9. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN GRADO DE LIBERTAD

9. VIBRACIONES EN SISTEMAS CON UN
GRADO DE LIBERTAD
9.1. Introducción e historia
La teoría de vibraciones estudia el movimiento oscilatorio de los sistemas físicos. Las
vibraciones aparecen en innumerables situaciones relacionadas con la vida corriente,
en las máquinas y estructuras que nos rodean. Tratar de hacer una lista de estas situaciones sería casi imposible. Pensemos, por ejemplo, en las vibraciones que ocurren
al conducir un automóvil, al volar en avión, al viajar en tren, las producidas por una
máquina-herramienta durante el corte, las que sufren los álabes de una turbina al girar a varios miles de revoluciones por minuto o en las que soporta un edificio durante
un terremoto.
Las vibraciones aparecen en la práctica totalidad de las máquinas rotativas. En
algunos motores, el desequilibrio es inherente al funcionamiento del propio motor,
mientras que en otros es debido a errores de fabricación. Por ejemplo, algunos motores
Diesel crean vibraciones en el suelo que originan molestias a las personas que se encuentran en las proximidades. Las vibraciones en las turbinas son la causa de accidentes espectaculares, así como de las roturas de los álabes, que los ingenieros no han
sido aún capaces de evitar. Las estructuras diseñadas para soportar máquinas rotativas con fuerzas de inercia grandes o máquinas alternativas como bombas y motores
también están sujetas a vibraciones. En todos estos casos, el material puede fallar debido a la fatiga, provocada por esfuerzos alternados. Además, las vibraciones provocan
el rápido desgaste de algunas partes de las máquinas, como los apoyos, rodamientos y
engranajes, al tiempo que generan excesivo ruido. Si no se tienen las debidas precauciones, las vibraciones pueden hacer que los tornillos y tuercas se aflojen. En la máquina herramienta, las vibraciones provocan que los acabados superficiales sean malos.
El diseño de sistemas mecánicos sometidos a vibraciones requiere métodos de cálculo completamente diferentes de los utilizados en el análisis estructural convencional. Una estructura sometida a cargas estáticas se dimensiona siguiendo métodos de
cálculo clásicos, aunque un ingeniero habituado a calcular estructuras proporcionará
a simple vista soluciones muy parecidas a la exacta. En el caso estático se puede decir
que la solución sigue la intuición natural que indica que a mayor carga, mayor sección. Cuando las vibraciones entran en escena, la cosa cambia radicalmente, pues la
magnitud de las fuerzas tiene una importancia secundaria mientras que la frecuencia
con que la fuerza se repite pasa a ocupar una importancia capital. La intuición en es-
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Cap. 9: Vibraciones en sistemas con un grado de libertad
tos casos puede ser causa de errores, pues fuerzas periódicas pequeñas pueden tener
efectos mucho más devastadores que fuerzas estáticas de magnitud muy superior. Toda máquina tiene una o varias frecuencias naturales. Al ser excitada por una fuerza
con una frecuencia próxima a alguna de sus frecuencias naturales se produce el fenómeno de resonancia, que conduce a desplazamientos de amplitud creciente y a la rotura. Por los efectos devastadores que las vibraciones pueden tener en máquinas y estructuras, los tests de vibraciones se han convertido en procedimientos estándar en la
mayoría de los sistemas de ingeniería.
En muchos sistemas, el ser humano aparece como un elemento integrante. Las
vibraciones en este caso pueden crear falta de confort y pérdida de eficiencia. Por ello,
uno de los propósitos principales del estudio de las vibraciones es el diseño adecuado
de las máquinas y de sus soportes. Por una parte, se trata de minimizar el desequilibrio de la máquina y, por otro, de diseñar la estructura que la soporta de manera que
las vibraciones no la afecten.
