Repartido de matemática

Repartido de matemática
6to Ingeniería
Matemática II
2014
Prof. Alejandro Oyhenart
Marzo de 2014
Por cualquier, duda, sugerencia, consulta sobre las referencias del material o corrección del mismo:
http://repartidosdelliceo2.jimdo.com
Repartido de matemática – Matemática II – Sexto Ingeniería
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Ficha 0 – Conceptos básicos de la geometría métrica.
Conceptos primitivos – Axiomática – Primeras definiciones
Consideraciones previas: La primera ficha de trabajo no pretende ser un desarrollo teórico de la geometría métrica.
Únicamente pretende refrescar los conceptos básicos, que el programa de secundaria, asume que el alumno ya sabe. El
alumno debe tener claro, que de ninguna forma esta primera ficha es representativa de los objetivos, o de la exigencia
del curso. En ese sentido puede decirse que esta primera ficha de trabajo, es una condición necesaria pero no suficiente
para el correcto abordaje de la asignatura.
Conceptos primitivos: Consideramos en geometría métrica un conjunto
axiomático conocido
universal al que llamamos ESPACIO (anotamos E) formado por una
como Postulados de
cantidad infinita de elementos a los que llamamos PUNTOS, que escribimos
Euclides, los cuales de
con letras mayúsculas de nuestro alfabeto (A, B, C,...)
una forma sencilla y
En E, encontramos infinitos subconjuntos llamados PLANOS a los que
lógica dan lugar a
la Geometría
anotaremos con letras del alfabeto griego ( ,  ,  , ) y a su vez en
euclidiana.
cada Plano encontramos infinitos subconjuntos llamados RECTAS a los que
Los Elementos es
representaremos con letras minúsculas de nuestro alfabeto (a, b, c,...)
considerado uno de los
libros de texto más divulgado en la
 Espacio
historia y el segundo en número de
 Plano

ediciones publicadas después de
Llamaremos entonces, Conceptos primitivos a: 
la Biblia.
Durante varios siglos,
 Recta
el
quadrivium
estaba incluido en el
 Punto
temario
de
los
estudiantes
universitarios,
y se
exigía
el
Observación: Entendemos por conceptos primitivos aquellos conceptos
conocimiento de este texto.
a. Dos puntos cualesquiera determinan
una única recta.
Axioma de determinación de una recta: Dos puntos distintos determinan una
b. Dos puntos cualesquiera están
única recta.
siempre alineados.
c. Dos puntos siempre son coplanares.
Axioma de determinación de un plano: Tres puntos no alineados determinan d. Dos puntos cualesquiera definen un
un único plano.
plano.
e. Tres puntos cualesquiera son
siempre coplanares.
Axioma: Si dos puntos de una recta pertenecen a un plano la recta está incluida1
f.
Tres puntos cualesquiera siempre
en el plano
definen un plano.
g.
Cuatro puntos cualesquiera son
Observación: Los axiomas son proposiciones tomadas como verdaderas sin ser
siempre coplanares.
demostradas y que forman junto a los conceptos primitivos las bases sobre las
cuales se construye la teoría.
Euclides ( 325 a.C. – 265 a.C. ) En los trece volúmenes de “Los Elementos” Euclides
recopila gran parte del saber matemático de su época. Representa aquí el sistema
1
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primarios, que no son definidos, por la imposibilidad de referirlos a otros más
sencillos. De igual forma que tomamos como conceptos primitivos el espacio,
el plano, la recta y el punto tomaremos como conceptos primitivos: conjunto,
¿Verdadero o falso?
elemento y pertenece.
Entendemos por incluido que todos sus puntos pertenezcan al plano.
1
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La recta en el espacio:
1. Definición: Dos rectas son paralelas cuando son coplanares y no secantes.
2. Definición: Dos rectas son coincidentes cuando todos sus puntos son
comunes.
3. Definición: Dos rectas son secantes cuando tienen un solo punto en común
4. Definición: Dos rectas son perpendiculares cuando son secantes y
determinan cuatro ángulos congruentes.
5. Definición: Dos rectas se cruzan cuando no son coplanares
Observaciones: Según la definición de rectas paralelas dos rectas coincidentes
son paralelas, pero dos rectas paralelas no necesariamente son coincidentes. De
igual forma dos rectas perpendiculares son secantes, pero dos rectas secantes no
necesariamente son paralelas.
En resumen:


Coincidentes

Paralelas 
 No coincidentes
 Coplanares 


Rectas en el espacio 
Secantes Perpendiculares



 No perpendiculares


 No Coplanares (Alabeadas)
Axioma de Euclides: Dada una recta y un punto exterior a ella, existe y es
única la recta paralela a la dada por el punto.
Observación: Entendemos por conjunto intersección de otros dos conjuntos, a
aquel formado por todos sus elementos comunes. O sea la intersección de dos
rectas (conjunto de puntos) es el conjunto formado por todos los puntos
comunes a ambas rectas. En caso de no haber puntos en común entre las dos
rectas, como es el caso de las rectas paralelas o las que se cruzan diremos que la
intersección es el conjunto vacío y anotaremos como a  b   , en caso
origen de la geometría surge con los
primeros pictogramas que
traza
el
hombre primitivo pues, seguramente,
clasificaba aún de manera inconsciente
lo que le rodeaba según su forma. En la
abstracción de estas formas comienza el
primer acercamiento informal e
intuitivo a la geometría. Las primeras
civilizaciones mediterráneas adquieren
poco a poco ciertos conocimientos
geométricos de carácter eminentemente
práctico. La geometría en el antiguo
Egipto estaba muy desarrollada, los
Griegos aceptaron que los egipcios
habían "inventado" la geometría y la
habían enseñado a los griegos; aunque
lo único que ha perdurado son algunas
fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos
expresados en forma de "receta"– para
calcular volúmenes, áreas y longitudes,
cuya finalidad era práctica. Con ellas se
pretendía, por ejemplo, calcular la
dimensión de las parcelas de tierra, para
reconstruirlas
después
de
las
inundaciones anuales. De allí el
nombre geometría: "medición de la
tierra"
Los
denominados
Papiro
de
Ahmes y Papiro de Moscú muestran
conjuntos de métodos prácticos para
obtener diversas áreas y volúmenes,
destinados al aprendizaje de escribas. Es
discutible si estos documentos implican
profundos conocimientos o representan
en cambio todo el conocimiento que los
antiguos egipcios tenían sobre la
geometría.
Los historiadores antiguos nos relataron
contrario, o sea que existan elementos comunes entre las dos rectas, como es el
que el conocimiento de esta civilización
caso de las rectas secantes o las coincidentes anotaremos el conjunto solución
sobre geometría –así como los de las
como a  b  P si la solución es un punto o a  b  a si es una recta. En culturas
mesopotámicas–
pasó
resumen la intersección de dos rectas solamente puede ser un conjunto vacío, un íntegramente a la cultura griega a través
conjunto formado por solo un punto o un conjunto formado por infinitos puntos de Tales de Mileto, los pitagóricos y,
esencialmente, de Euclides.
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POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS EN EL
El inicio: Es razonable pensar que el
ESPACIO
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La Recta y el Plano en el Espacio:
1. Definición: Una recta y un plano son paralelos cuando no tienen puntos en
común o cuando la recta está incluida en él.
2. Definición: Una recta está incluida en un plano cuando todos sus puntos
pertenecen a él.
3. Definición: Una recta es secante a un plano cuando tiene un solo punto en
común con él.
4. Definición: Una recta es perpendicular a un plano cuando es perpendicular
a todas las rectas que pasan por su pie2.
En resumen:

Recta sin puntos comunes con el plano
Paralelos 

Recta incluida en plano
Plano y recta en el espacio 
Secantes Secantes no perpendiculares


Secantes perpendiculares

Observación: la intersección de una recta y un plano solamente puede ser un
conjunto vacío, un conjunto formado por solo un punto o un conjunto formado
por infinitos puntos.
El Plano en el Espacio:

Coincidentes
Paralelos 

 No Coincidentes
En resumen: Planos en el Espacio 
Secantes Perpendiculares


 No Perpendiculares

Observación: Dados dos planos paralelos, todo plano secante a uno de ellos
necesariamente es secante al otro.
Observación: La intersección de dos planos solamente puede ser un conjunto
vacío, una recta o un plano.
2
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1. Definición: Dos planos son paralelos cuando no tienen puntos en común o
cuando tienen todos sus puntos en común.
2. Definición: Dos planos son coincidentes cuando tienen todos sus puntos en
común.
3. Definición: Dos planos son secantes cuando no son paralelos.
4. Definición: Dos planos son perpendiculares cuando uno de ellos contiene
una recta perpendicular al otro.
Entendemos por pie al punto de intersección de la recta con el plano.
3
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Teano, la primera mujer matemática
Semirrecta y segmento de recta:
Como hemos visto en número entero, sobre una recta puede establecerse un
ordenamiento3 de sus puntos.
A
O
B
Existen aquí dos ordenamientos naturales, uno si seguimos la flecha superior
donde el orden de los puntos sería A, O, B y otro si seguimos la flecha inferior
en donde el orden de los puntos sería B, O, A
Definición: Llamamos semirrecta al conjunto de puntos de la recta formada por
un punto (origen) y todos los que le siguen en un ordenamiento natural.
Leemos entonces AB como la semirrecta de origen A que contiene a
B y BA como la semirrecta de origen B que contiene a A.
Segmento de recta:
Consideremos la semirrecta AB y la semirrecta BA
A
B
A
B
Observación: el segmento de recta es entonces la intersección de las
semirrectas
3
En cursos posteriores se profundizará sobre el concepto de orden, por ahora será
tomado de forma intuitiva.
Es difícil encontrar un
libro de matemática, o
de ciencias en general,
en donde destaquen las
mujeres. Esto no es
culpa ni
de la
matemática ni de las
mujeres, sino de las
estructuras sociales a la
que
han
estado
expuestas.
La primera mujer matemática fue Teano,
natural de Crotona (Grecia, s.VIa.C.).
Fue discípula y esposa de Pitágoras y se le
atribuye haber escrito tratados de
Matemática, Física y Medicina, y también
sobre la proporción áurea. Al igual que el
resto de los pitagóricos, sostenía que
todos los objetos materiales estaban
compuestos por números naturales; sin
embargo, fue la primera en plantear la
existencia del número áureo como esencia
del universo.
A Teano se le atribuye un tratado Sobre la
Piedad del que se conserva un fragmento
con una disquisición sobre el número:
“He oído decir que los griegos pensaban
que Pitágoras había dicho que todo había
sido engendrado por el Número. Pero
esta afirmación nos perturba: ¿cómo nos
podemos imaginar cosas que no existen y
que pueden engendrar? Él dijo no que
todas las cosas nacían del número, sino
que todo estaba formado de acuerdo con
el Número, y a que en el número reside el
orden esencial, y las mismas cosas
pueden
ser
nombradas primeras,
segundas, y así sucesivamente, sólo
cuando participan de este orden.”
Tras la muerte de Pitágoras, continuó
dirigiendo la escuela junto con sus dos
hijas. Como anécdota se cuenta que un
discípulo joven se prendó de Teano en
cuanto la vio y preguntó su edad a
Pitágoras, quien le respondió: “Teano
es perfecta y su edad es un número
perfecto”. “Maestro, ¿no podría usted
darme más información?”, insistió el
enamorado, a lo que el pensador
contestó: “La edad de Teano, además
de ser un número perfecto, es el número
de sus extremidades multiplicado por el
número de sus admiradores que es un
número primo”
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PLANO Y RECTA
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SEMIPLANO Y ÁNGULO:
Semiplano:
Propiedades:
Consideremos un plano  , en él una recta r y un punto A exterior a la recta. El Dos rectas secantes determinan ángulos
plano queda dividido en dos regiones a las que llamaremos semiplanos, uno de opuestos por el vértice congruentes.
borde r que contiene al punto A y otro que no.
Anotaremos entonces: (r, A ) semiplano que contiene a r y a A.
(r, A ) semiplano que contiene a r y no contiene a A
r
Consideramos dos rectas paralelas a y b
y una transversal t, pinte de igual color
los ángulos congruentes.
A.

Ángulo:
Consideremos tres puntos no alineados A, B, C en el plano y las
semirrectas AB y AC
C
B



 
Llamamos ángulo BAC o CAB a la intersección de AB,C y AC,B

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A
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Segmentos consecutivos:
Ángulos consecutivos:
Dos segmentos son consecutivos si tienen un extremo en Dos ángulos son consecutivos si tienen un lado y el
común.
vértice en común.
B
C
A
D
O
Dos segmentos son colineales si están incluidos en la
misma recta.
A
B
C
D
Medición de ángulos:
Medición de segmentos:
Llamamos medida segmentaria lineal al número de veces Llamamos ángulo recto a los ángulos determinados por la
intersección de dos rectas perpendiculares.
que una unidad de medida lineal está contenida en otra.
El sistema de medida angular es de base 60 (sexagesimal),
en el que 1 
A
1
de un ángulo recto.
90
B
Medida de AB = 4
Unidad de medida
Llamaremos ángulo agudo a todo ángulo menor a 90° y
ángulo obtuso a aquel mayor a 90°
La suma geométrica de dos o más segmentos es, el La suma geométrica de dos o más ángulos es, el ángulo
segmento que se obtiene al transformarlos en que se obtiene al transformarlos en consecutiva.
consecutivos colineales.
α
β
a
b
c
M
a
b
Suma geométrica: a + b + c = MN
Suma aritmética: 3 cm + 2 cm +1 cm = 5 cm
c N
Suma geométrica:     
Suma aritmética: 15° + 45° = 60°
Observación: En forma análoga pueden ser definidas las diferencias.
α +β =γ
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Suma de ángulos:
Suma de segmentos:
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Producto de un número natural por un segmento:
Producto de un número natural por un ángulo:
Es la suma de n veces el segmento dado:
Es la suma de n veces el ángulo dado:
Suma geométrica:
X3=
Suma aritmética: 1 cm  3 =3 cm
X3=
Observación:
La suma de los segmentos que conforman los lados de una Suma geométrica:       3
figura plana cerrada se llama perímetro.
Suma aritmética: 30  30  30  90
Observación:
a3
1.
Llamamos ángulos complementarios a dos ángulos
cuya suma es un ángulo recto. (90°)
2. Llamamos ángulos suplementarios a dos
ángulos cuya suma es un ángulo llano. (180°)
Bisectriz
recta La bisectriz de un ángulo es la semirrecta interior que
divide al ángulo en dos ángulos congruentes.
Propiedad: Los puntos de la mediatriz equidistan Propiedad: Los puntos de la bisectriz se encuentran a
de los extremos del segmento
igual distancia de los lados del ángulo
Algoritmo de construcción:
1) Construye el segmento de recta AB
y C
2) Construye las circunferencias C
A, r
3)
C
A, r
C
B, r
 M, N
4) Traza la mediatriz MN
B, r
1) Construye el ángulo y toma un punto A en uno de sus
lados, toma un punto B en el otro lado de manera tal que
la distancia entre O y A sea igual a la de O y B
y C
2) Construye las circunferencias C
tal
A, r
que C
A, r
C
B, r
 O, P
3) Traza la bisectriz OP
B, r
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Mediatriz
La mediatriz de un segmento, es la
perpendicular al mismo en su punto medio.
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POLÍGONOS
Definición: Llamamos polígono plano a la región del plano determinada por Elementos del polígono:
una figura plana cerrada.
Lado: es cada uno de los segmentos
Definición: Diremos que dos polígonos son equivalentes si tienen igual área. que conforman el polígono.
Vértice:
es
el
punto
Definición: Diremos que un polígono es regular si tiene todos sus lados de intersección (punto de unión) de
congruentes
dos lados consecutivos.
Diagonal : es el segmento que une dos
Clasificación de polígonos:
vértices no consecutivos
Polígonos Convexos: un polígono es convexo si todos los segmentos cuyos Ángulo interior: es el ángulo
formado internamente por dos lados
extremos pertenecen a él están incluidos en el polígono
consecutivos.
Ángulo exterior: es el ángulo
formado por un lado y la prolongación
de un lado consecutivo.
Polígonos Cóncavos: un polígono es cóncavo si no es convexo
Definiciones:
1. Vértices a los puntos A, B y C
2. Lados a los segmentos AB, AC,
BC
3. Ángulos
interiores



ABC, BCA, CAB
Triángulos:
A
B
Definición: Llamamos triángulo ABC (anotamos: ABC ) a la intersección
 AB, C   BC, A    AC, B
Teorema: La suma de los ángulos interiores de un triángulo es un ángulo
llano:
C
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Consideremos tres puntos no alineados A, B, C y los semiplanos: (AB, C);
(BC, A); (AC, B)
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Clasificación de los triángulos:
Por sus ángulos:
Por sus lados:
Sea ABC triángulo
Si un triángulo tiene sus tres lados
congruentes lo llamaremos Equilátero
Sea ABC triángulo
Si un triángulo tiene sus tres ángulos agudos lo
llamaremos Acutángulo
C
AB =c AC=cBC
C
Nota: Todo triángulo
equilátero tiene sus tres
ángulos congruentes.
A
B
Sea ABC triángulo
Si un triángulo tiene un ángulo obtuso lo llamaremos
obtusángulo
A
B
C
Sea ABC triángulo
Si un triángulo tiene dos de sus lados
Congruentes, lo llamaremos Isósceles
A
B
AC=cBC
Nota: Todo triángulo
isósceles es isoángulo.
Estos serán los adyacentes
a los lados congruentes.
C
Nota: En todo triángulo
rectángulo llamamos catetos
a
a los lados del triángulo
A
B
b
adyacentes su ángulo recto
e hipotenusa al lado opuesto.
Sea ABC triángulo
A
c
B
Si un triángulo no tiene lados congruentes, lo llamaremos Relaciones entre sus lados y ángulos.
Escaleno
Teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo se
cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es
C
Nota: Todo triángulo
igual al cuadrado de la hipotenusa:
escaleno no tiene ángulos
congruentes.
2
2 2
En símbolos:
ABC rectángulo en A  a  b  c
Relaciones trigonométricas:
A
B
medida del cateto adyacente a 
medida de la hipotenusa
medida del cateto opuesto a 
sen 
medida de la hipotenusa
medida del cateto opuesto a 
tan  
medida del cateto adyacente a 
cos  
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C
Sea ABC triángulo
Si un triángulo tiene un ángulo recto, lo llamaremos
Rectángulo
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Criterios de congruencia de triángulos:
El siguiente problema aparece en el
Primer Criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
Summa de Luca Pacioli. Resuélvelo.
congruentes dos lados y el ángulo comprendido.
“Hallar los lados de un triángulo
sabiendo que el radio de la
circunferencia inscrita es cuatro y que
los segmentos en que divide a uno de
los lados el punto de tangencia miden
Segundo criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes un lado y los dos ángulos adyacentes
seis y ocho.”
Supongamos que el lado AB mide 14
(AM=6 y MB=8)
Cuarto criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos.
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Tercer criterio: Dos triángulos son congruentes si tienen respectivamente
congruentes sus tres lados.
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Puntos y rectas notables en el triángulo:
Traza las bisectrices de los ángulos interiores de un
Traza las mediatrices de los lados de un triángulo triángulo cualquiera
cualquiera
Llamamos Incentro de un triángulo al punto de
Llamamos Circuncentro de un triángulo al punto de
intersección de las bisectrices de sus ángulos.
intersección de las mediatrices de sus lados.
Traza ahora la circunferencia de centro O y radio OA.
Llamamos a C
o,OA
Traza la perpendicular a AB por I llama R a su punto de
intersección. Construye la Co,IR
: circunferencia circunscripta a ABC
Llamamos a C
: circunferencia inscripta a ABC
o,IR
Definición: Llamamos altura de un triángulo a los
segmentos de recta incluidos en rectas perpendiculares a
los lados, que tienen por extremo, un vértice y el punto
Definición: Llamamos mediana de un triángulo a los
perteneciente al lado opuesto de dicho vértice.
segmentos de recta que tienen por extremos un vértice del
triángulo y el punto medio del lado opuesto.
Traza las alturas de un triángulo cualquiera
Llamamos Ortocentro de un triángulo al punto de
Lamamos Baricentro de un triángulo al punto de
intersección de las alturas de sus lados.
intersección de las medianas.
Observación:
El segmento GC es el doble de GN
El segmento GB es el doble de GM
El segmento GA es el doble de GP
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Traza las medianas de un triángulo cualquiera
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Cuadriláteros:
Consideremos cuatro puntos no alineados A, B, C, D y los semiplanos: (AB, C); (AD, B); (DC, B) y (BC, A)
Llamamos cuadrilátero (A,B,C,D) a:  AB, C    AD, B    DC, B    BC, A
Propiedad: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360°
Clasificación de cuadriláteros:
Trapecios
Cuadriláteros con al menos un par de lados paralelos.
Paralelogramos
Cuadriláteros con dos pares de lados
paralelos.
Rectángulos
Cuadriláteros con cuatro
ángulos congruentes
No paralelogramos
Cuadriláteros con solo un par de lados
paralelos o con ninguno de ellos.
Rombos
Cuadriláteros con cuatro
lados congruentes
Cuadrados
Cuadriláteros de lados y ángulos congruentes
No Trapecios
Cuadriláteros con ningún par de lados paralelos.
Cuadriláteros con dos pares de lados congruentes
en forma consecutiva
No romboides
Cuadriláteros sin lados congruentes
Observación: También pueden clasificarse los trapecios en:
1. Trapecios escalenos: es todo trapecio cuyos lados no paralelos no son congruentes.
2. Trapecios isósceles: es todo trapecio cuyos lados no paralelos son congruentes.
3. Trapecios rectángulos: es todo trapecio con un ángulo recto.
Nota: Si bien pueden desarrollarse propiedades sobre otros polígonos, nosotros no lo haremos.
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Romboides
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CIRCUNFERENCIA
Definición: Llamamos circunferencia de centro O y radio r al
conjunto de puntos del plano que distan r de O (anotamos CO ,r )
Posiciones relativas de una recta respecto de una circunferencia:
Recta exterior: Es aquella sin punto de intersección con la
circunferencia.
Recta tangente: Es aquella con un único punto en común con la
circunferencia.
Recta secante: Es aquella que tiene uno o dos puntos de intersección con
la circunferencia.
Observación: Si T es el punto de tangencia de una recta con una
circunferencia y O es el centro de la circunferencia, la recta OT es
perpendicular a la tangente en T.
Cuerda: Es un segmento cuyos extremos pertenecen a la circunferencia.
Diámetro: Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
Radio: Es un segmento que tiene por extremo el centro de la
circunferencia y un punto perteneciente a ella.
Ángulo al centro: es un ángulo cuyo vértice es el centro de la
circunferencia.
Arco: Dados dos puntos A y B en una circunferencia llamamos arco de
extremos A y B a todos los puntos de la circunferencia que se encuentran
entre A y B.
Punto interior: Diremos que un punto es interior a una circunferencia si
su distancia al centro es menor al radio.
Punto exterior: Diremos que un punto es exterior a una circunferencia si
su distancia al centro es mayor al radio.
Círculo: Es el conjunto de puntos de la circunferencia y sus puntos
interiores
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Definiciones en la circunferencia:
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Polígonos y circunferencia:
Definición: Un polígono está inscripto en una circunferencia si todos sus vértices están en la circunferencia.
Definición: Un polígono está circunscrito en una circunferencia si todos sus lados son tangentes a la
circunferencia.
Polígono inscripto:
Polígono circunscrito:
Cálculo de áreas de polígonos planos:
Observación: Cuando hablamos de área de un polígono plano, nos referimos a comparar su superficie con la de un
cuadrado, o sea definimos área de un cuadrado como el número que se obtiene de elevar al cuadrado la medida de
su lado, si nos referimos a un cuadrado de lado 3 u su área será entonces 32 o sea 9 u 2 . Ahora por una cuestión de
comodidad se calcula el área de un polígono en función del área de un cuadrado de lado 1.
Ejemplos: Si tomamos como unidad de medida el lado de este cuadrado:
12 2
u o sea 6 u 2
2
Polígono plano
Fórmulas para el cálculo del área
A
Triángulo
Rectángulo
A  L  l ; L lado mayor y l lado menor
Paralelogramo
A  b  h ; b base y h altura
Rombo
Trapecio
Polígono regular
Círculo
4
bh
; b base y h altura 4
2
Dd
; D diagonal mayor y d diagonal menor
2
 B  b   h ; B base mayor y b base menor
A
2
pa
A
; p perimetro y a apotema
2
A
A    r 2 ; r radio
Con base, nos referimos a la medida de la base, de igual forma con altura, diagonal, apotema, etc.
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área del triángulo será
el área del rectángulo será 12 u 2 y el
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ESPACIO
Semiespacio:
Consideremos el espacio E, en él un plano  y un punto A exterior al plano. El espacio queda dividido entonces
en dos regiones a las que llamaremos semiespacios, uno que contiene al punto A y otro que no.
Anotaremos entonces: (  , A ) semiespacio que contiene a  y a A.
(  , A ) semiespacio que contiene a  y no contiene a A
A.

