MEDIDA DEL ÍNDICE DE REFRACCIÓN

MEDIDA DEL
ÍNDICE DE
REFRACCIÓN
DE UN
LÍQUIDO
Rubén Fernández Busnadiego
Óptica I.
Grupo C
[email protected]
Índice
1. Objetivos e introducción
1.1. El índice de refracción
1.2. La ley de Snell
1.3. La luz láser
2. Montaje experimental
3. Resultados
4. Conclusiones
5. Bibliografía
6. Fotografías
1. OBJETIVOS E INTRODUCCIÓN
Objetivos: determinar el índice de refracción del agua, a temperatura ambiente
y mediante el empleo de un haz de luz láser. Hemos de diseñar un método que nos
proporcione no sólo un buen valor del índice, sino también un error no demasiado
grande.
1.1.- El índice de refracción
El índice de refracción, n¸es un parámetro propio de cada medio que indica el
comportamiento de la luz al atravesarlo.
Desde un punto de vista microscópico, n refleja las características eléctricas y
magnéticas del medio. Así, se define:
n = εµ
donde ε es la constante dieléctrica relativa del medio y µ la permeabilidad magnética
relativa. Como tanto ε como µ dependen de la frecuencia de la luz, n también lo hace:
n=n(ω)
Sin embargo, muchas veces tomaremos n=cte, ya que en ciertos medios y para
ciertos intervalos de frecuencia, las variaciones de n son despreciables. Estos medios se
denominan no dispersivos, por oposición a los dispersivos, que son aquellos en los que
la relación entre n y ω sí ha de ser tenida en cuenta.
En nuestro caso trabajaremos con un haz láser, de luz (cuasi-monocromática) de
λ=670nm, que es por tanto de color rojo, y tomaremos el índice de refracción del
líquido como una constante (de hecho se puede tomar n=cte para todo el espectro
visible).
Además de depender de la frecuencia de la luz, es también función de la
temperatura:
1
dn
= −0.0004
dT
ºC
Por otro lado, la clase de medio que tengamos es absolutamente determinante en
la forma de n. Para medios dieléctricos isótropos transparentes (no absorbentes), n será
siempre un número real (este es nuestro caso). Pero si, por ejemplo, el medio fuera
absorbente, n tendría un parte imaginaria no nula. Si el medio fuera anisótropo (en estos
medios ε ya no es un escalar, sino un tensor), podrían asociársele más de un índice de
refracción, en función de la dirección de propagación de la luz en su interior.
r
d  dr 
Aplicando la ecuación de rayos:
 n  = ∇n , vemos que las trayectorias de
ds  ds 
luz correspondientes a medios de n=cte son rectilíneas.
Más comunmente, entendemos el índice de refracción como el cociente entre la
velocidad (de fase) de la luz en el vacío y su velocidad en ese medio:
n = c/vf
1.2. La ley de Snell
La ley de Snell es una de las fórmulas fundamentales de la óptica geométrica,
y fue deducida en el sXVII por Willebrod Snell (1580-1626). René
Descartes también llegó a formularla, pero se cree que posteriormente. No debemos
olvidar sin embargo el trabajo de Alhacén, que ya la formuló en el s.XI.
Esta ley permite cuantificar el fenómeno de la
refracción, o cambio de dirección de propagación de la luz al
pasar de un medio a otro. Relaciona el ángulo de incidencia
en la superficie de separación (θi), el ángulo de refracción
(θt) y los índices de refracción de ambos medios de la
manera que sigue:
n1senθi=n2sen
θt
Su deducción puede hacerse desde varios puntos de vista:
*Estrictamente geométrico, a partir del principio de Fermat.
*Considerando el carácter ondulatorio de la luz, a partir del principio de Huygens.
*Considerando la luz como una onda electromagnética, a partir de las condiciones de
frontera para E y H al pasar del medio con índice n1 al medio con índice n2.
1.3. La luz láser
Como decíamos arriba, la luz que utilizaremos será un haz láser, que
identificaremos con un rayo geométrico.
Las características principales del láser son:
1.- Coherencia: las diferentes partes de un rayo láser guardan una relación de fase
constante entre sí. La luz es producida, al igual que en las fuentes ordinarias, por átomos
que pasan de un nivel excitado al fundamental. Sin embargo, en las fuentes ordinarias,
cada átomo se desexcita en un momento determinado, mientras que en las fuentes de
láser todos lo hacen a intervalos de tiempo regulares, gracias a un proceso llamado
'emisión estimulada'.
