LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD

LEY DE NEWTON DE LA VISCOSIDAD
Supongamos un fluido contenido entre dos grandes láminas planas y paralelas de área A separadas
entre sÍ por una pequeña distancia “Y”.
Fig. 1 Fluido contenido entre los láminas
Al tiempo t<0 el sistema está en reposo, para t=0 a la lámina inferior se le imprime un movimiento de
dirección “x” con una velocidad constante V x
-Las capas de fluido en contacto con la placa inferior adquieren un movimiento de dirección “x” y lo
propagan a las capas superiores en la dirección “y”.
-A mayores t el perfil de velocidad se va modificando hasta alcanzar el estado estacionario (no existen más
variaciones con el tiempo).
-En estas condiciones la fuerza F x necesaria para mover la placa inferior con velocidad constante V x será, de
acuerdo con el modelo de Newton:
-La constante de proporcionalidad μ se denomina viscosidad del fluido.
-Esta ecuación es válida para flujo laminar y no todos los fluidos la cumplen. Aquellos que si la
cumplen reciben el nombre de fluidos newtonianos.
La “Ley de Newton de la viscosidad” es en realidad una relación de comportamiento de un
conjunto muy grande y muy importante de fluidos que la cumplen. Pero hay fluidos que se
comportan de otra manera, es decir, fluidos que no presentan una relación lineal (con ordenada al
origen nula) entre los esfuerzos viscosos τ yx y el gradiente de velocidad (dV x /dy).
Notación de τyx
•
La dirección de la velocidad del fluido coincide con la dirección de la fuerza aplicada, en
este caso, la del eje coordenado x.
•
La dirección de una superficie se puede determinar por su vector normal. La dirección del
eje coordenado y es normal al plano y = y0, que es aquel donde se aplica el esfuerzo τyx .
•
El movimiento del fluido se propaga desde la placa inferior hacia arriba, es decir, en la
dirección del eje coordenado y. Este movimiento tiene, sin embargo, la dirección x.
Entonces, considerando a τ yx como una fuerza aplicada:
τ ik
Primer índice: dirección
de la superficie
Segundo índice:
dirección de la fuerza
Considerando a τ yx como un flujo de cantidad de movimiento:
τ ik
Primer índice: dirección de la
propagación de momentum
Segundo índice: dirección
del momentum
•
Transporte molecular y convectivo de momentum
El transporte molecular de momentum, que resulta como consecuencia de la transferencia de
movimiento entre las moléculas.
También existe un flujo de momentum debido al movimiento de bulto o movimiento convectivo
del fluido. Esta transferencia de movimiento tiene que ver con el flux másico ρ v , que atraviesa un
plano dado del fluido. El flux másico atraviesa un plano dado, debido a su componente de
velocidad normal a dicho plano, así en el plano xy tenemos:
El flux convectivo de momentum es el producto del flux másico por la velocidad, es decir
ρ
vv .
Entonces, el flux convectivo de momentum atravesando el plano x =x0 es ρv x v
Cada uno de estos fluxes es un vector, tiene tres componentes, que corresponden a las
direcciones de las componentes de la velocidad.
El flux combinado de momentum es la suma del flux molecular de momentum, que corresponde a
los esfuerzos totales más el flux convectivo de momentum.
Balances de momentum en envolturas y condiciones a la frontera.
La envoltura es el sistema, se elige una rebanada delgada del espacio, al interior del flujo, que
conserva las características geométricas del sistema global, con sus caras paralelas o
perpendiculares a la dirección del flujo (las componentes de la velocidad).
Se aplica un balance de momentum a esta envoltura, considerando los términos importantes en
cada una de sus superficies (o caras).
El balance de momentum es una relación vectorial, consiste por lo tanto de tres relaciones
escalares, una para cada una de las direcciones de un sistema coordenado ortogonal.
Aplicaremos el balance de momentum a sistemas que tienen solamente una componente de
velocidad, por lo que el balance se aplicará solamente en la dirección de dicha componente.
Procedimiento para la aplicación, solución y uso de los balances de envoltura
1. Considerando el flujo en la escala global, elige el sistema coordenado que se adapte a la
geometría del flujo (coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas), localiza el origen y determina
la dirección de los ejes coordenados.
2.Identifica la componente de la velocidad que no se anula y la dirección (o las direcciones)
en la(s) que cambia dicha componente [la velocidad depende de la(s) coordenada(s)
correspondiente(s) a dichas direcciones].
3. Determina el lugar de la envoltura, que debe estar inmersa en la región de flujo que te
interesa analizar. La envoltura debe ser delgada en la(s) dirección(es) en la(s) que cambia la
velocidad y amplia en la(s) que no cambia. Dibuja un diagrama de dicha envoltura.
4. Identifica las componentes del flux combinado de momentum en la dirección del flujo y
anótalos en el diagrama, entrando a la envoltura por la cara correspondiente más cercana al eje
coordenado y saliendo por la más lejana. Agrega la contribución de la fuerza gravitacional, cuando
corresponda.
5. Aplica el balance de momentum en la dirección del flujo.
6. Divide el balance entre el volumen de la envoltura y toma el límite cuando el (los) espesor(es)
de la(s) cara(s) delgada(s) de la envoltura tiende(n) a cero, para hacer uso de la definición de la
derivada como el cociente incremental de una función y obtener así la ecuación diferencial
correspondiente.
7. Sustituye las componentes del flux combinado de momentum por los términos que
correspondan, de acuerdo con su definición [Ecuación (1.14)] y con las especificaciones para cada
término [como en el ejemplo de la Ecuación (1.15)].
8. Simplifica la ecuación resultante, considerando la dependencia espacial de la velocidad (¿de qué
coordenadas es función la velocidad?) y de la presión (los cambios de la presión se producen en la
dirección del flujo). El resultado es el balance diferencial de momentum en la dirección
seleccionada.
9. Determina las condiciones a la frontera. Necesitas establecer una condición a la frontera para
cada variable derivada. A veces no se tiene una condición para los esfuerzos viscosos y su
determinación se deja para una etapa posterior (el paso 12 de esta secuencia). En tal caso se
requiere una condición de frontera adicional para la velocidad.
10. Integra esta ecuación para obtener la distribución del flux de momentum (en la dirección
elegida) y aplica las condiciones a la frontera si es procedente.
11. Sustituye la ley de Newton de la viscosidad (o la relación de comportamiento que corresponda
al fluido), considerando nuevamente la dependencia espacial de la velocidad para simplificar los
términos. Resulta una ecuación diferencial para la velocidad.
12. Integra esta ecuación y aplica las condiciones a la frontera, para obtener la distribución de
velocidad (el perfil de velocidad).
13. Utiliza la distribución de velocidad para obtener otras cantidades importantes como la
velocidad máxima, el flujo volumétrico o gasto, la fuerza del fluido sobre una superficie sólida que
lo limite o la disipación viscosa.