Efectos del error en las mediciones de la fuerza de contacto pie

Asociación Española de
Ingeniería Mecánica
XVIII CONGRESO NACIONAL
DE INGENIERÍA MECÁNICA
Efectos del error en las mediciones de la fuerza de contacto
pie-suelo en el análisis dinámico inverso de la marcha humana
R. Pàmies-Vilà, J.M. Font-Llagunes
Dpto. Ingeniería Mecánica. Universitat Politècnica de Catalunya
[email protected]; [email protected]
J. Cuadrado
Dpto. Ingeniería Industrial II. Universidad de La Coruña
[email protected]
F.J. Alonso
Dpto. Ingeniería Mecánica, Energética y de los Materiales. Universidad de Extremadura
[email protected]
Resumen
Para realizar un análisis dinámico inverso (ADI) de la marcha humana, es necesario capturar el movimiento del
cuerpo y disponer de un conjunto de parámetros antropométricos (geométricos e inerciales) del sujeto. Si la
información cinemática es completamente conocida, el ADI permite determinar los momentos articulares y las
fuerzas de contacto pie-suelo. Existen estudios que utilizan sólo un modelo parcial del cuerpo humano (usando
únicamente las piernas, por ejemplo), e introducen las mediciones de una placa de fuerza como datos de entrada
del ADI. Es conocido que los resultados de este problema son altamente dependientes de la calidad de los datos
de entrada –cinemáticos y dinámicos– y los datos obtenidos con una placa de fuerza contienen errores
experimentales. El trabajo que se presenta tiene por objetivo analizar la influencia del error en las mediciones
de una placa de fuerza en los momentos articulares calculados. Se han simulado errores sistemáticos (errores
de bias) y errores aleatorios (errores Gaussianos). En el primer caso, los indicadores utilizados para
cuantificar la propagación del error de bias en los momentos articulares, son la raíz del error cuadrático medio
(RMSE), su valor normalizado (NRMSE) y la sensibilidad de los momentos a las perturbaciones en las fuerzas
de contacto. En el caso de las perturbaciones aleatorias, el error se ha modelizado mediante una distribución de
probabilidad Gausiana simulando 1000 muestras distintas. Como indicadores de la propagación de este error,
se calculan –para cada momento y en cada instante de tiempo–, la media de los valores obtenidos y su
desviación estándar. El trabajo incluye un estudio detallado sobre la influencia de estos dos tipos de errores.
INTRODUCCIÓN
Las técnicas de la dinámica de sistemas multicuerpo han sido ampliamente utilizadas en la última década para el
análisis dinámico inverso (ADI) de la marcha humana [1]. El objetivo del ADI es calcular los momentos en las
articulaciones, resultado de la acción muscular, a partir del movimiento conocido y de los parámetros
antropométricos del modelo biomecánico del cuerpo [2]. Cuando estos momentos se han determinado, es posible
calcular las fuerzas aplicadas por los distintos grupos musculares implicados en el proceso de la marcha
utilizando técnicas de optimización [1]. Este análisis es importante para la detección de patologías y para el
diseño de dispositivos asistenciales, como ortesis o exoesqueletos.
El ADI requiere una gran cantidad de parámetros de entrada, concretamente, los parámetros antropométricos del
cuerpo humano y la información cinemática del movimiento. Todos estos datos contienen error y estas
inexactitudes afectan el resultado del análisis [3, 4]. Conocer el efecto de los errores en los datos de entrada es
importante para cuantificar la precisión del análisis dinámico.
Algunos estudios biomecánicos no capturan toda la información cinemática del cuerpo –se centran únicamente
R. Pàmies-Vilà et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)
2
en las extremidades inferiores– y por tanto se ven obligados a utilizar la fuerza de contacto pie-suelo –medida
con una placa de fuerza– como parámetro de entrada del ADI [5, 6, 7, 8]. Estos trabajos no tienen en cuenta que
esta fuerza es, en realidad, un resultado del análisis dinámico. Esta práctica puede conducir a resultados
inconsistentes ya que los datos de la placa de fuerza pueden contener un error adicional. Un estudio previo
concluye que los momentos articulares son más sensibles a los errores en las mediciones de las placas de fuerza
que a los errores que puedan contener los parámetros antropométricos del cuerpo humano [9].
