Radiación

Índice general
6. Radiación
6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. El mecanismo fı́sico de la radiación . . . .
6.1.2. Cuerpo Negro, Leyes de Radiación . . . .
6.1.3. Intensidad de radiación y Ley de Lambert
6.2. Intercambio de energı́a radiante . . . . . . . . . .
6.2.1. Radiación en una cavidad . . . . . . . . .
6.2.2. Analogı́a eléctrica . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3. Intercambio entre n-superficies . . . . . .
1
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3
3
3
4
6
8
8
10
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67.31 – Transferencia de Calor y Masa
2
6
6.1
6.1.1
Radiación
Introducción
El mecanismo fı́sico de la radiación
Origen de la radiación
Para una descripción cuantitativa de los mecanismos atómicos y moleculares que participan del fenómeno
de la radiación, es preciso acudir a la mecánica cuántica: en este curso nos limitaremos a una descripción
cualitativa. Cuando se transfiere energı́a a un cuerpo, algunos de los átomos o moléculas que lo constituyen pasa a estados excitados. Este estado no es estable y las partı́culas tienden a retornar al estado
de energı́a original. En el restablecimiento, emiten una cierta cantidad de energı́a bajo forma de ondas
electromagnéticas. La energı́a emitida es lo que llamamos radiación. La potencia emisiva E(W/m2 ) nos
indica la cantidad de energı́a radiante por unidad de tiempo y de área.
Caracterı́sticas de la radiación, radiación térmica. Formas de interacción de la radiación
con la materia
La radiación electromagnética se caracteriza por su longitud de onda λ y su frecuencia νf de forma
que la velocidad de propagación de onda c = λνf . Asimismo, la radiación manifiesta su naturaleza
corpuscular ya que interactúa con la materia por medio de cuantos discretos, fotones que tienen una
energı́a E = hνf , donde h = 6,626 × 10−34 es la constante de Planck. La cantidad de movimiento de
cada fotón es hνf /c.
La radiación térmica está dada por el intervalo de longitudes de onda tales que al ser absorbido por un
cuerpo, se transforma en energı́a calórica. El rango es:
λtérmico ∈ [0,1 . . . 100µm]
mientras que el espectro visible es λvisible ∈ [0,4 . . . 0,7µm] En un cuerpo real, no toda la energı́a incidente es absorbida sino que una parte es reflejada y otra transmitida por el mismo. Si consideramos el
comportamiento global de un cuerpo, podemos definir los coeficientes:
de absorción α =
de reflexión ρ =
Energı́a absorbida
.
Energı́a incidente
Energı́a reflejada
.
Energı́a incidente
de transmisión τ =
Energı́a transmitida
.
Energı́a incidente
3
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
¿Penetra la atmósfera
terrestre?
Tipo de radiación
Longitud de onda (m)
Radio
103
Microondas
10−2
Infrarrojo
10−5
Visible
0,5×10−6
Ultravioleta Rayos X
10−8
10−10
Rayos gamma
10−12
Escala aproximada de
la longitud de onda
Edificios
Humanos
Mariposas
Punta de
aguja
Protozoos
Moléculas
Átomos Núcleo atómico
Frecuencia (Hz)
Temperatura de los
objetos en los cuales
la radiación con esta
longitud de onda es
la más intensa
10 4
1012
10 8
1K
−272 °C
100 K
−173 °C
1015
10.000 K
9.727 °C
1016
1018
1020
10.000.000 K
~10.000.000 °C
Figura 6.1: Espectro electromagnético..Fuente
Luego, debe cumplirse que α + ρ + τ = 1. Este modelo simplista no tiene en cuenta que los cuerpos
reales presentan coeficientes que son función de la longitud de onda de la energı́a incidente.
