes
de diferentes niveles educativos tienen una gran resistencia a utilizar diferentes
representaciones que podrían ayudarlos tanto en la construcción de conocimiento
matemático como en la resolución de problemas.
Y, ¿Qué debemos entender por construcción, entonces? Al respecto Leinhardt (1990)
dice que: “entendemos por construcción, aquella acción en la que el alumno debe
generar una cosa nueva. Hay que tener en cuenta que, mientras una interpretación no
requiere ninguna construcción, una construcción se apoya a menudo en algún tipo de
interpretación (acción en la que el alumno obtiene significado o información a través
de un lenguaje determinado)”.
El estudio del concepto de función, su enseñanza y aprendizaje está propuesto en el
currículo de nivel de secundaria y sigue siendo desarrollado en el nivel superior
ocupando un lugar importante en la enseñanza, por lo que consideramos no debería
presentar ningún obstáculo para su aprendizaje, para su comprensión. Sin embargo,
experimentaciones han evidenciado que no se plantean situaciones didácticas
orientadas a la construcción paso a paso de los numerosos conceptos relacionados
con las funciones y al manejo simultáneo de los distintos lenguajes de representación
de una función, sino lo que se hace generalmente es proporcionar al alumno una serie
de pasos o procedimientos que permitan resolver ejercicios y problemas
estandarizados.
Siendo precisos, la representación de funciones todavía se reduce al trazado de la
gráfica de una función dada en una expresión algebraica, representación que se hace
siguiendo unos pasos previamente determinados (punto por punto, puntos de
intersección, asíntotas, etc.) utilizando técnicas relativas a algoritmizar el paso del
lenguaje algebraico a gráfico.
14
Si bien es cierto, en investigaciones sobre la enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas al estudiar un objeto matemático, se ha puesto en primer plano la
incorporación de manera sistemática de diversas representaciones, pero tales estudios
no han enfatizado en la operación de pasar de una representación a otra; a lo que
Duval (1998) en su teoría sobre registros de representación semiótica llama a esa
operación conversión, la cual involucra un cambio de registro, es una actividad
cognitiva fundamentalmente necesaria para lograr una aprehensión conceptual de los
objetos matemáticos.
No podemos decir que esta operación de conversión no haya sido considerada en la
enseñanza pero, en la particularidad del concepto de función se ha centrado como
hemos mencionado en párrafos anteriores solamente en la conversión del registro
algebraico al gráfico, es mas sólo en esa dirección, limitando de esta manera a lo que
Duval define como tratamiento, siendo esto la operación de transformar una
representación en otra dentro de un mismo registro.
Por lo anterior, una de las intenciones en este estudio, en relación al concepto de
función, es el promover la conversión del registro gráfico al registro algebraico, al
registro verbal, siendo cada uno de estos en un momento un registro de partida y el
otro un registro de llegada. Podemos considerar que el uso por los estudiantes de
tratamientos propios de estos registros favorecerá no sólo una aprehensión perceptual
de las funciones, sino también una aprensión operatoria y conceptual, siendo tales
actividades un medio para promover un aprendizaje significativo en el estudiante.
Se puede decir entonces que, esta investigación se fundamenta en procurar
situaciones que den cuerpo a los contenidos propiamente matemáticos, en el tema
que nos ocupa, lo cual consiste en la utilización del lenguaje natural, algebraico,
tabular, gráfico, como elementos primordiales para lograr un conocimiento o
aprehensión significativa del concepto de función y, siempre que sea posible utilizar
más de un lenguaje a la vez y, hacer el paso de un lenguaje a otro, procurando en los
alumnos tareas de interpretación, de conversión y de construcción del concepto,
siendo esta la finalidad concreta y esperada.
Lo anterior permite explorar qué dificultades afrontan los alumnos en cuanto a la
construcción del concepto de función, puesto que dicho concepto es fundamental en
el aprendizaje de estudios matemáticos posteriores, como ya se ha mencionado. Un
15
alumno que no ha desarrollado habilidades visuales ligadas a la construcción de
conceptos, y en particular el que promueve este estudio, presentará
grandes
dificultades en el entendimiento, es mas podemos afirmar no podrá lograr entender
cálculo, exponiendo esto como un claro ejemplo.
Diversas experimentaciones realizadas por investigadores en matemática educativa y
nuestra experiencia docente, nos permite confirmar que los estudiantes presentan
mayor dificultad al pasar del registro gráfico al algebraico, al respecto Duval dice:
Esta conversión exige que se discriminen las unidades significantes
de cada registro, es decir, es necesario identificar bien en el registro
gráfico las variables visuales pertinentes con sus diferentes valores
y, en la escritura algebraica de una relación, las diferentes
oposiciones paradigmáticas que dan significación, y no solamente
un objeto, a los símbolos utilizados.(Duval, 1998)
No sólo es importante entender las dificultades para manipular una de las
representaciones, también lo es el análisis de las tareas de conversión entre
representaciones que debemos proponer a nuestros estudiantes. Es por ello que
exhortamos a los profesores de matemáticas para incorporar, promover y desarrollar
el proceso de visualización en el aula con los estudiantes.
1.2 Justificación
Refiriéndonos al concepto de función no nos cabe duda que es de importancia
fundamental en la enseñanza de las matemáticas, es muy utilizado en la enseñanza
media y superior, ya que es un concepto básico para cursos siguientes; por lo que
profesores y alumnos deben saber que es indispensable su comprensión para el
aprendizaje de conceptos más avanzados como en el caso del cálculo. Pero diferentes
investigaciones muestran las dificultades que presenta para los alumnos su
comprensión, implica pues, un motivo más para realizar dicho estudio que nos
proporcione una alternativa para su aprendizaje.
Investigaciones recientes que intentan explicar los fenómenos ligados al aprendizaje
de las matemáticas han mostrado lo complejo que puede ser la adquisición de
conocimientos. Las metodologías de investigación para analizar la construcción de
conceptos matemáticos cada vez son más finas, y los resultados de investigación nos
muestran que, en general, debemos abordar esta problemática desde varios puntos de
vista. Uno, de corte general, que tiene que ver con la adquisición de conocimiento y
16
consideraciones teóricas sobre la construcción de conceptos matemáticos; y otro, que
tiene que ver directamente con la complejidad intrínseca del concepto matemático en
cuestión. (Hitt, 2003, p.214)
Desde una perspectiva teórica, Duval señala que:
Estamos en presencia de lo que se podría llamar la paradoja
cognitiva del pensamiento matemático: por un lado la aprehensión
de los objetos matemáticos no puede ser otra cosa que una
aprehensión conceptual y, por otro lado, solamente por medio de
las representaciones semióticas es posible una actividad sobre los
objetos matemáticos. (Duval, 1998, p.175)
De nuevo la interrogante:
¿Por qué debemos desarrollar habilidades en nuestros estudiantes sobre la
visualización matemática?
Supongamos que proponemos a nuestros estudiantes que resuelvan la siguiente
ecuación(1):
Nuestra experiencia nos indica que en general este
tipo de ejercicios es difícil para los estudiantes de enseñanza media y en un buen
porcentaje para los de universidad, ¿Por qué?; como ya se ha mencionado antes, los
estudiantes están acostumbrados a trabajar en el sistema algebraico por lo que son
propensos a cometer errores que dificultan sus procesos de resolución. Un ejemplo
de actuación sería transformar la expresión
la expresión
, en
(x −1)
2
y obtener que
=
(x + 1)
2
,
llegando a que
y, de aquí inferir resultados contradictorios. Una gráfica como la de la figura (1)
seguramente les plantearía la necesidad de revisar su proceso algebraico:
FIGURA 1
1
Ejemplo tomado de Hitt, 2003.
17
Hasta ahora nos hemos referido a la dificultad en los estudiantes, pero a continuación
presentaremos un ejemplo claro de experimentación educativa, (en donde la
visualización es un elemento primordial para el aprendizaje) que nos muestra
dificultades que tienen los profesores, veamos: En una experimentación (2) con una
muestra de 9 profesores de enseñanza media, se les solicitó que diseñaran una clase
del tema que ellos quisieran, sin utilizar notas o libros. Uno de los 9, que participaron
en esa experimentación, seleccionó el tema de función lineal. He aquí lo que
presentó:
Interpretación
Propuesta del profesor
(transcripción fiel)
Que el alumno determine la representación algebraica del siguiente
problema: “La edad del padre de Juan es el doble de la edad de este
dentro de 5 años”
y= edad del padre de Juan;
(variable dependiente)
x= edad de Juan;
(variable independiente)
logrando que el alumno indique esto;
Modelo algebraico
tan solo una de sus compañeras enunció dicho problema, con lo que
ellos mismos determinaron que la edad del padre estaba en función de
la edad del hijo.
Estableciendo la representación algebraica del problema, podremos
asignarle a Juan una serie de edades de la siguiente forma:
Si Juan no ha nacido ¿Cuál es la edad de su padre?
El enunciado tal como se
presenta parece más cercano
a
una
interpretación
algebraica
como
, que difiere
de la proporcionada por el
profesor.
Pero
el
punto
más
importante es que en
realidad el profesor está
planteando una ecuación y
no una función. ¿Tendrá
claro
el
profesor
la
diferencia entre ecuación y
función?
Por la manera que el
profesor
presenta
su
ejemplo, pareciera que está
proporcionando un ejemplo
que
efectivamente
él
desarrolló en el aula.
Así que para cuando Juan tiene, 10, 15, 20 años ¿Cuál será la edad del
padre? Para cuando Juan tiene 10 años la edad de su padre es de 25
años.
Para cuando Juan tiene 15 años la edad de su padre será de 35 años
Para cuando Juan cumpla 20 años mayor de edad, la edad de su padre
será de 45 años.
Por medio del ejemplo anterior lo podremos interpretar gráficamente
por
medio
Obteniendo
de
los
parejas
siguientes
ordenadas,
puntos
y
donde:
denotándolos
por:
¡Si Juan tiene un año, el
padre tendrá 6 años! El
2
Ejemplo tomado de Hitt, 2005, págs.83-85
18
profesor ha proporcionado
un ejemplo irreal carente de
lógica.
Elaborando una gráfica en el sistema cartesiano, de la forma:
50
40
30
20
10 1
0
1
5
10
15
20
25
El profesor pasa de caso
discreto al continuo sin
explicación alguna.
Obteniendo el siguiente diagrama sagital:
Regla de Correspondencia
D
cD
2x+5
0
5
5
15
10
25
15
35
20
45
De tal forma que la gráfica obtenida corresponde a una gráfica de una
línea Recta a la cual se le llamará “Función lineal”, de la misma forma
se observará que para cada valor de
le corresponde al menos una
, con lo que se le puede inducir que corresponde a una función
inyectiva; los valores de D (dominio) van de uno menor a uno mayor
de tal forma que decimos que la función es creciente, y como para
cada valor que le asignemos a
, existe un valor para
cual la definimos como continua para
, con lo
, continua.
Podremos dejar que el alumno encuentre y grafique:
-
La analogía de grados Centígrados a grados Fahrenheit,
Graficándola y enunciando una serie de características de este
ejemplo.
-
¿Qué
significado
le
podemos dar a las edades
negativas?
“Un móvil desarrolla una velocidad de cinco veces su
distancia recorrida, menos cuatro metros en un tiempo
determinado”, etcétera.
El profesor regresa a una
representación discreta sin
explicar el por qué de ello.
El profesor se contradice
con la definición de función:
“…para cada elemento del
dominio le corresponde uno
y solo un elemento del
codominio…”
Su
definición
de
continuidad la considera
equivalente a que la función
esté definida en cada punto.
Ambigüedad
enunciado
en
el
19
Al parecer este profesor no se percata de las contradicciones lógicas en las que
continuamente se encontraba, (¡un padre que a la edad de 6 años tenga un hijo de 1!)
en resumen: “producto de la enseñanza, tendremos alumnos que frente a una
contradicción, no generaran un conflicto cognitivo (reconocimiento de que algo
anda mal) y su desempeño será bajo en la resolución de problemas”. (Hitt, 2005, p.
85)
Los 2 ejemplos dados anteriormente nos permiten ver claramente que en efecto si
existen dificultades en la comprensión del concepto de función, lo cual genera
mayores conflictos en el entendimiento del cálculo, a lo que Hitt (1996) argumenta:
“La dificultad que tienen los alumnos y algunos profesores de enseñanza media para
desarrollar un entendimiento profundo del concepto de función es que generalmente
se restringen a una manipulación algebraica que produce una limitación en su
comprensión”.
Los obstáculos para operar con la visualización por parte de los estudiantes al
momento de estudiar algún concepto matemático, y en particular el de función,
muestran la importancia de desarrollar la habilidad visual.
Y, si tomamos en consideración los lineamientos teóricos de Duval (1993,
1995,1998), podemos ver que, para la construcción de conceptos matemáticos no es
suficiente trabajar las actividades dentro de un solo sistema de representación, sino
también realizar tareas de conversión de una representación a otra, es decir, la
construcción es explicada a través de los registros de representación procurando la
articulación entre las representaciones de esos registros, siendo estas las que
propiciarán la construcción de conceptos matemáticos.
Dicho de otra manera, debemos comprender que es absolutamente necesario contar
con actividades de conversión de por lo menos dos registros de representación para
que las representaciones en juego, proporcionen un soporte a la construcción del
concepto en cuestión. Siendo así, el concepto de función es presto a ello, pues entran
en juego el registro de representación de lengua natural, el de las expresiones
algebraicas, tabulares, gráficas. Pero las investigaciones en educación matemática
nos hacen saber que en general la representación algebraica es la preferida por los
profesores.
20
En relación al concepto que nos involucra para el estudio, y muy particularmente
refiriéndose a funciones lineales Duval (citado por Hitt, 2003), introduce la noción
de variable visual y nos convence de la habilidad que inconscientemente hemos
desarrollado sobre las variables visuales para analizar una gráfica y poder determinar
su correspondiente expresión algebraica. Es decir, un estudiante que está en proceso
de construcción de un concepto como el de recta y su representación algebraica,
tendrá muchos problemas de aprendizaje si el profesor solamente solicita tareas de
conversión de una expresión algebraica a su correspondiente gráfica. Que además,
este proceso de graficar punto a punto causará un obstáculo para cuando se quiera
leer una gráfica para encontrar su correspondiente expresión algebraica. Ya que, para
este proceso inverso, es necesario que el alumno haya desarrollado la habilidad de
una visión global del comportamiento de las rectas en su forma gráfica que tiene que
ver precisamente con el carácter de las variables visuales de las que señala Duval
(1988).
Como bien lo señalan Eisenberg y Dreyfus (1991) que, aunque existen muchos
partidarios de los beneficios que se pueden obtener de la visualización de los
conceptos matemáticos, muchos estudiantes son renuentes a aceptarla, prefieren el
trabajo algorítmico “más” que el pensamiento visual, aducen, que el pensamiento
visual requiere de poner en juego procesos cognitivos superiores a los que demanda
el pensamiento algorítmico. (citados por Hitt, 2003)
Lo anterior nos sugiere la necesidad de buscar valorar la enseñanza y aprendizaje de
las matemáticas, específicamente el concepto de función, a través de la conversión de
representaciones de los registros algebraico, verbal, tabular, gráfico; proponiendo
actividades que se puedan realizar con los alumnos, en las cuales manifiesten
habilidades en el desarrollo de tareas que conlleven a visualizar y realizar las
diferentes representaciones. Además, el uso de diferentes representaciones puede
aclarar diferentes aspectos de un concepto o de sus relaciones con otros conceptos,
modelar o interpretar fenómenos físicos, sociales y matemáticos.
Por todo, nuestro interés específico se sitúa en la necesidad de realizar un estudio
acerca del grado de visualización del concepto de función y sus diferentes
representaciones, que tienen los alumnos del curso de Cálculo I de la Universidad
Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu Santo, de la ciudad de Choluteca, para
21
de esta manera contar con un argumento teórico que permita posteriormente generar
propuestas didácticas, que conlleven a un proceso de enseñanza y aprendizaje de las
matemáticas con adquisición de conocimientos significativos.
1.3 Objetivos de la Investigación
El objetivo principal de este trabajo de investigación, es conocer cómo los
estudiantes del curso de Cálculo I de la Universidad Católica de Honduras, Campus
Dios Espíritu Santo, visualizan el concepto de función y su capacidad en los procesos
de conversión en sus diferentes representaciones.
Los objetivos específicos que persigue esta investigación son:
Explorar y realizar un análisis acerca de las dificultades de los alumnos en
cuanto a tareas de interpretación, de conversión y de construcción asociadas
con funciones y sus representaciones verbal, algebraica, tabular, gráfica.
Explorar y analizar las razones estructurales de los problemas de comprensión
de los alumnos, sus capacidades de razonamiento, de análisis y de
visualización.
1.4 Preguntas de Investigación
¿Qué dificultades presentan los alumnos de nivel superior sobre las tareas de
interpretación, de conversión y de construcción asociadas con funciones y sus
diferentes representaciones?
¿Cuáles son las capacidades y debilidades que manifiestan los alumnos del
nivel superior en cuanto a la comprensión, razonamiento, análisis y
visualización respecto a funciones y sus representaciones?
22
CAPITULO 2
23
MARCO TEÓRICO
24
2. 1 Enfoque Constructivista.
El tener conciencia del proceso educativo y de una dualidad que compete al mismo,
por un lado la necesidad de explicitar una teoría científica que lo argumente y por
otro una práctica que tome forma clara y precisa de las ideas, se ha dado hasta hace
poco. De lo que resulta interesante saber cómo aprende el ser humano, de manera
particular, cómo se logra el aprendizaje en nuestros alumnos.
Desde el punto de vista constructivista el aprendizaje no tiene nada que ver con
memorizar, automatizar, repetir, sino más bien aprender consiste en poner en juego
o desarrollar las competencias que lo han hecho posible desde sus inicios como son:
deducir, inferir, conjeturar, descubrir, resolver, argumentar, etc.
En matemática educativa contamos con aportaciones teóricas que intentan explicar la
construcción del conocimiento matemático desde posturas didácticas, cognitivas,
sociales, lingüístico o antropológico entre otras. Los teóricos argumentan que
debemos conocer como se aprende para de ahí derivar estrategias que propicien el
aprendizaje. Ausubel (2002) dice: “El potencial cognitivo humano a diferencia de un
ordenador no puede manejar con mucha eficacia información que se enlaza con él
de manera literal.” Considera que, la condición más importante para que el
aprendizaje sea significativo es que pueda relacionarse, de modo no arbitrario y
sustancial, con lo que el alumno ya sabe. Esto implica que nunca se construye a partir
de cero, sino sobre la base del saber que se ha construido hasta el momento y de las
estructuras mentales alcanzadas. Así mismo, como lo menciona Catsigeras y Curione
(2005): “paradójicamente la mayoría de las dificultades en el aprendizaje de los
contenidos del curso de Cálculo… se encuentra en aquellos contenidos de la
asignatura que son revisión de los últimos años de enseñanza secundaria.” (p.1)
25
Lo anterior, adquiere particular relevancia en el aprendizaje de la Matemática en el
ámbito universitario, siendo el de nuestro interés, pues se requiere tanto de parte del
alumno como del docente estrategias que promuevan el enlace significativo de los
conceptos y subconceptos.
Las teorías constructivistas del aprendizaje conciben el conocimiento como resultado
de la interacción entre la nueva información y la información previa, construyendo
modelos de interpretar la nueva información y no solo recibirla. El constructivismo
parte de la idea de la construcción, para explicar o interpretar la manera como las
personas adquieren el conocimiento. Dicho proceso de construcción depende según
Carretero (1993, p.21) de dos aspectos fundamentales:
De los conocimientos previos o representación que se tenga de la nueva
información o la tarea a resolver.
