Probabilidad de Eventos

Probabilidad de Eventos
1
Experimento
Un experimento o fenómeno aleatorio es un
proceso o acción cuyo resultado es incierto.
Ejemplos:
–
–
2
Lanzar una moneda al aire y observar la cara
superior.
Marcar un teléfono al azar del directorio y
observar si contestan, no contestan o está
ocupado.
Espacio muestra de un experimento
El espacio muestra de un experimento, denotado por
S, es el conjunto de todos los posibles resultados del
experimento.
Ejemplos:
–
Lanzar una moneda al aire y observar la cara superior.
S = {cara, cruz}
–
Marcar un teléfono al azar del directorio y observar si
contestan, no contestan o está ocupado.
S = {contestan, no contestan, ocupado}
3
Espacio muestra de un experimento
Segunda gasolinera
0
Primera gasolinera
Ejemplo:
Dos gasolineras están
una frente a otra. Cada
una tiene 6 bombas de
gasolina.
Experimento: Observar
cuántas bombas están
ocupadas en cada
gasolinera en un
determinado día y hora.
1
2
3
5
6
0
(0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) (0, 5) (0, 6)
1
(1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6)
2
(2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6)
3
(3, 0) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6)
4
(4, 0) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6)
5
(5, 0) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6)
6
(6, 0) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6)
S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), …. , (6, 6) }
4
4
Evento
Es un subconjunto del espacio muestra S.
5
En el ejemplo de las gasolineras…
El evento A está definido como el que la primera
gasolinera tiene más bombas ocupadas que la
segunda.
A = {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2),…
…, (6, 5)}
B = La primera gasolinera tiene la mitad de bombas
ocupadas que la segunda.
B = {(1, 2), (2, 4), (3, 6) }
Probabilidad
Dado un espacio muestra S…
El objetivo de la probabilidad es asignarle a
cada evento A un número P(A) (la
probabilidad del evento A), que representará
una medida precisa de la oportunidad de que
A ocurra.
6
Axiomas de la Probabilidad



Axioma 1. Para cada evento A, P(A) ≥ 0.
Axioma 2. P(S) = 1.
Axioma 3. Si A1, A2, …, Ak, es un conjunto finito
de eventos mutuamente excluyentes, entonces
k
P(A1
7
A2
…
Ak ) =
P ( Ai )
i 1
Propiedades de la Probabilidad
1.
2.
3.
Para un evento A, P(A) = 1 – P(A’)
Si A y B son mutuamente excluyentes,
entonces P(A B) = 0.
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
A
B
S
A
=
8
B
S
A
S
B
Propiedades de la Probabilidad
Un experimento tiene tres resultados posibles: I, II y III. Si
el resultado I tiene el doble de posibilidades de ocurrir que
el resultado II y éste último a su vez tiene el triple de
posibilidades que el resultado III, ¿cuál es la probabilidad
de cada uno de los resultados posibles?
R = 0.6, 0.3 y 0.1
9
Si A y B son dos eventos con P(A)=0.3, P(B)=0.2 y
P(A∩B)=0.1, determina las siguientes probabilidades:
a) P[ (A U B)‘ ]
b) P[ (A' U B) ]
R = a) 0.6; b) 0.8
Probabilidad de eventos
Ejercicio.
P(A B C) =
10
Probabilidad de eventos
Ejercicio
Un cierto sistema puede experimentar 3 tipos de defectos. Sea Ai
(i = 1, 2, 3) el evento de que el sistema tiene el defecto tipo i.
Suponga
P(A1) = 0.12 P(A2) = 0.07 P(A3) = 0.05
P(A1 A2) = 0.13 P(A1 A3) = 0.14
P(A2 A3) = 0.10 P(A1 A2 A3) = 0.01
11
¿Cuál es la probabilidad de que el sistema:
a) no tenga el defecto tipo 1?
b) tenga los defectos tipo 1 y 2?
c) tenga los defectos tipo 1 y 2 pero no el defecto tipo 3?
d) tenga al menos dos defectos?
Probabilidad de eventos
RESULTADOS EQUIPROBABLES
Si un experimento tiene N resultados posibles y es
razonable suponer que cada resultado posible tiene
la misma probabilidad de ocurrir:

P( A)
12
N ( A)
N
Número de resultados en A
Total de resultados posibles
Probabilidad de eventos
Ejemplo:
Se lanzan 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que
la suma sea igual a 7?
Solución:
Experimento: Se lanzan 2 dados y se observa su
suma.
A = La suma de los dos dados es igual a 7.
13
Probabilidad de eventos
Primer dado
Espacio muestra:
1
2
3
4
5
6
1
(1, 1)
(2, 1)
(3, 1)
(4, 1)
(5, 1)
(6, 1)
Segundo dado
2
3
4
5
(1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5)
(2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5)
(3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5)
(4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5)
(5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5)
(6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5)
Resultados posibles
¿Son equiprobables los resultados?
14
N
6
(1, 6)
(2, 6)
(3, 6)
(4, 6)
(5, 6)
(6, 6)
N(A)
P( A)
P( A)
36
6
N ( A)
N
1
6
6
36