Aproximación a una medida de la discrepancia entre tablas

ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Vol. 43, Núm. 147, 2001, págs. 5 a 24
Aproximación a una medida de la
discrepancia entre tablas demográficas
por
ERNESTO JESUS VERES FERRER
Departamento de Economía Aplicada
Universidad de Valencia
RESUMEN
El esquema del modelo analítico conocido como "tabla demográfica" permite medir la influencia que sobre un único fenómeno demográfico tiene el tiempo, entendido éste como "duración o edad". Cuando nos encontramos con dos tablas demográficas, descriptoras de un
mismo fenómeno demográfico, nos preguntamos con frecuencia por
su posible semejanza. En este trabajo se define una medida que permite establecer el grado de acercamiento o de alejamiento entre los
niveles de un mismo fenómeno demográfico expresados en sendas
tablas demográficas. Finalmente, y para ilustrarla, se aplica la metodología expuesta a las tablas-tipo correspondientes a tres niveles
consecutivos de mortalidad.
Palabras clave: análisis longitudinal, análisis transversal, calendario,
intensidad, mortalidad, tabla demográfica, tabla-tipo de mortalidad.
Clasificación AMS: 62F03, 62G10, 62P05, 62P25, 92H20.
6
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
1. INTRODUCCIÓN
El modelo conocido como tabla demográfica permite analizar un fenómeno demográfico F a través de cierto suceso característico A, que supondremos irrepetible. La información para el análisis es proporcionada por la observación de la
incidencia del suceso A sobre una cohorte, estudiándose la frecuencia con la que
ese suceso característico va apareciendo desde una edad inicial -que denotamos
por x0- hasta una edad final en la que el suceso deja de hacer su aparición
-denotada por xω -.
En la literatura de manuales demográficos son muchos los ejemplos de descripción del modelo tabular (Leguina, 1981; Livi-Bacci, 1993; Tapinos, 1990; Vinuesa,
1994). Frente a métodos más elementales de análisis desagregado -métodos de
población-tipo, de tasas-tipo y de los números índice- utilizables para controlar o
medir la influencia de cualquier tipo de variable, el método tabular tiene su aplicación estricta cuando la variable a controlar es el tiempo, entendido éste como
duración o edad.
Este trabajo pretende definir una medida, con sentido de globalidad, sobre el
grado de acercamiento o alejamiento entre tablas demográficas referidas al mismo
fenómeno demográfico F. Se comprende, pues, su posible aplicabilidad a la hora
de elegir entre tablas-tipo como descriptoras del comportamiento del hecho demográfico F y para una población cualquiera. Esto es, dadas dos tablas demográficas,
podemos preguntarnos hasta qué punto difiere en más o en menos la descripción
que realizan del mismo fenómeno F, o, lo que es lo mismo, hasta qué punto los
niveles del fenómeno F expresados en ambas son semejantes.
Al respecto, es conocido que los distintos niveles de incidencia del fenómeno F
suelen describirse a través de indicadores sintéticos como, por ejemplo, la esperanza o el valor medio del calendario. De hecho, la diferencia entre los niveles de
incidencia del fenómeno se miden, en muchas ocasiones, comparando estos
indicadores. Sin embargo, la medida propuesta en este trabajo tiene en cuenta la
incidencia de las diferencias observadas edad por edad, respecto una estructura
base de comparación, asegurándose así la homogeneidad de la misma. Por otra
parte, en el desarrollo metodológico que define la medida propuesta, se utiliza el
artificio formal de explicar una estructura transversal -la de los supervivientes de la
tabla demográfica- relacionándola con un análisis longitudinal retrospectivo, y bajo
la hipótesis de estabilidad en la intensidad y calendario del fenómeno demográfico
estudiado. La distinción entre los análisis longitudinal y transversal es ampliamente
tratada en Ryder (1956), Whelpton (1954) y Henry (1956).
En Veres (2000) se presenta una aplicación del contraste estadístico de homogeneidad para decidir sobre la significatividad estadística en la igualdad de dos
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
7
tablas demográficas. Este enfoque supone incorporar al estudio de las tablas
demográficas técnicas que son propias de los Métodos Estadísticos. Este es también el sentido del presente trabajo, en el que, como ya se ha indicado, se define
una medida del alejamiento de los niveles del fenómeno expresado por ellas.
2. DESCRIPCIÓN DE UNA TABLA DEMOGRÁFICA: NOTACIÓN
Una tabla demográfica queda definida a partir de las tres series biométricas fundamentales siguientes:
– serie de individuos no alcanzados por A antes de la edad x, denotada por
ω
(serie de supervivientes);
0
{lx }xx=x
– serie del flujo relativo del suceso A entre dos edades consecutivas x y x+1,