2.- Monocromaticidad: como la luz es producida prácticamente en su totalidad por
sólo un tipo de transición atómica, tiene sólo una frecuencia y por tanto se dice
'monocromática'. En rigor tendremos una pequeña banda de frecuencias, causada sobre
todo por efecto Doppler.
3.- Colimación: la luz de un láser típico emerge de la fuente formando un haz muy
delgado que casi no se dispersa. Esto se consigue mediante un peculiar sistema de
espejos, que confina a la luz en un camino muy bien definido. Este hecho hace que el
láser sea un instrumento muy útil, tanto en medicina como en aplicaciones industriales,
ya que estos haces altamente paralelos pueden servir para cortar todo tipo de materiales.
Como decíamos antes, trabajaremos con un haz láser de λ=670nm. Debemos
precisar que la luz láser es cuasi-monocromática y no totalmente monocromática debido
al principio de incertidumbre de Heisenberg:
∆ω∆t ≈ 2π
Luz absolutamente monocromática (∆ω=0) requeriría ∆t≈∞, lo que querría decir
que no tendríamos ninguna información acerca de cuando ha sido emitido el pulso
luminoso, lo cual no se corresponde con la realidad.
Intensidad (mV)
También, como mencionábamos antes, el efecto Doppler contribuye a aumentar
la anchura de la gama de frecuencias. Por tanto, la luz de que disponemos seguirá un
esquema parecido al de la figura, donde se representan longitudes de onda en lugar de
frecuencias (usamos unidades arbitrarias):
Longitud de onda (nm)
La curva tiene un valor central que corresponde a 670 nm, que es donde emite la
mayor parte de la luz. Sin embargo también hay luz emitida para frecuencias cercanas,
aunque su intensidad es menor, llegando a ser cero más allá de unos pocos nm: 0.5nm1nm son valores típicos de anchura de la 'campana' a mitad de altura.
2. MONTAJE EXPERIMENTAL
El montaje de que disponemos está orientado a la aplicación de la ley de Snell.
Dispondremos de un recipiente que contenga un líquido, y un rayo emitido en el aire,
así como de una estructura que permite medir los ángulos.
Tomaremos naire=1, si bien su valor exacto es de 1.00027 (medido para el
doblete del sodio, 589.0-589.6nm y entre 20 y 25ºC). El error que cometemos con esta
aproximación es del orden del 0.01%, y es mucho menor que los errores debidos a la
medida de los ángulos. Por tanto la aproximación es más que aceptable.
Dispondremos de:
*Una cubeta de cristal, con forma de prisma octogonal, donde echaremos el líquido.
*Un puntero láser que emite a 670nm.
*Un brazo, construido con LEGO, que permite sujetar el puntero para que éste apunte
en un ángulo constante al agua.
*Como líquido usaremos agua, a la que añadiremos unas gotas de leche (unos 6ml por
litro de agua) para que podamos ver el láser a su través.
*Un transportador de ángulos, de precisión ±0.5º para medir los ángulos.