Ángulos en el espacio:
Definición: Llamamos diedro a la región del espacio limitada por dos semiplanos
Observación: Puede definirse semiplano bisectriz de un diedro al semiplano que tiene por borde la arista5 del
diedro y lo divide en dos regiones congruentes. De igual forma puede definirse plano mediatriz de un segmento al
plano perpendicular a un segmento en su punto medio.
Ángulo poliedro: Dado un polígono cualquiera de vértices ABCD y un punto O exterior al plano que contiene al
polígono, consideramos los ángulos convexos6 AOB, BOC, COD, DOE, EOA , formados por las semirrectas
que unen O con los vértices del polígono. La superficie formada por esos ángulos limitará una parte del espacio,
que llamaremos ángulo poliedro.
O
E
D
C
A
B
En particular llamaremos triedro a la parte del espacio limitada por los planos de tres ángulos cuyos lados son tres
semirrectas de origen común.
5
6
Entendemos por arista de un diedro a la recta determinada por la intersección de los dos planos que lo definen
Entendemos por ángulo convexo aquel menor a 180º
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Definición: Llamamos rectilíneo de un diedro al ángulo formado por las intersecciones de sus caras con un plano
perpendicular a la arista.
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POLIEDROS
Definición: Llamamos poliedro a la región del espacio limitada por polígonos planos7.
Definición: Diremos que dos poliedros son equivalentes si tienen igual volumen.
Observación: Cuando hablamos de volumen de un poliedro, nos referimos a comparar la región del espacio que
ocupa, con la de un cubo, o sea definimos volumen de un cubo como el número que se obtiene de elevar al cubo la
medida de su arista, si nos referimos a un cubo de arista 3 u su volumen será entonces 33 o sea 27 u 3 . Ahora por
una cuestión de comodidad se calcula el volumen de un poliedro en función del volumen de un cubo de arista 1.
1.
Prisma
Definición: Llamamos prisma al poliedro limitado por dos polígonos congruentes, situados en planos paralelos,
y por tantos paralelogramos como lados tenga uno de aquellos polígonos.
Definición: Diremos que un prisma recto es si los planos de las bases son perpendiculares a las aristas laterales,
de lo contrario es oblicuo.
p perímetro de la base, B área de la base
h
h
Área lateral: Alateral  p.h
Área total: A total  p.h  2B
2. Paralelepípedo
Volumen: V  B.h
p perímetro de la base, B área de la base
Área lateral: Alateral  p.h
Área total: A total  p.h  2B
Volumen: es el producto de las tres dimensiones.
7
Llamamos caras de un poliedro a los polígonos que lo definen, aristas a los segmentos de recta comunes a dos caras del
poliedro y vértices a los puntos comunes a lados del poliedro.
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Definición: Llamamos paralelepípedo a un prisma cuyas bases son paralelogramos.
Observación: Llamamos dimensión de un paralelepípedo a las tres aristas concurrentes en un vértice
Observación: El cubo es un paralelepípedo cuyas tres dimensiones son congruentes.
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3. Pirámide
Definición: Llamamos pirámide al poliedro en que una de las caras es un polígono cualquiera, y las otras son
triángulos que tienen por bases respectivas los diferentes lados de la cara poligonal y, como vértice común, un unto
exterior a dicha cara.
Observación: Una pirámide es regular, cuando es recta y tiene como base un polígono regular.
p perímetro de la base, B área de la base
a
h
Área lateral: A lateral 
Área total: A lateral 
p.a
2
p.a
B
2
B.h
3
Poliedro regular
tetraedro
Hexaedro
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
Polígono que
forma las caras
Triángulo
equilátero
Cuadrado
Triángulo
equilátero
Pentágono regular
Triangulo
equilátero
Número de caras
Número de
vértices
Numero de
aristas
4
4
6
6
8
12
8
6
12
12
20
30
20
12
30
Teorema de Euler: en todo poliedro convexo, el número de caras aumentado en el número de vértices de es igual
al número de aristas más dos.
En símbolos: c  v  a  2
Observación: diremos que un poliedro es convexo si el plano de una cualquiera de sus caras deja al poliedro en
uno solo de los semiespacios que determina.
8
Puede probarse que solo existe esos cinco poliedros regulares.
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Volumen:
V polígonos

Definición: Llamamos poliedro regular a un poliedro cuyas
caras son
regulares8.
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SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Definición: Llamamos Superficies de revolución a la superficie generada por la rotación completa de una figura
plana en torno a una recta.
Definición: Llamamos cuerpos redondos a la región del espacio limitada por una superficie de revolución.
Observación: Llamaremos sólido a todo poliedro o cuerpo redondo.
1. Cilindro de revolución
Definición: Es la superficie generada por la rotación de un rectángulo sobre la recta que contiene a uno de sus
lados.
B área de la base
Área lateral: Alateral  2 rh
h
r
Área total: Alateral  2 rh  2B
2. Cono de revolución
Volumen: V  B.h
Definición: Es la superficie generada por la rotación de un triángulo rectángulo sobre la recta que contiene a
uno de sus catetos.
B área de la base, g segmento generatriz
g
h
r
3. Cáscara esférica
Área total: A total   r  g  r 
Volumen: V 
B.h
3
Definición: Es la superficie generada por la rotación de un semicírculo sobre la recta que contiene a su
diámetro.
Cáscara esférica: Asup. esf.  4 r 2
r
4 r 3
Volumen: V 
Observación: Cuando digamos cilindro nos referiremos al sólido
3 definido por un cilindro de revolución, de igual
forma con cono y cono de revolución y esfera y cáscara esférica.
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Área lateral: Alateral   rg
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Secciones
Definición: Llamamos sección plana de un sólido a la intersección de un plano con el sólido.
Algunas secciones particulares:
Observación: Si consideramos un cono y un plano secante a él, podemos definir según el ángulo de incidencia del
plano con el cono distintas superficies.
Círculo
Superficie Parabólica
Superficie elíptica
Principio de Cavalieri: Si dos sólidos son seccionados por un plano paralelo a sus bases y sus secciones son
equivalentes entonces los sólidos también serán equivalentes.
Aplicación:
1. Cálculo del volumen de un cilindro.
2. Cálculo del volumen de un cono.
En el círculo de la base del cono se inscribe un polígono cualquiera y se une el vértice de dicho polígono con el
vértice del cono. Al aumentar el número de vértices del polígono aumentará el número de caras de la pirámide, se
comprende intuitivamente que el volumen de esta pirámide tenderá al volumen del cono. Por esta razón el volumen
del cono se determinará de la misma manera que el de la pirámide.
En conclusión: Vcono  B.h
Observación: El cálculo del volumen de la esfera es bastante más complejo que los dos anteriores y excede los
fines del curso.
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El volumen de un paralelepípedo es por definición el producto de sus tres dimensiones o bien el producto de su
base por su altura.
Para calcular el volumen de un cilindro basta entonces encontrar un paralelepípedo de base equivalente a la base
del cilindro e igual altura. Por el principio de Cavalieri el volumen del cilindro y el del paralelepípedo son iguales.
En conclusión: Vcilindro  B.h
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FUNCIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO
Definición: Llamamos función a una relación entre dos conjuntos (dominio y codominio) tal que a todo
elemento del dominio le corresponda un (y solo un) elemento del codominio.
Observación: trabajaremos ahora con funciones que tiene por dominio y codominio el plano, serán entonces sus
elementos puntos del plano.
Homotecia:
Definición: Dado O un punto de un plano  y k 
HO,k (O) = O



función: H
:  ; 
O,k
HO,k (X)=X' se cumple:



llamamos homotecia de centro O y razón k a la
d(O,X') = k .d(O,X)


si k > 0  X'  OX

si k < 0  X'  XO

Teorema de Thales:
Enunciado: Toda recta paralela a un lado de un triángulo, corta a las
rectas que contienen a los otros dos lados, determinando dos conjuntos de
segmentos proporcionales.
Recíprocamente si una recta corta a las rectas que contienen a dos lados
de un triángulo y determina con ellos dos conjuntos de segmentos
proporcionales, entonces dicha recta es paralela al tercer lado.
Simetrías
CO (O)  O

CO :    : 
O, X y X' estan alineados
CO ( X )  X ' se cumple d (O, X )  d (O, X ')


Definición: Dada una recta e
en un plano 

 Se (e)  e
Se :    : 

 Se ( X )  X '; e es la mediatriz de XX '
llamamos simetría axial de eje e a la función:
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Definición: Dado un punto O en un plano  llamamos simetría central de centro O a la función:
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Rotación:
Convenio: Así como hemos establecido una dirección para los sistemas de abscisas, convendremos que existen
dos sentidos en un ángulo uno positivo (como corren las agujas del reloj) y uno negativo (contrario a las agujas del
reloj).

BOA  
Sentido Positivo:

AOB  
Sentido Negativo:
B
O
B
A
O
A
Definición: Dado O un punto de un plano  llamamos Rotación de centro O y ángulo  a la
Rot O, (O) = O


:  ; 
función: Rot
O,
Rot O, (A) =A' se cumple:



d(O,A)=d(O,A' )

  A'OA

Traslación:
Definición: Diremos que dos rectas tienen igual dirección si son paralelas
Diremos que dos segmentos de recta tienen igual dirección si están incluidos en rectas paralelas
Definición: Llamaremos vector (anotamos: v ) a un segmento de recta orientado.
a. Sentido  Orientacion 

Un vector queda definido por: b. Módulo  Medida del segmento 
c. Dirección

dirección.
Definición: Dado v un vector de un plano  llamamos traslación de vector v a la
función: T :    ; T (A) =A' se cumple: AA' es equipolente a v
v
v
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Definición: Diremos que dos vectores u y v son equipolentes si tienen igual sentido, módulo y
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Cuadro resumen:
Isometría
Función
Inversa
Puntos fijos
Conserva
los ángulos
Conserva la
alineación
T
v



O


Traslación T
v
Rotación Rot
O,






C
O
O




S
e
e




O


Rot
O,
Simetría Central
C
O
Simetría Axial S
e
Homotecia H
O,k
H
O,
1
k
Observaciones sobre las funciones en el plano:
Puede observarse que a pesar de tratarse de funciones en el plano (es decir que a puntos del plano se hace
corresponder puntos del plano) no todas estas funciones conservan las distancias, nos referimos con conservar las
distancias que se conserven las medidas entre la figura original y su imagen. Por lo que haremos la siguiente
distinción.
Definición: Llamamos Isometría a toda función del plano en el plano que conserva las distancias.
(Simetría axial, simetría central, rotación y traslación)
Definición: Llamamos Isometría en el espacio a toda función del espacio en el espacio que conserva las distancias.
Simetría especular:
Definición: Dado un plano  en el espacio llamamos simetría especular de plano  a la función
d( X , )  d( X ',  )
S : E  E; 


 XX '  
Definición: Dado un punto O en el espacio llamamos simetría central de centro O a la función
CO (O)  O

CO : E  E : 
O, X y X' estan alineados
CO ( X )  X ' se cumple d (O, X )  d (O, X ')


O
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Funciones en el espacio
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Rotación axial:
Definición: Dada una recta r en el espacio llamamos rotación axial de eje r a la función
(r )  r
Rot
r ,



Rot
:E  E:
r ,
( X )  X ';
Rot
r ,




 X , X ' 

r   ; r    O
Rot
(X )  X '

