Bio-reactores reales

Bio-reactores Reales I
Flujos no-ideales.
Introducción.
Ningún reactor real coincide con las idealizaciones de mezclado perfecto y flujo pistón, pero
frecuentemente se aproximan satisfactoriamente a estos dos casos límite.
En otros casos, las desviaciones son apreciables. Generalmente debido a la presencia de zonas
estancas, canalizaciones o reciclo interno.
La presencia de estos tipos de flujo afecta el comportamiento del reactor y el éxito de los diseños.
Figura 1: Esquemas de reactores no ideales
Mezclado en Bio-reactores
Los medios fermentativos son, por lo general, sistemas que comprenden tres fases: gas
(oxígeno o aire), líquida y sólida suspendida (biota). Por esto, una verdadera homogeneidad no
puede esperarse a todos los niveles de observación. Considerando volúmenes de observación
sucesivamente menores, a partir de cierto volumen mínimo se observará un medio irreductiblemente
no-homogéneo.
Mediante agitación vigorosa, se pueden obtener regímenes de operación con una quasihomogeneidad tanto en la fase líquida como en la fase gas. En estas condiciones prácticamente no
existen diferencias importantes de concentración de biomasa o de sustratos entre distintos puntos del
medio de cultivo, aún considerando regiones del medio separadas por distancias comparables con el
tamaño característico del equipo.
El proceso de mezclado en un biorreactor puede el resultado de la concurrencia de dos
mecanismos. Uno de ellos consiste en el proceso de macro-mezclado, que involucra elementos de
volumen pequeños comparados con el volumen total del medio de cultivo, pero grandes comparados
con el volumen mínimo de observación, involucrando a miles de células y al medio al que están
expuestas.
En el mecanismo de macro-mezclado, cada uno de estos elementos de volumen puede ser
considerado como homogéneo en cuanto a la distribución de células, burbujas pequeñas y moléculas
en su interior. Cuando estos elementos participan del flujo describiendo sus respectivas trayectorias
en el espacio, retienen el material contenido sin intercambiarlo con el que portan otros elementos.
En definitiva, cada elemento con las características descriptas, se comporta en forma similar a la de
un pequeño reactor discontinuo.
Si el flujo responde a esta descripción, nos encontramos en la situación límite ideal de
máxima segregación, donde no hay intercambio de materia entre elementos de volumen del medio,
siendo cada uno de dichos volúmenes mucho mayor que la celda mínima pero aún sumamente
pequeño comparado con la dimensión característica del equipo.
El proceso de macro-mezclado es, por lo tanto, de carácter esencialmente turbulento,
consistente en el desplazamiento colectivo de elementos de volumen que son el agregado de
moléculas de sustratos, células y burbujas, y cuyas trayectorias conforman torbellinos, los que a su
vez se desplazan dando origen a un flujo de circulación de mayores dimensiones, en el espacio
ocupado por el medio.
Este régimen de macro-mezclado en cultivos sumergidos está muy vinculado a la energía
suministrada por unidad de volumen de cultivo, ya sea mediante agitadores mecánicos, por sistemas
de recirculación externa por bombeo, o por medio del burbujeo de gases comprimidos.
El otro proceso es el de micro-mezclado, dominado por el mecanismo de intercambio de
materia entre los ya caracterizados elementos de volumen adyacentes, involucrando en este
intercambio a moléculas y células. El proceso está motorizado localmente por gradientes de
concentración de células y de especies químicas.
El mecanismo de macro-mezclado favorece al de micro-mezclado, debido a que una
agitación más enérgica incrementa la relación entre la superficie y el volumen de los elementos que
participan del flujo convectivo y turbulento, y por consiguiente, también la superficie total de
contacto entre elementos de volumen vecinos.
Todos los reactores reales operan en regímenes comprendidos entre estos dos extremos, es
decir, en condiciones de segregación parcial. Esto equivale a decir que los niveles de mezclado
coexisten, frecuentemente dominando uno sobre el otro, dependiendo de las propiedades del medio,
del tipo de biorreactor y del dispositivo de mezclado.
Si no existen grandes diferencias de concentración de trazador entre puntos ubicados a
distancias relativas comparables con aquéllas en las que se producen grandes cambios de la
velocidad convectiva del medio, u , la componente “dispersiva” de la densidad de flujo de
trazador, motorizada por el gradiente local de concentración de trazador, puede ser despreciada
frente a la componente “convectiva” .
Bio-reactores con flujo predominantemente segregado, operando en estado
estacionario.
Consideremos un bio-reactor operando en estado estacionario, con una corriente de
alimentación y una de salida. Supongamos además que, como en la generalidad de los casos, el
flujo dentro del reactor es de una complejidad tal que no puede ser determinado sin dificultades
mayores por mediciones directas, o predicho teóricamente a partir de las ecuaciones fundamentales
de la mecánica de fluidos. Las condiciones de agitación y las propiedades del medio de cultivo
sumergido se suponen tales que hacen preponderante el proceso segregado de macro-mezclado
sobre el de micro-mezclado.
También supondremos que tanto la corriente de entrada como la de salida fluyen con un
perfil de velocidades plano, tipo pistón. Como consecuencia de esta hipótesis bastante cercana a la
realidad, los elementos de volumen que ingresan al reactor para participar del flujo interno,
preponderantemente segregado, sólo abandonarán el mismo integrando la corriente de salida. Esta
hipótesis descarta la posibilidad de que un elemento de volumen que ingresa al biorreactor, pueda
abandonarlo remontando la corriente con la que ingresó, como consecuencia, por ejemplo, de flujos
de recirculación en la misma.
En las condiciones descriptas, distintos elementos de volumen que ingresan al reactor como
parte de la corriente de alimentación, describirán distintas trayectorias antes de abandonarlo como
integrando la corriente de salida. Esto significa que elementos que ingresan al reactor en forma
simultánea, permanecerán en el mismo distinto tiempo antes de abandonarlo. El tiempo que cada
elemento ha permanecido en el biorreactor es su tiempo de residencia o edad, t . De lo expuesto, se
concluye que habrá elementos en el interior del reactor con distintos tiempos de residencia o edades.
Desde el punto de vista de los sucesos posibles, un elemento que ha permanecido en el
reactor durante un lapso t , puede seguir circulando en el interior del mismo o abandonarlo como
parte de la corriente de salida. Por lo tanto, también habrá en la corriente de salida elementos con
distintos tiempos de residencia o edades. En sentido estadístico, podemos entonces hablar de
distribuciones de tiempos de residencia, tanto en el interior del reactor como en la corriente efluente.
Como ya se señaló, en un régimen preponderantemente de macro-mezclado cada elemento
participa del flujo colectivo describiendo su respectiva trayectoria en el espacio, pero reteniendo el
material contenido sin intercambiarlo con el que portan otros elementos. De esta manera cada
elemento se comporta de manera similar a la de un pequeño reactor discontinuo.
En la generalidad de los casos, cada elemento abandonará el biorreactor con un tiempo de
residencia distinto al de los demás, por lo tanto también será distinto el medio al que están expuestas
las células cultivadas contenidas en los mismos. Dentro de los límites de validez del modelo, el
conocimiento de la distribución de tiempos de residencia en la corriente de salida del reactor
permitirá estimar la concentración media de cada componente y de la biomasa en la misma.
Función de distribución de edades en la corriente de salida de un bio-reactor
operando en estado estacionario.
Supongamos que tenemos igual posibilidad de acceso a cualquiera de los elementos de
volumen que integran la corriente de salida del biorreactor, e imaginemos la operación virtual de
elegir al azar uno de dichos elementos. La probabilidad, dF t  , correspondiente al suceso consistente
en que el elemento elegido haya permanecido en el reactor durante un lapso comprendido entre t y
t  dt , y que una vez transcurrido dicho lapso, haya salido integrando la corriente de salida,
puede expresarse de la siguiente manera
dF t   E t  dt
(1)
donde E t  es la función de distribución de tiempos de residencia, de los elementos de volumen
que integran la corriente de salida.
Suponiendo, como ya lo hemos hecho, que en sucesivas repeticiones de la operación de
selección imaginada se tenga igual acceso a cualquiera de los elementos de volumen que integran la
corriente a la salida del reactor, independientemente de su edad o tiempo de residencia, la
probabilidad dF t  puede interpretarse como la fracción de elementos con edades comprendidas
entre t y t  dt , tomados de entre el conjunto total de elementos con edades comprendidas en el
intervalo físicamente admisible 0  t   .
Como consecuencia de esta interpretación, surge la condición de normalización