6.1.2
Cuerpo Negro, Leyes de Radiación
Un cuerpo negro es la superficie que absorbe la totalidad de la radiación incidente, no importando el
ángulo ni su longitud de la onda. Según el coeficiente global, α = 1, no se produce reflexión de la
radiación. Luego, toda radiación que proviene de un cuerpo negro es emitida exclusivamente por su
superficie. Según la ley de Stefan Boltzmann, la emisión vale
Eb = σT 4 [W/m2 ]
(6.1)
donde σ = 5,67 · 10−8 W/m2 K4 es la constante de Stefan-Boltzmann. Sin embargo, la emisión del cuerpo
negro no es independiente de la longitud de onda: se rige por la ley de Planck que establece la variación
de la emisión
C1 λ−5
Ebλ = C2 /λT
(6.2)
e
−1
donde, si λ está en µm, C1 = 3,742 · 108 Wµm4 m2 y C2 = 1,4389 · 104 µm K.
Integrando la expresión (6.2) se recupera el resultado de Stefan-Boltzmann.
Por otro lado, la ley de Wien, establece el desplazamiento de los máximos de las curvas en función de
la temperatura de la emisión. Esta ley se puede deducir también a partir de la expresión de Planck.
Resulta λmax T = 2897µm K. Una consecuencia práctica de la ley de Wien es que cuanto mayor sea la
temperatura de un cuerpo negro, menor es la longitud de onda en la cual emite.
4
Radiación
18
T = 5400 K
T = 2000 K
T = 1000 K
T = 500 K
T = 300 K
Ley de Wien
16
14
Ebλ
12
10
8
6
4
2
10−2
10−1
100
λ[µm]
101
102
Figura 6.2: Potencia emisiva monocromática de una superficie negra a diferentes temperaturas. El pico
de la curva se desplaza hacia las longitudes cortas para mayores temperaturas. La curva en negro indica
la predicción de la teorı́a clásica, a diferencia de la teorı́a cuántica que predice la forma correcta de las
curvas. Ley de Planck, ley de Wien.
Cuerpos grises, Ley de Kirchoff.
Los objetos reales nunca se comportan como cuerpos negros ideales. La emisividad ε depende de la
longitud de onda de la radiación, la temperatura de la superficie, ángulo de emisión y de propiedades
como rugosidad, etc.
En algunos casos resulta conveniente suponer que existe un valor de emisividad constante para todas las
longitudes de onda, siempre menor que 1 (que es la emisividad de un cuerpo negro). La simplificación
que nos sirve para resolver algunos casos en ingenierı́a donde no es necesario introducir la expresión de
Planck y eventuales cálculos.
La ley de Kirchoff es una relación entre la emisión monocromática direccional y la absorción monocromática
direccional para una superficie que está en equilibrio termodinámico con su alrededor.
ελ (T, θ, φ) = αλ (T, θ, φ)
(6.3)
La ley establece que un cuerpo en equilibrio termodinámico emite tanto energı́a como la que absorbe
en cada dirección y en cada longitud de onda. Si esto no ocurriese, el cuerpo podrı́a actuar como una
bomba de calor absorbiendo desde una dirección y emitiendo en otra: podrı́a refrigerar una dirección
sin necesidad de trabajo... lo que irı́a contra el segundo principio de la termodinámica. El mismo razonamiento se extiende para el comportamiento espectral de ε, luego, la ley de Kirchoff es una consecuencia
de la aplicación del segundo principio.
Otra forma de considerar el enunciado de Kirchoff es pensar dos cuerpos, el primero una cavidad y el
segundo rodeado por el primero. Supongamos que el primer cuerpo es un cuerpo negro que se encuentra
5
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
a una temperatura T0 mientras que el segundo cuerpo, a la misma temperatura T0 , no lo es sino que su
absorción α y su emisión ε son arbitrarias. Nuestro análisis es más simple si ε sólo depende de la longitud
de onda λ, aunque el resultado se puede extender para ε(λ, θ, ϕ). El cuerpo 2 recibe una cantidad de
calor para una dada λ, q̇aλ = αλ Ebλ A donde Ebλ es la potencia emitida por el cuerpo negro a la longitud
de onda λ y A es el área. Por otra parte, como el cuerpo 2 está inmerso en el 1 y a la misma temperatura,
emite radiación según q̇eλ = ελ Ebλ A. La condición de equilibrio exige que q̇eλ = q̇aλ , luego, ελ = αλ , un
resultado que sólo depende de las propiedades espectrales del cuerpo 21 .
