Cap IADH (1.3 Cálculo de redes abiertas JFM)x

REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Introducción
• Una red es un conjunto de tuberías unidas que tienen por objeto
transportar un fluido desde una o varias fuentes (puntos) hasta uno o
varios destinos (puntos de demanda)
1.3 Cálculo de redes abiertas
José F Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
• En forma general las redes se clasifican en:
a) Redes Abiertas: - Ventaja: económicas, ya que cada nodo es
abastecido por una sola cañería
- Desventaja: escasa seguridad operativa. Un
desperfecto en cualquier tramo intermedio causa
irregularidades en todos los puntos de demanda
posteriores al tramo dañado.
- Uso: abastecimiento de pocos puntos de demanda
(generalmente uno), a distancias importantes de la
fuente.
- Ejemplo: colectores de aguas lluvias.
José F Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
b) Redes Cerradas: - Cada nodo está conectado a dos o más cañerías
- Ventaja: gran seguridad operativa
- Desventaja: alto costo.
- Uso: casi siempre, redes de agua potable.
c) Redes Mixtas:
- Combinación de las dos anteriores
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Principios generales de diseño de redes
Debido a que las redes de distribución alcanzan un alto costo, es
necesario diseñarlas del modo más eficiente posible.
- Consumo
Ciudades:
Rural chileno:
250 - 300 l/hab-día (hasta 1000)
60 - 100 l/hab-día
- Presiones en
la matriz
Óptima:
Máxima:
Mínima:
28 - 35 m.c.a.
60 m.c.a.
20 m.c.a.
P<20 m.c.a.
P>60 m.c.a.
-Velocidades
José F Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
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José F Muñoz Pardo
problema de suministro en pisos superiores
daños en juntas de unión, válvulas y accesorios
Óptimas: dependen del problema particular, pero el
rango adecuado es entre: 0,6 y 1,2 m/s
Existen topes máximos (recordar primera clase de
sistema de cañerías)
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
1.3.1 Cálculo de Redes Abiertas
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplos de redes abiertas
No existe ningún método especial para calcular redes abiertas: el
procedimiento es análogo al visto anteriormente para otros sistemas
de cañerías.
Sistema formado por combinaciones de cañerías en serie y en paralelo.
ZA
Existen dos tipos de problemas:
A
a) Verificación: dadas las características de las cañerías, encontrar
la distribución de caudales y las pérdidas de
energía en cada tramo (solución única)
ZB
B
b) Diseño: determinar los diámetros de las cañerías que satisfagan
ciertos requisitos técnicos. La forma de solución es
resolver varios problemas de verificación para distintos
conjuntos de diámetros. Luego seleccionar aquella
solución que minimice el costo involucrado, satisfaciendo
los requerimientos técnicos (varias soluciones)
José F Muñoz Pardo
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ZC
C
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Ecuaciones que rigen el sistema.
• Balance de energía entre A y B
• Balance de energía entre A y C
ZA − ZC = f1 ⋅
• Velocidad Media
Vi =
• Continuidad
José F. Muñoz Pardo
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Ejemplo 1:
2
2
L V
L V
ZA − ZB = f1 ⋅ 1 1 + f 2 ⋅ 2 2
D2 2 g
D1 2 g
• Factor de Fricción
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José F. Muñoz Pardo
2
Calcular el gasto que fluye por cada una de las cañerías del sistema de la
figura.
2
L1 V1
L V
+ f3 ⋅ 3 3
D1 2 g
D3 2 g
4 Qi
⋅
π Di2
ε
1
21,25 
= 1,14 − 2 ⋅ Log  i +
D
e 0,9 
ℜ
fi
 i
Q1 = Q2 + Q3
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Datos:
Z1=40m.
L1=200m.
D1=150mm.
ε1=0.0125mm
José F. Muñoz Pardo
Z2=20m.
L2=100m.
D2=100mm.
ε2=0.0125mm
Z3=0m.
2
L3=100m.
υ = 1,12 × 10 −6 m s
D3=75mm.
ε3=0.0125mm.
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Para resolver el problema se resuelve iterando, suponiendo V1 y V2 y
verificando que se cumplan las ecuaciones del sistema:
Reemplazando los valores en el sistema:
•
Balance de energía entre A y B
20 = 68,0272 f1 V12 + 51,0204 f2 V22
(III)
•
Balance de energía entre A y C
40 = 68,0272 f1 V12 + 68,0272 f3 V32
(IV)
•
Velocidad Media
Q1 = 0,01767 V1
Q2 = 0,00785 V2
Q3 = 0,00442 V3
•
Factor de Fricción
• Continuidad
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
1
5,1662 ⋅10 −4 
= 1,14 − 2 ⋅ Log 8,333 ⋅10 −5 +

V 10 , 9
f1


−4

1
7,441⋅10 
−4
= 1,14 − 2 ⋅ Log 1,25 ⋅10 +
V 2 0,9 
f2


1
9,6405 ⋅10 −4 
= 1,14 − 2 ⋅ Log 1,66 ⋅10 − 4 +

V 30,9
f3


Q1 = Q2 + Q3
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José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo 2:
El embalse A abastece a dos turbinas del tipo de “pasada”. Suponiendo que el embalse
entrega un caudal constante de 3 m3/s y que ambas turbinas funcionan con la misma
altura neta , se pide determinar el caudal de operación de cada turbina.