O,
Interpretación: Dada una recta r y un punto X exterior a ella, podemos determinar su imagen X’, considerando el
plano  perpendicular a la recta r que contiene al punto X. Llamamos O al punto de intersección del plano con la
recta. Entonces se realiza la rotación de centro O y ángulo  en el sentido dado del punto X en el plano  .
Traslación en el espacio:
Definición:
Dado
v
un vector
del espacio llamamos
traslación de vector
v
a la función:
T : E  E; T (A) =A' se cumple: AA' es equipolente a v
v
v
IMPORTANTE:
Queda terminada la instancia de repaso de geometría. Ten presente que de aquí en adelante todo lo mencionado
anteriormente es asumido como entendido, por lo que si hay algo que no ha quedado del todo claro es recomendable
volver atrás y repasarlo antes de seguir adelante con la lectura.
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Empecemos el curso…
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Ficha I – Geometría métrica en el plano.
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS.
Demuestra los siguientes teoremas:
1. Demuestra que los ángulos opuestos por el vértice son congruentes.
1. Teorema: La suma de los ángulos
interiores de todo triángulo es 180º
2. Sabiendo que las rectas a y b son paralelas.
a. Determina todos los ángulos restantes en cada figura.
2. Teorema: La suma de los ángulos
externos en todo triángulo es 360º
b. Determina, en caso posible, α en función de β. Justifica en ambos casos
3. Teorema: La suma de los ángulos
interiores de todo cuadrilátero es 360º
4. Teorema: Dos ángulos de lados
respectivamente perpendiculares son
congruentes o suplementarios.
Determina X e Y
Desafío: Demuestra que en toda “estrella
de 5 puntas” la suma de sus ángulos
interiores es 180º.
3. Considera dos ángulos adyacentes suplementarios y traza sus bisectrices.
¿Qué puedes afirmar? Demuestra.
4. Determina α
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c.
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5. El triángulo ABC es isósceles de lados AC y BC congruentes. Halla en Triángulos rectángulos:
cada caso el ángulo indicado.
1) Prueba que todo triángulo rectángulo
con un ángulo de 45º es isósceles.
2) Demuestra que en todo triángulo
rectángulo de ángulos interiores 30º,
60º, 90º se cumple que la hipotenusa
mide el doble que uno de sus catetos.
3) Prueba que en todo triángulo
rectángulo el punto medio de la
hipotenusa equidista de los vértices.
Desafío: ABC un triángulo cualquiera.
P  BC;PC  2 PB
ABC  45º y
APC  60º . Determina la
6. Sea ABC isósceles con lados AC y BC congruentes. Demuestra que la
medida del ángulo ACP 9
bisectriz al ángulo externo de vértice C es paralela a la recta AB
Construcciones con regla y compás:
CUADRILÁTEROS
1) Construye un arco capaz de α=30º
7. Definición: Llamamos paralelogramo al cuadrilátero con lados opuestos 2) Ídem con α=45º, α=90º y α=120º
contenidos en rectas paralelas.
1)
2)
3)
4)
Los ángulos consecutivos son suplementarios.
Los ángulos opuestos son iguales.
Los lados paralelos son iguales.
Las diagonales se cortan en su punto medio.
3) Dado un punto exterior a una recta,
construye con regla y compás la
perpendicular a la recta por el punto.
4) Dado un punto exterior a una recta,
construye con regla y compás la
paralela a la recta por el punto.
8. Definición: Llamamos rectángulo al paralelogramo con uno de sus 5) Construye un triángulo de altura hc=4
y ángulo en C de 120º
ángulos rectos”
Demuestra:
6) Dados tres puntos A, B y C no
alineados. Construye la circunferencia
que los contiene.
1) Las diagonales son congruentes.
2) El punto de intersección de las diagonales equidista de sus vértices
3) Las perpendiculares a los lados, trazadas por el punto de intersección de sus 7) Dados tres puntos A, B y C no
alineados. Construye la circunferencia
diagonales, son ejes de simetría.
que
es
tangente
rectas AB, AC y
9
a
las
BC
Sugerencia: considera J en el segmento
AP, tal que JP=PB
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Demuestra:
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9. Definición: Llamamos rombo a un paralelogramo de lados congruentes
Demuestra:
1) Todo paralelogramo con 2 lados consecutivos congruentes es rombo.
2) Las diagonales de un rombo son perpendiculares entre si y cada una es
bisectriz de los ángulos en los vértices que une.
3) Las diagonales de un rombo son ejes de simetría.
El rombo en el arte:
Desde el nacimiento de la abstracción, a
manos de Kandinsky en 1910, numerosos
artistas han plasmado sus sentimientos a
través de laabstracción geométrica,
considerando al cuadrado, el triángulo y
el círculo como las figuras básicas y
puras, desde las cuales se desarrollan el
resto de formas, valorándolas pues,
como la esencia de todo lo representable.
10. Definición: Llamamos cuadrado al cuadrilátero de ángulos y lados Uno de los movimientos vanguardistas
que se apoyó en la geometría fue elOP
congruentes
ART o arte óptico, de la década de los ´60
y con el fin de jugar con nuestra
Definición: Llamamos trapecio al cuadrilátero con un par de lados percepción, generando sensaciones de
movimiento,
vibración,
paralelos.
tridimensionalidad...
Esta
imagen
Demuestra:
de Víctor Vasarely nos da ejemplo de
cómo únicamente con la forma
del rombo se generan estas sensaciones
1) Las diagonales son congruentes
2) La mediatriz de las bases es eje de simetría
3) Los ángulos adyacentes de cada lado son suplementarios
11. Definición: Llamamos Trapecio Bi rectángulo a todo trapecio en el
que un lado y una base son perpendiculares”
12. Definición: Llamamos Romboide al rombo con 2 lados consecutivos
congruentes y otros 2 lados consecutivos no congruentes a los anteriores
pero iguales entre sí.
Demuestra:
1) Los ángulos formados por los consecutivos diferentes son congruentes
2) La diagonal mayor es mediatriz de la menor.
3) La diagonal mayor es bisectriz de los ángulos que une.
Kandinsky
Torres García
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Demuestra:
1) Los ángulos adyacentes a los rectos son suplementarios
2) El lado perpendicular por la semisuma de las bases da el área del trapecio.
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13. ABCD paralelogramo. La bisectriz de ADC corta a AB en E y a BC en F.
Demuestra que AED y EFB son isósceles.
14. Sea ABC isósceles con lados AC y BC congruentes. X es un punto del
segmento AC (No el pto medio). Desde P y Q, puntos medios de los
segmentos AX y XB respectivamente se trazan perpendiculares a AB que
cortan a AC y BC en H y K respectivamente. Demuestra que los segmentos
AH y CK son congruentes.
15. Demuestra que las bisectrices de los ángulos opuestos de un
paralelogramo son paralelas y que la de ángulos consecutivos son
perpendiculares. Concluye que los puntos de intersección de las bisectrices
son vértices de un rectángulo.
16. ABCD cuadrado. E interior tal que EDC  ECD  15º Demuestra que
AEB es equilátero10
Definiciones incluyentes
Trapecio: Cuadrilátero con, al menos, un par de
lados opuestos paralelos
Paralelogramo: Cuadrilátero con lados opuestos
paralelos
Rectángulo: Cuadrilátero con ángulos congruentes
(equiángulo)
Rombo:
Cuadrilátero
con
lados
congruentes
(equilátero)
Cuadrado: Cuadrilátero con lados ongruentes
(equilátero) y ángulos congruentes (equiángulo)
Definiciones excluyentes
Trapecio: Cuadrilátero con sólo un par de lados
opuestos paralelos
Paralelogramo: Cuadrilátero con lados opuestos
17. ABCD es un paralelogramo. La bisectriz del ángulo B corta a AD en
E. Clasifica el triángulo ABE.
paralelos, pero no equiángulo, ni equilátero
Rectángulo: Cuadrilátero equiángulo, pero no
equilátero
18. a. Demuestra que las bisectrices de los ángulos opuestos de un
paralelogramo cualquiera, están contenidas en rectas paralelas.
b. Demuestra que las bisectrices de los ángulos consecutivos de un
paralelogramo cualquiera, están contenidas en rectas perpendiculares.
Rombo: Cuadrilátero equilátero, pero no equilátero
Cuadrado: Cuadrilátero equilátero y ángulos
equiángulo
19. ABCD rectángulo. Las bisectrices de los ángulos en A y en D se cortan
en E, y las bisectrices de los ángulos en B y C se cortan en F. Prueba que
el cuadrilátero ABFE es un trapecio isósceles y que EF=AB-AD
21. Demuestra que los puntos medios de los lados de un cuadrilátero
cualquiera son vértices de un paralelogramo.
22. ABCD es un rectángulo tal que la medida su lado menor BC es la mitad
de la medida de la diagonal. El punto de corte de las diagonales O, es
simetrizado respecto de la recta BC obteniéndose el punto O´. Clasifica
el triángulo BCO´.
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20. Determina la medida de los ángulos de un rombo, sabiendo que sus lados
miden igual a una de sus diagonales.
Sugerencia: considera F y G interiores tal que FDA  FAD  GCB  GBC  15
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PARALELA MEDIA
Triángulo órtico: Dado un triángulo
23.
ABC cualquiera, llamamos triángulo
órtico de ABC, al triángulo definido por
un triángulo cualquiera, M y N puntos medios los pies de las alturas de ABC.
Teoremas de paralela media:
a. Teorema 1: ABC
de los lados AC y CB respectivamente. Demuestra que MN//AB y
que 2MN=AB
b. Teorema 2: ABC un triángulo cualquiera, M pto medio del
segmento
AC.
Ser
r
la
paralela
a
AB por
M.
r  BC   N  Demuestra que N es punto medio del segmento BC.
24.
a. Demuestra que los puntos medios de cualquier cuadrilátero son
vértices de un paralelogramo.
b. Demuestra que el perímetro de este paralelogramo es la suma de las
diagonales del cuadrilátero.
Prueba que las alturas del ABC están
25.
Demuestra que los puntos medios de un triángulo cualquiera y un ángulos interiores del triángulo órtico.
vértice determinan un paralelogramo.
contenidas en
las bisectrices de los
ABCD paralelogramo en que L y M son puntos medios de los segmentos AB Teoremas:
DQ  QP  PB
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO:
26.
H es el ortocentro de un triángulo ABC BHC  150º Determina el
ángulo en A.
27.
H es el ortocentro de un triángulo isósceles ABC de base AB y
AHB  50º Determina el ángulo en A.
28.
ADE un triángulo cualquiera, B un punto de AD y C un punto de AE.
Las bisectrices de ABC y ACB se cortan en I, y las de ADE y
AED se cortan en J. ¿Qué puedes afirmar de los puntos A, I, J?
Demuestra.
A – Demuestra que las mediatrices
de los tres lados de un
triángulo, se cortan en un
punto llamado circuncentro.
B – Demuestra que las bisectrices
de los tres ángulos interiores de
un triángulo se cortan en un
punto llamado incentro.
C – Demuestra que las rectas que
contienen a las tres alturas de
un triángulo, se cortan en un
punto llamado ortocentro.
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y CD respectivamente. AM  BD  Q , LC  BD  P Demuestra que
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ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
Practicando: Después de haber probado
las propiedades pedidas en el ejercicio 21,
Demuestra las siguientes propiedades de la circunferencia:
30. Prueba que: ABCD es trapecio inscriptible ⇔ABCD es trapecio isósceles
⇔ ABCD presenta ángulos congruentes en la misma base⇔ ABCD
presenta diagonales congruentes.
31. ABCDE pentágono regular. AD  BE  I  Calcula el ángulo AIB
32. Se considera una circunferencia de centro O y radio r. Por A, exterior a
ella, se traza una secante que corta a la circunferencia en B y C de modo
que la distancia de A a B es r. La recta OA corta a la circunferencia en
D y E. ( D  E  A y C  B  A ). Demuestra que COD  3. CAD .
33. Sea (C ) una semicircunferencia de diámetro AB y centro O, F es un
punto de (C ). La perpendicular por O a AF corta a (C ) en D,
AD y BF se cortan en E. Prueba que el triángulo ABE es isósceles.
34. Sean (C ’ ) y (C ) dos circunferencias secantes en A y B. Los puntos C y
D son diametralmente opuestos de A con respecto a ambas
circunferencias.
a. Prueba que B, C y D están alineados.
b. Una recta r que pasa por A corta a (C ) en E y a (C ’) en F. Demuestra
que el cuadrilátero de vértices C, D, E y F es un trapecio
practícalas calculando el ángulo ABC en
cada uno de los siguientes casos.
Desafío:
Se
considera
una
circunferencia (C ) de centro O y AB
una cuerda de ella. Por un punto I de la
cuerda AB se traza la recta r
perpendicular a la recta OI, r corta a la
tangente por A en el punto R y a la
tangente por B en el punto S.
a) Prueba que los cuadriláteros AOIR y
BIOS son inscriptibles.
b) Demuestra que el triángulo ORS es
isósceles
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29.
29
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_______________________________________________________________________________________________
LEONHARD PAUL EULER
35.
La recta de Euler:
a.
b.
Construye un ABC cualquiera (sug: AB=11 cm, BC=13cm y CA=9cm)
Ubica su ortocentro (H), baricentro (G) , y circuncentro (O)
¿Qué puedes afirmar de estos tres puntos? ¿Y respecto a la distancia
entre ellos?
Sea MC punto medio de AB, MA punto medio de BC, S punto medio de
AH y T punto medio de HC
Demuestra que ST// MC M A y que los segmentos ST y MC M A son
congruentes.
c.
Demuestra que los triángulos SHT y M C OM A son congruentes y
deducir que los segmentos TH y M C O son congruentes.
Leonhard Paul Euler
(Suiza, 1707 – Rusia
1783),
conocido
como Leonhard Euler,
fue
un matemático y físico
suizo.
Se trata del principal matemático del siglo
XVIII y uno de los más grandes y
prolíficos de todos los tiempos.
Se calcula que sus obras completas
reunidas podrían ocupar entre 60 y 80
volúmenes, entre los que se encuentra
trabajos sobre la matemática pura, la
matemática aplicada, la geometría, la
física, la lógica y la astronomía entre
otros.
d.
Sea J punto medio del segmento CG y K del segmento HG.
e.
Demuestra que JK// OMC y que los segmentos JK y OMC son Recta de Euler
congruentes.
Deduce que JKMCO es paralelogramo y que G es el punto medio de
JMC
Deducir que H, G y O están alineados y que HG=2GO
La circunferencia de Euler: Dado un triángulo ABC cualquiera.
Llamamos circunferencia de los nueve puntos o circunferencia de Euler
a la circunferencia que pasa por: el punto medio de cada lado del
triángulo, los pies de las alturas, los puntos medios de los segmentos
determinados por el ortocentro y los vértices del triángulo.
a. Defina el triángulo órtico GEJ de ABC, tal que G  AC , E  CB y
J  AB . I es el ortocentro del triángulo ABC. Prueba que las alturas
Circunferencia de Euler
del ABC están contenidas en las bisectrices de los ángulos interiores
del triángulo órtico.
b. Prueba que los lados del triángulo ABC están contenidos en las
bisectrices exteriores del triángulo GEJ.
c. La mediatriz del segmento EJ corta a AC en N y a BG en F. Prueba
que N y F son puntos de la circunferencia circunscrita al triángulo
órtico definido.
d. Prueba que el cuadrilátero ACEJ es inscriptible en una circunferencia
de centro N.
e. Ídem con EIJB en una circunferencia con centro F.
f. Prueba que los puntos M y P son los puntos medios de los lados AB y
BC respectivamente. Ídem con D y H sobre AI y CI respectivamente.
g. Deduce que los puntos F, J, D, N, G, N, E, y M pertenecen a una
circunferencia.
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36.
30
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Ficha II – Razones y proporciones.
THALES DE MILETO
Definición: Llamamos proporción a la
Toda recta paralela a un lado de un triángulo, corta a las rectas que contienen a los otros igualdad entre dos razones de números
m p
dos lados, determinando dos conjuntos de segmentos proporcionales.
reales positivos.

Algebraicamente: Dadas dos rectas a y b secantes en O, y una dirección δ distinta a las
direcciones de a y b; dados los puntos A y B en a y las rectas de dirección δ por A y B
las cuales cortan a b en A´ y B´, entonces se cumple:
OB OB´ BB´


AB OA´ AA´
Recíprocamente si una recta corta a las rectas que contienen a dos lados de un triángulo
y determina con ellos dos conjuntos de segmentos proporcionales, entonces dicha recta
es paralela al tercer lado
Algebraicamente: Dadas dos rectas a y b secantes en O y los puntos A y B
pertenecientes a a y los puntos A´ y B´ pertenecientes a b tales que las ternas de puntos
(O,A,B) y (O,A´,B´) están en el mismo orden y
AA´//BB´ y
OB OB´
, entonces se cumple que

AB OA´
OB BB´

OA AA´
Realiza las representaciones gráficas del teorema tanto en el caso directo como
en el recíproco
1. Dibuja un segmento cualquiera y divídelo, usando solo regla y compás, en 5
segmentos congruentes.
n
q
Tales de Mileto (h.
639 - h. 547/6 a. C.
) fue el iniciador
de la indagación
racional sobre el
universo.
Se le considera el
primer filósofo de la historia de la
filosofía occidental, y fue el fundador
de la escuela jónica de filosofía, según
el testimonio de Aristóteles.
Fue el primero y más famoso de los
Siete Sabios de Grecia (el sabio
astrónomo), y habría tenido, según una
tradición antigua no muy segura, como
discípulo y protegido a Pitágoras. Fue
además uno de los más grandes
astrónomos y matemáticos de su época.
Sus estudios abarcaron profundamente
el área de la geometría, álgebra lineal,
geometría del espacio y algunas ramas
de la física, tales como la estática, la
dinámica y la óptica. Su vida está
envuelta en un halo de leyenda
de la pirámide de Keops, con la única
ayuda de la sombra que proyectaba la
pirámide y la que proyectaba su
bastón de un metro de largo.
Si la pirámide proyectaba sobre el
plano del piso una sombra de 450
metros y su bastón proyectaba una
sombra de 3 metros.
¿Cómo Thales logró averiguar la
altura de la pirámide de Keops?
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2. Indica en cada caso si la proposición es verdadera o falsa, siendo las rectas a
Se dice que Thales calculó la altura
y b paralelas. Justificar.
31
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Teoremas de la bisectriz.
La circunferencia de Apolonio:
3. a. Relación entre la bisectriz exterior y la interior.
Prueba que la bisectriz de un ángulo interior de un triángulo, está contenida en
una recta perpendicular, a la recta que contiene a la bisectriz exterior del mismo
ángulo.
El lugar geométrico de los puntos P
del plano cuya razón de distancias a
dos puntos fijos A y B es un real
positivo k, k ≠ 1, es una
circunferencia de diámetro XY
incluido éste en la recta AB y tal que
la razón de distancias de X e Y, a A
y B es igual a k.
PA


 k   C XY
P  ;
PB


b. Teorema de la bisectriz interior
Sea ABC un triángulo cualquiera. La bisectriz del ángulo ACB corta al lado
XA CA

XB CB
Apolonio
de
Perga:
Miguel
de
Guzmán
dice
que de los tres
grandes
matemáticos del
helenismo, Apolonio, ha sido el menos
conocido a lo largo de los siglos.
c.
Teorema de la bisectriz exterior
Aunque del personaje de Euclides no
sabemos casi nada, su obra, Los
Sea ABC un triángulo cualquiera. La bisectriz exterior del ángulo en C, elementos, fue pronto el paradigma de
la sistematización del saber matemático.
YA CA
corta AB en Y como muestra la figura. Prueba que

Arquímedes, por su genio polifacético y
YB CB
por sus leyendas creadas alrededor de
su persona, coronadas con la historia de
(Sugerencia considere E en AC tal que CE=CB)
su muerte, goza de una fama universal.
Apolonio representa la grandeza técnica
especializada,
el
virtuosismo
geométrico por excelencia. Es verdad
que su obra hizo olvidar lo que antes de
él se había escrito en el campo de su
mayor brillantez, las cónicas, pero por
su carácter tan especializado y tan
difícil, ni siquiera esta obra maestra, las
Cónicas, se conoce hoy en su integridad
y más de la mitad de ella permaneció
oculta para el mundo occidental hasta
que fue publicada por Edmond Halley
en 1710.
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opuesto en X. Prueba que
32
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HOMOTECIA
Desafío: ABCD trapecio isósceles
Definición: Dado O un punto de un plano  y k  llamamos homotecia de antihorario. Prueba que la base
mayor no tiene más puntos que la
centro O y razón k a la función:
base menor.
HO,k (O) = O

¿Y dos circunferencias concéntricas

d(O,X') = k .d(O,X)
qué sucede?


H
:  ; 

O,k
si k > 0  X'  OX

si k < 0  X'  XO

HO,k (X)=X' se cumple:



4. a. Investiga cuándo la homotecia es una simetría central de centro O.
b. Investiga cuándo la homotecia es una identidad.
 
5. Prueba que dado un segmento AB , H O,k AB  k . AB (sugerencia ver
Ejercicio:
Investiga
si
dos
triángulos de lados correspondientes
paralelos se corresponden en una
homotecia
teorema de Thales)
6. Demuestra que la imagen de una circunferencia en una homotecia es otra
circunferencia.
7. Sea C una circunferencia, y AB un segmento exterior a ella. Se considera
un punto C variable sobre la circunferencia. Determina el lugar geométrico
del baricentro G, de los triángulos ABC
8. BC es una cuerda fija de una circunferencia C fija de centro O. El punto A
varía en C. Sea D el punto medio de BC y M el punto medio de AD
Sea N el punto de intersección de CM y AB
Determina el lugar geométrico de N.
9. Sea C una circunferencia y en ella dos puntos fijos A y B. En el arco mayor
antihorarios.
a. Lugar geométrico de M punto medio de BC
b. Lugar geométrico del baricentro de BPC
c. Lugar geométrico de P
10. Sea ABCD un cuadrado M, N, P y Q puntos medios de los lados AB ,
BC , CD y DA respectivamente. O punto de corte de las diagonales.
a.
Determina las siguientes imágenes:
 




S AC  MQP  , CO  QMNP  , TAO MP , Rot O ,45º  OMA 




b. Aplica a los resultados anteriores una H O ,2
c. Aplica a los resultados obtenidos en a, una H A, 1
d. ¿Qué conclusión puedes extraer del ejercicio?
2
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AB se toma un punto C variable. Se construyen los paralelogramos ABPC
33
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SEMEJANZA
Teorema del cateto: En todo
Definición: Definiremos a la semejanza de razón k, como la composición de triángulo rectángulo la medida de
cada cateto es media proporcional
una homotecia de razón k y centro O con una isometría.
entre las medidas de la hipotenusa y
la de su proyección sobre sí misma.
Criterios de semejanza de triángulos
Primer criterio de semejanza de triángulos: Si dos triángulos tienen un
ángulo congruente y las medidas de los lados que éstos determinan,
proporcionales, entonces son semejantes.
i) Prueba que ABC  HBA
ii) Prueba que AB2  BC.BH
Tercer criterio de semejanza de triángulos: Si dos triángulos tienen las
medidas de sus tres lados proporcionales, entonces son semejantes.
i) Prueba que AHB  CHA
ii) Prueba que
11. En un triángulo ABC rectángulo en A se traza la perpendicular a BC por
A que la corta en D, y la perpendicular a AB por D que la corta en E.
Demostrar que el triángulo AED es semejante con: CDA, DEB y ABC
HA2  BH .HC
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Segundo criterio de semejanza de triángulos: Si dos triángulos tienen dos Teorema de la altura: En todo
ángulos congruentes, entonces son semejantes.
triángulo rectángulo la medida de la
altura correspondiente al vértice del
ángulo recto es media proporcional
entre las medidas de los segmentos
en la que ésta divide a la hipotenusa.
34
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12. Se da un triángulo ABC inscrito en una circunferencia C. La bisectriz del
ángulo en BAC corta a BC en D y a C en M. Prueba que DMC  DAB
Se cree que Hipaso
de Metaponto fue
quien
probó
la
13. Se dan dos circunferencias C1 y C2 secantes en A y B. Por A se trazan dos
existencia de los
rectas cortan a C1 en M1 y N1, y a C2 en M2 y N2. Prueba que
números irracionales,
en un momento en el
BM1M 2  BN1 N2
que los pitagóricos
pensaban que los números racionales
podían describir toda la geometría del
PITÁGORAS DE SAMOS.
mundo.
Hipaso habría roto la regla de silencio
El teorema de Pitágoras: En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la de los pitagóricos revelando al mundo la
existencia de estos nuevos números. Eso
medida de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de la medida de sus habría hecho que éstos lo expulsaran de
catetos.
la escuela y erigieran una tumba con su
nombre, mostrando así que para ellos, él
estaba muerto.
14. Demuestra el teorema mencionado.
Los documentos de la época dan
Sugerencia aplica el teorema del
versiones diferentes de su final. Parece
cateto
sobre
los
segmentos
ser que murió en un naufragio en
circunstancias misteriosas; algunos
AB y AC
dicen que se suicidó como auto castigo,
dejando así libertad a su alma para ir a
buscar la purificación en otro cuerpo;
otros afirman que un grupo de
pitagóricos lo mataron, e incluso otra
teoría dice que Pitágoras en persona lo
condenó a muerte.
Recíprocamente: Si el cuadrado de la medida del mayor lado es igual a la suma
de los cuadrados de las medidas de sus lados menores, entonces dicho triángulo
es rectángulo.
Demuestra el teorema mencionado. Sugerencia aplica el teorema directo sobre El problema siguiente figura en una
Sesenta es el perímetro
de la circunferencia, dos
es
la
flecha.
Hallar la cuerda.
semejanza entre ABH y HCA .
15. Tomando como conocida la unidad.
a. Traza con regla y compás un segmento que mida
2
b. Traza con regla y compás un segmento que mida
3
16.
a. Determina la relación entre la medida de la altura y la del lado de un
triángulo equilátero.
b. Determina la relación existente entre la medida de la arista y la diagonal
de un cubo.
c. Calcula la medida de los lados congruentes de un trapecio isósceles de
base mayor B y base menor b y altura h. Determina una fórmula para
calcular su área.
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tablilla babilónica de aprox. 2600 años
los triángulos ABH y HCA para probar que HA2  BH .HC y verificar a. C.
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17. Las siguientes figuras fueron realizadas por Bhaskara para demostrar el Segmento o sección aurea:
teorema de Pitágoras. Demuestra dicho teorema a partir de ellas
Dado un segmento AB y X un punto
interior a él. Diremos que AX es
segmento
áureo
de
AB si
AB AX

