Principio de Exclusión de Pauli Y simetría en la función de onda

Principio de Exclusión de
Pauli
Y simetría en la función de onda
Gerardo Alvarez Alvarez
Paulina Carmona Monroy
David Carrillo Juárez
Julio César Ramírez Arroniz
Curso de Fundamentos de
Estructura de la Materia
31 de marzo de 2016
Introducción
Marco histórico
La historia de Wolfgang Pauli (1900-1958) es destacable debido a
la innata genialidad que manifestó desde pequeño. Para 1921 ya
había escrito un tratado acerca de la relatividad publicado en la
Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften que fué incluso
elogiado por Einstein y llamó la atención de Niels Bohr.
Introducción
Marco histórico
No se dedicó a eso exclusivamente. En 1919, comenzó a estudiar la
molécula de hidrógeno iónica.
Demostró que mediante métodos numéricos, se corroboraba que,
experimentalmente, H+
2 es metaestable.
Tiempo después, en 1922 comenzaría a trabajar en un problema
hallado por Bohr.
Introducción
Marco Histórico
Resulta ser que en el átomo de hidrógeno, el electrón púede
moverse en múltiples ’órbitas’ periódicas en la prescencia de un
campo externo y este hecho se explicaba perfectamente bien con
las ecuaciones desarrolladas en aquél entonces pero cuando había
más electrones, estas ecuaciones fallaban.
Introducción
Marco Histórico
Debemos recordar que en ese momento, no existían todas las reglas
fundamentales en la mecánica cuántica. Se conocían solamente tres
grados de libertad asociados al electrón (n,l, m).
Introducción
Marco Histórico
Para hacer peores las cosas, tanto Bohr como Pauli defendían que
los números cuánticos debían de ser siempre enteros. Alfred Landé,
por su parte, al explicar el efecto Zeeman, proponía números
fraccionarios.
Introducción
Marco Histórico
Por otra parte, Edmund Stoner publicó en 1924 que ’para un valor
dado del número cuántico principal (n), el número de niveles de
energía de un electrón en los espectros de metal alcalino en un
campo magnético externo, donde se separan todos los niveles de
energía degenerados, es igual al número de electrones en la capa
cerrada de los gases nobles para el mismo valor de n.’
Introducción
Marco Histórico
Stoner, interpretó que los tres primeros números cuánticos
describen el movimiento del electrón alrededor del núcleo, mientras
que inherentemente, los electrones presentaban un grado de
libertad adicional
Introducción
Marco Histórico
Después de muchos meses de acaloradas discusiones, Pauli
reconsideró la existencia de números cuánticos fraccionarios y
postuló la existencia de un cuarto número cuántico carente de
sentido físico.
Éste puede tomar varios valores, pero en el caso de los electrones,
toma valores ’semienteros’.
Principio de Exclusión
Principio de Exclusión
El principio de exclusión aplicada a una función de onda univaluada
es equivalente a exigir que la función sea antisimétrica.
Una función de estado antisimétrica con dos partículas se
representa como la suma de estados en la una partícula se
encuantra en el estado x y la otra en el estado y .
Por tanto, la función de onda quedaría expresada como:
X
|ψi =
A(x, y ) |x, y i
(1)
x,y
Principio de Exclusión
Simetría
¿Qué es la simetría en la función de onda?
Sabemos por el principio de Incertidumbre de Heisenberg que:
σρ̄ σχ̄ ≥
~
2
(2)
Por lo que no podemos conocer con toda precisión la trayectoria de
una partícula. Suponiendo que podemos ’etiquetar’ a los electrones
por sus coordenadas y su espín, tenemos un conjunto de variables:
{x1 , y1 , z1 , ms1 , x2 , y2 , z2 , ms2 , · · · } = {q1 , q2 , · · · }
Principio de Exclusión
Simetría
Y con a ese conjunto de variables, sabemos que existe una función
tal que:
ψ = ψ(q1 , q,2 , · · · )
(3)
Podemos también definir un operador de permutación P̂12 que
intercambie las coordenadas entre la partícula 1 y la 2 de forma que:
P̂12 ψ(q1 , q,2 , · · · ) = ψ(q2 , q,1 , · · · )
Principio de Exclusión
Simetría
Por construcción si aplicaramos nuevamente este operador:
P̂12 P̂12 ψ(q1 , q,2 , · · · ) = P̂12 ψ(q2 , q,1 , · · · ) = ψ(q1 , q,2 , · · · )
nos queda la función original. Ahora bien, esto implica que
2 .
P̂12 · P̂12 = 1̂ = P̂12
Vale recordar que una eigenfunción cumple con:
Aϕ = λϕ
donde A es un operador lineal (eigenfunción) y λ es un escalar.
