Conductores óhmicos - Universidad de Sevilla

Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
Tema 6: Conductores óhmicos
1. Ley de Ohm: Modelo del gas de electrones de Drude. Conductividad.
2. Corriente estacionaria: Problemas de potencial en conductores. Concepto de resistencia.
Potencia disipada en un conductor (efecto Joule). Generadores.
3. Inducción en espiras conductoras: Regla del flujo. Coeficientes de inducción. Fórmula de
Neumann. Ecuaciones de evolución para un sistema de espiras fijas. Energı́a almacenada en un
conjunto de espiras.
4. Fundamentación de la Teorı́a de Circuitos: Leyes de Kirchhoff para circuitos estacionarios.
Análisis de mallas. Asociación de resistencias. Corrientes variables. Relación I–V de elementos
simples. Regı́menes transitorio y permanente. Concepto de impedancia. Generalización de las
leyes de Kirchhoff.
6.1.
Ley de Ohm
El carácter conductor de una sustancia viene determinado fundamentalmente por la densidad
de portadores de carga. Para poner de manifiesto esta relación vamos a proponer un modelo fı́sico
muy sencillo debido a Drude. Supongamos que existen s especies de portadores en un material,
cada una portando una carga qi y con una densidad de partı́culas por unidad de volumen dada por
sobre una partı́cula serı́a incrementar
ni . El efecto de un campo de fuerzas por unidad de carga E
su velocidad indefinidamente, pero esto no es lo que se observa en la práctica en el seno de un
conductor, sino que los portadores adquieren en promedio una velocidad constante en la dirección
del campo aplicado. Este hecho experimental se explica por la interacción de las cargas libres con
otras partı́culas presentes en el material. Si entendemos esta interacción como un rozamiento (lo
cual es simplemente un modelo fı́sico propuesto), podremos escribir
mi
dvi
− γivi ,
= qi E
dt
donde mi es la masa de la partı́cula y γi es el coeficiente de rozamiento con el medio. La solución
a este problema dinámico es bien conocida y en efecto da lugar a una relajación exponencial a
una velocidad lı́mite vi,∞ :
vi (t) = vi,∞ (1 − e−t/τi );
τi =
mi
;
γi
vi,∞ =
qi E.
γi
El tiempo que tarda la partı́cula en adquirir una velocidad constante viene estimado por el tiempo
de relajación τi , que suele ser muy pequeño en comparación con las escalas tı́picas de fenómenos
macroscópicos. En realidad τi juega un papel más importante que la propia constante de rozamiento, puesto que tiene un significado fı́sico más cercano a la realidad (promedio estadı́stico del
tiempo entre colisiones de la partı́cula con otras del material), pero no entraremos en un análisis
microscópico riguroso.
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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Recordando la definición de densidad de corriente dada en el segundo capı́tulo llegamos a
jf =
s
qi nivi,∞ =
i=1
s
qi ni
i=1
s
qi qi2 ni τi E =
E,
γi
i=1 mi
donde el subı́ndice “f” especifica que estamos considerando corrientes de carga libre (existen
corrientes asociadas a las cargas ligadas que se estudiarán más adelante). Esta ecuación puede
escribirse finalmente
jf = σ E
con
σ=
s
qi2 ni τi
i=1
mi
,
que recibe el nombre de ley de Ohm. A la constante de proporcionalidad σ se la denomina
conductividad del medio. La fórmula que la define es una expresión aproximada, válida sólo en
ciertas circunstancias. La unidad en el sistema internacional es el siemens/metro (S/m), siendo el
siemens (A/V) la unidad de conductancia, que se verá más adelante.
La ley de Ohm debe entenderse como un resultado fenomenológico que explica el comportamiento
de muchos materiales en relación con el transporte de carga al ser sometidos a un campo. En otras
palabras, no tiene un carácter universal como el de las ecuaciones de Maxwell en el vacı́o. Una ley
de este tipo se denomina relación constitutiva. A los materiales que verifican esta ley, y para
los que por tanto se puede definir una conductividad, se les denomina medios óhmicos.
La conductividad es el parámetro que determina el carácter conductor o aislante de una gran
cantidad de sustancias. Se trata de una cantidad siempre positiva y proporcional a la densidad de
portadores. También es usual el manejo de la resistividad, o inverso de la conductividad, medido
en el S.I. en V · m/A. En la tabla que sigue puede verse su enorme rango de variación de unas
sustancias a otras:
Material
Resistividad (V·m/A)
Aluminio
2,65 · 10−8
Cobre
1,67 · 10−8
Oro
2,35 · 10−8
Hierro
9,71 · 10−8
Nı́quel
6,84 · 10−8
Plata
1,59 · 10−8
Mercurio
95,8 · 10−8
Constantán (Cu 60 %, Ni 40 %)
49,0 · 10−8
Germanio (puro)
0,46
Grafito
1,4 · 10−5
Agua saturada de sal
0,044
Óxido de aluminio
1 · 1014
Vidrio
1010 − 1014
Cuarzo
1 · 1014
Azufre
2 · 1015
Madera
108 − 1011
Es conveniente insistir en que la existencia de corriente en el medio no implica que haya carga
neta en él. Por ejemplo, en metales que aportan un electrón por átomo a la banda de conducción,
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los portadores de carga son dichos electrones, con carga −e, densidad n− y velocidad v− , pero
existe una red de partı́culas con carga positiva en posiciones fijas, con carga e densidad n+ , de tal
manera que j = −en−v− = 0 pero ρ = e(n+ − n− ) = 0.
En general la conductividad depende de la posición dentro de un material (σ = σ(r)) puesto
que puede haber inhomogeneidad en su composición quı́mica, densidad y/o temperatura, lo cual
afecta a los parámetros microscópicos que intervienen en la fórmula para σ.
En el modelo microscópico analizado anteriormente hemos considerado un campo de fuerzas por
unidad de carga de manera general. Esto incluye como caso particular, aunque bastante habitual,
los campos puramente eléctricos, pero no deben excluirse campos de otra naturaleza (fuerzas
mecánicas, quı́micas, etc.). Estas fuerzas actúan por ejemplo en el interior de los generadores de
corriente (pilas, dinamos) y en los motores eléctricos. De hecho veremos que para que se establezca
un circuito de corriente es necesario que en algún punto del mismo existan fuerzas de origen no
electrostático que bombeen los portadores. En cambio debemos omitir el efecto eventual del campo
magnético sobre la dinámica de los portadores. Esto se justifica en la mayorı́a de los casos (pero
no siempre) porque la velocidad media de los portadores suele ser pequeña, y la fuerza magnética
<< |E|).
En caso contrario la resolución dada no serı́a
se desprecia frente a la eléctrica (|v × B|
correcta por haber un término más que depende de la velocidad.
Ejemplo: Efecto Hall
Una situación en la que se aplica un campo magnético sobre un medio conductor es en experiencias encaminadas
a determinar el signo de las cargas que se están moviendo por el material. En la figura observamos una placa
conductora de grosor d, por la que fluye una corriente de intensidad I. En el caso (a) los portadores son positivos y
se mueven hacia la derecha; en el caso (b) los portadores son negativos y se mueven hacia la izquierda, resultando
el mismo sentido para la corriente. Por efecto del campo magnético las cargas, positivas o negativas, son desviadas
Esto induce una acumulación de cargas de signos opuestos en las caras
hacia abajo por la fuerza FB = qv × B.
horizontales de la placa, que a su vez originan un campo eléctrico vertical. Se alcanzará una situación de equilibrio
compense exactamente la fuerza magnética. El campo eléctrico
en la que la fuerza de este nuevo campo, FE = q E,
= −v × B,
que da lugar a una diferencia de potencial medible entre ambas caras de la placa. El
será entonces E
signo de la tensión determina el signo de la carga que fluye. La velocidad de la carga también puede ser obtenida
como v = E/B.
- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- --- - - - - - - - - - - - ------------------------ I
+ v
B
V
F
E
(a)
++++++++++++
V
+++++++++++
++++++++++++++++++++++
+++++++++++
+++++++++++ I
v B
F E
(b)
- - - - - - - - - - - -
Alternativamente, si conocemos la velocidad de los portadores, el dispositivo descrito permite obtener la intensidad
del campo magnético aplicado (sonda Hall).
6.2.
Corriente estacionaria
En el capı́tulo anterior nos hemos dedicado al estudio de la Electrostática de conductores, caracterizados por una situación de equilibrio. Si entre dos regiones de un cuerpo conductor se establece una diferencia de potencial permanente mediante un generador, el régimen debe ser distinto
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(recordemos que una de las consecuencias naturales del equilibrio es el carácter equipotencial de
la pieza conductora). Debemos admitir la aparición de una distribución de corriente en el volumen
conductor. Sin embargo, nuevamente tras un periodo transitorio, es de esperar que este nuevo
régimen sea también independiente del tiempo, puesto que el agente que provoca las corrientes (la
diferencia de potencial) es constante en el tiempo. En lo que sigue nos ocuparemos de caracterizar
un régimen de corrientes constantes en el tiempo en medios óhmicos, que entra ya en el dominio
de lo que se conoce como Electrocinética. Este análisis nos conducirá al concepto de resistencia.
