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Semana 6
Ángulos: Grados
y radianes
Semana
7
Razones trigonométricas
¡Empecemos!
Continuamos en el estudio
de la trigonometría. Esta semana nos dedicaremos a conocer
y hallar las razones trigonométricas: seno, coseno y tangente, así como sus inversas.
Entre las aplicaciones de la
trigonometría a los triángulos
se tiene que pueden ser útiles
en la navegación, agrimensura,
astronomía, arquitectura (sobre todo cuando se deben medir alturas o hacer diseños en planos), entre otras. Ponle mucha atención a esta sesión para que puedas
avanzar satisfactoriamente.
La trigonometría estudia las relaciones
existentes entre los lados y ángulos de un
triángulo.
¿Qué sabes de...?
Revisa lo trabajado en la semana anterior (ángulos en posición estándar y
ángulos cuadrangulares), además del teorema de Pitágoras, para que puedas
establecer conexiones entre los conceptos matemáticos.
El reto es...
A los obreros de mi edificio les encantan las matemáticas, de hecho, cuando
trabajan las aplican. Esta mañana el señor Jorge le propuso a su compañero
de trabajo, Neptilio, lo siguiente: se necesita para reparar la lámpara que está
en la pared, una escalera de 6m de longitud y que su extremo inferior esté a
1,5m de la pared. Determina a qué altura está la lámpara de la pared y cuál
es el ángulo de inclinación de la escalera en relación con el piso. ¡No vayas a
utilizar instrumentos de medidas! Ayuda a Neptilio a encontrar la solución.
Sugerencia: has un gráfico de la situación.
203
Semana 7
Razones trigonométricas
Es muy probable que le des respuesta a una de las preguntas planteadas
porque ya has tenido la oportunidad de realizar problemas similares; a la otra
le darás respuesta a medida que avances con la lectura del material.
Vamos al grano
Razones trigonométricas de un ángulo
Para definir las funciones trigonométricas de un ángulo, primero se coloca
éste en posición estándar y después se selecciona un punto P(x,y) sobre el
lado terminal de α, denotamos la distancia OP como r (ver figura 18). Observa
además que si se traza una perpendicular al punto P, se forma un triángulo.
¿Qué tipo de triángulo es?
P(x,y)
r
α
Vértice
0
a
us
Lado
terminal
r
p
Hi
y
Lado
inicial
α
x
Figura 18
en
ot
90º
Cateto
opuesto
Cateto
adyacente
Figura 19
Observa en la figura 19, que el ángulo agudo α está formado por un cateto y
la hipotenusa. El cateto que forma al ángulo α, junto a la hipotenusa se llama
cateto adyacente y el cateto restante es el cateto opuesto a dicho ángulo
α.
Como ya sabes, una función es una relación directa entre cantidades, en
este caso, entre los lados del triángulo. Si tomamos como referencia el triángulo rectángulo obtenemos:
El coseno de α se define como la razón del cateto adyacente sobre la
hipotenusa.
cos α =
x
r
El seno de α se define como la razón del cateto opuesto sobre la
hipotenusa.
sen α =
y
r
La tangente de α es la razón del cateto opuesto sobre el adyacente.
204
tan α =
y
x
Semana 7
Razones trigonométricas
Funciones trigonométricas inversas
Pueden obtenerse otras razones trigonométricas, con sólo invertirse las componentes de las razones mostradas; éstas funciones son recíprocas a las anteriores.
La secante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto adyacente.
sec α =
r
x
La cosecante de α es la razón de la hipotenusa sobre el cateto opuesto.
csc α =
r
y
La cotangente de α es la división entre el cateto adyacente y el opuesto.
cot α = x
y
Las razones trigonométricas coseno y secante del mismo ángulo son inversas entre sí, al igual que el seno y la cosecante, la tangente y la cotangente.
Veamos algunos ejemplos que nos aclaren como utilizar las razones
trigonométricas:
1. Determina las razones trigonométricas de un ángulo en posición normal,
3
cuyo lado terminal está en el segundo cuadrante y la tan β = (ver
4
figura 19).
cateto opuesto al ángulo β
cateto adyacente al ángulo β
Por lo anterior sabes que tan β =
Entonces, el opuesto es 3 y el adyacente es 4. Como está en el segundo cuadrante el signo de cualquier par ordenado será (-,+), podemos asociar el coseno con la componente x y el seno con la componente y. Así que el cateto
opuesto 3 lo ubicamos en el eje y positivo y el adyacente 4 en el eje x negativo.
Observa la gráfica que ilustra este ángulo (ver figura 20).