AX BX
Los conejos de Fibonacci:
El siguiente ejercicio aparece en el libro
Liber Abaci, publicado en 1202, obra
maestra de Leonardo de Pissa, conocido
como Fibonacci
FIBONACCI Y EL NÚMERO DE ORO
18. Construye un triángulo rectángulo en B tal que AB=2BC. Sobre el segmento
AC se considera el punto Y, tal que YC=BC y sobre el segmento AB el
punto X tal que AX=AY
a. Determina AX en función de AB.
c. Determina el segmento áureo de DT tal que DT=7cm
19. Considera el triángulo ABO rectángulo en B con AB=2BO. Se traza la
circunferencia C de centro O y radio OB. Sea X un punto en AO tal que
AX=AB y AO  C  M , N 
 AM  AN 
2
a. Prueba que AM.AN=AB
b. Probar que AX es el segmento áureo de AM
c. Construir un segmento sabiendo que su segmento áureo mide 3.
20. Un segmento AB es dividido mediante un punto C en sección aurea. ¿Cuál
es la relación numérica entre AC y CB? (Sug.: considere x 
a
)
b
21. Construye con regla y compás un segmento de medida φ (número de oro)
Imaginemos una pareja de conejos,
macho y hembra, encerrados en un
campo donde pueden anidar y criar.
Supongamos que los conejos
empiezan a procrear a los dos meses
de vida, engendrando siempre un
único par macho-hembra, y a partir
de ese momento, cada uno de los
meses siguientes un par más de
iguales características. Admitiendo
que no muriese ninguno de los
conejitos, ¿cuántos pares contendría
el cercado al cabo de un año?
Cada número de parejas de conejos
que existe por mes es conocido
como número de Fibonacci. Realiza
el cociente entre dos números
consecutivos
de
Fibonacci
(considera el numerador como el
mayor de ellos) realiza este
procedimiento con los 15 primeros
números de Fibonacci. Investiga a
qué número te aproximas.
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b. Determina que AX es el segmento áureo de AB
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Ficha III – LUGARES GEOMÉTRICOS
Los siguientes ejercicios buscan unificar todo lo trabajado hasta el momento Desafíos:
en geometría métrica. Ten presente que para resolverlos, deberás hacer un
buen uso de las funciones en el plano. Si bien no se busca un desarrollo o 1) Determina el lugar geométrico de los
puntos del plano cuya distancia a un
justificación de los elementos que caracterizan las isometrías, las homotecias o
punto y una recta fija es constante.
las semejanzas, si será necesario que puedas usarlos de manera fluida. En las
páginas 21, 22 y 23, de este material, encontrarás las definiciones y
2) Determina el lugar geométrico de los
propiedades correspondientes.
puntos de un plano tales que el valor
absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos, es
constante.
1.
Sean A y B dos puntos fijos de una recta r. Se traza una circunferencia
variable C, tangente en B a r y desde A se traza la segunda tangente AM
a la circunferencia, siendo M su punto de tangencia. Determina el lugar
geométrico de M.
3) Determina el lugar geométrico de los
2.
Determina el lugar geométrico de los puntos del plano, centros de las
circunferencias tangentes a dos cfas concéntricas dadas.
3.
Determina el lugar geométrico de los puntos del plano, centros de las cfas Secciones cónicas:
Se denomina sección cónica (o simplemente
de radio r constante, que pasan por un punto fijo.
Determina el lugar geométrico de los puntos del plano, puntos medios de
las cuerdas de longitud constante d, de una cfa de radio r constante.
5.
Determina el lugar geométrico de los vértices B y D, de un rombo
(ABCD), cuyos vértices A y C son fijos.
6.
Determina el lugar geométrico de los puntos del plano, centros de las cfas
tangentes a dos rectas paralelas fijas.
7.
En un triángulo (ABC) antihorario, el lado BC es fijo y el ángulo em A es
constante de amplitud 60°, al variar el vértice A.
a. Determina el lugar geométrico de los pies de la altura trazada desde B.
b. Determina el lugar geométrico del ortocentro del (ABC).
8.
Considera el ángulo xOy recto, fijo y un segmento AB, con
A  Ox , B  Oy , siendo AB de longitud constante d.
a. Determina el lugar geométrico del punto medio de AB.
b. Se trazan las perpendiculares en A a Oy, en B a Ox. Determina el
lugar geométrico del punto de corte de dichas perpendiculares.
9.
Considera el paralelogramo (ABCD) antihorario, cuyo lado AB es fijo y
la altura correspondiente al lado AB es constante de longitud d.
Determina el lugar geométrico del punto de corte de sus diagonales.
cónica) a todas las curvas intersección entre un
cono y un plano; si dicho plano no pasa por el
vértice, se obtienen las cónicas propiamente
dichas. Se clasifican en cuatro tipos: círculo,
elipse, parábola e hipérbola.
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4.
puntos de un plano tales que el valor
absoluto de la suma de sus distancias
a dos puntos fijos, es constante.
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10. Sea AB una cuerda fija de una circunferencia C fija y P un punto del Desafío: Se entiende que el siguiente
desafío excede totalmente los objetivos de
arco AB mayor (ABC ubicados en sentido horario).
dificultad del curso. Por lo que es
a. Prueba que la bisectriz Az, del ACB pasa por un punto fijo que
totalmente opcional su resolución.
llamaremos M.
b. Sea R la intersección de CM con la altura BH del triángulo (ABC),
siendo H el pie de dicha altura. Determinar el lugar geométrico del Las cónica de Apolonio:
punto R.
c. Sea T el punto de corte de la mediatriz de CM con la recta AC.
Determina el lugar geométrico de T.
11. Se considera un cuadrilátero (ABCD) convexo, antihorario, con A, B y C
fijos y CD de longitud constante k. Determina el lugar geométrico del
punto medio de CD.
Dadas dos circunferencias entendidas en
12. Considera el xOy recto. A y B dos puntos fijos sobre Ox, A
perteneciente al segmento BO, M un punto variable sobre Oy. Por A se
traza la perpendicular a MB que la corta en A´ y por B se traza la
perpendicular a MA que la corta en B´.
a. Determina el lugar geométrico de los puntos A´ y B´.
b. Determina el lugar geométrico del punto de corte de las rectas AA´ y
BB´.
sentido amplio, es decir que pueden ser
rectas o puntos, halla el lugar geométrico
de los centros de las circunferencias que
sean tangentes simultáneamente a las
circunferencias dadas.
(Aclaración: debe entenderse que ser
tangente una circunferencia a un punto
significa pasar por él). Analiza las
distintas posibilidades.
13. Dada la circunferencia de centro O fija, se traza por un punto fijo A,
exterior a la circunferencia dada, una recta variable, secante con la
circunferencia en los puntos B y C. Determina el lugar geométrico del
punto medio M de BC
15. Sean A y B dos puntos fijos de una recta xy. Se traza una circunferencia
variable C tangente en B a xy y desde A se traza la segunda tangente AM
a la circunferencia. Lugar Geométrico de M
16. Sea un punto M variable exterior a una circunferencia de centro O. Se
trazan las tangentes MA y MB. Lugar del incentro del triángulo MAB
17. Sea P un punto fijo exterior a una circunferencia de centro O. Se traza
una secante PAB a la circunferencia. Lugar Geométrico del punto medio
de la cuerda AB
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14. Sea C una circunferencia fija de centro O y diámetro BC. A un punto fijo
en ella y M variable en la circunferencia tal que B A M C .
Determina el lugar geométrico de M.
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Ficha IV – Matrices y Determinantes.
Consideraciones previas: La siguiente ficha, correspondiente a matrices y determinantes, busca ser una herramienta
práctica que permita al estudiante abordar la geometría analítica de mejor forma. Como no será tomado como tema del
curso, sino como conocimiento previo necesario, sus definiciones y propiedades pueden carecer de la rigurosidad
teórica que debiera.
Recordemos:
Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones e interpreta gráficamente.
y  x  3
b)
 y  x  5
a) 
2.
4 x  2 y  6

 y  2 x  3
4 x  2 y  6
 y  2 x  1
c) 
 y  3x

d) 
1
 y   3 x
Asumiendo que las ecuaciones de la forma ax  by  cz  d con
a, b, c, d 
representan un plano en el espacio. Resuelve e
interpreta geométricamente los siguientes sistemas de ecuaciones.
 x  2y  z  8

a) 2 x  y  3z  9 b)
 3x  y  z  8

5 x  11y  9 z  3

 x  3 y  5z  3
 2x  4 y  2z  0

 2x  4 y  6z  0
2 x  y  z  0


d)  x  3 y  2 z  5 e)  x  2 y  3z  1
3x  6 y  9 z  1
x  y  4z  9


 x  2z  14

y  z  2
c) 
 x  3 y  z  20

Para cada una de las siguientes representaciones gráficas define un
sistema de ecuaciones que pueda asignársele.
4.
Clasifica discutiendo según m 
los siguientes sistemas de ecuaciones:
3x  my  2mz  2

b. 2 x  y  3mz  2m
4 x  my  mz  m  1

 x   m  3 y  z  2  m  3

d.  x  y   m  3 z  0
e.

 m  2  x  (m  3) z  m  3
(m  1) x  y  (m  1) z  1


f. (1  m) x  y  (m 2  1) z  2m  1
 2
2

 m  1 x  my   m  1 z  m  1
i. Sistema compatible determinado si
tiene una única solución.
ii. Sistema compatible
indeterminado si tiene múltiples
soluciones.
II. Sistema incompatible: es el que no
tiene solución
 6 x  3 y  3z  0

f) 4 x  2 y  2 z  0
 2x  y  z  0

3.

3x  my  8
a. 

 m -1 x  2 y  2m  4
I. Sistema compatible: es el que tiene
solución. Dependiendo del número de
soluciones puede ser:
 x  my  z  2m  1

c.  x  m 2 y  z  m

mx  my  mz  1
 x  my  z  2m  1

2
x  m y  z  m

mx  my  mz  1
Repartido de matemática | Prof. Alejandro Oyhenart
1.
Clasificación de sistemas:
40
Repartido de matemática – Matemática II – Sexto Ingeniería
Prof. Alejandro Oyhenart
_______________________________________________________________________________________________
Definiciones: Dada una matriz A,
llamamos Matriz traspuesta de A, a la
MATRICES
Definición: Llamaremos matriz de dimensión mxn sobre un dominio D a matriz que se obtiene al cambiar las filas
por las columnas y recíprocamente.
una tabla rectangular de m filas y n columnas formada con elementos de D.
En las siguientes matrices, indica en caso de existir, a12, a21 y a23.
9
A  
1

1

B 3
1

6
2

2 3 
3

2

0 

9 


1

C 0
1

2

9 3 2 

1 2 1 

2 3 1

5

6
D
 3

4
3

1
0

8
Definición: Dos matrices
Amn y
B pq
si y solo si A  AT
2 1

A  1 0

3 2
Determina x e y para que A=B, siendo
 2 1 x  1 1
A

3
1
 0 2
2
1 1 1

 2 y  3 2 3 1 

yB
Suma de matrices: Considerando las matrices
A   aij 


 3 
A  

 0 4
2 0

1
B
2
2

3 3
0 

0 


2
y
0
 2 1 1 1
 1 2 1 4 
, B  
 y C  
 0 2 3 1 
 1 5 1 0 
4
Determina: a) A+B
mn
mn
Siendo A  
b) A + C
1
5
2

4 
1
3
Propiedades: Si A, B y C son matrices de dimensión mxn, se verifica:
xi
Demuestra estas propiedades en matrices de 2x2
Observación: Aquí, se

D  aij
1 0
A

0 4
c) B + C
Propiedad conmutativa: A+B=B+A
Propiedad asociativa: A+ (B+C) = (A+B) +C
Existencia del neutro de la suma: A+0=0+A
Existencia del opuesto: A  M mn , D  M mn ; A  D  D  A  
xi
Llamamos matriz triangular a aquella
matriz cuadrada para la cual todos los
elementos que están por arriba o por
debajo de la diagonal principal son cero.
Llamamos matriz diagonal a aquella
de igual dimensión, definimos la suma de A y B (anotamos: matriz cuadrada para la cual todos los
B  bij
mn
elementos que están por arriba y por
debajo de la diagonal principal son cero
A+B) a la matriz A  B  aij  bij
.
 
8.
3 

2 

2
son iguales si y solo
m  p y n  q

aij  bij i,1  i  m y j ,1  j  n
7.

2

0 

9 

Diremos que una matriz A es simétrica
En el caso en que m=n diremos que la matriz es cuadrada de orden n.
En el caso en que m=1 diremos que la matriz es una matriz fila.
En el caso en que n=1 diremos que la matriz es una matriz columna.
6.

1

T
A 3
1

6
puede demostrar que
 mn ,
si A  aij
mn , por esta razón es que a la matriz opuesta de A se nota –A.
entonces
1 0

C  0 7

0 0
0 

0 

3
Llamamos matriz nula (anotamos:  )
a aquella matriz cuyos elementos son
todos iguales a cero
0 0
A

0 0
Repartido de matemática | Prof. Alejandro Oyhenart
5.
1

1 3

6
A

 2 0 9 


40
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_______________________________________________________________________________________________
9.
Resta de matrices: A partir de la existencia y unicidad de la opuesta de Producto de matrices: Algoritmo
cualquier matriz, definimos la resta de matrices como: A – B = A + (–B)
0
 2 1 1 1
 1 2 1 4 
, B  
 y C  
 0 2 3 1 
 1 5 1 0 
4
1
Siendo A  
Determina: a) A+B
b) A + C
5
1
3
2

4 
c) B + C
 mn ,
10. Producto de un número real por una matriz: Si  
y A  aij
entonces el producto de  por A es la matriz mxn que se obtiene de
multiplicar cada elemento de A por  , es decir:    aij 
5

6
Determina el producto de D  
 3

 4
11. Propiedades: Si  ,  
mn
   aij 
mn
3

1
y 2
0

8
Ejemplo:
2 0 1
1 0 1 


A33   3 0 0  B33  1 2 1 
5 1 1
1 1 0 




El producto de AB será la matriz C3x3 =
y A, B M mn , se cumple que:
Existencia del elemento neutro: 1.A  A.1  A
Distributiva:  .  A  B    .A   .B
 2.1  0.1  1.1 2.0  0.2  1.1 2.1  0.1  1.0 


 3.1  0.1  0.1 3.0  0.2  0.1 3.1  0.1  0.0 
 5.1  1.1  1.1 5.0  1.2  1.1 5.1  1.1  1.0 


Asociativa:  .   . A   .  . A
Distributiva:     . A   . A   . A
O sea la matriz:
Demuestra estas propiedades en matrices de 2x2
0 8 0 1
0
8
 2 0 1 2


3

4 1 5 
 1 0
2
1

3
1 12 13 
0
a. Calcula: a) A+B –C
b) 3A – 2B
6

c) 2A + B – C
b. Halla, en cada caso, la matiz X que verifica:
i. X + 2B = C ii. X + C = 0 iii. 2X + C =– 2B + A
13. El producto de las matrices A   aij m p y B   bij  pn
A.B   dij 
n
mn
; dij  ai1.b1 j  ai 2 .b2 j  ...  aip .bpj   aik bkj xii
1 3 5 
Siendo A23  

 2 0 1
AB
2 0 1
es la matriz  3 0 0 


5 1 1


k 1
1 2 3 


y B33   0 1 0 
 2 1 2 


Determina A.B
xii
Según el algoritmo:
Según la definición, para que esté definido el producto entre dos matrices, el
número de columnas del primer factor debe coincidir con el número de filas del
segundo
1

1
1

3

3
7

0 1

2 1
1 0 
1 2

0 3
3 6 
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0
12. Sean A   2 8 0 3  , B   1 2 4 5  y C   0 8 0
 3 1 2


C33   3 0 3 
7 3 6


41
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_______________________________________________________________________________________________
14. Considerando
las
matrices,
1 0


A  0 8
2 8


0 3 2
B
 1 2 1
8

0

1

4
El origen:
y
1 0 0
C 

9 2 8
a. Calcula, si es posible: i. A.B ii. A.C iii. B.C
b. Calcula ahora, siempre que sea posible: i. B.A ii. C.A
c. ¿Qué puedes concluir de los ejercicios anteriores?
iii. C.B
15. Propiedades del producto de matrices: Si A, B y C son matrices para
las cuales están definidas las operaciones indicadas, se cumple:
Propiedad asociativa: A.(B.C)=(A.B).C
Propiedad distributiva a izquierda del producto respecto de la suma:
A.(B+C)=A.B+A.C
Propiedad distributiva a derecha del producto respecto de la suma:
(A+B).C=A.C+B.C
Existencia del elemento neutro para el producto A.I=I.A=A
Demuestra estas propiedades en matrices de 2x2
16. Escribe los sistemas de ecuaciones del ejercicio 2 en forma matricial.
El origen de las
matrices es muy
antiguo.
Los cuadrados
mágicos se
estudiaron
desde
hace
mucho
tiempo.
Un cuadrado
mágico de 3 por 3, se registra en la literatura
china hacia el 650 a. C.2
Es larga la historia del uso de las matrices para
resolver ecuaciones lineales. Un importante
texto matemático chino que proviene del
año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos
sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang
Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de
uso del método de matrices para resolver
un sistema de ecuaciones simultáneas. En el
capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el
concepto
de determinante apareció
por
primera vez, dos mil años antes de su
publicación por el matemático japonés Seki
Kōwa en 1683 y por el matemático alemán
Gottfried Leibniz en 1693.
17. Llamamos matriz identidad de dimensión mxm (anotamos I) a la matriz
que verifica A.I=I.A=A
Determina la identidad de A2x2 y A3x3
18. Dada la matriz cuadrada A, llamamos matriz inversa de A (anotamos A) a aquella que cumple A.A-1=I
Determina, si es posible, las inversas de las siguientes matrices.
0 7
A

1 8
 2 1 
D

 4 2 
 0 3
2 0
B
C 


1 0
1 2
1 1 0
0 7 4




E  0 1 1
F  3 0 3
1 0 1
1 0 2




19. Propiedades: Sean dos matrices cuadradas A y B invertibles, se cumple:
A.B invertible
(A.B)-1=B-1.A-1
Demuestra estas propiedades en matrices de 2x2
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1
42
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_______________________________________________________________________________________________
Método de Sarrus: Sea A una matriz
de orden 3.
DETERMINANTES
Definición: Considerando el conjunto Mmxm , podemos definir una función que
los
elementos
a cada matriz cuadrada le corresponda un número real que llamaremos Multiplicamos
indicados en cada color y los
determinante.
sumamos
20. Cómo asignar el real a cada matriz:
 a11
Si la matriz es de primer orden entonces definimos al determinante de A A   a
 21
como: A  a11

 a31
a12
a22
a32
a13 

a21 
a33 
Si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden definimos al
Repetimos el procedimiento, pero
 a11 a12 
ahora con las nuevas direcciones
determinante de A como: A  
  a11a22  a12 a21
 a21 a22 
indicadas
3 1
1 3
3 2
a c
Determina: A 
B
C
D
5 3
2 1
6 4
d b
 a11 a12 a13 

A   a21 a22
a
 31 a32
Menor complementario, adjunto y cálculo de determinantes de orden
superior a 2

a21 
a33 
0 8 5
Finalmente, restamos el segundo


21. Considerando la matriz A   4 0 3  el menor complementario de resultado al primero.
1 0 2


Formalmente:
a21 es el determinante de la matriz de 2x2 que se obtiene de eliminar la
fila 2 y la columna 1.
8
0
0
5
8 5

3   mc  a21  
0 2
2 
 a13a22 a31  a21a32 a11  a12 a21a33
Determinación de la inversa desde la
traspuesta y la adjunta
a. Calcula mc  a32  , mc  a13  , mc  a23 
  llamamos adjunto del elemento a
número real que se obtiene calculando adj  a    1 mc  a 
al Cuando la matriz inversa que
queremos hallar tiene una dimensión
i j
mayor a dos, muchas veces resulta
ij
ij
difícil encontrar s inversa de forma
b. Calcula adj  a32  , adj  a13  , adj  a23 
tradicional. Por lo que podrá usarse el
Si la matriz A es una matriz cuadrada de orden mayor a 2 definimos al siguiente resultado:
Considerando la matriz A  aij
ij
determinante de A como: A   aij adj  aij 
n
i , j 1
c. Calcula A
A1 
T
1
A 

A
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0

A 4
1

A  a11a22 a21  a21a32 a13  a31a33a12
43
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_______________________________________________________________________________________________
 2 3 
 4 4  C   1 2  y
22. Considera las matrices: A  
 B


Desafío: Completa los siguientes

5 0 
0 1 
 0 10 
cuadrados mágicos
2 1
D

 3 0
Determina a, b, c, d y las matrices X,Y,P y Q para que se cumplan las
siguientes igualdades:
b  c  8 1
 a b


 3d  c 2a  4d   7 6 
2 P  5Q  C
c. 
 P  3Q  D
 X  2Y  A
2 X  Y  B
b. 
a. 
23. Determina la matriz X en cada uno de los siguientes casos.
3 0 
0 6 
a. 3X–2A=5B, siendo A  
 B

 5 1
 1 3 
 1 1  1 1

X
 0 1  0 1
b. X 
24. Considerando las matrices
 0 6 2
A

 2 0 3 
 0 6

C   3 0

1 0

2

3

2 

2 
1


0

3 
E
2



0 3 
0
2
Indica cuáles de los siguientes productos están definidos y, en caso
afirmativo, calcúlalos.
a. AB b. BA c. (C.D).B d. C.(D.B) e. (C.B).D f. (3E2+5E).A
6
0
 2 1  x
25. Determina x, y, z y t de forma que: 
 .
0 1   z
26. Considerando las matrices
  1 2 
 3 1 2 




A0 1
0 
B  0 
0 
  1 3 
1 0  




Determina  ,  y  para que: (A.B)=I
0 7
27. Considerando las matrices A  

3 6
inversa de AB sin calcular AB.
y 5 1


t   0 2
 0 3 
B
 , calcula la
 1 0 
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0

D  5

1
1 0


B 2 0 
 1 2 


44
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_______________________________________________________________________________________________
 1 1
 1 2 
3 0
28. Considerando las matrices A  
C 
 Cuadrados mágicos:
 B

 0 1
 3 4
1 2
Halla la matriz X en cada caso.
A.X=B+Ct
b) A.X=C – X
c) A.X+C.X=B.C
d) A.X+B = Ct
29. Calcula los determinantes de las siguientes matrices
0 8 
A

 4 8 
 0 3
B

1 0
8


0 5 1 


F   0 3 1
 0 2 0 




 0 3 0


1
E   2
2

2

 3 1 0 


30. Calcula
0
D
2
 2 0
C 

1 2
los
determinantes
de
las
matrices.
0

0
A
2

1
9 2 4

3 1 0
0 1 2

2 0 3
9


 0 2 2 0


 3 0 2 1 
B
2


 1 0 3 0
 2

 9 2 6 0 


8

9 
La Fachada de la Pasión del Templo Expiatorio de
la Sagrada Familia en Barcelona, diseñada por el
escultor Josep María Subirachs, muestra un
cuadrado mágico de orden 4.
La constante mágica del cuadrado es 33, la edad
de Jesucristo en la Pasión. También se ha atribuido
la elección de este número como una velada alusión
a la supuesta adscripción masónica, que nunca ha
siguientes sido demostrada, de Antonio Gaudí, ya que 33 son
los grados tradicionales de la masonería.
Estructuralmente, es muy similar al cuadrado
mágico de Melancolía, pero dos de los números del
cuadrado (el 12 y el 16) están disminuidos en dos
1 0 2 unidades (10 y 14) con lo que aparecen repeticiones.
Esto permite rebajar la constante mágica en 1
3

0 1 2 9
C 
 2 7 0 3


1 0 2 0
31. Indica para qué valores de  y  las matrices A y B son invertibles.
 0 1 2 


A  0 1
0 
 3 1 3 


 3 1 0 


B  0  0 
1 0  


32. Indica si las siguientes matrices son invertibles y, en
halla su inversa. Justifica.
0 1 2


A  0 1 0
5 6 1


3 0 0


B  0 3 0
1 0 2


 0 1 3


C  0 2 5
7 1 0


Melencolia I es uno de los tres grabados del
famoso pintor del Renacimiento
alemán Alberto
Durero, que junto con El caballero, la Muerte y el
Diablo y San Jerónimo en su gabinete, compone
caso afirmativo, las Estampas Maestras. Es considerada la obra más
misteriosa de Durero y se caracteriza, como muchas
de sus obras, por su iconografía compleja y su
simbolismo. Es una composición alegórica que ha
suscitado diversas interpretaciones. Mide 24 cm de
 0 3 2 alto y 18.8 cm de ancho. El cuadrado mágico de esta

obra, está considerado el primero de las artes
D   0 1 3 europeas. Es un cuadrado de orden cuatro en el que
 0 2 5 siempre se obtiene la constante mágica (34) en las

filas, columnas, diagonales principales, y en las
cuatro submatrices de orden 2 en las que puede
dividirse el cuadrado, sumando los números de las
esquinas, los cuatro números centrales, los dos
números centrales de las filas (o columnas) primera
y última, etc. Curiosamente las dos cifras centrales
de la última fila
la obra
1514 son el año de ejecución de
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Justifica.
45
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_______________________________________________________________________________________________
33. Indica cuál o cuáles de los siguientes enunciados es verdadero. Los Método de Cramer:
verdaderos demuéstralos y encuentra al menos un contraejemplo para los
 x  y  z  20

falsos. Para todos los casos se consideran A y B matrices cuadradas.
Dado un sistema:  x  y  3 z  0
 x  y  1

a. Si toda fila (o columna) es cero entonces A  0 .
Escribimos el sistema en forma de
b. Si una matriz B se forma intercambiando dos filas (o columnas) de A, matrices:
entonces B   A .
 1 1 1  x   20 
c. Si una matriz B se forma multiplicando cada fila (o columna) de A por  1 1 3  y    0 