F    F 0   dt' E t'   1
(2)
0
que expresa el hecho que la fracción de elementos con edades en el intervalo 0  t   coincide
con la totalidad elementos integrantes de la corriente efluente.
Considerando físicamente imposible el suceso consistente en que elementos de volumen
salgan del reactor en el mismo instante en el que ingresan al mismo, debe imponerse la condición
F 0  0 a la Ecuación (2), obteniéndose

F     dt' E t'   1
(3)
0
F
E
1
Tiempo de residencia
Tiempo de residencia
Figura 2: Gráficos esquemáticos de las funciones E y F
La fracción (o probabilidad de ocurrencia) de elementos de la corriente de salida con edades
en el intervalo 0,t  es
t
F t    dt' E t' 
(4)
0
mientras que la fracción de corriente de salida compuesta por elementos con edades mayores que t
es

t
t
0
F    F t    dt' E t'   1   dt' E t' 
(5)
Finalmente, la relación entre F t  y E t  , inversa a la dada por la Ecuación (4), puede
obtenerse directamente de la Ecuación (1), resultando
E t  
dF (t )
dt
(6)
relación válida siempre que F t  sea una función diferenciable.
Función de distribución de edades en el interior del biorreactor.
Repitamos aquí la operación virtual de elegir un elemento de volumen, pero en este caso lo
haremos de entre los que componen el medio de cultivo en el interior del bio-reactor. La
probabilidad, dGt  , correspondiente al suceso consistente en que dicho elemento haya permanecido
en el reactor durante un lapso comprendido entre t y t  dt , cumplido el cual puede salir del bioreactor o permanecer en el mismo, puede expresarse de la siguiente manera
dGt   I t  dt
(7)
donde I t  es la función de distribución de tiempos de residencia para los elementos de volumen
que aún están en el interior del biorreactor.
De igual manera que en la sección anterior, supondremos que en la operación de selección
imaginada se tenga igual acceso a todos los elementos de volumen que integran el medio de cultivo
contenido en el biorreactor, independientemente de su edad o tiempo de residencia. La probabilidad
dGt  puede interpretarse como la fracción de elementos con edades comprendidas entre t y t  dt ,
tomados de entre el conjunto total de elementos con edades comprendidas en el intervalo
físicamente admisible 0  t   .
Surge naturalmente de esta interpretación, la condición de normalización

G   G0   dt' I t'   1
0
(8)
También en este caso debe considerarse físicamente imposible el suceso consistente en que
elementos de volumen participen del medio contenido en el reactor desde el mismo instante en el
llegan a la frontera del mismo (esto es, con tiempo de residencia igual a cero), por lo que G0  0 .
La fracción (o probabilidad de ocurrencia) de elementos en el interior del reactor con edades
en el intervalo 0,t  es
t
Gt    dt' I t' 
(9)
0
mientras que la fracción de volumen de medio compuesta por elementos con edades mayores que t
es

t
t
0
G   Gt    dt' I t'   1   dt' I t' 
(10)
Finalmente, la relación entre Gt  e I t  , inversa a la dada por la Ecuación (9), puede
obtenerse directamente de la Ecuación (7), resultando
I t  
dG( t )
dt
(11)
suponiendo que Gt  sea una función diferenciable.
G
I
1
1
tiempo
Figura 3: Gráfico esquemático de las funciones G e I
tiempo
Relación entre las funciones de distribución de edades en la corriente de salida
del bio-reactor, E t  , y la correspondiente al medio contenido en el interior del
mismo, I t  .
Cada uno de los elementos de volumen de medio que ha permanecido en el interior del
reactor un lapso t , en un instante inmediatamente posterior t  t puede permanecer en el medio de
cultivo contenido en el bio-reactor, o formar parte de la corriente de salida del mismo, siendo estas
dos posibilidades mutuamente excluyentes. Además, no existe otro destino posible para cada uno de
estos elementos, aparte de los dos mencionados.
Por lo tanto, tenemos certeza que ocurrirá un suceso o el otro, esto es: el elemento de
volumen con edad t , seguirá perteneciendo al medio de cultivo contenido en el interior del bioreactor pasando a formar parte de la población con “edad” o tiempo de residencia t  t , “o”
integrará la corriente de salida del mismo.
Es importante notar que, en ambos casos, por el inexorable paso del tiempo, cada elemento
de volumen de edad t deja de formar parte de la población de elementos de volumen con dicha
edad, para integrar la población de los elementos con edad t  t en el caso de permanecer en el
reactor, o integrar la corriente de salida con edad t  t .
Recordemos que I t  es la función de distribución de tiempos de residencia para los
elementos de volumen que aún están en el interior del bio-reactor, la que está directamente asociada
con la fracción de elementos de edad t , de entre los elementos con todas las edades posibles que
contiene el reactor en estado estacionario.
Si el número total de elementos de volumen contenidos en el reactor no varía, como surge de
la hipótesis de estado estacionario, se puede establecer el siguiente balance de elementos con edades
t y t  t , respectivamente
V I t   V I t  t   t F Et   t 
;
0    1
(12)
En la Ecuación (12), V es el volumen del medio de cultivo en el interior del reactor operando
en estado estacionario, y F es el caudal volumétrico común a las corrientes de entrada y de salida.
Reordenando la Ecuación (12), obtenemos
V

