Apunte Completo

Facultad Regional
General Pacheco
ALUMNO:
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BÁSICAS
UDB: FÍSICA
JEFE UDB: Ing. NORBERTO HEYACA
Autor: Lic. CLAUDIO NASO
Cinemática
Capítulo 1:
CINEMÁTICA
Introducción
El fenómeno físico más común en la naturaleza es el movimiento y de él,
precisamente se encarga la cinemática. ¿ Pero quienes se mueven ? : Evidentemente los
cuerpos. Claro que un cuerpo puede moverse de manera muy compleja pues puede a la
vez trasladarse, rotar sobre sí mismo y desformarse. Por ésta razón comenzaremos
estudiando el caso mas sencillo, el de un punto que se mueve al que denominaremos
móvil. Claro que el móvil es una idealización, ya que un punto no tiene dimensiones, pero
precisamente por ello es el caso más sencillo pues solo consideraremos su traslación ya
que no tiene sentido, para un punto, hablar de rotación o deformación.
El móvil será nuestro objeto de estudio, pero ¿cómo podemos saber cuándo un
punto está en movimiento? Para ello tendríamos que poder ubicarlo en el espacio. En
física utilizamos para éste fin un Sistema de Coordenadas.
Sistema de referencias
Un sistema de referencias esta definido por la ubicación del observador. Es decir,
es el lugar donde se ubica el observador de un fenómeno. Para poder cuantificar lo
observado, es necesario asociale un sistema de coordenadas. De esta forma se podrá
ubicar la posición de un pùnto en el espacio. El más común es el sistema cartesiano
ortogonal con sus famosos ejes X, Y y Z, pero también existen los sistemas polares,
cilíndricos, esféricos etc. Comenzaremos nuestro estudio utilizando el cartesiano.
Éste sistema consiste en tres ejes ( rectas ) que se cortan en un punto llamado
origen y que cada uno es perpendicular a los otros dos.
Para ubicar un punto en el espacio es necesario indicar tres coordenadas
espaciales. Por ejemplo para indicar la posición del punto P tendremos que indicar las
coordenadas xp, yp, zp
Es evidente que si se cambia la ubicación o el tipo de sistema de referencias, las
coordenadas de un punto también cambiaran aunque éste siempre se encuentre en el
mismo lugar del espacio, por ésta razón decimos que la posición de un móvil es relativa al
sistema de referencias adoptado.
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Cinemática
Movimiento
Es indudable que para hablar de movimiento tenemos que hablar de tiempo ya
que estos conceptos están íntimamente ligados. La noción de tiempo va asociada a la
sucesión de acontecimientos que no es otra cosa que movimiento. Por ésta razón se hace
muy difícil definir el tiempo. Para simplificar nuestro estudio diremos por ahora que el
tiempo es aquello que se puede medir con un reloj. La magnitud tiempo la indicaremos
con la letra t y un intervalo de tiempo entre dos instantes t1 y t2 lo indicaremos con Δt
siendo:
Δt = t2 - t1
Definición de movimiento: Decimos que un punto se mueve respecto de un
sistema de referencias adoptado, cuando cambia alguna de sus coordenadas
espaciales a lo largo del tiempo
Trayectoria
La trayectoria de un móvil es la línea determinada por los sucesivos puntos que un
móvil va ocupando en el espacio a medida que se mueve. Si se trata de una recta
decimos que la trayectoria es rectilínea. Si se trata de una curva, toma el nombre de la
misma: trayectoria circular si es una circunferencia, trayectoria parabólica si es una
parábola, etc.
Por ejemplo, en la siguiente figura, la trayectoria está indicada por la línea gris, el
punto P es el móvil y xp, yp, zp, son las coordenadas del punto en un instante
determinado. ( Tengamos en claro que estas coordenadas serán distintas en otros
instantes )
Vector posición
La posición de un punto en el espacio se determina a través de sus coordenadas,
pero la mejor manera de indicarlas es utilizando una herramienta matemática conocida
por todos nosotros denominada vector , Concretamente definiremos el vector posición.
El vector posición ( ) es un vector que tiene origen en cero del sistemas de
coordenadas y su extremo se encuentra en el móvil. Es evidente que a medida que el
móvil se desplace, el vector posición ( ) cambiara de módulo y/o dirección.
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Cinemática
Matemáticamente, el vector posición se escribe indicando las coordenadas de su
extremo, ya que por definición las de su origen son cero, por lo tanto
tiene tres
coordenadas: ( x, y, z ).
En lenguaje vectorial, cada coordenada se asocia a un
versor que, como sabemos, es un vector unidad, es decir, su módulo vale "1" y que su
dirección coincide, en nuestro caso, con la dirección de los ejes coordenados.
Denominamos versor al asociado con el eje X, versor
al asociado con el eje Y y versor
al asociado con el eje Z. Por lo tanto el vector posición se expresa de la siguiente
manera:
=x
+y
+z
Ejemplo 1:
Un móvil se encuentra en un punto del espacio tal que su coordenada en el eje X
es 3 cm, su coordenada en el eje Y es 5 cm. y su coordenada en el eje Z es 4 cm. Expresar
su vector posición.
Respuesta:
= 3cm
+ 5cm
+ 4cm
Vector desplazamiento
Cuando un móvil cambia de posición, decimos que se ha movido, pero, ¿ cómo
medir "cuánto" se ha movido ?. Para esto definiremos el vector desplazamiento.
Supongamos que en un instante t el vector posición de un móvil sea (t) y en otro
instante posterior t+Δt el nuevo vector posición sea
(t+Δt), entonces el vector
desplazamiento será:
Δ
=
( t+Δt) -
(t)
Observemos su significado gráfico:
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Cinemática
Es importante destacar que el vector desplazamiento "Δ " no es lo mismo que el
camino recorrido por el móvil "s", ya que s viene dado por la curva y Δ viene dado por la
cuerda sustendida entre un instante y el otro. Obsérvese que s coincidiría con Δ si la
trayectoria fuera rectilínea.
Velocidad media
Es evidente que todos los móviles no se "mueven" de la misma manera, incluso,
aunque el desplazamiento de dos móviles fuera el mismo, el intervalo de tiempo en
realizar dicho desplazamiento puede ser distinto. Por ésta razón es necesario definir una
nueva magnitud que permita diferenciar un caso del otro y tener una "idea" de cómo se
desplaza un móvil. Esta magnitud se denomina velocidad media:
Definición:
La velocidad media de un móvil en un intervalo de tiempo Δt, es una
magnitud vectorial igual al cociente entre el vector desplazamiento correspondiente al
intervalo y el valor de dicho intervalo.
r
r
Δr
vm =
Δt
Físicamente, la velocidad media representa la rapidez con que se produce
el desplazamiento de un móvil.
El vector velocidad media tiene la misma dirección y sentido que el vector
desplazamiento.
La velocidad media no nos da mucha información acerca del movimiento.
Solamente relaciona el vector desplazamiento total producido en un intervalo de tiempo
con dicho intervalo. No nos dice nada de la trayectoria seguida por el móvil, ni si ha
llevado siempre la misma velocidad en todo el intervalo de tiempo. Inclusive, si el móvil
regresa al punto de partida al cabo de un intervalo de tiempo, la velocidad media será
nula en dicho intervalo, pues el vector desplazamiento será nulo.
Importante: La velocidad media de un móvil puede ser cero para un intervalo de tiempo
y no serlo para intervalos de tiempo más pequeños.
Si queremos más información acerca del movimiento de una partícula,
deberemos medir la velocidad en un intervalo de tiempo muy pequeño, de manera de
asegurarnos que la misma no cambie en él , pero, ¿ cuán pequeño debe ser el intervalo
?, tan pequeño como podamos imaginarlo, "infinitamente pequeño". De esta manera
llegamos al concepto de velocidad instantánea.
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Cinemática
Velocidad instantánea
La velocidad instantánea representa la velocidad de un móvil en un instante
determinado, o la velocidad que posee en un punto determinado de la trayectoria.
Definición:
La velocidad instantánea es el valor límite que toma la velocidad media
cuando el intervalo de tiempo en el que se mide tiende a cero:
r
r
r
Δr dr
v= lim
=
Δt → 0 Δt
dt
Matemáticamente esta expresión es una "derivada", la derivada de el vector
posición respecto del tiempo. Mas adelante en el curso de análisis matemático estudiarán
en profundidad este concepto y sus aplicaciones.
Vectorialmente la velocidad instantánea se expresará de la siguiente forma:
r
(
(
(
v = v x i + v y j + v zk
Unidades
En el sistema internacional de unidades la velocidad se mide en:
v =
long.
t
=
m
s
=
km
h
En la práctica diaria:
v =
long.
t
Ejemplo 2 :
Expresar vectorialmente la velocidad de un móvil que se desplaza por el
espacio tal que las componentes de su velocidad son: en el eje X, 5 m/s; en eje Y, 8 m/s y
en el eje Z, 14 m/s.
Respuesta:
r
m(
m(
m(
v=5
i +8
j + 14 k
s
s
s
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La velocidad instantánea y la trayectoria
Analicemos ahora cómo es el vector velocidad instantánea respecto de la
trayectoria seguida por el móvil.
Δ 1 : Vector desplazamiento en el intervalo Δt1 ; Δ 2 : Vector desplazamiento en el
intervalo Δt2 ; Δ 3 : Vector desplazamiento en el intervalo Δt3 ; ΔS1, ΔS2, ΔS3 : longitud de la
trayectoria desde el origen en cada caso.
A cada vector desplazamiento Δ le corresponde una longitud de trayectoria ΔS y
están relacionadas con el intervalo de tiempo Δt. Es evidente que ΔS es mayor que ⏐Δ ⏐;
pero esta diferencia es menor cuanto menor es el intervalo de tiempo. Además, en el
límite cuando el intervalo de tiempo tiende a cero, la secante determinada por Δ tiende
a confundirse con la tangente a la curva. De aquí, podemos concluir que el vector
velocidad instantánea de un móvil tendrá una dirección que será siempre tangente a la
trayectoria en el punto donde se la mida y su sentido coincidirá con el del movimiento.
El siguiente gráfico representa para cuatro tiempos distintos, los vectores velocidad
instantánea de un móvil sobre una trayectoria curvilínea.
Aceleración
En general, todo móvil cambia su velocidad instantánea a medida que transcurre
el tiempo, algunos lo hacen bruscamente y otros suavemente, pero en todos los casos,
para pasar de un estado de velocidad a otro, el móvil atraviesa sucesivos estados de
velocidad intermedios.
Pero, ¿ Cómo diferenciar un cambio de velocidad brusco de uno suave ? : Para
esto se hace necesario definir una nueva magnitud denominada aceleración.
Físicamente, la aceleración medirá la rapidez con que cambia la velocidad de un
móvil. Por lo tanto siempre que se observe un cambio de velocidad, se podrá medir la
aceleración.
Como la velocidad es una magnitud vectorial, habrá aceleración no solo cuando
varíe su módulo, sino también cuando varíe su dirección o su sentido
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Aceleración media
Supongamos que un móvil sigue una trayectoria como la de la figura (a). En un
r
r
instante t, su velocidad es v (t) y en otro instante posterior t+Δt, su velocidad es v (t+Δt). Si
transportamos los vectores velocidad a un origen común, figura (b), podemos realizar la
r
diferencia entre ellos y así obtenemos el vector Δ v .
(b)
(a)
Obsérvese que, en este caso, el vector velocidad instantánea cambia en modulo
y dirección, es decir, es el caso más general. En otros casos, puede ser que solo cambie la
dirección o el módulo (movimientos rectilíneos).
Definición:
La aceleración media de un móvil es una magnitud igual al cociente entre
la variación de velocidad instantánea que experimenta un móvil y el intervalo de tiempo
en que dicha variación se produce.
r
r
r
r
v(t + Δt) - v(t) Δv
=
am =
Δt
Δt
Como la aceleración media se obtiene del cociente entre una magnitud vectorial
r
(Δ v ) y una escalar (Δt), también ella es una magnitud vectorial, cuya dirección y sentido
r
coincide con la dirección y sentido de el vector variación de velocidad (Δ v ).
Aceleración instantánea
Nos encontramos otra vez con un caso similar al de la velocidad media pues, la
aceleración media no nos brinda demasiada información acerca de como varió la
velocidad de un móvil dado que, en el intervalo de tiempo Δt, la aceleración puede
haber cambiado muchas veces.
Sin embargo, si comenzamos a reducir el intervalo de tiempo en el que medimos la
aceleración, la posibilidad de que ésta haya cambiado también se reduce y, si este
intervalo de tiempo tiende a cero, podemos asegurar que, en dicho intervalo la
aceleración no cambió. Este razonamiento nos lleva a definir una magnitud que sí tendrá
una enorme utilidad y que se denomina aceleración instantánea. Físicamente es la
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aceleración que tiene un móvil en cualquier instante o en cualquier punto de la
trayectoria.
Definición:
La aceleración instantánea es el valor límite que toma aceleración media
cuando el intervalo de tiempo en el que se mide tiende a cero:
r
r
r
Δv dv
a= lim
=
Δt →0 Δt
dt
Matemáticamente esta expresión es la derivada de el vector velocidad
instantánea respecto del tiempo. Como ya se dijo, en el curso de análisis matemático
estudiarán en profundidad este concepto y sus aplicaciones.
Unidades
En el sistema internacional de unidades la aceleración se mide en:
r
r [ v] m s m
[ a] = t = s = s 2
[]
Ejemplo 2
Un móvil se desplaza en el plano de una mesa, de manera que si adosamos a ésta
un sistema de ejes X e Y con origen en un vértice, la posición del móvil en el instante t1= 3
s. es 1,2 m en el eje X y 0.25 m en el Y . En otro instante t2= 8 s. la posición es 0,8 m en el
eje X y 1,4 m en el Y.
Calcular la velocidad media entre estos instantes.
Solución:
Observemos el sistema de referencias utilizado
En éste sistema los vectores posición en los instantes indicados son:
(
(
v
r(t ) = (1,2 i + 0,25j) m
1
(
(
v
r(t ) = ( 0,8 i + 1,4j) m
2
La velocidad media se calcula aplicando la definición
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Cinemática
r
r
Δr
vm =
Δt
(
(
(
(
(
(
r
v
(
( m
r(t 2 ) − r(t 1 ) ( 0,8 i +1,4 j)m- (1,2 i + 0,25j)m (-0,4 i +1,15 j)m
v
=
=
= (-0,08 i + 0,23 j)
vm =
s
t 2 − t1
8 s- 3 s
5s
El signo negativo en la componente en X de la velocidad corresponde al versor
(- ) e indica que el móvil se desplazó en el sentido decreciente del eje X.
Ejemplo 3
Un móvil se desplaza en una trayectoria rectilínea de manera que si la asociamos
con un eje X de coordenadas su posición en el instante en que un reloj marca 20 seg. es
50 m., cuando el reloj indica 30 seg. la posición es 70 m, cuando el reloj indica 40 seg. la
posición es 6'0 m y cuando marca 50 seg. es 10 m. Calcular la velocidad media entre los
instantes: 20 y 30 seg. ; 20 y 40 seg.; 20 y 50 seg. ; 30 y 40 seg. y 40 y 50 seg.
Solución:
Veamos nuestro sistema de referencias y asignemos nombre a los datos:
Para calcular la velocidad media en el primer intervalo aplicamos la definición:
r
r
Δr
vm =
Δt
Dado que el móvil se desplaza solo en la dirección del eje X, podemos simplificar
nuestra ecuación y expresarla solo en una componente pues:
r
Δx ( Δy ( Δz (
k
j+
i+
vm =
Δt
Δt
Δt
Y como en los ejes Y y Z no hay desplazamiento nos queda:
r
Δx (
i
vm =
Δt
En el primer caso:
(
(
(
r
x 2 − x 1 70 m i - 50 m i 20 m i
m (
i
=
=
=2
vm =
s
t 2 − t1
30 s - 20 s
10 s
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Obsérvese que al conocer que el movimiento es en una sola dimensión, podemos
simplificar la escritura y eliminar tanto el versor
como el símbolo de vector sobre la v
pues en este caso la velocidad media podrá tomarse como un escalar y el sentido del
desplazamiento vendrá indicado con el signo del resultado del cálculo. Si el signo es
positivo, significa que el móvil se desplaza en el sentido creciente del eje X y si es negativo
el desplazamiento será en el sentido decreciente.
De aquí en adelante, siempre que podamos haremos ésta simplificación.
Ahora sí, teniendo en cuenta estas aclaraciones, resolveremos el resto del ejemplo.
Para el segundo intervalo de tiempo tenemos:
vm =
Para el tercero:
vm =
m
4 m
x 4 − x1 10 m - 50 m
=
= = - 1,33
s
3 s
t 4 − t1
50 s - 20 s
Para el cuarto:
vm =
Para el quinto:
vm =
m
x 3 − x1 60 m - 50 m
=
= 0,5
s
t 3 − t1
40 s - 20 s
m
10 m
x 3 − x 2 60 m - 70 m
=
= = -1
s
10 s
t3 − t2
40 s - 30 s
m
50 m
x 4 − x 3 10 m - 60 m
=
= = -5
s
10 s
t4 − t3
50 s - 40 s
Discuta con sus compañeros los resultados obtenidos.
Clasificación de los movimientos
Como sabemos, un cuerpo puede moverse de infinitas maneras, sin embargo,
existen algunos tipos de movimientos que aparecen con mucha frecuencia en la
naturaleza, y por esta razón, se los estudia particularmente. Gracias a Dios, la mayoría de
estos movimientos son relativamente sencillos en cuanto a su tratamiento matemático y,
por lo tanto, serán posible de ser estudiados en este curso.
Comenzaremos por el más sencillo y continuaremos en orden de complejidad.
Movimiento rectilíneo uniforme ( MRU )
Es el más sencillo de los movimientos que existen en la naturaleza, y se lo define de
la siguiente manera.
Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniforme ( MRU ), cuando su
velocidad instantánea permanece constante.
Seguramente en el colegio secundario se dio otra definición para este
movimiento, quizás algo parecida a esta: " Un móvil se desplaza con MRU, cuando la
trayectoria que describe es una recta y su velocidad permanece constante ".
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Esta definición está muy bien como una primera aproximación, pero si la
analizamos en profundidad, veremos que el aclarar que la trayectoria es una recta no es
necesario ya que, la velocidad es una magnitud Vectorial y al decir que es constante,
estamos diciendo que lo es en módulo, dirección y sentido, lo que equivale a decir que la
trayectoria es una recta.
Conclusión: Si la dirección de el vector velocidad permanece constante, la
trayectoria del móvil es una recta.
Si la velocidad instantánea de un móvil permanece constante, significa también,
que su módulo tendrá el mismo valor cuando se lo mida en cualquier intervalo de tiempo,
sea este infinitamente pequeño o muy grande, lo que equivale a decir que en el MRU, la
velocidad media coincide con la instantánea.
Por ésta razón, el cálculo de la velocidad se simplifica mucho, pues, utilizando
como sistema de referencias solo el eje X podremos tratar a la velocidad como una
magnitud escalar donde el sentido vendrá expresado por su signo, como ya lo hemos
visto en lo ejemplos de cálculo de velocidad media.
v=
Δx x(t 2 ) - x(t1 )
=
t 2 - t1
Δt
Donde t2 es un instante posterior a t1. Obsérvese que sobre el símbolo de velocidad
ya no colocamos el símbolo de vector, esto no significa que la velocidad no sea un
vector, sino que para el estudio de este movimiento no es necesario su tratamiento como
vector.
Ecuación horaria del MRU
Supongamos que estudiaremos el movimiento de un cuerpo que se desplaza con
MRU utilizando un cronómetro. Esto significa que en el instante en que midamos por
primera vez la posición del móvil en el sistema de referencias, encenderemos el
cronómetro y por lo tanto el tiempo será igual a cero ( t1 = 0 ). A este instante lo
llamaremos instante inicial y a la posición que ocupa el móvil la llamaremos posición
inicial y la indicaremos con el siguiente símbolo x0. ( El subíndice cero hace referencia a
que en ésta posición el tiempo valía cero ).
Al instante posterior t2, lo llamaremos directamente t y representa un instante
cualquiera después de haber encendido el cronómetro. A la posición del móvil en este
instante la indicaremos con el siguiente símbolo: x(t).
Por lo tanto la velocidad se calculará como:
v=
Δx x(t) - x 0 x(t) - x 0
=
=
Δt
t- 0
t
Si despejamos de ésta ecuación la posición del móvil en cualquier instante, nos
queda:
v.t = x(t) - x 0
v.t + x 0 = x(t)
Y ordenando esta expresión de otra manera llegamos a lo que llamaremos
ecuación horaria del MRU.
x(t) = x 0 + v.t
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Esta ecuación se denomina así, porque permite calcular la posición (x) de un móvil
en cualquier instante (t). Los valores de x0 y v son constantes para un movimiento ya que
el móvil en el instante cero se encuentra en un lugar y se desplaza con una única
velocidad.
Gráficos
Como sabemos, suele ser muy útil para el análisis y la descripción de un
movimiento, representar gráficamente la magnitudes que varían en función del tiempo.
En particular, para el MRU representaremos la posición y la velocidad en función del
tiempo.
Gráfico de posición en función del tiempo
Si analizamos matemáticamente la ecuación horaria es evidente de que se trata
de la ecuación de una recta, donde x(t) es la variable dependiente, t es la variable
independiente, x0 es la ordenada al origen y v es la pendiente de la recta.
