1 CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD

1
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD
Ya sabemos como determinar si una función es estric. creciente o decreciente
en un punto. Pero nos interesa determinar si la función crece o decrece de
forma cóncava o convexa.
Nuestra finalidad va a ser definir y caracterizar las funciones cóncavas o
convexas en un punto.
1.1
Función cóncava en un punto
Dada una función continua en [a, b], derivable en ]a, b[. Sea x0 ∈]a, b[
Diremos que una función y = f (x) es cóncava en un punto x0 ; siempre
que podamos encontrar un entorno de centro x0 y de radio δ (suficientemente
pequeño) de tal manera que en dicho entorno la recta tangente a la función en
ese punto quede por debajo de la gráfica de f (salvo en el punto de tangencia
P (x0 , f (x0 )) )
f es cóncava en x0 ⇔ ∃ δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que
∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) ⊂]a, b[ siempre se verifica que yt (x) < f (x)
Es decir que
yt (x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) < f (x)
∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } ⊂]a, b[
f 0 (x0 )(x − x0 ) < f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } ⊂]a, b[
Ejemplo: La funció y = x ln x es cóncava en el punt P (1, 0)
8
6
4
2
00
1
2
x
3
4
5
En ese punto P la ecuación de su recta tangente es y = x − 1. Fíjate
que alrededor de ese punto, los puntos de la gráfica de la función quedan por
encima de esa recta tangente.
1
1.1.1
Caracterización de las funciones cóncavas
Teorema Sea f una función continua en [a, b], derivable hasta el orden dos
∀x ∈]a, b[. Si f 0 es estrictamente creciente en ]a,b[⇔ f es cóncava en
]a, b[
Demostración de ⇒ 1
Método reducción al absurdo
Supongamos que f no es concava en ]a, b[→ ∃x0 ∈]a, b[ en el que f no es
cóncava
Al ser f no cóncava en x0 podemos afirmar que ∀δ > 0 (con Eδ ∗ (x0 ) ⊂
]a, b[) ∃x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } tal que yt (x) ≥ f (x)
Es decir:
f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) ≥ f (x) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }
f 0 (x0 )(x − x0 ) ≥ f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }
Posibilidades:
a) Si x > x0 entonces f 0 (x0 ) ≥
f (x) − f (x0 )
x − x0
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
=
[x0 , x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0 , x[⊂]a, b[ tal que
x − x0
f 0 (c)
Así pues:
Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0 (x0 ) ≥ f 0 (c)
siendo c > x0 .Podemos afirmar que entonces, la función f 0 no es estrictamente
creciente.
Lo cual es absurdo; está en contradición con la hipótesis de que f 0 es
estrictamente creciente en ]a, b[
1
Ayuda:
• Diremos que una función g es estrictamente creciente en ]a, b[⇔ ∀ c, t ∈]a, b[ g(c) <
g(t) siempre que c < t
• g no es estrictamente creciente en ]a, b[⇔ ∃ c, t ∈]a, b[ con c < t tal que g(c) ≥ g(t)
• g no es estrictamente creciente en ]a, b[⇔Encontramos, al menos dos números reales
, c y t con c < t , del intervalo ]a, b[ tal que g(c) no es menor que g(t)
2
b) Si x < x0 entonces f 0 (x0 ) ≤
f (x) − f (x0 )
x − x0
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
[x, x0 ],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0 [⊂]a, b[ tal que
=
x − x0
f 0 (c)
Así pues:
Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0 (x0 ) ≤
f 0 (c) siendo x0 > c. Podemos afirmar que entonces, la función f 0 no es
estrictamente creciente.
Lo cual es absurdo; está en contradición con la hipótesis de que f 0 es
estrictamente creciente en ]a, b[
Como en ambas situaciones llegamos a un absurdo. Entonces lo que
hemos supuesto es falso
Demostración de ⇐
Por ser f cóncava en ]a, b[→ entonces f es cóncava ∀x0 ∈]a, b[
Por lo tanto sea cual sea x0 ∈]a, b[ siempre podremos encontrar un δ > 0
(tan pequeño como queramos) tal que ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) ⊂]a, b[ siempre se verifica
que yt (x) < f (x)
Es decir que
f 0 (x0 )(x − x0 ) < f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } ⊂]a, b[