De la actividad externa o interna que el aprendiz realice al respecto. (citado
por Díaz, F. 2002, p. 27)
Diversos autores Piaget, Vigotsky, Ausubel entre otros; han postulado que es
mediante la realización de aprendizajes significativos que el alumno construye. Se
puede decir entonces que:
La construcción del conocimiento escolar es un proceso de
elaboración, en el sentido de que el alumno selecciona, organiza y
transforma la información que recibe de muy diversas fuentes,
estableciendo relaciones entre dicha información y sus ideas o
conocimientos previos. Así, aprender un contenido quiere decir
que el alumno le atribuye un significado, construye una
representación mental por medio de imágenes o proposiciones
verbales, o bien elabora una especie de teoría o modelo mental
como marco explicativo de dicho conocimiento. (Díaz, 2002, p.32)
De igual manera Díaz (idem) dice que: “el aprendizaje significativo es aquel que
conduce la creación de estructuras de conocimiento mediante la relación sustantiva
entre la nueva información y las ideas previas de los estudiantes.”
Castorina (1995) plantea: “las ideas previas pueden ser un obstáculo o también
pueden ser ideas precursoras.” (citado por Catsigeras, 2005, p.2) Al introducir el
concepto de función en el aula suelen aparecer, en forma más o menos consciente
diversos conflictos cognitivos con ideas cotidianas y previas.
26
Los errores que aparecen en forma repetida, que además merecen según Pontini (*),
una consideración por parte del docente, son los que conocemos como obstáculos3
cognitivos. Estos obstáculos, según Brousseau, pueden ser el resultado de diferentes
causas y por ello se les diferencia según su origen de la siguiente manera:
o Obstáculos ontogénicos: son aquellos que provienen de las limitaciones del
sujeto en un momento dado del desarrollo.
o Obstáculos didácticos: son aquellos que parecen depender de las decisiones
del docente o del sistema educativo.
o Obstáculos epistemológicos: están ligados al conocimiento mismo. Se pueden
encontrar en la evolución histórica de los conceptos matemáticos.
Para el alumno, construir el sentido de un objeto matemático (concepto de función)
implica desplegar un conjunto de prácticas en las cuales tenga la oportunidad de
realizar diferentes tipos de tareas con relación a ese objeto.
2.2 Algo de Historia acerca del Concepto de Función
Siendo este estudio sobre el concepto de función, hemos tomado a bien hacer un
bosquejo un tanto resumido de los orígenes del concepto en cuestión, pues el hecho
de lograr comprender algo, así como de entenderlo, nos conlleva a escudriñar su
origen, su razón de ser, es así que para estudiar un contenido de cualquier disciplina
se recomienda un poco de historia que le refiera.
En Teacher’s Difficulties with the Construction of Continuous and Discontinuous
Functions, (Hitt, 1994) se presenta una breve historia de el concepto de función, del
cual retomamos algunos aspectos en este trabajo. De igual manera tomamos
información de una fuente de internet (http://seti.astroseti.org/setiathome).
Desde tiempos anteriores, se ha argumentado que uno de los más usados conceptos
en matemáticas y sus aplicaciones es el de función. El desarrollo de este concepto,
como a menudo sucede en matemáticas, ha seguido diferentes etapas. Originalmente
se da como una relación entre números y sus cuadrados, entre números y sus raíces
cuadradas, etc. encontrando muestras en tablas babilónicas que datan 2000 años A.C.
(Youschkevitch, 1976, p.40). Otro aspecto importante data del siglo XIV cuando
3
En Didáctica de la Matemática la noción de obstáculo la introduce Brousseau.
27
Thomas Bradwardine discute acerca de la importancia del concepto de función en
“Tractus de Proportionibus” de 1939. No muy tarde Nicole Oresme (1323-1382)
trabaja en las reglas para trabajar con funciones.
A continuación se intenta hacer un acercamiento más detallado de la evolución del
concepto de función:
Primeramente tenemos a los babilonios, y al hacer una revisión de las matemáticas
babilónicas se han encontrado tablas de cuadrados de los números naturales, cubos
de los números naturales y recíprocos de los números naturales. Estas tablas sin
duda definen funciones de N sobre N o de N sobre R.
Refiriéndose a lo anterior en 1945, Bell escribió: “puede ser demasiado generoso
dar crédito a los antiguos babilonios de tener el instinto de función, ya que una
función ha sido definida sucesivamente como una tabla o como una
correspondencia”. Tal referencia parte de ver a los matemáticos antiguos desde una
óptica moderna; por lo que se debe rechazar la sugerencia de que el concepto de
función estuviera presente en las matemáticas babilónicas, aunque se puede ver que
estudiaban funciones específicas.
Y, los griegos no se pueden dejar de mencionar, pues vemos el trabajo de Ptolomeo,
él, computó cuerdas de un círculo lo que quiere decir que computó funciones
trigonométricas, lo que nos hace pensar que si estaba calculando funciones
trigonométricas entonces, debió haber comprendido el concepto de función. Pero al
respecto, O Petersen (1974) escribió lo siguiente: “si concebimos una función no
como una fórmula sino como una relación más general que asocia elementos de un
conjunto con los elementos de otro conjunto, es obvio que las funciones en ese
sentido abundan en el Almagesto”. Ptolomeo lidió con las funciones pero es poco
probable que comprendiera el concepto de Función.
Así, de tal manera, nos acercamos a trabajos de Galileo, quien estaba empezando a
entender el concepto con mayor claridad, sus estudios sobre el movimiento contienen
la clara comprensión de una relación entre variables. En 1638, estudió el problema de
dos círculos concéntricos con centro O, el círculo más grande A con diámetro del
doble que el círculo más pequeño B, pero al tomar cualquier punto P sobre el círculo
A entonces PA corta al círculo B en un punto; así, Galileo había construido una
28
función que mapeaba cada punto de A sobre un punto de B. También produjo la
correspondencia uno a uno estándar entre los enteros positivos y sus cuadrados, la
cual en términos modernos daba una bisección entre N y un subconjunto propio.
Casi al mismo tiempo que Galileo desarrollaba estas ideas, Descartes, introducía el
álgebra y la geometría en La Geometrie. Afirma que una curva puede dibujarse al
permitir que una línea tome un número infinito de valores distintos. Esto de nuevo
lleva al concepto de función a la construcción de una curva ya que Descartes está
pensando en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos
valores como en que la magnitud a partir de la cual se compone la expresión toma un
infinito número de valores.
Lo anterior, nos permite decir que el concepto de función se desarrolló con el paso
del tiempo, desde la antigüedad, lo cual es importante entender que su significado
fue cambiando y también fue siendo definido con precisión. Como tantos términos
matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con su significado no
matemático.
Leibniz (1673) escribió: “… otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo
alguna función”.
Johann Bernolulli (1694), en una carta a Leibniz, describe una función como: “…
una cantidad formada de alguna manera a partir de cantidades indeterminadas y
constantes”.
Se puede decir que en 1748 el concepto de función, tuvo un mayor avance, esto
debido a Euler quien publicó Introductio in analisyn infinitorum, y escribe una
definición de función como sigue: “una función de una cantidad variable es una
expresión analítica compuesta de cualquier manera a partir de la cantidad variable
y de números o de cantidades”. Esto es, él considera la función de x como una
simple expresión o fórmula que contiene x como una variable. (fig. 2)
FIGURA. 2 Function complying with Euler’s definition of 1748
29
Sin embargo, el trabajo de Euler presentaba una dificultad la cual generaría
confusión ya que no logró distinguir entre una función y su representación. Pero ya
para 1755, Euler en su publicación Institutiones Calculi Differentialis define una
función de una manera totalmente general, dando lo que razonablemente se puede
afirmar era una definición verdaderamente moderna de Función: si algunas
cantidades dependen de otras de tal modo que si estas últimas cambian también lo
hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las
segundas.
El primer problema con la definición de Euler, fue señalada en 1780, un ejemplo
claro fue dado por Cauchy en 1844. Sin embargo, una objeción más seria vino del
trabajo de Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. El trabajo de
Fourier no fue aceptado de inmediato, y matemáticos prominentes como Lagrange no
lo aceptaron en ese momento. La confusión respecto a las funciones se había debido
a una falta de comprensión de la diferencia entre “función” y su representación.
Otros matemáticos dieron sus propias versiones respecto a la definición de Función:
Condorcet (1778); Arbogast (1791) (citado por Grattan-Guinness, 1970, p.18);
Lacroix (1797); Cauchy (1821) (citado por Monna, 1972, p.61-62); Lobachevsky
(1838); Dirichlet (1840) quien introduce el concepto moderno de función,
solventando los problemas encontrados en trabajos de Fourier, aclarando así la
diferencia entre una función y su representación. Dirichlet dice: “y es una función de
una variable x, definida en el intervalo a<x<b, si para todo valor de la variable x en
ese intervalo está correspondido un valor definido de la variable y”. (Dirichlet,
1840, citado en Kleiner, 1989, p.291). (citado por Hitt, 1994)
Pero entonces cabe preguntarse ¿De dónde han tomado el concepto las definiciones
más modernas? Goursat, en 1923, dio la definición que aparece en la mayoría de los
libros de textos hoy en día: “Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le
corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación
”.
Así pues, hoy en día, aparecen diferentes definiciones de función en los siguientes
términos:
• Función definida en términos de variables
30
• Función definida en términos pares
• Función definida en términos de reglas de correspondencia
Y, finalmente ahora aparece en los libros de texto por la particularidad en el
uso de computadora
• Función definida en términos de INPUT-OUTPUT
Hemos visto que desde un punto de vista histórico, el concepto de función se
construyó durante varios siglos. Ello desde un punto de vista de la noción de
obstáculo epistemológico es un indicativo para intentar entender los problemas de
aprendizaje de este concepto en el aula de matemáticas. A continuación nos
centraremos en los aspectos cognitivos del aprendizaje del concepto de función.
2.3 CONCEPTO DE FUNCIÓN. Definición. Aspectos Cognitivos
El concepto de función, está presente de manera muy natural e intuitiva, y a pesar de
ello, nuestros alumnos preguntan: ¿Qué tienen que ver las matemáticas con la vida
real? Más aún, y de manera muy particular ¿Cómo puede suceder eso, si se ha dicho
que función, es un concepto muy complejo? Pero, así es, hemos de decir que en el
lenguaje de nuestra vida cotidiana, intuitivamente correspondiendo a una idea, está
presente el concepto de función; por ejemplo, al referirnos a los impuestos que pagan
las personas estos están (o deberían estar) en función de los ingresos, los resultados
obtenidos en los exámenes son en función del tiempo dedicado a estudiar, el
consumo de gasolina en un viaje es en función de (“depende de”) los kilómetros
recorridos, el número de diputados al congreso obtenidos por un partido político
después de unas elecciones es en función del número de votos obtenidos, el área de
un cuadrado es en función del lado, la ganancia depende del precio del artículo, etc.
Lo anterior lo hemos expuesto de manera coloquial, pero no por ello deja de ser
matemática.
Ahora con la formalidad a la que se acostumbra, veamos la tabla (1), la que nos
permitirá examinar los datos que relacionan un número “x” perteneciente al conjunto
con su duplo (“2x”)
Desde el punto de vista matemático se
trata de una función que transforma el
conjunto
de
números
en
otro31
conjunto
de
números
.
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
2x
-6
-4
-2
0
2
4
6
Tabla 1
Se dice que esta función actúa de la forma
y que la imagen de -2 es -4, y
la de 3 es 6. Expresado de la forma entonces es:
.
Además de la expresión analítica de una función
, se suelen utilizar
gráficas para visualizarlas y entenderlas en forma más rápida y significativa.
Entonces tenemos como resultado la siguiente representación gráfica de los datos
dados en la tabla (1):
6
¿Tiene sentido en este
ejemplo unir los puntos
con una recta?
5
4
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
-1
-2
-3
-4
Se dice entonces que, el conjunto en que se define la función
campo de existencia de la función; se designa por
. El número
se llama dominio o
perteneciente al
dominio de la función recibe el nombre de variable independiente. Al número
asociado por
al valor
designa por
. Luego
se le llama variable dependiente. La imagen de
-3 *
-6 *
-2 *
-4 *
-1 *
-2 *
0*
0*
1*
2*
2*
4*
3*
6*
,
se
32
La variable, es una magnitud que varía y que puede tener un valor cualquiera de los
comprendidos en un conjunto, de modo que, por ejemplo, el número de viajeros en
la excursión (ver Anexo Actividad 7) es una variable y puede tomar valores enteros
positivos pero nunca mayores que 15.
De tal manera que, función4 de manera genérica y abreviada se dice es: “una variable
y está en función de otra variable x si por cada valor de x se obtiene un único valor
de y. Se puede afirmar también que cada valor x tiene asociado un valor y. Se dice
entonces que: “y depende de x”; “y está en función de x”. Otra manera es: “y es la
imagen de x”; “x es la preimagen de y”. Esta idea se puede simbolizar como:
;
Como se define antes, son dos los tipos de variables:
a) Variable independiente: es aquella que asume valores y cambia de un valor a
otro sin depender de la otra variable;
b) Variable dependiente: es aquella que también cambia pero los cambios de un
valor a otro dependen de los cambios que se producen en la otra variable.
La relación de dependencia es un tipo especial de relación entre las variables, por
ejemplo podemos observar que (ver Anexos, idem): por cada valor de la variable
“cantidad de excursionistas” se obtiene un valor de la variable “pago individual”;
es decir en cada situación los cambios en la variable independiente provocan cambio
en la variable dependiente, de tal forma que por cada valor de la variable
independiente se obtiene (se puede calcular) solo un valor de la variable dependiente.
Por esa razón afirmamos que la variable dependiente está en función de (depende)
la variable independiente. Así podemos decir que el “costo de fabricación” está en
función de (depende) del “número de unidades fabricadas” ; la “ganancia” está en
función de (depende) del “precio de venta”.
4
Definiciones tomadas de Tesis Doctoral, Cuesta (2007).
33
Un aspecto importante en el comportamiento de una función, es reconocer y estudiar
como varía la variable dependiente cuando cambia la variable independiente, a esto
le llamamos Variación de una función, para lo cual mostramos el siguiente ejemplo5:
Precio por revista
10
20
30
40
45
50
60
70
80
Ganancia total
0
600
1000
1200
1225
1200
1000
600
0
A partir de los datos proporcionados podemos observar el siguiente comportamiento;
cuando el precio de venta aumenta 10 lempiras, la ganancia aumenta su valor de 0 a
600 lempiras es decir, que el aumento de la variable independiente (precio) provoca
un aumento de la variable dependiente (ganancia); en el intervalo de 10 a 45 lempiras
los aumentos en el precio provocan aumentos en la ganancia hasta el punto donde el
precio es de 45 lempiras y la ganancia es de 1225; cuando el precio de venta aumenta
de 45 lempiras a 50 lempiras la ganancia disminuye de 1225 a 1200 lempiras, es
decir que el aumento de la variable independiente (precio) provoca una disminución
en la variable dependiente (ganancia); en el intervalo de 45 a 80 lempiras los
aumentos en el precio provocan disminución en la ganacia hasta el punto donde el
precio es de 80 lempiras y la ganancia es de 0 lempiras.
Podemos decir entonces que una función puede en un intervalo estar creciendo y en
otro, por el contrario estar decreciendo, a esto lo conocemos como sigue:
Crecimiento de la función: se dice que la función crece si los aumentos de los
valores en la variable independiente provocan un aumento de los valores de la
variable dependiente;
Decrecimiento de la función: se dice que la función decrece si los aumentos
de los valores de la variable independiente provocan una disminución de los
valores de la variable dependiente.
Existen funciones que solo crecen, existen funciones que solamente decrecen, otras
que van creciendo y después decrecen, otras que van decreciendo y después crecen;
siendo estas las que tratamos en este estudio, pero cabe mencionar que también
existen otras.
5
Ejemplo tomado de Cuesta, 2007. Tesis Doctoral
34
Para explicar algo que es recordado en nuestra memoria, cuando escuchamos o
vemos el nombre de un concepto, Tall y Vinner (1981) (Tall, 1991, p.68), introducen
el constructo esquema conceptual (concept image) y dicen:
… es algo no verbal asociado en nuestra mente con el nombre del
concepto. Puede ser una representación visual del concepto en el
caso de que tenga representaciones visuales o una colección de
expresiones o experiencias. Las representaciones visuales, las
figuras mentales, las impresiones y, las experiencias asociadas con
el nombre del concepto pueden ser traducidas verbalmente. Pero es
importante recordar que las expresiones verbales no son la primera
cosa evocada en nuestra memoria,… Cuando escuchas la palabra
“función”, puedes asociar la expresión
, puedes visualizar
la gráfica de una función, puedes pensar en funciones específicas
tales como
ó
, etc.”.(citado por Cuesta, 2007, p.
22)
Si partimos del hecho que a los alumnos ya se les ha enseñado el tema de funciones,
(desde noveno grado en nuestro sistema educativo), entonces como dice Hitt (1997)
suponemos que los alumnos han construido el concepto de función.
Entonces surge la interrogante ¿Cuándo hemos de decir que un alumno ha construido
un concepto matemático, y de manera particular el concepto de función?
Respondemos, primeramente con lo dicho por De la Rosa (2000): … “Podríamos
decir que un alumno tiene integrado un concepto matemático cuando cuenta con las
imágenes conceptuales de los diferentes registros de representación, capaces de
utilizarlos o seleccionar el más pertinente cuando se enfrentan a la resolución de
problemas”.
Ampliamos nuestra respuesta, con lo que al respecto Hitt (1997, p.195) menciona:
“… que el conocimiento de un concepto es estable en el alumno, si este es capaz de
articular sin contradicciones diferentes representaciones del mismo, así como
recurrir a ellas en forma espontánea durante la resolución de problemas”, pero
agrega, que tal construcción conceptual, le debe permitir a este alumno lo siguiente
(adaptado de la clasificación de Taghard, 1991, pp. 104-105) (citado por Hitt, 2003):
1. Clasificar: su concepto de función les debe permitir establecer qué relaciones
son funciones y cuáles no.
35
2. Comprender: su concepto de función debe ser un concepto susceptible de
ser aprendido.
3. Memorizar: su concepto de función debe ser recordado tanto en lo global
como en ejemplos particulares.
4. Inferencia deductiva: su concepto de función debe permitir hacer
deducciones.
5. Explicaciones: su concepto de función debe permitir la generación de
explicaciones acerca de la relación entre pre imagen y la imagen, por
ejemplo.
6. Resolución de problemas: su concepto de función debe permitir la
aplicación de estrategias y el uso de las diferentes representaciones para
resolver problemas.
7. Generalización: su concepto de función debe permitir el aprendizaje de
nuevos hechos relacionados.
8. Inferencia analógica: su concepto de función debe permitir el razonar la
conversión de una forma de representación a otra.
9. Comprensión de textos: su concepto de función debe permitir la
comprensión de frases, expresiones, figuras.
10. Producción: su concepto de función debe permitir la construcción de
representaciones semióticas y mentales tanto para su uso personal como para
su comunicación y para otros.
Como dice Hitt (2003), en este ambiente donde las ideas intuitivas y la producción de
representaciones
semióticas
no
oficiales
(producciones
semióticas
que
probablemente no son las que usualmente utilizamos en el pizarrón y los libros) y, la
discusión tanto grupal como general son esenciales en la construcción del
conocimiento, se considera que la construcción de conceptos sigue una estructura
como se muestra en la siguiente figura (3):
Construcción de un Concepto
36
Concepción
Construcción
Mental
Diseño de
actividades
que
promuevan
conflictos
cognitivos
Producción
semiótica
Nueva Concepción
D
A
X
B
C
Y
Z
Figura 3
En su artículo “Dificultades en la articulación de diferentes representaciones relativas
al concepto de función”, Hitt (1998), hace referencia a un estudio realizado por
Monk (1992, pp.181-182), de problemas presentados a estudiantes donde el
enunciado del problema no indica de una manera directa o indirecta el sistema o
sistemas de representación requeridos para resolverlo, dicho estudio muestra
diferentes niveles de comprensión del concepto de función, permitiéndole identificar
los siguientes niveles en la construcción de un concepto particular de función:
Nivel 1. Ideas imprecisas acerca de un concepto (mezcla incoherente de diferentes
representaciones del concepto).
Nivel 2. Identificación de diferentes representaciones de un concepto. Identificación
de sistemas de representación.