Representando gráficamente esta ecuación nos queda:
En el primer caso, la representación corresponde a un móvil que se desplaza en
sentido creciente del eje X y por lo tanto la velocidad es positiva.
En el segundo, la representación corresponde a un móvil que se desplaza en el
sentido decreciente del eje X lo que implica una velocidad negativa.
El módulo de la velocidad, está representado por la pendiente de la recta, a
mayor pendiente mayor velocidad.
Gráfico de velocidad en función del tiempo
Está claro que en éste movimiento la velocidad permanece constante a lo largo
del tiempo y por ende su gráfico corresponderá al de una constante.
Nuevamente, el primer gráfico corresponde a una velocidad positiva y el segundo
a una negativa.
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Significado del área encerrada por el gráfico de velocidad en función del
tiempo
Tomemos un gráfico de velocidad en función del tiempo y analicemos lo que
representa el área encerrada.
Según la ecuación horaria, el producto de la velocidad por el tiempo ( v.t ) es el
desplazamiento sufrido por el móvil ( Δx ) y ese producto, en el gráfico, no es otra cosa
que el área encerrada.
v.t = x(t) - x 0
x(t) - x 0 = Δx
Esta conclusión será válida para cualquier gráfico de velocidad en función del
tiempo ya que aunque la velocidad no sea constante en un intervalo de tiempo,
tomando intervalos infinitamente pequeños sucesivos, podrá considerarse que en dicho
intervalo el movimiento fue uniforme y la suma de estas infinitas áreas en cada intervalo
dará como resultado el área total encerrada.
Ejemplo 4
Un móvil parte desde la posición 5 m de un sistema de referencias y se desplaza
con MRU a una velocidad de 3 m/s. Calcular su posición a los 4 s. , 7 s. y 10 s.
Solución:
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Cinemática
Aplicamos la ecuación horaria del MRU teniendo en cuenta que la posición inicial
y la velocidad son datos:
x ( t ) = x0 + v.t
m
x(t) = 5m + 3
.t
s
Luego reemplazamos los datos del tiempo en cada caso t obtenemos las distintas
posiciones:
x(4s) = 5m + 3
m
. 4s = 17 m
s
x(7s) = 5m + 3
m
. 7s = 26 m
s
x(10s) = 5m + 3
m
. 10s = 35 m
s
Ejemplo 5
Calcular la velocidad de un móvil que desplazándose con MRU, recorre una
distancia de 800 m. en 40 s.
Solución:
En este problema tenemos como datos el desplazamiento Δx y el intervalo de
tiempo Δt. El calculo de la velocidad se reduce al cálculo de la velocidad media.
v =
800 m
m
Δx
=
= 20
40 s
s
Δt
Ejemplo 6
Dos móviles parten simultáneamente con MRU en sentidos opuestos de dos puntos
"A" y "B" ubicados a 100 m uno del otro. El móvil que parte de "A" tiene una velocidad
cuyo módulo es 10 m/s y el que parte de "B", 40 m/s. Calcular la posición y el instante en
que se encuentran y representar gráficamente la posición en función del tiempo para
ambos móviles.
Solución:
Este tipo de problemas suele denominarse "de encuentro", pues en ellos siempre
hay dos o más móviles que en algún lugar de sus trayectorias se encuentran.
Para resolver éste tipo de problemas, debe fijarse un sistema de referencias y en el
expresar claramente los datos:
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En este caso se ha tomado un sistema de referencias con origen en "A" y dirigido
hacia "B" de manera que la posición inicial del móvil "A" es cero y la del móvil "B" es 100 m.
Debido también al sistema de referencias adoptado la velocidad del móvil "B" queda con
signo negativo pues su sentido es contrario al sentido creciente del sistema de referencias.
Ahora deberemos aplicar la ecuación horaria del MRU, x(t) = x 0 + v.t , para cada
móvil:
⎧x A (t) = x A0 + v A . t
⎨
⎩x B (t) = x B0 + v B . t
m
⎧
⎪⎪x A (t) = 0 m + 10 s . t
⎨
⎪x (t) = 100 m + (- 40 ) m . t
⎪⎩ B
s
En el momento del encuentro los dos móviles deberán ocupar la misma posición
en el mismo instante, por lo tanto x y t serán iguales para ambos móviles. ( es importante
tener en claro que ésta igualdad se da si y solo sí en el instante de encuentro). Por lo tanto
estamos en presencia de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ( Posición e
instante de encuentro) que se puede resolver por cualquier método. Nosotros utilizaremos
el de igualación:
x A (t) = x B (t)
0 m + 10
10
m
m
. t = 100 m + (- 40 ) . t
s
s
m
m
. t + 40 . t = 0 m + 100 m
s
s
m
50
. t = 100 m
s
100 m
t=
= 2s
m
50
s
Los móviles se encuentran a 2 s. de la partida. Para calcular la posición aplicamos
este resultado a cualquiera de la ecuaciones horarias:
x A (t) = 0 m + 10
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m
. 2s = 20 m
s
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La posición de encuentro es 20 m. ( Medidos desde el punto A según nuestro
sistema de referencias ).
Veamos el gráfico.
Movimiento rectilíneo uniformemente
variado
( MRUV )
Éste, es uno de los movimientos que aparecen con más frecuencia en la
naturaleza, el más común de estos es la caída de los cuerpos que luego estudiaremos.
Un móvil se desplaza con movimiento rectilíneo uniformemente variado, cuando la
trayectoria que describe es una recta, y su aceleración instantánea permanece
constante.
En este caso, debemos aclarar en la definición las características de la trayectoria
ya que el hecho de que la aceleración instantánea sea constante, no implica que la
trayectoria sea recta. Un ejemplo claro de ello, es el movimiento de un proyectil
disparado por un cañón, la aceleración que actúa sobre él durante todo su vuelo es la de
la gravedad, que como sabemos es constante, y sin embargo la trayectoria es una curva.
Otra manera de definir el MRUV, sin hablar de la trayectoria sería:
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Cinemática
Un móvil se desplaza con MRUV si la aceleración instantánea y la dirección de su
velocidad permanecen constantes.
Nuevamente, es fácil de entender que si la aceleración instantánea permanece
constante, será lo mismo medirla en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño que en
cualquier otro. Por lo tanto, en un MRUV, podremos calcular la aceleración instantánea
de la misma manera que se calcula la aceleración media. Además, sin perder de vista
que la aceleración es una magnitud vectorial, podremos tratarla como un escalar, ya
que la dirección de la velocidad no cambia sino que solo lo hace su módulo, por lo tanto,
en este caso y solo en este caso, la variación de la velocidad vendrá dada por la
variación del módulo de la velocidad del móvil.
r
r r
r
r
Δv Δv v(t+Δt)-v(t)
a= lim
Δt →0
Δt
=
Δt
=
Δt
Y por las consideraciones hechas, la ecuación la podemos escribir escalarmente.
a=
v(t 2 ) - v(t1 )
t 2 - t1
Donde t2 es un instante posterior a t1.
Si la diferencia de los valores de velocidad nos da positiva, entonces, la
aceleración nos dará también con signo positivo. Si dicha diferencia nos da negativa,
también será negativa la aceleración.
Entendamos que éste signo nos indica el sentido de la aceleración en el sistema
de coordenadas (Es el signo del versor ). Si es positivo, significa que la aceleración se
dirige en el sentido creciente del sistema de coordenadas; si es negativo, significa que se
dirige en el sentido decreciente.
Primera ecuación horaria del MRUV
Supongamos que estudiamos nuevamente el movimiento de un cuerpo que se
desplaza con MRUV utilizando un cronómetro. Esto significa que en el instante en que
midamos por primera vez la velocidad del móvil en el sistema de referencias,
encenderemos el cronómetro y por lo tanto el tiempo será igual a cero ( t1 = 0 ). A este
instante lo llamaremos instante inicial y a la velocidad del móvil la llamaremos velocidad
inicial y la indicaremos con el siguiente símbolo v0. ( El subíndice cero, como vimos en el
MRU, hace referencia a que, en el instante en que el móvil tenía esta velocidad, el tiempo
valía cero ).
Al instante posterior t2, lo llamaremos directamente t y representa un instante
cualquiera después de haber encendido el cronómetro. A la velocidad del móvil en este
instante la indicaremos con el siguiente símbolo: v(t).
Por lo tanto la aceleración se calculará como:
a=
Δv v(t) - v0 v(t) - v0
=
=
Δt
t- 0
t
Si despejamos de ésta ecuación la velocidad del móvil en cualquier instante, nos
queda:
a.t = v(t) - v0
a.t + v0 = v(t)
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17
Cinemática
Y ordenando esta expresión de otra manera nos queda lo que llamamos primera
ecuación horaria del MRUV.
v(t) = v0 + a.t
Esta ecuación se denomina así, porque permite calcular la velocidad (v) de un
móvil en cualquier instante (t). Los valores de v0 y a son constantes para un movimiento ya
que el móvil en el instante cero tiene una determinada velocidad y se desplaza con una
única aceleración.
Es importante tener claro que en el MRUV la aceleración es constante pero,
precisamente por eso, el módulo de la velocidad cambia constantemente y por eso se
necesita una ecuación para calcularla.
Segunda ecuación horaria del MRUV
La primera ecuación horaria, permite calcular la velocidad en cualquier instante,
sin embargo, todavía no sabemos cómo obtener la posición del móvil que se mueve con
MRUV. La expresión matemática que permite este cálculo se denomina Segunda
ecuación horaria del MRUV.
Para obtenerla, tendremos que hacer uso del concepto de que el área bajo la
curva de velocidad en función del tiempo, representa el desplazamiento ( Δx ) del móvil.
Si analizamos la primera ecuación horaria, veremos que se trata de la ecuación de
una recta, donde v, es la variable dependiente ; t la variable independiente ; v0, el
término independiente u ordenada al origen y a, la pendiente de la recta.
v(t) = v0 + a.t
Si la representamos gráficamente, el área encerrada bajo la curva para un
instante cualquiera, representará el desplazamiento ( Δx ) que tubo el móvil hasta ese
instante.
Este área, puede calcularse como la suma del área de un rectángulo y la de un
triángulo:
Para el rectángulo inferior hacemos base por altura o sea, v0 . t y para el triángulo
hacemos base por altura sobre dos, ( v(t) - v0 ) . t / 2. Por lo tanto nos queda:
Δx = v0 . t +
(v(t) - v0 ) . t
2
(1)
Pero según la primera ecuación horaria:
v(t) = v0 + a.t
v(t) - v0 = a.t
(2)
Reemplazando (2) en (1):
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18
Cinemática
Δx = v0 . t +
a.t.t
a.t 2
= v0 . t +
2
2
Y teniendo en cuenta que Δx = x(t) - x0 nos queda:
1
x(t) - x 0 = v0 . t +
. a . t2
2
Haciendo un pasaje de términos obtenemos la segunda ecuación horaria del
MRUV
x(t) = x 0 + v0 . t +
1
2
. a . t2
Gráficos
En el MRUV, la aceleración es constante, la velocidad responde a la ecuación de
la recta y la posición, como se ve claramente en la segunda ecuación horaria, responde
a una ecuación cuadrática que, como sabemos, al representarla obtendremos una
parábola.
Los casos posibles son muchos, dependiendo la forma de los gráficos de todas las
variables que intervienen en el movimiento. Representaremos los gráficos que
corresponden a un móvil que partió desde una posición, una velocidad inicial y una
aceleración positiva, respecto de un eje X de coordenadas.
Signos
Una vez mas, insistiré en el significado de los signos para la posición, la velocidad y
la aceleración. Es importante comprender que son magnitudes vectoriales, y que un
vector, no tiene signo. Tiene dirección, sentido y módulo. Cuando a un vector se lo ubica
en un sistema de referencias y se lo descompone en los tres ejes cartesianos, cada
componente tiene asociado, como ya vimos, un versor; es este versor el que tiene signo.
Por ejemplo el versor ( ), se dirige en el sentido de las X crecientes y el versor (- ), se
dirige en el sentido de las X decrecientes.
Tanto en el MRU como en el MRUV, los movimientos y todas las magnitudes que
intervienen en ellos, se encuentran sobre una recta, en nuestro caso el eje X, por esta
razón, no es necesario indicar el versor
y solo escribimos su signo. Este nos dice si el
vector correspondiente se encuentra dirigido en el sentido de las X positivas o negativas.
Veamos en un gráfico los casos posibles para todas las magnitudes.
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19
Cinemática
En el caso 1 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se
desplaza en el sentido creciente y aumenta constantemente su velocidad.
En el caso 2 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se
desplaza en el sentido creciente y disminuye constantemente su velocidad.
En el caso 3 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se
desplaza en el sentido decreciente y disminuye constantemente su velocidad.
En el caso 4 el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje positivo de las X, se
desplaza en el sentido decreciente y aumenta constantemente su velocidad.
Los casos 5, 6, 7 y 8 son iguales a los anteriores en cuento a velocidad y
aceleración pero en todos los casos el móvil se encuentra posicionado sobre el semieje
negativo de las X.
Ejemplo 7:
Un móvil parte desde el reposo con MRUV y alcanza una velocidad de 30 m/s en 5
s. Calcular:
a- Su aceleración
b- La distancia que recorrió en dicho tiempo.
Solución:
Lo primero que se debe hacer para resolver un problema es fijar un sistema de
referencias y la posición inicial de el móvil en dicho sistema. En nuestro caso utilizaremos el
eje X y el móvil partirá desde el origen. Esta elección simplifica la resolución del problema
ya que la posición inicial será igual a cero y la posición calculada con la segunda
ecuación horaria será directamente la distancia recorrida por el móvil.
Calcularemos primero la aceleración aplicando la primera ecuación horaria y
despejando:
v(t) = v0 + a.t
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20
Cinemática
a=
v(t) - v0
30 m / s - 0
m
=
= 6 2
t
5s
s
Ahora calcularemos la posición que ocupaba a los 5 seg. aplicando la segunda
ecuación horaria:
1
x(t) = x 0 + v0 . t +
. a . t2
2
m
1
x(5s) = 0 + 0 . t +
. 6
. 25 s2 = 75 m
2
2
s
Ejemplo 8:
Un móvil marcha con una velocidad de 40 m/s y comienza a frenar con MRUV
hasta detenerse en 8 s. Calcular la aceleración, la distancia que recorre y representar
gráficamente la aceleración, la velocidad y la posición en función del tiempo.
Solución:
Nuevamente debemos fijar el sistema de referencias y la posición inicial de el móvil
en dicho sistema. Utilizaremos el eje X y el móvil se encontrará en el origen en el momento
en que empezamos a medir. Al igual que en el ejemplo anterior, la posición inicial será
igual a cero y la posición calculada con la segunda ecuación horaria será directamente
la distancia recorrida por el móvil.
Calculamos la aceleración:
v(8s) - v0
a=
t
=
m
0 - 40 m / s
= -5 2
8s
s
El signo negativo nos indica que la aceleración tiene sentido contrario al sistema
de referencias.
Ahora calculamos la posición.
1
x(t) = x 0 + v0 . t +
. a . t2
2
m
m
1
x(8 s) = 0 + 40
. 8s +
. (- 5 2 ) . 64 s2 = 160 m
s
2
s
Representamos gráficamente:
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21
Cinemática
Ejemplo 9:
Un tren eléctrico marcha por una vía recta con une velocidad de 50 m/s. En un
determinado instante, invierte la polaridad de sus motores de manera que comienza a
frenar con una aceleración de 2 m/s2 . Una vez que se detiene, continúa con la misma
aceleración. Calcular:
a- ¿ Cuánto tiempo tarda en detenerse. ?
b- ¿ Qué distancia recorre, desde que comienza a frenar hasta que se detiene? ?
c- ¿ En qué instante se encuentra a 200 m del lugar en donde comenzó a frenar ?
Solución:
Colocamos el sistema de referencias con el origen en el punto donde comienza a
frenar y en sentido del movimiento. Dadas estas condiciones, la aceleración tendrá signo
negativo.
Calculamos el tiempo que tarda en detenerse considerando que en esta instante
la velocidad es cero.
m
v(t) - v0 0 - 50 s
t =
=
= 25 s
m
a
- 2 2
s
Con éste tiempo calculamos la posición que gracias al sistema de referencias
adoptado coincidirá con la distancia recorrida.
x(t) = x 0 + v0 . t +
x(t) = 0 + 50
1
2
. a . t2
1
m
m
. 25 s +
. (-2 2 ) . 625 s2 = 625 m
2
s
s
Por ultimo calculamos el instante en que se encuentra en la posición 200 m
aplicando nuevamente la segunda ecuación horaria y resolviéndola como una
cuadrática.
x(t) = x 0 + v0 . t +
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1
2
. a . t2
22
Cinemática
1
m
m
.t. 2 2 . t2
2
s
s
m
m
2
200 m - 50
. t + 1 2 . t =0
s
s
2
2
-b ± b - 4.a.c
50 ± (-50) - 4. 1 . 200
t =
=
= 45,6 s y 4,4 s
2.a
2.1
200 m = 0 + 50
Como vemos hay dos soluciones ya que el móvil pasa dos veces por el punto en
cuestión, una cuando va y otra cuando vuelve.
El problema de la caída
El fenómeno de la caída de los cuerpos, ha sido objeto de estudio de los primeros
pensadores de la humanidad. Fue Aristóteles ( Siglo IV
a.C. ) quien intento una
explicación en su tratado de filosofía de la naturaleza.
En este libro, el filósofo griego, decía que existían dos clases de cuerpos, los
pesados y los livianos. Los cuerpos pesados como las piedras, caían naturalmente hacia la
tierra, porque esta era el centro del universo, mientras que los livianos, como el humo, se
alejaban naturalmente del centro de la tierra.
Por otra parte, un cuerpo más pesado que otro, caería más rápido, en forma
proporcional a su peso, es decir, soltado desde la misma altura, un cuerpo que tuviera el
doble de peso caería en la mitad de tiempo.
También afirmaba que, si se duplicaba la altura desde donde se soltaba el cuerpo,
también se duplicaría el tiempo que tardaba en caer.
Lo desacertado de estas afirmaciones, se debe a que Aristóteles, ni ningún otro
griego, jamas realizó un experimento, pues creían que solo se podía llegar a la verdad,
exclusivamente, por la razón. Además, el realizar un experimento, implicaba efectuar un
trabajo físico que, para el griego era una tarea denigrante reservada para esclavos.
Veinte siglos después, el gran Galileo retoma el tema animándose a refutar a
Aristóteles. Galileo dice: Imaginemos el siguiente experimento. Se tienen dos cuerpos, uno
mas pesado que el otro, si se los deja caer, según Aristóteles, el mas pesado caerá más
rápido. Supongamos ahora que atamos los cuerpos uno al otro y los dejamos caer. El
cuerpo mas pesado se verá retrasado por el más liviano que cae con menor velocidad,
mientras que el más liviano será apurado por el mas pesado. Conclusión: estos cuerpos
caerán ahora con una velocidad intermedia. Pero esto es absurdo, pues los cuerpos
atados conforman un nuevo cuerpo que es mas pesado que cada uno de los
componentes y por lo tanto tendría que caer más rápido aún. La única manera de que
este razonamiento cierre es que todos los cuerpos caigan iguales.
Para demostrar su hipótesis, Galileo, realizó un famoso experimento en la torre de
Pisa, que consistió en soltar desde lo alto de la torre, en el mismo instante, dos esferas del
mismo diámetro, pero una diez veces más pesada que la otra ( una era de madera y la
otra de plomo ). Frente al asombro de los espectadores, ambas esferas llegaron a tierra
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23
Cinemática
en el mismo instante. Muchos de los presentes cuestionaron el resultado indicando que si
se hubiera soltado una piedra y una pluma, la piedra hubiese caído primero. Galileo
respondió que esto no se debía a la diferencia de peso sino a la diferencia de forma y a
la influencia del aire. El científico afirmó que si la piedra y la pluma se dejaran caer en un
recinto sin aire, también caerían juntas. Este experimento fue realizado por Newton
muchos años después verificando lo dicho por Galileo.
El célebre italiano, también demostró que el movimiento de caída, en el vacío, era
un MRUV y que el módulo de la aceleración, constante para todos los cuerpos, era
aproximadamente 9,8 m/s2 . A esta aceleración se la denomina aceleración de la
gravedad y se la indica con la letra g .
r
2
2
g =9,81 m/s ≈ 10 m/s
Caída y Tiro vertical en el vacío
Tanto cuando se deja caer un cuerpo en el vacío como cuando se lo lanza
verticalmente hacia arriba, el cuerpo describirá un MRUV y por lo tanto podremos
aplicarle las leyes ya estudiadas.
Como sistema de referencias adoptaremos ahora un eje vertical ( Y ). Como
sabemos, el origen y sentido de este sistema se coloca a elección, en general y porque
simplifica la resolución, el origen se coloca en el piso o en el punto desde donde partió el
cuerpo, y el sentido hacia arriba en el caso de un tiro vertical y hacia abajo en el caso de
una caída.
Veamos
como
nos
quedan
las
ecuaciones en el caso de un tiro vertical
hacia arriba.
Según
el
sistema
de
referencias
adoptado la aceleración de la gravedad
tiene
sentido
referencias,
contrario
esto
se
al
sistema
indica
de
colocando
directamente el signo negativo en la
ecuación. Por otra parte, el proyectil tiene
velocidad inicial dirigida en el sentido
positivo del sistema de referencias, pues es
lanzado hacia arriba.
