Mecánica Orbital y Vehıculos Espaciales Duración: 2 horas

Mecánica Orbital y Vehı́culos Espaciales
Ingenieros Aeronáuticos
Duración: 2 horas
o
N DNI
Curso 14/15
1er Apellido
Escuela Superior de Ingenieros
Universidad de Sevilla
16/1/15
2do Apellido
2o Parcial
Nombre
Valor total:10 puntos +0.5 puntos extra.
1. (1 punto) Definir brevemente, en el contexto de los vehı́culos espaciales:
Embrittlement.
RTG.
Single-event upset.
Outgassing.
Albedo.
Órbita Halo.
Emitividad semiesférica.
Louver.
Rendezvous.
Puntos de Lagrange.
2. (1.5 puntos) Dados, como datos de entrada para una maniobra asistida por gravedad, v1H , γ1H , rp , los datos del
planeta y el sentido de la maniobra, ¿Cómo se modifica la maniobra (y los triángulos asociados) si en el periapsis
de la hipérbola de sobrevuelo se realiza un impulso tangente adicional ∆Vp que aumenta la velocidad del vehı́culo
en dicho punto? Pista: considerar como cambia la hipérbola de la maniobra a raı́z del impulso.
3. (4 puntos) La NASA desea lanzar una misión interplanetaria a Urano (Z); para disminuir el coste y duración se
decide realizar una maniobra asistida por gravedad en Júpiter (X). Tras salir de la esfera de influencia de la Tierra,
la órbita tiene un semieje mayor a = 3, 5 AU y perihelio en la Tierra. En Júpiter se realiza una maniobra asistida
por gravedad con una altitud de 9 radios jovianos. Además, para aumentar el efecto de la maniobra asistida por
gravedad, se realiza una maniobra adicional tangente en el perijovio con ∆Vp = 0, 2 km/s. ¿Alcanza finalmente la
misión Urano? Justificar la respuesta. En caso afirmativo, calcular el tiempo total de vuelo de la misión y encontrar
cuales deberı́an ser los ángulo de configuración (ángulos de fase) tanto de Júpiter como de Urano en el lanzamiento.
Nota: Si no se ha podido resolver el problema 2, realizar la maniobra asistida por gravedad de forma “tradicional”,
sin impulso extra.
Datos:
Planeta
Júpiter
Urano
Sı́mbolo
X
Z
µ (km3 /s2 )
126711995.4
5780158.5
Radio planetario (km)
71492
25559
Distancia media al Sol (AU)
5.2033
19.2709
4. (4 puntos) La Agência Espacial Brasileira (AEB) desea poner en órbita un satélite para Argentina con las siguientes
caracterı́sticas:
a) La órbita será circular y heliosı́ncrona del tipo amanecer/atardecer (6:00/18:00).
b) El satélite debe pasar una vez al dı́a exactamente sobre Buenos Aires (latitud 34◦ 360 1200 S, longitud 58◦ 220 5400 W),
cruzando de Norte a Sur.
c) La órbita no debe superar la altitud de 600 kilómetros ni descender de los 500 kilómetros.
Calcular razonadamente los elementos orbitales del satélite en la época del 16 de Enero de 2015 a las 00:00 UT
sabiendo que dicho dı́a GST0 = 110o .
¿A qué hora solar media pasará por Buenos Aires 30 dı́as después?
Supongamos que transcurrido un tiempo se quiere modificar la órbita a una del tipo 7:30/19:30. Describir la maniobra o maniobras que serı́an necesarias, con el mayor detalle posible (tipo de maniobra, ∆V , cuándo/dónde habrı́a
que hacerla). ¿Seguirı́a pasando dicha órbita por Buenos Aires o habrı́a que hacer más maniobras? (responder a esta
pregunta cualitativamente, en caso afirmativo describir el procedimiento sin realizar cálculos).
Observaciones:
-Se pide, además del resultado numérico, adjuntar los razonamientos y fórmulas empleadas.
-Realizar las hipótesis y simplificaciones que se consideren oportunas, explicándolas en detalle.
-Se pueden usar unidades fı́sicas o canónicas, pero el resultado final debe expresarse en unidades fı́sicas.