Nivel 3. Translación con preservación de significado desde un sistema de
representación a otro.
Nivel 4. Articulación coherente entre dos sistemas de representación.
Nivel 5. Articulación coherente de diferentes sistemas de representación en la
solución de un problema.
Para complementar la respuesta a la interrogante expuesta con anterioridad, tomamos
lo que Duval (1993) dice: “la comprensión integral de un contenido conceptual está
basada en la coordinación de al menos dos registros de representación, y esta
coordinación queda de manifiesto por medio del uso rápido y la espontaneidad de la
conversión cognitiva”. (p.46)
Para Janvier (1987) (citado por Cuesta, 2007), el aprendizaje consiste en un proceso
acumulativo basado fundamentalmente en la capacidad de manejar un conjunto de
37
representaciones y examina la representación del concepto de función, cuando
argumenta sobre:
i) La interpretación: que consiste en pasar de la gráfica de una situación a su
descripción verbal, por ejemplo. Y como menciona Leinhardt (1990), por
interpretación nos referimos a la acción por la cual el estudiante obtiene
el sentido o el significado de una gráfica, o de una porción de ella, de una
ecuación funcional o de una situación. La interpretación puede ser global
y general o local y específica. De aquí que puede decidir resultados de un
patrón (que pasa a la x al aumentar y), o de razón (¿Cómo cambian las
bacterias después de cada 5 horas a una temperatura?) o el determinar
cuándo se encuentran eventos o condiciones específicas (¿Cuál es el valor
mínimo? ¿en qué punto el auto toma una curva?), y
ii) La construcción: que consiste por ejemplo, en pasar de la descripción verbal
de una situación a la gráfica y/o tabla. Al respecto Leinhardt (idem) dice
que “construcción” se refiere a construir una gráfica o graficar puntos a
partir de datos (o a partir de una función dada por su regla de
correspondencia o de una tabla) o construir una función algebraica para
una gráfica.
Como señalaron Dreyfus y Eisenberg (1982) (citados por Cuestas, idem), las
dificultades en el aprendizaje del concepto de función son causadas por:
• Su relación con otros conceptos matemáticos como dominio, imagen,
crecimiento, decrecimiento, extremos; todos ellos necesarios para determinar
el concepto de función.
• La relación que posee el concepto de función con otros campos de las
matemáticas como el álgebra y la geometría.
• La existencia de una amplia gama de lenguajes de representación del
concepto de función: descripción verbal, tabla de valores, gráficas,
expresiones y diagramas.
Leinhardt (1990, p.2) dice que: “las representaciones algebraica y gráfica son dos
sistemas simbólicos muy diferentes que se articulan de tal forma en cuanto a
38
construir y definir conjuntamente el concepto matemático de función”… “las
dificultades sobre funciones y gráficas son reportadas en la literatura en la medida
que se relacionan con rasgos particulares o clases de funciones y gráficas asociadas
con problemas de aprendizaje”. Además, agrega que los conceptos erróneos y las
dificultades son discutidas bajo los siguientes subtítulos: a) lo que es y no es una
función; b) correspondencia; c) linealidad; d) representaciones de funciones; e)
lectura relativa e interpretación; e) notación.
¿A qué se le llama concepto erróneo? Según Leinhardt (idem), son características del
conocimiento de un estudiante acerca de una pieza específica del conocimiento de
matemáticas que puede o no haber sido enseñada. Sigue diciendo que, un concepto
erróneo puede desarrollarse como resultado de sobregeneralizar un concepto
esencialmente correcto, o puede deberse a la interferencia del conocimiento
cotidiano. Además dice que, para calificarlo como tal, un concepto erróneo debe
tener un sistema de ideas razonablemente bien formuladas, no simplemente una
justificación para un error. Así, aunque el concepto erróneo no necesita ser toda una
teoría, debería ser repetible y/o explícito. Por ejemplo, la tendencia de los estudiantes
a interpretar las graficas icónicamente puede relacionarse con sus intuiciones; otro
sería la tendencia de los estudiantes a reconocer como funciones solo las
correspondencias biunívocas. (Leinhardt, 1990, p.6)
¿Qué es y que no es una función?, varios estudios han sugerido que los estudiantes
poseen ideas inexactas del aspecto que deben presentar las gráficas de funciones
(Vinner y Dreyfus, 1989, entre otros), la mayoría de estos descubrimientos surgen de
tareas de clasificación ejecutados dentro del marco de la definición moderna y
sugieren que los estudiantes tienen una visión demasiado restringida de las formas
que pueden tomar las gráficas de las funciones. A menudo los estudiantes identifican
como gráficas de funciones solo aquellas gráficas que exhiben un patrón obvio o
rectilíneo. (Leinhardt, idem, pp. 40, 41)
En muchos casos los estudiantes pueden “saber” la definición exacta y formal de una
función (e.g., una correspondencia entre dos conjuntos que asigna a cada elemento
del primer conjunto exactamente un elemento del segundo conjunto), pero fallan en
aplicarla al decidir si una gráfica representa o no a una función.
39
En gran medida la clasificación de los diferentes tipos de relaciones por parte de los
estudiantes depende tanto de la definición formal de una función que se les haya
enseñado como de la “imagen conceptual” que hayan desarrollado basándose en
ejemplos que les hayan sido expuestos (Vinner, 1983) (A lo que Vinner se refiere
como imagen conceptual se acerca a lo que los psicólogos del conocimiento se
refieren como esquemas). (Leinhardt, 1990, p.20)
Para Leinhardt (idem), ni las funciones ni las gráficas deben ser tratadas como
conceptos aislados, son por una parte sistemas comunicativos y por otra, una
construcción y organización de ideas matemáticas. Son dos sistemas simbólicos que
se usan para arrojarse luz uno al otro. Este rasgo provoca demandas al principiante en
términos de nuevas ideas, unicidad notacional y correspondencias simbólicas.
Cuando Leinhardt (idem) se refiere a cada una de las tareas que se proponen a los
alumnos, dice que éstas pueden presentarse en una variedad de contextos, a lo que
nos referimos como la situación, a menudo llamado “la situación problema del
problema” por la National Council of Teachers of Mathematics,(1989), el cual puede
ser más o menos contextualizado o abstracto, hace referencia a que los estudios
realizados han incluido tareas contextualizadas las cuales a menudo están basadas en
la presunción de que es más fácil para los estudiantes tratar con problemas que se
construyen sobre situaciones familiares (e.g., ya sean situaciones que han
experimentado o con las que pueden relacionarse de una forma significativa) que
tratar con situaciones abstractas. (p.27)
Dos de los tipos más comunes de situaciones contextualizadas que aparecen en la
literatura tienden a caer en una de dos categorías: viaje, tal como una bicicleta
viajando en una colina, un auto de carreras circulando en una pista, gráficas
distancia-tiempo (Bell y Janvier, 1981) o crecimiento, tal como el crecimiento de
una bacteria a diferentes temperaturas, la estatura promedio de muchachos a
diferentes edades (Bell y Janvier, 1981). Los investigadores a menudo diseñan sus
tareas seleccionando casos extremos o situaciones particularmente confusas a fin de
verificar si los estudiantes, son distraídos por características irrelevantes, o
confundidos por vínculos superficiales o visuales. (Leinhardt, 1990, p.28)
Sigue diciendo que la mayor parte de los estudios enfocan su atención
principalmente en gráficas y funciones contextualizadas (Bell y Janvier 1981) o en
40
gráficas y funciones abstractas (Dreyfus y Eisenberg 1983). Pocos estudios se
enfocan en tareas basadas en una situación contextualizada y en tareas que se
construyen sobre una situación abstracta (Dreyfus y Eisenberg, 1982). La situación
específica que se selecciona para una tarea dicta hasta cierto punto el tipo de
variables involucradas en la tarea. (p.29)
En cuanto a la noción de variable, dice, es fundamental para comprender muchas
relaciones funcionales y representaciones gráficas. Hay varios significados y
aspectos de una variable que pueden discutirse (Schoenfeld y Arcavi, 1988). Una de
las interpretaciones de variable es relativamente estática y enfatiza a la variable como
una herramienta para generalizar o describir patrones, este acercamiento estático a la
variable usualmente está asociado con símbolos algebraicos (e.g., letras que
generalizan). Otra de las interpretaciones de variable le da un sentido más dinámico
que, en esencia, captura la variabilidad y los cambios simultáneos en una variable en
comparación con otra (Janvier, 1981). El acercamiento dinámico a la variable puede
representarse en un número de formas (e.g., una notación funcional, una gráfica). Sin
tener en cuenta el significado asociado con la noción de variable, se da poca atención
en la literatura a la naturaleza o forma de las variables conectadas con la tarea.
Hemos de connotar que centramos el tema de estudio en la construcción del concepto
de función, enfocado hacia la visualización, por lo que se cree conveniente y sobre
todo necesario, hablar acerca de esta teoría del pensamiento.
2.4 VISUALIZACIÓN MATEMATICA
Hitt (1998) y De Guzmán (1996), hacen mención de la importancia que está
adquiriendo la visualización en el quehacer matemático, ya que por décadas ha
estado relegada a un segundo plano, pues ha sido tratada por algunos con sospecha y
por otros con desconfianza, y se renueva en proporciones inimaginables, pues los
avances psicopedagógicos han mostrado la importancia de crear imágenes mentales
apropiadas para la formación de conceptos.
De Guzmán, en su libro “El Rincón de la pizarra. Ensayos de Visualización en
análisis matemático, (1996), plantea y da respuesta a ¿Qué se entiende por
41
Visualización? apropiándose de esta teoría, considerándosele así pues, como uno de
sus defensores, difusores, por no decir el mayor de todos.
Dice que: “la visualización en matemáticas no es lo mismo que lo que algunas
corrientes de sicólogos llaman visualización”… “la visualización en matemáticas
pretende otra cosa. Las ideas, conceptos y métodos de las matemáticas presentan una
gran riqueza de contenidos visuales, representables intuitivamente, geométricamente,
cuya utilización resulta muy provechosa, tanto en las tareas de presentación y manejo
de tales conceptos y métodos como en la manipulación con ellos para la resolución
de los problemas del campo”. (De Guzmán, 1996, p.15)
Sigue diciendo De Guzmán (1996) que: “la visualización aparece así como algo
profundamente natural tanto en el nacimiento del pensamiento matemático como en
el descubrimiento de nuevas relaciones entre los objetos matemáticos, y también
naturalmente en la transmisión y comunicación propia del quehacer matemático.”
(p.17) Hace alusión, que incluso, lo que nosotros llamamos «visión», dicho de
manera más sencilla «mirar», resulta también un proceso de igual manera complejo,
que involucra el cerebro humano.
Además, establece que la visualización no es una visión inmediata de las relaciones,
sino una interpretación de lo que se presenta a nuestra contemplación que solamente
podremos realizar eficazmente si hemos aprendido a leer adecuadamente el tipo de
comunicación que la sustenta.
Para De Guzmán (citado por Hitt, 2003), la visualización matemática de un problema
juega un papel importante y tiene que ver con entender un enunciado mediante la
puesta en juego de diferentes representaciones de la situación en cuestión y ello nos
permite realizar una acción que posiblemente puede conducir hacia la solución del
problema. Desde este punto de vista, en un primer acercamiento, no solamente es
importante entender las
dificultades
para
manipular cada
una
de
esas
representaciones, también lo es el análisis de las tareas de conversión entre
representaciones que debemos proponer a nuestros alumnos. (p.215)
En cuanto a este menester, Hitt (2003) establece una diferencia entre percibir y
visualizar, dice que: la percepción la tomaremos como la función por la que la mente
de un individuo organiza sus sensaciones y se forma una representación interna de
42
los objetos externos, en cambio, la visualización tiene que ver con un conocimiento
directo e intuitivo. Por ejemplo dice, podemos percibir una mosca que vuela y no
prestamos atención a ese hecho, sin embargo, al querer atravesar una calle y vemos
un coche que viene hacia nosotros, realizamos un acto de conocimiento directo en
términos de evaluar su velocidad y decidir si es conveniente atravesar o no la calle.
Esto último, visualizar, generalmente lo hacemos inconscientemente. (p.217)
Resulta común, que la noción de visualización sea confundida con la de visión, pero
al respecto Duval (1999) dice: “la visualización se refiere a una actividad cognitiva
que es intrínsecamente semiótica, es decir ni mental, ni física”.
Arcavi (1999), admite haber combinado las definiciones de Zimmermann (1991, p.3)
y de Hershkowitz (1989, p.75) declarando: “la visualización es la capacidad, el
proceso y el producto de creación, interpretación, empleo y reflexión sobre cuadros,
imágenes, diagramas, en nuestras mentes, en papel o con herramientas tecnológicas,
con el propósito de representar y comunicar información, pensando y desarrollando
ideas desconocidas y anticipando el entendimiento”. (citados por Oropeza y Lezama
p.56)
La visualización no puede ser entendida como el simple acto de ver, sino como “la
habilidad para representar, transformar, generar, comunicar, documentar y reflejar
información visual en el pensamiento y el lenguaje del que aprende”… “pues
visualizar una función, por ejemplo, no significa simplemente verla, mirar o
contemplar su gráfica, de hecho es posible visualizarla sin verla”… “de modo que
realizar la actividad de visualización requiere de la utilización de nociones
matemáticas asociadas a los ámbitos numérico, gráfico, algebraico o verbal, pero
exige también el uso de un lenguaje común para explicar ciertos fenómenos e incluso
describir experiencias vivenciales” … “la visualización trata entonces con el
funcionamiento de las estructuras cognitivas que se emplean para resolver
problemas, con las relaciones abstractas que se formulan entre las diferentes
representaciones de un objeto matemático a fin de operar con ellas y obtener un
resultado.” (Cantoral y Montiel, 2003, p.694)
Por los párrafos anteriores, vemos cuan ligadas están las representaciones semióticas
con la visualización matemática, es por ello que no podemos dejar de tratar tal
tópico.
43
2.5 Representaciones Semióticas
En su artículo “Registros de Representación Semiótica y Funcionamiento Cognitivo
del Pensamiento”, Duval se refiere a la existencia de una palabra importante y
marginal en matemáticas, es la palabra REPRESENTACIÓN, escribe que
frecuentemente se le emplea bajo su forma verbal «representar», y dice:
Una escritura, una notación, un símbolo, representan un objeto
matemático: un número, una función,… lo mismo los trazos, las
figuras, representan objetos matemáticos: un segmento, un punto,
un círculo,… lo cual quiere decir que jamás se deben confundir a
los objetos con su representación… la distinción entre un objeto y
su representación es, pues, un punto estratégico para la
comprensión de matemáticas. (Duval, 1993, p. 1).
Define dos representaciones:
a) Representaciones mentales: cubren al conjunto de imágenes y globalmente a las
concepciones que un individuo puede tener sobre un objeto, sobre una situación
o sobre lo que les está asociado, según él, es a la que se presta mayor atención.
b) Representaciones semióticas: son producciones constituidas por el empleo de
signos que pertenecen a un sistema de representación, el cual tiene sus propios
constreñimientos de significancia y de funcionamiento.
Dice Duval (1993) que las representaciones semióticas no solamente cumplen con la
función de comunicación, sino que juegan un papel primordial en: el desarrollo de
las representaciones mentales, el cumplimiento de diferentes funciones cognitivas, la
producción de conocimientos. No obstante, las diferentes representaciones
semióticas de un objeto matemático son absolutamente necesarias pues, los objetos
matemáticos no son directamente accesibles.
Duval (1999), atribuye la especificidad de las representaciones semióticas a que:
“son relativas a un sistema particular de signos: el lenguaje, la escritura algebraica
o los gráficos cartesianos, y en que pueden ser convertidas en representaciones
“equivalentes” en otro sistema semiótico, pero pudiendo tomar significaciones
diferentes para el sujeto que las utiliza.”
44
Según Duval (1999), los sistemas semióticos deben cumplir las tres actividades
cognitivas inherentes a toda representación para devenir un “registro de
representaciones”, siendo estas:
i) La presencia de una representación identificable: consiste en hacer una
selección de los rasgos y datos del objeto a representar en un sistema
determinado, lo cual depende de las reglas de formación que son propias
del registro semiótico en el cual se produce la representación.
ii) El tratamiento de una representación: tal actividad nos hace pensar en una
transformación, la que se lleva a cabo dentro del mismo registro donde ha
sido formada dicha representación. El tratamiento es una transformación
interna a un registro. Naturalmente existen reglas de tratamiento propias
de cada registro. Su naturaleza y número varían considerablemente de un
registro a otro (Duval, 1999). Así en el caso de un lenguaje algebraico,
tenemos por ejemplo, un binomio elevado al cuadrado
, el
cual está en un registro como una expresión algebraica. La expresión
puede verse como un producto de binomios (
) siguiendo
con el mismo registro: expresión algebraica; provocando de tal forma
transformaciones de tratamiento.
iii) La conversión de una representación: al hablar de la conversión de una
representación, nos referimos a la transformación de dicha representación
a una representación de otro registro. La conversión es una
transformación externa al registro de partida. Con el lenguaje gráfico
podemos considerar el ejemplo de la función, vemos que una expresión
algebraica al ser transformada a otro registro puede representar una
parábola en los ejes coordenados o bien, también podemos transformarla
a un registro de tabulación donde nos daremos cuenta que el codominio es
el cuadrado de cada elemento del dominio; o bien, si la transformamos a
una representación de parejas ordenados, observaremos que las ordenadas
son el cuadrado de las abscisas. Así, notamos, que a pesar de que los
registros de representación sean diferentes, la idea de que allí hay una
función (o relación) no se abandona. Por lo tanto, la conversión es una
45
actividad cognitiva diferente e independiente de la del tratamiento.
(Duval, 1999)
Registro algebraico
Registro gráfico
4
3
2
1
-2
-1
1
2
Registro tabular
X
-2
-1
0
1
2
y
4
2
0
2
4
Registro de pares ordenados
Y entonces, ¿Cómo será que lo representaremos en lengua natural?
He aquí se retoma la interrogante
¿Qué importancia tiene las diferentes representaciones en la adquisición de un
concepto?
De la Rosa, en uno de sus artículos (Hitt y Hernández, 2000), cita entre otros a:
Duval (1999); Hitt (1996); Zimmerman y Cunningham (1991); Eisenberg y Dreyfus
(1991); como autores que han mencionado la importancia de las diferentes
representaciones semióticas en la adquisición de un concepto matemático; y a la vez
enfatiza “… la necesidad de contar con varios sistemas semióticos de representación
para el pensamiento humano, ya que cada sistema proporciona medios específicos de
representación y procesamiento para el pensamiento matemático.” “… un concepto
46
matemático visto en sus diferentes representaciones, proporcionará información
específica, y por lo tanto el concepto estará más íntegro”. (De la Rosa, 2000)
Hitt (2000), dice que: la investigación en educación matemática ha señalado la
importancia del uso de varias representaciones en el aula para la formación de
conceptos.
El trabajo de Duval (1998) considera imprescindible las tareas de conversión entre
representaciones para la formación de conceptos. Los problemas del aprendizaje,
desde ese punto de vista puede ser explicado en términos de que los profesores de
matemáticas hacen un fuerte énfasis en los procesos algebraicos restringiendo su
enseñanza a un solo tipo de representación que es la algebraica. Es usual que el
profesor le solicite el paso de una representación a otra, como sucede en la
graficación de funciones, pero, ¿es común que un profesor solicite que dada la
representación gráfica de una función deduzca una expresión algebraica?
Duval (1988) señala que: “la conversión del sistema algebraico al gráfico es más
fácil que el inverso es decir del gráfico al algebraico”… También afirma que: “para
la ecuación de la recta, lo que importa en la escritura
y la constante
, es el coeficiente
y que para las rectas no paralelas a los ejes hay solamente 18
representaciones gráficas que son distintas visualmente de manera significativa y
para el caso de paralelismo a uno de los ejes, hay desaparición de la variable que se
refiere a este eje.