denotada por {D( x, x + 1)}xx ω=−x10 (serie de flujo de sucesos); y,
– serie de probabilidades de que un individuo, en el momento de llegar a la edad
−
x , sea alcanzado por el suceso A antes de llegar a x+1 , denotada por {qx }xxω= x10
(serie de probabilidades de ocurrencia del suceso A).
Suponiendo una cohorte ficticia con l0 efectivos iniciales (generalmente, 104 ó
105 individuos), las relaciones entre las tres series anteriores son las siguientes:
D( x, x + 1) = l x − l x+ 1
qx =
D( x, x + 1)
lx
por lo que, conocida una cualquiera de las series, son conocidas las otras dos.
La intensidad y el calendario son dos índices analíticos básicos que se deducen
fácilmente de una tabla demográfica. La intensidad I -expresada en términos absolutos- representa el número de individuos que acaban por ser alcanzados por el
suceso A a lo largo de la vigencia del fenómeno estudiado. Esto es:
I = lx 0 − lx ω =
x ω −1
∑ D( x, x + 1)
x = x0
mientras que, en términos relativos, esa intensidad puede definirse como el porcentaje de individuos alcanzados por A sobre el total de efectivos iniciales lx 0 , esto
es:
8
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Ir =
l x0 − l x ω
lx 0
= 1−
lx ω
lx 0
El calendario d(x,x+1) representa la distribución por edades de la intensidad
anterior. Se trata de una distribución de probabilidad condicional, de expresión:
d( x, x + 1) =
D( x, x + 1)
I
De las dos posibles aproximaciones al análisis de un hecho demográfico, la lo ngitudinal o la transversal, ésta ha sido la comúnmente utilizada en la construcción
de las correspondientes tablas demográficas, dada sus menores exigencias en la
disponibilidad de datos. Frente a la visión diacrónica empleada por el análisis
longitudinal, el análisis transversal efectúa una visión sincrónica, primando en ella la
proximidad al momento de la observación. Los problemas inherentes a este enfoque, derivados de la coexistencia en el análisis de diferentes cohortes en observación, son resueltos considerando a todas ellas como si fueran una sola, de manera
que los acontecimientos experimentados por aquéllas se asimilan a la vivencia de
esta cohorte ficticia o imaginaria.
3. LECTURA ALTERNATIVA DE UNA TABLA DEMOGRÁFICA
Consideremos la serie básica de los supervivientes de una tabla demográfica,
construida transversalmente. La estructura de sus supervivientes, en el momento
temporal de referencia de la tabla, es consecuencia de la evolución experimentada
por el fenómeno en años anteriores. Por ello, haciendo un ejercicio de análisis
longitudinal retrospectivo, y suponiendo, formalmente, que la intensidad y el calendario del fenómeno descrito en la tabla no han sufrido alteración en períodos pasados, esto es, que retrospectivamente se han mantenido estables, podemos establecer una relación entre la actual estructura de supervivientes -siempre que la
población sólo estuviera afectada por el fenómeno descrito en la tabla-, con las que
deberían proceder referidas a ciertos momentos anteriores.
Sea, pues, el siguiente esquema:
9
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
Edad de
cada l0
en t0
t-ω
x0
x1
x2
x3
...
xω -1
xω
t-(ω-1)
...
l0
...
l0
l1
Tiempo cronológico
←
...
t-3
t-2
t-1
t0
...
...
...
...
...
...
...
l0
l1
l2
...
lω -2
lω -1
l0
l1
l2
l3
...
lω -1
lω
l0
...
lω -4
lω -3
l0
l1
...
lω -3
lω -2
El esquema anterior pone en relación el análisis transversal propio de la tabla
demográfica referida al momento t0, con el análisis longitudinal retrospectivo compatible bajo la hipótesis de igualdad o estabilidad de la intensidad y calendario del
fenómeno F. En términos de los flujos de sucesos A necesarios para pasar de una
estructura de supervivientes en t-i a la que corresponde en t-i+1 , resultaría el siguiente esquema:
Edad
de cada
l0 en t0
x0
x1
t-ω a
t-(ω-1)
0
0
t-(ω-1)
a t-(ω-2)
0
0
...
...
…
x2
0
0
...
x3
0
0
…
...
xω -1
...
0
xω
D( x 0 , x 1)
Tiempo cronológico
←
t-3 a
t-2 a
t-2
t-1
0
0
0
0
0
D( x 0 , x 1)
...
...
...
D( x 0 , x 1) … D(x ω−4 ,x ω−3 )
D( x1, x 2 ) ... D(x ω−3 , x ω−2 )
D( x 0 , x 1)
D( x1, x 2 )
...
D(x ω−3 , x ω− 2 )
D(x ω− 2 , x ω−1 )
t-1 a
t0
0
D( x 0 , x 1)
D( x1, x 2 )
t0
l0
l1
l2
l3
D( x 2, x 3 )
...
...
D( x ω− 2 , x ω− 1) lω -1
D(x ω−1, x ω )
lω
en donde suponemos que los cortes del tiempo cronológico son de la misma amplitud que los empleados en la estructura de los supervivientes: años simples, ó
quinquenios, etc.; y, por facilidad en la notación, que lx i = li .
La suma, por filas, de los elementos del anterior esquema son siempre iguales a
la potencia L 0 de la tabla demográfica:
10
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
x− 1
∑ D( xi ,x i+1) + lx
i= x0
= lx 0
con x=x1,x2,...,xω
Considerando, pues, la matriz D