Las fuentes de los errores en las placas de fuerza son múltiples [10, 11]: la histéresis que presenta la placa, los
errores de linealidad de los sensores piezoeléctricos, las interferencias del señal, la inductancia eléctrica, las
variaciones de temperatura y humedad, etc. No obstante, a menudo se utilizan directamente las mediciones de
estas placas sin considerar la existencia de error en sus datos. Aunque la placa de fuerza esté calibrada los errores
experimentales son inevitables. Cuando se utiliza la medición de esta fuerza para estimar los momentos
articulares en el cuerpo humano, los errores se propagan a lo largo de las ecuaciones del movimiento afectando
al resultado final y a la validez del estudio. El objetivo de este trabajo es conocer el efecto de este error en el
cálculo de los momentos articulares.
El ADI se formula mediante una metodología de dinámica multicuerpo y se utilizan funciones analíticas para
definir las restricciones reónomas que guían el movimiento del cuerpo. Al conocer sin incertidumbre la posición,
velocidad y aceleración de cada segmento, los efectos de los errores en las mediciones de la placa de fuerza se
pueden analizar independientemente de otros posibles errores que aparecen en la captura de movimiento, como
los expuestos en [3].
El valor real de las fuerzas de contacto se obtiene como resultado de un primer ADI sin perturbar ningún
parámetro de entrada y modelizando el contacto pie-suelo como una articulación de revolución. Posteriormente,
se añade un error a esta fuerza y se introduce como entrada del ADI –relajando la correspondiente restricción de
posición–. Los errores sistemáticos son simulados añadiendo una cantidad fija a las fuerzas de contacto
tangencial y normal. Para simular errores aleatorios, se añade un error Gaussiano de media cero y una desviación
estándar relacionada con el intervalo de error de los sensores de las placas de fuerza.
MODELO BIOMECÁNICO
El modelo biomecánico utilizado está formado por 10 sólidos rígidos y su movimiento se restringe en el plano
sagital, Fig. (1). Los parámetros antropométricos se han obtenido de [12] y los segmentos anatómicos se
caracterizan a partir de los valores de masa, longitud, momento de inercia respecto el centro de masas y distancia
del centro de masas a la articulación proximal.
Es un modelo de 12 grados de libertad desarrollado con formulación de dinámica de sistemas multicuerpo [13].
El vector de coordenadas generalizadas q está formado por treinta y dos variables: veintidós son variables de
posición –definidas mediante coordenadas naturales que definen la posición de los puntos extremos de los
segmentos en el plano sagital– y las otras diez son coordenadas angulares i que definen la orientación de los
distintos segmentos como se puede ver en la Fig. (1). El pie se modeliza con un contacto puntual, y el ángulo 1
orienta de forma absoluta el segmento inferior de la pierna respecto al suelo. El resto de ángulos  i son relativos
entre dos segmentos anatómicos.
El vector de restricciones Φ(q, t )  0 incluye las restricciones físicas entre las variables y las restricciones
reónomas  i (t ) que conducen el movimiento. Estas últimas se han definido utilizando funciones
trigonométricas, como se explica más adelante. Las ecuaciones del movimiento se pueden escribir como:
M

Φq
ΦqT  q  
Q

  = 

   2Φ 
0  λ   γ  2 Φ
(1)
 es el vector de aceleraciones,
donde M es la matriz de masas, Φq es el Jacobiano del vector de restricciones, q
Q es el vector de fuerzas generalizadas, λ son los multiplicadores de Lagrange, y γ contiene los términos que
son función de posición, velocidad y tiempo. Se ha utilizado el método de los estabilizadores de Baumgarte con
los valores   1;   10 .
Una primera simulación permite determinar los momentos articulares verdaderos –sin error– y las fuerzas de
contacto pie-suelo a partir de los correspondientes multiplicadores de Lagrange. Para llevar a cabo el análisis del
error, los valores de la fuerza de contacto pie-suelo son perturbados para emular los errores existentes en las
Efectos del error en las mediciones de la fuerza de contacto pie-suelo en el ADI de la marcha
3
mediciones de las placas de fuerza. En este caso, las fuerzas de contacto pie-suelo son introducidas en el vector
Q y se relaja la restricción correspondiente del vector Φ (q , t )  0 .
6
7 
9
8
5
10
M5
3
M3
M2
4 2
M4
M1
1
Ft
Fn
Fig. 1. Modelo biomecánico bidimensional del cuerpo humano en el plano sagital.