• Problemas de potencial en conductores
El problema matemático se plantea a partir de las ecuaciones que rigen los fenómenos estacionarios en medios óhmicos:
×E
= 0;
· j = 0;
∇
∇
j = σ E.
= −∇V
, la ecuación que se obtiene
Escribiendo el campo eléctrico en función de un potencial, E
es
· (σ ∇V
) = 0,
∇
que se reduce a la ecuación de Laplace para medios homogéneos e isótropos.
Las condiciones de contorno que se deben aplicar en la superficie de separación entre dos
regiones con distintas propiedades de conducción son dos:
(i) Continuidad de la componente tangencial del campo eléctrico en cualquier superficie,
=0
n × E
⇒
E1t = E2t ,
siendo los subı́ndices indicativos de cada medio.
(ii) Conservación de la carga almacenada en la superficie en régimen estacionario, particularizada
para una situación sin corrientes superficiales jS (ver tema 2),
n · [j] = 0
⇒
j1n = j2n .
Según estas condiciones, entre dos medios con distinta conductividad se produce un cambio en
la dirección del campo eléctrico y, consecuentemente, de la densidad de corriente. En efecto, se
cumple a la vez E1t = E2t y σ1 E1n = σ2 E2n ; si θ1 y θ2 son los ángulos que forma la normal con los
campos a un lado y a otro de la frontera, se tendrá, dividiendo miembro a miembro y teniendo en
cuenta que Et /En es la tangente del ángulo definido en cada medio,
tan θ2
tan θ1
=
.
σ1
σ2
E1
θ2
θ1
n
σ1
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E2
σ2
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Según esta fórmula, la corriente se hace más perpendicular a la superficie de separación en el
medio de menor conductividad, tanto más cuanto mayor sea la razón entre conductividades.
Una vez que hemos descrito cómo se plantea un problema de corriente estacionaria en un medio
óhmico, cabe preguntarse qué papel juega en todo esto la ley de Gauss, que en el tema anterior
era fundamental y aquı́ aún no se ha mencionado. La respuesta es que la ley de Gauss sólo sirve
para, una vez resuelto el problema de potencial, obtener la densidad de carga en cada punto del
r ) y aplicamos
medio óhmico. En efecto, conocido V (r), hallamos E(
· E.
ρ = 0 ∇
Este papel secundario refleja el peculiar comportamiento del medio óhmico, en el que la mobilidad
de las cargas libres permite el ajuste de la distribución de carga de manera consistente con las
otras leyes manejadas, que son las que en realidad determinan la distribución del campo.
• Concepto de resistencia
Dada una pieza de un material óhmico sobre la que dos electrodos hacen contacto en superficies
S1 y S2 , definimos su resistencia como la razón entre la diferencia de potencial aplicada entre
ambos electrodos y la intensidad que fluye a la pieza desde el electrodo a mayor potencial.
Según la nomenclatura de la figura, la resistencia es
R=
V1 − V2
.
I
I
S2
n
V2
s(r)
V1
I
S1
S3
s=0
La resistencia se mide en el sistema internacional en ohmios (Ω), equivalente a un voltio/amperio.
Su inverso se denomina conductancia: G = 1/R, y la unidad correspondiente es el siemens, como
ya adelantamos.
Vamos a demostrar que la resistencia tiene un valor independiente de la diferencia de potencial
aplicada. La configuración que estamos analizando es un caso particular e importante de lo visto
en el apartado anterior, caracterizada por el aislamiento de una región conductora excepto en
los contactos con los electrodos. La situación permite plantear un problema cerrado, con solución
única independiente de los campos en el exterior de la pieza. Aunque no sea en absoluto necesario,
vamos a suponer que la conductividad es constante en toda la pieza conductora. Entonces el
potencial verifica la ecuación de Laplace,
∇2 V = 0.
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La resolución requiere especificar el valor de la función incógnita o el de su derivada normal en
cada punto de la superficie de la pieza3 . Las condiciones que imponemos son:
(i) En las superficies S1 y S2 los potenciales están fijados a V1 y V2 respectivamente, es decir,
V (S1 ) = V1 , V (S2 ) = V2 . Esto se consigue mediante la aplicación a dichas superficies de electrodos
conectados a los bornes de un generador. Dichos terminales deben estar hechos de un material
de conductividad σ1 mucho mayor que el de la pieza, σ2 , para asegurar que el potencial en ellos
sea uniforme, puesto que según la ley de refracción de las lı́neas de campo que hemos encontrado
se tendrá tan θ2 / tan θ1 = σ2 /σ1 << 1, con lo que la lı́nea de campo eléctrico es virtualmente
perpendicular al electrodo y estos puntos de contacto poseen un potencial muy similar.
(ii) En la superficie S3 imponemos que no hay flujo saliente de carga ni acumulación j2 · n = 0.
También se puede escribir
∂V
(S3 ) = 0.
∂n
Las condiciones anteriores son de tipo mixto, y existe un teorema de existencia y unicidad para
la solución en la región conductora. Es interesante notar que en general también existe campo
eléctrico en la región exterior al conductor, pero no necesitamos conocerlo para encontrar el campo
en el interior.
Si consideramos el problema auxiliar dado por las mismas ecuaciones en volumen y las condiciones V1 = 1 y V2 = 0, y llamamos ϕ(r) a la solución de este problema, la solución del original se
puede escribir
V (r) = (V1 − V2 )ϕ(r) + V2 .
La intensidad de corriente que atraviesa la superficie S1 hacia el interior de la pieza es
I=−
S1
=
j · dS
∂V
dS = (V1 − V2 )
σ
∂n
S1
σ
S1
V1 − V2
∂ϕ
dS =
.
∂n
R
La integral que aparece depende de la geometrı́a de la pieza, de la conductividad y de la posición
de los electrodos, pero no de la diferencia de potencial. Su inverso es lo que denominamos resistencia
de la pieza para los terminales especificados. Hay que insistir en que no puede asignarse a una
pieza conductora una resistencia sin antes especificar las conexiones a electrodos que se estén
considerando.
También es interesante notar que la intensidad que entra por la superficie S1 es la que abandona
· j = 0 se tiene
la pieza por S2 , debido a que por ser ∇
Sτ
=
j · dS
S1
jn · dS +
S2
jn · dS +
S3
jn · dS = 0
y en S3 es jn = 0.
Ejercicio: Plantéese el problema de una pieza conductora con tres electrodos a distinto potencial y obténgase una
descripción de este elemento en términos de una generalización del concepto de resistencia.
3
En el caso más general de una conductividad variable con la posición, y dado que siempre es σ > 0, el problema
planteado para el potencial es de tipo elı́ptico. Esta clase de problemas requiere el mismo tipo de condiciones de
contorno que la ecuación de Laplace.
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Ejemplo:
Calcúlese la resistencia de un hilo de un material homogéneo de conductividad σ, de sección arbitraria de área S
y de longitud d, respecto de conexiones en sus extremos.
Si elegimos z como la variable longitudinal a lo largo del hilo y x e y las variables transversales, los contactos en
las secciones de los extremos imponen condiciones de potencial fijado en cada una de ellas, es decir V (x, y, 0) = V1
y V (x, y, l) = V2 . De manera natural surge la hipótesis V (x, y, z) = V (z). Esta hipótesis es además consistente
= −∇V
= −(dV /dz)uz , y tanto E
con la condición jn = 0 en la superficie lateral del hilo, puesto que entonces E
como j = σ E van dirigidos según uz y no tienen componentes transversales. La ecuación ∇ × E = 0 ya ha sido
· j = 0, donde por nuestra hipótesis
tenida en cuenta al definir el potencial eléctrico. Falta verificar la ecuación ∇
la corriente queda simplificada a j = j(z)uz . Se escribe entonces dj/dz = 0, luego la solución propuesta debe tener
una densidad de corriente uniforme en todo el hilo: j = j0 uz .
Si I es la intensidad de corriente y ΔV la diferencia de potencial,
· dr = jx d = I d ⇒ R = ΔV = d .
ΔV = E
σ
Sσ
I
Sσ
Esta fórmula es bien conocida y establece que la resistencia de un hilo es proporcional a su longitud y al inverso
de su sección.
Es importante observar que el método de trabajo ha sido: (1) proponer una solución acorde con las condiciones
de contorno, y (2) resolver las ecuaciones. No siempre la hiótesis sencilla funciona. En tal caso tenemos que buscar
soluciones más generales y aplicar técnicas de resolución más complicadas, pero esto se sale de los objetivos de este
curso. A continuación vemos más ejemplos en los que hiótesis sencillas resuelven cada caso.