Ejemplo 2:
i) Balance de energía entre A y B
BA = BB + Λ T 1 + Λ T 2 + H T 1 ⇒ 500 = 160 + 10 ⋅ 32 + 50 ⋅ Q12 + H T 1
H T 1 = 250 − 50 ⋅ Q12
ii) Balance de energía entre A y C
BA = BC + Λ T 1 + Λ T 3 + H T 2 ⇒ 500 = 110 + 10 ⋅ 32 + 25 ⋅ Q22 + H T 2
H T 2 = 300 − 25 ⋅ Q22
Como
Considere:
-Potencia total generada 5.880 KW
-Turbinas 100% eficientes
-Pérdida de energía de cada tubería
dada por ∆H=R·Q2, con H(m) y Q(m3/s)
-Desprecie las pérdidas singulares.
HT1 = HT 2
Además se tiene
Finalmente
250 − 50 ⋅ Q12 = 300 − 25 ⋅ Q22
3 =Q1 +Q2 ⇒ Q1 = 3 − Q2
250 − 50 ⋅ Q12 = 300 − 25 ⋅ Q22
10 − 2 ⋅ (3 − Q2 ) 2 = 12 − Q2
Q2 = 2 m 3 s ⇒ Q1 = 1 m 3 s
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Soluciones gráficas para redes abiertas
Ejemplo 2:
i) Balance de energía entre A y B
BA = BB + Λ T 1 + Λ T 2 + H T 1 ⇒ 500 = 160 + 10 ⋅ 3 + 50 ⋅ Q + H T 1
2
2
1
En algunos casos una solución gráfica del problema puede ser mucho
más fácil.
Se analizan varios casos:
H T 1 = 250 − 50 ⋅ Q12
ii) Balance de energía entre A y C
BA = BC + Λ T 1 + Λ T 3 + H T 2 ⇒ 500 = 110 + 10 ⋅ 32 + 25 ⋅ Q22 + H T 2
1.- Tuberías alimentadas por un estanque superior. En este caso conviene fijar el
eje H hacia abajo.
H T 2 = 300 − 25 ⋅ Q22
Como
HT1 = HT 2
Además se tiene
Finalmente
250 − 50 ⋅ Q12 = 300 − 25 ⋅ Q22
∆H
3 =Q1 +Q2 ⇒ Q1 = 3 − Q2
H0
250 − 50 ⋅ Q12 = 300 − 25 ⋅ Q22
H0=Energía disponible en
A para el caudal Q
10 − 2 ⋅ (3 − Q2 ) 2 = 12 − Q2
Q2 = 2 m 3 s ⇒ Q1 = 1 m 3 s
José F. Muñoz Pardo
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∆H=Pérdida de de energía
José F. Muñoz Pardo
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2.- Tuberías alimentadas por varios estanques.
3.- Tuberías alimentadas por dos estanques en paralelo que se conectan en
serie con otra tubería.
En A circula caudal
proveniente de R1,
mientras la carga
disponible en A
sea mayor que la carga
dada por R2
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
5.- Dos cañerías en paralelo alimentadas con una bomba que abastecen dos
estanques a distinta cota.
4.- Cañerías alimentadas con una bomba.
HB= altura necesaria a la salida geométrica(KM) + pérdidas(ML)
∆H
∆H
Para entregar un caudal Q, la bomba debe entregar una presión de HB.
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
6.- Cañerías en serie y paralelo alimentadas con una bomba a dos estanque
a distinta cota.
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Gasto en camino
• Concepto
Hasta esta parte se ha estudiado el caso de una tubería que transporta un gasto
constante desde un extremo a otro de la tubería; se dice entonces, que esta tubería
asegura un “gasto de extremos”.
Existen numerosos casos en que un conducto o tubería distribuye el fluido a lo largo
de su longitud, como por ejemplo, la red de agua potable; en este caso se dice que
esta tubería asegura un “gasto en camino”.
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
- Situación típica: Gasto en extremos
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Qué gasto se usa para diseñar la cañería?
Q
Q
Idealmente el diámetro de la tubería debería ser variable, ya que el gasto que transporta es
variable también.
En la práctica no se considera la posibilidad de diseñar tuberías con diámetro variable.
Entonces se hace necesario definir un caudal de diseño (QD) que asegure este suministro.
- Un criterio conservador es diseñar con
QO = P + q·L ( sobredimensionado)
-Nueva situación: Gasto en camino
QO
P
Q = q (m3/s/m) · L (m)
QO = Q + P
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José F. Muñoz Pardo
- Otra alternativa es encontrar un caudal de diseño QD que asegure el suministro.
El criterio que se utiliza es encontrar un caudal teórico de diseño, de modo que la
pérdida de carga en la tubería sea la misma que para el caso real.