El hecho de utilizar expresiones analíticas para guiar el movimiento –utilizando restricciones reónomas–,
permite definir un movimiento completamente conocido que garantiza la consistencia cinemática. De esta
manera, la posición, velocidad y aceleración de cada coordenada se puede conocer sin errores en cada instante de
tiempo y las variaciones en los momentos articulares serán debidos únicamente a las perturbaciones de la fuerzas
de contacto pie-suelo. Estas funciones trigonométricas permiten determinar analíticamente los valores de las
 en la Ec. (1). Las funciones de guiado se
ecuaciones de restricción Φ , la matriz jacobiana Φq y el valor de Φ
definen como
i  t   Ai cos i t  i 
(2)
donde la velocidad angular i , la fase i , y la amplitud Ai se escogen para obtener un movimiento visualmente
realista de la marcha humana. Todas las velocidades angulares son cero en el momento del impacto del talón, así,
cuando el pie contacta con el suelo su velocidad es cero y se evita la aparición de fuerzas impulsivas. El periodo
de un paso en este movimiento se ha fijado en 1 s.
METODOLOGÍA
Los errores presentes en las mediciones de un sensor pueden ser divididos en dos categorías generales: errores
sistemáticos y errores aleatorios. La suma de estos dos errores es el error total de la medición [14]. En este
trabajo se simulan dos errores que pueden estar presentes en las mediciones de una placa de fuerza. El error
sistemático es una cantidad fija añadida al valor real de las fuerzas de contacto. Estos errores podrían ser
minimizados con un proceso de calibrado. Sin embargo, la calibración de fábrica puede no corregir
completamente estos errores debido a la variación de las condiciones de laboratorio [10]. El error aleatorio
tienen un carácter estocástico y se puede simular utilizando una distribución estadística Gaussiana de media cero
y una cierta desviación estándar relacionada con la dispersión de los datos.
En un ADI previo al análisis del error, se obtiene el valor real de la fuerza de contacto pie-suelo Fc =  Ft , Fn 
–resultado equivalente a la medición de una placa de fuerza en una situación experimental ideal– y los
verdaderos valores de los momentos articulares. Posteriormente, se añade un error a Fc (el error que pueden
contener las mediciones de la placa) y se introduce como entrada del ADI. El análisis del error es distinto según
la perturbación introducida.
En el caso de los errores sistemáticos (o de bias), se añaden a las fuerzas de contacto –normal y tangencial– una
cantidad fija hasta un máximo de 10 N, una cantidad similar a los errores detectados en los estudios [4, 15]. Se
realizan las simulaciones variando el nivel de la perturbación desde –10 N hasta +10 N de manera independiente
para cada una de las fuerzas. Los resultados de la simulación son comparados con los momentos articulares
R. Pàmies-Vilà et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)
4
originales y se determina la raíz del error cuadrático medio (RMSE), el valor RMSE normalizado (NRMSE) y la
sensibilidad de los momentos articulares a las perturbaciones en la fuerza de contacto.
El valor RMSE estima la magnitud global del error en los momentos articulares para cada simulación dinámica.
El valor NRMSE se obtiene como el cociente entre el valor RMSE y el rango de variación de los momentos
obtenidos en la simulación sin error. Mientras que el valor RMSE evalúa el error global en cada simulación, el
parámetro NRMSE indica el incremento relativo respecto a los valores sin error. Por ejemplo, un valor RMSE de
1 Nm en un momento que tiene un rango de 1 Nm es más importante que el mismo valor RMSE en un momento
con un rango de variación de 100 Nm. El parámetro NRMSE tiene en cuenta estas diferencias. Finalmente, la
sensibilidad M i / Fj evalúa la variación en los momentos articulares respecto la variación introducida en las
fuerzas de contacto. Estos parámetros se definen como:
RMSEi 
N
1
N
 (M
k 1
NRMSEi 
NP
i
[ k ]  M iP [ k ]) 2
RMSEi
M
 M imin
max
i
M i M iNP [ k ]  M iP [ k ]

F j
F jNP  F jP
(3)
(4)
(5)
donde el subíndice i se refiere al índice de los momentos indicados en la Fig. (1), M iNP [ k ] es el momento
articular en el instante k obtenido en la primera simulación; M iP [k ] es el momento articular en el instante k
cuando las fuerzas de contacto son perturbadas y N es el número de pasos de la simulación (N=101). M imax y
M imin son el valor máximo y mínimo del vector M iNP respectivamente. Finalmente, FjNP  FjP es el incremento de
la fuerza de contacto (tangencial o normal) introducida en cada simulación.