Las ecuaciones nos quedan:
v(t) = v0 - g . t
y(t) = y0 + v0 . t Prof. Lic. Claudio Naso
1
2
. g . t2
24
Cinemática
Ejemplo 10:
Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba en el vacío con una
velocidad de 40 m/s desde lo alto de una torre que mide 50 m. ( Para simplificar cálculos
r
2
tome g = 10 m/s ). Calcular:
a- Velocidad con que llega a la máxima altura.
b- Altura máxima alcanzada.
c- Tiempo que tarda en tocar la tierra.
Solución:
Utilizaremos un sistema de referencias con el origen en el
piso. Por lo tanto, la posición inicial será 50 m, la velocidad inicial
40 m/s y la aceleración de la gravedad 10 m/s2 dirigida hacia
abajo.
En la máxima altura la velocidad será cero pues en ese
punto el móvil se detiene y comienza a caer. Por lo tanto: vhmax =
0
Este dato lo utilizaremos para calcular el tiempo que el
móvil tarda en alcanzar la máxima altura.
v hmax = v 0 - g . t hmax
t hmax =
v hmax - v
-g
m
s =4s
=
m
- 10 2
s
0 - 40
0
Una vez calculado el tiempo, calculamos la altura
máxima:
y(t) = y 0 + v 0 . t -
y( t ) = 50m + 40
m
⋅ 4s s
1
2
. g . t2
1
m
2
⋅ 10 2 ⋅ 16 s = 130m
2
s
Para calcular el tiempo que tarda en tocar tierra, tendremos en cuenta que en
ese instante y = 0:
y(t) = y0 + v0 . t Prof. Lic. Claudio Naso
1
2
. g . t2
25
Cinemática
0m = 50m
+ 40
m
m
1
.t. 10 2 . t2
2
s
s
- b ± b2 - 4.a.c - 40 ± (40)2 - 4. (-5) . 50 - 40 - 51
t=
=
=
= - 1,1 s y 9,1 s
2.a
2 . (-5)
- 10
El resultado negativo no tiene sentido físico pues corresponde a algo sucedido
antes de que se lanzara el proyectil.
Ejemplo 11:
Un proyectil es lanzado verticalmente hacia arriba en el vacío con una velocidad de v0.
Hallar las expresiones para calcular :
a- El tiempo que tarda en alcanzar la máxima altura.
b- Tiempo que tarda en tocar la tierra.
Solución:
Utilizaremos un sistema de coordenadas con el origen en el
piso. La velocidad inicial es v0, la posición inicial será cero y la
aceleración de la gravedad g dirigida hacia abajo.
En la máxima altura la velocidad será cero pues en ese
punto el móvil se detiene y comienza a caer. Por lo tanto: vy max =
0
Este dato lo utilizaremos para calcular el tiempo que el
móvil tarda en alcanzar la máxima altura.
v y max = v0 - g . t y max
t y max =
v y max - v 0
-g
=
v0
g
Para calcular el tiempo que tarda en tocar tierra, tendremos en cuenta que en
ese instante y = 0:
y(t)=
v0 . t -
0m = v0 . t -
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1
2
. g . t2
1
. g . t2
2
26
Cinemática
1
⎛
⎞
0m= t ⎜ v 0 . g. t ⎟
2
⎝
⎠
1
0m = v0 .g.t
2
2 ⋅ v0
t=
g
Como vemos el proyectil tarda el doble de tiempo que para llegar a la máxima
altura, es decir tarda el mismo tiempo en subir que en bajar.
¡Atención!!!:
Este resultado es de suma importancia para simplificar la resolución de problemas
ya que en muchas ocasiones en un tiro hacia arriba será más facil calcular el tiempo de
caída que el de subida y obviamente la velocidad con que llega el cuerpo al piso será
del mismo módulo y sentido contrario a la velocidad con que fue lanzado.
Ejemplo 12:
Se deja caer un cuerpo desde 50 m de altura. Calcular con que velocidad llega al
piso.
Solución:
En este ejemplo veremos que resulta conveniente utilizar otro sistema de coordenadas.
Primero calculamos el tiempo que tarda en caer utilizando el
sistema de coordenadas dirigido hacia abajo:
y=
1
2
. g . t2 ⇒ t =
2 ⋅ h 2 ⋅ 49m
=
=3,16 s
m
g
9,8 2
s
Luego calculamos la velocidad:
v(t) = g . t=9,8
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m
m
⋅ 3,16 s=31
2
s
s
27
Cinemática
Movimientos compuestos
Cuando comenzamos este capitulo, vimos que las magnitudes que intervienen en
un movimiento cualquiera, ( vector posición, velocidad y aceleración. ) pueden
descomponerse en los tres ejes cartesianos. Esta propiedad de los movimientos constituye
el principio de independencia de los movimientos de Galileo:
Todo movimiento en tres dimensiones, puede ser estudiado como la suma vectorial
de tres movimientos en una dimensión, pues el movimiento en una dirección no afecta a
los movimientos en las otras dos direcciones.
Por supuesto que este principio es también válido para los movimientos en dos
dimensiones.
Composición de velocidades
Supongamos que un bote cruza un río impulsado por su motor, que en aguas
r
v = 4 m/s . El bote se dirige en
estancadas, le permite desarrollar una velocidad
dirección perpendicular a la costa, pero
las aguas del río, se desplazan con una
r
velocidad de v = 3 m/s . Este hecho hará que el bote se desplace según una velocidad
diagonal, cuyo módulo y dirección puede obtenerse componiendo las dos velocidades
anteriores.
Llamaremos vx a la
velocidad
del
agua
respecto de la costa y vy
a la velocidad del bote
respecto del agua.
La velocidad del
bote respecto de la
costa viene dada por la
suma vectorial de la
anteriores
la
vy
denominamos v .
v
El módulo de v
puede
calcularse
aplicando
Pitágoras:
r2
v = v 2x + v 2y
2
2
r
m2
m
⎛ m⎞ ⎛ m⎞
v = v 2x + v 2y = ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 4 ⎟ = 25 2 = 5
s
s
⎝ s⎠ ⎝ s⎠
Para obtener la dirección calculamos el ángulo α a través de la tangente:
m
4
tg α =
= s =
vx 3 m 3
s
vy
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4
28
Cinemática
4
= 53º
3
r ⎛ m
⎞
Podemos decir que la velocidad del bote es: v= ⎜ 5 ;53º ⎟ A esta forma de expresar el
⎝ s
⎠
α = arc tg
vector se la denomina polar.
Descomposición de velocidades
De la misma manera que compusimos dos velocidades obteniendo una velocidad
resultante, podemos descomponer una velocidad dada en dos componentes
cartesianas.
Supongamos que un cañón dispara un proyectil bajo un ángulo de 37º con una
velocidad cuyo módulo es 200 m/s. Esta velocidad puede ser descompuesta en dos
direcciones, una vertical vy y otra horizontal vx como indica la figura:
r
Para nosotros, v = 200m/s y α = 37º
Para hallar las componentes en X e Y utilizamos
trigonometría:
vy
sen α = r
v
y
v
cos α = rx
v
Por lo tanto:
r
m
m
v y = v .sen α = 200 .sen 37º = 120
s
s
r
m
m
v x = v .cos α = 200 .cos 37º = 160
s
s
La velocidad puede escribirse vectorialmente de la siguiente forma:
(
)
(
(
(
( m
r
v = v x i + v y j = 160 i + 120 j
s
A esta forma de expresar un vector se la denomina cartesiana
Tiro horizontal
Este movimiento se realiza en un plano, corresponde, por ejemplo, al movimiento
de una bolita que se desliza sobre una mesa y al llegar al borde comienza a caer, al
mismo tiempo que se sigue desplazando horizontalmente.
Según el principio de independencia, el movimiento horizontal no afecta al
movimiento vertical, por lo tanto, la bolita estará animada de un MRU en dirección
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29
Cinemática
horizontal, ya que no hay causa para que se acelere o se retrase; y de un MRUV en
dirección vertical, ya que sobre ella actúa la aceleración de la gravedad.
Es importante destacar que el tiempo transcurrido para el movimiento horizontal,
esta determinado por el tiempo que la bolita tarda en caer, es decir, el tiempo del
movimiento horizontal es igual al tiempo de caída.
En el gráfico colocamos el sistema de
referencias con origen en el punto
donde la bolita abandona la mesa. A
partir de éste, la velocidad en X se
mantiene constante pero la velocidad
en Y aumenta según la aceleración de
la
gravedad.
Para
resolver
matemáticamente estos problemas,
aplicaremos la ecuación horaria del
MRU en el eje X y las del MRUV en el eje
Y:
⎧x = v x . t
⎪
⎪
1
2
⎨y = . g . t
2
⎪
⎪v(t) = g . t
y
⎩
Ecuación de la trayectoria
Se denomina ecuación de la trayectoria, a la función matemática que graficada,
permite observar la trayectoria seguida por el móvil. Se obtiene eliminando el tiempo al
combinar las ecuaciones horarias de la posición.
En nuestro caso, si despejamos t en las dos primeras ecuaciones nos queda:
x(t)
⎧
x
=
v
.
t
⇒
t
=
(t)
x
⎪
vx
⎪
⎨
2 . y(t)
1
⎪
2
⎪y(t) = 2 . g . t ⇒ t =
g
⎩
Igualando los segundos miembros:
2 . y(t) x(t)
=
g
vx
Despejando y nos queda la ecuación de la trayectoria:
2 .y x2
= 2
vx
g
y=
g
. x2
2
2.vx
Como vemos se trata de una ecuación cuadrática en X lo que indica que la
trayectoria es una parábola.
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30
Cinemática
Tiro oblicuo en el vacío
En el tiro oblicuo, el proyectil, se dispara con una velocidad que forma un ángulo
mayor que 0º Y menor que 90º con la horizontal. Es el caso de un cañón que dispara un
proyectil, de un jugador de fútbol que patea una pelota por elevación, etc.
Como en el caso del tiro horizontal, también se aplica el principio de
independencia de Galileo. El movimiento horizontal no afecta al movimiento vertical y
viceversa, y la variable que tienen en común entre ellos es el tiempo.
Como el movimiento lo consideramos en el vacío, la componente horizontal de la
velocidad tendrá siempre el mismo valor; pero la componente vertical se verá afectada
por la aceleración de la gravedad de la misma forma que en un tiro vertical.
Nuevamente estamos en presencia de la composición de un MRU y un MRUV.
Para calcular las variables que intervienen en este movimiento, debemos
descomponer la velocidad de disparo y aplicarle a cada componente las ecuaciones
horarias que le corresponden.
Como vimos, en la descomposición de velocidades nos queda:
vy0 = v . sen α
vx = v . cos α
Y según las ecuaciones horarias tenemos:
⎧x(t) = v x . t
⎪
1
⎪
. g . t2
⎨ y(t) = y0 + v y0 . t 2
⎪
⎪⎩v y (t) = v y0 - g . t
Es importante destacar algunas consideraciones:
a- En la máxima altura, la componente vertical de la velocidad es cero, por lo
tanto la única velocidad del móvil es la componente horizontal.
b- En el caso ejemplificado, el disparo se realiza desde el piso, pero en otros, es
posible que el proyectil parta desde alguna plataforma o torre. En estos casos convendrá
colocar el sistema de coordenadas en el piso, pero en la ecuación horaria de la posición
en Y, habrá que indicar una posición inicial Y0.
c- En el momento que el móvil toca tierra, con el sistema de referencias
ejemplificado, la posición en Y, será cero.
d- Si en las ecuaciones anteriores reemplazamos las componentes de las
velocidades, nos queda:
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31
Cinemática
⎧x(t) = v . cos α . t
⎪
1
⎪
. g . t2
⎨ y(t) = y0 + v . senα . t 2
⎪
⎪⎩v y (t) = v . sen α- g . t
Ecuación de la trayectoria.
Para obtener la ecuación de la trayectoria, despejamos el tiempo en una
ecuación de posición y lo reemplazamos en la otra:
t =
y = y0 + v . senα .
x
v . cos α
x
x2
1
.g. 2
2
v . cos α
v . cos2 α
y = y0 + x .tgα -
g
⋅ x2
2
2 . v . cos α
2
0
Nuevamente nos encontramos con una ecuación cuadrática en X y por lo tanto
una parábola. En este caso es invertida porque el término cuadrático es negativo.
Ejemplo 13:
Un cañón se dispara en el vacío, bajo un ángulo de 30º con una velocidad de 300
m/s. Calcular:
a- La distancia desde el cañón hasta el punto donde hace impacto.
b- La altura máxima alcanzada.
c- La velocidad a los 10 seg. de ser disparado.
Solución:
a)
Primero descomponemos la velocidad:
m
m
m
. sen 30º = 300
. 0, 5 = 150
s
s
s
m
m
m
vx = v . cos α = 300
. cos 30º = 300
. 0, 866 = 260
s
s
s
vy 0 = v . sen α = 300
Planteamos las ecuaciones horarias:
⎧x(t) = v x . t
⎪
1
⎪
. g . t2
⎨ y(t) = y0 + v y0 . t 2
⎪
v
(t)
=
v
g
.
t
⎪⎩ y
y0
De la ecuación y(t) obtenemos el tiempo que tarda en tocar tierra, planteando
que en este momento y(t) = 0:
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32
Cinemática
1
y(t) = vy0 . t 0 = 150
Sacamos factor común t :
. g . t2
2
1
m
m
.t . 10 2 . t2
2
s
s
m
m
1
. 10 2 . t ) . t
s
s
2
0 = ( 150
Para que esta ecuación valga cero, uno de los factores debe ser cero, por lo tanto
esta ecuación tiene dos soluciones, una es t = 0, que corresponde al instante en que la
bala se disparó. y la otra:
m
m
1
0 = 150
s
-
2
. 10
s2
.t
m
s = 30 s
t=
m
5 2
s
150
Esta es la solución que nos interesa y que ahora reemplazaremos en la ecuación
de la posición en X:
x( 30s) = vx . t = 260
m
. 30 s = 7800 m
s
b) Como el cuerpo tardará lo mismo en subir que en bajar, el tiempo que emplea
para llegar a la máxima altura es t = 15 s. Por lo tanto la altura máxima será:
ymáx = vy0 . t -
1
2
. g . t2 = 150
1
m
m
. 15 s . 10 2 . (15 s)2 = 1125 m
s
s
2
c) La velocidad a los diez segundos tendrá una componente en X y otra en Y. En X
es siempre la misma pues se trata de un MRU.
vx = 260
m
s
En Y la calcularemos con la ecuación de la velocidad:
vy (10s) = 150
m
m
m
- 10
. 10 s = 50
s
s
s
Vectorialmente se puede expresar:
(
( m
r
v = (260 i + 50 j )
s
Si queremos calcular el módulo:
2
2
r
m⎞ ⎛ m⎞
m2
m
⎛
v = v 2x + v 2y = ⎜ 260 ⎟ + ⎜ 50 ⎟ = 70100 2 = 264,8
s⎠ ⎝
s⎠
s
s
⎝
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33
Cinemática
Movimientos circulares
En los movimientos circulares, la trayectoria es una circunferencia.
Si ponemos atención, nos daremos cuenta que la velocidad (que es un vector)
cambiará constantemente de dirección, además, todos los puntos situados sobre un
mismo radio, tendrán distinto módulo de velocidad, pues un punto más cercano al centro
recorrerá al dar una vuelta completa, una distancia menor que otro punto que se
encuentre más alejado de dicho centro. Por esta razón, resulta conveniente definir una
nueva magnitud denominada velocidad angular.
Velocidad angular media
La velocidad angular media de un móvil que se desplaza con movimiento circular
es el cociente entre el ángulo girado medido en radianes Y el intervalo de tiempo
empleado para girarlo.
ωm =
Δα
Δt
Velocidad angular instantánea
La velocidad angular instantánea es la velocidad media cuando el intervalo de
tiempo tiende a cero.
ω = lim
Δt →0
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Δα dα
=
Δt dt
34
Cinemática
La velocidad angular, es la misma
para todos los puntos ubicados sobre un
mismo radio, pues, en tanto las distancias
recorridas por cada punto en el mismo
tiempo son distintas, todos se desplazan el
mismo ángulo. Es decir, mientras ω es igual
para todos, v4>v3>v2>v1.
Unidades
α
ω =
=
t
rad
s
Movimiento circular uniforme (MCU)
Un móvil se desplaza con MCU, cuando su velocidad angular instantánea
permanece constante.
Esto significa que siempre tarda el mismo tiempo en recorrer una vuelta completa.
Período
Se denomina período, al tiempo que tarda un móvil que se desplaza con MCU en
describir una vuelta completa. Se indica con la letra T.
Unidades
T = h ó min ó s
Frecuencia
La frecuencia, es la reciproca del período e indica la cantidad de vueltas que
realiza el móvil por unidad de tiempo.
f =
1
T
Unidades
f =
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1
1
1
1
=
ó
= RPM ó = RPS
T
h
min
s
35
Cinemática
Cálculo de la velocidad angular en el MCU
Como en el MCU, la velocidad angular permanece constante, para calcularla, se
puede tomar indistintamente, cualquier ángulo con su correspondiente tiempo. El ángulo
más conveniente es el que corresponde a una circunferencia completa, pues el tiempo a
considerar será el período.
ω=
Δα 2 π
=
Δt T
Y teniendo en cuenta que la frecuencia es la recíproca del período:
ω =
2π
= 2π. f (1)
T
Cálculo del módulo de la velocidad ( velocidad tangencial )
Como vimos, la velocidad del móvil que se desplaza con MCU, cambia
constantemente de dirección, por lo tanto, no es constante. Sin embargo, su módulo si lo
será, pues recorre iguales arcos de circunferencia en iguales tiempos. Por lo tanto puede
calcularse de manera sencilla ya que, para una circunferencia completa, la longitud total
recorrida en un período será 2.π.r . Entonces:
r 2.π .r
v=
= 2 . π . r . f (2)
T
La ecuación confirma lo dicho anteriormente: El módulo de la velocidad del móvil
depende del radio.
Relación entre la velocidad y la velocidad angular
Existe una sencilla relación entre el módulo de la velocidad y la velocidad angular.
Uniendo la ecuación (1) con la ecuación (2) nos queda:
ω = 2π . f
f=
r
v = 2 . π .r . f
r
v
f=
2 . π .r
(1)
ω
2.π
(2)
Igualando, despejando y simplificando nos queda:
r
v
2.π .r
=
ω
2.π
r
v=ω .r
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36
Cinemática
Aceleración centrípeta
En al MCU, la velocidad del móvil cambia constantemente solo que dicho cambio
no es en módulo sino en dirección, pero como ya dijimos cuando estudiamos la
aceleración instantánea, si alguna de las propiedades del vector velocidad cambia, hay
variación de velocidad, y si la velocidad varia, hay aceleración. Para calcular esta
aceleración, tendremos que calcular primero el vector variación de velocidad.
En el primer dibujo, podemos observar dos posiciones
sucesivas de un móvil en un intervalo de tiempo Δt. Como
vemos, en éste intervalo, el móvil se ha desplazado un arco
S y su velocidad ha cambiado de dirección pero no de
r
r
r
r
módulo. v 1 ≠ v 2 pero v 1 = v 2 . En el segundo dibujo se
pueden ver los vectores velocidad transportados a un
origen común, para obtener el vector variación de
r
velocidad Δv , de modo gráfico. Como vemos, este vector
apunta hacia el centro de la circunferencia y por lo tanto la
aceleración asociada a el también. Por esta razón la
denominaremos aceleración centrípeta.
r
El módulo del vector Δv lo obtendremos por semejanza de
triángulos.
Si bien el sector circular determinado por los radios y
S, no es un triángulo, en el límite, para intervalos de tiempo
tendiendo a cero, el arco S se confundirá con la cuerda y
entonces podrá ser tomado como triángulo.
Haremos la deducción para intervalos infinitamente pequeños y luego veremos
que el resultado es independiente del tiempo.
Δ
Δ
Tomemos los triángulos rsr y v1Δvv 2 . Son semejantes, pues tienen un ángulo en
igual y ambos son isósceles. Esto significa que sus lados homólogos son proporcionales:
r
s ∝ Δv
r
r∝ v
Por lo tanto:
r
Δv
r
Si despejamos Δv nos queda:
s
=
r
v
r
r
v .s
r
Δv =
r
Para calcular el módulo de la aceleración aplicamos la definición:
r
r
Δv
v .s
r
ac =
=
Δt r.Δt
El cociente entre S y Δt no es otra cosa que el módulo de la velocidad, por lo
tanto:
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37
Cinemática
r r
v .v
r
ac =
r
r2
v
r
ac =
r
Es importante destacar que el módulo de la diferencia de dos vectores no es igual
a la diferencia de los módulos, ya que en este caso la diferencia de los módulos de las
velocidades de cero, mientras que el módulo de la diferencia no. Por ésta razón, aunque
el módulo de la velocidad no varíe, existe aceleración, esta aceleración mide la rapidez
con que cambia la dirección de la velocidad.
Ejemplo 14:
Una calecita gira con una frecuencia de 10 RPM. Calcular: la velocidad angular,
la velocidad tangencial de un caballito que se encuentra a 3 m del centro y la
aceleración centrípeta que tiene el caballo.
Solución:
El dato que tenemos es la frecuencia: 10 RPM que expresada en segundos es:
f=
10 1 1
=
60s 6 s
Calculamos ahora la velocidad angular:
ω = 2π . f = 2π .