0


0



0

D =

...


0


 D( x 0 , x1)

lx 0

0
...
0
0
...
0
0
...
D(x 0, x 1)
l x0
D( x 0 , x1 )
l x0
D( x 1, x 2 )
l x0
...
...
...
...
D(x 0, x 1)
D( x ω− 4 , x ω−3 )
...
l x0
l x0
D(x 1, x 2 )
D( x ω− 3, x ω− 2 )
...
l x0
l x0
0
D( x ω−3 , x ω− 2 )
l x0
D( x ω−2 , x ω−1)
l x0










...

D( x ω− 2 , x ω−1) 

lx 0

D( x ω−1, x ω ) 

lx 0

D( x 0 , x1)
lx 0
D( x1, x 2 )
lx 0
D( x 2 , x 3 )
lx 0
y los vectores L 0 y Lx
 lx 0 
 
 
 lx 0 
L0 =  
 
...
 
 
 lx 
 0
 l x1 
 
 
 lx 2 
Lx =  
 
...
 
 
 lx 
 ω
se verifica que
D ⋅ L0 + Lx = L 0
y, consecuentemente, que
L 0 = (1 − D) −1 ⋅ L x
expresiones que resumen las relaciones existentes entre las series que definen la
tabla demográfica. El elemento dik de la matriz D se interpreta como la cantidad de
afectados por el suceso característico A en el período t-ω +k-1 , que en t0 tendrían la
edad i, exigido por el incremento de una unidad en la potencia de la tabla, siempre
que sea cierta la hipótesis de estabilidad formulada.
11
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
Cabe destacar la semejanza formal de la metodología aquí desarrollada y el esquema de relaciones, en forma de igualdades contables, del análisis económico
Input-Output (Alcaide, 1969).
4. MEDIDA PARA LA COMPARACIÓN DE DOS TABLAS DEMOGRÁFICAS
Sean dos tablas demográficas -que denotaremos por 1 y 2- que intentan acercarnos al comportamiento de cierto fenómeno demográfico sobre dos poblaciones
que corresponden a territorios o momentos diferentes. Sean
{l }
1 xω
x x= x0
y
{l }
2 xω
x x= x0
las
respectivas series de supervivientes y consideraremos a la tabla 1 como la tabla
base para la comparación. Supondremos, además, que los supervivientes finales
de las dos tablas son iguales:
l1ω = l2ω
La metodología anterior aplicada sobre las dos tablas demográficas proporciona
las siguientes ecuaciones matriciales:
L10 = (1 − D1 )−1 ⋅ L1x
{1}
L20 = (1 − D2 ) −1 ⋅ L2x
en donde la aplicación de la respectiva matriz (1-D)-1 , sobre la respectiva estructura
de supervivientes de la tabla demográfica, proporciona el vector constante cuyos
elementos son iguales a la potencia de la tabla. Por tanto, la aplicación de (1-D 1)-1
sobre L2x da información a partir de la que puede construirse una medida del grado
de representatividad de la tabla 1 al comportamiento del fenómeno F descrito por la
tabla demográfica 2. A mayor diferencia entre el vector (1 − D1 )−1 ⋅ L2x y el vector L20
-que es constante- se concluye que la descripción de F por parte de la tabla demográfica 1 está más alejada de su verdadera incidencia sobre la población que la
descrita por la tabla 2.
El siguiente resultado confirma la aseveración anterior:
Proposición 1
Sean dos tablas demográficas, tales que l1ω = l2ω . Siendo D1 la matriz obtenida
por aplicación de la metodología anterior sobre la tabla demográfica 1, la aplicación
de la matriz (1-D 1)-1 sobre el vector columna L2x de supervivientes al suceso característico A de una segunda tabla demográfica, da como resultado un vector cons-
12
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
tante sólo, y sólo si, ese vector columna de supervivientes coincide con el de la
primera de las tablas. Esto es, y con la notación desarrollada:
1 -1
2
1
2
(1-D ) .L x = K ⇔ L x = L
x
donde K es un vector constante.
En efecto, la implicación inversa es evidente, por misma construcción del esquema desarrollado en el apartado 3 anterior, al ser:
1 -1
1
1
(1-D ) .L x = L 0 constante.
Para la implicación directa, siendo K un vector columna constante tal que
1 -1
2