Ejemplo:
Calcúlese la resistencia de una pieza conductora de conductividad homogénea σ, con forma de sector de corona
circular, tal y como se indica en la figura, cuando se aplican electrodos muy conductores en (a) las superficies S1
y S2 ; (b) las superficies S3 y S4 .
a
S1
f0
b
S4
d0
S3
S2
(a) Si los contactos eléctricos se realizan en las superficies S1 y S2 , proponemos un potencial en coordenadas
cilı́ndricas V (r, φ, z) = V (r). De esta forma garantizamos: (i) en cada contacto el potencial toma un valor uniforme,
=
y (ii) la densidad de corriente no tiene componente normal en las caras S3 , S4 , S5 y S6 , puesto que j = −σ ∇V
j(r)ur .
· j = 0 se satisface si se cumple
Por otro lado ∇
1 ∂(rj)
= 0.
r ∂r
Como r = 0 en el conductor, debe ser rj(r) = C, con C constante. Si calculamos la corriente que pasa por una
sección caracterizada por el valor r de la coordenada radial podemos relacionar C con la intensidad que atraviesa
la pieza:
e φ0
I=
j · dS =
dz
dφrj(r) = eφ0 C.
0
S(r)
0
La densidad de corriente y el campo eléctrico quedan
j =
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I
ur ;
eφ0 r
=
E
I
ur .
σeφ0 r
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nos suministra la relación
Si la diferencia de potencial entre ambos electrodos es V0 , la circulación radial de E
intensidad–voltaje que necesitamos para hallar la resistencia:
V0 =
a
b
· dr = I ln(b/a)
E
σeφ0
→
R=
ln(b/a)
V0
=
.
I
σeφ0
(b) Si los electrodos se aplican a las superficies S3 y S4 proponemos un potencial del tipo V (φ). Campo y densidad
de corriente quedan entonces
= C(φ) uφ ,
= − 1 dV uφ , j = σ E
E
r dφ
r
donde C(φ) = −dV /dφ es una función por determinar. Ambos campos, y en particular la densidad de corriente, son
tangenciales a todas las superficies excepto las dos en las que se aplican los electrodos (donde son perpendiculares)
· j = 0 conduce a (1/r)∂jφ /∂φ = (1/r2 )dC/dφ = 0, es decir, C(φ) = C0 ,
tal y como se exige. La ecuación ∇
constante. La intensidad a través de cualquier sección definida por un valor del ángulo φ da
I=
e
0
dz
b
a
dr
C0
= eC0 ln(b/a),
r
= C0 /(σr)uφ entre electrodos a lo largo de cualquier arco de
mientras que la circulación del campo eléctrico E
circunferencia de radio r fijado conduce a
V0 =
φ0
0
rdφ
C0 φ0
C0
=
.
σr
σ
Combinando ambos resultados para eliminar C0 obtenemos
R=
V0
φ0
=
.
I
eσ ln(b/a)
Con este ejemplo se comprueba que la resistencia depende de la colocación de los electrodos.
Existe una estrecha analogı́a entre problemas de conductores en el vacı́o y en un medio conductor homogéneo ilimitado. En efecto, en ambos casos podemos definir un potencial eléctrico que
satisface la ecuación de Laplace y cuyo valor es constante en cada conductor. La distribución de
potencial entre las piezas da lugar a una distribución de corrientes en el segundo caso. Esto puede
ser utilizado como medio de obtener la capacidad de un sistema de dos conductores con cargas
opuestas a partir de la medida experimental de la resistencia al sumergir los conductores en una
cubeta amplia llena de un lı́quido conductor (ver figura).
V0
σ
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La intensidad que fluye del conductor 1 es
I1 =
S1
=σ
j · dS
S1
· dS,
E
mientras que la carga correspondiente a ese conductor en el vacı́o es
q1 = ε0
· dS,
E
S1
siendo el campo eléctrico integrado el mismo en ambos casos puesto que procede del mismo
problema de potencial. Como I1 = ΔV /R y q1 = CΔV respectivamente, se deduce que RC = ε0 /σ.
De la medida de ΔV e I mediante voltı́metro y amperı́metro obtenemos R y usando la fórmula
encontrada hallamos C. Este método es sólo aproximado puesto que la analogı́a entre ambos
problemas es rigurosamente cierta únicamente si la cubeta es ilimitada y los electrodos tienen
conductividad infinita.
• Potencia disipada en un conductor (efecto Joule)
En el tema 2 vimos que sobre una distribución de portadores de carga el campo electromagnético
realiza un trabajo por unidad de tiempo y volumen dado por la fórmula
dW
= j · E.
dτ dt
En medios óhmicos se tiene una relación lineal entre ambos vectores, con lo que la potencia
eléctrica, invertida exclusivamente en calor aportado al medio si el régimen no es variable con el
tiempo, se puede expresar
P =
2
τ
σE dτ =
τ
j2
dτ.
σ
En el caso de una pieza conductora conectada a dos electrodos a distinto potencial se tendrá
P =
τ
=−
dτj · E
=−
dτj · ∇V
· (V j),
dτ ∇
· (V j) = j · ∇V
+V∇
· j y que j es solenoidal. La integral de
donde se ha usado la identidad ∇
volumen se transforma a su vez en una de superficie usando el teorema de la divergencia, con lo
cual
P =−
V j · ndS.
Sτ
El integrando se anula en toda la superficie salvo en las regiones S1 y S2 , que están en contacto
con los electrodos, puesto que fuera de estas se cumple jn = 0. En S1 y S2 el potencial es constante
y puede salir fuera de la integral. La integral restante se puede escribir
P = −V1
S1
jn dS − V2
S2
jn dS = I(V1 − V2 ),
dado que la integral sobre S2 es la intensidad que abandona la pieza, y coincide con el opuesto de
la integral sobre S1 .
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Usando el concepto de resistencia se llega a la equivalencia de las siguientes fórmulas:
P = IΔV =
ΔV 2
= I 2 R.
R
Ejercicio: Aplicación del teorema de Poynting
Recordemos el teorema de Poynting, establecido en el tema 2:
d
· dS.
P
− j · E dτ =
(uE + uB ) dτ +
dt τ
τ
Sτ
Podemos aplicar el teorema de Poynting a una porción de hilo recto y obtener de forma alternativa a lo anterior
la potencia disipada en calor. El campo eléctrico E = V /d (d longitud del tramo a potencial V ) es uniforme y
constante en el interior, por lo que la densidad de energı́a eléctrica es también constante uE = 0 E 2 /2. El campo
magnético producido, tanto dentro como fuera, por la distribución de corriente fue calculado en el tema 3. Teniendo
en cuenta que j = σE = I/(πR2 ), siendo R el radio del hilo, escribimos aquel resultado eliminando I:
⎧
μ σEr
⎪
⎨ 0
uφ
(interior)
2 2
=
B
⎪
⎩ μ0 σER uφ (exterior)
2r
2
La densidad de energı́a magnética será uB = μ0 Bint
/2, también constante. En el teorema de Poynting manejamos
las derivadas temporales de estas energı́as, que resultan ser cero. El trabajo por unidad de tiempo realizado por
las fuerzas electromagnéticas debe ser opuesto entonces al flujo del vector de Poynting a través de las fronteras del
elemento tomado. El cálculo es
1 · dS
=
· dS.
P
(E × B)
μ
∂τ
∂τ 0
El producto vectorial da un vector radial y entrante en el elemento, de módulo μ0 σE 2 R/2 al ser evaluado en la
superficie lateral (r = R). En las tapaderas el vector de Poynting es paralelo a la superficie y no hay contribución
al flujo. El resultado final es −(σE 2 R/2)2πRd = −(σEπR)(Ed) = −IV . Su opuesto coincide con el resultado ya
obtenido. Las fuerzas electromagnéticas realiza un trabajo positivo que se transforma en calor.
Resulta paradójico que el tramo de conductor reciba un flujo de energı́a a través de su superficie lateral, cuando
lo intuitivo es suponer que lo recibe a través de una sección (lo mismo que la carga). Esto no obstante nos dice
simplemente que la magnitud importante no es el vector de Poynting, sino su integración sobre una superficie
le sumamos un campo solenoidal arbitrario el teorema de Poynting no cambia, pero sı́ el
cerrada (nótese que si a P
propio campo).
• Generadores. Concepto de fuerza electromotriz
Hemos aludido con frecuencia a los generadores como dispositivos capaces de (i) mantener una
pieza conductora a un potencial dado, y (ii) establecer un régimen de corriente. Es tiempo ya de
caracterizarlos con más detalle.