6
5
4
(-4, 3)
3
2
3
1
θ
6
5
4
3
2
-4
Figura 20
1
0
205
Semana 7
Razones trigonométricas
Para hallar todas las razones trigonométricas, necesitas las tres medidas de
los lados del triángulo rectángulo y sólo tenemos dos. ¿Cuál nos falta?, ¿qué
se te ocurre para hallar el tercer valor? ¡Exacto!
Aplicando Pitágoras, tenemos r =
x2 + y2 =
32 + (-4)2 = 25 = 5
Ahora podemos calcular las razones trigonométricas:
cos β =
-4
= - 0,8
5
sen β =
3
5
tan β =
3
-4
sec β =
5
-4
= - 1,25
= 0,6
csc β =
5
3
= - 1,666...
= - 0,75
cot β =
-4
3
= - 1,33...
Para saber más…
Retomando el problema inicial, ilustramos la situación a través de un
gráfico (ver figura 21).
r=6m
y=?
β
Figura 21
x = 1,5 m
Como podrás observar en la figura 21 se forma un triángulo rectángulo.
En este problema se nos pide la altura y el ángulo de inclinación. Es muy
probable que hayas calculado la altura aplicando el teorema de Pitágoras; qué longitud vas a calcular ¿la de una hipotenusa o un cateto?
Sin embargo, la altura de la pared puede hallarse sin necesidad de aplicar Pitágoras, solamente usando razones trigonométricas. ¿Qué razón
trigonométrica usarías para hallar la altura? Puedes usar senβ o tanβ
pero necesitarás el valor del ángulo β .
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Semana 7
Razones trigonométricas
Necesariamente tienes que usar cos β = 0,25 para despejar el valor de
β, debemos eliminar el coseno; para ello podemos usar la función inversa llamada arcoCoseno la cual podemos escribir como: arcCos (β); en la
calculadora esta función aparece como cos-1. Al aplicar el arcoCoseno,
tenemos =
cos-1 (cos β) = cos-1 (0,25)
β = cos-1 (0,25)
β = 75,5°
Para obtener el valor de β hacemos uso de la calculadora. Sigue estos
pasos:
COS-1
SHIFT COS 0,25 = 75,522...
Aparece en la pantalla este valor
y
Finalmente, para hallar la altura usaremos tan 75,5º = 1,5
(¡hazlo usando la otra razón trigonométrica!). Despejando y, tenemos y = tan 75,5º · 1,5m = 3,87 · 1,5m = 5,8m aprox.
La inversa del seno β, el arcsen (β ) lo puedes hallar al presionar en la
calculadora la tecla sen-1, y la inversa de la tangente, es el arcotangente
(β) la obtienes al presionar tan-1.
De acuerdo a los datos del problema descubre cuál razón trigonométrica aplicar y si es necesario usar el teorema de Pitágoras.
Aplica tus saberes
1. En los ejercicios del 1 al 6, usa la figura 22 ABC para hallar las razones
trigonométricas.
12
A
B
β
α
13
a) sen β
b) tan β
c) cos β
d) cos α
e) sen α
f ) tan α Figura 22
5
C
-3
2. Calcula las funciones trigonométricas de α si cos α =
5
II cuadrante.
α , está en el
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Semana 7
Razones trigonométricas
3. Pedro está con un grupo de amigos jugando con el volantín. Si la cuerda de éste forma un ángulo de 70° con el piso y tiene un largo de 20m
(ver figura 23) ¿qué tan alto puede volar su volantín? ¿es posible que el
volantín de otro compañero, con la misma cantidad de cuerda que el
anterior vuele más alto o más bajo?, ¿de qué depende? Suponemos que
los volantines tienen la misma forma y que la influencia del viento es
igual para ambos.
20 m
A
Figura 23
4. Un cable de tensión se adhiere a un poste de 25m de largo, formando
un ángulo de 60º con el suelo. Encuentra la distancia x y la longitud del
cable tensor (Ver figura 24).
25 m
60º
x
Figura 24
5. En la rampa de la figura 25, la tangente del ángulo de inclinación A es 2/3
y la altura 2m.
Halla la distancia horizontal y la longitud de la rampa (ver Figura 25).
A
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Figura 25
Semana 7
Razones trigonométricas
Comprobemos y demostremos que…
1. Realiza los problemas propuestos en la sección anterior y forma un
pequeño grupo para poner en común los resultados. Tu facilitador te
orientará en caso de dudas. Entreguen un trabajo por grupo.
2. Tu facilitador los organizará para que cada uno evalué el desempeño
(con la guía de coevaluación) de algún compañero del grupo. Posteriormente deben socializar sus opiniones.
Guía de coevaluación
Nombre del evaluado:_____________________________
Indicador
Regular
Bueno
Excelente
Realizó los ejercicios propuestos.
Disposición al trabajo en equipo.
Respetó las decisiones del equipo.
Domina las razones trigonométricas.
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