Según Duval (1998), la conversión de la representación gráfica hacia la escritura
algebraica exige que se discriminen bien las unidades significantes propias de cada
registro, es decir, es necesario identificar en el registro gráfico las variables
pertinentes con sus diferentes valores y, en la escritura algebraica de una relación las
diferentes oposiciones paradigmáticas que dan una significación, y no solamente un
objeto, a los símbolos utilizados. (cita de Del Castillo, (*), p.71)
Al respecto y con particularidad del concepto de función, Moreno (1996), se refiere
de la siguiente manera:
“las representaciones se basan en una función muy importante del
sistema cognoscitivo que es la función simbólica. Simbolizar es la
capacidad para concebir que algo tome el lugar de otra cosa. Al
47
lenguaje matemático pertenecen las múltiples representaciones que
hay en la matemática, por ejemplo: durante el proceso de
construcción del concepto de función, se suelen emplear diversas
representaciones: la tabla de valores de la función, la gráfica de la
función, una fórmula mediante la cual decimos viene dada la
función”.
Descripción de la Estructura de las Representaciones Semióticas y
de su funcionamiento
(Concepto, objeto
cognitivo)
Representado
Representante de
un Registro A
1
Tratamiento en el registro
C
4
Representante de
otro Registro B
3
2
Tratamiento en el registro
Las flechas 1 y 2 corresponden a las transformaciones internas en un registro. Las flechas 3 y 4 corresponden a las
transformaciones externas, es decir, a las conversiones por cambio de registro. La flecha C corresponde a lo que llamaremos la
comprensión integradora de una representación; ella presupone una coordinación de dos registros. Las flechas punteadas
corresponden a la distinción clásica entre representante y representado. Naturalmente, ese esquema considera el caso más
simple de la coordinación entre dos registros.
Por otro lado debemos dirigir nuestra atención a la noesis, que es considerada como
la aprehensión conceptual de un objeto, pero la interrogante es ¿Cómo el
pensamiento humano puede apropiarse de un objeto y conceptualizarlo? Tendremos
que pensar en algo que ayude a interiorizar el objeto; esta operación descansará en
una representación que, parece ser ese algo que facilite la interiorización del tal
objeto.
Con lo anterior concluimos, como afirma Duval, no puede haber noesis sin semiosis;
es decir, no puede haber aprehensión conceptual de un objeto sin algún representante
de este; además de que tal objeto no debe ser confundido con sus representaciones de
varios registros.
48
Pensemos en algún signo, por ejemplo 1, este es un ente abstracto, y lo distinguimos
como un número y, de hecho, todos los números son entes abstractos; sin embargo,
hay una representación semiótica para referirnos a él, y esta representación es
interiorizada (codificada) a través de la noesis, lo cual provoca interiorizar ese signo
no el número uno.
“NO PUEDE HABER NOESIS SIN SEMIOSIS”
Sin embargo, al pasar de un registro de representación a otro (conversión) o
representar un objeto en un mismo sistema de representación (tratamiento) no es tan
evidente para los alumnos. Por ejemplo, en el caso de la gráfica de la función, al
alumno le cuesta trabajo entender que gráficamente esa expresión es una recta que
pasa, digamos por el origen, y tiene una pendiente positiva. Vemos entonces que los
problemas que enfrentan los alumnos para realizar el tratamiento y la conversión de
representaciones es una dificultad a la que Duval llama fenómeno de no congruencia,
el cual se da entre las representaciones de un mismo objeto que provienen de
sistemas semióticos diferentes y el pasaje entre ellas no es inmediato (Duval, 1999)
De acuerdo con Duval, cuando los pasajes de una representación se dan de manera
espontánea son congruentes y deben cumplir 3 condiciones: correspondencia
semántica entre las unidades significantes que las constituyen, igual orden posible de
aprehensión de estas unidades en las dos representaciones y, convertir una unidad
significante en la representación de partida de una sola unidad significante en la
representación de llegada. Pero cuando no se cumple alguna de las tres condiciones
entonces diremos que las representaciones no son congruentes entre ellas y el pasar
de una a la otra no es espontáneo. Igualmente puede ocurrir que dos representaciones
sean congruentes en un sentido de conversión y no congruentes en la conversión
inversa.
Hitt (1997) en relación al uso de representaciones señala lo siguiente: “la
preocupación existente entre los matemáticos y profesores de matemáticas porque
los alumnos no confundan los objetos matemáticos con sus representaciones, ha
desfavorecido durante mucho tiempo el uso de las llamadas representaciones
intuitivas y privilegiando las representaciones en el sistema simbólico algebraico,…
entre otras razones ¡por ser el más formal! Sin embargo, la apropiación de un objeto
matemático difícilmente puede lograrse sin recurrir a diversas representaciones del
49
mismo. La manipulación de representaciones matemáticas por parte de los
estudiantes les proporciona los medios para construir imágenes mentales de un
objeto o concepto matemático, y la riqueza de la imagen conceptual construida
dependerá de las representaciones que el estudiante haya utilizado. De ahí la
importancia que debe darse al uso de las diversas representaciones matemáticas en
la enseñanza de las matemáticas”.
El acercamiento teórico de Duval nos proporciona elementos teóricos que nos
obligan a considerar el papel importante de las representaciones para generar un
concepto. Al centrar su atención en cada uno de los registros de representación,
Duval analiza los rasgos propios del registro, que son importantes para entender la
construcción de conceptos. Como ya se ha mencionado por ejemplo, en el registro
gráfico y en relación a las funciones lineales él introduce la noción de variable visual
y nos convence de la habilidad que inconscientemente hemos desarrollado sobre las
variables visuales para analizar una gráfica y poder determinar su correspondiente
expresión algebraica.
Variables visuales
Valores
Subiendo
Sentido de inclinación
Variables visuales
Valores de la variable
Bajando
Visual
Unidades simbólicas
Coeficiente de
Unidades simbólicas
Correspondientes
>0
Correspondientes
<0
la variable
coeficiente de variable =1 Sin valor numérico
Partición
para el trazo recto
Implantación de
Zona(dimensión 2)
(símbolo de la relación)
<, >, …, =
(anclaje: sentido lineal de Simétrico
coeficiente de variable <1 Valor numérico
la tarea
Zona(dimension1)
escritura)
Angulo más pequeño coeficiente de variable >1 Valor numérico
Angulo
con
ejes
Forma de
la los
tarea
se añadedeuna constante >1, <1
Signo
Trazo Angulo
curvo más grande (exponente
, =1 +
(anclaje:
eje horizontal)
en dimensión
1
Trazo Corta
recto por arriba
Posición sobre el eje y
Corta por abajo
(anclaje: origen)
Corta en el origen
se substrae una constante
la variable)
sin corrección
Signo –
Sin signo
Diversidad de Registros de Representación:
Sentido de inclinación
Angulo con los ejes
Posición con el eje y
Ejemplo de escritura
50
Partición simétrica
Trazo subiendo
Angulo más grande
Angulo más pequeño
Corte en el origen
y=x (y= +1x)
Corte por arriba
y=x+1
Corte por abajo
y=x-1
Corte por el origen
y=2x
Corte por arriba
y=2x+1
Corte por abajo
y=2x-1
Corte en el origen
y=
Corte por arriba
Corte por abajo
y=
y=
Trazo bajando
………….
………..
y= -x…
51
CAPITULO 3
52
DISEÑO METODOLÓGICO
3.1 Tipo de Investigación
A partir de los objetivos a alcanzar y las preguntas que se pretende encontrar
respuesta, la investigación es de carácter cualitativo. Estando orientada a explorar e
identificar las dificultades que presentan los estudiantes al realizar tareas de
interpretación, de conversión, de construcción, relacionadas con el concepto de
función, y sus diferentes representaciones (verbal, tabular, algebraica, gráfica)
propuestas en las diferentes actividades con las situaciones asignadas.
3.2 Población y Muestra
La investigación se realiza con una población de 32 alumnos del curso de Cálculo I,
del tercer periodo, de la Universidad Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu
Santo; a ellos se les aplicó el Ejercicio Diagnóstico, de los cuales se selecciona una
muestra de 15, tomando en cuenta las respuestas que eran consideradas como
53
significativas para
denominarlos nuestro “grupo de estudio”. Es decir aquellos
alumnos en cuyas respuestas mostraban mayor habilidad o dificultad en cuanto a
tareas de interpretación, conversión, representación, visualización en situaciones
planteadas.
3.3 Metodología
Esto constituye la parte medular del proceso de investigación. Intentaremos hacer
una descripción resumida de las tareas realizadas para el desarrollo de la
experimentación que implica nuestra investigación.
Exploración: es el momento en el que aplicamos el ejercicio diagnóstico (ver
anexo), el cual consta de 4 situaciones que implican tareas fundamentales
para nuestra investigación como: definir y ejemplificar una función,
determinar si una figura dada es o no una función, escribir la representación
algebraica de las funciones representadas en un plano cartesiano.
Selección de la Muestra: después de realizar el análisis de las respuestas al
ejercicio diagnóstico, partiendo de ellas, y considerarlas como significativas,
se procede a la selección de los alumnos que forman parte de nuestro “grupo
de estudio”.
Desarrollo de reuniones de trabajo:
Reunión 1. Consiste en exponer al “grupo de estudio”, quienes no
están acostumbrados a este tipo de actividades de investigación, la
idea y el propósito del estudio. Estableciendo las condiciones para
poder llevarlo a cabo, tales condiciones consistían sobre todo en la
disponibilidad para trabajar en horario diferente al de las clases.
Reunión “n”: se llevaron a cabo 10 reuniones, en las que se
desarrollaron igual número de actividades, con un promedio de
tiempo entre 1 o tres hora reloj, esto dependía del grado de dificultad
54
que el “grupo de estudio” encontraba en cada una de las situaciones
asignadas.
3.4 Instrumentos
Para la obtención de datos, se aplicó un ejercicio diagnóstico, 8 actividades de
situaciones de aprendizaje y una actividad final. De igual manera se tomaron apuntes
de observaciones.
Las actividades siguen una secuencia en cuanto al grado de dificultad de las tareas a
realizar por el grupo de estudio en las diferentes situaciones que se les presentan.
Dichas actividades involucran: lectura e interpretación de gráficas; estudio de los
fenómenos de cambio; y el concepto de función, características de su
comportamiento. Contienen un conjunto de situaciones en las cuales el estudiante
debe realizar conversiones entre descripciones verbales y gráficas que representan
situaciones en un contexto determinado. Se debe prestar especial atención al
significado cualitativo de las gráficas, dado que es uno de los aspectos menos
estudiados en todos los niveles de enseñanza.
De igual manera se presentan situaciones que son de construcción, el estudiante debe
generar en cada tarea algo, ya sea una tabla, una gráfica o una expresión algebraica,
abordando especialmente fenómenos de cambio, como el medio para intentar un
acercamiento a la dependencia funcional entre variables. Así como también
introducir de manera discreta el concepto de función, a través de situaciones donde
se utilizan los conceptos en que se apoya o fundamenta como ser variables
dependiente e independiente, dominio, crecimiento. Procurando de esta manera que
el estudiante se familiarice con los diferentes lenguajes de representación del
concepto de función: expresión verbal, tabla de valores, expresión algebraica,
gráfica. El propósito es conocer primeramente el nivel de conocimientos del “grupo
de estudio”, acerca de las tareas que son objeto de estudio, seguidamente conocer la
forma de abordar o de llegar a la solución de las situaciones planteadas.
55
56
CAPITULO 4
57
ANÁLISIS E INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
4.1 Análisis de Resultados
A continuación hacemos la presentación de un análisis de tipo cualitativo de la
información recogida a través del proceso de desarrollo de la investigación, para lo
cual se analizaron de manera separada el ejercicio diagnóstico y cada una de las 8
actividades de la secuencia, así como también de la actividad final.
EJERCICIO DIAGNOSTICO
El Ejercicio Diagnóstico es aplicado a un total de 30 alumnos del curso de Cálculo I,
sección 0701, de la Universidad Católica de Honduras, Campus Dios Espíritu Santo.
58
El propósito que seguimos con este ejercicio diagnóstico, es el de explorar los
conocimientos que tienen los alumnos acerca del concepto de función, así como
también el detectar indicios de visualización y conversión de representaciones,
presentándoseles situaciones que implican definir una función, dar ejemplos de
funciones, dada una figura decir si es o no una función, de la representación gráfica
de una función dada se le pide escribir su forma algebraica.
Mostramos los resultados obtenidos, siendo la primera situación presentada a los
alumnos, partiendo de sus conocimientos previos ¿Qué entiende por función?
A lo que el total de los alumnos dieron respuesta, de los cuales 15 de ellos (el 50%)
lo hace con argumento matemático, pero esto no quiere decir que contesta
correctamente. Muchos de ellos manifiestan en sus ideas cierta ambigüedad o estar
muy distantes en cuanto a su noción respecto al concepto de función. De esto último
hay evidencia en la respuesta proporcionada por el alumno W, veamos:
Interesante la mención del término «variaciones», sobre todo al referirnos a
funciones, pero el alumno no define lo que es una función. Está muy lejos de ello. En
las siguientes respuestas hay una mezcla de términos, que muestra que no hay un
entendimiento verdadero del concepto de función, tenemos el caso del alumno E:
O, en el caso del alumno A
59
Pero, una de las alumnas, S, emplea términos como el de “pares ordenados”,
proporcionando la definición exacta de función, esta definición es de tipo conjuntista,
en didáctica se prefiere otra definición, pero es totalmente correcta:
Las alumnas Y y M fueron más precisas, sin alejarse de una respuesta aceptable, es
decir hay un acercamiento, en el cual hacen mención parcial a la relación de
dependencia de una variable con respecto a otra. Así tenemos la respuesta de Y:
La respuesta de M:
60
Podemos decir, tienen una idea cercana acerca del concepto de función, pero vale
agregar que podrían encontrarse en un nivel de proporcionar una definición, pero,
¿de entenderla? O ¿de comprenderla? Eso sería otra cosa. Como lo menciona Hitt
(1996): “es una de las grandes dificultades que afrontan alumnos y profesores de
enseñanza media”; pero con tales resultados nosotros diremos que también afrontan
tales dificultades los de enseñanza superior.
En la siguiente situación se pide a los alumnos que proporcionen 3 ejemplos de
función, y que explique por qué considera que son funciones. A esta situación, los
ejemplos dados por los alumnos son expresados en forma algebraica, representando
un 80% de las respuestas obtenidas, siendo un caso el de R, para quien la función es,
lo que escribe como expresión algebraica, dice porque son funciones, pero considera
que de lo algebraico depende lo gráfico, veamos:
El resto de los alumnos, que representan un 20%, responden proporcionando más
elementos, es decir no se limitan a lo algebraico, también dan la forma tabular y la
gráfica, tal es el caso de el alumno E,
Cabe mencionar, que este tipo de respuestas provocaron atención, lo que motivó a
preguntarles ¿de cuál de las representaciones partieron sus respuestas? Pero igual,
todo resulta de la misma manera, parte de lo algebraico, sin comprender el hecho de
que a diferencia de sus otros compañeros lo que ellos dieron son ejemplos en otro
registro. Es evidente que para nuestros alumnos una expresión como “el pago de
impuestos depende del salario” (forma verbal) no es considerada como función.
61
Podremos pensar que este tipo de representación no fue expuesta en clases de cursos
anteriores ni como ejemplos del concepto.
Seguido, se les presenta 6 figuras (ver Anexo) para lo cual se les pide que determinen
si representa cada una de ellas la gráfica de una función, explicando su respuesta. A
esta situación, en un 100% la responden haciendo uso de la regla de la línea vertical,
para determinar si es o no una función, presentado de maneras diferentes, pero
evidenciando la pobre idea que tienen acerca de la noción de función, veamos como
presenta su respuesta la alumna L:
Y la manera como la presenta S,
El procedimiento del trazo de la recta vertical, es lo que hace determinar en los
alumnos si la figura dada es o no una función, dejando muy claro de nuevo, la no
aprehensión del concepto de función.
62
Y, la situación que luego se presentó, es una de las cuales se tenía gran expectativa,
pues se enmarca en la conversión que genera más dificultad como es el paso de la
representación gráfica a la representación algebraica. Las respuestas a esta situación
son las que nos interesaban más, pues… como ya hemos dicho antes, es en donde se
ha demostrado que es, en esta dirección de conversión (del registro gráfico al
algebraico) que menor o ninguna atención se le presta, y por consecuencia, los
alumnos tienen mayor dificultad. ¿Qué pasó con las respuestas?
Para responder L, escribe la representación algebraica, pero para ello elabora una
tabla de valores para identificar los puntos dados en la gráfica, siendo este un buen
indicio de su comprensión respecto a esa visualización matemática esperada y el uso
de diferentes representaciones
A esta situación 5 de los alumnos que son los que respondieron, lo hicieron
utilizando similar procedimiento, el resto que representa un 84% no dieron respuesta
alguna, lo que nos obliga el prestar atención a esta tarea, pues nuevamente se
manifiesta el grado de no ser posible por los alumnos realizarla.
Después de la aplicación y análisis del ejercicio diagnóstico, tenemos lo que es las 8
actividades de las secuencias.
ACTIVIDAD 1
63
En esta actividad, se presenta al alumno situaciones contextualizadas, en las cuales
debe realizar tareas de conversión de un registro a otro, y de interpretación. La
primera situación propuesta a los alumnos es la siguiente:
P.1. En una papelería se venden 5 cajas de lápices. El número de lápices y el precio
correspondiente a cada caja se muestran en la tabla;
Número de lápices
Caja1
Caja 2
Caja 3
Caja 4
Caja 5
4
6
8
10
14
42
60
72
100
47
por caja
Precio por caja en
lempiras
Primeramente se les pide que representen en una gráfica la situación presentada, para
lo que se obtuvieron los siguientes resultados:
Representó en una
#
%
Total
Si
15
100%
15
No
0
0%
0
Variable “X” Cantidad de lápices por No. Caja
10
67%
10
5
33%
5
Gráfica
Variable “Y” Precio x caja
Variable “X” Precio x caja
Variable “Y” Cantidad de lápices
Aquí, la asignación de variables que se establece tiene un aporte significativo, en
particular al responder la interrogante planteada luego, para el caso E, es uno de los 5
alumnos (33%) que asigna a la variable “x” precio por caja, y a la variable “y”
cantidad de lápices,
64
En cambio L, forma parte de los 10 alumnos (67%), que asignan a la variable “x”
cantidad de lápices por número de caja, y, a la variable “y” precio por caja,
Después de representar la situación en forma gráfica, se les pregunta
a) ¿Cuál caja conviene más? ¿Por qué? Es ahora donde veremos la significancia de
la asignación de variables que realizaron los alumnos al momento de pretender
visualizar lo que resulta en la gráfica que obtuvieron, siendo esto fundamental al
momento de responder, tomamos de nuevo el caso de E, para quien su variable
independiente es el “precio x caja” respondió de la siguiente, manera:
En cambio, L, quien toma como variable independiente “cantidad de lápices x caja”,
pero además, para responder hace mención de lo que ve en la gráfica, veamos como
lo hizo:
Pero, A, nos ayuda a completar siendo puntual con sus palabras, en lo que se refiere a
la asignación de las variables,
65
Como dice Leinhardt (1990), una interpretación cualitativa de una gráfica en su
sentido más amplio, requiere mirar toda la gráfica o parte de ella, y darse cuenta del
significado de la relación entre las dos variables y, en particular, su patrón de
variación conjunta. (p.13), lo cual queda evidenciado con las respuestas de los
alumnos, no es suficiente la gráfica que resulta sino la asignación de variables que se
dispuso, lo que influye en la decisión más conveniente, para este caso, y de manera
general.
Después se presenta a los alumnos la situación de: Ramón que está enfermo, su
mamá, le toma la temperatura en varias ocasiones, y obtiene diferentes mediciones
(ver Anexo Actividad1); y se pide a cada alumno que: elabore una tabla que muestre
la relación entre las horas y las mediciones de temperatura; represente esta situación
en una gráfica; que conteste ¿En qué momento la temperatura debió ser de 380? y
¿Cuando la temperatura fue estable?