Posibilidades:
a) Si x > x0 entonces f 0 (x0 ) <
f (x) − f (x0 )
x − x0
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
[x0 , x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0 , x[⊂]a, b[ tal que
=
x − x0
0
f (c)
Por lo tanto:
Si x0 < c < x entonces f 0 (x0 ) < f 0 (c) con c ∈]x0 , x[
b) Si x < x0 entonces f 0 (x0 ) >
f (x) − f (x0 )
x − x0
3
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
=
[x, x0 ],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0 [⊂]a, b[ tal que
x − x0
f 0 (c)
Por lo tanto:
Si x < c < x0 entonces f 0 (c) < f 0 (x0 ) con c ∈]x0 , x[
En ambos casos hemos comprobado que:
∀ x0 ∈]a, b[ siendo c 6= x0 y c ∈]a, b[ siempre se verifica )que:
entonces f 0 (x0 ) < f 0 (c)
Si x0 < c
→ f 0 es est. creSi c < x0
entonces f 0 (c) < f 0 (x0 )
ciente en ]a, b[
Interpretación geométrica de este teorema
4
3
2
1
0
0.5
1
1.5
x
2
2.5
3
-1
Si a medida que las x son cada vez mayores dentro del intervalo ]a, b[,
siempre observamos que las pendientes de sus correspondientes rectas tangentes son cada vez mayores⇔la función f es siempre cóncava en ]a, b[
1.1.2
Condición suficiente de concavidad
Teorema Sea f una función continua en [a, b] y tal que f 00 (x0 ) > 0 siendo
x0 ∈]a, b[.Con estas hipótesis siempre podremos afirmar que la función
f es cóncava en x0
DEMOSTRACION
4
Por ser f 00 (x0 ) > 0 → f 0 es est. creciente en x0 , y por lo tanto en virtud
del teorema de caracterización de funciones cóncavas podemos afirmar que f
será cóncava en x0
1.2
Función convexa en un punto
Dada una función continua en [a, b], derivable en ]a, b[. Sea x0 ∈]a, b[
Diremos que una función y = f (x) es cóncava en un punto x0 ; siempre
que podamos encontrar un entorno de centro x0 y de radio δ (suficientemente
pequeño) de tal manera que en dicho entorno la recta tangente a la función en
ese punto quede por encima de la gráfica de f (salvo en el punto de tangencia
P (x0 , f (x0 )) )
f es cóncava en x0 ⇔ ∃ δ > 0 (tan pequeño como queramos) tal que
∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) ⊂]a, b[ siempre se verifica que yt (x) > f (x)
Es decir que
yt (x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) > f (x)
∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } ⊂]a, b[
f 0 (x0 )(x − x0 ) > f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } ⊂]a, b[
Ejemplo: La funció y =
x
1 2
es convexa en el punt P ( , )
2
1+x
2 5
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
00
-0.1
0.5
1
x
1.5
2
2.5
4
12
En ese punto P la ecuación de su recta tangente es y = x + . Fíjate
25
25
que alrededor de ese punto, los puntos de la gráfica de la función quedan por
debajo de esa recta tangente.
5
1.2.1
Caracterización de las funciones convexas
Teorema Sea f una función continua en [a, b], derivable hasta el orden dos
∀x ∈]a, b[. Si f 0 es estrictamente decreciente en ]a,b[⇔ f es convexa
en ]a, b[
Demostración de ⇒ 2
Método reducción al absurdo
Supongamos que f no es convexa en ]a, b[→ ∃x0 ∈]a, b[ en el que f no es
convexa
Al ser f no convexa en x0 ; podemos afirmar que ∀δ > 0 (siendo Eδ ∗ (x0 ) ⊂
]a, b[) ∃x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }tal que yt (x) ≤ f (x)
Es decir:
yt (x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) ≤ f (x) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }
f 0 (x0 )(x − x0 ) ≤ f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }
Posibilidades:
a) Si x > x0 entonces f 0 (x0 ) ≤
f (x) − f (x0 )
x − x0
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
=
[x0 , x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0 , x[⊂]a, b[ tal que
x − x0
f 0 (c)
Así pues:
Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0 (x0 ) ≤ f 0 (c)
siendo x0 < c. Podemos afirmar entonces, la función f 0 no es estrictamente
decreciente.
Lo cual es absurdo; ya que está en contradición con la hipótesis de que
f 0 es estrictamente decreciente en ]a, b[
2
Ayuda:
• Diremos que una función g es estrictamente decreciente en ]a, b[⇔ ∀ c, t ∈]a, b[
g(c) < g(t) siempre que c > t