Solución
1. Cuestión de teorı́a pura.
2. La clave es darse cuenta que V1P q
y V2P diferirán en módulo, y además hay que recalcular δ. En primer lugar,
calculamos como siempre V1P = VP2 + (V1H )2 − 2VP V1H cos γ1H . Llamando con el subı́ndice 1 a la hipérbola
previa a la maniobra, se tiene que v∞1 = V1P . Si no hubiera maniobra, sabemos que podemos calcular δ1 (el giro
debido a la primera hipérbola) igualando las expresiones
2v∞1
∆V =
1 + rp
2
v∞1
µP
= 2v∞ sen δ1 /2
luego
1
sen δ1 /2 =
1 + rp
2
v∞1
µP
No obstante, al aplicar un impulso en periapsis, la hipérbola se modifica. Llamemos vp a la velocidad en periapsis.
Entonces:
s
s
2µP
2µP
µP
2
vp1 =
−
=
+ v∞1
rp
a1
rp
Igualmente, para la hipérbola resultante:
s
vp2 =
2µP
µP
−
=
rp
a2
s
2µP
2
+ v∞2
rp
Por tanto, como vp2 = vp1 + ∆V (al ser el impulso tangente):
s
s
2µP
2µP
2
2 + ∆V
+ v∞2
+ v∞1
=
rp
rp
Y operando:
s
2
v∞2
=
2µP
2 + ∆V
+ v∞1
rp
!2
2µP
2
−
= v∞1
+ ∆V 2 + 2∆V
rp
Teniendo v∞2 podemos calcular δ2 :
sen δ2 /2 =
s
2µP
2
+ v∞1
rp
1
1 + rp
2
v∞2
µP
2
El giro total de la velocidad será δ = δ1 +δ
2 , ya que desde la ası́ntota de llegada hasta periapsis, en la hipérbola 1,
el giro total de la velocidad es δ1 /2, y desde periapsis a la ası́ntota de salida, en la hipérbola 2, el giro total de la
velocidad es δ2 /2 (ver la figura 2 en la siguiente página). También se puede calcular en base a los θ∞ , observando
que δ = θ∞2 + θ∞1 − 180o . La otra modificación en el triángulo es que ahora V2P = v∞2 . Todo lo demás es
análogo. Se dibuja un triángulo de ejemplo en la figura 1.
VH
2
VP2
P
± V1
°H
¯ ® 2
VH
1
°H
1
VP
Figura 1: Triángulo ejemplo para el problema 2
3. Resolvemos el problema 3 en primer lugar sin considerar el impulso en periapsis (como habrı́a hecho un alumno
que no hubiera podido resolver el problema 2). A continuación aplicamos los resultados del problema 2 para ver
como varı́a la solución. Emplearemos el método de fasores (con triángulos la solución es análoga).
En primer lugar conocemos el semieje mayor del primer segmento heliocéntrico, y como sabemos que el perihelio
está en la Tierra, L⊕ = a1 (1 − e1 ), de donde e1 = 0,7143. Los datos en el corte de este segmento con la órbita de
2
V12
hipérbola 2
±1 =2
V11
±2 =2
V12
±
hipérbola 1
¢Vp
±1
±2
hipérbola 1
V11
hipérbola 2
Figura 2: Maniobra asistida por gravedad con impulso en periapsis.
Júpiter (tomando el primer posible encuentro) son: θ1H = 159,8434o , V1H = 0,3141 UV, γ1H = 36,76o . Además
de las leyes horarias el tiempo hasta el encuentro es T1 = 11,77 UT. Calculamos ahora V1X = V1H − VX =
0,3141 36,76o − 0,4384 0o = 0,265 134,81o . Obsérvese que hasta este punto los números son los mismo con y
sin impulso en periapsis.
Si no hay impulso en periapsis, entonces de la maniobra asistida por gravedad obtenemos δ = 95,45o . Como
se trata de una misión a planetas exteriores, elegimos V2X = 0,265 39,36o . De donde V2H = V2X + VX =
0,6649 14,64. Calculando los elementos de la cónica heliocéntrica a partir de la velocidad y el ángulo de trayectoria
obtenemos a2 = −17,34 AU, e2 = 1,2830. Obviamente llega a Urano, al tratarse de una hipérbola. Obtenemos
que los puntos de salida (Júpiter) y llegada (Urano) son θ2H = 26o y θ3H = 109,04o , respectivamente. De las
leyes horarias de la hipérbola, T (θ2H ) = 3,3967 UT y T (θ3H ) = 42,9 UT, luego el tiempo de vuelo de este
segmento será T2 = T (θ3H ) − T (θ2H ) = 39,5037 UT. Por tanto el tiempo total de vuelo de la misión es T =
T1 + T2 = 2980,7 dias = 8,16 años. Los ángulos de fase son, por tanto, ψX = θ1H − nX T1 = 103,0263o y
ψZ = θ1H + θ3H − θ2H − nZ T = 208,1576o .