Se desprende de la ley de Kirchoff que α = ε. Dado que el cuerpo negro se define como aquel en donde
α = 1, en cuerpos reales α < 1 y entonces, ningún cuerpo real podrá emitir más que un cuerpo negro a
la misma temperatura.
El cuerpo negro es un cuerpo ideal pero en algunas circunstancias, se puede aproximar el comportamiento
de un cuerpo real al de un cuerpo negro.
Figura 6.3: Materialización de un cuerpo negro.
6.1.3
Intensidad de radiación y Ley de Lambert
Para considerar los efectos de la geometrı́a en el intercambio por radiación, debemos estudiar la manera
en la cual los ángulos de orientación afectan la radiación entre superficies como muestra la figura 6.4.
La superficie circular dA emite radiación en todas las direcciones. Una superficie de radio r recibe la
radiación y, en particular, una porción dAa de la misma. El calor que fluye hasta dAa será proporcional
al ángulo sólido2 dω que se establece desde dA. Si la superficie es esférica, dAs = rdθr sin θdφ luego
dω = sin θdθdφ. El flujo de calor depende también del ángulo θ: en la figura 6.4 pueden observarse tres
elementos de área como son vistos desde dA. En los dos casos extremos es fácil ver el efecto: para θ = 0◦ ,
el área coincide con dA ; por otro lado, para θ = 90◦ , el área es nula.
Ahora podemos definir a la intensidad de radiación I(θ, φ) como la cantidad de calor que fluye desde dA
por unidad de ángulo sólido y por unidad de área proyectada ortogonalmente a la dirección considerada.
si dAa percibe un flujo de calor dQ̇(θ, φ),
dQ̇(θ, φ)
[W/m2 ]
(6.4)
dA cos θdω
Si I(θ, φ) fuera independiente de la dirección, se dice que la radiación es difusa. Si se cumple esta
condición, se satisface la ley de Lambert3 . Una forma práctica ocurre cuando dA es una superficie
I(θ, φ) =
1
Señalemos nuevamente que podemos extender ελ = αλ a ελ,θ,ϕ = αλ,θ,ϕ .
Ası́ como para una curva, el ángulo se define a partir de dαr = dS en radianes, para una superficie es dω = dA/r2 en
estéreo-radianes
3
Formulada para óptica, fotometrı́a.
2
6
Radiación
Figura 6.4: Elementos de superficie que intervienen en la definición de la intensidad.
esférica (en vez de un disco) negra. El flujo total por unidad de superficie que sale en este caso desde
dA vale:
dQ̇
= I cos θdω
(6.5)
q=
dA
reemplazando la expresión para el ángulo sólido dω e integrando sobre el hemisferio, obtenemos la
radiosidad J:
Z 2π Z 2π
J=
I(θ, φ) cos θ sin θdθdφ
(6.6)
0
0
Siendo una superficie difusa I es constante, luego J = πI. Si la superficie es negra, la intensidad la
emisión es σT 4 por unidad de área. Luego,
I=
σT 4
π
(6.7)
Los cuerpos negros o grises son por definición de radiación difusa. En cuerpos reales, los no metales
presentan su emisividad mayor para la dirección normal a la superficie, mientras que los metales la
tienen en una cercana a la azimutal (Figura 6.5).
7
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 6.5: Variación de la emitancia direccional con el ángulo para algunos materiales.
