f - Unidad 6 CUERPOS - Universidad Nacional del Litoral

UNIVERSIDAD
NACIONAL DEL
LITORAL
FACULTAD DE
INGENIERÍA Y
CIENCIAS HÍDRICAS
MÓDULO:
SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN
UNIDAD Nº 6
GEOMETRÍA DESCRIPTIVA
PROYECCIÓN DIÉDRICA O DE MONGE
___________________________________________________________________________________________________________
CUERPOS:
POLIEDROS
Se denomina superficie poliédrica aquella que está formada por varios poligonos
consecutivos. Estos son las caras de la superficie.
Los vértices y los lados de las caras se denominan vértices y aristas de la superficie
poliédrica.
Entre los poliédros que estudiaremos serán dos: el prisma y la pirámide.
1 - El Prisma: Es un poliédro que tiene dos caras iguales y paralelas llamadas bases; las
otras caras (caras laterales) son paralelogramos. Las bases son poligonos cualquiera.
La distancia entre los planos de las bases se denomina altura del prisma.
Se denomina prisma recto cuando las caras laterales son perpendiculares a las bases; en
caso contrario es oblicuo (figura 94).-
En el prisma recto las caras laterales son rectángulos y la altura es igual a una cualquiera
de las aristas laterales.
Un prisma es triángular si sus bases son triángulos; cuadrangular si las bases son
cuadrángulos, etc.El paralelepípedo es un prisma cuyas bases (y cara laterales) son paralelogramos. El
cubo es un caso particular del paralelepipedo.2 – La Pirámide: Es el poliédro que tiene como base un polígono cualquiera; las otras
caras son triángulos que tienen un vertice en común, llamado vertice de la pirámide (figura
95).201
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La distancia del vertice al plano de la base es la altura de la pirámide.Una pirámide es recta, cuando la base es un polígono regular y el vertice se encuentra
sobre la normal a la base por su centro.
REPRESENTACION DE POLIEDROS:
La representación de un poliedro cualquiera se obtiene construyendo las proyecciones se
sus distintos vértices y aristas.
La proyección sobre los planos vertical π2 y horizontal π1 de este polígono es el contorno
aparente del poliedro.(figura 96).
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En la figura 97, para distinguir en la representación las aristas visibles de las invisibles
tendremos en cuenta las siguientes reglas:
Sobre cada plano de proyección el contorno aparente es enteramente visible y no se
puede pasar de un punto visible a otro invisible sin pasar por el contorno aparente.Las aristas que concurren a un mismo vértice interno al contorno aparente con visibles o
todas invisibles.Si dos aristas se cruzan en el interior del contorno aparente sobre uno de los planos de
proyección sin que se corten en el espacio, una es visible, otra invisible.-
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INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UN POLIEDRO:
1 - Cuando una recta r atraviesa un poliedro encuentra la superficie poliédrica en dos
puntos. Para determinarlos se hace pasar por la recta r un plano cualquiera α (figura 98) y
se halla la intersección de α con la superficie poliédrica. Los puntos Q y R, comunes a la
intersección hallada y a la recta r, con los puntos buscados. Este es el método general.-
2 - En los casos prácticos particulares es conveniente elegir el plano α (de modo que la
sección pueda ser obtenida con facilidad. En general se elige el plano que proyecta
horizontalmente o verticalmente la recta dada (figura 99).
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INTERSECCIÓN DE UNA RECTA CON LA SUPERFICIE DE UN PRISMA:
En la figura 100 se ha considerado un prisma oblicuo y una recta r. Como plano auxiliar se
ha utilizado un plano proyectante vertical que contenga la recta r sobre el plano vertical. El
contorno de la sección producida en el plano horizontal I1J1K1 y verticalmente I2J2K2.