(1-D ) .L x = K
entonces
2
1
L x = (1-D ).K
1
1
1
L x = (1-D ).L
0
De ahí que
1 2
⋅ L x = (1 − D1 ) ⋅ I
k
1
l10
⋅ L x = (1 − D ) ⋅ I
1
1
donde I es el vector unidad, k es la constante que define al vector K y l10 la potencia
de la tabla 1. Por lo tanto
1 2 1 1
⋅ Lx = 1 ⋅ Lx
k
l0
Dado que los vectores L 1x y L2x tienen, por hipótesis, igual el último elemento, la
1
condición anterior conduce a la igualdad entre las constantes k y l 0. Lo que, en
definitiva, implica la coincidencia entre los vectores columna de supervivientes de
ambas tablas demográficas.
c.q.d.
13
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
En particular, la hipótesis de la proposición anterior es satisfecha por las tablas de
fenómenos demográficos de intensidad unidad, cuyos supervivientes finales son cero.
La medida propuesta para definir el grado de acercamiento o de alejamiento de la
incidencia del fenómeno F medida en las tablas demográficas 1 y 2 debería tener en
cuenta, pues:
1º el carácter constante, y por tanto, lineal, de los vectores definidos en {1}; y
2º el alejamiento existente entre los vectores L 20 y L̂20 =(1-D 1)-1 .L2x.
De ahí que se proponga como medida la siguiente expresión, en donde el numerador es la media de los cuadrados de las desviaciones entre los elementos de
L20 y L̂20 :
xω
∑ ( l̂02,i − l20 )2
+
i =x 1
M=+
ω
(l20 )2
=
xω
∑ ( l̂02,i − l20 ) 2
i = x1
{2}
ω ⋅ (l02 )
y en donde l̂02,i es el elemento i-ésimo del vector L̂20 ; l20 la constante que define al
vector L 20 y que es también la potencia de la tabla demográfica 2. Su inclusión en el
denominador y la consideración de la raíz en la expresión de la medida persiguen
adimensionarla y reducirla a una misma escala de comparación. Como puede
apreciarse, el alejamiento (acercamiento) de M al cero expresa un aumento (una
disminución) de la diferencia entre los niveles del fenómeno F descritos por ambas
tablas demográficas, lo que permite su interpretación.
Con notación matricial, la medida anterior tiene la siguiente expresión {3}:
M=+
1
ω ⋅ (l02 )2
[ ] [
'
] [
'
][ ]
× L2x ⋅ (1 − D1)−1 − (1 − D 2 )− 1 ⋅ (1 − D1)−1 − (1 − D 2 )− 1 ⋅ L2x ,
donde A ′ expresa la matriz transpuesta de A.
El resultado de la proposición anterior asegura que M -que, por construcción, no
puede tomar valores negativos-, para una estructura de supervivientes, L2x, distinta
1
de L x, no será nula:
14
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Corolario 1
1
2
M = 0 ⇒ L x = L x ó, equivalentemente,
1
2
L x≠ L
x
⇒ M>0
En efecto:
M = 0 ⇔ ∀i l̂02,i = l 20 ⇒ L̂20 es un vector constante ⇔
1
2
⇔ (proposición) ⇔ L x = L
x
(c.q.d.)
La implicación inversa también es cierta siempre que la potencia de las dos tablas sea la misma, l10 = l20 :
Corolario 2
Siendo l0 = l0 , se verifica:
1
2
1
2
L x= L x⇒ M=0
En efecto:
1
2
L x = L x ⇔ (proposición) ⇔
1 −1
⇔ L̂20 = (1 − D1 ) − 1 ⋅ L2x = (1 − D ) ⋅ Lx = L 0 es un vector constante.
1
1
Al ser l0 = l0 ⇒ l̂02,i = l 20 ∀i ⇔
1
2
⇔M=0
(c.q.d.)
La medida aquí definida lo ha sido bajo la hipótesis de igualdad entre los supervivientes finales de las dos tablas. Sin embargo, dadas dos tablas demográficas
distintas, lo más habitual será que no coincidan esos supervivientes finales. Resulta
pues necesario modificar la potencia l20 de la tabla 2, según la proporción siguiente:
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
Nl 02 =
l1ω
2
lω
15
⋅ l20
de manera que, por misma construcción de la tabla demográfica, la serie de supervivientes asociada a esa nueva potencia estará definida así:
{ }
xω
Nl 2x x= x
0
xω
 l1