En su totalidad, la representan en una tabla y en la gráfica, mostrando la relación
entre las horas y los cambios de temperatura, pero donde manifiestan sus diferencias
y dificultades es en su interpretación, por ejemplo veamos el caso de R:
66
Es de considerar que ella basa su respuesta en la gráfica, estableciendo un intervalo
entre las 16 y 18 horas, pero al observar la gráfica que elabora no podemos ver esa
temperatura en las 18 horas como ella lo dice. Revisemos lo que P responde:
Aunque tiene un ligero error, en el momento de las 20 horas, llamamos “ligero” pues
ella logra salvar con la interpretación que hace a “en qué momento la temperatura
“debió ser” de 38°C”, siendo la única que responde, “a las 11 horas”.
Veamos la respuesta de A:
Las respuestas del resto de los alumnos, son similares a los casos presentados,
manifestando las mismas dificultades, en cuanto a la falta de comprensión de la
expresión “la temperatura debió ser”, así como de la capacidad de visualización de
67
los valores, ya sea en la tabla o en la gráfica para dar respuesta. Pero, tal dificultad es
superada podemos decir al responder “¿Cuándo la temperatura se mantiene
estable?”, por 5 alumnos (33%) pues responden no interpretando “estable” como
sinónimo de normal, sino como “la misma”, el resto de los muchachos (67%) no
logra ver de esa manera, siendo estos la gran mayoría.
Seguido se presenta a los alumnos esta otra situación; Toñito sale de casa a dar un
paseo, desde las 8 am hasta las 12 del día. Durante la primera hora lleva una
velocidad constante de 30km/h, y luego descansa una hora. Después del descanso
regresa a una velocidad de 15km/h. Se pide que: elabore una tabla de valores donde
se represente el tiempo (en horas) y la distancia a la que se encuentra de la casa;
proporcione una gráfica donde se represente esta situación.
En un 100% los alumnos responden a lo planteado en la situación, veamos cómo
responde L:
Y la respuesta de R:
68
La forma de expresarse de manera pictórica es casi similar. Si bien es cierto, antes
hemos dicho que en su totalidad los alumnos respondieron, estas dos alumnas son
quienes lo hacen de la manera más acertada, pero que no deja de manifestar la
dificultad de cómo concebir y representar el concepto de función. Cuando L dice “la
casa se encuentra a 30km/h”, o R “60 km dura en distancia… y 4 horas” es notable
la interpretación con cierta imprecisión de esta situación, en el resto de los alumnos
(el 86%) podemos decir que esta dificultad incide confirmando lo que dice Cuesta
(2007), en que no puedan establecer la relación de la distancia con las magnitudes
que se citan en la situación como son la velocidad y el tiempo, es decir, esa idea que
tienen de la dependencia de la distancia respecto al tiempo transcurrido.
Luego se presenta a los alumnos la situación de Ana Suyapa que en bicicleta realiza
la siguiente excursión: 1ra fase: va por un terreno plano (llano); 2da fase: sube una
montaña; 3ra fase: baja la montaña; 4ta fase: va, de nuevo, por un terreno plano; se les
pide que: dibujen una gráfica que muestre cómo cambia la velocidad con respecto al
tiempo durante toda la excursión. Explicando su gráfica. A lo que L responde
69
En este caso, comprendida la situación real, L grafica a partir de la descripción
verbal, expresando el cambio de variable dependiente como un dibujo de la situación
física (entorno). La alumna a partir del problema y de su representación gráfica al
igual que muchos de sus compañeros (el 93%) no reconoce que la velocidad depende
del tiempo transcurrido, sino, que lo comprende como que, depende de las
condiciones del terreno. Sin embargo la respuesta de B, está dada en cuanto a la
comprensión del comportamiento de la variable dependiente (velocidad), y su
relación con la variable independiente (tiempo), veamos
Él, identifica que la variable dependiente (velocidad) la cual asigna en el eje vertical,
está en función de la variable independiente (tiempo) ubicándole en el eje horizontal,
o sea, dibuja la gráfica de cambio de velocidad con respecto al tiempo, pero de igual
manera no reconoce la relación de dependencia de la variable dependiente
70
(velocidad) con respecto a la variable independiente (tiempo). He aquí la importancia
de las habilidades de visualización, y de acuerdo a las consideraciones teóricas, es
claro que se ha dejado de lado los argumentos visuales que son de apoyo en la
interpretación y aprendizaje significativo.
ACTIVIDAD 2
En esta actividad, se da continuidad a la lectura e interpretación de gráficas. Y la
primera situación presentada es que tomando en cuenta la gráfica (ver Anexo
Actividad 2), diga si las afirmaciones son correctas o incorrectas (justificando la
decisión). En su totalidad los alumnos acertaron decidiendo que la “afirmación
correcta” es la correspondiente al “inciso b”, pero solamente el alumno B, da la
justificación para cada una de las afirmaciones y su decisión de si es o no correcta,
veamos
Este alumno identifica las magnitudes que están representadas en cada eje “peso” y
“altura”, como por ejemplo en “es el… alto pero no el… pesado”, de igual manera
reconoce el significado del origen de las coordenadas y el sentido direccional de cada
eje de coordenadas, por ejemplo “… se aleja de 0 respecto al eje y”, o, “…está más
cerca de 0 en el eje x”. El hecho de que todos los alumnos decidieran como correcta
la afirmación del inciso b, no nos garantiza que hayan tenido la comprensión y
significancia de la interpretación a la situación, como la de su compañero, pues ellos
no proporcionaron justificación para su respuesta.
La siguiente situación a nuestro criterio, exige un poco más de razonamiento, en
comparación con la situación anterior veamos de qué trata y cuáles fueron los
resultados obtenidos.
P.2. Ana María planea estudiar el efecto de cultivo de girasoles en diferentes
maceteras. Las gráficas (ver Anexo Actividad 2) muestran cuatro resultados posibles
71
de su experimento. El eje horizontal representa el tamaño de las maceteras. El eje
vertical representa la altura de las plantas. Cuál gráfica está mejor descrita por cada
uno de los enunciados? Explique sus respuesta
Esta situación, generó muchas ideas controvertidas, pero interesantes, acerca de la
manera de interpretar una situación concreta. Solamente 5 de los alumnos (33%)
respondió dando la explicación, los cuales junto con el resto de los compañeros
seleccionaron “B” y “C”, para la descripción que refieren los enunciados. Veamos
para el caso lo que responde Lilian, quien hace referencia al eje x, y al eje y, para
denotar las magnitudes involucradas (tamaño y altura) respectivamente, así:
Y, Paola, quien da su interpretación de la manera siguiente:
Como podemos ver, casi siempre parten de una imagen mental que no se asocia la
relación existente entre las magnitudes. Tomamos para el caso lo que dice Leinhardt
(idem); las tareas en esta figura, llaman la atención de los estudiantes hacia el curso
general de la gráfica por ejemplo: “al aumentar el tamaño de la macetera, el tamaño
de la planta disminuye”, mas que a las cantidades exactas “¿Cuál es el aumento del
72
tamaño de la planta cuando el tamaño de la macetera aumenta cierto número de
unidades?” la interpretación cualitativa se asocia frecuentemente con características
globales.
Sigue diciendo: aunque las características globales pueden interpretarse ya sea
cuantitativamente o cualitativamente como en esta situación, es menos común
interpretar las características locales cualitativamente. La interpretación cualitativa
de gráficas es otro campo de poca representatividad en el curiculum de matemáticas.
Seguido se le presenta a los alumnos la situación dada a continuación: La gráfica (ver
Anexo Actividad 2) muestra cuánto tiempo lleva a los estudiantes evacuar el edificio
durante el simulacro de fuego. Debiendo dar respuesta a interrogantes planteadas, a
lo que respondieron:
Al común de las respuestas, E agrega la siguiente nota:
73
A nuestro parecer, es clara la ventaja que tienen los alumnos en esta situación, pues
refuerzan el sentido común, así como también las intuiciones y sus estrategias para la
verificación de la realidad, permitiéndoles atender toda la gráfica y así poder
visualizar en ella la relación entre dos variables que estan cambiando
simultáneamente, llegando a una comprensión y expresion en palabras más que en
números. El obtener resultados satisfactorios en esta situación, en la que los alumnos
han manifestado menor dificultad, que en las situaciones anteriores en las que les era
necesario ver la gráfica en forma global, y se confirma entonces lo que Janvier
(1981) dice: “… la instrucción en la graficación estaba demasiado enfocada en
habilidades cuantitativas y abstractas bien localizadas. Mas que comenzar con tareas
que requiriesen de los estudiantes leer y graficar puntos individuales…”; arguyó que
los estudiantes primero debían ser introducidos a gráficas cualitativas de situaciones
concretas, pidiéndoles verlas golobalmente en vez de verlas punto por punto” (citado
por Leinhardt, 1990, p.37)
ACTIVIDAD 3
En esta actividad los alumnos realizan tareas de representación en registro gráfico y
de interpretación, desarrollando su capacidad de visualización para reconocer la
definición del concepto de función, partiendo de lo siguiente:
P.1. Las tablas que se muestran aquí definen una regla de correspondencia;
a) La tabla (1) establece una correspondencia entre el conjunto
conjunto
X
1
2
3
4
Y
5
7
9
11
Tabla 1
• En forma gráfica represente los
datos dados en la tabla (1)
• ¿Qué interpretación puede dar
respecto estos datos?
b) La tabla (2) muestra la correspondencia entre el conjunto
X
Y
1
2
3
4
5
6
7
y es el
y el conjunto
• Represente
los
datos
proporcionados en la tabla (2) en
forma gráfica
• ¿Cómo interpreta estos datos?
Tabla 2
74
c) El conjunto de pares ordenados {(1,3); (3,5); (6,7); (8,7)} es equivalente a la
correspondencia mostrada en la tabla 3
X
1
3
6
Y
3
5
7
• Represente los datos de la tabla en
forma gráfica
• ¿Qué interpretación puede dar
respecto a estos datos?
8
Tabla 3
En su mayoria (el 80%) de los alumnos logra trasladar correctamente los datos
proporcionados en la forma tabular y representarlos en forma gráfica, resultando sus
interpretaciones interesantes, veamos algunos casos. Tenemos lo que realiza A; quien
hace una descripción del comportamiento de cada gráfica resultante, generando su
frase “como se oberva…” la inquietud de, si ese “se observa” estará generando la
habilidad de visualizar matemáticamente?, así
Ahora lo que realiza B
75
Ambos alumnos reconocen aspectos en términos como ser: “es lineal”, “asciende” o
“… el valor de x aumenta… va creciendo”, “desviación” y “comportamiento
horizontal”, los que forman parte de esa gama de subconceptos relacionados con el
concepto de función, lo que conlleva a suponer que no deberían presentar ninguna
dificultad al momento de responder lo que a continuación se les pide: ¿es:
La tabla 1 y su gráfica, una representación de una función?
La tabla 2 y su gráfica, una representación de una función?
La tabla 3 y su gráfica, una representación de una función?
En su totalidad los alumnos responden a esta situación, pero no de manera correcta
(el 86%), veamos la respuesta de P:
Podemos definir como una función
o relación que existe entre los
puntos o valores de “x” y “y” .
Según los datos de las tablas existe
tal correspondencia en las gráficas.
Para esta alumna, esa “correspondencia” que define a una función, se cumple, por lo
que para ella todas representan una función. Ahora tenemos lo que responde Y, para
quien solamente la primera correspondencia es una función,
76
Y, así es como solamente dos de los alumnos responden de manera acertada, con
argumentos
diferentes,
como
es
el
caso
de
B
cuya
respuesta
es
Y, el alumno A responde:
Lo anterior, permite identificar la dificultad en los alumnos de visualizar, cuya
importancia es de reconocer no solo en el descubrimiento sino también en la
descripción y justificación de resultados.
ACTIVIDAD 4
77
Esta actividad requiere de habilidad en graficar, y partiendo de ello lograr visualizar
efectos provocados por el cambio de valores de parámetros. Siendo la primera
situación: Para m=1, -1, 3, -3 y b=1, -1. En la expresión
o Construya la gráfica para cada caso; escriba lo que observa a partir de los
efectos que estos valores producen en las gráficas correspondientes.
Solamente dos de los alumnos (el 13%) no respondieron a esta situación, y tomamos
el caso de L por considerarlo el mas completo en comparación con el resto sus
compañeros, veamos;
Ella, sustituye en la expresión los valores propuestos generando la ecuación
correspondiente, establece los valores para “x” para encontrar los puntos
expresándolos en una tabla de valores, localiza los puntos en el plano y los une,
siendo esta la tendencia en los alumnos, llama la atención frases o términos como
“… recta suave y continua” o “pendiente”. Pero en cuanto a los efectos que
producen los valores en las gráficas, si bien es cierto menciona “pendiente”,
esperábamos obtener respuestas que argumentaran por lo menos por ejemplo “¿qué
valor es el de la pendiente?”, o, ¿Qué valor es el que produce esa elevación que
define esa pendiente?, ¿Qué pasa cuando cambiamos el valor para “b”? y en ninguna
de las respuestas se obtuvo. Y es aquí, en situaciones abstractas, pues es con las que
más estamos “familiarizados” o las que más se utilizan para graficar, donde los
78
alumnos deben tener habilidad para visualizar como en este caso particular los
efectos producidos con los diferentes valores en las gráficas correspondientes.
A diferencia de la anterior, en la siguiente situación que se presentó a los alumnos los
valores para m y b, son fijos, y se proporcionan los valores que se asignan a x,
veamos en qué consiste y cuáles fueron los resultados.
P.2. En el plano cartesiano grafíque la expresión
Si
para x= 4, 2, 0;
%
No
%
Lo hizo
Total
pero
incorrecto
Grafica la expresión correctamente
15
100%
0
0%
0
15
Da el valor de la pendiente, correctamente
11
73%
4
27%
0
15
Dice que información de la recta proporciona la
pendiente
4
27%
7
47%
4
15
Dice los puntos a seleccionar para determinar
comportamiento de la gráfica
5
33%
6
40%
4
15
Dice que ocurre si se mantiene fijo el valor de un
parámetro (pendiente) y el otro varía
5
33%
10
67%
0
15
Hasta ahora y de acuerdo a los datos porporcionados en la tabla, podemos decir que
los alumnos no han manifestado mayor dificultad en cuanto a graficación de
expresiones, en su totalidad, en esta situación, realizaron la gráfica para la expresión
y valores sugeridos. Después de hacer la gráfica se pide a los alumnos contestar
¿Qué valor corresponde a la pendiente?
Veamos lo hizo L, quien después de calcular los puntos de acuerdo a los valores
establecidos y presentarlos en forma tabular, luego localizarlos en el sistema de ejes
cartesianos; encuentra el valor de la pendiente siguiendo la fórmula
,
obteniendo “-2”
79
*¿Qué información de la recta proporciona el valor de la pendiente? Como
observamos en la respuesta que da L, los alumnos emplean palabras como
“elevación” o “inclinación” para decir lo que el valor de la pendiente proporciona a
la recta.
*¿Qué puntos se deben seleccionar para dar una indicación precisa del
comportamiento de la gráfica? Los alumnos que respondieron (5) lo hicieron de la
manera siguiente:
*¿Qué ocurre si se mantiene fijo el valor de un parámetro (pendiente) y el otro
varía?
Dada la importancia del conocimiento del significado de los parámetros “m” y “b”
en la expresión
y su relación con el concepto de función se esperaba
que a través de las situaciones presentadas los alumnos hubiesen ya adquirido dichos
significados, pero los resultados permiten mostrar claramente, que no es así, y su
habilidad de visualizar hasta ahora no es evidente, pues no percibimos que hayan
establecido la relación existente entre los parámetros “m” y “b” con funciones.
Siendo menos ambiciosos, también esperábamos que pudieran visualizar el hecho de
que por ejemplo, “b” es la intersección con el eje y, es decir que la gráfica de
80
, corta al eje y en el punto (0, b), así como también que efectos produce
en la grafica el cambiar dichos parámetros.
ACTIVIDAD 5
En esta actividad las situaciones que se proponen requieren de tareas de conversión
de un registro gráfico a algebraico, tareas de interpretación, siendo fundamental para
los resultados las habilidades de visualización. Como primera situación, se presenta a
los alumnos 4 descripciones gráficas de funciones lineales en sistemas con diferentes
escalas de unidades (ver anexo Actividad 1). Y se les pide elegir la función que
describa cada recta, explicando para cada caso la razón de su elección.
Para la figura A), la respuesta que se obtuvo es:
Para la figura B), se obtuvo como respuesta:
Y, para la figura C) la respuesta obtenida fue:
81
En cuanto a la figura D), no hubo respuesta.
La escala utilizada en cada una de las figuras presentadas en esta situación, propicia
un elemento más, para que, los alumnos muestren claramente sus dificultades en
tareas de interpretación, de conversión en la dirección de registro gráfico a registro
algebraico, así como también su grado de visualización. Esta tarea de reconocer la
misma función en diferentes representaciones, es una tarea difícil, requiere de gran
habilidad para visualizar matemáticamente, es decir, la tarea de identificar para una
transformación específica de una función en una representación su correspondiente
en otra representación y, como Hitt (1997) menciona: “ el concepto conocimiento de
un concepto es estable en en alumno, si este es capaz de articular sin
contradicciones diferentes representaciones del mismo, así como recurrir a ellas en
forma espontánea durante la resolución de problemas” (p.195)
Se esperaba que los alumnos pudiendo abarcar tareas de interpretación, así como
aplicar sus habilidades de visualización lograran la identificación de dos gráficas en
apariencia diferentes (sus escalas son la diferencia), como representaciones de la
misma función. Siendo así que, las gráficas B, C, D representan la misma función
. También pudieran darse cuenta que las gráficas A y B que parecen la
misma, son representaciones de dos funciones diferentes, en donde la primera
corresponde a
, y la segunda es de
. Hemos de considerar que esta
situación genera cierta confusion visual, lo que conlleva a afirmar lo importante y
necesario de la visualización en la adquisicion y comprensión del concepto de
funcion.
Considerando lo que al respecto Leinhardt (idem) dice: “una comprensión completa
de las representaciones gráficas significa darse cuenta de que características visuales
de la gráfica no cambiaran bajo el cambio de escala (las intercepciones con los ejes)
y que características cambian cuando se alteran las escalas (los angulos geometricos
que la recta forma con cada uno de los ejes).
Seguido se pide a los alumnos que enlacen 5 de las 8 ecuaciones proporcionadas con
sus gráficas. Explicando la razón de su elección. (ver Anexo Actividad 5) y además
que mencionen algunos aspectos relevantes de cada una de las elecciones.
Obteniendo como resultados los presentados en la tabla siguiente:
82
Enlace de
5/5
%
Mas de 1
pero menos de 5
%
Todas correctas
9
60%
1
7%
Ninguna correcta
0
Algunas correcta
2
0
total
67%
3
13%
%
20%
20%
13%
Los alumnos en su mayoria (el 80%) dieron respuesta a la situación presentada, y la
mas completa es la de L, veamos
Aquí, los alumnos debían estar prestos a pasar de la representación gráfica a la
algebraica y viceversa. Si bien es cierto, lograron enlazar la ecuación con su
respectiva gráfica, sin mayores dificultades, pero entre algunos aspectos relevantes
que mencionan por ejemplo “…a, g, b son lineas rectas”, acaso las otras no lo son?
Y es más, según con lo que luego consideran, esas mismas a, g, b solamente son
“lineas rectas” no las definen como función, pues como ellos destacan “c, d, son
funciones definidas…” “por puntos que se pueden observar”. Es acaso que las otras
no se conforman con puntos?. Esperabamos mencionaran aspectos, como por
ejemplo, si nos referimos a la recta que pasa por el origen tiene una ordenada cero.
Sus ecuaciones, por lo tanto son tres las posibles ecuaciones que le podrian
83
corresponder, ¿Cuáles serían esas tres ecuaciones? (la c, la e, o la h), pero una de
ellas tendriamos que descartarla ¿Cuál y por qué razón? (la h, pues su coeficiente es
negativo, siendo una recta decreciente, y ninguna de las rectas lo es).
