cuarto de círculo

Centro de gravedad de un cuarto de círculo de masa M y radio R
El área del semicírculo es
1
A = πR 2
4
1
M = σπR 2 .
4
y su masa
Consideramos que el círculo está contenido en el plano XY.
1º Método. Integración
Como el semicírculo tiene un eje de simetría, las coordenadas x e y del centro de gravedad del
cuarto de círculo son iguales, por lo que sólo es necesario calcular una de ellas
yG =
1
M
∫∫ ydm .
A
La masa del elemento diferencial de área, se ha seleccionado a una
distancia y que varía entre 0 y R, corresponde a un rectángulo de
x
base x y altura dy por lo que dm = σxdy ; además y puede
dy
y
expresarse en función del ángulo ϕ, el cual para el cuarto de círculo
varía entre 0 y π/2.
1
xG = y G =
M
xG = yG =
1
∫∫A ydm = M
σR 3 ⎛ 1 ⎞
σ
π
2
∫∫ yσxdy = M ∫ RsenϕR cos ϕR cos ϕdϕ
A
π
0
2
σR 3
3
ϕ
d
cos
=
−
− cos3 ϕ
−
⎜
⎟∫
2
M ⎝ 3⎠0
⎛ σπR ⎞
⎟⎟
3⎜⎜
⎝ 4 ⎠
[
]
π
2
0
=
4R
3π
2º Método. Aplicación del teorema de
Guldin Cuando el cuarto de círculo de la
figura gira en torno a un eje vertical,
engendra una semiesfera de volumen
2
V = πR 3 mientras que el centro de
3
gravedad describe una circunferencia de
longitud Lcircunferencia = 2πxG de forma que
⎛ πR 2 ⎞
2 3
4R
⎟⎟ de forma que la coordenada y del centro de gravedad es yG =
πR = (2πyG )⎜⎜
3
3π
⎝ 4 ⎠
xG