Los puntos Q y R de intersección de este contorno con la recta r son los puntos
buscados.-
La construcción se simplifica cuando las caras laterales son perpendiculares a uno de los
planos de proyección. Es lo que ocurre en la figura 101.-
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INTERSECCIÓN DE UNA RECTA Y UNA PIRÁMIDE:
Sea r la recta y VABCD la pirámide (Fig. 102).
Consideremos como plano auxiliar el que proyecta verticalmente la recta.
Se secciona la pirámide con un plano proyectante horizontal que contenga a la recta r, su
proyección horizontal es E1F1G1H1. Luego es fácil entonces determinar Q1 y R1 primero,
Q2 y R2 después.-
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INTERSECCIÓN DE PLANOS CON POLIEDROS Y VERDADERA MAGNITUD:
1 - Trátese de una pirámide recta VABCD, de base irregular, seccionada por un plano
proyectante vertical (Fig. 103). Este plano α secciona la pirámide según su traza α2.
La proyección vertical de la sección, coincide con la traza vertical de plano α,es el
segmento 12 22 32 42., siendo estas las proyecciones verticales de las aristas de la
sección. Para encontrar las proyecciones horizontales 11, 21, 31, 41, basta solamente con
trazar líneas de referencias hasta las correspondientes proyecciones horizontales de las
aristas.
La verdadera magnitud de la sección, puede ser obtenida rebatiéndola sobre el plano
vertical, tal como fue explicado en la figura 82.-
2 – Dado una pirámide recta VABCD, de base regular, seccionada por un plano
proyectante vertical (Fig. 104). Este plano α secciona la pirámide según su traza α2.
La proyección vertical de la sección, coincide con la traza vertical de plano α,es el
segmento 12 22 32 42, siendo estas las proyecciones verticales de las aristas de la
sección. Para encontrar las proyecciones horizontales 11 y 41, basta solamente con trazar
líneas de referencias hasta las correspondientes proyecciones horizontales de las aristas.
Para hallar los puntos 21 y 31, se dibuja la tercera proyección de la pirámide con la
sección, y desde 23 y 33, basta trazar líneas de referencias hasta las correspondientes
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aristas A1V1 y V1C1. La verdadera magnitud de la sección, se procede como en el dibujo
anterior.
Desarrollo de la pirámide: Comenzaremos por una de las aristas que se muestra en
verdadera magnitud, y que corresponde en la proyección vertical D2V2. Con un radio igual
a la medida de esa arista trazaremos un arco de circunferencia.
Con la medida de uno de los cuatro lados de la base que se tienen en la proyección
horizontal se corta en cuatro partes al semicírculo en los puntos (C) (B) (A) (D); uniendo
cada extremos de lado con el vértice de la pirámide representado en la proyección
vertical, quedarán definidas las cuatro caras laterales del sólido.
Para resolver la definición del seccionamiento sobre las cuatro caras laterales, con el
compas se mide la arista 12V2 del seccionamiento pertenece a la arista D2V2 que en
proyección vertical esta en verdadera magnitud y definimos (1) en el desarrollo.La siguiente arista a resolver es (3)V2, en esta caso la distancia 32V2 no está en
verdadera magnitud, para hallarla, simplemente se lleva una línea horizontal hasta
interceptar la arista D2V2 ó B2V2 que son iguales; sobre esta nueva tomamos la medida
definida entre el extremos recientemente determinado y V2, esta medida la aplicamos
sobre la arista (C)V2, y dibujamos el punto (3).La arista (4)V2 se encuentra ya en
verdadera magnitud sobre la arista B2V2. Simplemente trasladamos el punto (4) a la arista
(B)V2.-
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3 – Trátese ahora de otra pirámide recta VABCD, de base regular, seccionada por un
plano paralelo a la LT (véase figura 53, 54 y 93). Este plano α secciona la pirámide por
sus trazas α1, α2 y α3. Figura 105.Para halla la sección del plano, se debe realizar la tercera proyección del cuerpo,
apreciándose la sección en los puntos F3G3E3D3. Luego llevando líneas de referencias a
las aristas correspondientes en las proyecciones verticales y horizontales del cuerpo, se
resuelve la sección. Para hallar la verdadera magnitud de la sección, se puede resolver
según lo anteriormente explicado en las figuras 53, 54 y 93 ó a partir de la tercera
proyección, por cada punto de la sección se toma el segundo apartamiento y se traslada
la distancia en un ángulo de 90 º con respeto a la traza α3.-
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4 – Dado un prisma oblicuo de base irregular ABCDEFGH, seccionada por un plano
proyectante vertical (Fig. 106). Este plano α secciona al prisma según su traza α2.