A pesar de su efecto pernicioso, las vibraciones se pueden utilizar con provecho en
muchas aplicaciones industriales. Por ejemplo, las vibraciones se utilizan en cintas
transportadoras vibratorias, lavadoras y compactadoras. La vibración ha mejorado la
eficiencia de algunos procesos de mecanizado, fundición, forja y soldadura. También se
emplea para simular terremotos, para investigación geológica y para realizar estudios
sobre la seguridad de los reactores nucleares.
Probablemente, el primer investigador en tratar el movimiento oscilatorio fue Galileo (1564-1642), quien comenzó investigando las oscilaciones de un péndulo y dedujo
la relación existente entre el periodo del péndulo y su longitud. Galileo descubrió también la ley que rige la caída libre de los cuerpos e ideó el reloj de péndulo, que unos
años más tarde sería construido por Huyggens (1656).
Basándose en el trabajo de Galileo, Newton (1642-1727) formuló sus conocidas leyes, que constituyen el punto de referencia para escribir las ecuaciones del movimiento de los sistemas mecánicos vibratorios. D’Alembert (1717-1783) fue el primero en
establecer su famoso principio, por el cual las fuerzas de inercia se pueden considerar
de la misma manera que las fuerzas exteriores, transformando un problema dinámico
en uno estático. El principio de D’Alembert dio pie a Lagrange (1763-1813) a desarrollar sus ecuaciones, que describen el movimiento de los sistemas dinámicos por medio
de cantidades escalares (energía cinética y potencial) en lugar de vectoriales (momento lineal), como la segunda ley de Newton.
Hooke (1635-1703) estableció la relación entre la tensión y la deformación de los
sólidos flexibles. Euler (1707-1783) y Bernouilli (1700-1782) obtuvieron la ecuación
diferencial que gobierna la la transmisión de vibraciones en vigas. Entre los frutos de
los trabajos de estos dos autores se encuentra la teoría de vigas conocida como de
Euler-Bernouilli, que se estudia en Resistencia de Materiales. En un terreno
diferente, Fourier (1769-1830) realizó otra gran aportación al estudio de vibraciones,
al desarrollar las series que llevan su nombre y que permiten expresar una función
cualquiera como suma infinita de funciones armónicas elementales. El análisis de
Fourier es la base del estudio de las vibraciones en el dominio de la frecuencia, que
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constituye probablemente la herramienta fundamental del análisis experimental de
vibraciones.
Otras aportaciones relevantes al estudio de vibraciones procede de Rayleigh
(1842-1919), quien investigó la teoría del sonido, corrigió la teoría de vigas convencional incorporando el efecto de la inercia rotativa y desarrolló un método numérico para
determinar la frecuencia natural más baja de un sistema. Por su parte, Timoshenko
(1872-1972) dio un gran empuje a la teoría de vigas y placas, desarrollando la conocida viga de Timoshenko, que incluye el efecto del cortante, despreciado en la viga de
Euler-Bernouilli.
9.2. Conceptos previos
Veremos a continuación una serie de conceptos que se utilizan habitualmente en el
estudio de vibraciones y que es necesario tener presentes.
Vibración: Es un movimiento oscilatorio que aparece, por lo general, en los sistemas
mecánicos sometidos a la acción de fuerzas variables con el tiempo. Distinguiremos entre vibración y oscilación. La diferencia entre ellas radica en que la vibración implica la existencia de energía potencial elástica, mientras que la oscilación no. Un bloque como el de la Figura 9.1 tiene un movimiento vibratorio,
mientras que un péndulo como el de la Figura 9.2 tiene movimiento oscilatorio.
Puesto que los sistemas vibratorios y oscilatorios se rigen por ecuaciones similares, es costumbre estudiarlos juntos y prescindir de la diferencia conceptual entre ambas.
k
af
m
f t
Figura 9.1. Sistema vibratorio.
Figura 9.2. Sistema oscilatorio.