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José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
- El modelo que se propone:
- Considérese un elemento de volumen de cañería de largo dx:
x
dx
x
Qo
Q
D
P
q: gasto por unidad de
longitud, uniforme y
continuamente
distribuido
Qo
dx
Q
D
P
q (m3/s/m)
q (por metro)
L
- equivalente en pérdida por fricción a:
L
El gasto que entra al elemento de volumen es:
QD
D
QD
Q = QO - q x
(*)
L
José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
- La pérdida de carga en una tubería cualquiera se evalúa como:
L V
∆h = f ⋅ ⋅
D 2g
Q =V ⋅ A =V ⋅
- entonces:
∆h = (
- Luego, la pérdida en el elemento de volumen es:
d(∆h) = c ·dx · Q2
2
- por continuidad:
REDES DE DISTRIBUCIÓN
(Ley de Darcy)
- Reemplazando Q de (*) se obtiene:
d(∆h) = c ·(QO - q x)2 dx
πD 2
- Luego, integrando en el largo de la tubería se tiene:
4
8f
) ⋅ L ⋅ Q2
π D5 g
L
2
∆h = ∫ c ⋅ (Q0 − qx) 2 dx
c
0
L
∆h = c ⋅ ∫ (Q02 − 2Q0 qx +q 2 x 2 )dx
∆h = c·L·Q2
0
∆h = c ⋅ (Q02 ⋅ L − Q0 qL2 +
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José F. Muñoz Pardo
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José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
- Ahora, aplicando continuidad tenemos:
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-Ahora, consideremos un caudal de diseño QD, que produzca la misma pérdida:
QO = P + q L
c ⋅ L ⋅ QD 2 = c ⋅ L ⋅ [ P 2 + PqL +
- Reemplazando en la ecuación anterior:
∆h = c ⋅ [( P + qL) 2 ⋅ L + ( P + qL) ⋅ qL2 +
q 2 L3
]
3
∆h = c ⋅ L ⋅ [ P 2 + 2 PqL + q 2 L2 − PqL − q 2 L2 +
q 2 L2
]
3
q 2 L2
∆h = c ⋅ L ⋅ [ P + PqL +
]
3
2
José F. Muñoz Pardo
q 2 L3
)
3
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QD = P 2 + PqL +
q 2 L2
3
q 2 L2
]
3
QD =
o
Q02 + pQo + P 2
3
- Matemáticamente, se puede decir por otro lado que:
1
1
2
1
P 2 + PqL + q 2 L2 < P 2 + PqL + q 2 L2 < P 2 +
PqL + q 2 L2
4
3
3
3
1
1
( P + qL) 2 < QD 2 < ( P +
qL) 2
2
3
José F. Muñoz Pardo
P + 0,5 ⋅ qL < QD < P + 0,58 ⋅ qL
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
- Finalmente se diseña con la ecuación simplificada:
QD = P + 0,55 q L
Sólo se utiliza para estimar la
pérdida de carga en tuberías
con gasto en camino
OJO
Ejemplo. Diseñar la red abierta de la figura
3
QA
1
2
QC
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
(Despreciando las pérdidas
singulares y la altura de vel.)
a) Ecuaciones que describen el sistema
- Continuidad Q12 = QA ; Q23 = QB
- Balance de energía (despreciando las alturas de velocidad en los nodos)
(6 y 7)
(8)
- Gasto de diseño Q24D = 0,55 QC
• entre 1 y 3
P3
γ
• entre 1 y 4
P4
γ
= ( z1 − z3 ) +
P1
γ
= ( z1 − z 4 ) +
− f1− 2 ⋅
P1
γ
2
L V
L1− 2 V1− 2
− f 2 −3 ⋅ 2 −3 2 −3
D2−3 2 g
D1− 2 2 g
2
− f1− 2 ⋅
π ⋅ Dij
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(1)
b) Análisis de soluciones
2
(2)
Vel. de diseño: VD = QD/A
ij = (1,2), (2,3) y (2,4)
4 ⋅ Qij
2
L1− 2 V1− 2
L V
− f 2− 4 ⋅ 2− 4 2− 4 D
D1− 2 2 g
D2− 4 2 g
- Velocidad Media
vij =
4
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
QB
- Considerando conocidos P1,, P3 y P4 , f12,, f23 y f24 , L12,, L23 y L24
hay 9 incógnitas: V12, Q12, V23, Q23, V24, Q24D, D12, D23, D24
- En total hay 8 ecuaciones y por lo tanto 1 grado de libertad (9-8),
luego hay que fijar 1 diámetro para determinar los otros dos
(3, 4 y 5)
2
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Calcular Q12, Q23 y Q24 de (5)i y (6)
c) Planteamiento formal del problema (caso general):
Min CT = α (L12D12 + L23D23 + L24D24)
s.a. Ecuaciones
(1) a (8)
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d) Algoritmo de solución
Suponer (D12, D23 y D24) disponibles más económicos
funcionamiento
hidráulico
Calcular Vij de (2)ij
NO
P2
γ
≥ 25m.c.a;
Vij ≤ 2.5 m/s
P3
γ
≥ 30m.c.a.;
P4
γ
(i,j) = (1,2), (2,3), (2,4)
Dij ∈ {0,1; 0,125; 0,15}
≥ 30m.c.a.
Partir
velocidad
Quedan D12, D23,
D24 disponibles
Son Vij < 2,5
SI
presión
Restricciones
técnicas
diámetro
SI
NO
Calcular Reij de (4)ij
Suponer
(D12, D23, D24)
de siguiente
prioridad
económica
No hay solución
Calcular fij de (3)ij
Parar
Calcular P2/γ, P3/γ, P4/γ de (1)i
NO
Son P2/γ >25 y
P3/γ, P4/γ >30
José F. Muñoz Pardo
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Anotar solución
óptima
SI
Parar
José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo 2
Datos
Dimensionar las cañerías del sistema de la figura, si en el tramo 2 se debe
entregar un gasto uniformemente repartido de q=0.02 l/s·m y al final de ese tramo se
debe entregar un gasto de 15 lt/s.
- Viscosidad del fluido
υ = 1,12 ×10 −6 m s
- Características Tuberías
L1=500m ; L2=1000m ; ε1=ε2=0,10mm
- Diferencia de cotas
H=40m
- Gastos a entregar
q=0.02 l/s·m
2
- Despreciar alturas de velocidad en a y b
- Factor de fricción dado por
- Despreciar pérdidas singulares
- Costo de tubería instalada
Q= 15 lt/s
ε
1
21,25 
= 1,14 − 2 ⋅ Log  i +
0,9 
fi
 Di ℜe 
c=224·D0.95 ; c en US/m·l ; D en m
- No se permiten velocidades mayores a 3.0 m/s
- Para efectos de cálculo, suponga que D1 puede ser 0.100m; 0.125m; 0.150m; 0.175m;
y 0.200m.