La proyección vertical de la sección, coincide con la traza vertical de plano α, es el
segmento J2 Q2 R2 S2. Para encontrar las proyecciones horizontales J1, Q1, R1, S1, basta
solamente con trazar líneas de referencias hasta las correspondientes proyecciones
horizontales de las aristas.
La verdadera magnitud de la sección, puede ser obtenida rebatiéndola sobre el plano
vertical, tal como fue explicado en la figura 82.-
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CONICAS:
Las superficies cónicas estan formadas por infinitas generatices.
1 - Para obtener los contornos de un cono oblicuo, como en la figura 107, se dibujan las
generatrices límites, tangentes a las proyecciones de la directriz. La generatices que
limitan el contorno en la proyección horizontal no son, en general, las mismas que limitan
el contorno en la proyección vertical.-
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2 - Para determinar el contorno de un cono oblicuo de base circular se une el vértice V1 y
V2 con las generatrices límite. Las generatrices A1V1 y B1V1 ambas son visibles en
proyección horizontal, pero en proyección vertical B2V2 es invisible por su ubicación en el
plano horizontal. Figura 108.-
3 - Dado un cono recto de base circular, interceptado por una recta r, cuya proyección
vertical de la recta es r2 y su intercepción X2 y Y2. Hallar su proyección horizontal y
visibilidad de la recta r. Figura 109.Una de las soluciones, se hacer pasar generatrices por los puntos datos. Como sabemos
que toda generatriz debe concurrir en el vértice, considerando la proyección horizontal,
para el caso de X1 debemos unir este punto con el vértice (V1) y prolongar hasta la base.
La intersección de esta generatriz con el contorno de la base (circunferencia), determina
un punto que se lo denominó E1, luego aplicando la propiedad de correspondencia desde
E1 subimos una vertical de referencia hasta la base en proyección vertical; luego unimos
E2 con V2 y tendremos como resultado la generatriz en proyección vertical. El problema ha
quedado reducido a obtener la proyección vertical de un punto perteneciente a un
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segmento; de tal forma solo tendremos que trazar una vertical de referencia desde X1,
hasta interceptar el segmento E2V2 y allí por la propiedad de correspondencia tendremos
X2, punto de intersección de la recta en proyección vertical.
En cuanto al otro punto (Y1) aplicaremos el mismo concepto para determinar Y2 sobre el
segmento F2V2.
Solo resta analizar visibilidad. Este concepto fue analizado en el problema anterior.
El tramo X1Y1 será obviamente invisible (proyección horizontal), ya que ese recorrido lo
hace por el interior del cuerpo.-
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4 - Dado un cono oblicuo de base circular, interceptado por una recta r, cuya proyección
vertical de la recta es r2 y su intercepción X2 y Y2. Hallar su proyección horizontal y
visibilidad de la recta r. Figura 110.El procedimiento empleado es igual al anterior.
5 - Dado un cono recto de base circular, interceptado por un plano α (proyectante vertical)
que secciona al cono según su traza α2.
Hallar la proyección horizontal de la sección y verdadera magnitud. Figura 111.Para determinar la sección pensemos que es una elipse, cuyo eje mayor coincide en su
proyección vertical con traza vertical del plano, en el segmento A2B2.
Proyectamos los puntos A2B2 sobre las generatrices que corresponden V1R1 y V1S1,
obteniendo los puntos A1B1 de la sección.