El método
sencillo,
y
ir midiendo con el
es
muy
consiste en
transportador de ángulos diferentes ángulos de incidencia y refracción. A partir de ellos,
aplicamos la ley de Snell:
senθi=naguasenθt ⇒
nagua= senθi/ senθt
3.- RESULTADOS
El transportador de ángulos tenía una precisión de 0.5º. Sin embargo, debido a
las dificultades del proceso de medida, tomaremos 1º como error en las medidas. El
error en n lo calculamos por propagación:
2

 cosθ i
  cosθ t senθ i
∆θ i  + 
∆θ t 
nagua= senθi/ senθt ⇒ ∆n = 
2
 sin θ t
  sen θ t

2
donde ∆θi=∆θt=1º=1*π/180 rad
θi±1 (º) θt±1 (º) n
θi±1 (º) θt±1 (º) n
θi±1 (º) θt±1 (º) n
43
45
48
42
50
48
51
55
53
55
1.34±0.03
1.329±0.025
1.386±0.023
1.22±0.03
1.347±0.022
1.253±0.023
1.317±0.021
1.374±0.019
1.291±0.020
1.296±0.019
44
45
46
47
48
50
53
55
57
60
57
1.321±0.019
56
1.265±0.018
59
1.349±0.018
58
1.287±0.017
59
1.299±0.016
62
1.369±0.015
62
1.282±0.05
63
1.263±0.014
66
1.339±0.013
68
1.335±0.011
1.3219±0.0556
63
64
66
69
70
71
75
77
82
69
69
73
74
75
77
79
81
84
1.267±0.011
1.223±0.010
1.391±0.009
1.300±0.008
1.321±0.008
1.447±0.007
1.356±0.006
1.438±0.005
1.331±0.003
En último lugar hemos expresado la media de los valores del índice de refracción
junto a la desviación típica. Como error definitivo, sumaremos la desviación típica al
mayor de los errores de n, dando así una cota superior en la que se encuentra nuestro
valor con casi total seguridad:
1.32±0.09
Error relativo ≈ 7%
Vemos que la dispersión de los valores es relativamente grande:
1.45
1.40
Índice de refracción
12
20
22
25
30
33
34
38
39
42
1.35
1.30
1.25
1.20
1.15
1.10
10
20
30
40
50
60
Ángulo de incidencia (º)
4.- CONCLUSIONES
70
80
90
En primer lugar tenemos que resaltar la dificultad que supone elaborar un
experimento que permita una precisión aceptable con medios caseros. Aún en este caso,
en que las medidas a realizar eran en principio muy sencillas, a la hora de llevar a la
práctica el esquema conceptual surgen numerosos problemas: encontrar el recipiente
adecuado (que permita un amplio rango de ángulos de incidencia, y que posibilite la
medida de los ángulos de refracción), la construcción de un soporte estable para el láser,
el acoplamiento de este soporte con el recipiente...
A pesar de que tanto la dispersión de los valores de n como los errores en la
medida de ángulos son bastante grandes, el valor final tiene un error relativo aceptable,
del orden del 7%. Esta dispersión no distorsiona además el valor de n.
Además, el valor que nos dan las tablas para el agua es 1.33, que está contenido
en el intervalo 1.32±0.09, lo cual nos indica que nuestro resultado es razonablemente
bueno. Por tanto parece que el añadir un poco de leche al agua no ha variado su índice
de refracción.
5.- BIBLIOGRAFÍA
1.- M. Alonso, E.J. Finn. Física, vol III: Fundamentos cuánticos y estadísticos. Ed
Addison – Wesley- Longman, 1999.
2.- Álvaro Tejero Cantero, Pablo Ruiz Múzquiz, Marc Meléndez Schofield. Apuntes de
Óptica II. p42, 2000
3.- Apuntes de clase de Óptica I
4.- Apuntes de clase de Óptica II
5.- P.Mejías y R.Martínez Herrero. Óptica geométrica. Ed Síntesis 1999
6.- J.Casas. Óptica. Universidad de Zaragoza.
6. FOTOGRAFÍAS
Como no sabíamos cuál sería el tiempo de exposición idóneo, realizamos una
serie de fotografías, cada una de ella con un tiempo distinto. La cámara usada fue una
Samsung Slim Zoom 125, totalmente automática, lo que nos permitió un control
limitado sobre los parámetros de la foto. Podemos decir que el zoom era de 38mm, y la
abertura del diafragma estaba comprendida entre f/3.8 y f/9.9 .
Tomamos las fotos a oscuras, para poder apreciar bien el láser, cuya intensidad
no era demasiado grande. Por ello los tiempos de exposición tuvieron que ser bastante
largos. El hecho de que usáramos película Kodak Gold 100 ISO (de sensibilidad por
tanto bastante baja) también contribuyó a elevar estos tiempos, pero permitió por contra
mayor resolución. Por supuesto no se usó flash. El carrete fue revelado con un proceso
normal C-41 y ampliado de forma habitual. La calidad del revelado no es, por desgracia,
muy buena.
Tiempo de exposición: 10s
Tiempo de exposición: 20s
Tiempo de exposición: 25s
Tiempo de exposición: 30s
Tiempo de exposición: 40s
Tiempo de exposición: 50s
Tiempo de exposición: 60s
De todas las fotos, quizá la que permite una mejor apreciación es la de 50 s de
exposición. Las de tiempos menores no recogen una cantidad suficiente de luz como
para ver el montaje claramente. La de 60 s tiene un tiempo de exposición tan largo que
el láser aparece bastante distorsionado, debido a las oscilaciones del soporte durante
todo ese tiempo.