F
 I t  t   I t 

  E t   t   0
t


(13)
expresión cuyo límite para t  0 es
dI t  1
 E t   0
dt
tR
;
t 0
(14)
donde t R  V F  , es el tiempo medio de residencia hidráulico del medio de cultivo en el reactor.
Por integración directa de la Ecuación (14), tenemos
t
1
I t   I 0   dt ' E t '  0
tR 0
(15)
Teniendo en cuenta la Ecuación (3), y considerando que la probabilidad de que un elemento
de volumen permanezca un tiempo infinitamente grande en el interior del reactor es nula, en el
límite para t   , la Ecuación (15) tiende a la expresión
I t     I 0 

1
dt ' E t ' 
t R 0
(16)
 I 0 
1
0
tR
de donde se concluye
I 0 
1
tR
(17)
Finalmente, a partir de las Ecuaciones (15) y (17), tenemos
t
 1
1 
1
I t   1   dt ' E t '   dt ' E t '  1  F (t )
tR  0
tR
 tR t
(18)
que es la relación buscada entre E t  e I t  .
Función de distribución J t  , asociada con la probabilidad de salida de elementos
de edad t existentes en el interior del bio-reactor
La función de distribución de tiempos de residencia en la corriente de salida, E t  , está
asociada con la probabilidad del suceso consistente en que un elemento haya permanecido en el
reactor durante un lapso t (primer evento), y que una vez transcurrido ese tiempo en el reactor, haya
salido inmediatamente para integrar la corriente de salida (segundo evento).
La probabilidad a la que esta asociada la función de distribución de tiempos de residencia en
la corriente de salida, E t  , es por lo tanto una probabilidad asociada con un suceso compuesto por
dos eventos.
Una función de distribución de este tipo, puede ser escrita como el producto de la función de
distribución asociada al primer evento, por la probabilidad condicional de que ocurra el segundo
evento, en el supuesto que el primero se ha cumplido.
Si recordamos que la distribución asociada al primer evento es I t  , y si designamos con
J t  a la función de distribución condicional asociada con la probabilidad de que un elemento de
volumen salga del reactor, sujeta a la condición de que dicho elemento ha permanecido en el reactor
durante un lapso t , la función E t  puede ser escrita del siguiente modo
E t   I t  J t 
(19)
De las Ecuaciones (18) y (19), inmediatamente se obtienen las siguientes igualdades
J t  
tR
E t 
dF ( t )
d ln1  F ( t )

 t R
I t  1  F ( t ) dt
dt
(20)
donde se han sustituido las funciones E t  e I t  por sus respectivas expresiones en función de
F t  .
Si remplazamos la Ecuación (19) en la (14), obtenemos
dI t  1
 J t I t   0
dt
tR
(21)
ecuación que puede ser integrada directamente, con la condición inicial de la Ecuación (17), para dar
 1
1
I t   exp  
tR
  tR

t
  dt´J t´
0

obteniéndose así una relación directa entre las distribuciones I t  y J t  .
(22)
F t 
F t 
E t 
G t 
F t  

F  t    dt E  t  
t
0
E t 
G t 
I t 
J t 
E t  
dF  t 

G t  
1
tR
1
tR

t
0
dt  1  F  t   

t
0
I t  
J t  
tR
d ln 1  F  t  
dt
tR
1
tR


t
dt E  t  
E t 

t

dt
2

t
J t  
d G t 
2
E  t   tR
dI  t 
dt
1 e

1
tR
t
0 dt J t 
E t  

J t 
tR

e
t
1
tR
0 dt J  t 

1
tR
G t  
dt  dt E  t  
I t  
dt
F t  
dt E  t  
G  t    dt I  t  
t

1
1  F  t  
tR 
F  t   1  tR I  t 
dG  t 
E  t   tR
dt
G t  
1  tR
J t 
I t 
I t  
0
dG  t 

1
tR
t
 dt  e
t
0 dt  J t 
0
I t  
1
t
1  tR 0 d t J t 
e
tR
dt
d 2G  t 
2
J  t   t R dt
dG  t 
dt
J t  
t R
d ln I  t 