1
rad
= 1,047
6s
s
Calculamos ahora la tangencial:
r
rad
m
v = ω . r = 1,047
.3 m = 3,14
s
s
Por ultimo calculamos la aceleración:
2
m⎞
⎛
⎜ 3,14 ⎟
r
m
s⎠
ac =
=⎝
= 3,29 2
r
3m
s
r2
v
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38
Cinemática
Problemas de Cinemática
Movimiento rectilíneo uniforme y uniformemente variado
1.- Un móvil recorre una recta con velocidad constante. En los instantes t1= 0,5s. y t2= 4s.
sus posiciones son: X1= 9,5cm. y X2=27cm. Determinar: a) Velocidad del móvil. b) Su
posición en t=0. c) Las ecuaciones del movimiento. d) Su abscisa en el instante t=2,5 s. e)
Los gráficos de la posición del móvil y su velocidad en función del tiempo.Resp: 5 cm/s , 7 cm , 19,5 cm
2.- Una partícula se mueve con MRU en la dirección del eje x, con sentido hacia x+.
Sabiendo que la velocidad es de 2m/s y su posición es x(0)=-4m, trazar las gráficas x=f(t) y
v=f(t).3.- Dos móviles pasan simultáneamente, con movimiento rectilíneo y uniforme, por dos
posiciones A y B distantes entre sí 3 km., con velocidad de 54 km/h y 36 km/h
respectivamente, paralelas al segmento AB y del mismo sentido. Hallar analítica y
gráficamente la posición y el instante del encuentro.Resp: 10 min. , 9 km.
4.- Dos móviles pasan simultáneamente con movimiento rectilíneo uniforme por dos
posiciones A y B distantes entre sí 6 km., con velocidades de 36 km/h y 72 km/h
respectivamente, paralelas al segmento AB y de sentidos opuestos. Halar analítica y
gráficamente la posición y el instante del encuentro.Resp: 2 km. , 200 s
5.- Dos puntos A y B están separados por una distancia, medida en línea recta, de 180m.
En un mismo momento pasan dos móviles, uno desde A hacia B, y el otro desde B hacia A,
a velocidades de 10m/s y 20 m/s respectivamente. ¿ Luego de cuánto tiempo a partir de
ese momento y a qué distancia de A se encuentran. Resolver gráfica y analíticamente.Resp: 6 s , 60 m
6.-Por dos puntos distantes entre sí 100m medidos en línea recta, pasan simultáneamente
dos móviles que se mueven en sentidos opuestos y con M.R.U., de tal manera que uno de
ellos tarda 2s en llegar al segundo punto y el otro 1,5s en llegar al primero. Calcular dónde
y cuándo se cruzan.Resp: 42,85 m , 0,857 s
7.- Un móvil se desplaza sobre el eje x con movimiento uniformemente variado. La
posición en el instante t=0 es 10m; su velocidad inicial 5 m/s y su aceleración 4m/s2.a)
Escribir las ecuaciones horarias del movimiento b) Representar gráficamente la posición,
velocidad y aceleración en función del tiempo. c) Calcular la posición, velocidad y
aceleración para t=2s.Resp: 28 m, 13 m/s, 4 m/s2.
8.- Un cuerpo se mueve con una velocidad inicial de 4m/s y una aceleración constante
de 1,5m/s2 en la misma dirección y sentido que la velocidad. ¿ Cuál es la velocidad del
cuerpo y su posición luego de 7s.?
Resp: 14,5 m/s. , 64,75 m.
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39
Cinemática
9.- Un móvil pasa en línea recta y hacia la derecha de un punto A animado de un
movimiento rectilíneo uniformemente variado, con la velocidad de 8m/s y la aceleración
de 2m/s2, pero dirigida en sentido contrario. Determinar :
a) ¿ después de cuánto tiempo su velocidad es cero ?
b) ¿ a qué distancia de A?
c) ¿ después de cuánto tiempo vuelve a pasar por A?
d) ¿ en qué instantes pasa por un punto a 15m a la derecha de A? e) ¿ en qué instante
pasa por un punto 33m a la izquierda de A?
Resp: 4 s , 16 m , 8 s , 3 s , 5 s , 11 s
10.-Un tren subterráneo arranca de una estación y se acelera a razón de 1,3m/s2 durante
12s. Marcha durante 35s con velocidad constante y luego frena con una aceleración
constante de 1,8 m/s2 hasta detenerse en la estación siguiente.¿ Cuál es la distancia total
cubierta. Previamente grafique en v=f(t).Resp: 15,6 m/s. , 8,67 s. , 707,14 m.
11.- Un automóvil cuya velocidad es constante e igual a 90 km/h pasa ante un puesto de
control equipado con radar; cuando pasa, sale en su persecución un motociclista que
parte del reposo, acelera uniformemente alcanzando una velocidad de 90 km/h en 10s, y
sigue acelerando hasta alcanzar al automóvil. Ambos se mueven siguiendo una
trayectoria rectilínea. Resolver gráfica y analíticamente a)¿ cuánto dura la persecución?
b) ¿ a qué distancia del punto de control alcanza el motociclista al automóvil c)¿ cuál es
la velocidad del motociclista al alcanzar al automóvil?
Resp: 20 s. , 500 m. , 50 m/s.
12.- Un automóvil y un camión parten en el mismo instante, estando inicialmente el
automóvil cierta distancia detrás del camión. Este tiene una aceleración constante de
1,3m/s2, mientras el coche acelera 1,7m/s2. El coche alcanza al camión cuando éste ha
recorrido 60m. a)¿ cuánto tarda el coche en alcanzar al camión? b)¿ cuál era la
distancia inicial entre ambos vehículos? c)_ cuál es la velocidad de cada uno en el
momento de alcanzarse?
Resp: 9,6 s , 18,34 m , 16,32 m/s , 12,48 m/s
13.- Un auto parte del reposo y se mueve con una aceleración de 3m/s2 durante 6s.
Luego se mueve con movimiento uniforme durante 15s. Se aplican luego los frenos y el
auto desacelera a razón de 6m/s2 hasta detenerse. Hacer un gráfico v=f(t) y verificar que
el área comprendida entre la curva y el eje de los tiempos es igual a la distancia total
recorrida.Resp: 351 m
Tiro y caída en el vacío
r
2
En todos los problemas considerar g = 10 m/s y despreciar la influencia del aire.
14.-Un cuerpo se deja caer desde una altura de 500m. Hallar:
a)el tiempo empleado en la caída.
b)la velocidad con que llega al suelo. No tener en cuenta la influencia del aire.Resp: 10 s , 100 m/s
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40
Cinemática
15.-Un cuerpo cae libremente desde una cierta altura. En el punto A de su trayectoria
tiene una velocidad de 30m/s; en el B 80m/s. ¿ Cuánto tardó en recorrer la distancia AB y
cuál es ésta?
Resp: 5 s , 275 m
16.-Se deja caer una esfera de acero desde lo alto de una torre, que emplea 33s en llegar
al suelo. Calcular: a)la velocidad final. b)la altura de la torre. Despreciar la influencia del
aire.Resp: 330 m/s , 5445 m
17.-Se arroja verticalmente hacia abajo desde la cornisa de un edificio una pelota, la que
abandona la mano de la persona que la lanza con una velocidad de 9m/s. a) ¿Cuál será
la velocidad después de haber descendido durante 2s?; b)¿ cuánto habrá descendido
en ese tiempo?
Resp: 29 m/s , 38 m.
18.- Se lanza un cuerpo verticalmente hacia abajo con una velocidad inicial de 7m/s. a)¿
Cuál será su velocidad después de haber descendido 3s? ;b)¿ qué distancia habrá
descendido en esos 3s? ;c)¿ cuál será su velocidad después de haber descendido 14m?
d)si el cuerpo se lanzó desde una altura de 200m , ¿ en cuánto tiempo alcanzará el
suelo?; e)¿ con qué velocidad lo hará?
Resp: 37 m/s , 66 m , 18 m/s , 5,66 s , 63,6 m/s
19.- Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100m/s. Luego
de 4s efectuado el lanzamiento su velocidad es de 60m/s y 3s después de 30m/s. a)¿ Cuál
es la altura máxima alcanzada?; b)¿ en qué tiempo recorre el móvil esa distancia?; c)¿
cuánto tarda en volver al punto de partida desde que se lo lanzó?; d) ¿cuánto tarda en
alcanzar alturas de 300 m y 600 m?
Resp: 500 m , 10 s , 20 s
20.-Se arroja un cuerpo verticalmente hacia arriba, alcanzando una velocidad de 8m/s al
llegar a un tercio de su altura máxima. a) ¿ Qué altura máxima alcanzará ?; b) ¿ Cuál es
su velocidad 1s después de lanzarlo ?; c) ¿ Cuál es la velocidad media durante el primer
segundo del movimiento?
Resp: 4,8 m , 0,21 m/s , 4,79 m/s.
21.-Se lanza verticalmente hacia arriba un cuerpo de forma tal que al cabo de 4s regresa
de nuevo al punto de partida. Calcular la velocidad con que se lo lanzó.Resp:
20 m/s
22.- Desde un globo, a una altura de 175m sobre el suelo y ascendiendo con una
velocidad de 8m/s, se suelta un objeto. Calcular: a)la altura máxima alcanzada por éste;
b) la posición y la velocidad del objeto al cabo de 5s; c) el tiempo que tarda en llegar al
suelo.Resp:
178,2 m , 90 m , -42 m/s , 6,77 s
23.- Un cuerpo es arrojado verticalmente hacia arriba y pasa por un punto a 36m por
debajo del de partida, 6s después de haber sido arrojado. a)¿ Cuál fue la velocidad
inicial del cuerpo?; b)¿ qué altura alcanzó por encima del punto de lanzamiento?; c)¿
cuál será la velocidad al pasar por un punto situado 25m por debajo del de lanzamiento?
Resp: 24 m/s , 28,8 m , -32,8 m/s.
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41
Cinemática
24.-Un cuerpo es soltado desde un globo que desciende a una velocidad constante de
12m/s. Calcular la velocidad adquirida y la distancia recorrida por el cuerpo en 10s.Resp: 112 m/s , 620 m.
25.-Desde la cima de una torre de 80m de altura se lanza una piedra en dirección vertical
hacia arriba con una velocidad de 30m/s. Calcular: a)la máxima altura alcanzada; b)la
velocidad con que llega al suelo.Resp: 125 m , -50 m.
26.-Un bulto colocado en un montacargas que asciende a una velocidad de 3m/s se cae
de él y tarda 2s en llegar al fondo del hueco. Calcular: a)el tiempo que tarda en alcanzar
la máxima altura; b)la altura con respecto al fondo del hueco desde la que cayó el bulto;
c)la altura a la que se encuentra 0,25s después de la caída.Resp: 0,3 s , 14 m.
27.-Calcular la altura con respecto al suelo desde la que se debe dejar caer un cuerpo
para que llegue con una velocidad de 8m/s. Se desprecia la resistencia del aire.Resp: 3,2 m
28.-Desde un globo se deja caer un cuerpo que tarda en llegar a la tierra 20s. Calcular la
altura del globo: a) si está en reposo en el aire; b)si está ascendiendo a una velocidad de
50m/s.Resp: 2000 m , 1000 m
29.-Si se deja caer lastre de un globo y se desprecia el efecto del aire, la aceleración del
lastre que cae.¿ Será mayor durante el primer segundo o durante el décimo segundo?
¿Por qué?
30.-Se tiran dos cuerpos verticalmente hacia arriba, con la misma velocidad de salida de
100m/s, pero separados 4s.¿ Qué tiempo transcurrió desde que se lanzó el primero hasta
que se vuelvan a encontrar?
Resp: 12 s.
31.-Una piedra es lanzada verticalmente hacia arriba desde el techo de un edificio con
una velocidad de 30m/s. Otra piedra se deja caer 4s después que se lanzó la primera.
Demostrar que la primera piedra pasará a la segunda exactamente 4s después que se
soltó la segunda.Resp: 8 s
32.-Un cuerpo se deja caer y simultáneamente un segundo cuerpo se tira hacia abajo
desde el mismo lugar con una velocidad de 1m/s.¿ Qué tiempo transcurrió hasta que la
distancia entre ellos sea de 24m?
Resp: 24 s
33.-Una persona, que está a cierta altura del suelo, arroja una pelota verticalmente hacia
arriba con una cierta velocidad inicial y después arroja otra pelota hacia abajo con una
velocidad inicial con el mismo valor absoluto. ¿ Cuál de las dos pelotas tiene mayor
velocidad al llegar al suelo?; ¿ o ambas tienen la misma velocidad? ¿ Por qué?. Desprecie
la influencia del aire
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42
Cinemática
34.- Dos cuerpos, A y B, situados sobre una misma vertical y separados por una distancia
de 100m, son arrojados simultáneamente uno contra el otro con velocidades de 30m/s y
20m/s respectivamente. ¿ Cuándo y donde chocan?. Despreciar el efecto del aire.Resp: 2 s
Movimientos compuestos
35.- Una bola que rueda sobre una mesa horizontal de 75 cm de altura cae, tocando el
suelo en un punto situado a una distancia horizontal de 1,5 m del borde de la mesa. ¿
Cuál era la velocidad de la bola en el momento de abandonar la mesa ?
Resp: 3,87 m/s
36.- Un bloque cae desde el tablero horizontal de una mesa de 1,2 m de altura, sobre la
cual se deslizaba con una velocidad de 3,6 m/s. Calcular:
a) La distancia horizontal desde la mesa al punto en el cual el bloque golpea el suelo.
b) Las componentes horizontal y vertical de su velocidad cuando llega al suelo.
c) El módulo y dirección de la velocidad en éste instante.
Resp: 1,76 m , 3,6m/s y 4,9 m/s , 6 m/s , 53,7º
37.- Un bombardero que vuela horizontalmente a 90 m/s, deja caer una bomba desde
2000 m.
a) ¿ Cuánto tarda la bomba en llegar a tierra ?
b) ¿ Cuánto recorre horizontalmente.
c) Calcular las componentes horizontal y vertical de la velocidad cuando llega al suelo.
Resp: 20 s , 1800m , 90 m/s y 200 m/s
38.- Un proyectil tiene una velocidad inicial de 30 m/s, que forma un ángulo de 53º por
encima de la horizontal. Calcular:
a) La distancia horizontal a la que se encuentra del punto de partida 3 segundos después
de haber sido disparado.
b) La altura a la que se encuentra en ese mismo instante.
c) Las componentes vertical y horizontal de la velocidad en ese mismo instante.
Resp: 54m , 27 m. -6m/s y 18 m/s
39.- Un mortero de trinchera dispara un proyectil con un ángulo de 53º por encima de la
horizontal y a una velocidad de 60 m/s. Un tanque avanza directamente hacia el mortero
sobre un terreno horizontal, a una velocidad constante de 3 m/s. ¿ Cuál deberá ser la
distancia desde el mortero hasta el tanque en el momento del disparo para dar en el
banco ?
Resp: 374,4 m
40.- Un jugador de fútbol patea la pelota formando un ángulo de 37º con la horizontal y
con una velocidad de 15 m/s. Un segundo jugador que se encuentra 12 m delante del
primero, inicia una carrera para encontrar la pelota, en el momento de ser lanzada. ¿
Con qué velocidad constante deberá correr para alcanzar la pelota justo en el momento
en que pique en el suelo ?
Resp: 5,33 m/s
41.- Un proyectil disparado formando un ángulo de 60º respecto de la horizontal, alcanza
un edificio alejado 24 m en un punto que se encuentra a una altura de 15 m. Calcular:
a) La velocidad de disparo.
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43
Cinemática
b) El módulo y dirección de la velocidad del proyectil en el instante en que hace
impacto.
Resp: 20,82 m/s , 11,54 m/s y -25,5º.
42.- Se deja caer una piedra desde un precipicio en un instante en que el viento sopla
intensamente probocándole una aceleración horizontal de 1m/s2. ¿ Es la trayectoria de la
piedra una recta, una parábola o una curva más complicada ? Justifique su respuesta.
43.- El Diego debe patear un tiro libre a 15 m del arco que tiene 2,3 m de altura. 8 m
delante de él se encuentra la barrera formada por hombres de 1,8 m de altura. Si el Diego
le pega a la pelota con una velocidad de 20 m/s, calcular con qué ángulo deberá salir
para que entre justo rozando el travesaño.
Resp: 20º
44.- Una pelota de golf es lanzada con una velocidad de 40 m/s y un ángulo de 37º por
encima de la horizontal, y cae sobre un green situado a una distancia de 140 m del tee ¿
Cuál era la elevación del green sobre el tee ? ¿ Cuál era la velocidad de la pelota al
chocar con el green ?
Resp: 9,5 m , 37,6 m/s
45.- El proyectil de un mortero de trinchera tiene una velocidad inicial de 90 m/s. Calcular:
a) Los ángulos que permiten batir un blanco situado al mismo nivel que el mortero y a
una distancia de 300 m.
b) Hallar la altura máxima de cada trayectoria y el tiempo que permanece el proyectil en
el aire para cada una.
Resp: 10,87º , 79,13º , 14,4m , 390,6m , 3,39s , 17,68s
46.- El ángulo de elevación de un cañón antiaéreo es 70º, y la velocidad inicial 800 m/s.
¿Para qué tiempo después del disparo debe graduarse la espoleta, si la granada ha de
hacer explosión a una altura de 1500 m ?
Resp: 2 s .
Movimiento circular uniforme
47.- Un motor gira a razón de 3600 rpm. Calcular: a) el período ; b) la frecuencia y c) la
velocidad angular del mismo.
Resp: 1,67.10 -2 s , 60 rps. , 377 rad/s.
48.- Calcular: a) la velocidad angular; b) la velocidad tangencial de la Tierra, sabiendo
que da una vuelta completa alrededor del Sol en 365 días y que la distancia media al Sol
es de 150.106 km.
Resp:
2.10-7 rad/s , 30 km/s
49-Calcular:a)la velocidad angular de rotación propia de la Tierra si se adopta como
radio terrestre 6370 km.; b) la v(t) ; c) la aceleración centrípeta de los puntos del Ecuador.
Resp: a) 7,27.10-5 rad/s , 463 m/s , 3,37.10-2 m/s2
50.-De un hilo de 1 metro de longitud penden dos piedras; una est atada al extremo del
hilo, y la otra a 0,80 m. del centro de rotación. Se las hace girar a razón de 10 rpm. Se
desea saber: a) cuál de ellas tiene mayor velocidad angular ; b) cual mayor, velocidad
tangencial.
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44
Cinemática
Resp:
1,047 rad/s , 1,047m/s
, 0,838 m/s
51.-Un astronauta da la vuelta a la Tierra cada 190 minutos. Determinar: a) su velocidad
angular ; b) su velocidad lineal; c) su aceleración centrípeta si describe una órbita de
2.107 km. de radio.
Resp: 5,5.10-4 rad/s , 11000 km/s , 6 km/s2
52.-Un bloque está atado al extremo de una cuerda de 75 cm. de largo y describe una
circunferencia horizontal a razón de 3 rad/s. Calcular :a) la aceleración centrípeta de
dicho bloque.
Resp: 6,75 m/s2
53.-Calcular: a) la velocidad angular ; b) las rps que debe tener una centrifugadora para
que la aceleración centrípeta de un punto situado a 10 cm del eje sea de 4.105 cm/s2.
Resp: 200 rad/s , 31,83 rps.
54.-La Luna gira alrededor de la Tierra dando una revolución completa al cabo de 27,3
días. Suponiendo una órbita circular y un radio de 3,85.105 km., calcular: a) la velocidad
lineal de la Luna; b) la aceleración centrípeta de la Luna hacia la Tierra.
Resp: 1025 m/s , 2,73.10-3 m/s2
55.-Un disco efectúa 120 rpm con M.C.U. Calcular: a) el período; b) la frecuencia; c) la
velocidad angular ; d) la velocidad lineal de un punto situado en el borde, si tiene un
diámetro de 3 metros. Resp: 0,5 s , 2 rps , 12,56 rad/s , 18,84 m/s
56.-Calcular: a) la velocidad angular del minutero de un reloj; b) si la aguja indicadora
tiene 10 cm. de longitud la velocidad lineal de la punta.
Resp: 1,745 . 10-3 rad/s , 1,745 . 10-2 cm/s
57.- Se hace girar horizontalmente un cuerpo de 3 kg atado al extremo de una cuerda de
1,5 m de radio, a razón de 5 rps. Determinar a) la velocidad lineal; b) la aceleración
centrípeta.
Resp: 47,1 m/s , 1480 m/s2
58.-Un muchacho hace girar una pelota atada a una cuerda en una circunferencia
horizontal de 1 m de radio. ¿ A cuentas revoluciones por minuto deberá girar la pelota
para que su aceleración centrípeta tenga el mismo módulo que la aceleración de la
gravedad?
Resp: 29,9 RPM
Problemas especiales:
C1. Un automóvil recorre a velocidad v, constante, un puente horizontal de longitud L
ubicado sobre un río. Su conductor deja caer una piedra en el momento de ingresar al
puente y, casualmente, oye el impacto de ésta con el agua justo cuando sale del
puente. Halle la altura h del puente respecto del río con los siguientes datos:
L = 100 m, v = 30 m/s, velocidad del sonido c = 330 m/s
C2. Se desarrolla una carrera de autos sobre una pista de 4000 metros sin demasiadas
curvas, de modo que puede suponerse que la velocidad de cada auto es,
aproximadamente, constante. En cierto momento, dos de los coches están separados por
500 m. El de adelante se desplaza a 300 km/h y el de atrás a 296 km/h.
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45
Cinemática
¿Cuánto demoran en encontrarse por primera vez?