6.2
6.2.1
Intercambio de energı́a radiante
Radiación en una cavidad
Supongamos en primer caso dos superficies negras A1 y A2 a temperaturas T1 y T2 respectivamente que se
encuentran dispuestas como muestra la figura 6.6. Según la ley de Stefan-Boltzmann, la el objeto interior
Figura 6.6: Intercambio de calor por radiación en dos superficies
emite una radiación σT24 A2 . Si las superficies se encuentran en equilibrio, a temperaturas T2 = T1 , el
cuerpo absorbe σT24 A2 . Si el objeto tuviera una absortancia α, en equilibro la emisión será igual a la
absorción A2 σT 4 α.
Si no hay equilibrio de temperaturas, la emisión es σT24 A2 pero la absorción será σT14 A2 , el intercambio
8
Radiación
neto resulta:
Q̇21 = A2 σ(T24 − T14 )
(6.8)
El intercambio de calor en algunas configuraciones geométricas se corresponde bien con el ejemplo
anterior: 2 esferas concéntricas, 2 cilindros largos coaxiales, 2 placas grandes enfrentadas.
Figura 6.7: No toda la energı́a radiada de 1 es absorbida por 2.
Factor de forma
Otras geometrı́as pueden implicar que una parte de la radiación emitida por una de las superficie no sea
completamente absorbida por la restante, como se ve en el esquema de la figura 6.7. Es necesario definir
un factor de forma
Potencia emisiva de m que llega a n
Fmn =
Potencia emisiva de m en todo espacio
Fmn ≤ 1 y es función del tamaño, de la forma y de la orientación de 2 superficies. En forma similar a
(6.8),
Q̇21 = F21 A2 σT24 − F12 A1 σT14
(6.9)
Si ambas superficies estuviesen a la mima temperatura, Q̇12 = 0 y F21 A2 = F12 A1 . Como el factor de
forma no depende de la temperatura, el resultado anterior es válido para aún cuando las temperaturas
son diferentes. La relación se conoce como regla recı́proca. Entonces
Q̇21 = F21 A2 σ(T24 − T14 )
(6.10)
En forma analı́tica,
Z
Z
A2 F21 = A1 F12 =
cos β1 cos β2
A1
A2
dA1 dA2
πs2
(6.11)
Para configuraciones sencillas, el factor de forma se encuentra tabulado. Algunas propiedades útiles:
Para un recinto cerrado
n
X
Fij = 1
j=1
F1,(2+3) = F12 + F13 , generalizando: Fij =
n
X
Fik .
k=1
9
67.31 – Transferencia de Calor y Masa
Figura 6.8: Determinación analı́tica del factor de forma entre 2 superficies arbitrarias.
6.2.2
Analogı́a eléctrica
Cuerpos negros
La ecuación 6.10) nos muestra el intercambio entre 2 superficies negras. Si llamamos potencia emisiva
del cuerpo negro Eb = σT 4 , la forma lineal de (6.10) sugiere una analogı́a eléctrica.
Q̇21 =
Eb2 − Eb1
1/F21 A2
En forma general para 2 superficies ij:
Ebi − Ebj
(6.12)
1/Fij Ai
Luego, las potencias emisivas Ebi pueden asociarse a potenciales eléctricas y la inversa del área afectada
por el factor de forma puede asociarse a una resistencia espacial a la radiación. El planteo nos permite
ver con sencillez algunas configuraciones. Consideremos el caso de una pantalla (o escudo) que separa
dos placas infinitas (Figura 6.9 ). En estado estacionario la pantalla no puede almacenar energı́a y los
flujos de calor: Q̇13 = Q̇32 . Como Q̇1 = Q̇13 y Q̇2 = Q23 , Q̇1 = −Q̇2 . El circuito equivalente de la Figura
6.9 determina:
Eb1 − Eb2
Q̇1 =
1/A1 F13 + 1/A3 F32
Como las áreas son las mismas y F13 = F32 = 1,
Q̇ij =
Q̇1 =
Eb1 − Eb2
2/A1
El efecto del escudo es reducir la mitad el intercambio por radiación. Puede probarse que para n pantallas,
las radiación se reduce m + 1 veces.