   
 1 1 0  z   1
un número real k, entonces  B   k  A .

   
d. Si dos filas (o columnas) de una matriz A son iguales, entonces
Calculamos
A 0
1
los
1
determinantes:
1
e. Si una matriz B se forma remplazando cualquier fila (o columna) de A
por la suma de esa fila (o columna) y k veces cualquier otra fila (o M  1 1  3  8  0
1 1 0
columna) de A, entonces B  A
 a b c  x 

 
34. a. Expresa como una matriz:  a´ b´ c´  y 
 a´´ b´´ c´´  z 

 
b. Escribe en forma de producto de matrices los sistemas:
 x  2y  z  8

2 x  y  3z  9
 3x  y  z  8

5 x  11y  9 z  3

 x  3 y  5z  3
 2x  4 y  2z  0

 x  2z  14

y  z  2

 x  3 y  z  20

2 x  y  z  0

x  3y  2z  5
x  y  4z  9

 2x  4 y  6z  0

 x  2 y  3z  1
3x  6 y  9 z  1

 6 x  3 y  3z  0

4 x  2 y  2 z  0
 2x  y  z  0

c. Resuelve, en caso posible, los sistemas por el método de Cramer.
35. Sea la matriz A de coeficientes asociada a cierto sistema de ecuaciones
lineales y B la matriz de sus términos independientes:
 a 2 
A

 a a  1
 4
B 
 4
Mx
20 1 1
 0 1  3  64
1 1 0
My
1 20 1
 1 0  3  56
1 1 0
1 1 20
M z  1 1 0  40
1 1 1
Finalmente resolvemos:
x
Mx
8
M
z
y
My
M
7
Mz
5
M
Gabriel Cramer (Suiza 1704 - Francia 1752)
De gran precocidad en matemática recibe a
los
a. Plantea algebraicamente el sistema indicando las operaciones
hechas.
b. Discute su compatibilidad e interpreta los resultados obtenidos
18
años
su doctorado y a los
20
era
profesor
adjunto
de
matemática.
La
1 2 1 


36. Sea considera la matriz de coeficientes A= 1 a a  y la de términos regla para la resolución de sistemas lineales
1 4 a 1 
mediante determinantes recibe su nombre en


1
 
independientes B =  1  . Discute según a 
 2a 
 
del sistema.
su honor, aunque se supone que pudo haber
el número de soluciones sido descubierta años antes por Mc Laurin.
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f. A  B  B  A
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Ficha V – El plano Cartesiano.
Teorema fundamental de la geometría analítica: Sean x  y  O ,
establecemos el único isomorfismo13 de la recta “x” con
y
respectivamente de la recta “y” con
que hace corresponder al O el 0. Sea
 '  la abscisa de p (A) (proyección del punto A)14 en “x” y  ''  la
'
abscisa de p (A) en “y”, entonces la función A  ( ',  '') es una
 ''
biyección de  sobre
2.
La geometría analítica está basada en esta biyección. Los números  ' ,
 ' ' se llaman respectivamente abscisa y ordenada de A (punto cualquiera
del plano  ). El isomorfismo de 
y
2 (isomorfismo de espacios
2 . Mediante este
isomorfismo resulta que las figuras geométricas son parte de 2 , es decir
métricos) se completa definiendo una métrica en
relaciones entre números reales, con las operaciones de suma y producto
definidas en
2 .
Axioma métrico: Existe una función
d:      por la cual a cada par
de puntos A y B les corresponde un
real d(A,B)
al que llamaremos distancia, que
cumple:
 d(A,B)= d(B,A)
 Sí C  AB entonces
d (C, A)  d (C, B)  d ( A, B)
 Sí C  AB entonces
d (C, A)  d (C, B)  d ( A, B)
 Para cada recta orientada r, para
cada punto P que pertenezca a ella y
Notación: A(a)=a se lee a es
abscisa de A
para cada real x
 x  0
existe un
único punto Q en la recta r tal que
P Q y d(P,Q)=x
unidad de medida u, el nuevo sistema de ejes se llamará cartesiano
ortogonal. Es en este sistema de ejes cartesianos ortogonales donde
trabajaremos.
13
Entendemos por estructuras isomorfas a estructuras algebraicamente idénticas,
sin entrar en más detalle
14
Observación: entendemos aquí como proyección de A sobre x al punto A’ tal que
{A’}= r  x con r//y por A
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Nota : Cuando además, xy , y se estableció en x e y un orden y una
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Nota: Si consideramos una recta r) orientada y un punto O en ella al que
En resumen un sistema de ejes
llamaremos origen, llamaremos sistema de abscisas al único isomorfismo
coordenados se forma cuando dos rectas
de r) con
tal que:
orientadas son intersectadas. Si además,
1) Al punto O hace corresponder el real 0
2) Para todo punto A de r) hace
corresponder un real a; d(O,A)=a
B(b)
A(a)
Si A(a) y B(b) son dos puntos de r) O(o)
llamaremos medida de AB al valor
numérico determinado por la diferencia b-a.
son perpendiculares entre sí, se tiene un
sistema de ejes coordenados ortogonales o
rectangulares,
denominado
también,
sistema de coordenadas cartesianas (en
honor a su creador, el matemático y
filósofo francés René Descartes (15961650)
1. Determina todos los puntos del plano que cumplen:
La abscisa del punto es 0. Representa gráficamente.
La ordenada del punto es 0. Representa gráficamente.
La abscisa y la ordenada son iguales. Representa gráficamente.
La abscisa y la ordenada son opuestas. Representa gráficamente.
La abscisa es positiva.
La ordenada es negativa.
La abscisa es menor que la ordenada.
2. Indica que características deben tener los puntos del plano que:
a. Se encuentran en el primer cuadrante de un sistema de
coordenadas cartesiano ortogonal.
b. Se encuentran en el segundo cuadrante de un sistema de
coordenadas cartesiano ortogonal.
c. Se encuentran en el tercer cuadrante de un sistema de coordenadas
cartesiano ortogonal.
d. Se encuentran en el cuarto cuadrante de un sistema de coordenadas
cartesiano ortogonal.
3.
René Descartes: Filósofo, matemático y
físico francés, considerado como el padre
de la filosofía moderna, así como uno de
los nombres más destacados de la
revolución científica.
Si llamamos x a la abscisa de un punto e y a su ordenada. Grafica
todos los puntos del plano que cumplan:
Caricatura de René Descartes (1596-1650)
y  2x 1
b. y  3x  4
a.
4. Determina en un sistema de coordenadas cartesiano ortogonal, los
siguientes conjuntos de puntos:
a.
( x, y) 
2
2
;( x, y )  ( a, a )



 1
b. ( x, y )  2 ;( x, y )   a,  a  0 
 a

c.

( x, y ) 
2

;( x, y )  a, 1  a

2

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a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
48
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_______________________________________________________________________________________________
d  A,B 
6. Clasifica
1 1
A ,  , B
2 4
 x1  x0    y1  y0 
2
el

triángulo
2
determinado
por
los
puntos

2, 1 y C  2,2 
7. Sea P(-1,2) determina el simétrico de P respecto a A(-1,0)
8. Prueba que el triángulo (ABC); A(1,4); B(-2,1) y C(2,-3), es rectángulo.
9. Prueba que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1,-3) pertenecen a una
circunferencia de centro (1, 2).
10. Calcula el perímetro del triángulo formado por los puntos: A(-3,6),
B(6,5) y C(1,6).
11. Un triángulo equilátero tiene vértices en A(-3,2) y B(1,2). Determina
las coordenadas del tercer vértice.
12. Determina las coordenadas del punto del eje Oy que equidista de los
puntos A(5,5) y B(4,2)
13. Prueba que dados A( x0 , y0 ) y B( x1 , y1 ) las coordenadas del punto
x  x y  y1 
medio del segmento AB son M  0 1 , 0

2 
 2
14. Sea ABC un triángulo rectángulo en C. Tal que A(3,0) y B(4,1).
Determina las coordenadas del centro de la circunferencia que contiene
los vértices de ABC
15. O(0,0) y A(3,5) son vértices de un paralelogramo de centro D(3,2).
Determina las coordenadas de sus otros vértices.
16. Determina las coordenadas del centro de simetría sabiendo que el
correspondiente de A(-1,3) es B(0,2)
17. Determina la imagen del triángulo ABC tal que A(1,1) B(2,2) y C(1,0)
en una simetría central de centro P(-3,2).
18. Determina las coordenadas del punto medio de un segmento de
extremos A   x0 , y0 , z0  y B   x1 , y1 , z1 
19. Determina las coordenadas del simétrico de A(3,5,-2) respecto de
B(1,1,1)
Pierre de Fermat: (Francia 1601- 1665) fue
junto con René Descartes uno de los
principales
matemáticos de la
primera mitad del
siglo
XVII.
Descubrió el cálculo
diferencial antes que
Newton y Leibniz,
fue cofundador de la
teoría
de
probabilidades junto
a Blaise Pascal e independientemente de
Descartes, descubrió el principio fundamental
de la geometría analítica.
En teoría de números, el último teorema de
Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de
los teoremas más famosos en la historia de la
matemática. Utilizando la notación moderna, se
puede enunciar de la siguiente manera:
Si n es un número entero mayor que 2,
entonces no existen números enteros a, b y
c, tales que se cumpla la igualdad (con a, b,
c no nulos):
Pierre de Fermat
El teorema fue conjeturado por Pierre de
Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta
1995 por Andrew Wiles ayudado por el
matemático Richard Taylor. La búsqueda de
una demostración estimuló el desarrollo de la
teoría algebraica de números en el siglo XIX y
la demostración del teorema de la modularidad
en el siglo XX
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5. Demuestra que dados dos puntos A  x0 , y0  y B  x1 , y1  se cumple que:
49
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VECTORES
Todo vector v del plano tiene su vector equipolente con origen en O(0,0)
como muestra la figura. Llamaremos a este vector representante
equipolente de v y a partir de él es que definiremos las coordenadas de
v . El representante equipolente de v tiene como todo vector un extremo
determinado por un punto de coordenadas  x0 , y0  , diremos entonces que
x 
el vector v tiene coordenadas  x0 , y0  y lo anotaremos: v   0 
 y0 
v
x 
x 
Observe entonces que si tenemos dos vectores v   0  y u   1  resultará
 y1 
 y0 
 x0  x1 

 y0  y1 
Vectores: Antes de continuar nuestro
estudio de la geometría analítica
necesitaremos introducir un nuevo
objeto matemático al que llamaremos
vector. Formalmente, un vector es un
elemento de un espacio vectorial. El
intentar dar una definición formal de
vector haría que necesariamente
tengamos que trabajar espacios
vectoriales, lo cual nos será imposible
por razones de tiempo, por lo que
tendremos que dar una definición
simplificada.
Observaciones previas:
Diremos
que dos rectas tienen igual dirección
si son paralelas.
que v  u  
Por último podemos ver que si un vector v tiene por extremos los puntos
 x1  x0 

 y1  y0 
A  x0 , y0  y B  x1 , y1  , o sea v  AB , entonces v  
20. Determina en forma gráfica y analítica el vector resultante
 3   4 
a. v      
 2  1 
 3   3 
c. v      
 2   2 
 3   3 
b. v      
 2  1 
3  0
d. v      
 2 0
21. Determina en forma gráfica y analítica el vector resultante
3
 2
a. v  2  
 5  3 
1   2 
c. v      
0
0
b. v  2  
3 
 2
 2 
 2
1 
d. v  
22. Determina el módulo (o norma) de un vector de componentes a y b
23. Define en forma general un vector en el espacio y determina su módulo
Recordemos: Probablemente en el
ciclo básico hayas definido a los
vectores de la siguiente forma:
Definición:
Llamaremos
vector
(anotamos: v ) a un segmento de recta
orientado.
Un vector queda definido por:
a. Sentido  Orientación 

b. Módulo  Medida del segmento 
c. Dirección

Definición: Diremos que dos vectores
u y v son equipolentes si tienen igual
sentido, módulo y dirección.
v
u
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De la misma forma si  
Diremos que dos segmentos de recta
tienen igual dirección si están
incluidos en rectas paralelas.
  x0 
 v  

  y0 
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ECUACIÓN DE LA RECTA
Si tenemos tres puntos alineados A, B y C podemos observar que siempre
existirá un número real  tal que  AB = AC . Este resultado nos será útil
para llegar a la ecuación general de la recta, veamos lo siguiente.
El axioma de Euclides afirma que por un punto exterior a una recta solo
es posible trazar una recta paralela. Lo que nos permite afirmar que si
tenemos un punto y una dirección tenemos una recta fija.
Operando un poco podemos escribir
la ecuación de la recta según el
 x  x0   a
sistema: 
que podemos
 y  y0  b
resumir en:
 x  x0   a

 y  y0  b
y que
llamaremos ecuación paramétrica
de la recta en el plano
a
Supongamos entonces que tenemos un punto A  x0 , y0  y un vector v   
b 
que nos da una dirección determinada. Por lo mencionado anteriormente la
recta que pasa por A y tiene la dirección del vector v es única.
Ahora cualquier punto B que esté en la recta tendrá un par de coordenadas
B  x, y  que irán variando en la medida que varíe el punto B sobre la recta.
El vector AB variará su módulo en la medida que varíe B sobre la recta,
pero siempre podrá ser escrito como AB  .v .
con
esta
 x  x0 
 x  x0    a 
a
AB  .v  
     
 
b 
 y  y0 
 y  y0   b 
 x  x0


 x  x0   a
x  x0 y  y0
 a




a
b
 y  y0  b  y  y0  

 b
igualdad.
expresión a la que daremos
Determina la ecuación de la recta que pasa por A(2,3) y tiene
 2
dirección determinada por v   
3
b. Determinar la ecuación de la recta que pasa por A(1,0) y dirección
0
En el caso en que B no sea nulo,
tenemos
que:
y
A
C
x
B
B
que
probablemente hayas trabajado el año
pasado como y  mx  n bajo el
nombre de ecuación explícita de la
recta
luego
el nombre de ecuación simétrica de la recta en el plano
24. a.
números reales como has visto en el
curso anterior.
determinada por v   
1 
c. Expresa las rectas anteriores en forma general, explícita y simétrica
y paramétrica
Ten presente que si bien esta última
ecuación es muy útil por tener solo
dos parámetros, deja fuera los casos
en que la recta sea paralela al eje de
las ordenadas.
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Trabajando
Es importante observar que operando
en la ecuación simétrica de la recta
podemos llegar a que la ecuación
general de la recta tiene la forma
Ax  By  C  0 donde A , B y C son
51
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Observaciones importantes:
Semiplano:
a
c
ax  by  c  0  y   x 

y  mx  n si se determina la
b0
b
b Renombrando
Toda recta divide al plano en dos
semiplanos, llamaremos a uno de ellos
semiplano positivo y al otro semiplano
negativo.
raíz y la ordenada en el origen podemos graficar la recta, como vemos en la
representación gráfica adjuntada. Ahora si queremos determinar el ángulo
 que determina la recta con el eje Ox basta utilizar trigonometría sobre el
triángulo
rectángulo
que
se
ha
formado,
de
ahí
que
tan   m  tan  
d ( AO)
n
 tan  
 tan   m , llamaremos por esta
n
d ( BO)
m
razón al número m coeficiente angular de la recta
25. a. Demuestra que el triángulo determinado por las rectas
r )3x  4 y 1  0, s) x  7 y 17  0 y p)7 x  y  31  0 es isósceles.
b. Determina su perímetro.
26. a. Determina las coordenadas del cuarto vértice de un rombo ABCD tal
que A(1,0); B(0,0) y C(0,1).
b. Determina las coordenadas del punto de corte de sus diagonales
Cómo determinar cuál es el positivo y
cuál el negativo es relativamente sencillo.
Tomamos un punto cualquiera en el
plano, que no esté en la recta, y
sustituimos sus coordenadas en la
ecuación general de esta recta. Si este
resultado es positivo, entonces el punto se
encuentra en la región positiva, si en
cambio el resultado es negativo es porque
el punto seleccionado se encuentra en el
semiplano negativo.
Trata de formalizar esta explicación
Preguntas:
27. a. Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(2,1) y
B(-1,2)
b. Indica la dirección de la recta.
a. ¿Por qué razón se pide tomar un
punto que no esté en la recta en la
explicación anterior?
28. Determinar la intersección de las rectas r : y  2x  1 y s : y  3x  2
b. En la imagen anterior, ¿Cuál de los dos
semiplano fue pintado?
29. a.
c. ¿Cómo resolverías y  2 x  1?
Prueba
que
el
triángulo
por las rectas
r )3x  4 y 1  0, s) 4 x  3 y 17  0 y p)7 x  y  31  0 es rectángulo.
b. Determina su perímetro.
formado
d. ¿Cómo resolverías ahora y  2 x  1?
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De lo anterior puede deducirse que dos
rectas
paralelas
tendrán
igual
coeficiente angular y al revés si dos
ecuaciones de rectas tienen igual
coeficiente
angular
es
porque
representan rectas paralelas
52
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Observación:
Paralelismo entre rectas:
Es
condición
necesaria
y
suficiente para que dos rectas
r) ax  by  c  0 y r’) a’x  b’ y  c’  0 sean paralelas que a’b  ab’  0
Demostración:
Dos rectas (r y r’) son paralelas si sus ángulos
correspondientes a una recta secante son iguales.
r
r’
Escribamos las rectas en su forma
explícita, aquí podrás observar que sus
coeficientes angulares deben ser iguales,
o sea que si escribimos las rectas como:
De lo visto en geometría métrica sabemos
que dos rectas r) ax+by+c=0 y r’)
a’x+b’y+c’=0 son paralelas si y solo si
son coincidentes en todos sus puntos ó en
ninguno de ellos. Por lo que debemos
ax  by  c  0
pedir que el sistema: 
a ' x  b ' y  c '  0
Sea incompatible (no tenga solución) ó
compatible
indeterminado
(infinitas
soluciones).
r) y  mx  n y r’) y  m ' x  n '
a
b
Estaremos en condiciones de afirmar que:   
a'
 a’b  ab’  0
b'
Definición: Llamaremos haz de rectas
paralelas al conjunto de todas las rectas
del plano con igual coeficiente angular
Sí r) // eje y entonces no podemos hablar de tg(m ) , r) será de la forma r)
r
x=k y r’) x=k’ en donde se cumple que: a’b  ab’  0b  0b’  0
Definición: Llamaremos haz de rectas
coincidentes por un punto P( x 0 , y 0 ) a
A(1, 2)
31. a. Determina la ecuación de la recta paralela a r) y  3x  5 por
B(3, 4)
b. Determina la ecuación de la recta paralela a r) y  3x  5 por
C (1, 2) ¿Qué conclusión puedes extraer?
32. Determina los vértices de un cuadrado ABCD. Conociendo A(1,2) y
B(2,3)
33. Los puntos M(1,1); N(3,2) y P(2.0) son los puntos medios de los lados
de un triángulo ABC. Determina las coordenadas de A, B y C.
34. Dado el triángulo (ABC) tal que A(2,0); B(0,5); C(3,6) halla las
coordenadas de: el baricentro, el circuncentro y el ortocentro.
todas las rectas del plano que contengan a
P.
Aplicaciones de las definiciones:
a. Determina el haz de rectas de
1 1
centro A  , 
2 4
b. Determina el haz de rectas de
 1
1
centro A   ,  
 2 4
c. Determina el haz
paralelas a 3x  5 y  1  0
de
rectas
d. Determina
de
rectas
el
haz
paralelas de coeficiente angular m 
1
3
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30. Determina la ecuación de la recta paralela a r) 3x  2 y  1  0 por
53
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_______________________________________________________________________________________________
40. Calcula el área de los triángulos
(ABC) en cada caso.
Perpendicularidad entre rectas:
condición
necesaria
y
suficiente
sean
r) ax  by  c  0 y r’) a’x  b’ y  c’  0
para que dos
perpendiculares
rectas
que
a’a  b’b  0
Demostración:
Consideremos las rectas escritas en su forma
explícita y de manera tal que ambas pasen
por O(0,0); esto es:
r ) y  mx r ') y  m ' x
A
O
1 1
3. A  ,   ; B  2, 3 ; C 1, 0 
 2 5
B
Consideremos además la recta de ecuación :
C
x=1
Quedan entonces definidos en r y r’ respectivamente los vectores:
1 
 1 
v  yu 

 m
 m ' 
OA2  AB 2  OB 2  OA2  m2  12  OA  m2  1 

  Sustituyendo en (1) :
2
2
2
2
2
2
2
OC  BC  OB  OC  m '  1  OC  m '  1


 
2
m2  1 
 mm '  1 
42. Dada la recta de ecuación general
r) 2x 
De igual forma sobre BAO

1. r ) y  2 x y s) y  3x  1
2. r ) 3 y  2 x  1 y s) y  4
4. r ) 3 y  2 x  1 y s) 5 y  7 x  2
AC 2  OA2  OC 2 (1)
2
41. Determina las coordenadas de los
puntos de intersección entre las
rectas en cada caso.
3. r ) 2 y  2 x  1 y s) x  1
El triángulo AOC es rectángulo, por lo que aplicando Pitágoras:
 m  m '
3 
1. A 1, 1 ; B  3, 2  ; C  ,5 
2 
1
1