- Además suponga que D2 puede variar milímetro a milímetro entre 0.100m y 0.200m.
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Solución
Solución
Número de ecuaciones: 7
Ecuaciones que rigen el sistema:
V1 ⋅ π ⋅ D (I)
4
2
1
-Velocidad Media
Q1 =
QD =
-Ecuación de gasto de diseño
QD = Q + 0,55 ⋅ q ⋅ L2 (III)
-Ecuación de continuidad
Q1 = Q + q ⋅ L2 (IV)
-Balance de energía
H = f1 ⋅
2
-Ecuaciones del factor de fricción
V2 ⋅ π ⋅ D
4
2
2
(II)
Número de variables desconocidas: (Q1, Q2, D1, D2, V1, V2, f1, f2) 8
Por lo tanto el sistema tiene infinitas soluciones, o en otras palabras, para cada D1 dado
y fijo existirá un D2 que satisfaga el sistema de ecuaciones. La solución óptima será
aquella que, además de ser solución del sistema de ecuaciones minimice el costo de la
instalación y satisfaga las restricciones del problema que son:
2
L V
L1 V1
+ f2 ⋅ 2 2
D2 2 g
D1 2 g
(V)
0,9
ε
 υ  
1
  (VI)
= 1,14 − 2 ⋅ Log  1 + 21,25
f1
 D1
 V1 ⋅ D1  
• V1 < 3.0 m/s
• V2 < 3.0 m/s
• D1 = (0.100m; 0.125m; 0.150m; 0.175m; 0.200m; )
• 0.100m < D2 < 0.200m; con D2 variando al milímetro
0,9
ε
 υ   (VII)
1
 
= 1,14 − 2 ⋅ Log  2 + 21,25
f2
 D2
 V2 ⋅ D2  
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Algoritmo de solución
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Partir
Fijar D1 posible
Calcular V1 de (IV) y (I)
Es V1 < 3.0?
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NO
SI
¿Quedan D1
disponibles?
SI
Cambiar D1
Solución Numérica:
Los tanteos necesarios y
todas las soluciones posibles que
cumplen las restricciones se
entregan en la siguiente tabla:
NO
Suponer D2 posible
Parar
No hay solución
Calcular V2 de (III) y (II)
NO
Es V2 < 3.0?
¿Quedan D2
disponibles?
SI
Cambiar D2
NO
SI
Calcular f1 y f2 de (VI) y (VII)
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¿Se cumple?
SI
Anotar solución
posible
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Selección por criterio económico:
Ejemplo 3
Sistema permite elevar el agua desde estanque A hasta B. La impulsión se
realiza mediante una bomba que capta el agua con una tubería de succión y la conduce a
través de 3 tuberías de distinto diámetro conectadas en serie. Considere despreciable la
longitud de la tubería de succión, pero no desprecie la pérdida singular debido a K1.
Se pide determinar la potencia necesaria para que el sistema permita disponer
de un caudal de regadío QS=10 l/s, distribuidos uniformemente en la tubería 1 y que al
estanque B llegue un caudal de Q=50 l/s. Además considere que existe una entrega
puntual en el nodo D de QD= 10 l/s.
Dentro de las cuatro soluciones posibles, que satisfacen las restricciones del
problema, se elegirá aquella que minimice el costo de las tuberías instaladas.
El costo por metro lineal de cañería instalada es: c=224·D0.95
Luego el costo total de la instalación será de:
costo total=L1·224·D10.95 +L2·224·D20.95
Finalmente se evalúa el costo para las cuatro soluciones posibles.
Costo Total (US$)
D1=0.125m ; D2=0.173m
57.839
D1=0.150m ; D2=0.133m
51.426
D1=0.175m ; D2=0.127m
52.925
D1=0.200m ; D2=0.125m
55.354
Como el menor costo lo entrega la alternativa II se elige D1=0.150m ; D2=0.133m
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ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
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Ejemplo 3
Solución
Datos:
-Factor de fricción constante para todas las tuberías: f=0,02
- Singularidad a la salida del estanque A: K1=1,5
- Singularidad a la entrada del estanque B: K3=1,0
- Singularidad en el nodo D: K2=2,5 (considere velocidad de salida)
- Eficiencia de la bomba: η=80%
-Caudal total extraído del estanque A:
l
m3
QT = 50 + 10 + 10 = 70 = 0, 07
s
s
-Realizando balance de energía entre estanque A y estanque B:
zA +
Patm
γ
2
+
2
V2
V2
V2
LV2
LV2
LV 2
P
V
VA
+ H Bomba = z B + atm + B + f1 1 1 + f 2 2 2 + f 3 3 3 + K1 1 + K 2 3 + K 3 3
2g
γ
2g
2g
2g
2g
D3 2 g
D2 2 g
D1 2 g
-Considerando presiones relativas, que el nivel de los estanques permanece constante, y
que además:
QD = 0,55 ⋅ q ⋅ L + p = 0,55 ⋅ 0,01 + 0,06 = 0,0655
- Se pueden evaluar cada uno de los términos a la derecha de la ecuación de energía.
f1
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José F. Muñoz Pardo
L1V12 0,02 ⋅1.000 QD2
=
⋅
= 22,201
D1 2 g 0,2 ⋅ 2 ⋅ 9,8 A12
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Cálculo de diámetros en redes abiertas
Cálculo de diámetros en redes abiertas.
