Probabilidad de Eventos 1 Experimento Un experimento o fenómeno aleatorio es un proceso o acción cuyo resultado es incierto. Ejemplos: – – 2 Lanzar una moneda al aire y observar la cara superior. Marcar un teléfono al azar del directorio y observar si contestan, no contestan o está ocupado. Espacio muestra de un experimento El espacio muestra de un experimento, denotado por S, es el conjunto de todos los posibles resultados del experimento. Ejemplos: – Lanzar una moneda al aire y observar la cara superior. S = {cara, cruz} – Marcar un teléfono al azar del directorio y observar si contestan, no contestan o está ocupado. S = {contestan, no contestan, ocupado} 3 Espacio muestra de un experimento Segunda gasolinera 0 Primera gasolinera Ejemplo: Dos gasolineras están una frente a otra. Cada una tiene 6 bombas de gasolina. Experimento: Observar cuántas bombas están ocupadas en cada gasolinera en un determinado día y hora. 1 2 3 5 6 0 (0, 0) (0, 1) (0, 2) (0, 3) (0, 4) (0, 5) (0, 6) 1 (1, 0) (1, 1) (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (1, 6) 2 (2, 0) (2, 1) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (2, 6) 3 (3, 0) (3, 1) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (3, 6) 4 (4, 0) (4, 1) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (4, 6) 5 (5, 0) (5, 1) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (5, 6) 6 (6, 0) (6, 1) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) (6, 6) S = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), …. , (6, 6) } 4 4 Evento Es un subconjunto del espacio muestra S. 5 En el ejemplo de las gasolineras… El evento A está definido como el que la primera gasolinera tiene más bombas ocupadas que la segunda. A = {(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 0), (3, 1), (3, 2),… …, (6, 5)} B = La primera gasolinera tiene la mitad de bombas ocupadas que la segunda. B = {(1, 2), (2, 4), (3, 6) } Probabilidad Dado un espacio muestra S… El objetivo de la probabilidad es asignarle a cada evento A un número P(A) (la probabilidad del evento A), que representará una medida precisa de la oportunidad de que A ocurra. 6 Axiomas de la Probabilidad Axioma 1. Para cada evento A, P(A) ≥ 0. Axioma 2. P(S) = 1. Axioma 3. Si A1, A2, …, Ak, es un conjunto finito de eventos mutuamente excluyentes, entonces k P(A1 7 A2 … Ak ) = P ( Ai ) i 1 Propiedades de la Probabilidad 1. 2. 3. Para un evento A, P(A) = 1 – P(A’) Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(A B) = 0. P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) A B S A = 8 B S A S B Propiedades de la Probabilidad Un experimento tiene tres resultados posibles: I, II y III. Si el resultado I tiene el doble de posibilidades de ocurrir que el resultado II y éste último a su vez tiene el triple de posibilidades que el resultado III, ¿cuál es la probabilidad de cada uno de los resultados posibles? R = 0.6, 0.3 y 0.1 9 Si A y B son dos eventos con P(A)=0.3, P(B)=0.2 y P(A∩B)=0.1, determina las siguientes probabilidades: a) P[ (A U B)‘ ] b) P[ (A' U B) ] R = a) 0.6; b) 0.8 Probabilidad de eventos Ejercicio. P(A B C) = 10 Probabilidad de eventos Ejercicio Un cierto sistema puede experimentar 3 tipos de defectos. Sea Ai (i = 1, 2, 3) el evento de que el sistema tiene el defecto tipo i. Suponga P(A1) = 0.12 P(A2) = 0.07 P(A3) = 0.05 P(A1 A2) = 0.13 P(A1 A3) = 0.14 P(A2 A3) = 0.10 P(A1 A2 A3) = 0.01 11 ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema: a) no tenga el defecto tipo 1? b) tenga los defectos tipo 1 y 2? c) tenga los defectos tipo 1 y 2 pero no el defecto tipo 3? d) tenga al menos dos defectos? Probabilidad de eventos RESULTADOS EQUIPROBABLES Si un experimento tiene N resultados posibles y es razonable suponer que cada resultado posible tiene la misma probabilidad de ocurrir: P( A) 12 N ( A) N Número de resultados en A Total de resultados posibles Probabilidad de eventos Ejemplo: Se lanzan 2 dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea igual a 7? Solución: Experimento: Se lanzan 2 dados y se observa su suma. A = La suma de los dos dados es igual a 7. 13 Probabilidad de eventos Primer dado Espacio muestra: 1 2 3 4 5 6 1 (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) (5, 1) (6, 1) Segundo dado 2 3 4 5 (1, 2) (1, 3) (1, 4) (1, 5) (2, 2) (2, 3) (2, 4) (2, 5) (3, 2) (3, 3) (3, 4) (3, 5) (4, 2) (4, 3) (4, 4) (4, 5) (5, 2) (5, 3) (5, 4) (5, 5) (6, 2) (6, 3) (6, 4) (6, 5) Resultados posibles ¿Son equiprobables los resultados? 14 N 6 (1, 6) (2, 6) (3, 6) (4, 6) (5, 6) (6, 6) N(A) P( A) P( A) 36 6 N ( A) N 1 6 6 36