Para realizar el análisis del error aleatorio, se tiene en cuenta que los sensores piezoeléctricos utilizados en las
placas de fuerza más habituales pueden llegar a tener un error alrededor del 5% [2]. Este error se modeliza
mediante una distribución Gaussiana de media cero (no se introducen errores de bias) y una desviación estándar,
, relacionada con el máximo error de los sensores. Así pues, se asocia el 5% del valor máximo de la fuerza de
contacto a 2. De esta manera, se asume que el 95% de los valores de la distribución estarán dentro del intervalo
de error considerado. Se simulan 2000 campanas de Gauss distintas –1000 para la fuerza tangencial y 1000 para
la normal– y se llevan a cabo Nsim=1000 simulaciones –las dos fuerzas son perturbadas al mismo tiempo–,
obteniéndose, para cada momento articular 1000 evoluciones distintas.
Para cada instante de tiempo k, y para cada momento Mi, se calcula la media i [k ] y la dispersión de estos
valores  i  k  como:
 i k  
N sim
1
N sim
 (M
n 1
i  k  
1
N sim
P
i
[ k , n]  i [k ]) 2
(6)
N sim
 (M
n 1
P
i
[ k , n])
(7)
donde el subíndice i se refiere al momento ilustrado en la Fig. (1), M iP [ k , n] es el momento articular i en el
instante k obtenido en la simulación n (n=1 Nsim) cuando las fuerzas de contacto son perturbadas. Nsim es el
número de simulaciones (Nsim =1000).
Igual que en el caso anterior, para que las desviaciones estándar en los distintos momentos sean comparables, se
define el parámetro adimensional i [k ] como el cociente entre dos veces la desviación estándar y el rango de
variación de cada uno de los momentos articulares:
i [k ] 
2 i [ k ]
M imax  M imin
(8)
Efectos del error en las mediciones de la fuerza de contacto pie-suelo en el ADI de la marcha
5
RESULTADOS Y DISCUSIÓN
Errores Sistemáticos
Como se ha explicado anteriormente se perturban de manera independiente las fuerzas normal y tangencial del
contacto pie-suelo. La Tabla (1) muestra los errores RMSE en el momento articular M1 consecuencia de añadir
una cantidad fija (–10N, –5N, 0N, +5N y +10N) a dichas fuerzas de contacto.
Tabla 1. Errores RMSE en el momento articular del tobillo de la pierna de apoyo (M1).
RMSE (Nm)
Ft–10N
Ft–5N
Ft +0N
Ft +5N
Ft +10N
Fn–10N
8.018
4.414
1.990
4.212
7.798
Fn –5N
7.775
4.009
0.995
3.899
7.662
Fn +0N
7.654
3.827
0
3.827
7.654
Fn +5N
7.662
3.899
0.995
4.009
7.775
Fn +10N
7.798
4.212
1.990
4.414
8.018
Al analizar la Tabla (1) se observa que los resultados presentan una simetría puntual. Por ejemplo, el valor del
error RMSE obtenido para una fuerza de contacto Fc=(Ft+10, Fn–5) es el mismo que para una perturbación
F=(Ft –10, Fn +5), las componentes de la matriz presentan una simetría respecto al punto donde las fuerzas de
contacto no han sido perturbadas. Si las perturbaciones son dos fuerzas de mismo módulo y sentido pero
direcciones opuestas, los momentos articulares se ven afectados variando su respuesta –incrementando en un
caso y disminuyendo en el otro– una misma cantidad.
El valor RMSE estima la media de los errores en módulo, y no tiene en cuenta en qué signo se producen estas
diferencias, por eso los valores presentados en la Tabla (1) en posiciones simétricas respecto el punto sin
perturbación son iguales. Esta tendencia se puede observar en las Figs. (2) y (3) para los momentos M1 y M4. Las
zonas recuadradas en las Figs. (2a) y (3a) son ampliadas en las Figs. (2b) y (3b) para ilustrar mejor las
diferencias durante los primeros 200 ms. La curva discontinua azul indica el valor del momento articular real
(cuando los datos de entrada no contienen error). Las líneas rojas cuantifican los momentos cuando la fuerza de
contacto es perturbada en una cantidad positiva, mientras qua las líneas verdes indican cantidades negativas de
perturbación. Las curvas continuas –roja y verde– indican los valores extremos calculados para una perturbación
máxima de Fc=(Ft+10, Fn+10) y Fc=(Ft–10, Fn–10), respectivamente.