Un generador es un dispositivo en cuyo interior los portadores de carga libre se ven sometidos
a fuerzas de origen no electrostático, dando lugar a separación de carga. Estas fuerzas pueden
ser mecánicas, como ocurre en el generador de Van der Graaf, en el que las cargas se separan
al ser depositadas en una cinta móvil aislante, o en las centrales eléctricas, en las que un fluido
en movimiento actúa sobre un sistema rotante (dinamo) en presencia de un campo magnético; o
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pueden ser quı́micas, como es el caso de las pilas, en las que la separación de carga se produce
por la existencia de especies de distinto potencial quı́mico.
Sea cual sea el mecanismo fı́sico responsable, el generador se caracteriza por ser capaz de producir
una separación de cargas libres en su interior, y por tanto de establecer una diferencia de potencial
entre sus extremos, llamados bornes. Si la fuerza que actúa sobre cada portador es f, se tendrá un
siendo e la carga de un portador. Este campo produce
= f/e,
campo no electrostático dado por E
una fuerza electromotriz
B
ε=
A,γi
· dr,
E
siendo A y B los puntos extremos correspondientes a los bornes del generador (ver figura). El
camino γi es interior.
generador
A-
gi
E
B
E’ +
+
+
+
circuito
ge
El significado fı́sico de ε no debe confundirse con un trabajo por unidad de carga realizado sobre
un sólo portador, puesto que en un instante determinado se integra sobre distintos portadores
distribuidos a lo largo del circuito. Es más bien la suma de trabajos elementales por unidad de
carga realizados en el circuito.
, se
Dado que se produce una separación de carga por la acción del campo no electrostático E
debido a estas distribuciones. Entre los
establece en todo el espacio un campo electrostático E
puntos A y B, podemos expresar la diferencia de potencial tomando caminos internos o externo
al generador:
B
B
· dr
E · dr = −
E
VB − VA = −
A,γe
A,γi
puesto que al tratarse de un campo electrostático hay independencia respecto del camino elegido.
Por otro lado si el generador se comporta como un medio óhmico se tendrá dentro de él
+E
)
j = σ(E
.
= j − E
E
σ
⇒
Sustituyendo en la ecuación anterior se tiene
VB − VA = −
B j
A,γi
σ
−E
· dr = −IRg + ε
siendo I la intensidad que lo atraviesa de A a B y Rg su resistencia interna. Si el generador
está conectado a una resistencia R también se tendrá VB − VA = IR, con lo que la intensidad que
atraviesa el circuito cumple la ecuación ε = I(R + Rg ).
Tema 6: Conductores ohmı́cos
11
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
En conclusión, hay dos parámetros que caracterizan a un generador: su fuerza electromotriz y
su resistencia interna. La diferencia de potencial capaz de establecer entre sus bornes depende
linealmente de la intensidad que lo recorre. Si no pasa intensidad la diferencia de potencial es ε.
Si la resistencia interna es despreciable se dice que el generador es ideal, y la tensión entre bornes
es constante.
Es necesario tener presente que el modelo de generador presentado aquı́ descansa en la suposición
de que se trata de un medio óhmico, lo cual en muchos casos no es cierto. Sin embargo la conclusión
fundamental de que la diferencia de potencial entre bornes es lineal con la intensidad se aplica
a muchos generadores que no cumplen localmente la ley de Ohm. En tales casos aún podemos
caracterizar el dispositivo mediante los parámetros ε y Rg .
En todo lo anterior estamos suponiendo que las cargas separadas en el generador varı́an lentamente y nos encontramos en un régimen cuasiestático. En otro caso debemos hablar más bien de
un emisor de radiación, para el cual no es posible definir una diferencia de potencial entre bornes.
Ejemplo: Generador homopolar.
Un generador de corriente continua puede ser construido con una pieza conductora en forma de corona circular de
radios interior y exterior a y b respectivamente, y de espesor d, que gira con velocidad angular ω respecto del eje
0 dirigido según
central y se encuentra en una región en la que existe un campo magnético uniforme y constante B
dicho eje. La conductividad del material es σ. Obténganse los parámetros que caracterizan a este generador.
B0
w
v
-
r
b
a
d
+
Los parámetros son su fuerza electromotriz y su resistencia interna. Los portadores de carga libre están en
movimiento de giro uniforme, por lo que su velocidad será v = ω × r. La fuerza electromotriz procede del bombeo
de carga que desde el radio interior al exterior produce la fuerza magnética. Según la fórmula de Lorentz, la fuerza
= ωrB0 ur .
y por tanto la fuerza por unidad de carga, E
= v × B
sobre un portador de carga es f = qv × B,
Integrando desde el radio interior al exterior,
b
· dr = ωB0 (b2 − a2 ).
E
ε=
2
a
El otro parámetro es la resistencia interna del disco que actúa como generador. Esta geometrı́a ya ha sido
analizada, de forma más general, en un ejemplo anterior (aquı́ el ángulo serı́a φ0 = 2π); por tanto escribimos
directamente aquella solución:
ln(b/a)
.
Rg =
2πσd
6.3.
Inducción en espiras conductoras
Hasta ahora nos hemos ocupado de los fenómenos puramente eléctricos que tienen lugar en
presencia de conductores, con particular énfasis en situaciones independientes del tiempo. A conTema 6: Conductores ohmı́cos
12
Campos Electromagnéticos. 2◦ Ingenieros Industriales. Universidad de Sevilla
tinuación abordamos el análisis de fenómenos magnéticos en presencia de conductores. Un primer
ejemplo de efecto de un campo magnético sobre un medio conductor nos lo ha ofrecido el generador homopolar, que se basa en la existencia de una fuerza magnética sobre los portadores de
carga libre cuando éstos se ponen en movimiento de giro. Como hemos visto, la fuerza sobre cada
portador viene dada por la fórmula de Lorentz. El resultado ha sido la aparición de una fuerza
electromotriz, de manera que si conectáramos los extremos de una espira conductora entre las
caras interior y exterior del anillo conductor, se establecerı́a una corriente.
Otro ejemplo basado en el mismo principio consiste en un circuito formado por una espira
conductora abierta, con forma de “U”, en reposo, y una barra también conductora, que hace
contacto en los dos brazos de la “U” y se mueve con velocidad v (ver figura). Hay un campo
magnético uniforme perpendicular al plano que contiene al circuito.
B
L
v
x
=
Los portadores de carga de la barra móvil sufren una fuerza de Lorentz de valor F = qv × B
qvBut , donde ut es un vector tangente a la barra orientado según la resultante del producto
vectorial. La f.e.m. inducida en la barra, que tiene longitud L, será ε = 0L (F /q) · dr = vBL.
Podemos decir que, en general, en una distribución de corriente definida en un medio que se
mueve o se deforma en presencia de un campo magnético, como en los ejemplos, se induce una
fuerza electromotriz. Esta conclusión se extiende a medios que no se mueven ni se deforman cuando
el campo magnético varı́a con el tiempo, como veremos a continuación.
En efecto, según se estableció en el tema 2, la forma integral de la ley de Faraday es
· dr = − d
E
dt
γS
· dS
= − dΦ ,
B
dt
S
· dS
el flujo magnético a través de
siendo γS cualquier lı́nea cerrada en el espacio y Φ = S B
cualquier superficie S que se apoye en la lı́nea. La expresión anterior tiene un significado fı́sico
especial cuando se aplica a circuitos de corriente, y no a una lı́nea arbitraria γS , puesto que entonces
el primer miembro es la fuerza electromotriz que actúa sobre los portadores de carga debida a la
existencia de un flujo magnético variable. La ley de Faraday ası́ aplicada se conoce como la regla
del flujo. Dicho flujo puede variar indistintamente: (a) porque el campo magnético sea variable
en el tiempo, (b) porque el circuito sea móvil y/o deformable, y (c) por ambas causas a la vez. El
ejemplo de la espira en “U” verifica la regla del flujo, puesto que Φ(t) = BS(t) = BLx(t) y por
tanto dΦ/dt = BL(dx/dt) = BLv, que coincide con lo obtenido mediante la definición de fuerza
electromotriz4 .
4
Puede sorprender cómo dos leyes independientes, como son la fuerza de Lorentz y la ley de Faraday, conducen a
un mismo resultado: la regla del flujo. Sin embargo, la validez de los postulados del electromagnetismo en cualquier
sistema de referencia inercial está detrás de esta coincidencia.
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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Ejemplo: Campo variable; espira fija.
Un rotor cilı́ndrico alimentado por una corriente trifásica produce en su interior un campo magnético aproximadamente uniforme en su eje, pero que gira con frecuencia constante en torno a éste. ¿Qué f.e.m. se induce en una
espira introducida en el rotor con uno de sus lados paralelos al eje del cilindro?