• g no es estrictamente decreciente en ]a, b[⇔ ∃ c, t ∈]a, b[ con c > t tal que g(c) ≥ g(t)
• g no es estrictamente creciente en ]a, b[⇔Encontramos , al menos dos números reales
, c y t siendo c > t , del intervalo ]a, b[ tal que g(c) no es menor que g(t)
6
b) Si x < x0 entonces f 0 (x0 ) ≥
f (x) − f (x0 )
x − x0
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
[x, x0 ],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0 [⊂]a, b[ tal que
=
x − x0
f 0 (c)
Así pues:
Hemos encontrado dos números reales c y x0 ∈]a, b[ tal que f 0 (x0 ) ≥ f 0 (c)
siendo x0 > c.Podemos afirmar entonces que la función f 0 no es estrictamente
decreciente.
Lo cual es absurdo; ya que está en contradición con la hipótesis de que
0
f es estrictamente decreciente en ]a, b[
Como en ambas situaciones llegamos a un absurdo. Entonces lo que
hemos supuesto es falso
Demostración de ⇐
Por ser f convexa en ]a, b[→ entonces f es convexa ∀x0 ∈]a, b[
Por lo tanto sea cual sea x0 ∈]a, b[ siempre podremos encontrar un δ > 0
(tan pequeño como queramos) tal que ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) ⊂]a, b[ siempre se verifica
que yt (x) > f (x)
Es decir que
yt (x) = f 0 (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) > f (x)
∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 } ⊂]a, b[
f 0 (x0 )(x − x0 ) > f (x) − f (x0 ) ∀x ∈ Eδ ∗ (x0 ) =]x0 − δ, x0 + δ[∼ {x0 }
Posibilidades:
a) Si x > x0 entonces f 0 (x0 ) >
f (x) − f (x0 )
x − x0
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
[x0 , x],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x0 , x[⊂]a, b[ tal que
=
x − x0
f 0 (c)
Por lo tanto:
Si x0 < c < x entonces f 0 (x0 ) > f 0 (c) con c ∈]x0 , x[
b) Si x < x0 entonces f 0 (x0 ) <
f (x) − f (x0 )
x − x0
7
Como la función f verifica las hipótesis del Teorema del Valor Medio en
f (x) − f (x0 )
=
[x, x0 ],entonces podemos afirmar que ∃c ∈]x, x0 [⊂]a, b[ tal que
x − x0
f 0 (c)
Por lo tanto:
Si x < c < x0 entonces f 0 (c) > f 0 (x0 ) con c ∈]x0 , x[
En ambos casos hemos comprobado que:
∀ x0 ∈]a, b[ siendo c 6= x0 y c ∈]a, b[ siempre se verifica )que:
entonces f 0 (x0 ) > f 0 (c)
Si x0 < c
→ f 0 es est. deSi c < x0
entonces f 0 (c) > f 0 (x0 )
creciente en ]a, b[
1.2.2
Condición suficiente de convexidad
Teorema Sea f una función continua en [a, b] y tal que f 00 (x0 ) < 0 siendo
x0 ∈]a, b[.Con estas hipótesis siempre podremos afirmar que la función
f es convexa en x0
DEMOSTRACION
Por ser f 00 (x0 ) < 0 → f 0 es est. decreciente en x0 , y por lo tanto en
virtud del teorema de caracterización de funciones convexas podemos afirmar
que f será convexa en x0
1.3
Procedimientos para determinar los intervalos de
concavidad y convexidad
Estos dos condiciones suficientes de concavidad y convexidad nos indican que
para determinar los intervalos de concavidad y convexidad de una función,
será suficiente con estudiar el signo de f 00
Exercise 1.1 Determinar los intervalos de concavidad y convexidad de las
funciones
8
x2 − 2x
x2 − 1
x−1
y=
(x + 2)2
y = x − arctan x y = x4 − x2
x+3
y = x3 − x2
y= 2
x +1
x−2
x2 − 2
y= 2
y = ln(1 − x2 ) y = 2
x +1
x +1
x3 − 1
y = x · ex
y = x2 · ex
y=
(x + 2)2
y=
1.4
Definición de punto de inflexión
Diremos que una función y = f (x) tiene en P (x0 , f(x0 )) un punto de inflexión
si en él la función pasa de ser cóncava a convexa o de convexa a cóncava
NOTA: Fíjaos que no hemos afirmado todavía nada acerca de la derivabilidad de f en x0 (así pues, puede ser o no derivable)
1.4.1
Clasificación puntos de inflexión
— Pto inflexi. convexo-cóncavo de tangente no horizontal
— Pto inflexi. cóncavo-convexo de tangente no horizontal
— Pto inflexi. convexo-cóncavo de tangente horizontal
— Pto inflexi. cóncavo-convexo de tangente horizontal
— Pto inflexi. convexo-cóncavo no derivable
— Pto inflexi. cóncavo-cconvexo no derivable
1.4.2
Condición necesaria para la determinación de punto de inflexión
Sea f una f unción continua en [a, b]
Teorema Sea x0 ∈]a, b[ / ∃ f 00 (x0 )
Sea P (x0 , f (x0 )) un punto de inf lexión