dt
Tabla 1: Relaciones entre las funciones de distribución F, E, G, I, J
Respuestas de bio-reactores a estímulos arbitrarios
Supondremos que inyectamos un trazador en la corriente que ingresará al reactor, el que se
supone que está operando en estado estacionario y que ésta se efectúa de manera que no perturbe de
manera detectable el comportamiento del equipo.
La inyección se considerará efectuada de modo tal que la concentración de trazador en la
sección transversal de la corriente de ingreso al reactor sea uniforme (estímulo) aunque en general,
dependiente del tiempo. Tal funcionalidad de la concentración local con el tiempo dependerá de las
características de la inyección efectuada.
Puede anticiparse que no en todos los casos cada uno de los elementos de volumen
inyectados que portan trazador necesariamente ingresarán al reactor de manera instantánea,
independientemente del tipo de inyección efectuada. En general, éstos contribuirán a la
concentración de trazador de la corriente que ingresa al reactor (corriente de estímulo) distribuidos
en instantes posteriores al de la inyección, contribuyendo a producir una concentración de trazador
en el punto de ingreso uniforme en la sección transversal de la corriente, pero dependiendo del
tiempo de una manera diferente que la inyección efectuada.
De entre los elementos de volumen que abandonan el reactor participando de la corriente de
salida en el instante t posterior al de la inyección, consideremos aquellos que transcurrieron un
lapso t' en el mismo. Esto es equivalente a afirmar que dichos elementos han integrado la corriente
de estímulo, ingresando al reactor en el instante previo t  t ' , portando una concentración de
trazador Ce t  t´ .
De acuerdo con la notación adoptada precedentemente, la distribución de tiempos de
residencia en la corriente de salida es E t'  . Por otro lado, la concentración esperada de trazador
C s t  en la corriente efluente del reactor en el instante t (respuesta), será la resultante del aporte de
los elementos de volumen que abandonan simultáneamente el reactor en dicho instante, pero con
todos los posibles tiempos de residencia (o edades), t' :
t
C s t    dt ' Ce t  t 'E t '
(23)
0
Figura 4: Respuesta del reactor a diferentes estímulos
La integral en la Ecuación (23) se extiende sobre el intervalo 0  t '  t  debido a que la
probabilidad E t 'dt ' de que un elemento de volumen con trazador abandone el reactor luego de
haber permanecido en el mismo durante un tiempo t ' , mayor que el transcurrido desde la iniciación
de la inyección, es nula.
Mediante un simple cambio de variables, la Ecuación (23) puede ser escrita de la siguiente
manera:
t
C s t    dt ' Ce t 'E t  t '
(24)
0
A partir de esta forma equivalente de la Ecuación (23), es más sencillo adjudicarle a la
función E t  t ' una interpretación física adicional a su definición original como distribución de
tiempos de residencia en la corriente efluente.
De acuerdo a la Ecuación (24), la función E t  t ' puede interpretarse físicamente como una
medida de la contribución a la concentración de salida en el instante t , de los elementos de volumen
con trazador inyectados en el instante previo t  t ' . En este sentido, es lícito considerar la función
E t  t ' como función de influencia.
Siguiendo un razonamiento análogo al anterior, la concentración de trazador promedio en el
interior del reactor será
t
C t    dt ' Ce t  t ' I t '
(25)
0
o también
t
C t    dt ' C e t 'I t  t '
(26)
0
alternativamente.
La funciones de distribución E t  , I t  y J t  , y las respuestas a estímulos de tipo
“pulso”.
La interpretación de la función E t  t ' como función de influencia puede hacerse más
evidente eligiendo una forma de inyección muy particular, esto es, la de un pulso instantáneo.
Estrictamente como un recurso matemático; sin abrir juicio sobre las posibilidades o dificultades de
su realización experimental y con la única restricción de que no infrinja ninguna ley física,
proponemos una inyección de trazador tal que la concentración local en la posición de ingreso al
reactor dependa del tiempo de la siguiente manera
Ce t '   t 't 0 
;
t0  0
(27)
donde . t 't 0  es la “función”  de Dirac (Ver Apéndice I), cuyas propiedades relevantes para la
presente discusión son
0;

no  a cot ada
 t 't 0   
t '  t 0 
t '  t 0 
(28)
y
t
lim
0 dt ' t 't 0  f t '  lim f t 0   f 0
t0  0
t0  0
(29)
respectivamente, siendo 0  t 0  t  .
La Ecuación (24) implica que todos los elementos de volumen inyectados (y que por lo tanto
portan trazador) ingresan al reactor de manera instantánea constituyendo así la corriente de
estímulo, con la concentración instantánea de trazador Ce t ' , igual en magnitud y simultánea con
aquélla de la inyección.
Con la alimentación tipo “pulso” de la Ecuación (27), caracterizada por las Ecuaciones (28) y
(29), la Ecuación (24) resulta
E t   C s t 
(30)
vale decir que, cuando el estímulo es un pulso, la respuesta C s t  es directamente proporcional a
E t  . Por lo que E t  puede ser interpretada como la respuesta observable en forma de
concentración de trazador en la corriente de salida del reactor en el instante t , debida a un estímulo
consistente en una fuente instantánea y localizada de trazador, aplicada en el instante anterior
t  t´ . Esta interpretación es consistente con el concepto de función de influencia.
De acuerdo con las Ecuaciones (4) y (30), la fracción (o probabilidad de ocurrencia) de
elementos de la corriente de salida con edades en el intervalo 0, t  , cuando el estímulo es un pulso,
es
t
F (t )   dt ' C s t '
(31)
0
También, a partir de las Ecuaciones (18) y (31), se concluye
I t  
1
tR
 t

1   dt ' C s t '
 0

(32)
La expresión de la función de distribución condicional, J t  , asociada con la probabilidad de
que un elemento de volumen de edad t a salga del reactor instantáneamente, puede ser expresada en
términos de la respuesta a un estímulo del tipo “pulso”, mediante la sustitución de las Ecuaciones
(30) y (31) en la Ecuación (20):
J t   t R
C s t 