Caracterizamos el campo magnético establecido dentro del rotor, con eje según uz mediante la fórmula
r , t) = B0 (cos(ωt)ux + sen(ωt)uy ),
B(
y la espira la tomamos con lados a y b y vector normal en la dirección de uy . Con ninguna de estas suposiciones se
pierde generalidad en el problema, puesto que cualquier otra orientación relativa entre campo y espira equivale a
cambiar de origen de tiempos. El flujo magnético a través de la espira resulta
=
B(t)
· dS
Φ=
B0 sen(ωt)dS = B0 ab sen(ωt).
S
S
La f.e.m. originada en la espira es
dΦ
= −abωB0 cos(ωt).
dt
Es muy interesante observar cómo esta f.e.m. produce siempre una corriente en un sentido tal, que el campo
magnético asociado a ella produce un flujo que se opone a la variación de flujo ocurrida en la espira (compruébese
en el ejemplo). En otras palabras, el flujo se resiste a cambiar. Esto es general y se conoce como ley de Lenz.
ε=−
Ejemplo: Campo constante; espira variable.
Una espira rectangular de área S gira con velocidad uniforme ω en torno a un eje central coplanario, en el seno
0 , uniforme y constante, perpendicular al eje de giro. ¿Cuál es la f.e.m. de origen
de un campo magnético B
electromagnético?
B0
n
a(t)
w
0.
El flujo magnético depende de la orientación relativa entre el vector normal a la superficie n y el campo B
Ambos forman un ángulo α(t) = ωt + α0 . Por tanto
· dS
= B0 S cos(ωt + α0 ).
B
Φ(t) =
S
La f.e.m. será entonces
εem = −
Tema 6: Conductores ohmı́cos
dΦ
= B0 Sω sen(ωt + α0 ).
dt
14
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Estos dos casos idealizan la forma habitual de obtener corriente alterna a partir de la energı́a mecánica (salto de
agua, centrales térmicas), que consiste en poner en movimiento relativo de giro una espira (o mejor un bobinado)
en presencia de un campo magnético producido por potentes imanes.
Ejemplo:
Una barra conductora de longitud L gira con velocidad constante ω en torno a uno de sus extremos, según un eje
que
perpendicular a la misma. La barra está situada en el seno de un campo magnético constante y uniforme B,
apunta en la misma dirección que ω. Hállese la diferencia de potencial creada entre los extremos O y P.
w
B
O
a(t)
P
Q
Debemos encontrar la fuerza electromotriz que establece la separación de cargas en la barra. Por tratarse de un
circuito abierto esta f.e.m. coincide con la d.d.p. que se mide entre sus extremos: VP − VO = ε. Podemos hacer el
cálculo de dos maneras, aunque una de ellas resulta un poco sorprendente.
En primer lugar aplicamos la definición de f.e.m., teniendo en cuenta que la fuerza que actúa sobre los portadores
de carga es
= q(ω × r) × B
= qωrBur .
F = qv × B
Por tanto,
ε=
P
O
(F /q) · dr =
L
0
ωBrdr = ωBL2 /2.
Una segunda opción es aplicar la regla del flujo, aunque se nos plantea la duda de cuál es el circuito sobre el que
hay que definir la superficie de aplicación. Hay que recordar que dicha regla es consecuencia de la ley de Faraday
en forma integral, y que por tanto no es necesario que exista un circuito material, sino cualquier lı́nea cerrada
sobre la cual hacer circular el campo eléctrico. Tomamos pues una lı́nea como la indicada en la figura, que en
parte es material (tramo PO) y en parte es ficticia y arbitraria (tramos OQ y QP). Un elemento de superficie es
= rdr dφuz . El flujo del campo magnético es
dS
Φ=
· dS
=B
B
0
L
rdr
0
α(t)
dφ =
1
BL2 α(t).
2
Por tanto,
dα
dΦ
= − BL2 /2 = −ωBL2 /2 = VO − VP .
dt
dt
El resultado es independiente de cómo elegimos los tramos ficticios. Nótese también que la circulación del campo
eléctrico implı́cita en la regla del flujo, compatible con la orientación de los elementos de superficie según la regla
de la mano derecha, hace que la diferencia de potencial calculada sea la opuesta a la del primer método, lo cual
resulta congruente.
ε=−
Existe un tercer método, consistente en calcular el campo eléctrico que mide un observador que se mueve con
cada elemento del circuito, y calcular su circulación. El campo local medido serı́a, según vimos en el tema 2
+ v × B
= v × B.
Este cálculo coincide con el del primer método.
= E
(transformación de los campos) E
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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• Coeficientes de inducción. Fórmula de Neumann.
Existe una configuración de conductores de especial relevancia por su amplio uso tecnológico. Se
trata de los sistemas de espiras conductoras. En la figura se muestra una situación general de
n espiras de resistencia Ri alimentadas por generadores que suministran fuerzas electromotrices
εi (t).
I2(t)
ε2(t)
R1
ε1(t)
I1(t)
R2
In(t)
Rn
εn(t)
El problema que nos planteamos es analizar el régimen de corriente que se establece en cada una
de las espiras. El agente motor de los portadores de carga en cada espira será en general la f.e.m.
del generador correspondiente, pero hay que tener en cuenta una fuerza electromotriz debida a la
variación del flujo magnético total a través de cada espira. Para evaluarlas es conveniente introducir
unas nuevas magnitudes, denominadas coeficientes de inducción. En el sistema de la figura tenemos
intensidades Ii , con i = 1, 2, . . . , n que recorren las espiras descritas por los contornos γi . Cada
i = ∇
×A
i , con A
i el potencial vector magnético asociado a la espira
espira produce un campo B
i-ésima, que está dado por
dr1
μ0 Ii
Ai (r) =
.
4π γi |r − r1 |
El campo total en todo el espacio será
=
B
n
i =
B
i=1
n
×A
i
∇
i=1
y su flujo a través de la espira j-ésima es
Φj =
Sj
· dS
=
B
n i=1 Sj
×A
i ) · dS
=
(∇
n i=1 γj
i · dr,
A
donde en el último paso hemos hecho uso del teorema de Stokes. Sustituyendo la expresión para
i resulta
A
n
μ0 dri · drj
Ii
Φj =
4π i=1
rj − ri |
γj γi |
(para mayor claridad en la notación se ha hecho explı́cita con un subı́ndice la pertenencia de cada
variable de integración a la espira correspondiente).
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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El hecho fundamental que pone de manifiesto la fórmula anterior es que existe una relación lineal
entre los flujos a través de las espiras y las intensidades que las recorren. El flujo depende no sólo
de la propia intensidad, sino de todas las intensidades existentes en el sistema de espiras. Podemos
escribir la fórmula anterior como
Φj =
n
Lji Ii
i=1
donde se definen los coeficientes de inducción mediante la denominada fórmula de Neumann:
Lji =
μ0
4π
γj
γi
dri · drj
= Lij
|ri − rj |
(es evidente por su definición que se trata de coeficientes simétricos en los ı́ndices). Se trata de una
serie de magnitudes puramente geométricas, que dependen exclusivamente de cada par de espiras
involucradas en la fórmula. La unidad de los coeficientes de inducción en el Sistema Internacional
es el henrio (H); se tiene que 1 H = 1 Wb/A.
La fórmula de Neumann permite el cálculo de los coeficientes de inducción mutua (Lij con
i = j), pero diverge cuando se trata de los coeficientes de autoinducción (Lii ), puesto que en
tal caso el integrando presenta singularidades por coincidir los dos caminos de integración.
Al igual que existe linealidad entre cargas y potenciales en sistemas de conductores en equilibrio
electrostático se tiene ahora linealidad entre flujos e intensidades en un sistema de espiras conductoras. Siguiendo esa analogı́a, podemos construir una matriz simétrica, denominada matriz de
inducción, cuyos elementos serı́an los coeficientes Lij .
Ejemplo:
Obténganse los coeficientes de autoinducción de (a) un solenoide toroidal de sección rectangular y (b) un solenoide
recto.
En el tema 3 se obtuvieron los campos magnéticos creados en el interior de solenoides toroidales y solenoides
rectos. Para hallar L basta tener en cuenta que un bobinado de N vueltas constituye una espira no simple que
puede ser descompuesta en N espiras simples. Por tanto el flujo total a través de una superficie que se apoye en el
bobinado es la suma de flujos a través de N secciones del solenoide.
(a) Solenoide toroidal de sección rectangular: si se tienen N espiras recorridas por una intensidad I, con radios
interior y exterior de la sección rectangular a y b respectivamente, y altura h, el campo es
= μ0 N I uφ ,
B
2πr
y el flujo a través de una sección también se calculó, dando como resultado Φ = μ0 N Ih ln(b/a). El coeficiente de
autoinducción será entonces
μ0 N 2 h
L = N Φ/I =
ln(b/a).