Para hallar los otros puntos podríamos recurrir a planos auxiliares horizontales que
cortarían la superficie del cono perpendicularmente en el plano vertical y paralelos al
horizontal, describiendo cada uno de ellos círculos concéntricos en el cono.
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Los puntos C1, D1, E1, F1, G1, H1, comunes a los distintos planos, son puntos de la
sección buscada.
Unidos mediante trazos continuos dan la proyección horizontal de la sección, que es una
elipse deformada.Por rebatimiento sobre el plano vertical se halla la verdadera magnitud, según lo explicado
en figura 82.-
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6 - Dado un cono recto de base circular, interceptado por un plano α (proyectante
horizontal) que secciona al cono según su traza α1.
Hallar la proyección vertical de la sección y verdadera magnitud. Figura 112.Para determinar la sección pensemos que es una hipérbola, cuya proyección horizontal
coincide con la traza horizontal del plano, en el segmento 4181.
Trazamos en el cono recto en 12 generatrices y la enumeramos del 1 al 12.Proyectamos los puntos 4181 sobre la línea de tierra, obteniendo los puntos 4282 de la
sección.
Para encontrar las proyecciones verticales A2, B2, C2, de la sección basta solamente con
trazar líneas de referencias hasta las correspondientes generatrices verticales.
Unidos mediante trazos continuos los puntos 42, A2, B2, C2, por ser visibles, y discontinuos
C2, 82, por ser invisibles, dan la proyección vertical de la sección, que es una hipérbola
deformada.Por rebatimiento sobre el plano vertical se halla la verdadera magnitud, según lo explicado
en figura 82.-
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7 - Dado un cono recto de base circular, interceptado por un plano α (proyectante vertical)
que secciona al cono según su traza α2.
Hallar la proyección horizontal de la sección y verdadera magnitud. Figura 113.Si la traza del plano (α2) es paralelo a una sola de las generatrices de la superficie, la
sección producida es una parábola.
El plano α2 es perpendicular al plano vertical de proyección: en consecuencia el segmento
de traza vertical A2B2 es la proyección vertical de la sección. Una línea de referencia por
B2 determina B1, proyección horizontal del vértice de la parábola. Los puntos A1 y C1
corresponden a los puntos más bajos de la curva.
Para hallar los otros puntos podríamos recurrir a planos auxiliares horizontales que cortan
la superficie del cono perpendicularmente en el plano vertical y paralelos al horizontal,
describiendo cada uno de ellos círculos concéntricos en el cono.
Los puntos B1, D1, E1, F1, G1, comunes a los distintos planos, son puntos de la sección
buscada.
Unidos mediante trazos continuos dan la proyección horizontal de la sección, que es una
parábola deformada.Por rebatimiento sobre el plano vertical se halla la verdadera magnitud, según lo explicado
en figura 82.-
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CILINDROS:
Las superficies cilindricas estan formadas por infinitas generatices.
1 – En la figura 114 se representa un cilindro oblicuo de base circular contenida en el
plano horizontal.
El contorno del cilindro se representa sobre los planos horizontal y vertical por las
tangentes a las bases paralelas.
El cilindro esta seccionado por un plano proyectante vertical, perpendicular a las
generatrices en el plano vertical.
Para determinar la sección pensemos que es una elipse, cuyo eje mayor coincide en su
proyección vertical con traza vertical del plano, en el segmento C2J2.
Proyectamos los puntos C2J2 sobre las generatrices que corresponden en la proyección
horizontal, obteniendo los puntos C1J1 de la sección.
Trazamos en el cilindro generatrices en la proyección vertical, en la parte visible e invisible
del cuerpo y la proyectamos en el horizontal.Las generatrices cuando tocan la parte seccionada en la proyección vertical definen los
puntos D2, E2, F2, G2, H2, I2 de la sección, para hallar su proyección horizontal basta
solamente con trazar líneas de referencias hasta las correspondientes generatrices
horizontales.