Pasamos a la siguiente situación, siempre relacionada con la noción de función lineal
(ver Anexo Actividad 5), la cual ya había sido presentada en el ejercicio diagnóstico.
Insistimos con este tipo de situaciones, para lograr obtener mas evidencias en cuanto
al grado de visualización que tiene los alumnos para realizar tareas de conversión del
registro gráfico al agebraico, demandando como dice De la Rosa (2000) “… la tarea
de esta actividad es de gran dificultad ya que implica una mayor demanda cognitiva
(visualización de las variables visuales), veamos que sucede, y para ello tenemos lo
realizado por L
Si nos remitimos a los resultados obtenidos en el ejercicio diagnóstico con la misma
situación, estos no varían. De los 5 que respondieron (el 33%) siguen similar
procedimiento que el de L, el sistema de ejes lo marcan con escala proporcionada,
localiza los puntos que considera sobre cada una de las rectas, asigna valores a “x” y
evalúa representando los pares en una tabla, deduce la expresión. Las variables
visuales (sentido de inclinación, ángulos con los ejes, posición sobre el eje y) no son
reconocidas por los alumnos. No hace uso del significado de la pendiente, solo se
limita al cálculo de puntos y registrarlos en una tabla. No visualiza esos términos.
Respecto a esta dificultad que los alumnos presentan al pasar del registro gráfico al
algebraico, Duval (1998) dice: “esta conversión exige que se discriminen las
unidades significantes de cada registro, es decir es necesario identificar bien en el
registro gráfico las variables visuales pertinentes con sus diferentes valores y, en la
84
escritura algebraica de una relación, las diferentes oposiciones paradigmáticas que
dan significación, y no solamente un objeto, a los símbolos utilizados.”
ACTIVIDAD 6
Esta actividad retoma el cambio de parámetros, requiere por lo tanto de habilidad en
cuanto a la visualización matemática. Y, como primera situación se pide a los
alumnos que realicen la gráfica de cada una de las siguientes expresiones y que las
compare:
b)
Luego contestan ¿En qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian? ¿Tienen las
gráficas puntos en común? Si es así, menciónelos; ¿Qué puede concluir acerca del
efecto del signo del coeficiente “a” en la gráfica de una función cuadrática?
Es sorprendente, las respuestas dadas por los alumnos, sobre todo con lo
concerniente a graficación y siendo alumnos de Cálculo I. Solamente 11 de los
alumnos (el 73%) respondieron esta situación, pero de estos solo 3 hicieron las
gráficas de manera correcta. Iniciamos, con la respuesta de Y, (¡cursa Cálculo I!)
Veamos lo realizado por L, sus gráficas tampoco son satisfactorias, lo cual incurre en
el desacierto en las respuestas a las interrogantes planteadas;
85
La gráfica de E, y otros salvan la situación, veamos su respuesta, muy acertada
86
Igual, lo que B responde también es acertado, a diferencia de E, él hace las gráficas
en un solo sistema de ejes, y expresa otras ideas, veamos
Como lo expresa Santos y Agüero (*): “un aspecto importante del quehacer
matemático es investigar el comportamiento de ciertas relaciones a partir de un
análisis sistemático de algunos casos particulares”… “la representación gráfica
ayuda a visualizar los efectos que se producen al cambiar los valores del parámetro
en estudio”. Es claro, que los alumnos al realizar las gráficas, pudieron ayudándose
de la visualización, interpretar, cómo afecta el valor del coeficiente del término
cuadrático siendo este positivo o negativo, a la gráfica de una función cuadrática.
En la siguiente situación se pidió a los alumnos que realizaran la gráfica de cada una
de las expresiones cuadráticas y que las compare.
a)
b)
c)
En qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian?
¿Tienen las gráficas puntos en común? Si es así, menciónelos
A que conclusión puede llegar acerca del efecto del valor del coeficiente a en
la gráfica de una función cuadrática
87
Lo asombroso en alumnos que cursan Cálculo I, y es de nuevo el caso de Y
Es evidente, ella no puede graficar, y así como ella, la mayoría de sus compañeros (el
80%). Las gráficas de B son satisfactorias,
88
Con una mejor presentación en la graficación, este alumno logran tener un
acercamiento a describir el efecto que provoca el cambio de valor de “a” en una
funcion cuadrática.
Luegos se pide a los alumnos que realicen la gráfica de cada una de las siguientes
expresiones y siempre que las compare.
a)
b)
c)
b) En qué se parecen las gráficas? ¿En qué se diferencian?
c) ¿Qué puede concluir acerca del efecto del valor del coeficiente c en la gráfica
de una expresión de la forma
Sigue la tendencia de respuestas consideradas como aceptables o satisfactorias la de
los mismos 3 alumnos, y tenemos lo que responde A;
89
90
Ahora tenemos la respuesta de B
El, tiene más claro el efecto que provoca el cambio de valor de “b” en una función
cuadrática, siendo el único en lograr tal precisión.
De nuevo se presenta a los alumnos expresiones las cuales se les pide representarla
en forma gráfica, y que luego las compare,
a)
b)
c)
91
A lo que B responde de la manera siguiente,
En la graficación tiene error en la localización de uno de los puntos, en cuanto al
efecto que provoca el cambio de valor de “c”, le hizo falta mencionar lo que sucede
cuando “c” vale cero. Es notable el grado de visualización que que poseen los
alumnos, y la capacidad de interpretación respecto al efecto provocado con el cambio
de valores en parámetros en expresiones de una función.
Como lo señala Dreyfus (1990), uno de los campos de investigación actual se centra
en el estudio de las dificultades que presentan los alumnos en procesos ligados a la
visualización, tanto a los que se refieren a la interpretación que se hace a través de un
gráfico por ejemplo, así como también de los distintos subconceptos ligados al
concepto de función.
ACTIVIDAD 7
En esta actividad, el conocer, definir y establecer relación de subconceptos ligados al
concepto de función resultan necesarios
Se presenta a los alumnos la siguiente situación: En muchas aplicaciones con
frecuencia existe cierta correspondencia, entre dos conjuntos de números, por
ejemplo, la ganancia R resulta de la venta de x artículos vendidos a Lps 10.00 c/u, es
R=10x. ¿Qué otro tipo de correspondencia puede dar como ejemplo?
Solamente 5 alumnos respondieron a esta pregunta, y estas fueron algunas de las
respuestas. Respuesta de P
92
Respuesta de E
Respuesta de B
Siendo una minoría de los alumnos (el 33%) que da respuesta a esta situación, y
además tomando en cuenta lo que respondieron, es evidente que en los alumnos la
idea de la noción de función no está o es muy pobre, pues no pueden establecer la
relación o correspondencia entre dos cantidades o magnitudes, en la que exista la
dependencia de una de ellas con respecto a la otra, estando así inmerso el concepto
de función.
Seguido se les presenta la siguiente situación: El costo por pie cuadrado para
construir una casa es de Lps 220.00._ Exprese el costo C como función de x, es el
número de pies cuadrados . ¿Cuál es el costo de construcción para una casa de 2000
pies cuadrados?
93
Del 80% de los alumnos que respondió, en su totalidad lo hacen de esa manera.
Siguen ejemplos antes expuestos, pero no demuestran que estén comprendiendo que
existe una correspondencia entre dos magnitudes “costo” y “número de pies
cuadrados”, así como también determinar la relación de dependencia entre ellas.
Se les da luego, la siguiente situación: Supongamos que se presenta, durante la
organización de una excursión turística, la siguiente situación. Una empresa ofrece
en alquiler un autobus con capacidad para 15 personas, a un precio de 2000 lempiras.
Cada viajero debe pagar el mismo precio. ¿Cómo sabemos cuanto debe pagar cada
uno de los viajeros?
Para dar respuesta a la pregunta, lo deberá hacer realizando diferentes descripciones
de la relación que se establece entre la cantidad de personas que viajan y el pago
individual. Se pide que haga una descripción verbal para dar respuesta a la pregunta
anterior; sin marcar puntos exactos, en el sistema de ejes cartesianos, intente
describir la relación entre la cantidad de personas y el pago individual; construya una
tabla de valores para el número de viajeros y el precio que paga cada uno; ubique en
un sistema de ejes cartesianos los valores antes obtenidos, colocando en cada eje los
valores de la tabla y escriba una ecuación que exprese la relación entre el número de
personas y el precio individual.
A esta situación todos los alumnos dieron una respuesta, tenemos lo que responde L,
siendo la única que hace este análisis,
94
En comparación con los resultados de las situaciones anteriores, las respuestas de los
alumnos parecen ser más interesantes, como el caso de la interpretación de L,
cuando dice “…si la cantidad de viajeros varia…”
y luego “… entre más
pasajeros…” estará ella considerando que el número de viajeros puede variar solo
entre 1 y 15?
Ahora tenemos una interpretación ligeramente diferente, la respuesta de E
95
Quién también asevera que “conforme aumenten los pasajeros más barato será el
precio”
Esta situación los alumnos debian representarla de tres formas: forma verbal, forma
tabular y forma gráfica, lo cual solamente el 40% lo hizo de tal forma, otros
respondieron de manera incompleta. A la pregunta “ ¿Cómo sabemos cuanto debe
pagar cada uno de los viajeros?” los alumnos no fueron cautelosos al momento de
responder, pues manifiestan el que la falta de comprensión en cuanto al
procedimiento que debieron seguir para calcular el pago individual de cada pasajero,
y lo hacen dividiendo el total del alquiler del bus entre 15 correspondiente al número
de viajeros, no asumen el hecho de que al viajar una sola persona le correspondería
pagar el total del alquiler del bus.
Luego se les presenta la situación siguiente: Un fabricante sabe que el costo de
materia prima para elaborar su producto (pares de zapatos) es de 50.5 lempiras por
unidad de producción, es decir por cada par de zapatos. Elabore una tabla que
relacione la cantidad de pares de zapatos con el costo total de la fabricación.
96
Represente en una gráfica esta relación. ¿Qué puede decir del comportamiento del
costo de fabricación?, ¿Tiene sentido unir los puntos? ¿Por qué?, ¿Existe alguna
expresión algebraica que pueda expresar esta relación?
Esta situación contextualizada, resultó mas fácil para los alumnos, y todos dieron
respuesta, pero las dificultad se manifiestan en la interpretación de la mayoría de
ellos. Veamos el caso de B, a quién le hizo falta para una respuesta completa la
expresión algebraica, considerando que existe;
Para esta situación la respuesta de L es
97
A diferencia del alumno B, la alumna L no reconoce la dependencia de variables.
Cabe mencionar que a la pregunta “¿tiene sentido unir los puntos?”, en su mayoría
responden como lo hizo L “sí tiene sentido porque se puede observar mejor le
comportamiento de la gráfica”. Se esperaba obtener resultados en los que los dieran
indicios de identificar las magnitudes involucradas (“costo de fabricación” y
“cantidad de zapatos”), estableciendo la relación de dependencia de variables.
Después se les presenta la siguiente situación: Se conoce que la población de cierto
poblado va creciendo. Un economista reunió datos sobre el número de habitantes en
los años: 1990, 1992, 1995, 1999, 2001, 2004. Los datos se muestran en la siguiente
tabla:
Año1990
Tiempo(t)
En años
Poblacion
En miles
0
2
5
9
11
14
20.0
21.665
22.103
23.944
24.921
26.462
Represente en
una gráfica esta relación.
¿Qué puede decir del
comportamiento de la población? ¿Cuál es a su juicio, la razón de ese
comportamiento?; Tiene sentido unir los puntos, ¿Por qué?
En su totalidad, los alumnos hacen el intento de realizar la representación gráfica de
la situación, pero en cuanto a su interpretación, tienen siempre dificultad. Tenemos la
respuesta del alumno A:
98
La respuesta de E
La respuesta de L
A los alumnos les resulta difícil responder a las preguntas planteadas, manifestando
la dificultad para interpretar el comportamiento de la población, máxime que despues
de representada la gráfica, esta no resulta con la linealidad que de cierta manera
99
favorece o facilita esa tarea de interpretación y la capacidad de visualización en los
alumnos, quizás por ser a lo que están acostumbrados.
Después de las situaciones antes presentadas, surgen algunas interrogantes las que se
pide a los alumnos responder: ¿Cuáles son las magnitudes que varian en cada
situación estudiada?; ¿Cuál es la relación de dependencia en cada situación? Debe
argumentar su respuesta.
Para dar respuesta a las interrogantes planteadas a los alumnos estos debieron
observar la existencia de dos magnitudes que varían, es decir lo que llamamos
variables, así como también insistiamos haber establecido la relacion de dependencia
de esas variables, lo que estas respuestas y resultados nos genera gran expectativa.
Tenemos la respuesta de A
100
Los alumnos se contradicen con sus respuestas, como ejemplo, para A, la situación
“Población” no representa una función, y esta no depende conforme pasan los años,
pero se contradice al responder primero “¿Por qué es o no es una función?” y dice
que “la población varia conforme pasan los años” y luego al responder “si es
función; crece o decrece” y dice que “crece”.
Lo anterior nos permite hacer alusión a lo que Hitt (2005) dice en cuanto a que:
“producto de la enseñanza, tendremos alumnos que frente a una contradicción no
generaran un conflicto cognitivo (reconocimiento de que algo anda mal) y su
desempeño será bajo en la resolución de problemas”.
ACTIVIDAD 8
Esta actividad requiere el dominio de subconceptos ligados al concepto de función,
así como sus definiciones y comprensión de las mismas, la capacidad de conversión
en las diferentes representaciones de una función, y desarrollo de cálculos
algebraicos.
Sea f la función cuya gráfica esta dada en la figura (ver Anexo Actividad 8).
Algunos puntos en la gráfica estan marcados.
o ¿Cuál es el valor de la función cuando x= -6, x= -4, x= 0, x= 6?
o ¿Cuál es el conjunto de partida?, ¿Cuál es el conjunto de llegada?
o Enumere las intersecciones con los ejes. (recuerde que estos son los
puntos, si existen, donde la gráfica cruza o toca los ejes coordenados).
o ¿Dónde es creciente? ¿Dónde es decreciente? ¿Y dónde es constante?
Respondió a
Correcta
mente
%
Con un
Acerca
miento
%
Inco
%
No
respon
dió
%
Tot
Rreta
El valor de la funcion
para x=-6,-4,0
10
67
0
0
0
0
5
33
15
Conjunto de partida
0
0
2
13
8
54
5
33
15
101
Conjunto de llegada
0
0
0
0
10
67
5
33
15
Intersección en X
3
20
2
13
5
33
5
33
15
Intersección en Y
3
20
1
07
6
40
5
33
15
Crece
2
13
0
0
8
54
5
33
15
Decrece
2
13
0
0
8
54
5
33
15
Es constante
2
13
0
0
8
54
5
33
15
Y estas son algunas de las respuestas, veamos la de la alumna L
Respuesta de A
102
Respuesta de B
Es evidente que los alumnos no recurren a los argumentos visuales, y en esta
situación aludimos a lo que Dreyfus y Eisenberg (1991) dicen al respecto a estas
dificultades manifestadas por los alumnos, las cuales son causadas por la relación
que tiene el concepto de función con otros conceptos matemáticos como dominio,
imagen, crecimiento y decrecimiento, para este caso en particular.
Seguido se les propuso la situación dada a continuación
P.2. Una página con dimensiones de
por 11 pulgadas tiene un margen de
ancho uniforme x rodeando su parte impresa, como muestra la figura.
X
Apunta hacia la luna,
aun cuando falles,
aterrizaras entre las
estrellas.
X
Mas vale tu sonrisa
triste, que la tristeza de
no verte sonreír
X
Si piensas que todo el
mundo está contra tí,
recuerda que los
aviones se elevan
contra el viento
Si quieres ver las cosas
X
Se le pide al alumno que: Escriba una fórmula para el área A de la parte impresa de
la página como una función del ancho x del margen, indique el dominio y el rango de
103
de A; determine el área impresa cuyos márgenes tienen anchos de 1, 1.2, y 1.5
pulgadas; haga la gráfica de la función A=A(x)
Y presentamos algunos casos. Respuesta de Y
Respuesta de B
Respuesta de E
104
Se ha mencionado que los alumnos están acostumbrados a los procesos de
algoritmización, y algebraicos, en esta situación solamente 5 de los alumnos (33%)
hacen el intento por llegar a la respuesta, esperábamos resultados mejores, y a pesar
de estar los alumnos relacionados con procesos algebraicos, la relación del concepto
de función con otros campos de las matemáticas en este caso el álgebra, como lo
dicen Deyfrus y Eisenberg (idem) esto genera tal dificultad de nuestros alumnos en el
aprendizaje del concepto en cuestión.
Revisemos lo que pasa con la siguiente situación propuesta
P.3. Efecto de la gravedad de la tierra. Si cae una roca al suelo desde una altura de 20
metros, su altura H (en metros) después de x segundos será aproximadamente de
a) ¿Cuál es la altura de la roca para x=1 segundo? ¿para x=1.1 segundos? ¿para
x=1.2 segundos? Y para x=1.3 segundos?
b) ¿Cuándo golpea la roca al suelo?
c) Grafique
105
Presentamos las respuesta de Y
Respuesta de A
En esta situación, solamente 6 de los alumnos realizaron procedimientos para llegar a
una respuesta (el 40%), y de estos, 5 de las respuestas obtenidas son similares a la del
106
primer caso (Respuesta de Y), solamente el alumno B lo hizo de la manera que
esperabamos, sin ser tan ambiciosos.
Por lo que está clara la dificultad de los alumnos en cuanto al conocimiento del
concepto de función que estos tienen, aludimos a lo dicho por Duval (1993) y Hitt
(1997) en cuanto a la comprensión integral y estabilidad de un de un concepto, dicen
se basa en la coordinación de al menos dos registros de representación, y el alumno
debe ser capaz de articular sin contradicciones esas diferentes representaciones,
recurriendo a ellas en forma espontánea.
Luego se les propone la siguiente situación: Exprese el área A de un rectángulo como
función del largo x si este mide el doble del ancho del rectángulo.
Y, de los 6 que respondieron (el 40%), todos lo hicieron de la manera siguiente
Es más que evidente, con los resultados anteriores, las dificultades manifiestas en los
alumnos, las cuales son causadas como lo mencionan Dreyfus y Eisenberg (idem)
citados con aterioridad, a la existencia de diferentes formas de representación, así
como la relación que posee con otras ramas de la matemática, y sobre todo a esa
relación con otros conceptos y subconceptos matemáticos necesarios para determinar
el concepto de Función.
A esto le adjuntamos la costumbre de los alumnos a procesos de algoritmización, y la
renuencia de desarrollar procesos de visualización y no valerse de la articulación de
diferentes representaciones, por la exigencia cognitiva que estas requieren, eso
genera un obstáculo para alcanzar un aprendizaje significativo.
ACTIVIDAD FINAL
En esta actividad, se presentan situaciones, en su mayoría, ya expuestas en
actividades anteriores, siendo nuestro propósito el de obtener datos acerca del nivel
de conocimiento de los estudiantes respecto al concepto de función, en cuyas
respuestas se puede conocer tanto los significados que confieren al concepto de
Función, así como también, las dificultades vinculadas a tareas de interpretación,
107
conversión, construcción y de manera global de visualización; dificultades que de
alguna manera hemos observado en las respuestas de situaciones ya abordadas
anteriormente y que esperábamos pudieran haber sido ya superadas o mejoradas.
Constituye una fuente de información importante, pues es el resumen del trabajo de
los estudiantes. Consistiendo en lo siguiente; primeramente se pide a los alumnos que
explique con sus propias palabras ¿Qué es una función?