400
300
-290
Fc=(+10,+10)
Fc=(0,0)
Fc=(-10,-10)
-300
-310
200
-320
M1 [Nm]
M1[Nm]
100
0
-100
Fc=(+10,+10)
Fc=(+5,+5)
Fc=(0,0)
Fc=(-5,-5)
Fc=(-10,-10)
-330
-340
-350
-360
-200
-370
-300
-400
0
-380
0.2
0.4
0.6
Tiempo [s]
(a)
0.8
1
-390
0
0.05
0.1
0.15
0.2
Tiempo [s]
(b)
Fig. 2. Momento articular del tobillo de la pierna de apoyo para distintas perturbaciones de la fuerza de
contacto. Fc indica el incremento de esta fuerza de contacto.
R. Pàmies-Vilà et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)
-1
-2
6
-6.1
Fc=(+10,+10)
Fc=(0,0)
Fc=(-10,-10)
Fc=(+10,+10)
Fc=(+5,+5)
Fc=(0,0)
Fc=(-5,-5)
Fc=(-10,-10)
-6.2
-6.3
-6.4
M 4 [Nm]
M 4 [Nm]
-3
-4
-6.5
-6.6
-5
-6.7
-6
-7
0
-6.8
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6.9
0
0.05
Tiempo [s]
0.1
0.15
0.2
Tiempo [s]
(a)
(b)
Fig. 3. Momento articular de la rodilla de la pierna de balanceo para distintas perturbaciones de la fuerza de
contacto. Fc indica el incremento de esta fuerza de contacto.
Para cada perturbación de la fuerza normal y tangencial se han calculado los errores RMSE hallando los
resultados presentados en la Tabla (2). La tabla muestra únicamente los errores para variaciones positivas de la
fuerzas de contacto, los valores para las cantidades negativas simuladas pueden ser hallados sabiendo que se
mantiene la simetría puntual que se ha comentado.
Estos errores pueden ser representados como una superficie en función del error de bias añadido a las fuerzas de
contacto. La Fig. (4). muestra los valores NRMSE en M4 para distintas cantidades fijas añadidas (Fuerzas desde
–10 N a +10 N con incrementos unitarios). En esta figura se puede observar la simetría puntual comentada
anteriormente.
Tabla 2. Errores RMSE y NRMSE en los momentos articulares de las extremidades inferiores.
RMSE (Nm)
NRMSE (%)
M1
Ft +0N
Ft +5N
Ft +10N
Fn +0N
0
3.827
7.654
Fn +5N
0.995
4.009
7.775
Fn +10N
1.990
4.414
8.018
Fn +0N
0
0.503
1.005
Fn +5N
0.131
0.526
1.021
Fn +10N
0.261
0.580
1.053
M2
Ft +0N
Ft +5N
Ft +0N
0
1.846
3.692
0.437
1.984
3.807
0.874
2.201
3.967
0
0.505
1.011
0.120
0.543
1.042
0.239
0.603
1.086
M3
Ft +0N
Ft +5N
Ft +10N
0
0.064
0.129
0.122
0.087
0.093
0.245
0.203
0.175
0
0.2912
0.5823
0.555
0.396
0.419
1.109
0.919
0.792
M4
Ft +0N
Ft +5N
Ft +10N
0
0.026
0.051
0.032
0.051
0.075
0.063
0.081
0.103
0
0.4602
0.9205
0.5695
0.9255
1.3463
1.139
1.466
1.851
M5
Ft +0N
Ft +5N
Ft +10N
0
0.373
0.746
0.167
0.540
0.913
0.334
0.706
1.080
0
0.665
1.330
0.297
0.962
1.627
0.594
1.259
1.924
Efectos del error en las mediciones de la fuerza de contacto pie-suelo en el ADI de la marcha
7
2
1.8
1.6
NRMSE [%]
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
10
Ft [N]
0
-10
10
5
0
-5
-10
Fn [N]
Fig. 4. Evolución del NRMSE en el momento articular de la rodilla de la pierna en balanceo.
