Guía de Materia Matemáticas Triángulos

Guía de Materia
Matemáticas
Triángulos
I) Clasificación de los triángulos
a) Según sus lados
 Escaleno: 3 lados distintos
 Isósceles: 2 lados iguales
 Equilátero:3 lados iguales
b) Según sus ángulos
 Acutángulo: 3 ángulos agudos
 Obtusángulo: 1 ángulo obtuso
 Rectángulo: 1 ángulo recto
Propiedades de los triángulos
- Suma de los ángulos interiores = 180°
(
-
Suma de los ángulos exteriores = 360°
-
Cada ángulo exterior es igual a la suma de
los 2 ángulos interiores no adyacentes a él.
+
+ = 180°)
(x + y + z = 360°)
(x= + )
-
La medida de cualquier lado del triángulo mide
entre la suma y la diferencia de los otros dos lados.
-
A mayor ángulo se le opone mayor lado.
-
Perímetro = a + b + c
C
z
b
a
A
x
y
B
c
-
Área =
base altura
2
II) Elementos secundarios del triángulo
C
Altura: Perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto,
concurren en un punto llamado Ortocentro (P).
P
ha
Teorema:
En todo triángulo el producto entre la longitud de cada lado
por su altura correspondiente, es constante
hb
hc
A
Bisectriz: Recta que divide al ángulo en dos ángulos
iguales, concurren en un punto llamado Incentro
(centro de la circunferencia inscrita)
C
B
Teorema:
En todo triángulo, la bisectriz de un ángulo divide al
lado opuesto en la razón de los lados que forman el
ángulo.
C
bc
a
b
u
v
b
a
P
A
bb
v
u
B
ba
A
B
2
C
Transversal de gravedad: Recta que une el vértice con el
punto medio del lado opuesto, concurren en un punto
llamado Centro de gravedad.
Teoremas:
1) El centro de gravedad divide a cada transversal
en la razón 2 : 1
2) En todo triángulo, las tres transversales de gravedad
determinan 6 triángulos de áreas equivalentes.
3) En todo triángulo rectángulo, la transversal de gravedad
trazada desde el ángulo recto mide la mitad de la hipotenusa.
tc
P
tb
ta
A
B
Simetral: Perpendicular construida sobre el punto
medio del lado, concurren en un punto llamado
Circuncentro (centro de la circunferencia circunscrita)
Mediana: Segmento que une los puntos medios de dos
lados del triángulo, no concurren.
Teoremas:
1) En todo  las tres medianas determinan 4 
congruentes y a la vez semejantes al  original
2) Cada mediana es paralela al lado opuesto y
mide la mitad de esta.
MN
C
M
N
AB
2
A
B
P
III) Triángulos destacados
C
 Equilátero
- Los 3 lados tienen la misma medida
- Los 3 ángulos son congruentes
(60°)
- Las alturas , bisectrices y transversales de gravedad coinciden
h
a 3
2
a2 3
- Área =
4
-
a
a
h
a
A
B
C
 Isósceles
- 2 lados con la misma medida
- 2 ángulos basales congruentes
- La altura , bisectriz y transversal de gravedad
trazadas desde el vértice C, coinciden
h =b = t
A
B
3
 Rectángulo:
- Tiene un ángulo recto.
- 2 de sus alturas coinciden con los lados.(a y b)
C
-
Pitágoras:
2
2
2
a +b =c
A
Números pitagóricos:
-
a
b
Teoremas que se cumplen en el  Rectángulo.
h
q
p
B
c
3k ; 4k ; 5k
13k ; 12k ; 5k
Euclides:
2
h =p q
;
2
a =c p
;
2
b =c q
;
h=
a b
c
4