Solución
- Se pueden evaluar cada uno de los términos a la derecha de la ecuación de energía.
f2
L2V22
0,02 ⋅ 500 Q22
=
⋅
= 39,251
D2 2 g 0,15 ⋅ 2 ⋅ 9,8 A22
1,5 QT2
V2
⋅
= 0,380
K1 1 =
2 g 2 ⋅ 9,8 AS2
f3
L3V32 0,02 ⋅ 800 Q32
=
⋅
= 1,363
D3 2 g 0,3 ⋅ 2 ⋅ 9,8 A32
V2
2,5 Q32
K2 3 =
⋅
= 0,0641
2 g 2 ⋅ 9,8 A32
V2
1,0 Q32
K3 3 =
⋅
= 0,0256
2 g 2 ⋅ 9,8 A32
- Reemplazando estos valores en la ecuación de energía se obtiene la altura de la Bomba:
200 + H Bomba = 280 + 22,201 + 39,251 + 1,363 + 0,380 + 0,0641 + 0,0256 ⇒ H Bomba = 143,285m
- Por lo tanto la potencia resulta:
γ ⋅ QT ⋅ H Bomba 9800 ⋅ 0,07 ⋅143,285
Pot Bomba =
=
= 122,867 KW
η
0,8
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José F. Muñoz Pardo
Definiciones
Tramo: es un elemento de tubería afectado de un solo valor de caudal, es
decir una parte de tubería sin ramificación.
Nodo: sección que tiene ramificaciones.
El problema que se resolverá es el siguiente:
“Suponiendo que la carga total disponible en la cabeza de la red es
conocida, se trata de elegir el diámetro de cada tramo de manera que cada entrega
de agua reciba al menos la carga mínima requerida”
Red de 1 tramo: Problema simple, puesto que se instala un diámetro que utilice
toda la carga disponible.
Red de 2 tramos: Problema más difícil puesto que existen varias soluciones que van
dese
d1 pequeño y d2 grande, hasta d2 pequeño y d1 grande.
Red de muchos tramos: Problema muy difícil
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Cálculo de diámetros en Redes Abiertas
Un estudio de optimización permite bajar los costos entre un 5 a un 10%
Caso de una tubería no ramificada:
Un estudio de optimización permite bajar los costos entre un 5 a un 10%
∂P
=0
P es mínimo si
∂i2
- Carga total disponible H
H = i1 ⋅ L1 + i2 ⋅ L2
H
Pero
- Precio=p1i1L1+p2i2L2
i1 =
H − i2 ⋅ L2
L1
-Luego el precio queda:
P($) = p1 ⋅
H − i2 ⋅ L2
⋅ L1 + p2 ⋅ i2 ⋅ L2
L1
José F Muñoz Pardo
∂i1
L
=− 2
L1
∂i2
Luego:
Q1, L1, i1?, p($)
Q2, L2, i2?, p($)
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Entonces:
∂P ∂p1 ∂i1
∂p
=
⋅
⋅ L1 + 2 ⋅ L2 = 0
∂i2 ∂i1 ∂i2
∂i2
∂p1 L2
∂p
⋅ − ⋅ L1 + 2 ⋅ L2 = 0
L1
∂i1
∂i2
∂p1 ∂p2
=
∂i1 ∂i2
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Aparece entonces un método gráfico.
1) Conociendo P vs d
El sistema de la figura es utilizado para regar un campo. Se abastece
mediante una bomba y dispone de 4 tuberías de riego (tuberías A, B, C y D),
que distribuyen en forma uniforme un determinado caudal (QA, QB, QC y QD).
En su término, las tuberías proporcionan un caudal de salida (QAS, QBS, QCS
y QDS) que es utilizado para regar otras zonas del predio. Al inicio de la tubería
de riego D existe una válvula que permite regular el flujo en dicha tubería.
P
2) Se deduce P vs i
P
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Ejemplo de red abierta
d
dp/di
4
3
2
Tramo 1
3) Se deduce dp/di
i
4) Para un valor de dp/di, se obtienen los i correspondientes
H=i1L1+i2L2+i3L3…
5) Por tanteo se obtiene el H disponible.
José F Muñoz Pardo
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José F Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Considere:
• Despreciables la altura de velocidad en todo el sistema y las pérdidas
singulares, con excepción de aquella que introduce la válvula.
• Altura de presión mínima requerida a la salida de las tuberías de riego 10
m.c.a.
• Factor de pérdida por fricción y área transversal de las tuberías conocidos:
Antes de buscar las variables que piden en el enunciado, se procede a
determinar las velocidades que circulan por cada tubería.
En primer lugar se hace continuidad de caudales a lo largo de la red.
QTot = Q A + Q AS + QB + QBS + QC + QCS + QD + QDS
QTot = 200 + 90 + 240 + 168 + 200 + 90 + 240 + 168 = 1396 lt
seg
Este caudal circula por las tuberías 1 y 2, por lo que se pueden estimar las
velocidades:
V1 =
m3
Q1 1.396 seg
=
= 1m
seg
1.396 m 2
A1
V2 =
m3
Q2 1.396 seg
=
= 1m
seg
A2
1.396m 2
Para la tubería 3 se debe determinar el caudal que circula por la tubería:
Se pide determinar:
a) La altura (HB) que debe introducir la bomba.
b) El valor de la singularidad (KS) que debe introducir la válvula.
c) El diámetro de la tubería de riego A.
d) La cota geométrica del punto B, ZB.
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Q3 = QC + QCS + QD + QDS
Q3 = 200 + 90 + 240 + 168 = 698 lt
seg
m3
Q3 0.698 seg
=
= 1m
V3 =
seg
A3
0.698m 2
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Se requieren a continuación las velocidades a través de las tuberías con
gasto en camino. Puesto que estas velocidades se utilizarán para determinar las
pérdidas por cada tubería, se debe utilizar el caudal de diseño en cada caso:
REDES DE DISTRIBUCIÓN
a)
Determinar la altura HB que debe introducir la bomba.