Si hay impulso en periapsis, entonces aplicando los resultados del problema 2, tenemos δ1 = 95,45o , v∞2 =
8,3169 km/s, δ2 = 92o , luego δ = 93,72o . Por lo que V2X = 0,2792 41,09o . De donde V2H = V2X + VX =
0,6743 15,7936. Calculando los elementos de la cónica heliocéntrica a partir de la velocidad y el ángulo de trayectoria obtenemos a2 = −14,22 AU, e2 = 1,3421. Obviamente llega a Urano, al tratarse de una hipérbola.
Obtenemos que los puntos de salida (Júpiter) y llegada (Urano) son θ2H = 27,49o y θ3H = 107,72o , respectivamente. De las leyes horarias de la hipérbola, T (θ2H ) = 3,5217 UT y T (θ3H ) = 41,4646 UT, luego el tiempo de
vuelo de este segmento será T2 = T (θ3H ) − T (θ2H ) = 37,94 UT. Por tanto el tiempo total de vuelo de la misión es
3
T = T1 + T2 = 2889,9 dias = 7,9122 años (se ahorran unos tres meses respecto a no dar el impulso en periapsis).
Los ángulos de fase son, por tanto, ψX = θ1H − nX T1 = 103,0263o y ψZ = θ1H + θ3H − θ2H − nZ T = 206,4013o .
4. Con los requisitos del problema obtenemos que, con h = 600 km, el periodo serı́a 14.85 veces el de la Tierra. Con
h = 500 km, el periodo serı́a 15.1778 veces el de la Tierra. Como el periodo debe ser una fracción exacta del de la
Tierra, tomamos T = T15⊕ = 1,5956 h de forma que r = 6932,4 km y h = 554,24 km, cumpliendo los requisitos.
Puesto que se trata de una órbita circular y heliosı́ncrona directamente obtenemos i = 97,6o . Calculando ahora las
condiciones en el cruce con Buenos Aires, obtenemos u(t) = 214,96o , λu (t) = 174,71o , donde t es la hora de
paso. Por tanto pasa por Buenos Aires a la hora solar media HSM = HSM0 + λ15u = 17,6475 = 17 : 38 : 51
λ
(esta hora solar media no cambia 30 dı́as después, al ser una órbita heliosı́ncrona), y como HSM = U T + 15
,
obtenemos la hora de paso t = 21,5396 h = 77543 s. De donde usando la ecuación Ω + λu = GST0 + ω⊕ t + λ
obtenemos Ω(t) = 200,88. Para propagar hasta la época al tratarse de un único dı́a ignoramos las perturbaciones,
por lo que Ω = 200,88o , y u(0) = u(t) − nt = 35,27o .
Transcurrido un periodo de tiempo, se quiere cambiar la órbita a una del tipo 7:30/19:30 con el resto de requisitos
SM
, tendremos
iguales. Para ello en primer lugar habrá que cambiar Ω. Observando que HSM0 = 12 + Ω−AR
15
Ωf −ARSM
Ωi −ARSM
o
y 7,5 = 12 +
. Por tanto calculamos Ωf − Ωi = 1,5 × 15 = 22,5 . Obsérvese
6 = 12 +
15
15
que no es posible calcular los valores en sı́ de las Ω porque no sabemos exactamente cuanto tiempo ha transcurrido
(y presumiblemente Ω habrı́a cambiado por ser una órbita heliosı́ncrona sometida a perturbaciones). No obstante
la maniobra de cambio de plano no requiere conocer los valores concretos de Ω,q
sólo la diferencia. Usando las
fórmulas de la maniobra de cambio de plano obtenemos ϕ = 22,3o , luego ∆V = 2 µr⊕ sen ϕ/2 = 2,9326 km/s.
Además la maniobra habrá que realizarla en la latitud φ = 82,245o . La órbita resultante con gran probabilidad no
tendrá el valor de u adecuado para pasar por Buenos Aires en el instante correcto, por lo que habrá que hacer un
phasing para ajustar el valor de u. La forma de calcular dicho phasing serı́a calcular, con la nueva Ω, en que instante
de tiempo se circula por la longitud de Buenos Aires (no coincidirá con el valor de t calculado anteriormente), y
propagar u hasta dicho instante. Habrá que hacer un phasing para modificar ese valor calculado de u hasta u(t)
anteriormente obtenido.
4