A diferencia del análisis realizado en el ejercicio diagnóstico, en esta actividad
hemos tomado a bien, hacer una categorización de las respuestas sobre el concepto
de función, (tomado de Cuesta, 2007) siendo los resultados los que presentamos en la
siguiente tabla:
Categoría
f
%
Regla
3
20%
0
0%
Relación entre valores
3
20%
Expresión matemática
2
13%
Otras
7
33%
Total
15
Dependencia
entre
variables
Considerando las categorias establecidas, el significado que poseen los estudiantes
sobre el concepto de función se manifiesta en las respuestas. Tienen un acercamiento
a la regla, en la cual debe asumir que a cada valor de la variable dependiente le
corresponde uno y un solo valor de la variable independiente, representando esto un
20% de los estudiantes, como el caso de E:
108
El reconocer que “una función es aquella que tiene dos variables, una dependiente y
otra independiente, donde la primera depende de la segunda…”, no forma parte de
las respuestas de nuestros alumnos, siendo a nuestro parecer una categoría
fundamental.
En cuanto a la relación entre valores, en la que no necesariamente deben hacer
mencion de variable, sino tan solo a una relación entre datos o valores, las respuestas
también representan un 20%, siendo un ejemplo lo expuesto por R:
Un 13% de los alumnos responden según nuestro criterio, dentro de la categoría de
expresión matemática, no de una manera total, pero en algunos casos reconociendo la
existencia de dos variables “x” y “y”, aun así los consideramos están un tanto
distantes de la idea de función, veamos como respondió L:
A esto añadimos, la confusa respuesta de P, la cual es una mezcla de términos, y
esto ya debiera estar superado, veamos:
Aduciendo, a lo anterior, se pone de manifiesto la ausencia del concepto de función
en los estudiantes y siguen presentando serias dificultades. Hemos de saber que el
concepto de función
es de importancia fundamental en la enseñanza de las
matemáticas. De acuerdo a los niveles que Hitt (1998) expone, podemos clasificar en
109
el primer nivel a aquellos estudiantes que manifiestan una mezcla incoherente…
después de haber sido sometidos a un proceso de aprendizaje.
Se pide luego, a los alumnos que planteen dos ejemplos de funciones, señalando en
cada ejemplo cual es la variable independiente y cual es la variable dependiente,
obteniendo respuestas como la de E
O la de L
Haciendo referencia a lo que ha dicho Duval (2000), los resultados muestran que los
alumnos no han llegado a reconocer el mismo objeto matemático a través de sus
diferentes representaciones semióticas posibles. Los alumnos siguen concentrados en
lo algebraico como única forma que define a una función, y esta dificultad que tienen
los alumnos ya ha sido argumentada por Hitt (1996), cuando dice: “la dificultad…
para desarrollar un entendimiento profundo del concepto de función es que
generalmente se restringen a una manipulacion algebraica que produce una
limitacion en su comprensión”
La siguiente situación también ya les fue propuesta, en el ejercicio diagnóstico, lo
que genera gran expectativa, y esto es lo que se les pide ¿Representa cada figura, la
gráfica de una función numérica de una variable? explique su respuesta (ver Anexo
Actividad Final)
En un 100% los alumnos basan su respuesta en la regla de la recta vertical, la misma
técnica utilizada con anterioridad, tenemos el caso de L
110
De este modo, queda nuevamente evidenciada la dificultad de comprensión del
concepto de función en los alumnos. Esperábamos que en su respuesta se tomara en
consideración, la regla de función, y los alumnos no lo hacen.
En la siguiente situación la cual ya ha sido propuesta a los alumnos en actividad
anterior, se involucran tareas de construcción y de interpretación, en un contexto
natural, conocido por los estudiantes y trata de lo siguiente: Ana María, en una
bicicleta, realiza la siguiente excursión:Primera fase: va por un terreno llano;
Segunda fase: sube una montaña; Tercera fase: baja la montaña; Cuarta fase: va,
de nuevo, por un terreno llano hasta el final. Se pide que dibuje la gráfica: “cambio
de la velocidad con respecto al tiempo”. Los 13 alumnos del grupo que respondieron
(el 87%), en todos los casos construyen la gráfica y explican la misma.
Consideramos los casos siguientes: la respuesta de B, quien es el único de los
alumnos que dibuja la gráfica como “cambio de velocidad con respecto al tiempo”,
pero su interpretación, la cual no es la más adecuada, es representativa de la dada por
el 53% de los alumnos, veamos
111
Tomamos la respuesta de L, como ejemplo del 33% de las obtenidas de manera
bastante similar:
Si bien es cierto, L su gráfica no la construye como “cambio de velocidad con
respecto al tiempo” la acompaña de la siguiente interpretación adecuada a la
situación analizada
L, ha interpretado los cambios de velocidad haciendo referencia de las condiciones
físicas de cada fase del recorrido, es decir la montaña, pero es acertada en cuanto a
los cambios de velocidad pero no lo relaciona con el tiempo. La mayoría de los
alumnos (el 67%), que no responden de manera acertada, conlleva a entender que la
falta de comprensión del concepto de función evidenciado en situaciones anteriores,
repercute en estos resultados, y la dificultad en la comprensión de la relación de
dependencia. Los alumnos no reconocen que la velocidad (variable dependiente) esta
en función es decir que depende del tiempo (variable independiente). Respecto al
comportamiento de la función se les pregunta ¿Puede decir algo acerca del
crecimiento o decrecimiento en esta situación?, siendo la respuesta del alumno E
Respuesta de Y
112
El 87% de los alumnos responden considerando las condiciones físicas del terreno,
reconcocen que los cambios estan en función del terreno, por ejemplo cuando dicen
“…ella subio se puede decir que hubo crecimiento…” o “cuando baja decrece”,
pero estas respuestas, no garantizan que hayan reconocido ese “crecimiento” o
“decrecimiento” como un “cambio en el comportamiento de la velocidad”,.
Esperabamos que se reconociera que los cambios en el comportamiento de la
velocidad (crecimiento, decrecimiento) esta en función del tiempo, este crece en una
fase y decrece en otra. Es clara la dificultad en los alumnos de poder visualizar en la
gráfica (imagen de la montaña), la representación de la variable velocidad como una
función del tiempo. Seguido se les pide responder: Es esta relación, una función?
¿Cuáles son las variables?, he aquí, algunas de las respuestas
Respuesta de L
Respuesta de B
Respuesta de E
Se esperaba que reconociera la función, pero entendida como la relación donde la
variable independiente es el tiempo y la variable dependiente es la velocidad, y no
obtuvimos respuesta alguna, de tal manera. Luego se les pide dar respuesta a: la
velocidad es una función que depende del tiempo? Explique. Presentamos algunas de
las respuestas. Respuesta de P
113
A nuestro parecer, para la interrogante anterior, si P (de haber tomado en cuenta los
dos últimos renglones de lo anterior), hubiese acertado con lo que se esperaba o por
lo menos estubiera muy cerca de ello, pero aun no reconoce la existencia de la
variable tiempo, menos la dependencia de la velocidad con respecto a este.
Respuesta de E
Respuesta de B
El alumno B, reconoce la dependencia inversa, entiende que el tiempo es
dependiente de la velocidad, “… el tiempo es en función de la velocidad”. Los
alumnos no reconocen la dependencia a partir del problema y de su representación
gráfica, por ejemplo cuando dicen “no, la velocidad no depende del tiempo porque
son distintas situaciones… ” , sino que reconocen que la velocidad depende del
terreno por ejemplo “subir o bajar la montaña representa distintas velocidades”
No obstante, existe un reconocimiento visual acerca del comportamiento de la
función, pero es claro que no se reconocen el crecimiento o decrecimiento como los
cambios de la velocidad en función de los cambios de la variable independiente
(tiempo).
114
Después se presenta a los estudiantes la siguiente situación: Dada una lista de pares
de magnitudes, se les pide que indiquen cuales de ellas representan una función y dar
explicación para cada caso; es de connotar que en su totalidad los alumnos
respondieron de esta manera:
La edad de un padre y la edad de un hijo
La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro
La longitud de un lado del cuadrado y su área
La edad de una persona y el color de sus ojos
El importe del recibo de la luz y la cantidad que se debe pagar
La edad de una persona y su talla de camisa
115
Por la manera como los alumnos han respondido, esto puede apuntar a que están
encaminando su comprensión en cuanto a la relación de dependencia, por ende a la
construcción del concepto de función. Aludiendo lo dicho por Vinner (1983) (citado
por Leinhardt, 1990), en gran medida, la clasificación de los diferentes tipos de
relaciones por parte de los alumnos depende tanto de la definición formal de una
función que se les haya enseñado como de la “imagen conceptual” que hayan
desarrollado basándose en ejemplos que les hayan sido expuestos, como en este caso,
hemos de pensar que las diferentes actividades de aprendizaje que han realizado se
los ha permitido.
La siguiente es una situación de un contexto conocido por ellos, veamos en qué
consiste: René cuando compró su carro, en la agencia le costó 43000 dólares.
Después del primer año su valor se había depreciado en un 20% anual; es decir que
el valor después del primer año es: 43000 * (1-0.20)= 34400 dólares, si esta
tendencia continúa ¿Cuál es el valor al final de cada año? (Realice los cálculos por
varios años más), ¿Cuál es la gráfica que representa esta situación?, ¿El valor del
coche depende del tiempo transcurrido?Explique, la relación ¿Es una función? Si lo
es ¿Cuáles son las variables?, ¿Dónde es creciente? ¿Dónde es decreciente?
(Argumente sus respuestas)
En su totalidad los alumnos dieron respuesta, y de estos el 93% se dio cuenta de la
relación de dependencia existente entre dos cantidades involucradas en la situación.
Y tomamos como ejemplo la respuesta de L
116
Los resultados obtenidos en esta situación son satisfactorios, en la cual después de
cometer errores o no interpretar de manera idónea o certera, en cuanto al
reconocimiento de la relación de dependencia, ahora si lo lograron en la respuesta
dada para “ ¿el valor del auto depende del tiempo transcurrido?” cuando todos de
forma diferente que “si, … porque entre mas transcurre el tiempo … el precio del
coche reduce”. El reconocer una relación de dependencia entre variables, facilita el
determinar si “la relación ¿es una función?”, por ende identificar las variables que
la conforman.
Lo anterior nos hace pensar los alumnos han tenido en esta situación una nivel de
comprensión mayor, pues estan tratando un contexto conocido por ellos, y como dice
Hitt (2003): “sabemos que las representaciones de un concepto matemático, solo
representan una parte del mismo, por lo tanto, el tratamiento de las diferentes
representaciones del concepto es lo que permitirá su construcción.”
117
118
CAPITULO 5
119
CONCLUSIONES
5.1 CONCLUSIONES
En consecuencia y en base a los objetivos planteados en la investigación,
presentamos las siguientes conclusiones generadas de los resultados obtenidos en
este estudio:
Partiendo de las respuestas obtenidas de cada una de las situaciones propuestas a los
alumnos, las dificultades de interpretación, conversión y construcción del concepto
de función son evidentes en los alumnos.
El concepto de función en su representación de lenguaje natural no está presente en
los alumnos, queda evidenciado en diferentes partes de las situaciones que se les
presentaron, de manera más precisa al momento de pedirles que proporcionarán
ejemplos de funciones, en ninguno de los casos aparece como ejemplo una función
en lenguaje natural.
120
De igual manera, y tomando en cuenta el párrafo anterior, los alumnos conciben
como única forma de definir una función la representación algebraica, y la forma
tabular y forma gráfica, son para ellos solamente herramientas utilizadas. Las
respuestas evidencian que para ellos todo es a partir de la expresión algebraica, no
como otra representación del mismo objeto. Como lo mencionan los teóricos, los
alumnos no llegan a reconocer el mismo objeto matemático a través de sus diferentes
representaciones semióticas posibles.
En cuanto a determinar si una gráfica representa una función, como estrategia única
que ellos utilizan es la de “recta vertical” y resulta una función si, esta vertical “toca”
solamente en un punto a la gráfica, caso contrario no es una función. Su noción de
función es tan pobre, que no usan la definición del concepto de función, (sin
pretender ser ambiciosos) para poder determinar tal situación.
Aludiendo a lo que Hitt (1997) respecto a “…el conocimiento de un concepto es
estable en el alumno si este es capaz de articular” decimos además “reconocer” sin
contradicciones diferentes representaciones, recurrir a ellas en forma espontánea.
Los alumnos al presentarles una situación contextualizada, se sitúan en el entorno
físico, y a partir de esa idea da su interpretación, lo cual provoca conceptos o
resultados erróneos, como por ejemplo reconocer cuales son las variables
involucradas, y determinar la variable dependiente y la variable independiente. Pero,
cabe mencionar que a medida que el proceso de estudio y la realización de las
diferentes actividades, las dificultades manifestadas con este tipo de situaciones
disminuye, hemos de pensar como dice Leinhardt (1990) que “las tareas
contextualizadas para los estudiantes es más fácil, con problemas que se construyen
sobre situaciones familiarizadas…”
En general los alumnos no reconocen las magnitudes involucradas en una situación,
y que tales magnitudes generan entre sí una relación de dependencia, en la cual se
establece una variable dependiente que estará en función de, o que depende de una
variable independiente.
Además que los cambios de valor en la variable
independiente influyen en la variable dependiente. Y cabe hacer alusión a lo que dice
Hitt (2005): “producto de la enseñanza, tendremos alumnos que frente a una
contradicción no generaran un conflicto cognitivo…”. Es decir, por ejemplo en un
momento que se les pregunta “la situación POBLACION es función” el alumno
121
responde “no es función” pero luego se les pregunta “si es Función, crece o
decrece” dice “crece”, no reconoce que algo anda mal.
A pesar de esa costumbre a lo algebraico, no les permite reconocer la información
proporcionada en la forma
, en sus tareas de interpretación
y/o
conversión no recurren a la pendiente, o intersecciones, dado el valor de m y de b. He
aquí muy fundamental recurrir a los conocimientos previos, y sobre todo la
visualización. Como lo menciona Santos y Agüero (2002): “un aspecto importante
en… de graficar una función lineal se transforma en una plataforma para identificar
y examinar conceptos que se conectan con funciones cuadráticas”. Y si los alumnos
presentan dificultad con las funciones lineales, ya sabemos lo que sucederá con las
funciones cuadráticas, por ende con los cursos posteriores, y en particular con el
concepto de función que es fundamental en el Cálculo.
En su mayoría no pueden graficar, a partir de la expresión algebraica que se les
proporciona, hacer los cálculos sustituyendo en dicha expresión diferentes valores y
luego tabularlos, al momento de ubicarlos en el sistema de ejes cartesianos, presentan
gran dificultad, obteniendo figuras “raras” lo que conlleva a provocar obstáculos al
momento de pretender a partir de ella realizar la respectiva interpretación de los
datos o interrogantes sugeridas.
«Una imagen vale más que mil palabras» es cierto, pero para ello es necesario que
dicha imagen (gráfica) esté elaborada correctamente, para que llegue a ser entendida
adecuadamente, pues de otra forma no vale de nada.
Por ejemplo el reconocer las características de una función, como ser su forma,
concavidad, interceptos en los ejes, vértice, dominio, imagen donde crece, donde
decrece. En fin cantidad de conceptos y subconceptos ligados a la comprensión y
construcción del concepto de función, que como dice Dreyfus y Eisenberg (idem)
son causa para que nuestros alumnos tengan serias dificultades al respecto.
Acorde a las consideraciones teóricas, los resultados obtenidos en el estudio y las
conclusiones antes expuestas, existe la necesidad de promover los diferentes tipos de
representación para analizar los procesos de adquisición de conocimientos
matemáticos, en particular y por su importancia el concepto de Función. Si los
alumnos logran aprender a comprender adecuadamente el tipo de comunicación que
122
sustenta lo que se presenta, se podrá entonces realizar la interpretación eficazmente
mediante la visualización, dando profundidad y significado a la comprensión, e
inspirando el razonamiento critico. Y como dice Hitt (): Un alumno tiene integrado
un concepto cuando cuenta con las imágenes conceptuales de los diferentes registros
de representación, capaz de utilizarlos o seleccionar el más pertinente cuando se
enfrenta a la resolución de problemas.
Es por ello que debemos incentivar a los profesores de matemáticas
para que
consideren as tareas de conectar las diferentes representaciones de un concepto, que
no las minimicen, pues son algo fundamental en la construcción del conocimiento
matemático y, en particular, en relación al concepto de función, de igual manera no
restar importancia al desarrollo de la visualización matemática, que es imprescindible
para la comprensión, y adquisición de conceptos matemáticos de manera
significativa.
123
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Castigeras, E.; Curione, K. (2005). Un enfoque Constructivista en la Enseñanza de
los conceptos de limite y continuidad. Instituto de Matemática y Estadística de la
Facultad de Ingeniería. Universidad de la República de Uruguay.
Cantoral, R.; Montiel, G. (2001). Visualización y Pensamiento Matemático. Área de
Educación Superior del Departamento de Matemática Educativa. CINVESTAV-IPN.
Cuesta, A. (2007). El proceso de aprendizaje de los conceptos de función y extremo
en estudiantes de economía: análisis de innovación didáctica. Tesis Doctoral.
Universidad Autónoma de Barcelona.
De Guzmán, M. (1996). El Rincón de la Pizarra. Ensayos de Visualización en
análisis matemático. Elementos básicos del análisis. Ediciones Pirámide, S.A.
España.
124
Del Castillo, A. (*). El concepto de función: una manera de explorar la conversión
del registro gráfico al algebraico con Cabri. Universidad de Sonora. (Pág. 68-76)
De la Rosa, A. (2000). El Concepto de Función en Secundaria: Conocer el grado de
visualización de función lineal en el alumno. En F. Hitt y A. Hernández (Editores),
Experimentaciones en Educación Matemática en los Niveles Medio Superior y
Universitario. (Págs. 43-53)
Diaz, F. (2002) Estrategias docentes para un aprendizaje significativo. Mc Graw Hill.
Mexico
Duval, R. (1988). Graphiques et Equations: L` Articulation de deux registres.
Annales Didactique et de Sciencies Cognitives 1 (Pág. 235-253)
Duval, R. (1993). Registros de Representación Semiótica y Funcionamiento
Cognitivo del Pensamiento. Annales de Didactique et de Sciencies Cognitives. 5,
págs. 37-65. Traducción para fines educativos (Hitt, F.; Ojeda A.M.) Departamento
de Matemática Educativa CINVESTAV-IPN, México.
Duval, R. (1995). Semiosis y pensamiento humano. Registros de representación.
Duval, R. (1999). Los Problemas Fundamentales en el Aprendizaje de las
Matemáticas y las Formas Superiores del Desarrollo Cognitivo. Curso del Doctorado
en Educación con Énfasis en Educación Matemática. Universidad del Valle, Santiago
de Cali.
Fabra, M.; Deulofeu. J (2000). Construcción de Gráficos de Funciones: “Continuidad
y Prototipos”. RELIME, volumen 3, Número 2, julio, págs. 207-230.
García, D. (2000). Conversión entre representación grafica y algebraica del concepto
de recta. En F. Hitt y A. Hernández (Editores). Experimentaciones en Educación
Matemática en los Niveles Medio Superior y Universitario. (Págs. 55-57).
Hitt, F. (1994). Teachers’ Difficulties with the Construction of Continuous and
Discontinuous Functions. Focus on Lemming Problems in Mathematics. Fall Edition.
Volume 16, number 4.
125
Hitt, F. (1996). Sistemas Semióticos de Representación del Concepto de Función y
su Relación con Problemas Epistemológicos y Didácticos. En Fernando Hitt (editor)
Investigaciones en Matemática Educativa (págs. 245-264), Grupo Editorial.
Hitt, F. (1998). Dificultades en la articulación de diferentes representaciones relativas
al concepto de función. Journal of Mathematical Behavior, 17 (1). Pág. 123-134.
Primera traducción realizada (Alquicira, M.; Perez, C.) CINVESTAV. México.
Hitt, F. (2000).Construcción de Conceptos Matemáticos y de Estructuras Cognitivas.
CINVESTAV-IPN. México. Pág. 131-147.
Hitt, F. (2003). Una reflexión sobre la construcción de conceptos matemáticos en
ambientes con tecnología. Boletín de la Asociación Matemática Venezolana,
Volumen X. Número 2.