2π
(b) Solenoide recto: si también tenemos N vueltas, y para cualquier tipo de sección, de área S, el campo es, según
= uz μ0 N I/l, siendo l la longitud del solenoide. El flujo es simplemente Φ = Sμ0 N I/l y el
se vio en el tema 3, B
coeficiente de autoinducción,
L = N Φ/I = μ0 N 2 S/l.
En todo este último cálculo estamos implı́citamente despreciando los efectos de borde.
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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• Ecuaciones de evolución para un sistema de espiras fijas.
Para el sistema de n espiras descrito anteriormente podemos establecer ahora las ecuaciones de
evolución temporal Ii (t) de las intensidades que recorren las espiras. Para el circuito i-ésimo se
tiene
εg,i + εm,i = Ii Ri ,
siendo εg,i la f.e.m. del generador, εm,i la f.e.m. de inducción magnética, dada por la regla del flujo, y
Ri la resistencia total de la espira (incluida la interna del generador). Usando que εm,i = −dφm,i /dt
y expresando el flujo en función de las intensidades mediante los coeficientes de inducción tenemos
εg,i (t) =
n
Lij
j=1
dIj
+ Ii (t)Ri ,
dt
i = 1, . . . , n.
Se trata de un sistema lineal inhomogéneo de n ecuaciones diferenciales en la variable t ordinarias
y de primer orden. Su resolución requiere conocer la dependencia temporal de las n funciones εg,i
y el valor de las n intensidades en t = 0.
• Energı́a almacenada en un conjunto de espiras.
Hemos definido en el tema 2 la densidad volumétrica de energı́a almacenada en un campo
magnético como la cantidad B 2 /(2μ0). Posteriormente, en el tema 3 se dedujo una fórmula alternativa para la energı́a almacenada en espiras, aplicable a regı́menes de corriente estacionaria, a
saber
n
1
UB =
Ii φi .
2 i=1
Sin embargo podemos extender su aplicabilidad a situaciones en las que las corrientes varı́an
lentamente (cuasimagnetostática).
La energı́a magnética de un sistema de espiras puede ser expresada en función de los coeficientes
de inducción y las intensidades sustituyendo en lo anterior los flujos, con lo que resulta
n
1 Lij Ii Ij .
UB =
2 i,j=1
Se trata de una forma bilineal en las intensidades, análogamente a lo que se encontró en el tema
4 para la energı́a electrostática de un sistema de conductores. También puede obtenerse una
expresión en función de los flujos a través de cada espira, pero esto es menos usual.
Ejercicio:
Demuéstrese que el trabajo necesario para establecer un régimen de corriente estacionario se emplea en parte en
almacenar energı́a magnética y el resto se transforma en calor por efecto Joule.
Partimos de las ecuaciones de evolución para las intensidades que hemos deducido. Multiplicando la ecuación de
cada espira por la intensidad correspondiente y sumándolas todas se tiene
n
Ii εg,i =
i=1
n n
i=1 j=1
Lij
n
dIj
Ii +
Ii2 Ri ,
dt
i=1
i = 1, . . . , n.
Podemos hacer una interpretación energética de cada término que aparece en la ecuación anterior. Identificamos
en el primer miembro la suma de potencias suministradas al sistema por los generadores. Parte de esta potencia
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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se pierde en calor por efecto Joule, lo cual queda reflejado en el último término del segundo miembro. El término
restante debe entonces entenderse como la parte de potencia suministrada que se emplea en establecer el campo
magnético en todo el espacio (o bien, visto de otro modo, el trabajo por unidad de tiempo necesario para establecer
el régimen de corriente en las espiras). Una vez establecido el régimen de corrientes el trabajo total empleado en el
proceso, que comienza con intensidad nula en t = 0 y acaba en el instante tf , será
W =
tf
0
dt
n n
i=1 j=1
Lij
dIj
Ii .
dt
Teniendo en cuenta que Lij = Lji , podemos manipular el integrando del siguiente modo:
n
n
n
dIi
dIj
dIi
dIi
1 dIj
Ii =
Ij =
Ij =
Ij +
Ii .
Lij
Lji
Lij
Lij
dt
dt
dt
2 i,j=1
dt
dt
i,j=1
j,i=1
i,j=1
n
En el paréntesis aparece la derivada temporal del producto Ii Ij , por lo que el resultado final es
W =
n
1 Lij Ii Ij ,
2 i,j=1
donde las intensidades están evaluadas en el instante tf a partir del cual ya no hay evolución apreciable. Efectivamente, este trabajo coincide con la expresión propuesta como energı́a magnética almacenada en el sistema de
espiras.
6.4.
Fundamentación de la Teorı́a de Circuitos
Una vez que hemos introducido los conceptos de generador, condensador, resistencia y autoinducción estamos en condiciones de establecer la teorı́a de circuitos. Comenzaremos con un caso
particular y más sencillo, correspondiente a un circuito formado por resistencias que son alimentadas por generadores de corriente continua. Más tarde se generalizará esta situación al caso en
que los generadores suministran corrientes variables en el tiempo y los circuitos están integrados
por otros elementos.
• Leyes de Kirchhoff para circuitos estacionarios.
Consideremos un generador de corriente continua cuyos bornes están conectados a los extremos
de una resistencia R. Se establece una corriente de intensidad I en este circuito, que es el más
sencillo que podemos imaginar. Entre los extremos del generador se establece una d.d.p. que vendrá dada por V = ε −Ir, siendo ε y r la f.e.m. y resistencia interna del generador respectivamente.
Por otro lado V es la caı́da de tensión entre los extremos de la resistencia (recordemos que esta
caı́da es el potencial antes de atravesar la resistencia menos el potencial al salir, según el sentido
marcado por la corriente), que viene dada por V = IR. Igualando ambas expresiones para V se
tiene ε = I(r + R), de donde se puede obtener la intensidad.
La situación anterior se complica si hay varios generadores y resistencias conectados de tal
forma que la corriente eléctrica puede tomar múltiples caminos. Una situación tı́pica podrı́a ser
la esquematizada en la figura.
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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ε1
R1
ε2
R2
ε3
R3
R4
R5
Un nodo es un punto en el que la corriente puede bifurcarse. Una rama del circuito anterior la
constituye cualquier porción del circuito entre dos nodos consecutivos. Cualquier camino cerrado
dentro del circuito se denomina malla. Siempre podemos determinar un conjunto mı́nimo de
mallas dentro del circuito de forma que cualquier camino cerrado esté compuesto por ramas que
pertenecen a alguna de estas mallas, que denominaremos simples. El conjunto de mallas simples
puede ser elegido de muchas formas para un mismo circuito, pero el número de mallas simples
constituyentes está determinado. En el circuito de la figura hay 4 nodos, 6 ramas y 3 mallas
simples.
El problema que se plantea es encontrar la distribución de corriente y potencial en cualquier
punto del circuito. Para ello contamos con las llamadas leyes de Kirchhoff:
1. La suma algebraica de intensidades que confluyen en un nodo es cero. Esta ley puede escribirse
n
Ii = 0
i=1
nodo
donde n es el número de ramas que confluyen en el nodo.
S
I1
I2
I3
Si admitimos que no hay acumulación de carga en el nodo (por estar en una situación estacionaria)
se tiene que
= 0,
j · dS
S
donde S es una superficie que engloba al nodo (ver figura). El flujo de j se restringe al de las
superficies intersección con los n conductores, y no son otra cosa que las n intensidades que
“salen” del nodo. Esto demuestra la primera ley de Kirchhoff. Es importante notar que debemos
aplicarla con el signo correcto para cada intensidad: si por ejemplo a I1 le tenemos asignado el
sentido entrante en el nodo, debemos incluirla en la suma afectada de un signo menos.
2. La suma de caı́das de tensión al atravesar los elementos que confluyen en un nodo es cero. Esta
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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ley puede escribirse
n
(Vi+1 − Vi ) = 0,
i=1
malla
teniendo en cuenta que al completar el circuito se tiene Vn+1 = V1 . Escrita ası́, la ecuación no
es más que una trivialidad, pero no lo es el hecho de poder definir un potencial en cada punto
del circuito (más adelante insistiremos en esta idea). Para dar mayor significado y utilidad a la
ecuación anterior vamos a considerar las caı́das de tensión al atravesar los distintos elementos
que podemos encontrar en un circuito de corriente continua. Si atravesamos una resistencia la
caı́da de tensión es Vi+1 − Vi = IR, donde Vi+1 es la tensión en el terminal por donde entra la
corriente (caı́da se traduce como “decremento al circular por la malla”). Por tanto debemos poner
atención al sentido que hemos asignado a I (que por otra parte si no coincide con el sentido real
conducirá simplemente a un valor negativo para I tras la resolución del problema). Si atravesamos
un generador la caı́da de tensión tiene, como ya vimos, dos términos: uno debido a la f.e.m. y otro
debido a la resistencia interna. Este último sigue el mismo criterio que el comentado para cualquier
otra resistencia. En cuanto al primero, el signo que afecta a ε depende sólo de la polaridad que
se refleje en el esquema del circuito, y no del sentido asignado a la intensidad que lo atraviesa.