En términos absolutos, el mayor valor RMSE se encuentra en el momento del tobillo de la pierna de apoyo M1,
con un valor de 8.0182 Nm mientras que el error relativo (NRMSE) más importante se encuentra en M5 con un
valor del 1.924%. Es necesario distinguir entre la pierna de apoyo y la pierna del balanceo. En el primer caso, los
momentos articulares de la rodilla y la cadera (M2 y M5) presentan unos valores RMSE más grandes que los
momentos en las mismas articulaciones de la pierna del balanceo (M3 y M4). Estos resultados están de acuerdo
con los publicados en [15].
Contrariamente, los valores NRMSE son mayores en los momentos articulares de la pierna del balanceo. La
diferencia entre el error absoluto y el error relativo se puede observar visualmente en las Figs. (2) y (3). Las
curvas en la Fig. (2a) son más próximas al valor original, mientras que se perciben más separadas en la Fig. (3a).
Sin embargo, existe una diferencia importante en el rango de variación de dichos momentos. Aquí radica la
importancia de comparar los valores RMSE y NRMSE.
La Tabla (2) muestra que los errores normalizados (NRMSE) son semejantes entre ellos –la diferencia entre el
valor máximo (1.851%) y el mínimo (0.120%) es pequeña–. En oposición, los valores RMSE distan un intervalo
más amplio, de hasta dos órdenes de magnitud –desde 0.026 Nm a 8.018 Nm–. Así pues, una perturbación en la
fuerza de contacto pie-suelo comporta un error relativo (NRMSE) similar en todos los momentos de las
extremidades inferiores, en cambio se aprecian diferencias significativas en el error absoluto RMSE.
El análisis de sensibilidad permite determinar cómo responden los momentos ante las variaciones en los datos
introducidos de la fuerza de contacto. Las Figs. (5a) y (5b) muestran las sensibilidad de los momentos Mi a las
perturbaciones en la dirección tangencial y normal, respectivamente. Los valores de la Fig. (5a) son casi tres
veces superiores a los de la Fig. (5b), los momentos articulares presentan más sensibilidad a las perturbaciones
de la fuerza tangencial que las mismas perturbaciones en la fuerza normal.
El momento M1 es el que presenta una sensibilidad mayor mientras que el momento M4 es muy poco sensible a
las perturbaciones en las fuerzas de contacto. Estos resultados, como era de esperar, presentan una misma
tendencia con los valores RMSE mostrados en la Tabla (2), donde se puede observar que M4 es el momento
articular con un error absoluto más pequeño (los valores del error RMSE son un orden de magnitud inferior).
Comparando los resultados para los cinco momentos estudiados, se observa que los momentos de la pierna de
apoyo presentan una sensibilidad más grande a las perturbaciones en la fuerza de contacto que los momentos
articulares de la pierna de balanceo.
R. Pàmies-Vilà et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)
8
0.3
M1
0.8
0.7
0.2
M2
0.1
M4
M3
Sensibilidad Nm/N
Sensibilidad Nm/N
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
M5
0
-0.1
-0.2
-0.1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-0.3
0
0.2
Tiempo [s]
0.4
0.6
0.8
1
Tiempo [s]
(a)
(b)
Fig. 5. Sensibilidad de los momentos articulares. (a) Sensibilidad a las perturbaciones en la fuerza tangencial.
(b) Sensibilidad a las perturbaciones en la fuerza normal.
La sensibilidad máxima es próxima a los valores publicados en [15] donde se detectaban errores máximos de
0.8 Nm/N para perturbaciones en la fuerza tangencial. Estos valores revelan la importancia de los errores en los
datos de entrada del ADI. Una variación de 1 N –error probable en una medición experimental–, puede producir
variaciones próximas a 1 Nm en los momentos de fuerza estimados.
Errores Aleatorios
Además de los errores sistemáticos analizados en la sub-sección anterior, las mediciones pueden contener errores
aleatorios. Estos errores son consecuencia de diferentes fuentes y se han modelizado mediante una distribución
de probabilidad Gaussiana. El análisis estadístico se ha hecho con 1000 muestras distintas de esta población.
Para comparar el efecto que las perturbaciones tienen en cada uno de los momentos articulares, se ha calculado,
para cada momento Mi, la media y la desviación estándar de los 1000 valores en cada instante temporal k.
Ordenando en orden creciente los valores de  i  k  , se observa que las desviaciones son mayores en el momento
articular M1 seguidas de las dispersiones en M2, M5, M3 y finalmente M4. Esta tendencia se mantiene
temporalmente a lo largo de la simulación y, como muestra de ello, la Tabla (3) contiene los valores máximos de
estas desviaciones estándares para cada momento. Esta tabla también contiene el valor máximo del parámetro
adimensional  definido en la Ec. (8).