Hitt, F. (2003). El Carácter Funcional de las Representaciones. Annales de
Didactique et de Sciencies Cognitives. Vol. 8, págs. 255-271.
Hitt, F. (2005). Dificultades en el Aprendizaje del Cálculo. En Reflexiones sobre el
aprendizaje del cálculo y su enseñanza. Departamento de Matemática Educativa del
CINVESTAV-IPN,
México.
Decimo
Primer Encuentro
de Profesores
de
Matemáticas del Nivel Medio- Superior. Universidad Michoacana de San Nicolás de
Hidalgo. Morelia.
Hitt, F.; González, A.; Morasse, C. (2008). Visualization and Students’ Funcional
Representations in the Construction of Mathematical Concepts. An Example: the
concept of co-variation as a prelude to the concept of function. 11 th. Internacional
Congreso on Mathematics Education (ICME-11). Monterrey, Mexico.
Leinhardt, G. (1990). Funciones, Graficas y Graficación: Tareas, Aprendizaje y
enseñanza. Review
of Educational Research, Vol. 60, numero 1, págs.1-64.
Departamento de Matemática Educativa CINVESTAV. E. Sánchez (Editor);
Traducción R. Hernández.
Oropeza, C.; Lezama, J. (*) La visualización como estrategia de estudio en el
concepto de dependencia e independencia lineal. CINVESTAV. México
126
Pontini, M. (*). Los obstáculos en la enseñanza de las matemáticas: ¿corregir o
reflexionar? Regio VIII-CIE_Merlo.
Santos, M.; Agüero, E. (*). Conectando Conceptos y Recursos Matemáticos. Estudio
de la Función Cuadrática a través de la Resolución de Problemas.
127
ANEXOS
Ejercicio diagnóstico
Nombre del alumno: _________________________________
Profesora: `xÄut \ÄxÇ|t mØÇ|zt _™Ñxé
Indicaciones: A continuación se presentan una serie de problemas, desarrolle cada
uno como considere conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea
que es incorrecto. En todos los problemas argumente su respuesta.
1. En diferentes cursos de la vida estudiantil, en la clase de matemáticas, es
utilizada la noción de función, ¿Qué entiende por Función?
2. Puede dar por lo menos 3 ejemplos de función, y explicar por qué considera que
son funciones.
128
3. Determine si la figura representa la gráfica de una función, explique
4.
En el plano cartesiano se tiene las siguientes gráficas,
129
Escribe la representación
algebraica de cada una de ellas:
a
b
a:_____________________
b: _____________________
1
1
“No te conformes en volar como un ave de corral, cuando lo puedes
hacer como las águilas”
ACTIVIDAD 1
130
Nombre del Alumno: ____________________________________
Indicaciones: A continuación se presentan una serie de situaciones, desarrolle cada
una como considere conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea
que es incorrecto. En todos los problemas argumente su respuesta.
En una papelería se venden 5 cajas de lápices. El número de lápices y el precio
correspondiente a cada caja se muestran en la tabla
Número de lápices
por caja
Precio por caja en
lempiras
Caja1
4
Caja 2
6
Caja 3
8
Caja 4
10
Caja 5
14
42
60
72
100
47
a)Represente esta situación en una gráfica b) ¿Cuál caja conviene más? ¿Por qué?
Ramón está enfermo, su mamá, le toma la temperatura en varias ocasiones, y
obtiene las siguientes mediciones;
• A las 10 horas la temperatura fue de 370 C y dos horas después tenia 390C
• A las 14 horas tenia 380C y continuo igual a las 16 horas
• A las 18 horas tenia 360C y a las 20 horas había subido en 20C
Elabore una tabla que muestre la relación entre las horas y las mediciones de
temperatura
Represente esta situación en una gráfica
¿En qué momento la temperatura debió ser de 380C?
¿Cuándo se mantuvo estable Ramón?
Toñito sale de casa a dar un paseo, desde las 8 am hasta las 12 del día.
Durante la primera hora lleva una velocidad constante de 30km/h, y luego
descansa una hora. Después del descanso regresa a una velocidad de 15km/h.
Elabore una tabla de valores donde se represente el tiempo (en horas) y la
distancia a la que se encuentra de la casa
Proporcione una gráfica donde se represente esta situación
Ana Suyapa en una bicicleta realiza la siguiente excursión:
1rq fase: va por un terreno plano (llano)
2da fase: sube una montaña
131
3ra fase: baja la montaña
4ta fase: va, de nuevo, por un terreno plano
Dibuje una gráfica que muestre cómo cambia la velocidad con respecto al
tiempo durante toda la excursión. Explique su gráfica
Apunta hacia la luna, aún cuando falles, aterrizaras entre las estrellas.
ACTIVIDAD 2
Nombre del Alumno: _______________________________
Indicaciones: Las situaciones que se presentan, desarróllelas cada una como
considere conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea que es
incorrecto. En todos los problemas argumente su respuesta.
Tomando en cuenta la gráfica diga si las afirmaciones son correctas o
incorrectas (justifique su decisión)
a) B es el menos pesado y de menor altura
b) D pesa más que C
c) C es el más alto y pesado
d) A tiene mayor altura que B
PESO
D
C
A
1
1
B
ALTURA
Ana María planea estudiar el efecto de cultivo de girasoles en diferentes
maceteras. Las gráficas siguientes muestran cuatro resultados posibles de su
experimento. El eje horizontal representa el tamaño de las maceteras. El eje
vertical representa la altura de las plantas.
132
tamano
de
plantas
Altura
de
las
plantas
1
1
1
1
tamano de las
maceteras
tamano de
maceteras
A
B
tamano
de
plantas
tamano
de
plantas
1
1
1
1
tamano de
maceteras
C
tamano de
maceteras
D
¿Cuál gráfica está mejor descrita por cada uno de los siguientes enunciados?
*al aumentar el tamaño de la macetera, la altura de la planta disminuye _______
*al aumentar el tamaño de la macetera, aumenta la altura de la planta hasta un cierto
tamaño de la macetera. Con maceteras mas grandes, la altura de la planta permanece
la misma _____
(Explique sus respuestas)
La gráfica6 muestra cuánto tiempo lleva a los estudiantes evacuar el edificio
durante el simulacro de fuego
6
Evidentemente hay una situación en la cual una de las variables es continua y la otra discreta, pero
vale recalcar que se plantea de manera tal pues, es la forma de modelar mejor la situación.
133
#Estudiantes
400
350
300
250
200
150
100
50
1
1
10
20
30
40
50
60
70
80
• ¿Cuántos estudiantes había en el edificio antes del simulacro?_______
• ¿Cuántos estudiantes había en el edificio después de:
a) 10 segundos_____ b) 30 segundos_____ c) 40 segundos_____
• ¿Cuántos segundos habían transcurrido cuando solo quedaban 50 estudiantes
en el edificio?________
• ¿Cuántos segundos les tomó a todos los estudiantes evacuar el
edificio?
_______
ACTIVIDAD 3
Nombre del alumno: __________________________
Indicaciones: Las situaciones que se presentan, desarróllalas cada una
como consideres conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea
que es incorrecto. En todos los problemas argumente su respuesta.
Las tablas que se muestran aquí definen una regla de correspondencia;
La tabla (1) establece una correspondencia entre el conjunto
X
1
2
3
4
y
5
7
9
11
y el conjunto
• En forma gráfica represente los datos
dados en la tabla (1)
• ¿Qué interpretación puede dar
respecto estos datos?
tabla 1
La tabla (2) muestra la correspondencia entre el conjunto
y el conjunto
134
X
1
2
3
• Represente los datos proporcionados en la
tabla (2) en forma gráfica
y
4
5
6
7
• ¿Cómo interpreta estos datos?
tabla 2
El conjunto de pares ordenados {(1,3); (3,5); (6,7); (8,7)} es equivalente a la
correspondencia mostrada en la tabla (3)
x
1
3
6
8
• Represente los datos de la tabla 3 en
forma gráfica
y
3
5
7
• ¿Qué interpretación puede dar respecto a
estos datos?
tabla 3
Después de representar los datos proporcionados de cada una de las tablas en su
forma gráfica y hacer la interpretación respectiva de cada una de las situaciones; ¿es:
La tabla 1 y su gráfica, una representación de una función?
La tabla 2 y su gráfica, una representación de una función?
La tabla 3 y su gráfica, una representación de una función?
Nos interesa saber, el por qué? De su respuesta
Si piensas que todo el mundo está contra ti, recuerda que los aviones se elevan co
el viento.
ACTIVIDAD 4
Nombre del alumno: ________________________________
Indicaciones: Desarrolle cada situación presentada como usted considere
conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea que es incorrecto.
En todos los problemas argumente su respuesta
Para m=1, -1, 3, -3 y b=1, -1
En la expresión
Construya la gráfica para cada caso
Escriba lo que observa a partir de los efectos que estos valores
producen en las gráficas correspondientes
135
En el plano cartesiano grafíque la expresión
para x= 4, 2, 0
*¿Qué valor corresponde a la pendiente?
*¿Qué información de la recta proporciona el valor de la pendiente?
*¿Qué puntos se deben seleccionar para dar una indicación precisa del
comportamiento de la gráfica?
*¿Qué ocurre si se mantiene fijo el valor de un parámetro(pendiente) y el otro varía?
*¿Cuál será el valor de la segunda coordenada de los puntos (3, ¿) y (5, ¿) para que
se encuentren sobre la gráfica de la recta?
Dibuje un rectángulo en el primer cuadrante de tal manera que uno de sus
vértices sea el origen del sistema coordenado, otro vértice se encuentra sobre
la gráfica de
, el segmento que une este vértice con el origen
será una diagonal del rectángulo
Se puede dibujar otro rectángulo que cumple las condiciones
iniciales?
Cuántos rectángulos más se pueden dibujar con las condiciones
establecidas?
Hoy es el mañana por el que te preocupabas ayer.
ACTIVIDAD 5
Nombre del alumno: ___________________________
Indicaciones: Desarrolle cada situación presentada como usted considere
conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea que es incorrecto.
En todos los problemas argumente su respuesta
Las siguientes son cuatro descripciones gráficas de funciones lineales en
sistemas con diferentes escalas de unidades. Elija la función que describa cada
recta. Explique para cada caso la razón de su eleccción:
136
EXPLICACION:
10
51
-10
1
5
-5
10
-5
-10
EXPLICACION
20
10 1
-10
1
5
-5
10
-10
-20
EXPLICACION:
20
10
1
1
-5
-2.5
2.5
5
-5
-10
137
EXPLICACION:
10
5
1
1
-20
-10
10
20
-5
-10
Enlace 5 de las 8 ecuaciones proporcionadas con sus gráficas. Explique la
razón de su elección. Mencione alguno de los aspectos relevantes de su
eleccion
a)
b)
c)
1
1
d)
e)
f)
En el plano cartesiano se tiene las siguientes gráficas
138
a
b
Escribe la representación
algebraica de cada una de ellas:
a:_____________________
1
b: _____________________
1
Si ves a alguien sin una sonrisa, dale una de las tuyas
ACTIVIDAD 6
Nombre del alumno: ______________________________
139
Indicaciones: Desarrolle cada situación presentada como usted considere
conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea que es incorrecto.
En todos los problemas argumente su respuesta. En esta actividad puede
utilizar calculadora o computador para generar las gráficas.
Realice la gráfica de cada una de las siguientes expresiones y compárelas.
b)
• ¿En qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian?
• ¿Tienen las gráficas puntos en común? Si es así, menciónelos
• ¿Qué puede concluir acerca del efecto del signo del coeficiente a en la gráfica
de una función cuadrática?
Realice la gráfica de cada una de las expresiones cuadráticas y comparelas.
b)
c)
En qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian?
¿Tienen las gráficas puntos en común? Si es así, menciónelos
A que conclusión puede llegar acerca del efecto del valor del coeficiente a en
la gráfica de una función cuadrática
Realice la gráfica de cada una de las siguientes expresiones y compárelas.
b)
c)
*¿Cuánto vale b en cada caso?
*¿En qué se parecen las gráficas y en qué se diferencian?
*¿Qué conclusión puede dar acerca del efecto del valor del coeficiente b en la
gráfica de una función cuadrática?
Cada expresión algebraica representarla en forma gráfica, compárelas.
a)
b)
c)
♣ En qué se parecen las gráficas? ¿En qué se diferencian?
140
♣ ¿Qué puede concluir acerca del efecto del valor del coeficiente c en la gráfica de
una expresión de la forma
Sueña lo que quieras soñar, ve a donde quieras ir, se lo que quieras ser,
porque tienes tan solo una oportunidad para hacer lo que quieras hacer.
ACTIVIDAD 7
Nombre del alumno:______________________________
Indicaciones: Desarrolle cada situación presentada como usted considere
conveniente. No borre nada de lo que haga aún cuando crea que es incorrecto.
En todos los problemas argumente su respuesta. En esta actividad puede
utilizar calculadora o computador para generar las gráficas.
1.En muchas aplicaciones con frecuencia existe cierta correspondencia, entre dos
conjuntos de números, por ejemplo, la ganancia R resulta de la venta de x artículos
vendidos a Lps 10.00 c/u, es R=10x. ¿Qué otro tipo de correspondencia puede dar
como ejemplo?
2.EL costo por pie cuadrado para construir una casa es de Lps 220.00._ Exprese el
costo C como función de x, es el número de pies cuadrados . ¿Cuál es el costo de
construcción para una casa de 2000 pies cuadrados.
3.Supongamos que se presenta, durante la organización de una excursión turística, la
siguiente situación. Una empresa ofrece en alquiler un autobus con capacidad para 15
personas, a un precio de 2000 lempiras. Cada viajero debe pagar el mismo precio.
♣ ¿Cómo sabemos cuanto debe pagar cada uno de los viajeros?
Nota:Para dar respuesta a la pregunta, lo deberá hacer realizando diferentes
descripciones de la relación que se establece entre la cantidad de personas que
viajan y el pago individual.
Se pide que haga una descripción verbal para dar respuesta a la pregunta
anterior
Sin marcar puntos exactos, en el sistema de ejes cartesianos, intente describir
la relación entre la cantidad de personas y el pago individual
Construya una tabla de valores para el número de viajeros y el precio que
paga cada uno
Ubique en un sistema de ejes cartesianos los valores antes obtenidos,
colocando en cada eje los valores de la tabla
141
Escriba una ecuación que exprese la relación entre el número de personas y el
precio individual
4.Un fabricante sabe que el costo de materia prima para elaborar su producto (pares
de zapatos) es de 50.5 lempiras por unidad de producción, es decir por cada par de
zapatos.
♣ Elabore una tabla que relacione la cantidad de pares de zapatos con el costo
total de la fabricación
♣ Represente en una gráfica esta relación
♣ ¿Qué puede decir del comportamiento del costo de fabricación?
♣ ¿Tiene sentido unir los puntos? ¿Por qué?
♣ ¿Existe alguna expresión algebraica que pueda expresar esta relación?
5.Se conoce que la población de cierto poblado va creciendo. Un economista reunió
datos sobre el número de habitantes en los años: 1990, 1992, 1995, 1999, 2001,
2004. Los datos se muestran en la siguiente tabla:
Tiempo(t)
En años
Poblacion
En miles
0
2
5
9
11
14
20.0
21.665
22.103
23.944
24.921
26.462
Represente en una gráfica esta relación. ¿Qué puede decir del
comportamiento de la población? ¿Cuál es a su juicio, la razón de ese
comportamiento?
Tiene sentido unir los puntos, ¿Por qué?
De lo anterior surgen algunas otras interrogantes, que le solicitamos responder:
o ¿Cuáles son las magnitudes que varian en cada situación estudiada?
o ¿Cuál es la relación de dependencia en cada situación? Debe argumentar su
respuesta.
Escriba sus ideas en la tabla siguiente
142
Situación
Magnitudes que varían
Relación de dependencia
Representa una función
(si) (no)
Venta artículos
Construcción
Excursión
Costo Fabricación
Población
Situación
¿Por qué es o no es función?
Si es función; crece o
decrece
Venta artículos
Construcción
Excursión
Costo fabricación
Población
El que busca un amigo sin defectos, se quedará solo toda la vida
143
ACTIVIDAD 8
Nombre del alumno: _________________________________
1.Sea f la función cuya gráfica esta dada en la figura (algunos puntos en la gráfica
estan marcados. a)¿Cuál es el valor de la función cuando x= -6, x= -4, x= 0, x= 6?;
b)¿Cuál es el conjunto de partida? ¿Cuál es el conjunto de llegada?; c)Enumere las
intersecciones con los ejes. (recuerde que estos son los puntos, si existen, donde la
gráfica cruza o toca los ejes coordenados); d)¿Dónde es creciente? ¿Dónde es
decreciente? ¿Y dónde es constante?
1
1
2.Una página con dimensiones de
por 11 pulgadas tiene un margen de ancho
uniforme x rodeando su parte impresa, como muestra la figura.
a)Escriba una fórmula para el área A de la parte impresa de la página como una
función del ancho x del margen; Indique el dominio y el rango de de A; b)Determine
el área impresa cuyos márgenes tienen anchos de 1, 1.2, y 1.5 pulgadas; c)Haga la
gráfica de la función A=A(x)
X
144
Apunta hacia la luna, aun cuando
falles, aterrizaras entre las
estrellas.
Mas vale tu sonrisa triste, que la
tristeza de no verte sonreír
Si piensas que todo el mundo
esta contra ti, recuerda que los
aviones se elevan contra el
viento
X
Si quieres ver las cosas que
nunca has visto, haz cosas que
nunca has hecho
X
Hoy es el mañana por el que te
preocupabas ayer
El que busca un amigo
sindefectos.
3.Efecto de la gravedad de la tierra. Si cae una
X roca al suelo desde una altura de 20
metros, su altura H (en metros) después de x segundos será aproximadamente de
*¿Cuál es la altura de la roca para x=1 segundo? ¿para x=1.1 segundos? ¿para x=1.2
segundos? Y para x=1.3 segundos?
*¿Cuándo golpea la roca al suelo?
*Grafique
4.Exprese el área A de un rectangulo como función del largo x si este mide el doble
del ancho del rectángulo.
Aquél que tiene fé, encuentra el éxito donde muchos fracasan.
145
ACTIVIDAD FINAL
Nombre del Alumno:________________________________
1. Explique con sus propias palabras ¿Qué es una función?
2. Plantee dos ejemplos de funciones. Señale en cada ejemplo cual es la variable
independiente y cual es la variable dependiente
3. ¿Representa cada figura, la gráfica de una función numérica de una variable?
explique su respuesta
146
4. Ana María, en una bicicleta, realiza la siguiente excursión:
Primera fase: va por un terreno llano
Segunda fase: sube una montaña
Tercera fase: baja la montaña
Cuarta fase: va, de nuevo, por un terreno llano hasta el final
Dibuje la gráfica :”Cambio de la velocidad con respecto al tiempo” explique
la gráfica
¿Puede decir algo acerca del crecimiento y/o decrecimiento en esta situación?
Es esta relación, una función? ¿Cuáles son las variables?
La velocidad es una función que depende del tiempo? Explique
5. De los siguientes pares de magnitudes, indique cuales de ellas representa una
función. Explique en cada caso
La edad de un padre y la edad de un hijo
147
La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro
La longitud de un lado del cuadrado y su área
La edad de una persona y el color de sus ojos
El importe del recibo de la luz y la cantidad que se debe pagar
La edad de una persona y su talla de camisa
6. René cuando compró su carro, en la agencia le costó 43000 dólares. Después
del primer año su valor se había depreciado en un 20% anual; es decir que:
El valor después del primer año es: 43000 * (1-0.20)= 34400 dólares, si esta
tendencia continúa
¿Cuál es el valor al final de cada año? Realice los cálculos por varios años
más ; ¿Cuál es la gráfica que representa esta situación?
¿El valor del coche depende del tiempo transcurrido?Explique
♣ La relación ¿Es una función? Si lo es ¿Cuáles son las variables?
♣ ¿Dónde es creciente? ¿Dónde es decreciente?
♣ Argumente sus respuestas
GRACIAS!
148