1 
2. A  3, 5  ; B  ,  ; C  , 2 
5 6
7 

2
m '2  1  m2  2mm ' m '2  m2  1  m '2  1
a a'
 1  aa ' bb '  0
b b'
Distancia de un punto a una recta:
35. Sea una recta r) ax+by+c=0 y un punto P( x0 , y0 ) del plano.
Definiremos distancia de un punto a una recta como la menor distancia
entre el punto P  x0 , y0  y la recta r).
Demuestra que:
Si r ) ax  by  c  0
ax0  by0  c
  d ( P, r ) 
P( x0 , y0 )

a 2  b2
36. Determina la ecuación de la perpendicular a 3x  5 y  0 por el origen.
37. Determina la ecuación de la recta perpendicular a y   x por A(5,0).
38. Determina la ecuación de la mediatriz del segmento definido por los
puntos A(3,5) y B(-2,,3)
39. Dados los puntos A(2,3); B(3,-3) y C(-1,3) Determina las coordenadas
del punto D para que (ABCD) sea paralelogramo
3
y 1  0
2
determina
la
abscisa del punto A perteneciente
a la recta tal que su ordenada es
-7 y la ordenada de un punto C
cuya abscisa es 2.
43. Representa gráficamente la recta
3
2
a de ecuación y  x  1 .
44. a. Determina la ecuación de la
recta b paralela a la recta a que
pasa por el punto de B (-2, 2 )
b. Determina la ecuación de la
recta c perpendicular a la
recta b en B (-2, 2)
45. Dados los puntos A(1,1) y B(3,3)
Determina las coordenadas del
punto C para que (ABC) sea
rectángulo y su área sea 2
46. Dados los puntos
A(2,-2) y
O(0,0)
Determina
las
coordenadas de los puntos B y C
para que ABCO sea un rombo de
área 2.
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Es
54
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_______________________________________________________________________________________________
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación general de la circunferencia:
Sea C
C(, )
una circunferencia de centro
y radio r  0
Si P  x, y   C  x  y  2x  2y      r  0
2
2
2
2
2
P  C (C,r)  d(C,P)  r
r  (x   )  (y   )  (x   )  (y   )  r
2
2
2
2
2
Operando llegamos a que: C) x 2  y 2  2x  2y   2   2  r 2  0
r
Definición Métrica: Una circunferencia
es el lugar geométrico de los puntos de un
plano que equidistan de otro punto fijo y
coplanario llamado centro en una cantidad
constante llamada radio.
La circunferencia puede ser definida
como la sección de un cono circular recto
con un plano paralelo a su base, esto ya
fue estudiado por Apolonio de Perge
cerca del año 200 a.C.
P(x,y
)
C(,
)
a  2

C) x 2  y 2  ax  by  c dondeb  2 
c   2   2  r 2

a. Determina la ecuación de la circunferencia de centro C(1,-1) y
radio r=3
b. Determina la ecuación de la circunferencia de diámetro AB, con
A(1,2) B(3,-2).
c. Determina la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos
A(3,2), B(1,3) y C(2,1)
46. En cada caso, determina la ecuación general de una circunferencia que
cumpla:
a. El centro sea C(0,0)
b. El centro sea C(,0)
c. El centro sea C(0,)
47. Indica centro y radio de las siguientes circunferencias:
a. x2  y 2  1
b. x2  y 2  2 x  1  0
c. x2  y 2  x  y  1  0
d. C : x2  y 2  2 x  3 y  4
Apolonio de Perga (Perge, 262 a. C. Alejandría, 190 a. C.) Se le atribuye la
hipótesis
de
las
órbitas excéntricas o
teoría de los epiciclos
para intentar explicar
el
movimiento
aparente
de
los
planetas y de la
velocidad variable de
la Luna.
Sus extensos trabajos
sobre geometría tratan de las secciones
cónicas y de las curvas planas y la
cuadratura de sus áreas. Recopiló su obra
en ocho libros y fue conocido con el
sobrenombre de El Gran Geómetra.
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Por lo que las coordenadas de todos los puntos que pertenecen a una
circunferencia
verifican:
55
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Tangente por un punto de una la circunferencia
Círculo:
H) C ) : x  y  ax  by  c  0
De una forma muy parecida a la rectas, la
circunferencia divide al plano en dos
regiones, una positiva y otra negativa.
2
2
 x  x0 
 y  y0
  b 2
2



T) t ) x0 x  y0 y  a 

c  0

Siendo t) la tangente a C) por P, con P(xo, yo); P C
Demostración:
La perpendicular a la recta t) por P pasa por
el centro C de la circunferencia. Por lo que
puedo determinar CP).
Preguntas:
a. ¿Cómo definirías la ecuación del
círculo de la figura anterior?
b
 a b  
y0 
C  , 
2
 2 2   coef. angular de m 
a
x0 
P( x0 , y0 ) 

2
b. ¿Es
1
 x  x0
t ) y  y0   ( x  x0 )  t)x 0 x  y0 y  a 
m
 2
  y  y0 
  b 2   c  0
 

Esta ecuación recibe el nombre de “desdoblada” por la manera en que sus
coeficientes mantienen relación con los de la circunferencia.
la
ecuación
de
un
círculo:
x  y  4?
2
2
c. ¿Cómo escribirías la ecuación de un
círculo de centro C(1,0) y radio r=1?
Desafío: Observa, en cada caso, qué
tienen en común las circunferencias
dibujadas y trata de determinar una
ecuación general para cada familia.
48. En cada caso determina las coordenadas de los puntos de corte de las
siguientes circunferencias con las siguientes rectas.
a. C : x2  y 2  4 con r : y   x
b. C : 3x2  3 y 2  6 y  1 con r : y  x  2
c. C : x2  y 2  5 con r :  x  2 y  5  0
49. Sea la circunferencia CA,1 con A(4,5) y la recta r : y  mx  m 
 discute
según m, la posición relativa entre CA,1 y r
50. En caso de existir, determina las coordenadas de los puntos de corte de
las siguientes circunferencias.
a. C : x2  y 2  4 con C ' : x2  y 2  x  4
b. C : x2  y 2  8x 10 y  25  0 con C ' : x2  y 2  4 x  6 y  23  0
c. C : x2  y 2  4 con C ' : x2  y 2  1
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Nota: Sí la tangente es por un punto exterior, se interseca el haz de rectas
por el punto con la circunferencia y se exige que el discriminante de esa
ecuación sea igual a cero (única solución)
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51. Determina las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto
A(4,-4) a la circunferencia C : x2  y 2  6x  2 y  5  0 y muestra que si
T1 y T2 son los puntos de tangencia entonces los segmentos AT1 y AT2
son congruentes
52. Dado el cuadrado de base O(0,0) y A(1,2) determina la ecuación de la
circunferencia circunscrita a él y de la circunferencia inscrita a él.
53. Determina la ecuación de la circunferencia tangente al eje Ox, sabiendo
que pasa por el punto P(2,1) y que su centro pertenece a la recta
Clasificaciones:
1) Si el radio de la circunferencia es
mayor ó igual a cero, llamaremos a la
circunferencia “circunferencia real”.
2) Si ese número es cero, la ecuación es
la ecuación de un punto o la ecuación de
una circunferencia de radio nulo.
3) Si por el contrario el radio de ella es
menor a cero esta recibirá el nombre de
“circunferencia imaginaria”
y  x 1
circunferencia concéntrica a C tal que el área del anillo que determinan
sea 4.
55. Calcula la longitud de la cuerda que determina la recta x = 3 al cortar a
la circunferencia de ecuación x2  y 2  4x  6 y  8  0
56. Determina la Ecuación de la Circunferencia de centro C(-1,4) y es
tangente al eje de las abscisas.
2
2
57. La ecuación de una circunferencia es x + y = 50. El punto
medio de una cuerda de esta circunferencia es el punto (-2, 4).
Hallar la ecuación de la cuerda.
Se conoce como circunferencia de los
nueve puntos a una circunferencia que se
puede construir sobre cualquier triángulo
dado. Su nombre deriva del hecho que la
circunferencia pasa por nueve puntos
notables, seis de ellos sobre el mismo
triángulo (salvo que el triángulo sea
obtusángulo). Estos son:
 el punto medio de cada lado del
triángulo,
 los pies de las alturas, y
 los puntos medios de los segmentos
determinados por el ortocentro y los
vértices del triángulo.
58. a. Determina la ecuación de la circunferencia de los nueve puntos,
definida sobre el triángulo de vértices O(0,0); A(1,-2) y B(1,3).
b. Determina su centro y radio.
59. Resuelve:
 y  2x  1
a.  2
2
x  y  1
 y  2x 1
b.  2
2
x  y  1
2
2
 x  y  4
c.  2
2
 x  y  1
2
2
 x  y  4
d.  2
2
 x  y  1
x  0
e.  2
2
x  y  1
x  0

f.  y  0
 2
2
x  y  1
y  x

g.  y   x
 2
2
x  y  2
2
2
 x  y  4
h. 
2
2
 x  1  y  1
 x  y 14 x  y  25  0 k.  x  y 1  x
l.  x  y  25  x  y  4 x  2 y  4  0
i.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
 y 2  25  0
Al círculo de los nueve puntos se le
conoce también entre otros como círculo
de Feuerbach, círculo de Euler, círculo de
los seis puntos o círculo medioinscrito.
Dado el triángulo definido por los puntos
A(1,0); B(0,1) y O(0,0) Determina la
circunferencia de Feuerbach
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54. Dada la circunferencia C : x2  y 2  25 Determina el radio de una
57
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60. Determina la ecuación de la familia de circunferencias tangentes a las Adelanto de lugar geométrico en
forma analítica…
rectas de ecuación y  2 x e y  3x
61.
Dada
la
circunferencia
C : x2  y 2  6x  2 y  5  0
Determina
las
62.
Dado el triángulo (ABC) tal que A(-1,0); B(3,0) y C(0,3) determina la
ecuación de la circunferencia inscripta y de la circunferencia
circunscripta a él.
63.
Dado el cuadrado de base O(0,0) y A(1,2) determina la ecuación de la Una recta r varía por el origen del
sistema de coordenadas xy. La
circunferencia circunscripta a él y de la circunferencia inscripta a él.
perpendicular a r por A(3,0) corta a
Demuestra analíticamente que si P es un punto de una circunferencia de r en un punto P. Determina en
diámetro AB se cumple APB  90 (Conocido como lugar geométrico de forma analítica el lugar geométrico
del punto P.
Thales)
64.
65.
Determina la ecuación de la circunferencia tangente al eje Ox, sabiendo
que pasa por el punto P(2,1) y que su centro pertenece a la recta y  x  1
66.
Dada la circunferencia C : x2  y 2  2 x  6 y  6
a. Determina las ecuaciones de las circunferencias de igual radio que
pasan por el centro de C.
b. Demuestra analíticamente que todas las circunferencias
anteriormente halladas en a. tienen su centro en C.
c. Demuestra analíticamente que los puntos de corte de C con
cualquiera de las circunferencias halladas en 1. determinan la
mediatriz del segmento que tiene por extremos los centros de las
circunferencias intersecadas.
67.
Determina la ecuación de la circunferencia CP,2 tangente a los ejes
coordenados y de C’R,r circunferencia que pasa por
los puntos de tangencia de C con los ejes coordenados y por el punto P.
En cada caso reconocer sus elementos.
68.
Determina en función de      la ecuación general de todas las
circunferencias de centro P(-1,2)
a. Determina para que valor de  la circunferencia tiene área A =2
b. Determina para que valor de  la circunferencia tiene perímetro p=2
c. Determina para que valor de  la circunferencia es tangente a Ox.
69.
Dada la circunferencia C : x2  y 2  25 Determina el radio de una
circunferencia concéntrica a C tal que el área del anillo que determinan
sea 4.
70.
Sea M el conjunto de todas las circunferencias cuyo centro pertenece a la
recta y = x. Halla la ecuación general de las circunferencias de M que
son tangentes a la circunferencia C : x2  y 2  x  16
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ecuaciones de las tangentes paralelas a los ejes.
58
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Ficha VI – Cónicas
Definición de cónica:
Llamamos cónica al conjunto de puntos del plano cuyas coordenadas verifican La definición de cónica aquí mencionada es
una ecuación de segundo grado, es decir: Si A, B, C, D, E y F son números analítica, métricamente puede ser definida
como: cada una de las curvas planas que
reales, llamamos cónica a:
K   x, y  
1.
2
; Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0
a. Prueba que toda circunferencia es una cónica.
b. ¿Toda cónica con A = C es circunferencia?
c. ¿Cuáles son las condiciones analíticas que deben ser impuestas para que
una cónica sea circunferencia?
PARÁBOLA:
resultan de seccionar una superficie cónica
de revolución con un plano. Sí el plano no es
paralelo a ninguna generatriz del cono la
cónica es una elipse; sí es paralelo solo a una
generatriz será una parábola y sí lo es a dos
una hipérbola.
Superficie es (definición cinemática): el
lugar geométrico de las posiciones de una
curva que se “desplaza” o “varía” según una
ley determinada, que puede tener
condicionantes algebraicas o geométricas.
Véase que esta definición se basa en la
noción de movimiento.
Definición: Dados en un plano una recta y un punto que no le pertenece,
llamamos parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de la recta y del punto.
 La recta recibe el nombre de directriz de la parábola y la anotaremos como z.
 El punto recibe el nombre de foco de la parábola y lo anotaremos como F.
Generatriz: es la curva que se menciona en
 M  P  d(M, F) = d(M, z)
la definición de superficie
Definición: M es interior a P  d(M, F) < d(M, z)
M es exterior a P  d(M, F) > d(M, z)
Construcción con regla y compás de una parábola:

e  z = {A}
Sea V, V punto medio del segmento AF, V P pues: d(V, F) = d(V, z)
Consideramos r, r z
Si M  P  d (m, F)  d (M, z )

 d (M,B)  d (M,F)
r  z  B  d (M, z )  d ( M , B) 
Por lo que : M  med ( F , B)
Por lo tanto por cada recta perpendicular a la directriz de una parábola hay un
punto, y solo uno, de ella.
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Sea e, ez  Fe
59
e
r
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2.
Traza una recta cualquiera z, y un punto F exterior a ella. Determina tres Propiedades de la parábola:
puntos de la Parábola definida por la directriz z y el foco F.
1.- Las rectas r tienen infinitos puntos
Definición: Dada una parábola P, llamamos parámetro de la misma, a la exteriores e interiores y solo uno de la
parábola.
distancia entre el foco y la directriz de la parábola. Notación: p; p  ,
parámetro de P  p = d(F, z)


Sea I  opMB  En FMI 
d(I, F) < d(I, M) + d(F, M) = d(I,B) =
3.
d(M, B)
Interpreta a nivel gráfico, qué sucede con dos parábolas con igual
d(I, z)  d(I, F) < d(I, z)  I es int a P
directriz y distintos parámetros.


Ecuación general de la parábola:
Sea E  MB  En FME 
d(E, F) > d(M, F) - d(M, E) = d(E,B)
d(M, B)
Hallaremos la ecuación de una parábola P de foco F(, ) y directriz z) y =
mx + n; el único caso que no queda incluido es la ecuación de la parábola de = d(E, z)  d(E, F) > d(E, z) 
directriz paralela al eje y, pero ya fue estudiado.
E es ext a P
Sea M(x, y),
mx  y  n
M  P  d(M, F)=d(M, z)  (x   ) +(y   ) =
2
2
m2  (  1)2
2.- Las rectas med(BF) son tangentes a
la parábola.
Sea K; K  med(B,F), KM, entonces
d(K,F)=d(K,B)>d(K,z), d(K,F)>d(K,z)
 K es ext. a P

 (m2  1). (x   )2 +(y   )2  = (mx  y  n)2
que es una ecuación del tipo: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 donde A = 1,
B
=
2m
y
C
=
3.- La parábola no tiene tangentes
D  2 (m2  1)  2mn, paralelas.
m2,
Las tangentes a una parábola son las
mediatrices de los segmentos FB [(B),
Bz].
E  2 (m2  1)  2n F  (m2  1)( 2   2 )  n2
Es decir que la ecuación de una parábola de eje cualquiera es del tipo
P) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con A, B y C calculados o un múltiplo 4.- La parábola tiene un eje de simetría
(e) y un vértice.
de ellos; hallemos B2–4AC con A=k, B=2mk y
C=m2k y k  0: Sí M es un punto de una parábola y M’
es el simétrico de M respecto e,
B2  4AC = (2mk)2  4(k)(m2 k) = 4m2 k  4m2 k = 0
4.
a. Prueba que una parábola con foco F(0,
p
2
) y directriz z) y =
p
2
tiene
2
por ecuación: P) y = ax con a0
b. Muestra que x  ay 2 con a  0 es la ecuación de una parábola de eje Oy,
1
 1 
, 0  y directriz z) x+
=0. (Llamamos eje de la
4a


4a
vértice O(0, 0), foco F 
parábola a la recta perpendicular a la directriz por el foco)
c. Observa que haciendo una simetría de eje la recta que contiene la
bisectriz del primer cuadrante (ecuación y=x), obtenemos la ecuación de la
parábola de eje Ox y vértice O(0, 0)
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entonces, M’ pertenece a la parábola.
Por lo tanto:
La ecuación de toda parábola es Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 con
5.- Cuanto mayor sea la distancia entre
el foco y el vértice menor será la
B2–4AC=0 (A y C no pueden ser simultáneamente nulos)
Diremos que la parábola es una cónica descentrada (se ampliará en al tratar la distancia entre un punto de la parábola y
su simétrico, asemejándose cada vez
elipse).
más la parábola a dos rectas paralelas.
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_______________________________________________________________________________________________
Determina la ecuación de la parábola de foco F 1,1
z : y  2 . Representa gráficamente.
b. Determina la ecuación de la parábola de foco
directriz z : x  1 Representa gráficamente.
c. Determina la ecuación de la parábola de foco F  0, 2 
z : y  x  2 Representa gráficamente.
d. Determina la ecuación de la parábola de foco A  2,0 
z : y  2 x  3 Representa gráficamente.
y directriz Desafío: Prueba que La longitud del
5. a.
F  0,0 
lado recto es siempre 4 veces la
distancia focal.
y
y directriz
y directriz
Traslación de Parábolas y determinación de elementos.
La parábola refleja sobre el foco los
rayos paralelos al eje. Análogamente,
La ecuación de la parábola P, de eje paralelo a Oy (x=x0) y vértice V(x0, y0), un emisor situado en el foco, enviará un
referida a los ejes cartesianos x’O’y’ es P) y’ = ax’2 queremos la ecuación de haz de rayos paralelos al eje.
esta parábola pero referida a los ejes xOy:
 x '  x  x0

 y '  y  y0
 P ) ( y  y0 )  a( x  x0 ) 2
 P ) y  ax 2  2ax0 x  ( ax02  y0 )
Resulta ser entonces una ecuación del tipo y = ax2 + bx + c. Para hallar los Por ese motivo es usada en los faros de
elementos de esta parábola (referido a los ejes cartesianos xOy) debemos los automóviles con el fin de enviar los
haces de luz en forma paralela situando
conocer x0 e y0 en función de a, b y c:
b


2
ax
=
b

x


0
0

2a


2
2
ax 2  y  c  y  c  ax 2  y  c  a   b   y  4ac  b
0
0
0
0
0


 0
4a
 2a 
P) y = ax2 + bx + c

V(x0, y0)  V  
b
,
4ac  b 2 
Vértice
V(0, 0)
Eje
e) x = 0
e) x = x0  e) x = 


F
Foco
Directriz
Podaria
F  0,
 2a
1 

4a 
z) y  
1
4a
p) y = 0
4a
b
2a
 b 4ac  b 2  1 
 ,

4a
 2a

z)
p)
y
4ac  b 2  1
y
4a
4ac  b 2
4a
Observación: La ecuación de la parábola de eje paralelo a Ox es
P) x = ay2+ by + c.