Como la única tubería que no posee incógnitas es la C, se hace un balance de energía
entre el estanque y el extremo de la tubería C.
3
QDA
3
= 0,55 ⋅ 200 + 90 = 0,2 m
QDB = 0,55 ⋅ 240 + 168 = 0,3 m
QDC = 0,55 ⋅ 200 + 90 = 0,2 m
QDD
0.2 m
Q
seg
V A = DA =
=?
AA
?
seg
VB =
3
seg
3
seg
3
= 0,55 ⋅ 240 + 168 = 0,3 m
seg
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QDB
=
AB
3
0.3 m
seg
= 1m
s
0,3m 2
3
m
0.2
seg
=
= 1m
s
0,2m 2
VDC
Q
= DC
AC
VDD
m3
QDD 0.3 seg
=
=
= 1m
s
0,3m 2
AD
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Z Es tan que + H B = Z C + Λ1 + Λ 2 + Λ 3 + Λ C +
γ
Para estimar las pérdidas en cada tubería se utiliza la expresión
Como la válvula se encuentra en la tubería D, se realiza un balance de energía esta vez
entre el estanque y el extremo de la tubería D.
55 = 2 + 10 + 20 + 5 + 40 ⋅
12
12
+ 10 + K ⋅
2⋅ g
2⋅ g
Reemplazando los valores conocidos:
55 = 2 + 10 + 20 + 5 + 40 ⋅
12
12
+ 10 + K ⋅
2⋅ g
2⋅ g
Λi =
f ⋅L V2
⋅
D 2⋅ g
Además, en el enunciado se especifica que la presión mínima requerida a la salida de las
tuberías de riego es de 10 m.c.a. por lo que el balance de energía queda:
H B = 6 + 200 ⋅
12
12
12
12
+ 400 ⋅
+ 100 ⋅
+ 80 ⋅
+ 10 = 55m
20
20
20
20
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
b) Determinar el valor de la singularidad (K) que debe introducir la válvula.
PC
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c) Determinar el diámetro de la tubería de riego A.
Para determinar el diámetro de la tubería A hacemos balance entre el estanque y el
extremo de la tubería, teniendo como incógnita la velocidad en el tramo.
P
Z Es tan que + H B = Z A + Λ1 + Λ 2 + Λ A + A
γ
V2
55 = 10 + 10 + 20 + 100 ⋅ DA + 10
2⋅ g
m
Despejando la velocidad VDA = 1 s
Con la expresión para el caudal:
3
0 .2 m
QDA
seg
VA =
⇒1=
⇒ D = 0.5
π ⋅ D2
AA
4
d) Determinar la cota geométrica del punto B, ZB.
Para determinar el valor de ZB se realiza un balance de energía entre el estanque y el
extremo de la tubería B.
PB
Despejando K = 120
Z Es tan que + H B = Z B + Λ1 + Λ 2 + Λ B +
γ
12
+ 10
55 = Z B + 10 + 20 + 50 ⋅
2⋅ g
Z B = 12,5mt
José F Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Cálculo de Costos
1.3.2 Criterio Económico de Selección de diámetro
a) Cañerías. Algunos costos pueden expresarse en función del diámetro
• La elección del material, del diámetro y el tipo de bomba debe asegurar que el costo total anual
(costo de inversión + costo de operación + costo de mantención), sujeto al cumplimiento de
ciertos requerimientos técnicos ( presiones requeridas, límites de velocidad, caudales mínimos,
etc.) sea mínimo.
• Para una instalación con un diámetro grande, las pérdidas de carga son pequeñas, luego la
energía utilizada por la bomba es pequeña.
→ Costo de operación pequeño y costo de inversión grande
Material
Espesor (mm)
Costo (US$/m)
Acero
6
C=224·D0,95
100 – 600
Acero
8
C=266·D0,96
100 – 600
Rocalit
AV - 15
C=163·D1,2
< 350
Rocalit
AV - 15
C=194·D1,35
350 – 600
b) Estanques (V=m3)
• Para una instalación con diámetro pequeño se tienen pérdidas importantes, luego:
→Energía utilizada grande → Costo de operación grandes, pero costo de inversión pequeños
•Los requerimientos técnicos de la instalación serán restricciones del sistema:
•Presiones requeridas
•Velocidades límites (máximas)
•Gastos mínimos a satisfacer en puntos
Límites (mm)
Tipo
Costo (US$/m)
Límites (m3)
Semi enterrados
C=193·V0,8
100 < V < 3000
Elevados
C=332·V0,84
500 < V < 2500
C=2495·V0,54
< 500
c) Bombas con Motor (Q en m3/s; H en m)
Tipo
Costo (US$/m)
Motor Sumergido
C=96,23·Q0,541·H0,658
C=97,69·Q0,453·H0,642
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ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Estudio y Análisis de Costos
Estudio y Análisis de Costos
Desde el punto de vista del costo de un proyecto se pueden realizar dos operaciones para
comparar y elegir la mejor opción: Comparar el VAN (Valor Actualizado Neto), o bien comparar
el VAE (Valor Anual Equivalente).
Pero antes se deben identificar los costos involucrados en este tipo de proyectos, los que
pueden ser:
•
Costos de inversión, realizados en el año 0, que se refieren a la adquisición de equipos
(bombas), tuberías, inversión en ingeniería, etc. Se debe considerar la amortización y el valor
residual de algunos equipos.