Por tanto queda Vi+1 − Vi = ε − Ir si Vi+1 es la tensión en el polo positivo y se admite que la
intensidad va en la dirección natural que produce esta f.e.m. (lo cual no tiene por qué ocurrir si
existen otros generadores en el circuito).
• Análisis de mallas
Cuando los circuitos constan de muchas mallas simples es conveniente aplicar técnicas que permitan plantear el problema matemático de obtención de las intensidades de una manera sistemática.
Este es el objetivo del método conocido como análisis de mallas, que consiste en la asignación de
una intensidad ficticia a cada malla simple del circuito, recorridas en sentido horario. En principio
tenemos tantas intensidades reales como ramas hay en el circuito, pero están ligadas entre sı́ por
la primera ley de Kirchhoff. Si admitimos que la intensidad que corre por una rama es suma algebraica de las intensidades ficticias que la recorren, comprobamos que se verifica automáticamente
esta primera ley en cada uno de los nodos del circuito. Con ello hemos simplificado el problema en
cuanto al número de incógnitas y, obviamente, en cuanto al número de ecuaciones que debemos
plantear, que son la aplicación de la segunda ley de Kirchhoff a cada malla simple definida. La
circulación por cada malla se realiza, para seguir sistematizando, en el mismo sentido en que se
ha definido la intensidad ficticia correspondiente. El resultado puede describirse diciendo que la
suma de caı́das de tensión en las resistencias es igual a la suma de f.e.m. existentes en la malla, definidas positivas estas últimas si su polaridad es tal que produce corriente en el sentido de
circulación.
Ejemplo:
Aplı́quese el análisis de mallas al circuito de la figura anterior.
Tema 6: Conductores ohmı́cos
21
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ε1
R1
ε2
I1
ε 3 R2
I2
R4
R3
I3
R5
Tenemos definidas tres mallas simples y unas intensidades ficticias I1 , I2 e I3 . Las ecuaciones que verifican estas
intensidades ficticias las obtenemos circulando por las mallas “1”, “2” y “3”:
R1 I1 + R2 (I1 − I2 )
= −ε1 + ε3 ,
R2 (I2 − I1 ) + R3 I2 + R4 (I2 − I3 )
R4 (I3 − I2 ) + R5 I3
= ε2 ,
= −ε3 − ε4 .
Las intensidades reales en cada rama se obtienen combinando las intensidades ficticias definidas en ellas. Por
ejemplo, por la resistencia R2 pasa una intensidad I1 − I2 en sentido descendente.
Existe una técnica alternativa, el análisis de nodos, que toma como incógnitas justamente
la tensión en los nodos, pero su planteamiento es similar y puede consultarse en cualquier libro
especializado.
• Asociación de resistencias
Una aplicación simple de las leyes de Kirchhoff es la obtención del valor de la resistencia equivalente a un conjunto de resistencias conectadas en serie o en paralelo.
En el primer caso (serie) todas las resistencias, Ri , con i = 1, 2, . . . , n se unen de manera que
una misma intensidad las atraviesa todas. Las caı́das de tensión son IRi , y su suma es I i Ri .
Una resistencia equivalente debe producir una caı́da de tensión IReq = I i Ri , de donde
Req =
n
Ri .
i=1
En la asociación en paralelo todas las resistencias se conectan entre dos puntos, por lo que la
intensidad I que llega se bifurca en n intensidades Ii que deben cumplir I = i Ii . La caı́da de
tensión entre los extremos es común a todas: ΔV = I1 R1 = I2 R2 = . . . = In Rn . Reescribimos esto
último en la forma
ΔV =
I1
I2
In
I1 + I2 + . . . + In
I
= −1
= −1 ,
−1 =
−1 = . . . =
−1
−1
−1
Rn
Req
R1
R2
R1 + R2 + . . . + Rn
de donde se deduce
−1
Req
=
Tema 6: Conductores ohmı́cos
n
i=1
Ri−1 .
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• Corrientes variables
La teorı́a de circuitos desarrollada hasta el momento es aplicable a circuitos de corriente constante
en el tiempo. Sin embargo bajo ciertas restricciones es posible extenderla a situaciones en las que
la corriente es variable debido a la presencia de generadores que suministran una f.e.m. variable.
yB
estén confinados en elementos localizados en el
El requisito fundamental es que los campos E
circuito. Vamos a argumentar por qué es necesaria esta condición:
1. Supongamos que existe un campo E(t)
= 0 en la región exterior a los elementos constituyentes
del circuito. Si consideramos el flujo de carga que sale de un nodo (ver figura), su valor vendrá dado
por
n
j · dS =
Ii .
Sτ
i=1
donde τ es una región que engloba al nodo. Sin embargo este flujo en general no es nulo: la ecuación
de continuidad en forma integral aplicada a dicha región se escribe
Sτ
=−
j · dS
τ
∂ρ
∂E
= 0,
dτ = −ε0
· dS
∂t
Sτ ∂t
(aquı́ se ha hecho también uso de la ley de Gauss) con lo cual no se verifica la primera ley de
Kirchhoff. En otras palabras, la existencia de un campo eléctrico variable en el tiempo fuera del
circuito nos obliga a contar con posibles acumulaciones de carga dentro de los conductores y la
intensidad ya no es una magnitud que se transmita sin pérdidas a lo largo de ellos.
t
I1
St
V
I2
B(t)
E(t)
I3
I
A
R
B
2. Supongamos que existe un campo B(t)
= 0 en la región exterior a los elementos constituyentes
del circuito. Si intentamos medir la d.d.p. entre los extremos de una resistencia mediante un
voltı́metro conectado a sus extremos A y B (ver figura) podemos considerar la circulación del
campo eléctrico a lo largo del camino A-B-A, que pasa por el voltı́metro y luego por el elemento.
Se tendrá, usando la ley de Faraday,
· dr =
E
ABA
· dr −
E
volt
· dr = (VA − VB ) − IR = −
E
res
S
∂B
= 0.
· dS
∂t
Por tanto (VA −VB ) = IR. Aunque el voltı́metro da una lectura (voltaje), ésta no es única; depende
de la geometrı́a de los cables de conexión. Simplemente no está definido un potencial porque la
existencia de un campo magnético variable hace que el campo eléctrico no sea irrotacional, y por
tanto no tiene sentido aplicar la segunda ley de Kirchhoff.
Los criterios anteriores son los que, de manera estricta, habrı́a que aplicar a un sistema para
determinar si la teorı́a de circuitos es válida en él. Sin embargo, estos criterios llevados al lı́mite
nos dicen que dicha teorı́a no serı́a válida en un sistema con generadores de corriente alterna
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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de cualquier frecuencia. En la práctica, en muchos casos la presencia de campos variables en el
tiempo fuera de los elementos del circuito produce efectos que podemos despreciar. Un criterio
más útil surge de la idea de que la teorı́a de circuitos es una aproximación cuasiestática de las
ecuaciones electromagnéticas (si no fuera ası́ no podrı́amos hablar de potenciales definidos en cada
punto del sistema). Debemos exigir por tanto que las variaciones temporales de los generadores
lleguen de manera casi instantánea a cualquier punto del circuito. Si el periodo de variación de
un generador es T , el tamaño caracterı́stico del circuito L debe ser sensiblemente menor que la
cantidad cT , que es la longitud recorrida por la señal electromagnética en un ciclo. Por ejemplo,
la red eléctrica trabaja a una frecuencia de 50 Hz. La longitud recorrida en un periodo es de 6000
km. Para garantizar la aplicabilidad de la teorı́a de circuitos basta con exigir que las lı́neas del
tendido eléctrico no tengan longitudes superiores a algunas centenas de kilómetros. En cambio, si
utilizamos un generador de microondas que suministra una señal de 109 Hz, la longitud recorrida
en un periodo es de 30 cm, y un circuito tı́pico de prácticas de laboratorio no cumplirı́a las leyes
de Kirchhoff.
• Relación I–V de elementos simples
En este apartado recopilamos las relaciones que existen entre la intensidad I que atraviesa
un elemento (resistencia, condensador o autoinducción) y la caı́da de tensión V entre sus dos
terminales. Para ello colocamos un amperı́metro en serie con el elemento (lo cual no modifica
apreciablemente la caı́da de tensión) y un voltı́metro en paralelo entre los terminales (lo cual no
modifica apreciablemente la intensidad que atraviesa el elemento).