=  ω2 ⋅ l2x 
 lω  x = x0
Los supervivientes finales de la tabla 1 y de la transformada son, ahora, iguales:
Nl 2ω = l1ω
por lo que ya que puede aplicarse la expresión {2}. La proposición siguiente asegura la coincidencia del valor obtenido de la medida, cuando se aplica sobre la serie
de supervivientes transformada.
Proposición 2
La medida {2} es invariante cuando se modifica la potencia de la segunda tabla
demográfica según un factor de proporcionalidad k.
{ }
En efecto, siendo Nl 2x
xω
x = x0
la nueva serie de supervivientes correspondiente a la
segunda tabla transformada, se verifica:
Nl 2x = k ⋅ l2x ∀x=x0,x1,...,xω
manteniéndose la misma proporcionalidad en la serie del flujo de sucesos:
ND (x, x + 1) = Nl x − Nl x +1 = k ⋅ l x − k ⋅ l x +1 = k ⋅ D(x, x + 1)
2
Así pues, la matriz D que aparece en la expresión {3} de la medida no sufre variación
2
ND = D
2
dado que sus elementos están definidos por el cociente de dos series biométricas
afectadas por igual por el factor de proporcionalidad k.
Reformulando {3} según:
16
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
'
[
] [
'
1  L2x 
M=+
×  2  ⋅ (1 − D1 )−1 − (1 − D 2 )−1 ⋅ (1 − D1 )− 1 − (1 − D2 )−1
ω  l0 
]⋅ Ll


,

2
x
2
0
se aprecia su invarianza sobre la tabla transformada, al ser:
'
NM = +
[
] [
1  NL2x 
1 −1
2 −1 '
×
⋅ (1 − D1 )−1 − (1 − ND 2 )−1
 ⋅ (1 − D ) − (1 − ND )
ω  k ⋅ l20 
]⋅ NL
k ⋅l