Grados de libertad: Son los parámetros necesarios para definir de forma unívoca la
configuración del sistema vibratorio. Por ejemplo, el sistema de la Figura 9.3
tiene 2 grados de libertad, que son las dos coordenadas x1 y x2 que definen la
posición de cada uno de los bloques con respecto a sus posiciones de referencia.
x1
k
x2
k
m
m
Figura 9.3. Sistema de discreto de 2 grados
de libertad.
Figura 9.4. Sistema continuo
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Cap. 9: Vibraciones en sistemas con un grado de libertad
Sistemas discretos y sistemas continuos: Se denominan sistemas discretos aquéllos que pueden ser definidos mediante un número finito de grados de libertad y
sistemas continuos aquéllos que necesitan infinitos grados de libertad para ser
exactamente definidos. Por ejemplo, el sistema de dos grados de libertad de la
Figura 9.3 es un sistema discreto. En cambio, la viga de la Figura 9.4 es un sistema continuo pues para conocer su deformada es necesario especificar el desplazamiento vertical de cada uno de sus puntos, que viene dado por una función
de la forma y ( x ) . Matemáticamente, los sistemas discretos conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias, mientras que los sistemas continuos conducen a
ecuaciones diferenciales en derivadas parciales. El movimiento vibratorio de los
sistemas continuos, a excepción de unos pocos sistemas con geometrías sencillas,
suele ser irresoluble con métodos analíticos. Para resolverlos, se suelen transformar en discretos por técnicas de discretización como el Método de los Elementos Finitos.
Sistemas lineales y sistemas no lineales: Sea un sistema mecánico que responde
con movimientos x1(t) y x2(t) a dos fuerzas f1(t) y f1(t), respectivamente. Dicho sistema se denomina lineal si a una fuerza f3(t)=a1f1(t) +a2f2(t) responde con un movimiento x3(t)=a1x1(t) +a2x2(t). Una de las características de los sistemas lineales
es que en ellos se puede aplicar el principio de superposición, que establece que
la respuesta a una excitación combinada se puede obtener combinando las respuestas a cada una de las excitaciones simples.
Sistemas definidos y semidefinidos: Un sistema se denomina definido cuando
cualquier movimiento que en él se produzca conlleva una variación de la energía
potencial elástica. En cambio, un sistema se dice semidefinido cuando existe algún movimiento que no conlleva variación de la energía potencial elástica. La
Figura 9.5 es un ejemplo de un sistema definido. La Figura 9.6, en cambio,
muestra un sistema semidefinido, en el que un desplazamiento de igual magnitud en ambos bloques no produce variación de la energía potencial.
k
k
m
m
m
Figura 9.5. Sistema definido.
Figura 9.6. Sistema semidefinido.
Vibraciones libres y forzadas: Vibraciones libres son las que se producen al sacar
un sistema de su posición de equilibrio y dejarlo oscilar libremente. Vibraciones
forzadas son aquéllas que se producen por acción de fuerzas dependientes del
tiempo.
Los distintos tipos de fuerzas que pueden actuar se clasifican de la siguiente
manera:
• Armónicas: son funciones del tipo seno o coseno.
• Periódicas: son fuerzas que se reproducen con una cierta periodicidad.
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Cap. 9: Vibraciones en sistemas con un grado de libertad
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• Impulsos: responden al concepto mecánico de percusión.
• Arbitrarias: cualquier fuerza que no se incluya en uno de los apartados
anteriores.
Respuesta estacionaria y respuesta transitoria: La respuesta vibratoria de los
sistemas mecánicos suele estar formada por dos partes: una parte que tiende a
cero con el tiempo y que se denomina respuesta transitoria y otra que permanece, y que se denomina respuesta estacionaria. Normalmente, la parte transitoria
se debe a las condiciones iniciales y a las fuerzas independientes del tiempo,
mientras que la estacionaria se debe a fuerzas dependientes del tiempo.