1   dt ' C s t '
 0

t
(33)
relación solamente válida en el caso de un estímulo del tipo “pulso”.
Cabe insistir sobre el hecho que inyecciones de trazador con distintas características
temporales producirán también distintas respuestas temporales. No obstante ello, las
distribuciones E t  , I t  y J t  como funciones del tiempo de residencia t , deben ser propiedades
asociadas sólo al régimen de mezclado en el interior del reactor, e independientes de la forma
funcional del estímulo utilizado (en este caso particular, de tipo “pulso”).
Ejemplo de Aplicación A: Reactor tanque continuo perfectamente agitado en
estado estacionario
En un reactor tanque continuo perfectamente agitado se cumple la condición
C s t   Cr t 
(A1)
Sustituyendo las Ecuaciones (23) y (25) en la (A1), se obtiene
t
t
 dt ' Ce t  t ' E t '  I t '   dt ' Ce t ' E t  t '  I t  t '  0
0
(A2)
0
En el caso de un reactor tanque continuo perfectamente agitado, la Ecuación (A2) se
cumple para cualquier función arbitraria Ce t   0 . Esta condición es satisfecha cuando
E t   I t 
(A3)
igualdad válida para el caso de un reactor tanque continuo perfectamente agitado. Además,
sustituyendo la Ecuación (A3) en la (14), se obtiene la ecuación diferencial
dE t  1
 E t   0
dt
tR
(A4)
que puede ser integrada directamente, para dar
 t 
K   t 
E t   e  R 
tR
(A5)
Finalmente, a partir de la condición de normalización expresada por la Ecuación (3), es
posible concluir que K  1 , resultando por lo tanto
 t 
1   t 
E t   I t   e  R 
tR
(A6)
Estos resultados son aplicables a un reactor tanque continuo, perfectamente agitado,
operando en estado estacionario, e independientes de las formas particulares que puedan ser
adoptadas para Ce t  .
Para el caso del reactor tanque continuo perfectamente agitado, en estado estacionario, vale
la Ecuación ( A6 ), y por tanto E t   I t  . Como directa consecuencia de esto:
J t   1
(A7)
para todo t  0.
El resultado J t   1 para el reactor tanque continuo perfectamente agitado, en estado
estacionario, es congruente con el hecho que una perfecta agitación se caracteriza porque cada
elemento de volumen, independientemente de cuál sea su tiempo de permanencia en el reactor, tiene
igual chance de acceso a cualquier lugar en el espacio ocupado por el medio, y en particular, al
punto de salida de la corriente efluente.
Ejemplo de Aplicación B: Reactor tubular con flujo pistón, en estado
estacionario
Un reactor tubular operando con flujo pistón en estado estacionario, se ubica en el límite ideal
de máxima segregación. No hay intercambio de materia entre elementos de volumen del medio que
fluyen con un perfil plano de velocidad axial. A lo largo del reactor, los elementos de volumen
fluyen manteniendo el orden con el que ingresaron al reactor, hasta abandonar el mismo
constituyendo la corriente de salida.
Como consecuencia de esto, la concentración de trazador en los elementos de volumen se
mantendrá constante durante el tiempo de residencia común a todos ellos, t R , e igual a la
concentración con la que ingresaron al mismo. La concentración de trazador que porta un elemento
de volumen al abandonar el reactor en un instante t , C s t  , es igual a aquélla con la que ingresó al
mismo en el instante previo t  t R  , Ce t  t R  . Vale decir que el reactor tubular operando con flujo
pistón en estado estacionario puede caracterizarse por la condición
C s t   Ce t  t R 
(B1)
donde t R  V F  , es el tiempo medio de residencia hidráulico del medio de cultivo en el reactor.
Combinando la Ecuación (23) con la Ecuación (B1), descriptiva del reactor tubular operando con
flujo pistón en estado estacionario, se obtiene
t
C s t    dt ' Ce t  t ' E t '  Ce t  t R 
t  tR  0
;
(B2)
0
Apelando a las propiedades de la “función” delta de Dirac resumidas en el Apéndice I, y en
particular a la siguiente
t
 dt ' t 't  f t '  f t 
R
R
;
t  tR  0
0
a partir de la segunda igualdad de la Ecuación (B2) puede concluirse
(B3)
E t    t  t R 
(B4)
que es la expresión de la distribución de tiempos de residencia en la corriente de salida de un
reactor tubular operando con flujo pistón en estado estacionario.
De acuerdo a las propiedades de la “función” delta de Dirac, la Ecuación (B4) significa que
en este caso E t  es cero para todos los posibles valores del tiempo de residencia, excepto para
t  t R , donde no sólo no es nula, sino que es no-acotada, aunque su integral para 0  t   es igual
a la unidad. Físicamente este resultado indica que la probabilidad de que un elemento de volumen
pueda integrarla corriente de salida de un reactor tubular operando con flujo pistón en estado
estacionario, habiendo permanecido en el mismo un tiempo de residencia distinto de t R , es nula.
Sustituyendo la Ecuación (B4) en la (14), tenemos
dI t 
1
   t  t R 
dt
tR
(B5)
expresión que puede ser integrada directamente en el intervalo 0, t  , para dar
t
1
1
I t   I 0    dt´  t´t R   H t  t R 
tR 0
tR
(B6)
según puede concluirse del Apéndice I. Además, teniendo en cuenta la Ecuación (17)
I t  
1
1  H t  t R 
tR
(B7)
donde la “función “ escalón H t  t R  es igual a la unidad cuando t  t R  , y cero de otra manera.
La Ecuación (B7) expresa en forma compacta las características inherentes al flujo tipo
pistón en estado estacionario, y complementa lo expresado por la Ecuación (B4). En este tipo de
flujo, todos los elementos de volumen permanecerán en el reactor durante el mismo lapso t R ,
transcurrido el cual necesariamente abandonarán el reactor. Durante su permanencia en el reactor, el
tiempo de residencia t , de un elemento de volumen tomado al azar, será tal que t  t R . Por lo tanto
en la Ecuación (B7), H t  t R   0 y I t   1 t R  .
Dado que la distribución de tiempos de residencia en el interior del reactor I t  , es
proporcional a la probabilidad de que un elemento de volumen tomado al azar haya permanecido en
el mismo durante un lapso comprendido entre t y t  dt , el hecho de que tenga un valor constante e
independiente de t implica que los elementos de volumen se distribuyen uniformemente según sus
edades o tiempos de residencia.
Sustituyendo las Ecuaciones (B4) y B(7), válidas para un reactor tubular con flujo pistón en
estado estacionario, en la Ecuación (19), que rige para cualquier reactor en estado estacionario con
una sola corriente de entrada y una sola de salida, obtenemos
 t  t R   J t 
1
1  H t  t R 
tR
(B8)
donde t R  V F  , es el tiempo medio de residencia hidráulico del medio de cultivo en el reactor.
En la Ecuación (B8),  t  tR  , ya que se trata de un flujo pistón, y de la probabilidad de que
un elemento de volumen participando del mismo, salga (vale decir, que todavía se encuentra en el
interior del reactor). Luego
  t  tR   J  t 
1
tR
(B9)
o también
J t   t R  t  t R 
(B10)
De esta manera
0;
t  tR

