Álgebra abstracta II Nombre/Código: Abril 2015 Guillermo Mantilla Tarea 11 1. (a) Muestre que el polinomio x3 − 3x + 1 ∈ Q[x] es irreducible. 3 (b) Utilice la identidad trigonométrica cos(3θ) = 4 cos (θ) − 3 cos(θ) para verificar que 2 cos 2π 9 es 3 una raíz de x − 3x + 1. (c) Muestre que el poligono regular de 9 lados, Eneágono, no se puede construir con regla y compas. Equivalentemente el ángulo 2π 3 no puede ser trisecado. 2. Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado. Muestre que K es infinito. 3. Sea K un cuerpo de característica p > 0. Muestre que la función Frobp : K → K definida por x 7→ xp es un monomorfismo de anillos. A éste homorfismo se le conoce como el homomorfismo de Frobenious. n 4. Sea p un primo y sea Fp el cuerpo de p elementos. Sea n un entero positivo y sea fn (x) := xp − x ∈ Fp [x]. (a) Muestre que fn (x) no tiene raíces repetidas. (b) Sea Fpn el cuerpo de descomposición de fn (x) y sea S ⊆ Fpn el conjunto de las raíces de fn (x). Muestre que S es un cuerpo y concluya que S = Fpn . (c) Muestre que |Fpn | = pn y que más aun Fpn es el único cuerpo, módulo isomorfismo, con esta cardinalidad. En otras palabras muestre que si L es un cuerpo tal que |L| = pn entonces Fpn ∼ = L. n (Sugerencia: Muestre que si α ∈ L entonces (α)p = α.) 5. Sea K un cuerpo tal que K tiene característica 0 o K es finito. Muestre que K es perfecto. (Recuerde que un cuerpo es perfecto si cualquier extensión finita es separable.) 6. Sea α ∈ R definido como α := X 1 . Utilice el siguiente Teorema1 de Liouville para mostrar que α es 10i! i≥0 transcendente sobre Q. (Sugerencia: Muestre que para todo entero N > 0 existen p, q ∈ Z con q > 1 tales p 1 que 0 < α − < N ). q q Teorema (Liouville). Sea α ∈ R \ Q, i.e., un irracional real, tal que [Q(α) : Q] = n. Entonces existe C > 0 tal que para todos p, q ∈ Z con q > 0 se tiene que α − p ≥ C . q qn 1 Existen pruebas elementales del teorema de Liouville; en la siguiente página pueden encontrar una. Prueba del Teorema de Liouville. Proof. Sea f (x) ∈ Z[x] un polinomio primitivo de mínimo grado2 tal que f (α) = 0. Supongamos por contradicción que la conclusión del teoremaes falsa. Entonces para todo C > 0 existirían p, q ∈ Z with q > 0 tal que p C 1 1 α − < . Tomando C0 = min , . Note que: q qn 2 maxt∈[α−1,α+1] |f 0 (t)| • C0 < 1, • para toda t ∈ [α − 1, α + 1] se tiene que |f 0 (t)| < 1 . C0 0 Por las hipótesis existen p, q ∈ Z tales que α − pq < C q n ≤ C0 < 1, en particular de esto, y de el teorema del valor medio, que existe t ∈ [α − 1, α + 1] tal que f (α) − f p = |f 0 (t)| α − p . q q Como f (α) = 0, y gracias a que |f 0 (t)| < 1 , se tiene que C0 p < α− C0 f q p q ∈ [α − 1, α + 1]. Se sigue p . q Dado que f is irreducible, y α es irracional, f (r) 6= 0 para todo r ∈ Q. En particular f p = A q qn donde A es un entero positivo. Por lo tanto C0 C0 A f p < α − ≤ = C 0 qn qn q p C0 lo cual es una contradicción ya que se supone que α − < n . q q p q 2 f se obtiene multiplicando el polinomio minimal de α por entero positivo de tal forma que los coeficientes sean enteros y primos relativos