Vibraciones deterministas y vibraciones aleatorias: Las vibraciones se denominan deterministas cuando se conocen las fuerzas excitadoras, y se denominan
aleatorias cuando sólo se conocen valores estadísticos de las excitaciones. En este último caso, no se puede calcular la respuesta exacta y, en su lugar, se relacionan los valores estadísticos de la excitación con los de la respuesta. Ejemplos
de fuerzas aleatorias son las provocadas por los terremotos o las originadas por
el viento.
Utilidad de los sistemas de un grado de libertad: Los sistemas de un grado de
libertad son, por una parte, sencillos y, por otra, se dan en la práctica en sistemas que son directamente asimilables a sistemas vibratorios de un grado de libertad. Además, otra propiedad importante que se verá en el Capítulo 10, es que
los sistemas vibratorios de N grados de libertad se pueden estudiar como N sistemas de un grado de libertad. Por tanto, muchos de los resultados obtenidos en
este Capítulo serán aplicables también a los sistemas de N grados de libertad.
x
k
kx
mx
cx
m
c
Figura 9.7. Sistema básico de un grado de libertad.
Figura 9.8. Diagrama de sólido libre del sistema
básico de un grado de libertad.
9.3. Vibraciones libres
La Figura 9.7 muestra el sistema básico de un grado de libertad, compuesto por una
masa puntual m, un muelle de rigidez k y un amortiguador de constante c. Llamando
x al desplazamiento del bloque respecto de su posición inicial de equilibrio, el diagrama de sólido libre del sistema, incluyendo la fuerza de inercia, se muestra en la
Figura 9.8. Sumando las fuerzas horizontales e igualando a cero, se obtiene:
mx + cx + kx = 0
(9.1)
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Cap. 9: Vibraciones en sistemas con un grado de libertad
La ecuación (9.1) representa una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, cuya resolución se verá en los apartados posteriores para distintos valores de
los coeficientes k y c.
9.3.1. Vibraciones libres no amortiguadas
Consideremos en primer lugar el caso más sencillo, sin amortiguamiento. Particularizando la ecuación (9.1) para c=0 tenemos
mx + kx = 0
(9.2)
Por conveniencia, se divide la ecuación (9.2) por la masa m, resultando
x + ω2n x = 0
(9.3)
donde ωn es una constante que se denomina frecuencia natural del sistema, y que vale, por definición
ωn =
k
m
(9.4)
La solución general a la ecuación homogénea (9.3) se obtiene ensayando soluciones del tipo x (t ) = Ae λt . Sustituyendo en (9.3) se obtiene
(
)
A λ2 + ω2n e λt = 0
(9.5)
Por lógica, ni A ni e λt pueden ser nulos, ya que si no la respuesta x (t ) sería nula.
Por tanto, el paréntesis debe ser nulo, lo que equivale a
λ = ±iωn
(9.6)
La solución x(t) se obtiene, finalmente, como una combinación lineal de las dos soluciones posibles
x (t ) = A1 eiωnt + A2 e −iωnt
(9.7)
Obsérvese que aunque en la ecuación (9.7) aparecen números complejos la respuesta x (t ) ha de ser real, ya que de otra forma no tendría sentido físico. Para ello, es
necesario que las constantes A1 y A2 sean números complejos conjugados. De esta
manera, las partes complejas de los dos sumandos de la ecuación (9.7) se anulan y el
resultado es real. La ecuación se puede reescribir utilizando funciones trigonométricas. Para ello sustituimos los términos exponenciales complejos eiωnt y e −iωnt por sus
equivalentes trigonométricos, mediante las expresiones
eiωnt = cos ωnt + i sen ωnt
e −iωnt = cos ωnt − i sen ωnt
(9.8)
lo que conduce a
x (t ) = ( A1 + A2 ) cos ωnt + i ( A1 − A2 ) sen ωnt
(9.9)
Puesto que A1 y A2 son complejos conjugados, la suma A1 + A2 es un número real al que podemos llamar B1 y el término i ( A1 − A2 ) también es un número real al
que podemos llamar B2 . Introduciendo estos dos nuevos términos, la ecuación (9.9)
queda de la forma
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