J t   
no  acotada ; t  t R
(B11)
Este resultado indica que las posibilidades de que un elemento de volumen con un tiempo de
residencia t salga del reactor para integrar la corriente de salida son nulas, a menos que el tiempo de
residencia coincida con el tiempo de residencia hidráulico t R , en cuyo caso necesariamente abandona
el reactor.
Las funciones de distribución E t  , I t  y J t  , y las respuestas C s t  a estímulos
C e t  , tipo “escalón”.
Las funciones de distribución E t  e I t  , como también la distribución condicional J t  ,
como funciones del tiempo de residencia t , sólo dependen del régimen de flujo del reactor cerrado
en estado estacionario, y no de la forma temporal del estímulo Ce t  usado en el experimento
estímulo-respuesta diseñado para determinarlas.
Inyecciones de trazador con distintas características temporales producirán también distintas
respuestas temporales, pero las distribuciones determinadas a partir de ellas deberán ser
independientes de la forma de las mismas.
En esta sección determinaremos la relación entre un estímulo Ce t  de tipo escalón y de su
correspondiente respuesta temporal C s t  , con las funciones de distribución E t  , I t  y J t  , que
proveen la información sobre el tipo de flujo existente en el reactor.
Tal como se hizo con la inyección tipo “pulso” en la discusión conducente a la Ecuación
(27), la inyección de trazador de tipo “escalón” también será considerará aquí como un recurso
estrictamente matemático. Ésta puede ser caracterizada matemáticamente del siguiente modo
Ce t   H t 
(34)
La Ecuación (34) implica que los elementos de volumen inyectados (y que por lo tanto
portan trazador) ingresan al reactor de manera instantánea constituyendo así la corriente de
estímulo, con la concentración instantánea de trazador Ce t ' , igual en magnitud y simultánea con
aquélla de la inyección.
Remplazando la Ecuación (34) en la (23):
t
t
t
0
0
0
C s t    dt ' Ce t 'E t  t '   dt 'E t  t '   dt 'E t '  F t 
(35)
de la que inmediatamente se concluye
F t   C s t 
(36)
que establece la relación entre la respuesta medible, C s t  , al estímulo tipo escalón y la función
F t  . Además, sustituyendo esta expresión en la Ecuación (6)
E t  
dC s t 
dt
(37)
que establece la relación entre la concentración instantánea de trazador en la corriente de salida
correspondiente a una inyección tipo escalón, y la función de distribución de tiempos de residencia
en la misma corriente.
Finalmente, por sustitución directa de las expresiones (36) y (37) en las Ecuaciones (27) y
(44), se obtienen
I t  
1
1  C s t 
tR
(38)
y
 1  dC s t 
d ln1  C s t 
J t   t R 
 t R

dt
1  C s t  dt
(39)
que establecen las relaciones particulares entre la respuesta medible, C s t  , para una inyección de
trazador ( o estímulo) de tipo “escalón”, y las distribuciones E t  , I t  y J t  , respectivamente. No
obstante esto, las distribuciones E t  , I t  y J t  como funciones del tiempo de residencia t deben
ser propiedades asociadas sólo al régimen de mezclado en el interior del reactor, e independientes
de la forma funcional del estímulo utilizado (en este caso particular, de tipo “escalón”).
Las funciones de distribución E t  , I t  y J t  , para una secuencia de reactores
tanque perfectamente agitados en estado estacionario, con flujo unidireccional.
Consideremos un secuencia de N reactores tanque perfectamente agitados, todos con el
mismo volumen útil V N  . El caudal volumétrico de la corriente que alimenta a la secuencia es
F . Además t R  V F  es el tiempo de residencia hidráulico del medio de cultivo en la secuencia
de N reactores .
Figura 5: Reactor real simulado como secuencia de reactores perfectamente mezclados
Recordemos que I t  es la función de distribución de tiempos de residencia para los
elementos de volumen que aún están en el interior del bio-reactor, la que está directamente asociada
con la fracción de elementos de edad t , de entre los elementos con todas las edades posibles que
contiene el reactor en estado estacionario.
Si, tal como surge de la hipótesis de estado estacionario, el número total de elementos de
volumen contenidos en el reactor no varía, ni tampoco la distribución de sus tiempos de residencia,
se puede establecer el siguiente balance de elementos con edades t y t  t , respectivamente, para
el primer reactor de la serie
V 
V 
  I 1 t     I 1 t  t   F t E1 t   t 
N
N
;
0    1
(40)
La Ecuación(40) expresa el hecho que los elementos de volumen que se encuentran en el
interior del primer reactor habiendo permanecido en el mismo un lapso t , en un instante posterior
permanecerán en el reactor, pero ahora perteneciendo a la población de edad t  t  , “o” integrarán
la corriente de salida del mismo con edades entre t y t  t  .
En la Ecuación (40), V es el volumen del medio de cultivo en la serie de reactores operando
en estado estacionario, y F es el caudal volumétrico común a las corrientes de entrada y de salida
de todos ellos. Reordenando la Ecuación (40), obtenemos
 V  I 1 t  t   I 1 t 


  E1 t   t   0
t
 NF 

(41)
expresión cuyo límite para t  0 es
dI 1 t   N 
   E1 t   0
dt
 tR 
;
t 0
(42)
Como consecuencia de que cada reactor en la secuencia está perfectamente agitado, vale la
Ecuación (A3), y en particular para el primer reactor de la secuencia, se cumple
I 1 t   E1 t 
(43)
Sustituyendo la igualdad (43) en la Ecuación (42), tenemos la siguiente ecuación para la distribución
de tiempos de residencia en la corriente de salida del primer reactor de la serie
dE1 t   N 
   E1 t   0
dt
 tR 
;
t 0
(44)
cuya solución está dada por la Ecuación (A6).
Manteniendo la hipótesis de estado estacionario también para el segundo reactor tanque
perfectamente agitado de la serie, se puede establecer el siguiente balance de elementos con edades
t y t  t , respectivamente
V 
V 
  I 2 t   F t E1 t     I 2 t  t   F t E 2 t   t 
N
N
;
0    1
(45)
La Ecuación(45) expresa el hecho que los elementos de volumen que se encuentran tanto en
el interior del segundo reactor como en la corriente de ingreso al mismo, luego de haber
transcurrido un lapso t desde que ingresaron a la serie, en un instante posterior podrán permanecer
en el segundo reactor, pero ahora perteneciendo a la población de edad t  t  , “o” integrarán la
corriente de salida del mismo con edades entre t y t  t  .
El límite de la Ecuación (45) para t  0 es
N
dI 2 t   N 
   E 2 t     E1 t 
dt
 tR 
 tR 
(46)
Como consecuencia de que cada reactor en la secuencia está perfectamente agitado, a partir
de la Ecuación (A3),
I 2 t   E 2 t 
(47)
Sustituyendo la igualdad (47) en la Ecuación (46), tenemos la siguiente ecuación diferencial
no-homogénea de primer orden para la distribución de tiempos de residencia en la corriente de
salida del segundo reactor de la serie
N
dE 2 t   N 
   E 2 t     E1 t 
dt
 tR 
 tR 
(48)
Repitiendo el mismo razonamiento, pero para el i-simo reactor en la serie, obtenemos
N
dEi t   N 
   Ei t     Ei 1 t  ;
dt
 tR 
 tR 
i  2, 3,....N 
(49)
Las versiones de las Ecuaciones (44) y (49), transformadas según Laplace, son
 N ~
 E1   
 tR 
 E1    E1 t  0  
~
(50)
 E1   
~
N  N ~
   E1    0
t R  t R 
y
 N ~
 Ei   
t
 R
 Ei    Ei t  0  
~
(51)
 N ~
 N ~
 Ei      Ei 1  
 tR 
 tR 
 Ei    
~
~
respectivamente, donde Ei   , i  1,2,...N  es la transformada de Laplace de Ei t 