C3. Un tren subterráneo puede desarrollar una velocidad máxima v0, una aceleración
máxima a0 y una desaceleración máxima de igual módulo. Para simplificar puede
suponerse que, cuando no está detenido, desarrolla la velocidad máxima o se encuentra
acelerando o desacelerando al máximo. Halle una expresión para el tiempo de viaje
entre dos estaciones consecutivas que se encuentran a una distancia L.
C4. Sobre una pista de atletismo circular (radio interno 100 m, radio externo 110 m) dos
corredores realizan la siguiente prueba: uno de ellos corre siempre por el borde interno de
la pista y el otro por el externo. Parten simultáneamente del mismo lugar y se observa que
la velocidad de ambos es la misma: 8 m/s.
Halle el tiempo que pasa hasta que uno alcanza al otro. Caracterice el lugar donde eso
ocurre.
C5.
Una partícula que está en reposo comienza a moverse con movimiento
uniformemente acelerado para recorrer una determinada distancia. ¿Qué porcentaje
tiene de su velocidad final cuando ha recorrido la mitad de la distancia?
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46
Dinámica
CAPÍTULO 2:
Dinámica
Hemos estudiado algunos de los distintos tipos de movimientos que existen en la
naturaleza. Ahora, llegó el momento de explicar por qué se producen éstos movimientos,
y de esto se encarga la dinámica.
La dinámica se basa en tres principios fundamentales, denominados Principios de
Newton. Tengamos en cuenta que un principio es una verdad científica que no se puede
demostrar experimentalmente pero que si se puede verificar en forma parcial. Se
denomina principio porque a partir de él construiremos toda una teoría, en este caso, de
la mecánica clásica.
El Principio de Inercia
El principio de inercia no fue, estrictamente, descubierto por Newton. En realidad,
se sabe que el célebre Leonardo da Vinci (1452-1519) lo había intuido años antes pero lo
mantuvo en secreto. Fue Galileo Galilei (1564-1642) quien lo descubre y lo presenta al
mundo en su famoso libre dialogo sobre dos nuevas ciencias, sin embargo, no lo formula
como principio básico de la naturaleza. Finalmente, Isaac Newton (1642-1727), lo enuncia
como el primero de sus tres principios en su famoso libro Principios de filosofía natural, del
siguiente modo:
Principio de Inercia:
Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas, o, la suma de las
fuerzas que sobre él actúan es igual a cero, el cuerpo permanece en reposo o se mueve
con movimiento rectilíneo uniforme.
Consideraciones:
a- El principio de inercia nos da por primera vez una idea clara acerca de
lo que es una fuerza. Es aquel ente físico capaz de producir una modificación en el
estado de reposo o de MRU de un cuerpo.
b- También nos explica el por qué un cuerpo puede seguirse moviendo
cuando deja de actuar la fuerza que lo impulsó.
c- Este principio no nos dice nada acerca de lo que sucede con un cuerpo
sobre el cual actúan fuerzas, sin embargo lo sugiere. Por acción de las fuerzas los cuerpos
se acelerarán, aunque no sabemos de que forma.
d- La inercia es una propiedad fundamental de la materia. Podría definirse
a la materia como todo aquel ente físico que posee inercia.
e- Si analizamos profundamente este principio nos daremos cuenta que nos
alerta sobre algo asombroso: es imposible distinguir el reposo del MRU.
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47
Dinámica
El Principio de Masa
Este principio si fue descubierto por Newton y es el principio que relaciona la fuerza
aplicada a un cuerpo con la aceleración que adquiere. Es el único de los principios que
se expresa través de una ecuación.
Principio de Masa:
La aceleración que adquiere un cuerpo es directamente
proporcional a la fuerza que se le aplica siendo la constante de proporcionalidad una
magnitud denominada masa del cuerpo.
r
r
F=m.a
Consideraciones:
a- La masa de un cuerpo, es la medida de su inercia y está relacionada
con la cantidad de materia que el cuerpo posee.
b- Como la ecuación es vectorial, es evidente que la aceleración tiene la
misma dirección y sentido de la fuerza.
c- Como el peso de un cuerpo es una fuerza ( la fuerza con que la tierra lo
atrae ), podrá calcularse aplicando el principio de masa, y, teniendo en cuenta que la
aceleración que interviene es la de la gravedad, nos queda:
r
r
P =m.g
d- Es evidente que, debido a la consideración anterior, un cuerpo tendrá la
misma masa en todo el universo, dado que es una característica propia del cuerpo. Sin
embargo ese mismo cuerpo no pesará lo mismo en todo el universo, pues el peso
depende de la aceleración de la gravedad y esta depende del planeta en que el
cuerpo se encuentre, inclusive, si el cuerpo se encuentra lejos de todo planeta, no pesará
pero seguirá teniendo masa pues habrá que aplicarle una fuerza para acelerarlo.
e- El principio de masa es válido también cuando actúan varias fuerzas
sobre el cuerpo pues, éstas fuerzas sumadas, darán como resultado una fuerza a la que se
le aplicará el principio.
r
r
ΣF = m . a
Medición de la masa:
Para medir la masa de un cuerpo habría que aplicarle una fuerza
teniendo cuidado que fuera la única y medir la aceleración que adquiere. Luego hacer
el cociente. Sin embargo éste procedimiento sería muy complicado. En la práctica, la
masa de un cuerpo se mide por comparación y para ello se utiliza una balanza. La más
común es la de platos. Por ejemplo si Se coloca en un platillo de la balanza el cuerpo a
medir y en el otro se agregan masas conocidas de una caja de masas patrón hasta
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48
Dinámica
lograr el equilibrio. En estas condiciones sabemos que hay igual masa en ambos platillos
pues la aceleración de la gravedad es la misma para ambas.
Es claro que la balanza funcionaría de la misma forma en la tierra
que en la luna o cualquier planeta ya que aunque g cambie, cambiará para los dos
platillos.
Diagramas de cuerpo libre:
Cuando sobre un cuerpo actúan mas de una fuerza,
aplicar el segundo principio de Newton tiene sus secretos. Comprendamos que esta
ecuación es vectorial y por lo tanto, puede suceder que las fuerzas actuantes lo hagan
en distintas direcciones.
Gracias al principio de independencia de Galileo,
podemos descomponer los movimientos en varias direcciones y por lo tanto, las causas
de éstos (Las fuerzas) también. Esto hacemos cuando confeccionamos un diagrama de
cuerpo libre. Veamos un ejemplo: Supongamos que varias fuerzas actúan sobre un
cuerpo como indica la figura.
Colocaremos el cuerpo sobre un
sistema de coordenadas y descompondremos toda
fuerza que no se encuentre sobre los ejes
coordenados, hallando una componente en el eje X y
otra en el eje Y. En este caso y debido al sistema
adoptado la única fuerza que habrá que
descomponer es F1.
La ecuación a aplicar es:
r
r
ΣF = m . a
Y las componentes de F1 en los ejes son:
F1x = F1 . cos α
F1y = F1 . sen α
Aplicamos el segundo principio de Newton para
cada eje:
Eje X:
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49
Dinámica
Σ Fx = m . ax
F1x - F3 = m . ax
F1 . cos α - F3 = m . ax
Obsérvese que F3 resta porque se encuentra según el versor - î
Eje Y:
Σ Fy = m . ay
F1y - F2 = m . ay
F1 . sen α - F2 = m . ay
Como en el caso anterior, F2 resta porque su sentido es coincidente con el versor - ĵ
Despejando la aceleración en cada caso podrá expresarse la aceleración del
cuerpo como:
r
a = a x ˆi + a y ˆj
El Principio de Acción y Reacción
Este principio, también conocido como principio de interacción, es quizás el más
difícil de comprender.
Principio de Acción y Reacción:
Si un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, éste aplica
otra fuerza igual pero de sentido contrario sobre el primero. A la primera se la denomina
acción y a la segunda reacción.
Consideraciones:
a- Las fuerzas son la consecuencia de la interacción entre dos
cuerpos, es decir, si solo existiera un cuerpo en el universo, no existirían las fuerzas.
b- Las fuerzas siempre aparecen de a pares, una sobre cada uno de
los cuerpos que interactúan.
c- Las fuerzas de acción y reacción tienen siempre el mismo módulo
y son de sentido contrario, sin embargo, jamás pueden ponerse en equilibrio entre sí, pues
actúan en cuerpos diferentes y para que dos fuerzas iguales y de sentido contrario se
equilibren deben actuar sobre el mismo cuerpo.
Sistemas de unidades.
En el enunciado de los principios de Newton, aparecen dos magnitudes cuyas
unidades de medida no están muy claras para nosotros todavía. Ellas son la masa y la
fuerza.
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50
Dinámica
Históricamente, los sistemas de unidades fueron desarrollándose a medida que
aparecía la necesidad de medir una magnitud y sus orígenes suelen ser confusos. Sin
embargo, nosotros veremos particularmente cómo se definieron los tres sistemas más
importantes y utilizaremos de estos tres solo uno: el SIMELA (Sistema métrico legal
argentino) que adhiere al SI (Sistema internacional de unidades).
Un sistema de unidades tiene unidades fundamentales, estas son aquellas cuyos
patrones fueron dados por definición; y unidades derivadas, que se obtienen de
operaciones matemáticas entre unidades fundamentales.
Básicamente, un sistema de unidades se diferencia de otro por dos conceptos
importantes que generalmente son arbitrariamente adoptados, ellos son:
1º- Qué magnitudes se tomarán como fundamentales, es decir, para qué
magnitudes se definirán arbitrariamente patrones de medida.
2º- Una vez elegidas las magnitudes fundamentales, cuáles serán las definiciones
de los patrones de medida para cada magnitud.
Sistema Técnico de unidades:
Este sistema tiene tres unidades fundamentales que son: La unidad de longitud, la
unidad de tiempo y la unidad de fuerza.
Unidad de longitud: El metro, es la longitud de una regla construida con una aleación
de platino e iridio, que está guardada en la oficina internacional de pesas y medidas en
la ciudad de París. Posteriormente el metro fue redefinido como 1.650.763,73 longitudes de
onda de la línea naranja del kriptón de masa atómica 86, cuando la lampara emisora
está a 210ºC bajo cero.
Unidad de tiempo:
El segundo, es la 86.400 ava parte de un día solar medio.
Unidad de fuerza:
El kilogramo fuerza (Kgf), es la fuerza equivalente al peso de un
cuerpo denominado kilogramo patrón construido con una aleación de platino e iridio y
que está guardado en la oficina internacional de pesas y medidas en la ciudad de París.
Es evidente que la unidad de masa de este sistema es una unidad derivada, pues
se obtiene de la operación entre unidades fundamentales aplicando el segundo principio
de Newton y se la denomina, unidad técnica de masa:
m =
F
Kgf.s2
Kgf
= UT(m)
=
=
m
m / s2
a
Sistema MKS de unidades:
Su nombre proviene de las iniciales de sus tres unidades fundamentales: metro,
kilogramo, segundo y forma parte del SIMELA y el SI., por lo tanto será el que usaremos en
la práctica.
La diferencia clave entre este sistema y el técnico es que se eligió otra magnitud
como unidad fundamental, la masa . La razón de esta elección fue que mientras que el
peso de un cuerpo cambia en distintos lugares del universo, la masa del mismo
permanece invariable.
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51
Dinámica
Al definir las nuevas unidades fundamentales, el alumno suele confundirse pues, la
unidad de masa de este sistema lleva el mismo nombre que la unidad de fuerza del
sistema técnico y el cuerpo patrón que se utilizó para definirla es también el mismo. Sin
embargo, es importante tener en claro que una cosa es el peso de un cuerpo y otra
totalmente distinta es su masa.
Unidad de longitud: El metro, es la longitud de una regla construida con una aleación
de platino e iridio, que está guardada en la oficina internacional de pesas y medidas en
la ciudad de París. Posteriormente el metro fue redefinido como 1.650.763,73 longitudes de
onda de la línea naranja del kriptón de masa atómica 86, cuando la lampara emisora
está a 210ºC bajo cero.
Unidad de tiempo:
El segundo, es la 86.400 ava parte de un día solar medio.
Unidad de masa:
El kilogramo masa (Kg.), es la masa de un cuerpo denominado
kilogramo patrón construido con una aleación de platino e iridio y que está guardado en
la oficina internacional de pesas y medidas en la ciudad de París.
Ahora la unidad derivada será la de fuerza y se denominará Newton.
[F] = [m][. a] = Kg. m2
s
= N (Newton )
Sistema cgs de unidades:
Su nombre también proviene de las iniciales de sus tres unidades fundamentales:
centímetro, gramo, segundo.
La diferencia clave entre este sistema y el MKS es que, aunque las magnitudes
elegidas como fundamentales son las mismas, se eligieron sub-unidades de los patrones
del MKS como unidades fundamentales.
Unidad de longitud:
El centímetro, es la centésima parte del metro.
Unidad de tiempo:
El segundo, es la 86.400 ava parte de un día solar medio.
Unidad de masa:
patrón.
El gramo masa (g), es la milésima parte de la masa del kilogramo
Nuevamente la unidad derivada será la de fuerza pero se denominará Dina.
F = m . a = g.
cm
= Dina
s2
Equivalencia entre el N y el Kgf:
La equivalencia entre éstas unidades surge de la propia definición de las mismas.
Supongamos que el cuerpo patrón denominado kilogramo es el de la figura. Mientras que
para el sistema Técnico el cuerpo pesa 1 Kgf, para el sistema MKS tiene 1 Kg. de masa.
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52
Dinámica
Sistema técnico
Sistema MKS
P = 1 Kgf
Si calculamos el peso en este sistema
tenemos
m = 1 Kg.
P = m.g = 1 Kg. 9,8
Por lo tanto la equivalencia es:
m
= 9,8 N
s2
1 Kgf = 9,8 N
Análogamente pueden deducirse todas las equivalencias que resumimos en este
cuadro:
Técnico
MKS
cgs
Fuerza
1 Kgf
0,102 Kgf
9,8 N
1N
980.000 Dina
100.000 Dina
Masa
0,00000102 Kgf
1 UT(m)
0,102 UT(m)
0,00001 N
9,8 Kg.
1 Kg.
1 Dina
9800 g
1000 g
0,000102 UT(m)
0,001 Kg.
1g
Los principios de Newton y los movimientos.
Cuando estudiamos cinemática dijimos que mas adelante explicaríamos el por
que de cada movimiento. Pues ha llegado el momento de hacerlo.
1- M.R.U.:
Este movimiento lo explica el principio de inercia, para que aparezca, no
debe actuar ninguna fuerza sobre el cuerpo o la suma de ellas debe ser cero.
2- M.R.U.V.:
La causa de este movimiento, será una fuerza constante (que puede ser
resultante de mas de una fuerza aplicada), que tenga la misma dirección que el vector
velocidad del cuerpo en cuestión.
3- Tiro horizontal y tiro oblicuo:
En este caso, solo actúa una fuerza en dirección
vertical, el peso del proyectil, haciendo que verticalmente el movimiento sea
uniformemente variado. En la dirección horizontal no hay fuerzas aplicadas, por lo tanto,
en esta dirección no hay aceleración.
4- M.C.U.:
Este movimiento se produce cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza de
módulo constante que en todo momento tiene una dirección perpendicular al vector
velocidad.
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53
Dinámica
Fuerzas
Estudiaremos ahora algunas fuerzas que, por su importancia y frecuencia con que
aparecen, merecen especial atención.
a- Fuerza de reacción normal de apoyo (Normal):
Esta fuerza, aparece siempre que un cuerpo está apoyado sobre una superficie y
es consecuencia de la interacción entre el cuerpo y la superficie de apoyo. Su valor
depende de las condiciones físicas en cada caso. Veamos algunos ejemplos.
1- Cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal:
En este caso, la fuerza peso hace que el cuerpo aplique
otra fuerza contra la superficie, por lo tanto y debido al principio
de acción y reacción, la superficie de apoyo aplicará una fuerza
igual y de sentido contrario sobre el cuerpo. Ésta es la fuerza de
reacción normal de apoyo. En este caso, puede verse claramente
que su módulo es igual al peso del cuerpo. Pero es importante
tener claro que no siempre será así, es mas, éste es el único caso.
En el dibujo, P es el peso del cuerpo, N´ la fuerza que el
cuerpo le aplica a la superficie y N la fuerza normal.
Si hacemos el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo y
aplicamos el segundo principio de Newton, nos queda:
r
r
ΣF = m . a
Como solo actúan fuerzas en Y:
ΣFy = m . a y
Y como en el eje Y la aceleración es cero, tenemos:
N - P = 0
N = P
2- Cuerpo apoyado sobre una superficie horizontal sobre el cuál actúa otra fuerza
además del peso.
Sobre el cuerpo de la figura apoyado sobre una
superficie horizontal actúa una fuerza F en una dirección α.
Para hallar la normal hacemos un diagrama de cuerpo libre
indicando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Las
ecuaciones nos quedan:
r
r
ΣF = m . a
En el eje X:
ΣFx = m . ax
Fx = m . ax
F. cos α = m . ax
En el eje Y:
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Dinámica
ΣFy = m . ay
N- P - Fy = m . ay
N- P - F. sen α = m . ay
Pero como en el eje y la aceleración es cero nos queda:
N- P - F. sen α = 0
N = P + F . sen α
N = m . g + F . sen α
Como vemos, en este caso la normal no es igual al peso del cuerpo pues se ve
incrementada por la componente de F en Y.
3- Valor de la normal en un cuerpo apoyado en un plano inclinado
El cuerpo de la figura se encuentra apoyado sobre el plano
inclinado. Sobre él actúan la fuerza peso y la normal.
Representamos las fuerzas en un diagrama de cuerpo libre y
descomponemos el peso. Obsérvese que en este caso es
conveniente colocar el par de ejes coordenados de manera
que el eje X coincida con la dirección del plano.
Según la segunda ley de Newton:
r
r
ΣF = m . a
En el eje X:
-Px = m . ax
-P. sen α = m . ax
-m . g . sen α = m . ax
ax = - g . sen α
En el eje Y:
N- Py = m . ay
N- P. cos α = m . ay
N- m . g . cos α = m . ay
Teniendo en cuenta que la aceleración en Y es cero nos queda:
N- m . g . cos α = 0
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55
Dinámica
N = m . g . cos α
b- Tensión:
Se denomina tensión a toda fuerza que, sobre un cuerpo, realice una soga
o cuerda. Se indica con la letra T. Veamos algunos ejemplos.
1- Cuerpo suspendido de una soga en reposo:
En el primer dibujo se observa el sistema completo formado por el techo, la soga,
el cuerpo y el planeta tierra. Todos estos cuerpos interactúan. Para simplificar el análisis,
diremos que el peso de la soga es despreciable y por eso no lo tendremos en cuenta.
La primera interacción que observamos es la del cuerpo con el planeta, si el
planeta atrae al cuerpo, el cuerpo atrae al planeta, acción y reacción ( P y P´ ).
En el segundo dibujo, separamos los cuerpos y hacemos un diagrama de cuerpo
libre para cada uno de manera que se puedan ver claramente las interacciones y los
pares de acción y reacción.
El cuerpo tira de la soga y la soga tira del cuerpo con tensiones T1 y T1´ que por ser
pares de acción y reacción, son iguales.
La soga tira del techo y el techo tira de la soga con tensiones T2 y T2´ que también
son iguales entre si por la misma razón que las anteriores.
Como el sistema está en reposo el segundo principio de Newton aplicado al
cuerpo nos queda:
r
r
ΣF = m . a
Como las fuerzas solo actúan en el eje Y nos queda:
ΣFy = m . ay
T1 - P = m . ay = 0
T1 = P
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56
Dinámica
2- Cálculo de la tensión para un sistema que no está en equilibrio:
Supongamos que un cuerpo está suspendido de una soga que se desenrolla de un
cilindro que puede girar sobre su eje como indica la figura:
Si hacemos el diagrama de cuerpo libre para el cuerpo,
nos queda un esquema como el de la figura de abajo.
Debido a que en el eje X no actúan fuerzas el segundo
principio de Newton solo se aplica al eje Y:
r
r
ΣF = m . a
ΣFy = m . ay
T - P = m . ay
Es evidente que si el cuerpo acelera hacia abajo, P será
mayor que T, Pero si la aceleración es hacia arriba, T
deberá ser mayor que P.
Despejando T nos queda:
T = m . ay + P
Ejemplo 1:
En el sistema de la figura, la fuerza aplicada a la cuerda AB es 60 N. El cuerpo tiene
una masa de 5 kg. Considerando que el módulo de la aceleración de la gravedad es 10
m/s2 y despreciando el rozamiento, determinar:
a) El módulo de la fuerza de vínculo ( Normal ).
b) El módulo de la aceleración del cuerpo puntual.-
Solución:
Hacemos el diagrama de cuerpo libre y descomponemos
la fuerza F. Aplicando el segundo principio de Newton nos
queda:
r
r
ΣF = m . a
En el eje X:
ΣFx = m . ax
Fx = m . ax
F. cos α = m . ax
F . cosα 60
ax =
=
m
Kg . m
. cos 37º
m
s2
= 9,6 2
5 Kg
s
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Dinámica
En el eje Y:
ΣFy = m . ay
N- P + Fy = m . ay
N- P + F. sen α = m . ay
Pero como en el eje y la aceleración es cero nos queda:
N- P + F. sen α = 0
N = P - F . sen α
N = m . g - F . sen α = 5 Kg . 10
m
- 60 N . sen 37º = 14 N
s2
Ejemplo 2:
Dos cuerpos m1 = 30 kg. y m2 = 10 kg. vinculados por una cuerda inextensible y de
masa despreciable parten del reposo. Calcular:
a) El módulo de la aceleración de cada cuerpo puntual.
r
2
b) La fuerza en la cuerda. Se desprecia el rozamiento. Considerar ⏐ g ⏐= 10 m/s
Como la soga es inextensible, la aceleración de los dos
cuerpos es la misma, y como su masa es despreciable,
no tiene inercia y por lo tanto no es necesaria una fuerza
resultante en la dirección del movimiento para
acelerarla. Esto significa que la tensión en ambos
extremos de la soga es igual.