•
Costos de operación y mantenciones, durante la vida útil del proyecto, se traducen en un
costo fijo o variable anual vinculado al proyecto.
Valor residual
Para comparar los costos de explotación con los costos de inversión se hace necesario
transformar este último a costo anual. El problema se denomina método VAE, ya que se
comparan costos anuales equivalentes ( Valor Anual equivalente).
El problema se reduce entonces a encontrar una suma anual, A, uniforme que permita
pagar durante n años el capital inicial o valor presente S (P), puesto a un interés r o tasa de
descuento real.
Anualidad
Inicio año 1
Suma Debida
Valor P
S
Final año 1
A
S(1+r)-A
Final año 2
A
[S(1+r) –A] (1+r)-A
Final año 3
A
{[S(1+r) –A] (1+r)-A}(1+r)-A
…
…
…
A
S(1+r)n-A∑(1+r) j=0
Final año n
Luego para que la suma debida sea cero
A=
S (1 + r )
j = n −1
Valor F
n
∑ (1 + r )
j
j =0
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
j = n −1
Pero como
∑
j =0
(1 + r )
j
(1 + r )
=
n
−1
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Estudio y Análisis de Costos
r
Método del VAN (Valor Actualizado Neto), consiste en comparar los costos que se
hacen en el año cero. Para eso se deben trasladar los costos anuales a un costo equivalente
para n=0 a una tasa de interés de dada i%.
S ⋅ r ⋅ (1 + r )
,= S ⋅ f
A=
(1 + r )n − 1
n
Entonces
Costos anuales
Costo inicial
con f: factor que anualiza el capital S para n años y r% de interés.
Mediante este método se deben llevar a valor presente (año 0) los costos a lo largo del
proyecto. Para esto se pueden utilizar las relaciones para llevar un valor futuro F a valor
presente P (P dado F) o bien llevar un valor anual A, a valor presente P (P dado A).
Llevar un valor F a P, P a F, P a A, requiere considerar que el capital está sometido a un
interés determinado r, denominado también tasa de descuento.
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
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José F. Muñoz Pardo
REDES DE DISTRIBUCIÓN
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Estudio y Análisis de Costos
P dado F:
Valor presente P de un
capital futuro F a una tasa
de descuento i
a) Costo Anual de la Instalación . Diferentes correlaciones han demostrado que el
costo de una cañería queda dado por
CI inicial = a ⋅ L ⋅ D b
P dado A:
donde CIinicial es el costo inicial de la instalación (US$), L el largo cañería (m), D
el diámetro (m) y a y b constantes que dependen del material y del espesor de la
cañería.
El costo anual de la de la instalación deberá repartido en anualidades iguales a
través de todos los años de vida útil del proyecto
S ⋅ r ⋅ (1 + r )
=S⋅ f
A=
(1 + r )n − 1
n
CI anual = CI inicial
CI anual = a ⋅ L ⋅ D ⋅
b
De esta forma se obtienen valores equivalentes al año 0, los que permiten comparar las
diferentes alternativas que se tengan para efectuar un proyecto.
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r ⋅ (1 + r )
(1 + r )
n
r ⋅ (1 + r )
(1 + r )
n
n
−1
n
−1
Si D ↑ costo inversión anual ↑
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b) Costo Anual de la pérdida de energía por fricción.
La pérdida de energía por fricción y la altura de la bomba se expresa como:
H = C ⋅L⋅
Qm
Dp
→ HB = C ⋅ L ⋅
Qm
+ HG
Dp
La potencia necesaria de la bomba será:
ρ ⋅ g ⋅Q ⋅ HB
( watt )
η
ρ ⋅ g ⋅ Q ⋅ H B KWH
(
)
= 8, 76
η
año
Pot BHP =
Pot BHP
Pot BHP = (8, 76 ⋅
1⋅ 24 ⋅ 365 KWH
1 watt =
(
)
1000
año
KWH
1 watt = 8, 76(
)
año
REDES DE DISTRIBUCIÓN
c) Costo Total Anual. Corresponde a la suma algebraica del costo anual de la
instalación más el costo anual de la pérdida de energía por fricción.
La suma de ambos costos es entonces el Costo Total Anual:
C.T . A = a ⋅ L ⋅ D ⋅
b
r ⋅ (1 + r )
(1 + r )
n
n
−1
+ P ⋅ (8, 76 ⋅
ρ⋅g
Q m +1
ρ ⋅ g ⋅Q
US $
H G )(
)
⋅ C ⋅ L ⋅ p + 8, 76 ⋅
D
año
η
η
ρ⋅g
ρ ⋅ g ⋅Q
Q m +1
KWH
⋅ C ⋅ L ⋅ p + 8, 76 ⋅
H G )(
)
D
año
η
η
Si P es el precio(US$/KWH)) del KWH, el costo anual de la pérdida de energía por fricción es
C.P.E. = P ⋅ (8, 76 ⋅
ρ⋅g
Q m +1
ρ ⋅ g ⋅Q
US $
⋅ C ⋅ L ⋅ p + 8, 76 ⋅
H G )(
)
η
η
D
año
Si D ↑ costo Potencia Instalada anual ↓
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José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
La elección del diámetro óptimo de la instalación se hace construyendo la
curva de costo total, considerando la suma de ambos costos, y se selecciona su
mínimo valor para los diámetros existentes en el mercado.