~
Ei     dt e  t Ei t 
0
y donde, además, se ha usado la condición inicial
(52)
E1 t  0 
1
tR
(53)
tal como surge de la Ecuación (A6), además de
Ei t  0  0
i  2,...N 
;
(54)
consistente con el hecho de que la probabilidad de encontrar un elemento de volumen a la salida de
la secuencia de reactores desde el primero hasta el numero i, con tiempo de residencia cero, es nula.
Las Ecuaciones (50) y (51) pueden ser reordenadas para dar
N
1
~
E1     
 N 
 tR  
   
 t R 

y
(55)
N
1
~
~
E i     
E i 1  
 N 
 tR  
   
 t R 

;
i  2,...N 
(56)
Por relación de recurrencia, de las Ecuaciones (55) y (56) podemos concluir
N
N
1
~
E N     
N
 tR  
 N 
   
 t R 

(57)
La transformada inversa de Laplace de la Ecuación (57), es
N
E N t    
 tR 
N
Nt


t N 1   t R
e
N  1!
(58)
Es importante notar que, para N  1 la Ecuación (58) se reduce a la expresión A6, para un
solo tanque perfectamente agitado.
Expresión límite de E N t  para N  1
En esta sección seguiremos la línea de razonamiento de Aris. Comenzamos reordenando la
expresión de la distribución de tiempos de residencia en la corriente de salida de la secuencia de
N reactores, E N t 
Nt
N 1
 t 
N N   t R 
(59)
t R E N t   N  
e
N!
 tR 
La fórmula de Stirling, válida para N  1 , nos permite aproximar la función N ! de la siguiente
manera
N! 2N  N N e  N
12
(60)
expresión que a su vez puede ser reordenada, obteniendo la siguiente forma
NN
1

eN
12
N! 2N 
(61)
Por sustitución de la Ecuación (58) en la (60), obtenemos:
12
~
N 
t R E N t   t R E N t     e N
 2 
 t

 tR



N 1
e
 t
 N 
 tR




 t 
 t 
 
 
 N   t R   N  t R 1ln  t R  
    e
 2   t 
12
(62)
Es importante notar que el factor

 t

  t R


 1 ln  t



 tR
 


 
(63)
que es parte del exponente en la última igualdad de la Ecuación (62), es positivo para t  t R y cero
para t  t R . Luego para N  
~
E N t   K  t  t R 
(64)
donde K es una constante. Integrando ambos miembros de la Ecuación (64) en el intervalo 0,  ,
se tiene

K   dt' EN  t´  
0

 t' 
 N 
N
e
d 



 2 
0
 tR 
12
12
 N 


 2 
 t' 
 
 tR 
N 1
e
 t' 
N  
 tR 

(65)
 N  1 ! e N
NN
Comparando las Ecuaciones (61) y (65), se concluye que K  1 , y por consiguiente, para N   ,
se tiene
EN  t   EN  t     t  tR 
(66)
expresión que coincide con la dada por la Ecuación (B4) para la distribución de tiempos de
residencia en la corriente de salida de un reactor tubular con flujo pistón en estado estacionario.
En la Figura 6, se representa EN   ,    t tR  , para distintos valores de N :
E
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
Figura 6: EN
1
1.5
2
2.5
t tR
3
  vs    t tR  , para
N=1,2,5,7,10 y 13 . La exponencial con exponente negativo corresponde
a N=1 , mientras que las más aguda alrededor de τ=1 , corresponde a N=13 .
Por otro lado, de acuerdo a las relaciones entre E t  , I t  y J t  , ya demostradas y válidas
para cualquier reactor operando en estado estacionario, con una sola corriente de entrada y una única
corriente de salida, la distribución de tiempos de residencia en el interior de la secuencia es
Nt
i 1
1   t R   N
1  Nt  
  

I N t   e
tR
 i 1 i  1!  t R  
(59)
En la Figura 7, se representa I N   ,    t tR  , para distintos valores de N :
I
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5
Figura 7: I N
  vs    t tR  , para
1
1.5
2
2.5
3
t tR
N=1,2,5,7,10 y 13 . La exponencial con exponente negativo corresponde
a N=1 , mientras que las más empinada corresponde a N=13 .
mientras que la distribución asociada con la probabilidad condicional de salida de un elemento de
volumen de edad t , que se encuentra en el interior de la secuencia, es
 Nt 
N
1
 