Para resolver este problema donde hay mas de un
cuerpo, debemos plantear un diagrama de cuerpo libre
para cada cuerpo pero, como el sistema de referencias
lo elegimos como queremos, haremos que el eje X
coincida con la dirección del movimiento de cada
cuerpo. Por esta razón el eje X para el cuerpo uno es
horizontal y se dirige hacia la derecha y en el cuerpo dos
es vertical y se dirige hacia abajo.
Ahora aplicamos el segundo principio de Newton para
cada diagrama:
Cuerpo m1:
r
r
ΣF = m . a
Eje X:
Eje Y:
T = m1 . ax (1)
N- P1 = m1 . ay = 0
Cuerpo m2:
N = P1
r
r
ΣF = m . a
Eje X:
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58
Dinámica
P2 - T = m2 . ax (2)
Si sumamos miembro a miembro la ecuación (1) con la
(2) se eliminan las tensiones:
+
T = m1 . ax
P2 - T = m2 . ax
P2 = ax . (m1 + m2 )
Despejando la aceleración obtenemos:
m
P2
m2 . g 10 Kg . 10 s2
m
ax =
=
=
= 2,5 2
m1 + m2 m1 + m2 30 Kg+10 Kg
s
c- Fuerzas de rozamiento:
Todos conocemos el hecho de que cuando un móvil
se desplaza en la tierra, sobre él actúan fuerzas que se le oponen y que son ejercidas por
el medio ( aire, superficie de apoyo, etc., que interactúa con el cuerpo. Estas fuerzas se
conocen con el nombre de fuerzas de rozamiento.
Podemos clasificar estas fuerzas en dos grandes
grupos:
1- Fuerzas de rozamiento viscoso:
Estas fuerzas aparecen cuando un cuerpo se
desplaza a través de un fluido ( Líquido o gas ), como consecuencia de la interacción de
el cuerpo con el fluido.
El valor de la fuerza depende de múltiples factores
entre los que se encuentran: Las características del fluido, la forma del cuerpo, la
velocidad con que se desplaza (cuanto mayor sea ésta mayor es la fuerza de
rozamiento).
Como nosotros estamos estudiando la dinámica del
punto móvil, no tenemos en cuenta la forma del cuerpo y, por lo tanto, esta fuerza de
rozamiento no será estudiada en éste curso.
2- Fuerza de rozamiento por deslizamiento:
Esta fuerza aparece siempre que un cuerpo
que esta apoyado en una superficie se intenta poner en movimiento o esta moviéndose.
Aparece como consecuencia de la interacción del cuerpo con la superficie de apoyo.
Experimentalmente se puede observar:
• Este rozamiento se debe rugosidades propias de las superficies de contacto y a la
adherencia entre ellas. Este hecho se verifica claramente porque cuanto mejor pulidas
estén las superficies, menor es la fuerza.
• La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento, tiene la misma dirección que
el desplazamiento pero esta dirigido en sentido contrario.
• No es necesario que haya movimiento para que la fuerza de rozamiento actúe.
A través del siguiente experimento podemos determinar de que depende la fuerza
de rozamiento y encontrar una expresión para calcularla.
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59
Dinámica
Colocamos un bloque de madera sobre un plano horizontal y tiramos de él
mediante una soguita que pasa por una polea y en cuyo extremo se encuentra
suspendido un platillo que podremos cargar con pesas, como indica la figura.
1- Cargamos el platillo con una pequeña
pesa, sin embargo el bloque no se
mueve. Esto significa que la fuerza
aplicada es equilibrada por la de
rozamiento, pues:
ax = 0 ⇒ ΣFx = 0
T - fr = 0 ⇒ T = fr
Conclusión: Si no hay aceleración la
fuerza de rozamiento es igual a la fuerza
aplicada.
2- Comenzamos a colocar en el platillo pesas de manera que la fuerza aplicada sobre el
bloque aumente lentamente. Llega un momento límite para el cual, si agregamos una
pesa más, el bloque comenzará a acelerarse, esto significa que:
T >fr.
T - fr = m . ax
Una vez en movimiento, se observa que para que el bloque se mueva con velocidad
constante hay que quitar algo de peso en el platillo, hasta que nuevamente:
Ahora el bloque se moverá por inercia.
T = fr
Conclusiones:
• Llamaremos rozamiento estático a la fuerza de rozamiento que existe entre dos
superficies en reposo una respecto de la otra. Puede tomar cualquier valor entre cero y
una máximo.
• La fuerza máxima de rozamiento estático es igual a la fuerza mínima necesaria para
poner en movimiento al cuerpo.
• Se llama fuerza de rozamiento cinético a la fuerza necesaria para mantener el
movimiento una vez iniciado.
3- Si el bloque se apoya sobre otra cara que tenga distinto tamaño, se obtienen los
mismos resultados. Pero si colocamos sobre el bloque un peso adicional o cambiamos las
características de las superficies de contacto, ( Por ejemplo, le pegamos papel de lija a la
cara del bloque que esta en contacto con la mesa ) se observa que el valor de la fuerza
de rozamiento cambia.
Si el peso del bloque se duplica la fuerza de rozamiento también, si se triplica el peso
del bloque, lo mismo sucede con la fuerza de rozamiento, y así sucesivamente.
Conclusiones:
• La fuerza de rozamiento, depende de las características de las superficies de contacto.
• La fuerza de rozamiento es directamente proporcional a la fuerza de interacción entre
las superficies, es decir, es directamente proporcional a la normal.
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60
Dinámica
Cálculo de la fuerza de rozamiento:
Fuerza de rozamiento estático máxima:
La fuerza de rozamiento estático máxima, es
directamente proporcional a la normal, siendo la constante de proporcionalidad una
magnitud que depende de las características físicas de las superficies de contacto y que
se denomina: Coeficiente de rozamiento estático y se indica con el siguiente símbolo: μe.
μe =
fr emáx
N
⇒
fr emáx = μ e . N
Fuerza de rozamiento cinético:
La fuerza de rozamiento cinético, es
directamente proporcional a la normal, siendo la constante de proporcionalidad una
magnitud que depende de las características físicas de las superficies de contacto y que
se denomina: Coeficiente de rozamiento cinético y se indica con el siguiente símbolo: μc.
μc =
fr c
N
⇒
fr c = μ c . N
Importante:
Los coeficientes de rozamiento son adimensionales, es decir, no tienen
unidades y siempre:
μe > μc
Ejemplo 3:
Un bloque de masa m1 = 30 kg. está apoyado sobre un plano inclinado que
forma un ángulo de 30º con la horizontal y está unido mediante un hilo inextensible y sin
masa, que pasa por una polea sin fricción y de masa despreciable, a un segundo bloque
de masa m2 =50 kg. que cuelga verticalmente. Si el coeficiente de rozamiento cinético
entre m1 y el plano es μc = 0,4, Calcular:
a) La aceleración de cada bloque.
b) La tensión en la cuerda que vincula ambos bloques.
Solución:
La primera cuestión a resolver en éste problema, es saber para que lado se
mueve el sistema y luego determinar, si es que se mueve ( podía no moverse si la fuerza
de rozamiento no lo permitiera ), con que aceleración lo hace.
Por este motivo, debemos primero plantear las ecuaciones sin tener en
cuenta el rozamiento. De esta manera determinaremos para que lado se desplazan los
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61
Dinámica
cuerpos y entonces sabremos para que lado actúa la fuerza de rozamiento. ( Siempre en
sentido contrario al del movimiento ).
Realizamos los diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo
sin tener en cuenta el rozamiento y aplicamos el segundo
principio a cada componente:
Cuerpo m1
Eje Y:
ΣFy = m . ay
N- P1y = m1 . ay
N- P1. cos α = m1 . ay
N- m1 . g . cos α = m1 . ay
Teniendo en cuenta que la aceleración en Y es cero
nos queda:
N- m1 . g . cos α = 0
N = m1 . g . cos 30º
N = 30Kg . 10
Eje X:
m
. cos 30º = 259,8 N
s2
Cuerpo m2:
Eje X:
ΣFx = m . ax
T - P1x = m1 . ax
T - P1. sen α = m1 . ax
ΣFx = m . ax
P2 - T = m2 . ax (2)
(1)
T - m1 . g . sen α = m1 . ax
m2 . g - T = m2 . ax
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2), tenemos:
+
T - m1 . g . sen α = m1 . ax
m2 . g- T = m2 . ax
m2 . g - m1 . g . sen α = a .(m1 + m2 )
Despejando a y sacando factor común g nos queda:
g . (m2 - m1 . senα )
=
ax =
m1 + m2
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10
m
s2
. ( 50 Kg - 30 Kg . sen 30º )
30 Kg + 50 Kg
= 4,375
m
s2
62
Dinámica
Como la aceleración en el eje X nos da con signo positivo, significa que el sistema se
mueve en el sentido creciente del sistema de referencias. Por lo tanto, la fuerza de
rozamiento se dirige en sentido contrario.
Ahora planteamos nuevamente la ecuación en X para
la masa m1 pero teniendo en cuenta la fuerza de
rozamiento:
T - P1x - fr = m1 . ax
T - P1. sen α - μ .N = m1 . ax
(1*)
T - m1 . g . sen α - μ .N = m1 . ax
Sumando miembro a miembro las ecuaciones (1*) y (2),
tenemos:
+
T - m1 . g . sen α - μ . N = m1 . ax
m2 . g- T = m2 . ax
m2 . g - m1 . g . sen α - μ . N = a .(m1 + m2 )
Despejando a y teniendo en cuenta el valor de la normal calculado, nos queda:
ax =
10
=
m
s
2
g . m2 - g . m1 . senα - μ . N
=
m1 + m2
. 50 Kg - 10
m
. 30 Kg . sen 30º- 0,4 .259,8 N
m
s2
= 3,1
30 Kg + 50 Kg
s2
La aceleración es positiva por lo tanto el sistema se mueve en el sentido creciente
del sistema de referencias, pero lógicamente, la aceleración es menor que sin
rozamiento. Si la aceleración nos hubiera dado negativa, indicaría que el sistema estaba
en reposo pues el rozamiento no puede producir movimiento.
Calculamos ahora en valor de la tensión despejando de la ecuación (2):
m2 . g - T = m2 . ax
m
m
- 3,1 ) = 346,2 N
T = m2 . g - m2 . a x = m2 . ( g - a x ) = 50 Kg. ( 10
2
s2
s
d- Fuerzas Elásticas:
Las fuerzas elásticas son aquellas que aplican los cuerpos
elásticos al ser desformados, por ejemplo un resorte al comprimirse o estirarse o un cuerpo
de goma etc.
Experimentalmente se observa que, para un resorte, la fuerza
que aplica al interactuar con un cuerpo, es directamente proporcional a su estiramiento
o compresión, siendo la constante de proporcionalidad una magnitud que depende de
las características físicas y geométricas del resorte y que se denomina constante elástica
del resorte ( k ). Esta fuerza elástica está siempre dirigida en sentido contrario al
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63
Dinámica
desplazamiento sufrido por el cuerpo que comprime o estira al resorte. Por esta razón, la
expresión vectorial de su valor es:
r
ˆ - k . Δx ˆi
F = k . Δ x (-i)=
Para el cálculo de su módulo
r
F = k . Δx
e- Fuerzas inerciales:
Imaginemos el interior del vagón de un tren que no tiene
ventanillas. Dentro de el hay una mesa, una pelota de tenis sobre ella, una silla y un
hombre sentado, como indica la figura.
Si el vagón acelera, nosotros veremos
claramente desde afuera que el hombre se
acelera hacia la pelota que, si consideramos
que no tiene rozamiento contra la mesa,
continua con velocidad constante.
¿ Pero qué observa el hombre ?
Como se encuentra en el interior del vagón,
verá que la pelotita se acelera hacia él. Pero
como conoce el segundo principio de
Newton, el hombre razona que debe haber
una fuerza sobre la pelota aplicada en su
dirección. Sin embargo, por mas que busca,
no encuentra ningún cuerpo que esté
interactuando con la pelota para aplicarle
dicha fuerza, cuerpo que debería existir si
tenemos en cuenta el principio de acción y
reacción.
En éste momento el hombre desespera pues
ve que los principios de Newton que con
tanto esfuerzo aprendió no se cumplen.
Entonces, decide inventar una fuerza que,
aunque no sabe de donde proviene, actúa
sobre la pelotita y la hace acelerar. A esta
fuerza se la denomina fuerza inercial o
pseudo fuerza.
El problema surge porque el sistema de referencias que utiliza el hombre está acelerado y
el no lo sabe. ( Si algún alumno ha asistido alguna vez en un parque de diversiones a la
casa encantada, habrá observado fenómenos de este tipo, debido a que el piso, las
paredes y todos los objetos en el interior de la casa se encuentran inclinados 45º. De esta
manera nos perdemos de la vertical y la aceleración de la gravedad actúa en una
dirección para nosotros desconocida haciendo que observemos fenómenos que
aparentemente desafían las leyes de Newton.)
Los sistemas de referencias que se encuentran en reposo o en MRU, se denominan
inerciales; los que se encuentran acelerados se denominan no inerciales.
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64
Dinámica
Definición:
Se denominan fuerzas inerciales o pseudo fuerzas a aquellas que hay que
inventar en un sistema de referencias que se encuentra acelerado ( no inercial ) para que
en él se cumpla el principio de masa:
r
r
Finercial = m . a
f- Fuerzas centrípeta y centrífuga:
Fuerza centrípeta:
Si observamos desde un sistema de referencias inercial a un cuerpo girando
con una movimiento circular, veremos la acción de una fuerza que es la responsable de
la aceleración centrípeta. Su módulo se calcula como el producto de la masa por el
módulo de la aceleración centrípeta y por supuesto, al igual que ésta, está dirigida hacia
el centro de la trayectoria.
r
r
Fc = m . a c
r
r
v2
Fc = m .
r
Es importante destacar que esta clasificación es, en esencia, distinta a las
anteriores, ya que en las fuerzas: normal, tensión, rozamiento y elástica, hacíamos
referencia a las causas que las producían, mientras que en la centrípeta hacemos
referencia a la consecuencia que la fuerza produce. Esto significa que la fuerza
centrípeta, puede ser ejercida por una tensión, una normal, una fuerza de rozamiento,
una fuerza elástica o cualquier otra interacción.
Fuerza centrífuga:
El término fuerza centrífuga es mucho más común para nosotros que el de
fuerza centrípeta, pero ¿ Qué es la fuerza centrífuga ? Como hemos visto, desde un
sistema de referencias ubicado fuera del conjunto en rotación, es claramente observable
la acción de la fuerza centrípeta que obliga al móvil a curvar su trayectoria haciéndolo
describir un movimiento circular. Pero si el sistema de referencias se ubica sobre el
conjunto en rotación, las cosas ya no son tan claras porque se trata de un sistema de
referencias no inercial, pues está acelerado.
Imaginemos que nos encontramos dentro del tambor de un lavarropas
gigante y que alguien enciende en la posición de centrifugado. El cilindro comienza a
girar velozmente y nosotros sentimos que “una fuerza” nos presiona contra la pared
interior del tambor. Por mas que intentamos separarnos de ella, no podemos hacerlo.
Conociendo los principios de Newton, buscamos al cuerpo que interactúa con nosotros
empujándonos hacia el exterior, sin embargo no lo encontramos. Pero según el principio
de masa, si somos acelerados hacia afuera, debe haber una fuerza que lo haga.
Llegados a este punto decimos que aunque no vemos la causa, existe una fuerza que nos
impulsa a la que denominamos fuerza centrífuga.
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65
Dinámica
Si tenemos en cuenta lo estudiado anteriormente nos daremos cuenta de
lo que sucede.
La fuerza centrífuga es una fuerza inercial o pseudo fuerza. Ella solo existe
para el observador ubicado dentro del sistema en rotación. Un observador exterior verá
claramente la acción de la fuerza centrípeta. Desde ya que el valor de la fuerza
centrífuga es el mismo que el de la centrípeta pero su sentido es contrario.
Es importante tener en claro que la fuerza centrífuga no es la reacción de
la centrípeta. En el caso del tambor de lavarropas, si se observa desde un sistema de
referencias inercial exterior, se ve claramente la interacción entre la pared del tambor y el
hombre. La pared aplica una fuerza sobre el hombre hacia el centro del cilindro ( acción )
y el hombre aplica otra fuerza sobre la pared dirigida hacia afuera, ( reacción ).
Desde el sistema de referencias ubicado en el interior del tambor el hombre
afirma que “sobre él” ( no sobre la pared ), actúa una fuerza que lo empuja hacia afuera
(fuerza inercial).
g- Fuerzas Gravitatorias: Ley de gravitación universal.
La gran pregunta de la mecánica es ¿ Por qué se mueven loas cosas ? y la
respuesta parece estar en los principios de Newton. Sin embargo todavía no está todo
dicho.
Desde la antigüedad, los hombres se preguntaron acerca del
movimiento de los astros. Ptolomeo (S II DC), había adoptado las ideas de Aristóteles,
quien afirmaba que la tierra era el centro del universo y que todos los astros giraban
alrededor de ella según esferas de cristal concéntricas con la tierra. Aristóteles había
agregado a esto, que la materia con que estaban constituido los astros era distinta a la
materia de los objetos en la tierra y entonces las clasifico en “materia celeste” y “materia
terrestre”, respectivamente.
La materia terrestre necesitaba para moverse de una fuerza que la
impulsara constantemente, mientras que la materia celeste, se impulsaba por si misma y
por ésta razón los cuerpos celestes se movían solos en el firmamento.
Como sabemos, esta teoría tenía varios problemas:
• Algunos astros como la luna, se mantenían siempre a la misma distancia de la tierra y
otros como el sol, parecían alejarse y acercarse periódicamente.
• La mayoría de las estrellas parecían cumplir con la ley de las esferas de cristal, pero
existían algunos astros como mercurio, Venus, Marte y Júpiter que se movían
caprichosamente en el espacio sin seguir ninguna ley sencilla. A estos se los denominó
“planetas” que en griego significa errantes o vagabundos.
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66
Dinámica
Como hemos visto, en el siglo XVI, muchos pensadores dudaban ya del
sistema de Ptolomeo y algunos como Copérnico, se habían animado a cambiar,
colocando al sol como el centro del sistema solar y afirmando que la tierra era un planeta
más que giraba alrededor del sol según circunferencias concéntricas con él.
Posteriormente, Kepler, haciendo observaciones muy precisas, cambia la
idea de órbitas circulares por órbitas elípticas y fundamenta que la luna sí se encuentra
girando alrededor de la tierra. Galileo, coincide totalmente y utilizando su telescopio,
descubre las lunas de Júpiter, que confirman las ideas de planetas y lunas girando
alrededor de ellos.
Pero faltaba una ley que explicara todos estos movimientos y unificara la
mecánica.
Fue Isaac Newton quien logró esta ley fabulosa, conocida hoy como ley de
gravitación universal.
Newton no creía que la materia celeste fuera distinta que la terrestre y se le
ocurrió que la misma fuerza que hacía caer una manzana a la tierra era la responsable
de que la luna curvara su trayectoria haciéndola girar alrededor de la tierra en un
movimiento de caída constante. En ésta idea se puso a trabajar utilizando las
observaciones de Kepler y Galileo.
Luego de una labor soberbia de análisis de datos, compaginación e
intuición física concluyó que:
a- Los cuerpos se atraen por el solo hecho de poseer masa.
b- Esta fuerza de atracción solo se hace notar cuando al menos uno de los
cuerpos que interactúan es enormemente grande, como un planeta.
c- No es necesario que los cuerpos estén en contacto para que esta fuerza
actúe, es decir, es una fuerza de interacción a distancia.
Ley de gravitación:
“La fuerza de atracción entre dos cuerpos, tiene una dirección que
coincide con la recta que los une y su módulo es directamente proporcional al producto
de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa”.
r
m .m
F = G⋅ 1 2 2
r
La constante de proporcionalidad G entre las magnitudes depende del
sistema de unidades adoptado y se conoce con el nombre de constante de gravitación
universal. Su valor en el sistema internacional es:
G = 6,67 × 10-11
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N . m2
Kg2
67
Dinámica
Ejemplo 4:
Calcular el radio de la órbita de la luna teniendo en cuenta que la masa
de la tierra es 5,98x1024 Kg.
Solución:
Observemos que la fuerza de gravitación sobre la luna en este caso, actúa
como centrípeta, pues es la encargada de que la luna no continúe con MRU y curve su
trayectoria girando alrededor de la tierra.
Aplicamos para el cálculo de F, la ley de
gravitación universal y el segundo
principio de Newton:
m T . mL
⎧r
⋅
F
=
G
⎪
r2
⎪
⎨
r2
v
⎪r
r
⎪ F = m L . a c = mL .
r
⎩
Como se trata de la misma fuerza
podemos igualar las ecuaciones, cancelar
la masa de la luna y despejar el radio de
la órbita:
r2
v
m T . mL
= mL .