2
x
2
0



con
NL2x L2x
= 2
k ⋅ l 20
l0
por lo que, finalmente, NM = M
(c.q.d.)
5. APLICACIÓN
Las tablas-tipo o tablas-modelo de mortalidad proporcionan las relaciones empíricas entre ciertos datos sobre la mortalidad conocidos, pero incompletos, y las
series biométricas de una tabla de mortalidad abreviada. Su uso está muy extendido, y es de plena aplicabilidad en los procesos proyectivos. Tomando como base la
tabla-tipo de mortalidad de Coale-Guo (1991) correspondiente al nivel 26 de la zona
occidental, la aplicación permite valorar cuál de las tablas correspondientes a los
niveles 25 y 27 están más próximas a la descripción que sobre la mortalidad realiza
la tabla del nivel 26.
En esta aplicación, en la que la intensidad del fenómeno estudiado es la unidad,
no hay supervivientes finales, por lo que el último elemento del vector de supervivientes, los supervivientes finales, es cero. No es necesario proceder, pues, a la
modificación de la potencia de las tablas.
26 -1
La matriz (1-D ) obtenida por la aplicación de la metodología propuesta a la
tabla-tipo de Coale-Guo correspondiente al nivel 26 para las mujeres (con cuatro
decimales significativos), es la siguiente:
17
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
Tabla 1
TABLA (1-Q)-1 DEDUCIDA DE LA TABLA-TIPO DE MORTALIDAD DEL NIVEL
26 PARA LAS MUJERES
Edad
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Final
0
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0004
0,0006
0,0010
0,0016
0,0022
0,0024
0,0021
0,0058
1
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0005
0,0007
0,0013
0,0021
0,0031
0,0038
0,0076
0,0042
5
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0005
0,0008
0,0013
0,0021
0,0032
0,0081
0,0056
0,0038
10
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0007
0,0011
0,0019
0,0069
0,0051
0,0044
0,0039
15
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0007
0,0011
0,0059
0,0041
0,0038
0,0039
0,0043
20
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0007
0,0052
0,0034
0,0033
0,0038
0,0044
0,0046
25
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0000
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0003
0,0005
0,0048
0,0028
0,0027
0,0036
0,0049
0,0054
0,0053
18
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Tabla 1
TABLA (1-Q)-1 DEDUCIDA DE LA TABLA-TIPO DE MORTALIDAD DEL NIVEL
26 PARA LAS MUJERES
(continuación)
Edad
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Final
30
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
1,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0003
0,0004
0,0046
0,0024
0,0021
0,0031
0,0050
0,0062
0,0066
0,0063
35
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0000
0,0001
0,0001
1,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0004
0,0046
0,0022
0,0017
0,0025
0,0045
0,0065
0,0080
0,0083
0,0083
40
0,0000
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
1,0002
0,0002
0,0003
0,0045
0,0022
0,0015
0,0021
0,0039
0,0062
0,0088
0,0106
0,0113
0,0118
45
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
1,0003
0,0045
0,0022
0,0015
0,0020
0,0035
0,0057
0,0088
0,0123
0,0152
0,0166
0,0174
50
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0002
0,0002
0,0002
0,0003
0,0045
1,0022
0,0015
0,0020
0,0034
0,0052
0,0083
0,0128
0,0184
0,0231
0,0252
0,0266
55
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0002
0,0003
0,0004
0,0045
0,0022
0,0015
1,0020
0,0034
0,0050
0,0075
0,0117
0,0187
0,0276
0,0347
0,0383
0,0387
60
0,0002
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0003
0,0004
0,0046
0,0022
0,0015
0,0020
0,0034
1,0050
0,0071
0,0106
0,0173
0,0283
0,0415
0,0525
0,0564
0,0584
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
19
Tabla 1
TABLA (1-Q)-1 DEDUCIDA DE LA TABLA-TIPO DE MORTALIDAD DEL NIVEL 26
PARA LAS MUJERES
(conclusión)
Edad
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Final