Principio de Exclusión
Simetría
Si proponemos wi y ci como las eigenfunciones y los eigenvalores,
respectivamente, tenemos P̂12 wi = ci wi .
2 :
Sustituyendo P̂12
2
= 1̂
P̂12
P̂12 wi = ci wi
2
P̂12
wi = ci P̂12 wi
wi = ci2 wi
1 = ci2 ∴ ci = ±1
Principio de Exclusión
Simetría
Entonces, los valores propios de la función son ci .
Si wi es función propia del permutador con un valor propio ci = +1
entonces al realizar la permutación, la función queda multiplicada
por (+1) y por tanto, no cambia de signo. Esto indica que la
función es simétrica ante el intercambio.
Principio de Exclusión
Simetría
Si, en caso contrario, ci = −1, la función cambiará de signo ante la
permutaciíon y se dice que es antisimétrica ante el intercambio.
Tal es el caso de los fermiones, dado que su condición de espín
semientero impone antisimetría.
Principio de Exclusión
Simetría
Si 1 = {x1 , y1 , z1 , σ1 } y 2 = {x2 , y2 , z2 , σ2 } son las coordenadas de
las partículas 1 y 2 respectivamente, la función de onda puede
representarse como Ψ(1,2) .
Al aplicarse una permuta de coordenadas entre ambos electrones,
se genera la función ψ(2,1)
Principio de Exclusión
Simetría
La densidad de probabilidad (ρ) es una propiedad que no se debe
ver afectada por la permutación debido a la indistinguibilidad de los
electrones.
ρ(1, 2) = ρ(2, 1)
Principio de Exclusión
Simetría
La densidad de probabilidad es el cuadrado de la función de onda
del sistema
|ψ(1, 2)|2 = |ψ(2, 1)|2
La igualdad puede satisfacerse si es simétrica o antisimétrica
ψ(1, 2) = ψ(2, 1)
ψ(1, 2) = −ψ(2, 1)
Principio de Exclusión
Simetría
Si se considera que los electrones no interactúan entre si, entonces
la función de onda del sistema de 2 partículas puede describirse
como una multiplicación de las funciones de onda individuales
ψ(1, 2) = ψa1 (1)ψa2 (2)
Y dado a que las partículas deben ser indistinguibles:
ψ 0 (1, 2) = ψa1 (2)ψa2 (1)
Principio de Exclusión
Simetría
El sistema debe ser una superposición lineal de ψ y ψ 0 , por lo que
sólo podrán combinarse en dos formas correctas. La primera es de
forma simétrica (que es aplicable a bosones, sobre los cuales no
aplica el principio de exclusión)
ψ(1, 2) = [ψa1 (1)ψa2 (2) + ψa1 (2)ψa2 (1)]
Mientras que la antisimétrica aplica sólo a fermiones, como el
electrón:
ψanti (1, 2) = [ψa1 (1)ψa2 (2) − ψa1 (2)ψa2 (1)]
Conclusiones
Conclusiones
I
La restricción de los fermiones para ocupar un mismo estado,
permitió explicar, entre otros fenómenos, la estructura
electrónica de manera más acertada.
I
Esto propició a su vez mejores modelos atómicos que
facilitaran el entendimiento de la naturaleza de enlaces, el
cómo se forman las moléculas y hasta cómo (y por que
mecanismos) puede llevarse a cabo una reacción.
Conclusiones
Conclusiones
I
En conclusión, se le debe a Pauli el enunciamiento de este
principio y como consecuencia de este se desprende que la
función de onda para fermiones debe ser antisimétrica. Sin
embargo, para que Pauli pudiera enunciar dicho principio debió
recurrir a la investigación de Stoner y la de Landé para
determinar que, en efecto, los electrones requieren de este
cuarto número cuántico.
Referencias
Referencias
I
Levine, I. N. Quantum Chemistry, 4th ed. Ed. Prentice Hall
1991.
I
Heilbron, J. T. The Origins of the Exclusion Principle Hist.
Stud. Phys. Sci., Vol. 13 No. 2, 1983; (pp. 261-310).
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Cruz, D.; Chamizo, J.; Garritz, A. Estructura Atómica: un
enfoque químico Ed. Fondo Educativo Interamericano 1986.
I
Straumann, N., Wolfgang Pauli and modern physics. Space
Science Reviews, 148(1-4), 2009. (pp.25–36).
I
Giulini, D., Electron spin or “classically non-describable
two-valuedness.” Studies in History and Philosophy of Science
Part B Studies in History and Philosophy of Modern Physics,
39(3), 2008. (pp.557–578)