=⇒ f 00 (x0 ) = 0
DEMOSTRACION
Por el método de reducción al absurdo.Supongamos que f 00 (x0 ) 6= 0;entonces
sólo se pueden presentar las siguientes situaciones .f 00 (x0 ) > 0 o que f
00
(x0 ) < 0
Posibilidades:
9
1) Si f 00 (x0 ) > 0 la función será cóncava en x0
2) Si f 00 (x0 ) < 0 la función será convexa en x0
En ambos casos obtenemos una contradicción con la hipotésis de quef
tiene en x0 un pto de inflex. Por lo tanto lo que hemos supuesto es falso.
Así pues, en toda función que verifique las hipótesis dadas, siempre se
verificará que f 00 (x0 ) = 0
NOTA: El recíproco de este teorema no es cierto, ya que existen funciones
cuya segunda derivada en un punto es nula y sin embargo no es un punto de
inflexión. Por ejemplo y = x4 en x = 0 verifica que f 00 (0) = 0 y en P (0, 0)
tiene un mínimo local
1.4.3
Condiciones suficientes puntos de inflexión
A) CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA TEOREMA A1 

Sea f continua en [a, b]





Sea x0 ∈ ]a, b[

00
Si ∃h > 0 / ∀x ∈]x0 − h, x0 + h[⊂]a, b[ existe f (x) salvo quizás en x0
→



f 00 (x) < 0 ∀x ∈]x0 − h, x0 [(convex. a la izq. de x0 )




f 00 (x) > 0 ∀x ∈]x0 , x0 + h[ (cóncav. a la der. de x0 )
P (x0 , f (x0 )) es un punto de inflexión convexo-cóncavo
TEOREMA A2


Sea f continua en [a, b]