El problema se reduce entonces a encontrar el diámetro de la instalación que
hace mínimo el C.T.A sujeto a las restricciones técnicas:
H = C ⋅L⋅
Q <π ⋅
Qm
Dp
REDES DE DISTRIBUCIÓN
Fórmulas Directas
Estas son fórmulas que permiten calcular directamente el diámetro económico en
función del gasto (Q en m3/s)
Deconomico = 1,5 ⋅ Q
e
D = 1,547 ⋅  
f 
D2
⋅Vlim
4
, que significa suponer que V=0,6 m/s
0 ,154
Q 0, 46
e
D = 1,456 ⋅ n 0,154 ⋅  
f
Q ≥ Qmin
D ∈ Dcomercial
, fórmula de Vibert 1948, donde
e: precio KWH
f: precio del kg. de
material de la cañería
0 ,154
Q 0, 46
o
, donde n: factor de funcionamiento N horas _ func .
24
Fórmula deducida para una tasa de amortización de 8% a 50 años.
Para cada diámetro comercial que cumple las restricciones se calcula el C.T.A
Luego se grafica y determina el D óptimo
José F. Muñoz Pardo
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
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Ejemplo:
Calcular el diámetro económico para una instalación que tiene que entregar un
caudal de 0,4 m3/s a una altura geométrica de 20m situada a 1000m de la fuente.
Considere los siguientes datos:
a) Funcionamiento
H = HG + f ⋅
L
⋅
D
Q2
 π ⋅ D2 

2 ⋅ g ⋅ 
 4 
f = 0,02
2
0,2644
D5
b) Costo de Inversión Inicial en equipos
Costo Inicial Total = Costo de la Bomba + Costo de Tubería + Costo Ingeniero Civil
H = 20 +
Costo de la Bomba:
Costo de la tubería:
Valor residual:
Vida útil:
Costo de la energía:
Régimen de operación:
Costo Ingeniería Civil:
Mantención:
Interés del capital:
US$ 100/HP
(η = 65%)
US$/m = 110·D + 5,3
(con D en metros)
30% de la inversión equivalente (bomba + tuberías)
5 años
US$ 0,05/KWH
12 hrs/día 24 días/mes
15% del la inversión equivalente
1% del Inversión Total.
10% anual.
C Bomba = US $100 HP
POTBomba =
ρ ⋅ g ⋅Q ⋅ H
HP
[ KW ] ⋅1,341×10−3  
η
KW


CTub = 110 ⋅ D + 5,3
C ING = 0,15 ⋅ (C Bomba + CTub )
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
Costo de Inversión
Costo Total = Costo de la Bomba + Costo de Tubería + Costo Ingeniero Civil
CE+CTub
CING
CTOT
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c) Costo de Operación y Mantenimiento
Diámetro
H
Pot
CB
CTub
0,8
20,81
166,46
16645,5
93300
109945,5 16491,83 126437,3
0,7
21,57
172,59
17258,5
82300
99558,5 14933,78 114492,3
0,6
23,40
187,20
18720,2
71300
90020,2 13503,02 103523,2
0,5
28,46
227,69
22768,6
60300
83068,6 12460,3 95528,9
C Energía = US $0,05 KWh
0,4
45,82
366,56
36656,3
49300
85956,3 12893,44 98849,7
0,3
128,81
1030,45 103045,3
38300
141345,3 21201,79 162547,1
CMantención = 1% _ de _ inversión _ anual
De los años 1 a 5 se tiene el costo de explotación del sistema:
CEX = CEnergía + CMantención + CRepuestos + CLubricación + CM.de.obra
Además en el año 5 el equipo tiene un valor residual.
Costos de Inversión
180000,0
Diám
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
160000,0
140000,0
120000,0
100000,0
80000,0
60000,0
40000,0
20000,0
0,0
0,3
José F. Muñoz Pardo
0,4
0,5
0,6
0,7
Mantención
1625,47
988,50
955,29
1035,23
1144,92
1264,37
Operación
132882,26
47270,15
29361,35
24140,63
22255,77
21465,25
Costo Total
134507,73
48258,65
30316,64
25175,86
23400,69
22729,63
Diám
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
Valor Residual
42403,58
25786,88
24920,59
27006,05
29867,56
32983,65
0,8
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REDES DE DISTRIBUCIÓN
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Para obtener el VAN del proyecto se deben utilizar las relaciones del dinero en el tiempo.
Finalmente se tienen los siguientes Flujos de Caja para el proyecto:
La inversión en el año 0 se mantiene igual
CInversión
Coperación
Coperación
Coperación
Coperación
Coperación + Vresidual
Año /
Diám
0
1
2
3
4
5
0,3
162547,1
134507,73
134507,73
134507,73 134507,73
176911,31
0,4
98849,7
48258,65
48258,65
48258,65
48258,65
74045,52
0,5
95528,9
30316,64
30316,64
30316,64
30316,64
55237,23
0,6
103523,2
25175,86
25175,86
25175,86
25175,86
52181,91
0,7
0,8
Los costos anuales de operación se actualizan mediante:
El valor de Residual se actualiza mediante:
114492,3
126437,3
23400,69
22729,63
23400,69
22729,63
23400,69
22729,63
23400,69
22729,63
53268,25
55713,28
Todos estos flujos se deben actualizar al año 0, para obtener el VAN (Valor Actualizado
Neto) del proyecto.
Finalmente graficando el Costo Total se puede ver que el diámetro económico para este
proyecto es de 0,5m.
Costo Total
Diám
Ctotal
0,3
199074,1
0,4
118520,1
0,5
113301,1
0,6
122200,5
0,7
134811,8
50000,0
0,8
148640,9
0,0
250000,0
200000,0
150000,0
100000,0
0,3
José F. Muñoz Pardo
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico
José F. Muñoz Pardo
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
ICH-2124 Análisis y Diseño Hidráulico