G⋅
r
r2
G⋅
r2
mT
=v
r
m
r = G ⋅ r T2
v
La velocidad de traslación de la luna puede calcularse teniendo en cuenta el período de
rotación que es de 28 días ( 2.419.200 s.):
r 2.π.r
v=
T
mT
mT . T2
mT . T2
3
3 G⋅
r = G⋅
⇒
r
=
G
⋅
⇒
r
=
4. π 2 .r 2
4. π 2
4. π 2
T2
2
5,98 × 1024 Kg . (2419200s)2
-11 N. m
3
r = 6,67 × 10
⋅
= 389586240m
2
4.3,142
Kg
r = 389586 Km
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68
Dinámica
Masa gravitatoria y masa inerte
Por ultimo, me gustaría destacar un hecho muy importante. Para un cuerpo existen
dos tipos de masa:
• La masa inerte, que según el principio de inercia se obtiene como el cociente entre la
fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración que adquiere. Justamente se llama
inerte porque mide la inercia del cuerpo.
• La masa gravitatoria, que según la ley de gravitación universal es proporcional a la
fuerza con que un cuerpo atrae a otro.
Estas masas podrían no haber tenido nada que ver una con la otra, pues, según la
mecánica clásica, no existe razón para que estén relacionadas. Sin embargo son
proporcionales y, si se elige adecuadamente el valor de la constante de gravitación,
cosa que se hizo, serán numéricamente iguales.
Conclusión:
El valor de la constante de gravitación universal fue elegido específicamente para
que la masa gravitatoria sea numéricamente igual a la masa inerte.
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69
Dinámica
Problemas de Dinámica
59.-Calcular la aceleración que producirá una fuerza horizontal neta de 9,6 kgf aplicada
a un bulto de 45,4 kg., colocado sobre una superficie horizontal, sin rozamiento.
2
Considerar g= 10 m/s
2
Resp: 2,11 m/s
60.-Una persona de masa m= 72,6 kg. se apoya sobre la pared posterior de un colectivo. Si
éste acelera a 0,97 m/s2, calcular la fuerza que ejerce la pared sobre la persona.Resp: 70,422 N
61.-Un móvil de masa 2450 kg. que se mueve a 72 km/h se detiene, por acción de una
fuerza constante, en 40 s. Calcular la intensidad de la fuerza.Resp: 1225 N
62.- Un futbolista da un puntapié a una pelota cuya masa es de 0,91 kg. y le imprime una
velocidad de 12,2 m/s. La fuerza entre el pie y la pelota actúa durante una décima de
segundo. Calcular la aceleración media, la fuerza media ejercida sobre la pelota y la
fuerza media que la pelota ejerce sobre el pie.2
Resp: 122 m/s , 111,02 N , 111,02 N
63.- Se lanza un bloque hacia arriba sobre un plano inclinado, sin rozamiento, con
velocidad inicial v0. El ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal es θ. Calcular:
a) ¿Cuánto ascenderá el bloque sobre el plano?
b) ¿Cuál será la velocidad del bloque cuando regrese al punto de partida?
c) Resuelva el problema numéricamente para los siguientes valores: v0 =5m/s θ = 30º
2
Considere que el módulo de la aceleración de la gravedad es 10 m/s .Resp: 2,5 m , 5 m/s
64.- Un cuerpo de 10 kg. se desliza sobre un plano inclinado de 10 m de longitud y 0,6 m
de altura. Suponiendo que el rozamiento entre el cuerpo y el plano es nulo, calcular:
a) El módulo de la aceleración.
b) El tiempo que tarda el móvil en recorrer el plano inclinado si parte del reposo.
2
Considere que el módulo de la aceleración de la gravedad es 10m/s .2
Resp: 0,6 m/s , 5,77 s
65.-Un hombre de masa 80 kg. está parado sobre patines. En un instante dado, ejerce una
fuerza horizontal de 250 N sobre una vagoneta de ferrocarril que pesa media tonelada.
Suponiendo que la fuerza de rozamiento entre el hombre y el piso y entre la vagoneta y el
riel es despreciable, indicar:
a) La fuerza horizontal que actúa sobre el hombre.
b) La aceleración que adquiere la vagoneta en ese instante.
c) La aceleración que adquiere el hombre en ese instante.
d) El tipo de movimiento que realizan el hombre y la vagoneta después de perder
contacto.2
2
Resp: 250 N , 0,5 m/s , 3,12 m/s , MRU
66.-¿Puede una persona impulsar un bote a vela fijando un ventilador en el vote frente a
la vela?
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70
Dinámica
67.-Un caballo se resiste a tirar de sus carro, alegando en su defensa la tercera Ley de
Newton: "La Fuerza que ejerce el caballo sobre el carro es igual y de sentido opuesto a la
fuerza que ejerce el carro sobre el caballo". Por lo tanto, razona el caballo si yo nunca
puedo ejercer sobre el carro una fuerza mayor que la que él ejerce sobre mí, y dado que
la masa del carro es del mismo orden de magnitud que la mía ¿cómo podré poner en
movimiento el carro?
¿Puede usted convencer al caballo de lo contrario?
68.-Una persona que pesa 80 kgf, parada sobre patines, intenta empujar un mueble que
pesa, también, 80 kgf. Analice qué sucede.69.- Un cuerpo de masa m= 10 kg. está apoyado sobre una superficie horizontal, sin
rozamiento. Una persona tira de una soga inextensible fija al bloque en dirección
horizontal, con una fuerza de 20 N.
a) Analizar cuáles son los pares de acción y reacción en las interacciones de la mano con
la soga, la soga con el bloque, el bloque con la tierra y con el plano sobre el que está
apoyado.
b) Calcular la aceleración del bloque, suponiendo despreciable la masa de la soga.-
Resp: 2 m/s2
70.-En el sistema de la figura, la fuerza aplicada a la cuerda AB es 40 N. El cuerpo pesa 50
2
N. Considerando que el módulo de la aceleración de la gravedad es 10 m/s
y
despreciando el rozamiento, determinar:
a) El módulo de la fuerza de vínculo (reacción del plano).
b) El módulo de la aceleración del cuerpo puntual.-
Resp: 26 N , 6,4 m/s2
71.- Un cuerpo de masa m= 60 kg. está apoyado sobre un plano inclinado, formando un
ángulo de 37º, como muestra la figura. La intensidad de la fuerza f que ejerce la soga AB
es de 500 N. Calcular el módulo de la aceleración del bloque y el valor de la normal.
2
Considere que el módulo de la aceleración de la gravedad es de 10 m/s y que no hay
rozamiento.
Resp: 0,67 m/s2 , 180 N
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71
Dinámica
72.- Una masa de 100 g se cuelga de un hilo de masa despreciable. De la parte inferior de
ella se cuelga otra masa de 200 g, por medio de un segundo hilo, también de masa
despreciable.
Encuentre las fuerzas ejercidas por ambos hilos en los siguientes casos:
a) La masas permanecen en reposo.
2
b) Las masas se desplazan hacia arriba con aceleración de módulo 1 m/s .
c) Las masas se dejan caer libremente.
Resp: 2N , 3N , 3,3 N , 2,2 N , 0 , 0
73.-Dos bloques están en contacto como se muestran en la figura, sobre la masa. Se
aplica una fuerza horizontal constante de 3N. Si m1= 2 kg. y m2 = 1 kg., calcular,
despreciando el rozamiento:
a) La aceleración que adquiere el sistema.
b) La fuerza de interacción entre ambos cuerpos.-
Resp: 1 m/s2 ,
1N
74.-Una caja que pesa 200N es arrastrada con una cuerda que forma un ángulo θ con la
horizontal, según muestra la figura. Si la caja se encuentra inicialmente en reposo, calcular
la fuerza mínima para ponerla en movimiento. Resolver el problema para θ = 30º y θ= 0º. El
coeficiente de rozamiento estático entre la caja y el suelo es 0,6.-
Resp: 102,9 N , 120 N
75.-Las masas A y B de la figura son respectivamente de 10 kg. y 5 kg. El coeficiente de
fricción estática entre el bloque A y la mesa es 0,20 y el coeficiente de fricción
cinemáticos 0,1. El sistema se encuentra, inicialmente, en reposo.
a) Encontrar la masa mínima de C que evite el movimiento de A.
b) Calcular la aceleración del sistema si se quita el cuerpo C.
Resp: 15 kg. , 2,67 m/s2
76.- Un bloque se encuentra en reposo sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ
con la horizontal. Se encuentra experimentalmente que si se incrementa el ángulo de
inclinación , el bloque comienza a deslizarse a partir de un ángulo θ0. El coeficiente de
rozamiento estático es μe = 0,4. Calcular el ángulo θ0.
Resp: 21,8 º
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72
Dinámica
77.-Para ángulos superiores al calculado en el problema anterior el bloque desciende por
el plano inclinado aceleradamente. Si para θ= 30º es ⏐a⏐= 3 m/s2, calcular el coeficiente
de rozamiento cinemático.Resp: 0,23
78.- Un tren está formado por tres vagones de 15 toneladas de peso cada uno. El primero
de ellos actúa de máquina y ejerce una fuerza de tracción de 4.800 kgf. La fuerza de
rozamiento total sobe cada uno de los vagones es 100 kgf.
a) Dibuje todas las fuerzas que actúan sobre cada vagón, considerado como cuerpo
puntual. Aplique la segunda ley de Newton a cada vagón, eligiendo un sistema de
coordenadas cartesianas ortogonales en el cual el eje de las abscisas coincida con la
dirección de movimiento.
b) Calcule la aceleración del tren.
c) Calcule la fuerza en el acoplamiento entre el primero y el segundo vagón.
d) Calcule la fuerza entre el segundo y el tercer vagón.
Resp: 1 m/s2 , 32000 N , 16000 N
79.- Un bloque de masa m1 = 1 kg. está apoyado sobre un plano inclinado que forma un
ángulo de 30º con la horizontal y está unido mediante un hilo inextensible y sin masa, que
pasa por una polea sin fricción y de masa despreciable, a un segundo bloque de masa
m2=10 kg. que cuelga verticalmente. La fuerza de rozamiento entre el bloque de masa
m1 y el plano es despreciable. Calcular:
a) La aceleración de cada bloque.
b) La fuerza en la cuerda que vincula ambos bloques.
Resp: 8,64 m/s
2
, 13,6 N
80.- En el problema anterior, número 79, calcular las aceleración, suponiendo que el
coeficiente cinemático entre el bloque m1 y el plano es 0,3, en los siguientes casos:
a) m1 = 1 kg. ; m2 = 10 kg.
b) m1 = 10 kg. ; m2 = 1 kg.
2
2
Resp: 8,4 m/s , 1,27 m/s
81.-Dos cuerpos m1= 20 kg. y m2 = 5 kg. vinculados por una cuerda inextensible y de
masa despreciable parten del reposo. Calcular:
a) El módulo de la aceleración de cada cuerpo puntual.
2
b) La fuerza en la cuerda. Se desprecia el rozamiento. Considerar ⏐g⏐= 10 m/s
Resp: 2 m/s
2
, 40 N
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73
Dinámica
82.- Dos cuerpos 1 y 2 de masas 2 kg. y 6 kg. respectivamente están unidos por una
cuerda que pasa a través de una polea. Este dispositivo se llama máquina de Atwood.
Calcular:
a) El módulo de la aceleración de cada cuerpo.
b) La fuerza en la soga, si el sistema parte del reposo y se desprecia el peso de la cuerda.
2
Considerar ⏐g⏐= 10 m/s
Resp: 5 m/s
2
,
30 N
83.- Tres bloques están unidos como indica la figura. Las masas son m1 = 3kg, m2 = 22 kg.,
m3=10kg.
Se desprecian las masas de las cuerdas; el coeficiente de rozamiento cinemático entre el
cuerpo m2 y el plano es 0,1. Si el sistema parte del reposo, calcular:
a) El módulo de las fuerzas en cada una de las cuerdas.
b) El módulo de la aceleración de cada bloque.-
Resp:1,37 m/s
2
, 34,11 N , 86,3 N
84.- Determinar el módulo de la aceleración con que se mueven los cuerpos de la figura,
si el sistema parte del reposo y se desprecian la masa de la cuerda y el rozamiento.
Calcular el módulo de la fuerza que ejerce la cuerda. Resolver el problema
algebraicamente y aplicar la solución obtenida cuando m1 = 220 g ; m2 =180 g ; α = 30º ;β
2
= 60º y ⏐g⏐= 10 m/s .
Resp: 1,15 m/s
2
, 1,35 N
85.- Dado el plano inclinado de la figura, la masa m2 = 10 kg. baja 9 m en 3 s. Si el sistema
parte del reposo y se desprecian el rozamiento y la masa de la cuerda, hallar:
a) El módulo de la aceleración de cada cuerpo.
b) El valor de m1.
c) El módulo de la fuerza que ejerce la cuerda.
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74
Dinámica
2
Resp: 2 m/s , 10 kg. , 80 N
2
86.-Un hombre cuya masa es de 70 kg. está en un ascensor. Si consideramos ⏐g⏐= 10 m/s ,
indicar en cada uno de los siguientes casos, cuál es la fuerza que el piso del ascensor
ejerce sobre el hombre:
2
a) Cuando el ascensor sube con una aceleración constante de 2 m/s .
b) Cuando el ascensor está en reposo.
c) Cuando el ascensor sube con velocidad constante de 2m/s.
2
d) Cuando el ascensor baja con una aceleración constante de 2m/s .
e) Si se corta el cable.
En cada caso señalar qué fuerzas actúan sobre el hombre y los pares de interacción
correspondientes.
Resp: 840 N , 700 N , 700 N , 560 N , 0
87.- A un cuerpo "A" apoyado sobre una superficie horizontal sin rozamiento se le fija un
hilo inextensible que pasa por la garganta de una polea y soporta un platillo "B" en su otro
extremo, como indica la figura. Sobre el platillo se coloca un cuerpo "C". Las masas de "A"
; "B" y "C" son de 10 kg., 2 kg. y 3 kg. respectivamente. Calcular:
a) La aceleración de "A" cuando se suelta el sistema partiendo del reposo.
b) La fuerza en el hilo, supuesto de masa despreciable.
c) La fuerza de interacción (también llamada de contacto ) entre "B" y "C".
Resp: 3,33 m/s
2
, 33,3 m/s
2
, 20 N
88.- Una soga de masa despreciable soporta sin cortarse hasta una fuerza de 27,2 kgf. Se
ata a un bloque cuya masa es 14,5 kg. que reposa sobre una superficie horizontal.
Calcular la máxima aceleración que puede imprimirse al bloque mediante la soga sin que
se rompa la misma. No hay rozamiento.2
Resp: 18,8 m/s
89.- Dos cuerpos tienen m1 y m2 que suman 10 kg. Se los suspende en los extremos de la
cuerda de una máquina de Atwood, se deja libre el sistema y la aceleración de las masas
2
resulta ser 2m/s . Calcular las masas m1 y m2.
Resp: 4 kg. , 6 kg.
90.-Sobre un plano inclinado que forma un ángulo α con la horizontal, cuyo extremo más
alto está a la izquierda, reposa un cuerpo de masa m. Calcular la aceleración con que
debe moverse de izquierda a derecha el plano inclinado para que el cuerpo
permanezca en reposo respecto de él. El rozamiento es despreciable.Resp: a = g .tg α
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75
Dinámica
91.- La longitud de un resorte en equilibrio es 50 cm. Se lo mantiene vertical, fijo por uno de
sus extremos. Se suspende del otro extremo un cuerpo de 200 N, incrementando sus
longitud hasta 75 cm una vez alcanzado el equilibrio. Calcular la constante del resorte.Resp: 800 N/m
92.- Se tira de un carrito de masa 5 kg. a lo largo de una pista horizontal sin rozamiento,
mediante un resorte horizontal, con una aceleración constante de 4 m/s2. Se observa que
durante el movimiento, el resorte está respecto de su longitud natural alargado 10 cm. Se
dispone ahora el resorte verticalmente con sus extremo superior fijo y el carrito unido al
otro extremo.
a) Calcular la constante del resorte.
b) Si se aparta el resorte 10 cm de la posición de equilibrio y se lo suelta, calcular la
aceleración inicial del carrito. ( ⏐g⏐ = 10 m/s2).
c) Si la longitud natural del resorte es 70 cm, calcular su longitud una vez alcanzado el
equilibrio.
Resp: 200 N/m , 6 m/s2 , 95 cm
93.- Un carro como el que se indica en la figura tiene una masa de 500kg y se desplaza
con una velocidad de 50m/s. En un determinado instante acciona el freno, constituido
por un resorte de k=9000 N. que presiona una zapata de freno contra la superficie de
apoyo. Si en el momento de frenado el resorte esta comprimido 40 cm. y se detiene a los
10 s. Calcular:
a) Fuerza de rozamiento.
b) Coeficiente de rozamiento.
Resp:
2500 N
;
0,694
94.- Dos masas de 10 kg. están unidad a los extremos de una varilla rígida que mide 1 m.
Dicha varilla gira en un plano horizontal alrededor de un eje que pasa a 40 cm. de una de
las masas con una frecuencia de 2 1/s. Calcular la fuerza centrípeta que debe aplicar el
eje a través de la varilla sobre cada masa.
Resp:
631 N ;
946,5 N.
95.- Un niño hace girar un balde con 2 l. de agua según un plano vertical utilizando una
soga que mide 1 m. Calcular la mínima velocidad con que debe girar para que no se
caiga ¿Qué frecuencia corresponde a dicha velocidad?
Resp: 3,13 m/s ; 0,5 Hz.
96.- ¿Qué velocidad deberá tener un satélite de 500 kg. para que gire en una órbita a
24
200000 km. del centro de la tierra? (masa de la Tierra m = 5,98 . 10 kg.
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76
Dinámica
Resp:
1412 m/s = 5084 km/h.
97.- Una masa de 10 kg. está unida a un resorte de k=3000 N/m y gira alrededor de un
punto en el cual se encuentra fijo el otro extremo del resorte. Si la longitud inicial del
resorte es 0,8 m ¿A qué velocidad deberá girar para que se estire 20 cm?
Resp: 7,75 m/s.
98.- Un automóvil de 600 kg. debe tomar una curva que tiene un radio de 80 m. Si el
coeficiente de rozamiento entre piso y gomas es μe =0,8. Calcular la velocidad máxima
de giro.
Resp: 25 m/s = 90 km/h.
Problemas especiales:
D1. Considere dos péndulos cónicos diferentes. Sólo se ha medido, mientras ambos
funcionan, las distancias H1 y H2 que existen entre los centros de sus trayectorias y sus
respectivos puntos de soporte. Calcule el cociente τ2/τ1 de sus períodos. No se conocen ni
las longitudes de las cuerdas ni las masas. No se sabe en que planeta se realizó el
experimento.
D2. Sobre una mesa horizontal sin roce se encuentran dos masas idénticas de valor m y
un resorte de constante k y longitud natural l0 que las une. El conjunto se mueve de la
siguiente manera: las masas realizan un movimiento circular uniforme sobre la misma
circunferencia y el resorte mantiene una longitud constante l. Halle el período τ del
movimiento circular de las masas.
D3. Un forma de reflotar barcos hundidos es llenarlos con esferas macizas de poliestireno
de densidad mucho menor que la del agua.
Para estudiar este procedimiento, puede imaginar un esquema simplificado que consiste
en poner cierto número N de esferas de igual masa, me e igual volumen Ve debajo de un
bloque de acero macizo con forma de paralelepípedo.
Halle el número N de esferas mínimo necesario para reflotar el barco (es decir, que justo
comience a subir) con los siguientes datos:
Masa del barco, mb = 1 000 000 kg = 106 kg.
Densidad del acero, ρb = 8000 kg/m3, aproximadamente.
Masa de cada esfera, me = 2 kg.
Volumen de cada esfera, Ve = 0,025 m3.
Densidad del agua, ρagua = 1000 kg/m3.
(Tener en cuenta el principio de Arquímedes: Todo cuerpo sumergido en un líquido
experimenta una fuerza de abajo hacia arriba igual al peso del líquido desplazado.)
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77
Leyes de la conservación
Capítulo 3:
Leyes de la conservación
En este capítulo, trataremos varias magnitudes nuevas como el trabajo, la energía,
el impulso y la cantidad de movimiento, y fundamentalmente las leyes de la conservación
que tienen una importancia fundamental en el desarrollo de toda la física.
Trabajo de una fuerza
Esta magnitud aparece como consecuencia de la invención de la máquina de
vapor y permite relacionar la fuerza aplicada a un cuerpo con el desplazamiento sufrido
por el mismo.
Supongamos que sobre un cuerpo como el de la figura se aplica una fuerza
constante en módulo y dirección ( F ) a lo largo de un camino ( Δx ), desde el punto cero
del sistema de referencias hasta el punto uno.
Definición:
El trabajo de una fuerza constante es una magnitud escalar cuyo valor se
obtiene como el producto del módulo de la fuerza aplicada a un cuerpo, por el módulo
del desplazamiento que experimentó el mismo durante la acción de la fuerza y por el
coseno del ángulo formado por la dirección de la fuerza con la del desplazamiento.
L = F ⋅ Δx ⋅ cos α
Observaciones:
a) Si el ángulo α es 0º ≤ α < 90º, el coseno es positivo y por lo tanto el trabajo también lo
será, mas adelante veremos que esto significa que se le está entregando energía al
sistema.
b) Si el ángulo α = 90º, el coseno es cero y por lo tanto el trabajo también lo será, es decir,
cuando la fuerza que se aplica un cuerpo en normal a su desplazamiento, no realiza
trabajo.