Sea x0 ∈ ]a, b[

00
Si ∃h > 0 / ∀x ∈]x0 − h, x0 + h[⊂]a, b[ existe f (x) salvo quizás en x0
→


00

f (x) > 0 ∀x ∈]x0 − h, x0 [(cóncav. a la izq. de x0 )




f 00 (x) < 0 ∀x ∈]x0 , x0 + h[ (convex. a la der. de x0 )
P (x0 , f (x0 )) es un punto de inflexión cóncavo-convexo
COMENTARIO: Estos dos teoremas A1,A2 nos aseguran que en aquellos
puntos de continuidad en los que cambie el signo de la segunda derivada habrá
un pto de inflexión siempre que la función sea continua en dicho punto(si la
función pasa de ser cóncava a convexa ó de convexa a cóncava)
B) CRITERIO DE LA TERCERA DERIVADA TEOREMA B1

Sea f continua en [a, b] 



Sea x0 ∈ ]a, b[
→ P (x0 , f (x0 )) es un punto de inflexión
00

Si f (x0 ) = 0



f 000 (x0 ) 6= 0
Demostración
10
Si llamamos F (x) = f 00 (x), entonces F 0 (x) = f 000 (x)
Partimos de la hipótesis de que f 000 (x0 ) 6= 0; → F 0 (x0 ) 6= 0 , por lo tanto
sólo se pueden presentar dos posibilidades ó F 0 (x0 ) > 0 ó F 0 (x0 ) < 0
Veamos que ocurriría si F 0 (x0 ) > 0 (1a Posibi)
Por ser F 0 (x0 ) > 0 →F es estrictamente creciente en x0 ,entonces ∃h > 0
/ ∀ ∈ ]x0 − h, x0 + h[⊂ ]a, b[ se verifica que :
a) Si x < x0 → f 00 (x)=F (x) < F (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 (es decir f 00 (x) < 0)
la función es convexa a la izquierda de x0
b) Si x > x0 → f 00 (x)=F (x) > F (x0 ) = f 00 (x0 ) = 0 (es decir f 00 (x) < 0)
la función es cóncava a la derecha de x0
Por lo tanto en virtud del teorema A1 , la función presenta en x0 un pto
de inflexión
Razona tú, que ocurriría en la 2a Posibil.
Procedimiento para calcular puntos de inflexión
Este teorema B1 nos permite enunciar el siguiente método para determinar los ptos de inflexión de una función
1) Se calcula la primera derivada
2) Se calcula la segunda derivada
3) Los valores que anulan la derivada segunda serán los posibles ptos de
inflexión. Sea x0 uno de ellos
4) Calculamos la 3a derivada y sustituimos dicho punto x0 en ella
Casos
a) Si f 000 (x0 ) 6= 0 → P (x0 , f (x0 )) Pto de inflex.
c) Si f 000 (x0 ) = 0 , entonces tendremos que recurrir al estudio del signo
de la derivada segunda, a la derecha y a la izquierda de dicho punto
Exercise 1.2 Determinar los ptos de inflexión de las funciones siguientes:
y = x5 − 5x4
x−1
y=
(x + 2)2
y = x3 − 3x2 y = x4 − x2
x+3
y= 2
y = x3 − x2 − x
x +1
x−2
x2 − 2
y = ln(1 − x2 ) y = 2
y= 2
x +1
x +1
x3 − 1
x
2
x
y =x·e
y =x ·e
y=
(x + 2)2
Nota :El recíproco de estos teoremas A1, A2 y B1 no es cierto, ya que
existen funciones que tienen ptos de inflex. en algún pto y sin embargo en él
no son derivables
11
√
Ejemplo1: La funcion y = 3x + 3 x − 2 tiene un punto de inflexión en
x = 2 y sin embargo no es derivable
en
¯
¯ él (Compruébalo)
¯ x ¯
¯ tiene un punto de inflexión en x = 0
Ejemplo2: La funcion y = ¯¯
x − 2¯
y sin embargo no es derivable en él (Mira la gráfica ) Nota: En dicho punto
también tenemos un mínimo local y absoluto
8
6
4
2
-4
-2
00
12
2
x
4