Tabla 3. Desviación Estándar máxima y parámetro adimensional .
 imax [Nm]
 max [%]
M1
6.280
1.662
M2
3.184
1.743
M3
0.534
4.841
M4
0.125
4.513
M5
0.791
4.411
El valor máximo de  imax se encuentra en el momento M1 (6.28 Nm) mientras que la desviación máxima
esperada en el momento M4 es pequeña, tan solo de 0.125 Nm. No debe confundirse este análisis estadístico con
el análisis del error de bias. El valor de  imax es un indicador de la variabilidad en un instante temporal k, está
relacionado con el máximo valor de dispersión. En el análisis del error de bias, el valor RMSE cuantifica un
error medio a lo largo de la simulación, y no instantáneo como . De esta manera, el valor  imax indica que una
perturbación Gaussiana en la fuerza de contacto, puede alterar el valor del momento M1 en una cantidad máxima
de 12.56 Nm (con un intervalo de confianza del 95%).
El parámetro  pone de manifiesto que, en términos relativos al rango del momento, las desviaciones en M3, M4
y M5 son más importantes (4.841%, 4.513% y 4.411%, respectivamente). En este caso los dos momentos de la
cadera presentan resultados relativos similares y no se observa una diferencia tan clara entre la pierna de apoyo y
de balanceo –como pasaba en el análisis de los errores sistemáticos–.
Efectos del error en las mediciones de la fuerza de contacto pie-suelo en el ADI de la marcha
9
Finalmente, la Fig. (6) muestra los resultados para el momento articular del tobillo de la pierna de apoyo y para
el momento de la rodilla de la pierna de balanceo. En azul se ha representado la media de las 1000 simulaciones,
la línea continua roja indica el intervalo de confianza ±2. En verde se ha representado el valor del momento
obtenido en una de las 1000 simulaciones. Como se aprecia en la imagen, la oscilación del momento es
importante, y se pone de manifiesto la necesidad de un filtrado a errores de alta frecuencia.
400
-290
M M1
300
1
-300
±2Sigma
M M
±2
1
MM
1
1
M M1±2Sigma
±2
1
1
-310
200
MM
1i
1i
-320
M1 [Nm]
M1 [Nm]
100
0
-100
-330
-340
-350
-360
-200
-370
-300
-380
-400
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-390
0
1
0.05
0
0.2
-5.9
M
4M
M4 real
M
-6
4
M ±2
4
M4±2Sigma
M ±2
4
M4±2Sigma
4
-6.1
-2
M
M4 pert.
4i
-6.2
M 4 [Nm]
M 4 [Nm]
0.15
(b)
(a)
-1
0.1
Tiempo [s]
Tiempo [s]
-3
-4
-6.3
-6.4
-6.5
-6.6
-5
-6.7
-6
-6.8
-7
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-6.9
0
0.05
0.1
Tiempo [s]
Tiempo [s]
(c)
(d)
0.15
0.2
Fig. 6. Momentos articulares y el rango de variación debido a las perturbaciones Gaussianas
(a) y (b) Momento articular M1, (c) y (d) Momento articular M4.
CONCLUSIONES
En este trabajo se han aplicado técnicas de dinámica multicuerpo para estudiar los efectos que los errores en las
mediciones de la fuerza de contacto pie-suelo causan en los resultados de un análisis dinámico inverso de la
marcha humana. Se ha estudiado el efecto de tener un error sistemático en estas mediciones –añadiendo una
cantidad fija a la medición original– y el efecto provocado por errores aleatorios –simulado con una distribución
Gaussiana–.
El análisis de los resultados muestra que, para el caso de los errores sistemáticos, el momento más sensible a los
errores en las placas de fuerza es el momento articular en el tobillo del pie en contacto con el suelo. Los
momentos más alejados de este punto son los que presentan unos errores absolutos menores –medidos a partir
del valor RMSE–. Además, el estudio de sensibilidad muestra que, pequeñas variaciones en la fuerza de entrada,
pueden provocar errores en los momentos articulares de hasta 0.8 Nm/N.