J N t  
i 1 
N  1!  N 1  Nt    t R 
  

 i 1 i  1!  t R  
N 1
(60)
En la Figura 8, se representa J N   ,    t tR  , para distintos valores de N :
J
2.5
2
1.5
1
0.5
0.5
Figura 8: J N
1
1.5
2
t tR
  vs    t tR  , para
N=1,2,5,7,10 y 13 . La recta horizontal corresponde a N=1 , mientras
que las más empinada corresponde a N=13 .
Bio-reactor Tanque Continuo con Mezclado No-ideal: Simulación Simple de la
Existencia de una Zona con Distintos Grados de Estanqueidad.
Consideremos un reactor tanque agitado, continuo, cuyo volumen útil es VR , que corresponde al
rectángulo exterior del esquema que se muestra en la Figura 9. Supondremos que existe una fracción
 VR , 0    1 , de dicho volumen, con mezclado perfecto, al que accede la corriente de
alimentación, y del cual sale la corriente efluente. La fracción de volumen restante, 1    VR ,
consecuencia del régimen de agitación, se supone que también está perfectamente agitada. Esta zona
interactúa másicamente con el volumen principal, pero no directamente con las corrientes de entrada
y de salida del reactor real. Esta interacción ocurre mediante los caudales volumétricos F  que se
muestran en el esquema de la Figura 9.
Veremos cómo responde un equipo que opera con un flujo, simplificado, de tales características a
un experimento del tipo estímulo-respuesta como los descriptos en secciones anteriores. En
particular, consideraremos que inyectamos un “pulso” de trazador en la alimentación del reactor.
F;Cs  C1
F;Ce
 VR
F ;C1
F ;C2
1    VR
VR
Figura 9: Esquema simplificado de un reactor continuo tanque agitado cuyo volumen útil es VR , del cual el flujo
principal ocupa la fracción
 VR , la que interacciona másicamente con la fracción estanca 1    VR .
Las siguientes ecuaciones expresan el balance de trazador en las dos zonas del flujo:
αVR
dC1
=F Ce +F  C2  F C1  F  C1
dt
1-α VR
dC2
=F   C1  C2 
dt
(61)
(62)
En la Ecuación (61), el estímulo:
Ce    t 
(63)
Transformando según Laplace las Ecuaciones (61) a (63), tenemos:
αVR C1  =F+F  C2    F C1    F  C1  
(64)
1-α VR C2  =F C1    F C2  
(65)
donde  es la variable de Laplace asociada con el tiempo. Las Ecuaciones (64) y (65) constituyen
un sistema de dos ecuaciones algebraicas lineales en las incógnitas C1   y C2   :
αVR  F  F  C1    F  C2  =F
(66)
F C1  θ    F + 1-α VR θ  C2  θ =0
(67)
La solución de este sistema es
C1  θ   
C2  θ   
F  F + 1-α VR θ 
(68)
F    F + 1-α VR θ   F+F +αVR θ 
2
F F
F    F + 1-α VR θ   F+F +αVR θ 
(69)
2
La inversión de la Transformada de Laplace C1  θ  , es
E  t   C1  t  
 F   F 1    
exp  
t
2
2

1


V


R


VR  F   F 1      4 F F  1   
F





 F   F 1      4 F F  1    
2
  F   F 1    2  4 F F  1   



 

cosh 
t 


2 1    VR


 F   F 1     2 F   
  F   F 1    2  4 F F  1   



 

sinh 
t


2 1    VR


(70)





10
E t
5
0
0
5
0.1
t
10
0.2
15
20
F'
Figura 10: La función de distribución de tiempos de residencia
Parámetros:
E  t  en la corriente de salida del reactor real.
VR =1.0 , F=10.0 ,   0.7 (en unidades consistentes).
Por otro lado, la inversión C2  θ   C2  t  de la Ecuación (69), resulta
  F   F 1     
exp  
t
2
 F   F 1      4 F F  1   
 2 1    VR 
2F F 
C2  t  
VR
(71)
  F   F 1    2  4 F F  1   



 

sinh 
t


2 1    VR


donde C2  t  es la concentración instantánea de trazador en la zona con cierto grado de
estanqueidad, dependiente del valor de F  .
20
15
F'
10
5
0
4
3
2
1
0
C2 t
0
0.25
0.5
0.75
t
1
Figura 11: Concentración instantánea de trazador en la zona con distintos grados de
estanqueidad, dependiendo del valor de F  . Parámetros: VR =1.0 , F=10.0 ,   0.7 (en unidades
consistentes).
Según la Tabla 1, mediante la integración de la expresión de E  t  en el intervalo  0,t  , obtenemos
F  t  , resultando:

  F   F 1    2  4 F F  1   



 
 F   F 1     

F  t   1  exp  
t   cosh 
t 


2 1    VR
 2 1    VR  



F   F 1   

2
 F   F 1      4 F F  1   
  F   F 1    2  4 F F  1   



 

sinh 
t


2 1    VR


Esta expresión se representa en la Figura (12):
(72)





1
0.75
0.5
F t
0.25
0
5
0.1
t
10
0.2
F'
15
20
Figura 12: Probabilidad acumulativa
F  t  , de que un elemento de volumen tomado al azar de entre los que
forman la corriente de salida, haya permanecido en el reactor un tiempo comprendido en el intervalo
Parámetros:
0,t  .
VR =1.0 , F=10.0 ,   0.7 (en unidades consistentes).
Finalmente, la distribución de probabilidad condicional J  t  , asociada con el suceso consistente en
que un elemento de volumen que ha permanecido en el reactor durante un tiempo t , salga del
mismo, es
J  t   tR
E t 
(73)
1  F  t  
La expresión de J  t  se obtiene por sustitución de las Ecuaciones (70), (72) en la (73). En la Figura
(13) se representa la función obtenida:
1.25
1 J t
0.75
0.5
0.1
t
0.2
5
10
15
F'
20
Figura 13: Distribución de probabilidad condicional J  t  , asociada con el suceso consistente en que un elemento
de volumen que ha permanecido en el reactor durante un tiempo t , salga del mismo.
Parámetros:
VR =1.0 , F=10.0 ,   0.7 (en unidades consistentes).
Literatura de referencia:
Levenspiel O. (1972) Chemical Reaction Engineering. Second edition. John Wiley and Sons, New
York
Naumann E. B., Buffham B. A. (1983) Mixing in Continuous Flow Systems. A Wiley-Interscience
Publication. John Wiley and Sons, New York.
Nielsen J., Villadsen J. (1994) Bioreaction Engineering Principles. Plenum Press. A Division of
Plenum Publishing Corporation, New York.
Westerterp K. R., van Swaaij W. P. M., Beenackers A. C. M. (1984) Chemical Reactor Design and
Operation. John Wiley and Sons, New York
Wen C. Y., Fan L. T. (1975) Models for Flow Systems and Chemical Reactors. Marcel Dekker, Inc.,
New York.
Aris R. (1965) Introduction to the Analysis of Chemical Reactors. Prentice-Hall, Inc. Englewood
Cliffs, New Jersey.
Clark M. M. (1996) Transport Modeling for Environmental Engineers and Scientists. A WileyInterscience Publication. John Wiley and Sons, New York.
Oberhettinger F., Badii L. (1973) Tables of Laplace Transforms. Springer-Verlag. New YorkHeidelberg-Berlin.
Weinberger H., (1977) Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales (con métodos de variable
compleja y de transformaciones integrales). Editorial Reverté S. A. Barcelona (12).