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P) y = ax2
la bombilla en el foco de una superficie
parabólica.
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6. En cada caso determina la ecuación de las siguientes parábolas:
a. Vértice V(3,2) y foco F(1,2).
b. Vértice V(0,0) y foco F(2,0).
c. Vértice V(0,4) y directriz z: y=2
d. Vértice V(-2,1) y directriz z: x=1
e. Foco (2,2) y directriz z: x=0
f. Foco (2,2) y directriz z: y=0
g. Eje paralelo a Oy que pasa por (0,3); (3,4); (4,11)
h. Eje paralelo a Ox que pasa por (4,-2); (0,0); (3,-3)
7. Determina, en cada caso, la posición relativa entre la recta y la parábola.
a. P: x2  2 xy  y 2  12 y  18 r: 3x  4 y  12
b. P: y  x 2 r: y  2 x  1
El triángulo Sagrado egipcio
Triángulo sagrado egipcio es el nombre
dado a un triángulo rectángulo cuyo
lados tienen las longitudes 3, 4 y 5, o
sus
medidas
guardan
estas
proporciones. Es el triángulo rectángulo
más fácil de construir y, posiblemente,
se utilizó para obtener ángulos rectos en
las construcciones arquitectónicas desde
la más remota antigüedad. El triángulo
rectángulo semejante, de 15, 20,
25 codos egipcios, se empleó en
el Antiguo Egipto y fue llamado
«Isíaco» (de la diosa Isis).
c. P: x  y 2  2 y r: 5x  2 y  10
b.
P : x  y 2  1 con P ': y  x 2  2 x  1
c.
P : x  y 2  1 con P ': y  x2  2 x  1
9. Dada la parábola P : x  y 2  4
a. Halla las coordenadas de M, punto de la parábola, sabiendo que su
ordenada es positiva y que la diferencia entre la abscisa del punto y la
ordenada es 2.
b. Halla las coordenadas de F foco y z directriz de la parábola.
10. Halla
la
ecuación de la cuerda común
C :  x  6   y 2  100 y la parábola P : y 2  18x
a
la
circunferencia
2
11. a. Halla la ecuación de las parábolas que tienen por foco el punto F(1,1) y
eje paralelo a Oy en función de  .
b. Halla  para que su directriz sea y= -6
12. Determina elementos en cada una de las siguientes parábolas:
a. y  x2  x  2
b.
x  y2  3
c.
x2  2 xy  y 2  6 x  6 y  3
d.
16 x2  24 xy  9 y 2  78x  104 y  481
e.
x2  2 xy  y 2  12 y  18
13. Prueba que si dos rectas tangentes a una parábola son perpendiculares,
entonces el foco pertenece al segmento determinado por los puntos de
tangencia.
Podemos relacionar un triángulo
semejante al triángulo sagrado egipcio
con cualquier parábola. El vértice
correspondiente a la reunión de la
hipotenusa con el cateto proporcional a
4 está en el foco de la parábola. El
punto medio de ese cateto es un punto
de la parábola, donde culmina el lado
recto. Si trazamos un segmento de recta
perpendicular al otro extremo del cateto
-opuesto al foco- y marcamos un punto
distante tres cuartas partes de la
longitud de este mismo cateto en el
sentido de apertura de la curva, estamos
sobre otro punto de la curva. El vértice
de la parábola dista del foco una
distancia igual a una cuarta parte de la
longitud de este cateto proporcional a 4
del triángulo descripto. Para la
parábola y = x² los puntos que definen
al triángulo son: (0, ¼), (1, ¼) y (1, 1).
Este triángulo es ¼ (3, 4, 5). Dado que
todas las parábolas tienen la misma
forma, siempre se podrá ubicar un
triángulo semejante en diferentes
escalas. Por la simetría axial de la
parábola hay dos triángulos idénticos en
cada parábola y un tercero, isósceles,
con base proporcional a 8 y altura
proporcional a 3, con las hipotenusas de
los dos primeros como lados iguales.
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8. En caso de existir, determina las coordenadas de los puntos de corte de las
siguientes parábolas.
a. P : y  x2  x  2 con P ': y  x 2  2 x  1
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14. a.
Determina las ecuaciones de las tangentes desde el P(-4,4) a la Órbita de los planetas
parábola P : x   y  2 y  1
b. Determina las ecuaciones de las tangentes desde P(-4,1) a la
parábola P : y 2  2 x
c.
Determina las ecuaciones de las tangentes desde P(-1,1) a la
parábola P : y 2  x  4 y  6  0
15. Demuestra que dos rectas tangentes a una parábola siempre son secantes.
ELIPSE
Definición: Llamamos Elipse al lugar geométrico de los puntos del plano
cuya suma de distancias a dos puntos fijos de ese plano es constante.
En general se designa con F y F’ los puntos fijos (que reciben el nombre de
focos de la elipse) y con 2a  a   a la distancia constante; por lo tanto:
M  E)  d(M,F)+d(M,F')= 2a
Definición:
El Sol no se
encuentra en el
centro de una
órbita elíptica.
Está un poco
descuadrado
hacia un punto llamado, "foco" de la elipse.
Debido a que está descuadrado, en cada
órbita alrededor del Sol, el planeta se mueve
más cerca de y más lejos del Sol. El punto
cercano de la órbita se llama, perihelio; y el
punto lejano se llama, afelio. Si una órbita
tienen una gran excentricidad, la diferencia
entre la distancia del perihelio y la distancia
del afelio también será muy grande. En el
afelio, la Tierra se encuentra a sólo 3% del
Sol, que en el perihelio. la distancia del
afelio de Plutón es 66% mayor a la distancia
del perihelio.
M interior a E)  d(M,F) +d(M,F') < 2a
M exterior a E)  d(M,F) +d(M,F') > 2a
Observación: Los focos son puntos interiores de una E)
Construcción de la Elipse:
Trazamos CF, 2a y una recta r por F.
r  C CF, 2a = { F1 , F2}
Sea M ; {M} = r  med(F1F’) M  E)
pues d(F’, M) = d(F1 , M) y d(F,M)+d(M,F1 )=2a
Por lo tanto por cada recta r obtendremos dos puntos de la elipse.
Observación: Las rectas med(F1F’) son tangentes a la elipse.
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Datos: F, F’ y 2a (al considerar F y F’ se considera d(F, F’)  2a)
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_______________________________________________________________________________________________
Definiciones en la Elipse:
Propiedades:
1 - La elipse tiene dos ejes de simetría.
Por construcción, el simétrico de cada punto M de la elipse
respecto de FF’ pertenece a la elipse y el simétrico respecto
de la mediatriz del segmento FF’ también.
Por lo tanto, la recta FF’ y la mediatriz del segmento FF’
son ejes de simetría de la elipse.
FF’  med(FF’) = {O}  O centro de simetría de la elipse.
(O recibe el nombre de centro de la elipse).
2 - B, Bmed(FF’) / B E)
B  E )  d(B,F) +d(B,F') = 2a pero d(B,F) = d(B,F') 
 2.d(B,F) = 2a  d(B,F) = a
Análogamente, existe B’, tal que B’ = SFF’(B) / B’ E.
3 - A, AFF’; A E (r = FF’)
A  E )  d(A,F) +d(A,F') = 2a(1) pero por ser FF' eje de simetria
A ', A'  E ); d(A',F) +d(A',F') = 2a
d(A,F) = d(A',F')
por la simetria
 por (1) A  E ) 
d(A',F) = d(A,F')
d(A,F) +d(A,F') = 2a  d(A,F) +d(A',F) = 2a  d(A,A') = 2a
por lo tanto existe A y A’, AA’, AFF’, A’FF’ / A  E  A’ E.
a) Llamaremos al segAA’ eje mayor de
la elipse.
Llamaremos al segBB’ eje menor de la
elipse.
Llamaremos al segFF’ distancia focal
de la elipse.
b) Llamaremos vértices de una cónica a
los puntos de intersección de ella con
los ejes de simetría.
E)  med(FF’) = {B, B’} y
E)  FF’ = {A, A’},
por lo que la elipse tiene cuatro vértices:
A, A’, B y B’.
Observación: d(O, A)=d(O, A’)=a
c) Se llama excentricidad de una elipse
4 - Llamando d(B, B’) = 2b  d(O, B) = d(O, B’) = b y llamo d(F, F’) = 2c
 d(O, F)=d(O, F’)=c

a2
2
y k

b2
2
Observación: Sí mantenemos fijo a y
hacemos variar c en el intervalo  0, a 
se obtienen elipses de forma variable,
desde una circunferencia para el caso en
que c=0, hasta el caso en que la elipse
 1 es la ecuación de una elipse se reduce a al segmento rectilíneo F1 F2
de centro (h,k), y eje mayor paralelo a Ox con medida 2a. Deduce una
fórmula para eje mayor paralelo a Oy
18. Interpreta geométricamente, cuando sea posible, que significa:
a. La excentricidad de una elipse es 0
b. La excentricidad de una elipse es 1
c. La excentricidad de una elipse tiende a 0
d. La excentricidad de una elipse tiende a 1
que une los focos.
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16. a. Determina la ecuación de una elipse de focos F (c,0) y F '(c,0) .
Representa gráficamente.
b. Determina la ecuación de una elipse de focos F (0, c) y F '(0, c) .
Representa gráficamente.
c. Determina la ecuación de una elipse de focos F  0,0  F'  k , k 
17. Prueba que la ecuación
c
a
a  0, c  0    0
d ( F , F ')  2a  2c  2a 
 c  a   1 0   1
Teorema
 a 2  b2  c 2
En OFD 
Pitágoras
 x  h
al cociente:  
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HIPÉRBOLA
Sistema de navegación LORAN
La propiedad de la definición de la
Definición: Llamamos Hipérbola al lugar geométrico de los puntos del plano
cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos de ese plano es constante.
hipérbola: la diferencia
de las distancias de los
En general se designa con F y F’ los puntos fijos (que reciben el nombre de
focos de la hipérbola) y con 2a (a  ) a la distancia constante; por lo tanto:
puntos de la hipérbola a
M  H )  d (M , F )  d (M , F ')  2a
se
Definición:
M interior a H)  d(M,F)  d(M,F')  2a
M exterior a H)  d(M,F)  d(M,F')  2a
los focos es constante,
utiliza
en
la
navegación.
En
el
sistema
de
estación
radioemisora
navegación
LORAN,
maestra
y
una
otra
estación radioemisora secundaria emiten
señales que pueden ser recibidas por un
Observación: Los focos son puntos interiores de una H)
barco en altamar. Puesto que un barco que
monitoree
las
dos
señales
estará
probablemente más cerca de una de las
Construcción de la hipérbola:
Datos: F, F’ y 2a (al considerar F y F’ se considera d(F, F’) > 2a)
estaciones, habrá una diferencia entre las
distancias recorridas por las dos señales, lo
cual se registrará como una pequeña
diferencia de tiempo entre las señales, En
tanto la diferencia de tiempo permanezca
constante, la diferencia entre las dos
distancias será también constante. Si el
barco sigue la trayectoria correspondiente a
una
diferencia
fija
de
tiempo,
esta
trayectoria será una hipérbola cuyos focos
Observación: las rectas med(F1F’) son tangentes a la hipérbola.
están localizados en las posiciones de las dos
estaciones. Si se usan dos pares de
transmisores, el barco deberá quedar en la
intersección
de
correspondientes.
las
dos
hipérbolas
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Trazamos CF, 2a y una recta r por F.
r  CF, 2a = { F1 , F2 }
Sea M ; {M} = r  med(F1F’) M  H,
pues d(F’, M) = d(F1 , M) y d(F’,M)-d(M,F)=2a
Por lo tanto por cada recta r existen dos puntos de la hipérbola.
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Propiedades:
Definiciones en la hipérbola
1 - Sea r; F’F1 es tangente a C  med(F’F1) r por lo que med(F’F1) no
intersecará a la hipérbola, proyectivamente podríamos decir que es tangente
a H) en uno de sus puntos impropios (med(F’F1)  r).
En este caso med(F’F1) es una tangente especial, llamada asíntota de la
hipérbola (a1).
Cada hipérbola tiene dos asíntotas a1 y a2; a2 surge de considerar la otra
tangente a C por F’.
a1 y a2 se cortan en O, punto medio del segFF’, que es el centro de la
hipérbola. Si a1  a2 la hipérbola recibe el nombre de equilátera.
2 - Se puede probar que la hipérbola tiene dos ejes de simetría: FF’ y med(FF’).
Ambos ejes se cortan en O, entonces, la hipérbola es una figura que presenta
centro de simetría (O) que se llama centro de la hipérbola.
3 -  B, Bmed(FF’); B H)
B  med(FF')  d(B,F) = d(B,F')  d(B,F) - d(B,F') =0  2a  B  H )
a) Vértices de la hipérbola
H)  med(FF’) =  (recordar que B 
H) y B’  H)) y H)FF’={A, A’}; por
lo tanto concluimos que la hipérbola
solo tiene dos vértices: A y A’.
4 - A, AFF’ / A H) (r = FF’)
Si tomamos FF’ como una recta r obtendremos dos puntos A y A’ que
pertenecerán (por construcción) a la hipérbola.
b) Llamamos d(F, F’)=2c  d(O, F)=c,
Además cumplirán que son simétricos respecto de med(FF’), por lo tanto,
de igual forma d(A,A’)=2a  d(O,
d(A, F) = d(A’, F’)
A)=d(O, A’)=a
A  H )  d(A, F) - d(A, F')  2a 
Sea B, Bmed(FF’);d(A,B)=c (existen
 d(A, F) - d(A', F')  2a  d(A, A') = 2a
dos puntos B)
d(B, B’)=2b  d(O, B)=d(O, B’)=b
a
b
hipérbola de centro (h,k), y eje transversal paralelo a Ox. Deduce una
Observación: Si a = b  la hipérbola
fórmula para eje transversalxv paralelo a Oy.
es
21. Interpreta geométricamente, cuando sea posible, que significa:
a. La excentricidad de una hipérbola es 0
b. La excentricidad de una hipérbola es 1
c. La excentricidad de una hipérbola tiende a 0
d. La excentricidad de una hipérbola tiende a 1
xv
equilátera
y
se
cumple
que
c  a 2   2
H) es hipérbola equilátera  A =  C.
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19. a. Determina la ecuación de una hipérbola de focos F(c,0) y F’(-c,0).

En OAB 
 a 2 +b2 =c2
Representa gráficamente.
Teo de Pitágoras
b. Determina la ecuación de una hipérbola de focos F(0,c) y F’(0,-c)
Representa gráficamente.
c) Se llama excentricidad de una
c. Determina la ecuación de una hipérbola de focos F(0,0) y F’(k,k)
c
hipérbola () al cociente:   ;
2
2
a
x  h  y  k 

d(F,F')>2a

2c>2a

c>a
  1
20. Prueba que la ecuación

 1 es la ecuación de una
2
2
Llamamos eje transversal a la recta determinada por los focos de la hipérbola.
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Ecuación general de la elipse y la hipérbola:
1) Si los ejes coordenados son los ejes de simetría de la figura
Datos: F(c, 0), F’(-c, 0) y O(0, 0)
Buscaremos el lugar geométrico de los puntos M(x, y) tales que:
± d(M,F) ± d(M,F') = 2a
Así obtendremos las ecuaciones de la elipse e hipérbola juntas.
 
( x - c)2  ( y - 0)2 
( x  c)2  ( y - 0)2  2a
  ( x - c)2  ( y - 0) 2  2a
( x  c) 2  ( y - 0) 2 elevamos al cuadrado sin
ganar ni perder soluciones ya que estamos tratando las dos cónicas juntas:

x 2 - 2cx  c 2  y 2  4a 2  x 2  2cx  c 2  y 2
4a ( x  c ) 2  y 2 
 4a ( x  c)2  y 2  4cx  4a 2  a ( x  c)2  y 2  cx  a 2 y elevando
al cuadrado: a 2 ( x 2  2cx  c 2  y 2 )  c 2 x 2  2a 2 cx  a 4 
 a2 x2  2a2cx  a2c2  a2 y 2  c2 x 2  2a 2cx  a 4
 (a2 - c2 ) x2  a2 y 2  a2 (a 2 - c2 ) Ecuación conjunta de elipse e hipérbola.
i) En elipse:
a0
a 2  b2  c2  a 2  c2  b2  b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2 
b0
x2 y 2

1
a 2 b2
Ecuación de la elipse de
focos F(c, 0) y F’(-c, 0)
ii) En hipérbola:
c  a  b   b  a  c   b x  a y  a b
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x2
a0

b0
a2
y2
 2 1
b
Observaciones:
1º) Vértices A(a, 0) y A’(-a, 0). Ejes: focal Ox) y=0; no focal Oy) x=0.
2º) Si a = b se obtiene la ecuación de la hipérbola equilátera.
3º) Las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola surgen de exigir

 a1 ) bx  ay  0
a2b2 = 0  b2 x2  a 2 y 2  0  (bx - ay)(bx  ay)  0  

a2 ) bx  ay  0
2) Si los ejes coordenados no son los ejes de simetría de la figura
Puede probarse que: en la elipse: B2  4AC < 0 (género elíptico)
en la hipérbola: B2  4AC > 0 (género hiperbólico)
Ecuación de la hipérbola de
focos F(c, 0) y F’(-c, 0)
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Observaciones:
1º) Vértices A(a, 0), A’(-a, 0), B(0, b) y B’(0, -b). Ejes: focal Ox) y=0; no
focal Oy) x=0.
2º) Si a = b se obtiene la ecuación de la circunferencia.
67
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22. Reconoce a qué lugar geométrico corresponden las siguientes ecuaciones,
indica sus elementos y representa gráficamente.
A:
x2 y 2

1
9 16
E : x2  6 xy  y 2  x  y
x2 y 2

1
9 16
C : x2  xy  y 2  1
G : x2  y 2  1
D : x2  xy  y 2  1
H : x2  y 2  1
F : x2  2 xy  y 2  2 y  4  0
B:
I : x2  6 xy  9 y 2  x  y  1  0
23. Determina, en cada caso, la ecuación de una elipse que cumpla:
a. Focos: F1(-1,0) F2 0, 3 y pasa por P(1,0)

b.
c.

Vértice V(0,0) y foco F(2,0).
Vertices: V1(0,4); V2(0,-4); V3(0,2); V4(0,-2)
24. Determina, en cada caso, la ecuación de una hipérbola que cumpla:
a. Focos: F(-2,1) y F’(1,3)
b. Vértices: V1 (1,2); V2 (2,1)
c. Asíntotas: a1 : y  2x  1 y a2 : y  3x  2
25. En cada de existir, determina las coordenadas de los puntos de corte de las
siguientes hipérbolas con las siguientes elipses.
b.
c.
d.
e.
f.
x2 y 2
x2 y 2

 1 con B :

1
9 16
25 4
C : x2  6 xy  y 2  x  y con D : x 2  xy  y 2  x  y
A:
E : x2  y 2  1 con F : x2  y 2  1
G : y 2  x2  4 con H : y 2  4  x 2
x 1
x2  y 2
con J : y 
x 1
x 1
2
2
1
x
y
K : y  con L :

1
x
2
3
I:y
26. Determina las ecuaciones de las rectas tangentes a los vértices de las
siguientes cónicas.
A:
 x  1
4
B : xy  1
2

 y  1
9
2
1
C : 32 x2  50 xy  7 y 2  52
27. Dada la hipérbola H : xy  1
a. Halla la ecuación de la elipse de centro O(0,0) y eje mayor paralelo al
eje Oy, tangente a la hipérbola en sus vértices.
b. Halla la ecuación de la elipse de centro O(0,0) y eje menor paralelo al
eje Oy, tangente a la hipérbola en sus vértices
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a.
68
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_______________________________________________________________________________________________
RECONOCIMIENTO Y ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
Degeneramiento de cónicas:
K) Ax2 + Bxy + Cy2 +Dx + Ey + F = 0 sí B2 – 4AC = 0  género parabólico
B2 – 4AC > 0  género hiperbólico
B2 – 4AC < 0  género elíptico
Reconocimiento de una cónica:
B2-4AC
Cónica

Positivo
 0 HIPÉRBOLA (Si A =  C, es equilátera).
Género hiperbólico
= 0 Dos rectas secantes.
Negativo
 0 ELIPSE (*)( Si A = C y B = 0, es circunferencia).
Género elíptico
= 0 Dos rectas imaginarias secantes en un punto real.
Nulo
 0 PARÁBOLA
Género parabólico
= 0 Dos rectas paralelas.
Hemos visto que las cónicas pueden ser
definidas geométricamente a través de
la sección de un plano con un cono
circular recto. Dependiendo de la
inclinación que demos a este plano, es
la cónica que obtendremos. Se
denomina sección cónica degenerada a
la intersección de un cono circular recto
de dos hojas con un plano que pasa por
su vértice.
Elementos de las cónicas
PARÁBOLA
Foco
F(,)
y
m’=B/2Cm=B/2A
directriz
z)
y=mx+n  dirección
del
eje:
Analíticamente puede probarse que:
D
E
F
2  (m  1)  m.n   ,  2   (m2  1) n   , (m2  1)( 2   2 )  n 2 
A
A
A
K) Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Vértice : V  e)  P)
Es degenerada si y solo si:
Podaria : r)tangente a P) por V
2A B
 = B 2C
2
Eje : e)  z por F
2CD  EB
2AE  BD
e y0  2
2
B  4AC
B  4AC
2º)
Dirección
de
los
ejes.
Resolver:
m

e
)
y

y

m
(x

x
)

1
1
0
1
0
Bm2  2(A  C)m  B  0  
m2  e2 ) y  y0  m2 (x  x 0 )
3º) Vértices. Intersección de los ejes con la elipse. A y A’ en eje focal y B y B’ en el eje
no focal.
4º) Focos. a) d(A, H)=a, d(B, H)=b y c 2=a2-b2  d(F, H)=d(F’,H)=c
b) Los focos resultan de la intersección del eje focal con la circunferencia de
centro H y radio c.
1º) Centro. H(x0, y0) con x 0 
HIPÉRBOLA
1º) Centro. Igual que en elipse.
2º) Ejes. Igual que en elipse.
 t  a1 ) y  y0  t1 (x  x 0 )
3º) Asíntotas. Ct 2  Bt  A  0   1
 t 2  a 2 ) y  y0  t 2 (x  x 0 )
4º) Vértices. Igual que en elipse. Solamente la intersección de la hipérbola con el eje
focal son raíces reales.
5º) Focos. a) Por un vértice se traza r perpendicular al eje focal.
b) Hallar N / {N} = a1r.
c) Se traza la circunferencia C de centro H y radio NH.
d) Los focos resultan de la intersección de C con el eje focal de la hipérbola.
D
E
2F
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ELIPSE
D
E =0
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_______________________________________________________________________________________________
Ficha VII – Lugares Geométricos
No teorizaremos en esta unidad, por lo que la usaremos para ver algunos Actividades:
ejemplos sobre lugares geométricos y regiones del plano en forma analítica.
1. Marca un punto O. Coloca el borde
1. Lugares geométricos: La idea central de lugar geométrico es la misma de una regla como si fueras a trazar una
que en métrica, es decir un conjunto de puntos de un plano que varía según recta por dicho punto, pero la trazas por
el otro borde. Cambia la posición de la
una condición, veamos algunos ejemplos.
regla, sin apartar su borde de O, y traza
varias rectas más. La envolvente de
a. Determina el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
estas rectas es una circunferencia de
de A(2,3) y B(1,-2)
centro O.
De geometría métrica sabemos que el lugar geométrico que buscamos es una 2. Dibuja una recta. Haciendo centro en
recta, más precisamente la mediatriz del segmento AB, pero veámoslo ahora en los puntos de la recta, dibuja muchas
forma analítica.
circunferencias de radio R. La
envolvente de estas circunferencias son
Los puntos que buscamos equidistan de A y B, por lo que podemos afirmar que dos rectas paralelas a la primera a
distancia R de ella.
siendo P uno de ellos se cumple que d(A,P)=d(B,P)
1
4
2
es decir
  2  y0   y0   x0 
5
5
1
4
todos los puntos P(x0,y0) verifican la igualdad y0   x0  que como puedes
5
5
O sea
 2  x0 
2
  3  y0  
2
1  x0 
2
3. Dibuja dos semirrectas con origen
común. Comenzando en el origen,
marca la misma cantidad de puntos
equidistantes en cada semirrecta.
verificar es la ecuación de la recta perpendicular a AB por su punto medio, o Numera las divisiones con números
naturales, siendo el cero el origen de las
sea la mediatriz.
semirrectas. Une mediante segmentos
parejas de puntos, de semirrectas
b. Una recta r variable por O(0,0) es perpendicular a otra recta s que pasa por distintas, cuya suma sea constante. La
envolvente de los segmentos es una
A(1,0). Halla el lugar geométrico de P;P  r  s
parábola.
puntos de la circunferencia anterior,
dibuja muchas circunferencias de radio
1
r : y  mx y s : y  0    x  1 por lo que para obtener las coordenadas de los r, r < R. La envolvente de estas últimas
m
circunferencias
son
otras
dos
 y  mx
circunferencias
de
radios
R+r
y
R–r.