Unidos mediante trazos continuos los puntos C1, D1, E1, F1, G1, por ser visibles, y
discontinuos H1, I1, J1, por ser invisibles, dan la proyección horizontal de la sección, que
es una elipse deformada.Por rebatimiento sobre el plano horizontal se halla la verdadera magnitud, según lo
explicado en figura 82.-
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1 – En la figura 115 se representa un cilindro recto de base circular contenida en el plano
horizontal.
El cilindro esta seccionado por un plano proyectante vertical, seccionando a todas las
generatrices en el plano vertical.
Para determinar la sección pensemos que es una elipse, cuyo eje mayor coincide en su
proyección vertical con traza vertical del plano, en el segmento E2G2.
La proyección horizontal de la sección coincide con la base del cilindro, por ser recto el
cilindro.
Trazamos en el cilindro generatrices en la proyección vertical, que cortan la sección del
plano α.
Por rebatimiento sobre el plano horizontal se halla la verdadera magnitud, según lo
explicado en figura 82.-
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ESFERAS:
Para interpretar más rápidamente la representación de la esfera es conveniente asimilarla
a un globo terráqueo, en el que se pueden distinguir ecuador, paralelos y meridianos, ya
que está terminología geográfica es conocida por todos los alumnos y por lo tanto
permitirá comprender rápidamente su representación en el método Monge. Figura 116.La proyección horizontal la logramos mediante el dibujo de una circunferencia, que en
realidad debe interpretarse como representación de la proyección del Ecuador.
En proyección vertical tenemos otra circunferencia, que es producto de la proyección del
meridiano máximo, que conforman el contorno aparente.
De esta manera podremos comprender que la proyección vertical de la circunferencia
(Ecuador) es un segmento diámetro y es paralelo a la línea de tierra (L.T.).
Con igual criterio podemos decir que la proyección horizontal de la circunferencia
representa el meridiano del contorno aparente es un segmento (diámetro) y es paralelo a
la línea de tierra.
ESFERA EN EL ESPACIO
ESFERA EN EL DIEDRO
1 – En la figura 117 se representa una esfera seccionada por un plano proyectante
vertical.
Para determinar la sección pensemos que es un círculo, cuyo diámetro coincide en su
proyección vertical con traza vertical del plano, en el segmento E2F2.
La proyección horizontal de la sección es una elipse. Para encontrar la proyección
horizontal de estos puntos, solo tendremos que recordar la propiedad de correspondencia;
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para ello bajamos verticales de referencias desde E2 y F2 hasta encontrar la proyección
horizontal del diámetro de la circunferencia, allí tendremos E1 y F1.
Estos puntos nos determinan el eje menor de la sección, que será una elipse.
Los puntos G2H2 es producto de la intersección del plano horizontal auxiliar ϕ2 con la
proyección vertical de la esfera, que seccionan la esfera, cuya proyección horizontal es un
círculo concéntrico, luego bajamos líneas de referencias de G2H2 hasta el circulo dibujado
y obtenemos los puntos G1H1 de la sección.Los puntos I2 y J2, son puntos de la proyección de la esfera, simplemente bajamos una
línea de referencia hasta su proyección horizontal y obtenemos I1J1.
Unidos mediante trazos continuos los puntos J1, H1, E1, G1, I1, por ser visibles, y
discontinuos I1, F1, J1, por ser invisibles, dan la proyección horizontal de la sección, que es
una elipse.Por rebatimiento sobre el plano horizontal se halla la verdadera magnitud, según lo
explicado en figura 82.-
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REPRESENTACIÓN
2 – En la figura 118 se representa una esfera seccionada por un plano proyectante
horizontal, cuya traza horizontal pasa por el centro O de la esfera.
Para determinar la sección pensemos que es un círculo, cuyo diámetro es igual al de la
esfera, por pasar por el centro O.El procedimiento es igual al dibujo anterior.-
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