V
I
1
R, C ó L
A
2
i) Para una resistencia se tiene, como ya se vio,
V = V1 − V2 = IR.
ii) Para un condensador tenemos que
d
dV
dq
= [C(V1 − V2 )] = C
.
dt
dt
dt
I=
iii) Para una autoinducción, la caı́da de tensión incluye en general un componente resistivo, que
suele ser pequeño. La ley de Faraday,
−
conduce a
−L
dΦ
=
dt
γ
· dr =
E
2
1,bob
dI
= IRb + V2 − V1
dt
Tema 6: Conductores ohmı́cos
· dr −
E
⇒
2
· dr;
E
1,volt
V = IRb + L
dI
.
dt
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Como vemos, la relación entre I y V es lineal.
• Regı́menes transitorio y permanente
Aunque los circuitos eléctricos pueden llegar a ser muy complejos, si sólo están constituidos
por elementos como los descritos en el apartado anterior y por generadores, muestran un comportamiento con ciertas caracterı́sticas comunes. En particular existe una tendencia general a
establecerse un régimen permanente una vez que se deja transcurrir un tiempo más o menos
largo. Para entender esto vamos a analizar en detalle la intensidad que pasa por un circuito
R − L − C, constituido por un generador que suministra una señal variable en el tiempo ε(t),
en serie con una resistencia R, un condensador de capacidad C y una bobina con coeficiente de
autoinducción L, supuesta ideal (sin resistencia).
ε(t)
R
C
I(t)
L
La f.e.m. suministrada es igual a la suma de caı́das de tensión en los tres elementos:
ε(t) = VR + VL + VC .
Si derivamos respecto del tiempo toda la ecuación y consideramos las relaciones I − V vistas en
el apartado anterior resulta
dI
d2 I
dε
I
=R +L 2 + .
dt
dt
dt
C
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria no homogénea de segundo orden en la intensidad
que atraviesa el circuito. La solución general se obtiene como suma de una solución particular
y la solución general de la ecuación homogénea asociada. Posteriormente hay que especificar las
condiciones iniciales sobre I(t) y su derivada (por ejemplo en t = 0).
Aquı́ sólo nos interesa poner de manifiesto que la solución general de la ecuación homogénea
disminuye con el tiempo y tiende a desaparecer. En efecto si resolvemos LI + RI + (1/C)I = 0
sustituyendo I = Aeαt se llega a una ecuación secular, o condición sobre α:
⎛
1
R
=0
α2 + α +
L
LC
⇒
1
R
α± = ⎝− ±
2
L
⎞
4 ⎠
R2
−
.
L2
LC
La solución será combinación lineal de dos exponenciales, Ih (t) = A+ eα+ t + A− eα− t . Las dos raı́ces
pueden ser reales o complejas, pero en cualquier caso se cumple α < 0. Esto quiere decir que,
posea o no carácter oscilatorio, lo cual depende de que la parte imaginaria exista o no, la solución
decae en el tiempo de forma exponencial.
En la gran mayorı́a de las aplicaciones, el generador suministra una señal periódica, y la solución
particular exhibirá el mismo carácter periódico. Esto significa que podemos distinguir un régimen
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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transitorio, al conectar el generador y durante el tiempo necesario para que la parte homogénea
de la solución decaiga hasta hacerse despreciable, y un régimen permanente, que viene a continuación, caracterizado por una variación periódica de la intensidad y la tensión en cualquier punto
del circuito.
La duración del transitorio, o tiempo necesario para poder considerar que la intensidad es periódica, se puede estimar como tres o cuatro veces la cantidad 1/α+ (¿Por qué?).
Aunque no se ha demostrado matemáticamente, podemos admitir que lo visto para el circuito
RLC tiene carácter general.
• Concepto de impedancia
Lo que sigue se refiere al análisis del régimen permanente de un circuito alimentado por generadores de señal periódica. El régimen transitorio no suele ser estudiado dado que tiene lugar sólo
en los primeros instantes de funcionamiento, aunque sı́ se considera en algunas técnicas de medida
de capacidades y coeficientes de autoinducción.
Para motivar la introducción del concepto de impedancia vamos a considerar una f.e.m. sinusoidal
aplicada a nuestro circuito R − L − C, es decir, ε(t) = ε0 cos ωt, donde ω es la frecuencia angular
de la señal. Puede comprobarse que es solución particular de la ecuación encontrada para I(t)
una función de la forma Ip (t) = I0 cos(ωt + φ) con I0 y φ dos constantes que debemos elegir
convenientemente. El mismo tipo de dependencia podemos proponer para la tensión en cualquier
punto del circuito (referida a un origen de potencial establecido libremente). Mejor que ası́, usamos
un tratamiento fasorial escribiendo
ˆ iωt
I(t) = I0 ei(ωt+φI ) = Ie
V (t) = V0 ei(ωt+φV ) = V̂ eiωt
donde Iˆ y V̂ son números complejos que engloban las “fases” eiφI y eiφV y que por ello son llamados
fasores intensidad y tensión respectivamente. Este tipo de tratamiento ya se vio cuando se hizo
un estudio de las ondas planas en el tema 4.
Sustituimos la intensidad en forma fasorial en la ecuación diferencial completa. Lo que se pretende
es encontrar de esta forma una solución particular sinusoidal de igual frecuencia que la señal
suministrada por el generador, para lo cual sólo falta determinar I0 y φI . Tenemos en cuenta que
cada derivada en el tiempo produce un factor iω:
ˆ iωt + 1 Ie
ˆ iωt .
ˆ iωt + (iω)2 Ie
= iωRIe
iωε0 e
C
Esta ecuación se verifica si exigimos
iωt
1
ˆ
I,
ε0 = R + iω +
iωC
ˆ Multiplicando por eiωt y tomando parte real
de donde se obtiene el valor del número complejo I.
se obtiene la verdadera magnitud fı́sica I(t), que representa el valor de la intensidad en el estado
permanente.
ˆ donde Z = ZR +ZL +ZC y se definen las impedanLa relación anterior se puede escribir ε̂ = Z I,
cias de los tres elementos como la razón entre el fasor diferencia de tensión a los extremos del
elemento y fasor intensidad que lo atraviesa. En efecto, a partir de la relación I − V tenemos:
Tema 6: Conductores ohmı́cos
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Resistencia: Como V = RI,
ZR = R.
Autoinducción: Como V = L(dI/dt), aparece un factor iω que afecta al fasor intensidad al
ˆ Entonces,
derivar, por lo que V̂ = iωLI.
ZL = iωL.
Condensador: Como I = C(dV /dt), se tienen ahora Iˆ = iωC V̂ . Entonces,
ZL =
1
.
iωC
• Generalización de las leyes de Kirchhoff
El carácter lineal de la relación entre tensión e intensidad nos ha permitido definir la impedancia
de los tres elementos simples, que a su vez transforma estas relaciones en una simple proporcionalidad, análogamente a lo que se tiene en el caso de las resistencias. Si para un circuito de resistencias
y generadores de corriente continua hemos formulado una teorı́a de circuitos basada en las leyes
de Kirchhoff, con el concepto de impedancia estamos en condiciones de generalizar esta teorı́a a
circuitos formados con elementos de los tres tipos vistos (resistencias, autoinducciones y condensadores) y alimentados por generadores de señales sinusoidales. En efecto basta con considerar la
impedancia asociada a cada tipo de elemento, que ahora juega el mismo papel que la resistencia
en un circuito de corriente continua. Las tensiones e intensidades constantes son sustituidas por
los fasores correspondientes. Una vez resuelto el circuito podemos encontrar las magnitudes reales,
como ya hemos dicho, multiplicando por el factor exponencial dependiente del tiempo y tomando
luego la parte real.
Si tenemos dos generadores que suministran señales sinusoidales de la misma frecuencia en un
circuito, las f.e.m. no estarán en general en fase: ε1 (t) = ε10 cos(ωt + φ1 ), y ε2 (t) = ε20 cos(ωt + φ2 ).
Podremos elegir el origen de tiempos de forma que por ejemplo φ1 = 0, pero φ2 = 0. La f.e.m.
es por tanto una magnitud cuyo fasor asociado también tiene carácter complejo en general. En el
ejemplo propuesto será ε̂2 = ε20 eiφ2 .
Si existen n generadores en un circuito que suministren distintas frecuencias, ωi , podemos una vez
más acudir al carácter lineal de la teorı́a de circuitos para proponer una solución que consista en la
superposición de las soluciones del circuito con cada uno de los generadores, habiendo eliminado las
f.e.m. del resto (pero no sus resistencias internas). Siguiendo este razonamiento podemos analizar
la solución de un circuito que contenga un generador de señal periódica pero no sinusoidal, puesto
que cualquier señal de periodo T se puede descomponer mediante un análisis de Fourier en una
combinación lineal, en general de infinitos términos, de funciones de frecuencia múltiplo de ω =
2π/T :
ε(t) =
∞
εn cos(nωt + φn ).
n=0
Para cada término de esta suma tenemos un problema que podemos resolver independientemente
y luego combinar con el resto de soluciones.
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