puntos de corte resolvemos el sistema
de donde
1

 y   m  x  1
5. Dibuja una circunferencia y marca
sobre ella un punto fijo A. Dibuja
y

m
muchas circunferencias con centro en

 y  mx
y x 1
x

 x 2  y 2  x  0 que un punto de la inicial de modo que todas
entonces concluimos 


x
y
my   x  1 m   x  1
ellas pasen por A. La envolvente de

y
estas últimas circunferencias es una
llamada
cardioide.
como podrás comprobar se trata de la circunferencia que hemos hallado en curva
forma métrica
c. Se considera el punto F(0,4) y r: y =mx. Halla el lugar geométrico de los
vértices de la parábola de foco F y directriz r al variar r. Reconocer e
informar elementos.
Métricamente el lugar geométrico ya no es tan evidente, veámoslo nuevamente
en forma analítica.
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Nuevamente por geometría métrica podemos afirmar que como A y O son
puntos fijos y el ángulo AOB es constante de 90 el lugar geométrico de los 4. Dibuja un circunferencia cualquiera
puntos P es una circunferencia de diámetro AB, veámoslo analíticamente.
de radio R. Haciendo centro en los
70
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_______________________________________________________________________________________________
Orígenes:
Las parábolas tienen, como podrás verificar, de ecuación general:
P : x2  m2 y 2  8m2  8 y  2mxy  16m2  16  0 y por lo tanto de vértice al punto
2m

x 2

 2m 4m  2 

m 1
V 2
, 2
 ahora estos puntos varían según m por lo que 
2
m

1
m

1


 y  4m  2

m2  1
2
2m

x

2m
2
x 

 2 y 
m  y  4

 x  m 2  1

1






 y4
2

y
2
m 

m 2  2  y

m 2  2  y
y4
y4

y4

Concluimos
entonces
que La palabra parábola en los tiempos de
2
 x 
2 y
 x2  y 2  6 y  8  0

 
y

4
y

4


O sea se trata de una circunferencia de radio r=1 y centro C(0,3).
2.
Envolvente: Se llama envolvente de una familia de rectas a aquella curva
regular que es tangente en cada punto a uno de los elementos de la familia
dada, sin pertenecer a la familia.
Sean S(0,k) y L(3,1) k  . Determina la envolvente de la mediatriz del
segmento definido por los puntos S y L al variar k, reconoce e informa
elementos.
Apolonio tenía como significado
"colocar al lado" o "comparar"
indicando que no había ni deficiencia ni
exceso
La palabra elipse
proviene del
término elipsis, que significa una
deficiencia, se utilizaba cuando un
rectángulo dado debía aplicarse a un
segmento dado y resultaba escaso en un
cuadrado (u otra figura dada).
La palabra hipérbola, en el griego
antiguo significaba "avanzar más allá",
se adoptó en términos de las cónicas
para el caso en que el área excedía el
segmento dado.
La ecuación de la mediatriz que pide el ejercicio es 2(k  1) y  6 x  k 2  10
Reordenando según el parámetro k, tenemos: k 2  2 yk  6 x  2 y  10  0
La solución de esta última ecuación será única en la medida que el
discriminante de su fórmula de Bhaskara sea nulo. Por lo que:

2A B D

 = B 2C E = - 576  0 
Luego:
   ) es una parábola
D E 2F

2

B  4 AC  0

Queda a cargo del lector la determinación de los elementos de esta parábola.
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 ) : 4 y 2  4  6 x  2 y  10   0   ) : 2 y 2  12 x  4 y  20  0
71
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_______________________________________________________________________________________________
Regiones del plano: Tanto la recta como las curvas de segundo orden dividen al
3.
plano en regiones positivas, negativas o nulas, la idea es entonces identificarlas.
a. Delimitar x2  4 y 2  4  0
Tomamos un punto cualquiera del plano y vemos a que región pertenece, por ejemplo el
origen 02  402  4  0 estamos buscando entonces los puntos exteriores a la elipse.
 x2  y 2  4  0
Delimitar la zona 
x 1  0
Tomemos primero un punto interior a la circunferencia por ejemplo
el origen O(0,0), vemos que 02  02  4  0 por nos quedamos
con la región interior a la circunferencia.
b.
Ahora veamos con la recta, tomemos nuevamente el origen, esta
región del semiplano es la buscada ya que 0  1  0


Delimitar x2  y 2  4  x  1  0
c.
El producto de dos números reales es negativos si uno de estos reales es positivo y el
otro negativo, o sea nuestra zona solución es aquella en la que los signos sean contrarios
para la recta y la circunferencia.
+
+
-
-
-2 +
-
-
- -1
+ +
+ +
+
Observación: Téngase presente que los puntos que se encuentren sobre la curva
verifican su ecuación, por lo que esos puntos no siempre pertenecerán a la zona
solución del ejercicio. Indica si los puntos que pertenecen a las curvas de los ejercicios
anteriores pertenecen o no a la solución.
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Como nos piden la zona común nuestra solución será:
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_______________________________________________________________________________________________
1. Sean A(4,0) y B(0,2) y r una recta variable por O. Sean E y F las Los 10 problemas de Apolonio
proyecciones de A y B sobre r.
a. Lugar geométrico de E.
b. Lugar geométrico de F.
c. Lugar geométrico del punto medio del segmento EF
2. Se consideran las circunferencias C : x2  y 2  2x  0 y C ' : x2  y 2  2 x  0 . Por
O se traza una recta r variable que corta a C en O y en A, r’ perpendicular a
r que corta a C’ en O y A’.
a. Lugar geométrico del punto medio de AA’.
b. Lugar geométrico del baricentro del triángulo (OAA’)
3. Dados O(0,0) y A(a,0). Se considera el cuadrado (OABC) y la recta r
variable por O. r  AB  P , r  BC  Q y M punto medio del segmento
AP. Lugar geométrico de I;I  CP  MQ .
4. Sea B un punto variable en el eje Ox. Lugar geométrico de C para que el
triángulo OAC sea equilátero.
Apolonio de Perga (262-190 a.C.), que es
ampliamente conocido por su tratado sobre
las cónicas, no lo es tanto por su tratado
sobre Tangencias.
En éste, Apolonio
describe el problema que hoy se conoce
como Problema de Apolonio y que tiene este
enunciado:
Dados tres objetos tales que cada uno de
ellos puede ser un punto, una recta o una
circunferencia, dibujar una circunferencia
que sea tangente a cada uno de los tres
elementos dados.
5. Lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de F(1,2) y r: y = 3. 1. Circunferencia que pasa por tres
puntos dados
Reconoce e informa elementos.
6. Se considera la parábola P : y  x  4 x  3 y el punto P(-1,0). Una recta r
variable P corta a la parábola en A y B. Lugar geométrico del punto medio
del segmento de AB.
7. a. Halla la ecuación de la circunferencia variable que pasa por A(1,1) y
tiene su centro C en el eje Ox.
b. r es una recta paralela al eje Oy por C y t la recta tangente a la
circunferencia por A. Lugar geométrico de R;R  r  t al variar C en Ox.
Reconoce e informa elementos.
8. Se considera la recta s variable paralela a r : x  y  2  0 que corta a
P : x   y 2  2 y  8 en los puntos E y F.
a. Lugar geométrico del punto medio del segmento EF.
b. Demuestra que el lugar geométrico hallado anteriormente es una recta
perpendicular a la directriz de P.
9. Sea A(2,0), B variable en el eje Oy, B'=CB  C  . r la recta perpendicular a
dadas
3. Circunferencia que pasa por dos
puntos dados y es tangente a una recta
dada
4. Circunferencia que pasa por un punto
dado y es tangente a dos rectas dadas
5. Circunferencia que pasa por dos
puntos
y
es
tangente
a
una
circunferencia dada
6. Circunferencia que pasa por un
punto y es tangente a dos circunferencias
dadas
7. Circunferencia que es tangente a dos
rectas y a una circunferencia dadas
8.
Circunferencia que pasa por un
punto y es tan- gente a una recta y a una
circunferencia
9. Circunferencia que es tangente a una
recta y a dos circunferencias dadas
10. Circunferencia que es tangente a
tres circunferencias dadas.
AB’ por B y s la paralela al eje Ox por B’. r  s  T . Lugar geométrico de
Las soluciones tanto métricas, como
T. Reconoce e informa elementos.
10. Se considera la circunferencia C : x  y  6 x  0 y P un punto variable en
ella. Lugar geométrico del punto Q, tal que la abscisa de Q es el doble de la
abscisa de P y sus ordenadas son iguales. Reconoce e informa elementos.
2
2
11. Se considera la elipse E : 4 x2  9 y 2  36 y un haz de rectas paralelas a
y  2 x . Dicho haz corta a la elipse en A y B. Lugar geométrico de M punto
medio del segmento AB. Reconoce e informa elementos.
analíticas, puedes encontrarlas en un artículo
de la revista Suma de junio de 2004.
Llamado: “Los diez problemas de Apolonio”
Adjunto el artículo a la página web.
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2. Circunferencia tangente a tres rectas
2
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12. Se considera la elipse E : 4 x2  y 2  4 y el haz de rectas que pasan por Fragmento de
P(3,0). Dicho haz corta a la elipse en Q y R. Lugar geométrico de M punto Miranda 2012
medio del segmento QR. Reconoce e informa elementos.
Examen
Liceo
13. Un segmento de longitud constante tiene su extremo A en Ox y su extremo
B en Oy.
a. Lugar geométrico de M punto medio del segmento AB. Reconoce e
informa elementos
b.
Lugar geométrico de P;P  AB; AP  4BP . Reconoce e informa
elementos.
5) a) Dada la familia de cónicas
Km : mx2  4mxy   2m2  6  y 2  6 x  12 y  12  0
14. Sea M(3,0); N=Co(M). P variable sobre Oy. Por O se traza r; r  PN . estudiar género y degeneramiento según
m .
MP  r  Q . Lugar geométrico de Q. Reconoce e informa elementos.
15. Sea C la circunferencia de centro A(0,1) tangente al eje Ox. Una recta r
variable por O corta a C en los puntos O y D. La recta t es tangente a a C en
D. t  Ox= P la recta s es paralela a Oy por P. r  s= I . Lugar geométrico
de I. Reconoce e informa elementos.
16. Por O(0, 0) se traza una recta r variable y por A(4, 0) se traza r’, r’r.
rr’ = {B}, r’Oy = {C}. Por B se traza la paralela a Oy que corta a Ox en
C’. Envolvente de CC’.
b) Graficar la parábola de la familia que
no degenera.
6) a) Hallar el lugar geométrico de los
puntos "J" del plano tales que la
distancia de dichos
puntos J a la recta x = -3 es igual al
doble de la distancia de J al punto
P(1,4). Reconocer y hacer un esbozo de
su gráfica.
7) Representar gráficamente la región
del plano delimitada por:
y=2x+1. Esta recta r corta al eje OX en
el punto R.
19. Se consideran A(a, 0), a * y j) y=bx. Una recta r, variable por A, corta a j Sobre el punto P se traza la recta j
en P. La perpendicular a r por A, corta a Oy en Q. Envolvente de PQ. perpendicular a r en ese punto P. La
Reconoce discutiendo según b . Sea (L) la cónica obtenida para b=1/2. recta j corta al eje OX
en el punto Q. Hallar el lugar
Dar elementos de (L).
geométrico del baricentro del triángulo
PQR. Reconocer.
20. Resuelve geométricamente:
Hallar
la(s)
tangente(s)
a
la
2
 y  x  2x  4  0
circunferencia
de
centro
C
(-1,4)
y
radio

a.  x2  y 2  2x  6 y  9  x  2 y  7    y  x2   0 b.  y  x 2  2 x  8  0
r  5 que pasan por
 x y x y 0



el punto P (-2,7).

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
9 y 2  36 y
17. Envolvente de (1  m2)x + 2my + (m2 – 2m – 3) = 0 al variar m. Reconoce  x  3 
2

e informa elementos.

y


2

x  0
18. Sean r y r’ dos rectas variables, rr’, tales que r  r’ = {P} con P(a, 0).

a. r  Oy = {Q}, I // Ox, Qi. Lugar geométrico de I ; {I} = i  r’. 

Reconocer y construir.
8) Graficar la siguiente cónica, sabiendo
b. r’  Oy = {A}, i  p = {A’}, p //Oy, Pp. Envolvente de AA’. que es degenerada:
Reconocer.
y 2  3x2  2 xy  6 y  2 x  5  0
c. Sea Q’=SOx(Q) y m; m// Ox, Q’m. Lugar geométrico de J; {J}=mr.
9) Un punto P es variable en la recta r)
Reconoce y construye.
74
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1.
Sea la ecuación de las cónicas C(x, y) = 0 con C(x, y)=x2+2xy –
( 2)y2 + 2x + 2y + 2 siendo  y  abscisa y ordenada, respectivamente,
de un punto P.
a. i) Hallar el lugar geométrico de P para que las cónicas degeneren.
Reconocer y representar.
ii) El lugar anterior, ¿pueden ser dos rectas paralelas? Justificar.
b. Discutir el género de las cónicas dadas por la ecuación C(x, y) = 0.
i) Lugar de P para que el género sea parabólico. Reconocer y
representar.
ii) Lugar de P para que el género sea elíptico. Representar.
iii) Lugar de P para que el género sea hiperbólico. Representar.
iv) ¿Existe algún caso para el cual sean circunferencias? Justificar y en
caso afirmativo, dar centro y radio de las mismas.
C 2, 0( x, y) - 2  0
c. Representar la zona: 
C 0, 0( x, y) - 2  0
La zona anterior, ¿presenta algún eje de simetría? Si contesta
afirmativamente, hallarlo(s).
2.
3.
Se consideran una parábola P de foco O(0, 0) y eje Ox, y, una recta r que
pasa por O(0, 0). P  r = {M, N}.
a. Reconocer e informar elementos del lugar geométrico del punto medio
del segmento de extremos M y N si:
i) r es variable y P es fija.
ii) r es fija y P es variable, sabiendo además que d(M, N) = 2k, k
(K constante).
b. Sea el punto S(0, 3), envolvente de la polar de S respecto de P, al variar
P. Reconocer e informar elementos.
c. i) Ecuación de la circunferencia C de centro S y que es tangente a r.
ii) Sea r’ la recta simétrica de r respecto de Oy; r’  C = {A, B}. Lugar
geométrico del punto medio del segmento de extremos A y B, al
variar r. Reconocer.
a. Se consideran los puntos A(4, 0) y B(0, 4). Sea r, r // AB; r  Ox =
{H}, r  Oy = {V}.
i) Lugar geométrico de C ; {C} = AV  BH, al variar r. Reconocer.
ii) La perpendicular a AV por A, corta a r en D. Lugar geométrico de D
al variar r. Reconocer.
b. Sean S(0, k) y Q(3, 1), k .
i) Envolvente de la mediatriz del segmento SQ, al variar k. Reconocer
e informar elementos.
ii) Hallar la ecuación de las circunferencias C, que pasan por S y son
tangentes en O(0, 0) a una recta de
coeficiente angular k.
c. Lugar geométrico de los centros de las circunferencias C, al variar k.
Reconocer e informar elementos.
Reconoce y halla los elementos de las
siguientes cónicas:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
2
2
5x +9y +10x36y40
2
2
16x 20y +32x+60y90
2
2
28x +64y 28x1050
2 2
3x y 30
2
2
8x +9y 720
2
x 6x2y120
2
y 2x4y+30
2
4x +4x10
2
y y0
2
x +10
2
2
9x +4y +360
2 2
x y 40
2
2
2x 11xy+12y +3x2y20
2
2x +xy10x4y+80
6xy4x+3y20
2
3x +5x20
2
2
x +2xy+y +2x+2y+10
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Ejercicios de Revisión
75
Repartido de matemática – Matemática II – Sexto Ingeniería
Prof. Alejandro Oyhenart
_______________________________________________________________________________________________
Índice
CONCEPTOS PRIMITIVOS – AXIOMÁTICA – PRIMERAS DEFINICIONES
POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
LA RECTA EN EL ESPACIO:
LA RECTA Y EL PLANO EN EL ESPACIO:
EL PLANO EN EL ESPACIO:
PLANO Y RECTA
SEMIRRECTA Y SEGMENTO DE RECTA:
SEGMENTO DE RECTA:
SEMIPLANO Y ÁNGULO:
SEMIPLANO:
ÁNGULO:
POLÍGONOS
CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS:
TRIÁNGULOS:
CUADRILÁTEROS:
CIRCUNFERENCIA
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA:
DEFINICIONES EN LA CIRCUNFERENCIA:
POLÍGONOS Y CIRCUNFERENCIA:
CÁLCULO DE ÁREAS DE POLÍGONOS PLANOS:
ESPACIO
SEMIESPACIO:
ÁNGULOS EN EL ESPACIO:
POLIEDROS
1. PRISMA
2. PARALELEPÍPEDO
3. PIRÁMIDE
SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
1. CILINDRO DE REVOLUCIÓN
2. CONO DE REVOLUCIÓN
3. CÁSCARA ESFÉRICA
FUNCIONES EN EL PLANO Y EL ESPACIO
HOMOTECIA:
SIMETRÍAS
ROTACIÓN:
TRASLACIÓN:
FUNCIONES EN EL ESPACIO
SIMETRÍA ESPECULAR:
ROTACIÓN AXIAL:
1
1
2
2
3
3
4
4
4
5
5
5
8
8
8
12
13
13
13
14
14
15
15
15
16
16
16
17
18
18
18
18
20
20
20
21
21
22
22
23
Repartido de matemática | Prof. Alejandro Oyhenart
FICHA 0 – CONCEPTOS BÁSICOS DE LA GEOMETRÍA MÉTRICA.
76
Repartido de matemática – Matemática II – Sexto Ingeniería
FICHA I – GEOMETRÍA MÉTRICA EN EL PLANO.
24
ÁNGULOS Y TRIÁNGULOS.
CUADRILÁTEROS
PARALELA MEDIA
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO:
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
LEONHARD PAUL EULER
24
25
28
28
29
30
FICHA II – RAZONES Y PROPORCIONES.
31
THALES DE MILETO
TEOREMAS DE LA BISECTRIZ.
HOMOTECIA
SEMEJANZA
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS
TEOREMA DEL CATETO:
TEOREMA DE LA ALTURA:
PITÁGORAS DE SAMOS.
EL TEOREMA DE PITÁGORAS:
FIBONACCI Y EL NÚMERO DE ORO
SEGMENTO O SECCIÓN AUREA:
31
32
33
34
34
34
34
35
35
36
36
FICHA III – LUGARES GEOMÉTRICOS
37
FICHA IV – MATRICES Y DETERMINANTES.
40
CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS:
MATRICES
DETERMINANTES
MENOR COMPLEMENTARIO, ADJUNTO Y CÁLCULO DE DETERMINANTES DE ORDEN SUPERIOR A 2
MÉTODO DE SARRUS:
MÉTODO DE CRAMER:
40
40
43
43
43
46
FICHA V – EL PLANO CARTESIANO.
47
VECTORES
ECUACIÓN DE LA RECTA
PARALELISMO ENTRE RECTAS:
PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS:
DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA:
50
51
53
54
54
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TRASLACIÓN EN EL ESPACIO:
23
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Repartido de matemática – Matemática II – Sexto Ingeniería
FICHA VI – CÓNICAS
59
DEFINICIÓN DE CÓNICA:
PARÁBOLA:
CONSTRUCCIÓN CON REGLA Y COMPÁS DE UNA PARÁBOLA:
ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA:
PROPIEDADES DE LA PARÁBOLA:
TRASLACIÓN DE PARÁBOLAS Y DETERMINACIÓN DE ELEMENTOS.
ELIPSE
CONSTRUCCIÓN DE LA ELIPSE:
PROPIEDADES:
HIPÉRBOLA
CONSTRUCCIÓN DE LA HIPÉRBOLA:
PROPIEDADES:
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE Y LA HIPÉRBOLA:
RECONOCIMIENTO Y ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
RECONOCIMIENTO DE UNA CÓNICA:
ELEMENTOS DE LAS CÓNICAS
DEGENERAMIENTO DE CÓNICAS:
59
59
59
60
60
61
63
63
64
65
65
66
67
69
69
69
69
FICHA VII – LUGARES GEOMÉTRICOS
70
1. LUGARES GEOMÉTRICOS:
2. ENVOLVENTE:
3. REGIONES DEL PLANO:
EJERCICIOS DE REVISIÓN
70
71
72
75
ÍNDICE
76
BIBLIOGRAFÍA Y REFERENCIAS
78
Bibliografía y referencias
Tanto la bibliografía, como las páginas web o los materiales de los profesores que fueron usados como referencias, se
encuentran en la siguiente dirección:
http://repartidosdelliceo2.jimdo.com/materiales-y-pruebas-anteriores/bibliograf%C3%ADa-y-referencias/
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ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
55
TANGENTE POR UN PUNTO DE UNA LA CIRCUNFERENCIA
56
78