65
0,0004
0,0005
0,0005
0,0004
0,0004
0,0004
0,0005
0,0046
0,0022
0,0015
0,0020
0,0034
0,0050
0,0071
1,0102
0,0158
0,0262
0,0428
0,0631
0,0781
0,0852
0,0884
70
0,0006
0,0007
0,0008
0,0007
0,0007
0,0007
0,0048
0,0024
0,0017
0,0021
0,0035
0,0052
0,0075
0,0106
0,0158
1,0251
0,0417
0,0682
0,0985
0,1227
0,1330
0,1442
75
0,0010
0,0013
0,0013
0,0011
0,0011
0,0052
0,0028
0,0021
0,0025
0,0039
0,0057
0,0083
0,0117
0,0173
0,0262
0,0417
1,0696
0,1121
0,1632
0,2019
0,2232
0,2473
80
0,0016
0,0021
0,0021
0,0019
0,0059
0,0034
0,0027
0,0031
0,0045
0,0062
0,0088
0,0128
0,0187
0,0283
0,0428
0,0682
0,1121
1,1830
0,2668
0,3367
0,3784
0,4021
85
0,0022
0,0031
0,0032
0,0069
0,0041
0,0033
0,0036
0,0050
0,0065
0,0088
0,0123
0,0184
0,0276
0,0415
0,0631
0,0985
0,1632
0,2668
1,3989
0,5174
0,5773
0,5503
90
0,0024
0,0038
0,0081
0,0051
0,0038
0,0038
0,0049
0,0062
0,0080
0,0106
0,0152
0,0231
0,0347
0,0525
0,0781
0,1227
0,2019
0,3367
0,5174
1,6779
0,7181
0,5984
95
0,0021
0,0076
0,0056
0,0044
0,0039
0,0044
0,0054
0,0066
0,0083
0,0113
0,0166
0,0252
0,0383
0,0564
0,0852
0,1330
0,2232
0,3784
0,5773
0,7181
1,6933
0,5283
100
0,0058
0,0042
0,0038
0,0039
0,0043
0,0046
0,0053
0,0063
0,0083
0,0118
0,0174
0,0266
0,0387
0,0584
0,0884
0,1442
0,2473
0,4021
0,5503
0,5984
0,5283
1,4269
Los vectores de mujeres supervivientes correspondientes a los niveles 25 y 27
son los siguientes:
20
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
Tabla 2
SUPERVIVIENTES MUJERES
TABLAS-TIPO DE MORTALIDAD
NIVELES 25 Y 27
Edad
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Final
Nivel 25
993989
992244
991350
990605
989117
987341
985147
982422
978480
972374
962845
948220
926664
893498
841797
755921
616702
420447
213096
68287
11338
0
Nivel 27
997169
995975
995830
995702
995131
994005
992510
990837
988632
985174
979868
970592
959043
941853
917066
873253
783452
616249
378507
152458
32137
0
La aplicación de la matriz inversa (1-D 26)-1 sobre los dos vectores anteriores
26 -1
25
L̂25
0 =(1-D ) .L
26 -1
27
L̂27
0 =(1-D ) .L
y que se recoge en la tabla 3:
x
x
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
21
Tabla 3
27
VECTORES L̂25
0 y L̂ 0
MUJERES. NIVELES 25 Y 27
Edad
1
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
80
85
90
95
100
Final
Nivel 25
997443
996896
996314
995826
995235
994842
994400
993685
992437
990444
987242
982529
974957
963048
943720
913247
872922
834390
818319
828892
844671
856402
Nivel 27
1001838
1002395
1002890
1003282
1003797
1004126
1004529
1005213
1006412
1008328
1011417
1015451
1022845
1034572
1053877
1085463
1130393
1178947
1204920
1195407
1174418
1157765
permite calcular sendas estimaciones de la medida M propuesta, como expresión
de las diferencias entre los niveles de mortalidad recogidos en las tablas-tipo de las
mujeres para los niveles 25 y 27, respecto la tabla-tipo de nivel 26:
25/26
= 0,0863602
27/26
= 0,0946335
M
M
cuya comparación permite afirmar que el nivel de mortalidad descrito por la tablatipo del nivel 26 está más cercano al de la tabla-tipo del nivel 25 que al de la mortalidad descrito por la tabla-tipo de nivel 27. Conclusión distinta de la que podría
suponerse al comparar las respectivas esperanzas de vida, que presentan diferencias constantes entre ellas de 2’5 años.
22
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
6. CONCLUSIONES
La medida propuesta se perfila como alternativa a los indicadores globales clásicos -esperanza de vida, número medio de hijos por mujer, edad media al matrimonio, etc.-, cuando éstos se utilizan como expresión de la diferencia entre niveles
del fenómeno demográfico expresado a través de tablas demográficas distintas.
Evidentemente puede criticarse la hipótesis de estabilidad que se formula en el
desarrollo de la metodología. En efecto, es esencialmente difícil e improbable -y