10
Radiación
Figura 6.9: Pantalla. Analogı́a eléctrica.
Cuerpos grises
Figura 6.10: Esquema del intercambio de una superficie gris.
En el caso de superficies grises hay que agregar al análisis las caracterı́sticas de absorción, emisión y
de reflexión de las mismas. La figura 6.10 muestra los flujos de calor radiativos para una superficie gris
opaca (sin transmisión). Sobre ella incide una irradiación G. La radiosidad J representa la radiación que
sale de la superficie, ya sea por emisión o por reflexión: J = εEb + ρG. Por otro lado, el flujo de calor es
q = J − G, positivo si sale más de lo que entra.
q = εEb + ρG − G = εEb + (ρ − 1)G
q = εEb + (ρ − 1)(J − q)
siendo α + ρ = 1 y α = ε, luego ε = 1 − ρ.
q = εEb + (−ε)(J − q)
q(1 − ε) = εEb + (−εJ)
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67.31 – Transferencia de Calor y Masa
q=
ε
(Eb − J)
1−ε
(6.13)
Tenemos ası́ definido el flujo de calor radiante neto a partir de una superficie gris en función de la
potencia emisiva de cuerpo negro Eb y de la radiosidad J. Si consideramos 2 superficies grises del tipo
de la figura 6.6, de un cuerpo encerrado dentro de otro, los flujos de calor pueden definirse según:
Q̇12 = J1 A1 F12 − J2 A2 F21
donde J1 A1 F12 representa la energı́a que recibe el cuerpo 2 a partir del 1 y J2 A2 F21 respectivamente la
energı́a que recibe el cuerpo 1 a partir del 2. Recordando que A1 F12 = A2 F21 ,
Q̇12 = A1 F12 (J1 − J2 )
Retomando el resultado de (6.13), Q̇1 = q1 A1 = A1
El balance de energı́a del problema estacionario es:
ε2
ε1
(Eb1 − J1 ) y el flujo Q̇2 = A2
(Eb2 − J2 ).
1 − ε1
1 − ε2
Q̇1 = Q̇12 = −Q̇2
Reemplazando, podemos despejar el valor del flujo de calor Q̇12
1−ε1
ε1 A1
Eb1 − Eb2
+ A11F1 2 +
1−ε2
ε 2 A2
(6.14)
Para un problema donde los datos sean las temperaturas, el factor de forma y la emisividad de las superficies, obtenemos ası́ el valor del flujo de calor para superficies grises. Pensando en la analogı́a eléctrica,
(1 − εi )/εi Ai representa una resistencia de la superficie i. Otras configuraciones pueden resolverse con
la ayuda de la analogı́a.
6.2.3
Intercambio entre n-superficies
La analogı́a eléctrica deja de ser conveniente cuando se tienen más de 3 superficies en juego. Una cavidad
de múltiples superficies como la representada en la figura 6.11, precisa un planteo matricial. Para ello,
supondremos que:
las superficies son grises y opacas.
Las temperaturas son conocidas en cada superficie.
Son conocidos los factores de forma.
La conducción y la convección son despreciables y el fluido presente es transparente y no radiante.
Para cada superficie,
Ji = εi σTi4 + ρi Gi = εi σTi4 + (1 − εi )Gi
La energı́a incidente sobre cada superficie será
Gi =
n
X
Fij Jj
j=1
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Radiación
Figura 6.11: Cavidad de n-superficies.
. Entonces:
Ji =
εi σTi4
+ ρi Gi =
εi σTi4
+ (1 − εi )
n
X
Fij Jj
(6.15)
j=1
y se define un sistema de n ecuaciones a resolver.
13