R. Pàmies-Vilà et al. / XVIII Congreso Nacional de Ingeniería Mecánica (2010)
10
Por otro lado, los errores aleatorios no son despreciables y pueden conducir a errores importantes en la
estimación de los momentos. Los procesos de filtrado de alta frecuencia son necesarios si se quieren utilizar las
mediciones de la placa de fuerza como dato de entrada del ADI.
Teniendo en cuenta que los errores introducidos son errores realistas –incluso a veces inferiores a los resultados
de error publicados en algunos estudios–, y sabiendo que los resultados del ADI son muy sensibles a pequeñas
variaciones de los parámetros de entrada, la práctica de utilizar directamente las mediciones de las placas de
fuerza como parámetros de entrada en el análisis no es la más adecuada. Es más apropiado utilizarlos como datos
comparativos de validación del modelo en un problema de optimización.
Los resultados presentados son útiles para conocer como los errores de las mediciones de una placa de fuerza
pueden alterar los momentos articulares y qué errores se pueden cometer si se utilizan dichas mediciones como
datos de entrada en un ADI. En este trabajo, el movimiento de la marcha está impuesto y el modelo del cuerpo
humano está restringido a moverse en el plano sagital (movimiento bidimensional). En trabajos futuros está
previsto utilizar un modelo realista tridimensional y las capturas del movimiento real de la marcha.
AGRADECIMIENTOS
Los autores agradecen al Ministerio de Ciencia e Innovación por la financiación del proyecto de investigación
DPI2009-13438-C03.
REFERENCIAS
[1] J. Ambrósio, A. Kecskeméthy, Multibody Dynamics of Biomechanical Models for Human Motion via
Optimization, in Multibody Dynamics: Computational Methods and Applications, (2007), 245-272.
[2] B.M. Nigg, W. Herzog (Eds.), Biomechanics of the musculo-skeletal system, Wiley: West Sussex,
England, (1999).
[3] H. Hatze, The fundamental problem of myoskeletal inverse dynamics and its implications, Journal of
Biomechanics, 35 (2002), 109-115.
[4] A.D. Kuo, A least-squares estimation approach to improving the precision of inverse dynamics
computations, Journal of Biomechanical Engineering, 120 (1998), 148 -159.
[5] A. Cappozzo, L. Tommaso, A. Pedotti, A general computing method for the analysis of human locomotion,
Journal of Biomechanics, 8 (1975), 307-320.
[6] R. Dumas, E. Nicol, L. Chèze, Influence of the 3D Inverse Dynamic Method on the Joint Forces and
Moments During Gait, Journal of Biomechanical Engineering, 129, 5 (2007), 786-790.
[7] A. Forner-Cordero, H.J.F.M. Koopman, F.C.T. Van der Helm, Inverse dynamics calculations during gait
with restricted ground reaction force information from pressure insoles, Gait and Posture 23, 2 (2006),
189-199.
[8] S.T. McCaw, P. DeVita, Errors in alignment of center of pressure and foot coordinates affect predicted
lower extremity torques, Journal of Biomechanics, 28, 8 (1995), 985-988.
[9] R. Pàmies-Vilà, J.M. Font-Llagunes, J. Cuadrado, F.J. Alonso, Influence of input data errors on the
inverse dynamics analysis of human locomotion. 1st Joint International Conference on Multibody System
Dynamics. Proceedings CD, Lappeenranta, Finland (2010).
[10] R. Barlett, Force platforms and external force measurements. In R. Barlett (Ed), Introduction to sports
biomechanics, 206-227, E&FN SPON, London (2007).
[11] S. Psycharakis, S. Miller, Estimation of errors in force platform data. Research Quarterly for Exercise &
Sport, 77, 4 (2006), 514-518.
[12] R. Dumas, L. Cheze, J.P. Verriest, Adjustments to McConville et al. and Young et al. body segment inertial
parameter,. Journal of Biomechanics 40, 3 (2007), 543-553. Corrigendum Journal of Biomechanics 40, 7
(2007), 1651-1652.
[13] J. García de Jalon, E. Bayo, Kinematic and Dynamic Simulation of Multibody Systems. The Real-Time
Challenge, Springer-Verlag, New-York (1994).
[14] R.S. Figliola, D.E. Beasley, Theory and Design for Mechanical Measurements, John Wiley and Sons,
tercera edición (2000).
[15] M.P.T Silva, J.A.C Ambrósio, Sensitivity of the results produced by the inverse dynamic analysis of a
human stride to perturbed input data, Gait and Posture, 19 (2004), 35-49.