más cuando el horizonte temporal llega a ser tan amplio- que no existan ni siquiera
suaves variaciones en el comportamiento de un fenómeno demográfico. Sin embargo, la formulación de la hipótesis es más operativa, obedece más a la técnica de
trabajo, que real. En efecto, en ningún momento es necesario aceptar que la hipótesis responda al comportamiento real de una población, sino tan sólo la acepta
para establecer un elemento formal y común de comparación de las dos tablas. En
definitiva, la hipótesis se reduce a considerar que la supuesta estabilidad en el
comportamiento del fenómeno demográfico afecta por igual a ambas tablas demográficas, esto es, que existe neutralidad en la pasada evolución del hecho demográfico en las dos poblaciones descritas por sus tablas respectivas.
En este artículo no se pretende agotar la línea de investigación emprendida, sino más bien servir para futuros trabajos que se planteen la medición de la discrepancia o de la similitud de dos tablas demográficas. A modo de sugerencias, queda
abierta la profundización en las propiedades satisfechas por la medida aquí definida; o la posible extensión de la metodología al caso de que al análisis transversal
propio de la tabla se le acompañe, bajo la hipótesis de estabilidad, un análisis
longitudinal continuo y, por tanto, proyectivo, que daría lugar a la definición de otra
medida alternativa, de igual naturaleza, cuyo comportamiento y propiedades resultaría interesante contrastar con el de la definida en este trabajo; o, finalmente,
avanzar en la ya apuntada aplicación del análisis Input-Output, que permita otra
descripción de las relaciones entre los elementos que definen a una tabla demográfica.
APROXIMACIÓN A UNA MEDIDA DE LA DISCREPANCIA ENTRE TABLAS DEMOGRÁFICAS
23
REFERENCIAS
ALCAIDE , A. (1969): Análisis Input-Output. Guadiana de Publicaciones, Madrid.
COALE , A. & GUO, G. (1991): «Utilización de nuevas tablas modelo de mortalidad
para tasas de mortalidad muy bajas en proyecciones demográficas», en Boletín
de Población de las Naciones Unidas, nº 30. Naciones Unidas. Nueva York.
HENRY , L. (1956): Anciennes familles genevoises. Étude démographique: XVIe-XXe
siècles. Cuaderno INED, 26. PUF, París.
LEGUINA , J. (1981, 3ª revisada): Fundamentos de Demografía. Ed.Siglo XXI, Madrid.
LIVI-B ACCI, M. (1993): Introducción a la demografía. Ariel Historia, Barcelona.
RYDER, N.B. (1956): «La mesure des variations de la fécondité au cours du temps».
Population, nº1.
TAPINOS, G. (1990): Elementos de Demografía. Espasa Universidad, Madrid.
VERES (2000): «Comparación de dos tablas demográficas: aproximación a su
significatividad estadística». Qüestiió, Vol. 24, nº1.
VINUESA , J. Y OTROS (1994): Demografía, análisis y proyecciones. Ed. Síntesis,
Madrid.
WHELPTON, P.K. (1954): Cohort Fertility. Native White Women in the United States.
Princeton University Press, Nueva Jersey.
24
ESTADÍSTICA ESPAÑOLA
APPROXIMATION TO A MEASURE OF DIFFERENCE BETWEEN
SUMMARY DEMOGRAPHIC TABLES
SUMMARY
The structure of the analytical model known as demographic table
allows the measurement of the influence that time has over a single
demographic phenomenom, know as duration or age. We find ourselves with two demographic tables, of a same demographic phenomenon, we ask ourselves frequently by their possible similarity. In this
work is defined a measure that permits to establish the degree of
approximation or of withdrawal between the levels of a same demographic phenomenon expressed in each demographic tables. Finally,
and to illustrate it, it is applied the methodology exposed to model life
tables corresponding at three consecutive mortality levels.
Key words: longitudinal analysis, transverse analysis, calendar, intensity, mortality, demographic table, model life tables.
AMS Classification: 62F03, 62G10, 62P05, 62P25, 92H20.