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78
Leyes de la conservación
Mas adelante veremos que esto significa que no se modifica la energía del sistema.
c) Si el ángulo α es 90º < α ≤ 180º, el coseno es negativo y por lo tanto el trabajo también lo
será, también veremos que esto significa que se le está quitando energía al sistema.
Unidades:
Sistema técnico
Sistema MKS
[L] = [F].[x] = N.m = J ( Joule )
[L] = [F].[x] = kgf.m = kgm ( kilográmetro)
1J = 1
kg.m2
s2
Equivalencia:
Como lo único que se hizo fue multiplicar al kgf por m y al N por m, la
equivalencia entre kgm y J será la misma que entre kgf y N
1kgm = 9,8 J
Definición de trabajo para cualquier fuerza
Como digimos, la definición que hemos dado para el trabajo de una fuerza
es imperfecta ya que solo es válida para fuerzas constantes. Para calcular el trabajo a lo
largo de una trayectoria cualquiera realizado por un fuerza que puede variar, hay que
dividir la trayectoria en infinitos desplazamientos infinitamente pequeños, calcular los
infinitos trabajos en cada uno de ellos y por último sumarlos. Esto, en análisis matemático
es una integral. Por lo tanto la definición general de trabajo de una fuerza vendrá dada
por la integral de un producto escalar:
l2 r uur
L=∫ F ⋅ dl
l1
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79
Leyes de la conservación
Potencia
Desde luego que no es lo mismo realizar iguales trabajos en distintos
tiempos, por esta razón se hace necesario definir una magnitud que distinga un caso de
otro, esta es la potencia:
Definición:
La potencia es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene como el
cociente entre el trabajo realizado por una fuerza y el intervalo de tiempo empleado.
Pot =
L
Δt
Relación entre potencia y velocidad media:
Existe una sencilla relación entre la potencia desarrollada y la velocidad
media del cuerpo al que se le realiza el trabajo, veamos:
Pot =
L
F ⋅ Δx ⋅ cos α
=
Δt
Δt
Pero el cociente entre el desplazamiento y el tiempo no es otra cosa que la
velocidad media, por lo tanto:
Pot = F ⋅ vm ⋅ cos α
Unidades:
Sistema Técnico
[Pot ] = [L] = kgm
[t ] s
Sistema MKS
Pot =
L
t
=
1W = 1
J
= W (Watt)
s
kg ⋅ m2
s3
Equivalencias:
Es evidente que la equivalencia es la misma que para la unidad de fuerza y
la de trabajo pues lo único que se ha hecho es dividir por segundo.
1 kgm/s = 9,8 W
Otras unidades de potencia:
Existen otras unidades de potencia que no pertenecen a ninguno de los
sistemas anteriores, estas son el caballo vapor (CV) y el Caballo de fuerza (HP), Sus
equivalencias son:
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80
Leyes de la conservación
1 CV = 75 kgm/s = 735 W
1 HP = 76 kgm/s = 744,8 W
Ejemplo 1:
Sobre un cuerpo apoyado en una mesa horizontal se aplica una fuerza de
400 N en una dirección de 37º a lo largo de 20 m en 25 segundos. Calcular el trabajo
realizado y la potencia empleada.
Solución:
Aplicamos la definición de trabajo:
L = F ⋅ Δx ⋅ cos α = 400N ⋅ 20m ⋅ cos 37º = 6400 J
Calculamos ahora la potencia:
Pot =
L
Δt
=
6400 J
25 s
= 256 W
Teorema del trabajo y la energía
Supongamos que sobre el cuerpo de la figura, la fuerza F (que puede ser la
resultante de otras muchas fuerzas aplicadas), realiza un trabajo a lo largo de la
trayectoria Δx. Inicialmente, el cuerpo tenía una velocidad v0 y luego de realizado el
trabajo su velocidad es vf. Entre estas velocidades transcurrió un tiempo t .
El trabajo será:
L = F ⋅ Δx = m ⋅ a ⋅ Δx
Como se trata de un MRUV, podemos calcular la aceleración y el
desplazamiento de la siguiente manera:
a =
v f - v0
t
Δx = v0 ⋅ t +
1
2
⋅ a ⋅ t2
Ponemos la ecuación del desplazamiento en función de las velocidades
relacionando las dos ecuaciones:
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81
Leyes de la conservación
Δx = v0 ⋅ t +
Δx = v0 ⋅ t +
1
2
1
2
⋅
vf - v0
⋅ t 2/
t/
⋅ (vf - v0 ) ⋅ t
Aplicamos distributiva en el segundo término y simplificamos:
1
Δx = v0 ⋅ t +
Δx =
1
2
1
⋅ vf ⋅ t +
2
1
Δx =
1
⋅ vf ⋅ t -
2
⋅ v0 ⋅ t
⋅ v0 ⋅ t
2
⋅ t ⋅ ( vf + v0 )
2
Si ahora reemplazamos estas expresiones en el cálculo del trabajo nos
queda:
L = m ⋅ a ⋅ Δx = m ⋅
vf - v0
⋅
t/
1
2
⋅ t/ ⋅ ( vf + v0 )
Ordenando llegamos a una diferencia de cuadrados, por lo tanto:
L =
1
⋅ m ⋅ ( v f + v0 ) ⋅ ( v f - v 0 )
2
L =
1
2
⋅ m ⋅ ( v2f - v20 )
Si aplicamos nuevamente distributiva nos queda:
L =
1
2
⋅ m ⋅ v2f -
1
2
⋅ m ⋅ v20
Si analizamos esta expresión, notaremos su extraordinaria importancia, en efecto,
ella nos dice que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actuaron sobre un cuerpo
puede calcularse aunque se desconozca: cuales fueron estas, en que dirección actuaron
y a lo largo de que distancia fueron aplicadas. Solo es necesario conocer la masa del
cuerpo y sus estados de velocidad inicial y final. Este hecho nos indica que la expresión
1
2
⋅ m ⋅ v2 puede ser de mucha utilidad y nos indica, de alguna forma, un estado del
cuerpo. Por esta razón la llamaremos energía cinética ( Ec ) del cuerpo. Por lo tanto el
trabajo realizado por todas las fuerzas que actuaron sobre un cuerpo puede calcularse
como la diferencia entre las energías cinéticas inicial y final del mismo.
Conclusión:
El trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo o
sistema de cuerpos es igual a la variación de la energía cinética que el cuerpo o sistema
experimenta.
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82
Leyes de la conservación
L = Ec f - Ec 0
L = ΔEc
Energía cinética:
Es la energía que posee un cuerpo o un sistema de cuerpos por
encontrarse en movimiento respecto de un sistema de referencias y su valor se calcula
con la siguiente expresión:
Ec =
1
2
⋅ m ⋅ v2
Obsérvese que si un cuerpo disminuye su energía cinética significa que sobre el se
ha realizado un trabajo negativo, mientras que si la aumenta quiere decir que el trabajo
que realizaron sobre el fue positivo. Es decir, si el cuerpo realiza trabajo contra otros su
energía cinética disminuye mientras que si otros cuerpos realizan trabajo positivo sobre el
su energía cinética aumenta. De esta observación podemos llegar a una generalización
para el concepto de energía.
Energía
Diremos que la energía de un cuerpo o sistema de cuerpos es la capacidad que
tienen para realizar trabajo.
Esta definición es imperfecta pero nos alcanza para hacer una primera
aproximación al concepto de energía.
Además de la energía cinética existen otros tipos de energía, y están relacionadas
con algún tipo de trabajo, por ejemplo el trabajo de la fuerza peso dará origen a la
energía potencial gravitatoria y el trabajo de una fuerza elástica dará origen a la energía
potencial elástica.
Ejemplo 2:
Sobre un cuerpo de 20 kg. que se desplaza a una velocidad de 10 m/s
sobre una superficie horizontal se aplica una fuerza constante de 50N en la misma
dirección y sentido del desplazamiento a lo largo de 30 m . Calcular cuál es la velocidad
que alcanza.
Solución:
Este problema podría resolverse aplicando las leyes de la cinemática y la
segunda ecuación de Newton, sin embargo, la cosa se simplifica muchísimo si utilizamos el
teorema del trabajo y la energía:
L = Δ Ec
L = Ec f - Ec 0
F ⋅ Δx =
50N ⋅ 30m =
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1
2
1
2
⋅ m ⋅ v2f -
⋅ 20kg ⋅ v 2f -
1
2
1
2
⋅ m ⋅ v20
⋅ 20kg ⋅ 100
m2
s2
83
Leyes de la conservación
⋅
1500Nm + 1000kg
v2f =
10kg
m2
2
s2 = 250 m
s2
⋅
vf =
250
m
m2
= 15, 81
2
s
s
Energía potencial gravitatoria
Supongamos que un cuerpo se encuentra a una cierta altura h0 respecto de un
sistema de referencias dentro de el campo gravitatorio de la tierra y por acción de una
fuerza igual al peso pero de sentido contrario se lo desplaza hasta otra altura hf.
Calcularemos el trabajo realizado por esta fuerza.
LF = F ⋅ Δy ⋅ cos α
Teniendo en cuenta que, la fuerza F tiene el mismo módulo que el
peso, Δy es hf - h0 y el ángulo α = 0, podemos escribir:
LF = P ⋅ (hf - h0 ) ⋅ cos 0º
LF = P ⋅ (hf - h0 )
LF = m ⋅ g ⋅ (hf - h0 )
LF = m ⋅ g ⋅ hf - m ⋅ g ⋅ h0
Nuevamente nos encontramos con que el trabajo puede hallarse realizando la
diferencia entre dos expresiones correspondientes a los estados inicial y final del cuerpo
que en este caso tienen que ver con la posición. Por esta razón a cada uno de estos
términos los llamaremos energía potencial gravitatoria del cuerpo.
EPG = m ⋅ g ⋅ h
Esto significa que el trabajo realizado por la fuerza F para subir al cuerpo de masa
m con velocidad constante es igual a la variación de la energía potencial gravitatoria.
LF = ΔEPG
Por ultimo, teniendo en cuenta que el trabajo realizado por la fuerza F es igual al
realizado por la fuerza peso pero de signo contrario, podemos concluir que:
-LP = ΔEPG
La variación de la energía potencial gravitatoria es igual al trabajo de la fuerza
peso cambiado de signo.
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84
Leyes de la conservación
Conclusión:
La energía potencial gravitatoria es la que posee todo cuerpo que se
encuentra a una cierta altura respecto de un nivel de referencias dentro de un campo
gravitatorio. Obsérvese que el cero de energía potencial es arbitrario pues corresponde al
cero de altura. Para fines prácticos, suele asignarse altura cero al punto mas bajo por el
que el móvil pasa en el problema en cuestión.
El trabajo de la fuerza peso y la trayectoria:
Desplazamos un cuerpo desde el punto A hasta el punto B por dos caminos
distintos. Primero por el camino AB y luego por el camino ACB y calculamos en cada caso
el trabajo.
Camino AB:
L AB = P ⋅ AB ⋅ cos 0º
Camino ACB:
L AB = P ⋅ (hf - h0 )
L ACB = P ⋅ AC ⋅ cos 90º + P ⋅ CB ⋅ cos α
Pero cos 90º = 0 y cos α:
cos α =
AB
CB
Remplazando en el cálculo del trabajo:
L ACB = 0 + P ⋅ CB ⋅
Simplificando:
AB
CB
L ACB = P ⋅ AB
L ACB = P ⋅ (hf - h0 )
Como podemos ver el trabajo realizado por la fuerza peso es igual en ambos
casos y puede demostrarse, utilizando cálculo infinitesimal, que será el mismo para
cualquier camino siempre que el punto de partida sea el A y el de llegada el B.
En matemática, a las funciones que cumplen con esta propiedad se las llama
potenciales, y de aquí el nombre de energía potencial.
Cuando el trabajo que realiza una fuerza solo depende del punto de partida y del
de llegada sin importar la trayectoria, se dice que la fuerza es conservativa.
Particularmente nosotros estudiaremos dos tipos de fuerzas conservativas: La fuerza peso y
las fuerzas elásticas.
Energía potencial elástica
Cuando se comprime o se estira un resorte con velocidad constante, hay que
aplicarle una fuerza externa igual y contraria a la fuerza elástica. Esta fuerza hará trabajo
y entonces se acumulará energía en el resorte que podrá ser devuelta en forma de
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85
Leyes de la conservación
trabajo de la fuerza elástica cuando se deje el resorte en libertad. Para hallar la expresión
de la energía acumulada por el resorte, Calcularemos el trabajo de la fuerza externa.
Estiramos un resorte desde el punto A hasta el punto B.
Como sabemos, la fuerza elástica no permanece constante, por el contrario su
módulo crece en forma directamente proporcional al estiramiento del resorte. Si
consideramos que en el punto “A” el resorte se encuentra en posición de equilibrio el
módulo de la fuerza que hace viene dado por:
F = k⋅X
El trabajo entonces no puede calcularse como lo hacemos siempre. Sin embargo
sabemos que existe una fuerza media, cuando el resorte se encuentra en el medio del
segmento AB. Antes de este punto el resorte ejerce una fuerza menor y después una
mayor, pero siempre en forma proporcional. Esto nos permite asegurar que el trabajo
realizado por la fuerza media en el segmento AB será igual al realizado por la fuerza
elástica en el mismo trayecto pero de signo contrario.:
L = Fm ⋅ (XB - X A ) ⋅ cos 0º
La fuerza media la calcularemos con la posición media que es igual a:
Xm =
Por lo tanto:
XB + X A
2
Fm = k ⋅ Xm = k ⋅
Remplazando en la ecuación de trabajo:
L = k⋅
(XB + X A )
2
(XB + X A )
⋅ (XB - X A )
2
Observemos que tenemos una diferencia de cuadrados, por lo tanto:
L =
Aplicando distributiva:
L =
1
⋅ k ⋅ (XB2 - X 2A )
2
1
1
⋅ k ⋅ XB2 - ⋅ k ⋅ X 2A
2
2
Cada uno de estos términos representa un estado de energía del resorte que
llamaremos energía potencial elástica, pues como la gravitatoria tampoco depende de
la trayectoria seguida. Por lo tanto :
EPE =
1
⋅ k ⋅ X2
2
Si tenemos en cuenta como dijimos, que el trabajo realizado por la fuerza media
para estirar el resorte es igual al realizado por la fuerza elástica pero de signo contrario,
nos queda:
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86
Leyes de la conservación
-L FE = ΔEPE
En la mayoría de los casos prácticos haremos coincidir el valor de energía
potencial elástica cero con la posición en que el resorte no se encuentra estirado, por lo
tanto X será directamente el estiramiento ΔX del resorte.
Energía Mecánica
Se denomina energía mecánica de un cuerpo o de un sistema de cuerpos a la
suma de las energías cinética, potencial gravitatoria y potencial elástica del mismo.
Em = EC + EPG + EPE
Para que un cuerpo posea energía mecánica bastará con que tenga al menos
una de las tres que la conforman.
Principio de conservación de la energía mecánica
Cuando sobre un cuerpo o sistema de cuerpos solo realizan trabajo fuerzas
conservativas la energía mecánica del mismo permanece constante.
Es decir la energía mecánica será siempre la misma, podrá cambiar de cinética a
potencial pero la suma de todas siempre dará el mismo resultado.
ΔEm = 0
⇒
Em0 = Emf
Fuerzas no conservativas:
Se denominan fuerzas no conservativas a aquellas
que al realizar trabajo hacen que varíe la energía mecánica del sistema. Por ejemplo la
fuerza de rozamiento, que transforma la energía mecánica de un móvil en otro tipo de
energía llamada calor.
Cuando se empuja con la mano un carro que se encontraba detenido y se lo
pone en movimiento, la fuerza que aplicamos también es no conservativa, pues está
modificando la energía mecánica del carro. Estamos transformando la energía que tiene
nuestro cuerpo en movimiento del carro.
Es evidente entonces que el trabajo realizado por estas fuerzas será igual a la
variación que experimente la energía mecánica del sistema sobre el cuál han actuado:
L fnc = ΔEm
Ejemplo 3:
La longitud libre de un resorte es 60 cm y está comprimido de modo que su
longitud es 20 cm. Un cuerpo de masa m = 10kg está apoyado contra uno de los extremos
del resorte, estando fijo el otro extremo del mismo. Se libera el resorte y la masa recorre el
camino ABCD mostrado en el esquema. Si la constante del resorte es 20000 N/m y se
desprecian los rozamientos, calcular:
a- La velocidad en A
b- La energía cinética en B
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87
Leyes de la conservación
c- La altura que la masa alcanza sobre la rampa CD
d- Si se deja retornar el cuerpo por el mismo camino; ¿hasta dónde se comprimirá el
resorte?
e- Repetir el punto c) si en la rampa CD actúa una fuerza de rozamiento constante fr=
25N
Solución:
Como en las preguntas a, b, c y d se desprecia la acción de las fuerzas de
rozamiento y no hay ninguna otra fuerza no conservativa que realice trabajo, puesto que
la normal es perpendicular a la trayectoria en todo momento, podemos aplicar el
principio de conservación de la energía. Tomamos como altura cero el nivel del piso:
a- Cálculo de la velocidad en el punto A:
ΔEm = 0
⇒
Em0
= EmA
Cancelamos las energías inexistentes en cada punto y las potenciales
gravitatorias de cada miembro por ser iguales:
E/ C0 + E/ PG0 + EPE0 = ECA + E/ PGA + E/ PEA
Por lo tanto:
1
2
1
⋅ k ⋅ X 2 = ⋅ m ⋅ v 2A
2
k ⋅ X2
20000N/m ⋅ (0,4m) 2
=
= 17,89 m/s
m
10 kg
vA =
b- Cálculo de la energía cinética en b:
Nuevamente consideramos las energías entre el
punto inicial y el B:
E/ C0 + EPG0 + EPE0 = ECB + E/ PGB + E/ PEB
E mB =
EmB =
1
⋅ k ⋅ X 2 + m ⋅ g ⋅ h0
2
1
m
⋅ 20000N / m ⋅ ( 0, 4m)2 + 10 kg ⋅ 10 2 ⋅ 10 m = 2600 J
2
s
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88
Leyes de la conservación
c- Calculo de la altura sobre la rampa:
Cuando el cuerpo llega a la máxima altura toda la
energía mecánica se habrá transformado en potencial gravitatoria:
E/ C0 + EPG0 + EPE0 = E/ CD + EPGD + E/ PED
1
⋅ k ⋅ X 2 + m ⋅ g ⋅ h 0 = m ⋅ g ⋅ hDmax
2
1
⋅ k ⋅ X 2 + m ⋅ g ⋅ h0
hDmax = 2
=
m⋅g
m
1
⋅ 20000N/m ⋅ 0,16 m 2 + 10 kg ⋅ 10 2 ⋅ 10 m
s
= 26 m
=2
m
10 kg ⋅ 10 2
s
d- Como no hay trabajo de las fuerzas no conservativas el resorte se comprimirá hasta el
punto inicial y el movimiento comenzara nuevamente continuando eternamente.
e- Ahora calculamos la nueva altura pero considerando que la energía mecánica no se
conserva pues realiza trabajo la fuerza de rozamiento. Llamaremos d a la distancia
recorrida por el móvil sobre el plano:
L fnc = ΔE m
L fr = Emf - Em0
L fr = (E/ CD + EPGD + E/ PED ) - (E/ C0 + EPG0 + EPE0 )
1
fr ⋅ d ⋅ cos 180º = m ⋅ g ⋅ hDmax - ( ⋅ k ⋅ X 2 + m ⋅ g ⋅ h 0 )
2
Pero d está relacionado con hDmáx según la siguiente ecuación:
sen 30º =
Remplazando:
- fr ⋅
hDMax
d
⇒ d =
hDMax
sen 30º
hDMax
1
= m ⋅ g ⋅ hDmax - ( ⋅ k ⋅ X 2 + m ⋅ g ⋅ h 0 )
sen 30º
2
Agrupando y sacando factor común:
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89
Leyes de la conservación
hDmax
hD max
1
⋅ k ⋅ X 2 + m ⋅ g ⋅ h0
2
=
fr
m⋅g +
sen 30º
1
m
⋅ 20000N/m ⋅ 0,16m 2 + 10kg ⋅ 10 ⋅ 10m
s
=2
= 17,33 m
m 25N
10 kg ⋅ 10 +
s 0,5
Impulso y cantidad de movimiento
Sistema de cuerpos:
A lo largo de las explicaciones hemos utilizado
frecuentemente la palabra sistema de cuerpos, pongamos en claro que significa este
concepto: “Un sistema de cuerpos es un conjunto finito de objetos que se distinguen de
los demás para ser estudiados”.
Fuerzas interiores y exteriores:
Se denominan fuerzas interiores de un
sistema a aquellas que se ejercen entre los
cuerpos pertenecientes al sistema, mientras
que las fuerzas exteriores son las que aparecen
como consecuencia de la interacción entre
los cuerpos pertenecientes al sistema y los que
no pertenecen al mismo.
Por ejemplo, las fuerzas que se puedan
ejercer los cuerpos A, B y C entre si son
interiores mientras que las que el cuerpo D
pueda aplicar sobre ellos son exteriores:
Impulso de una fuerza constante
Así como hemos relacionado la fuerza aplicada a un cuerpo con el
desplazamiento a través de una magnitud que llamamos trabajo, ahora relacionaremos
la fuerza aplicada con el intervalo de tiempo que actuó. Esta relación da origen a una
magnitud vectorial denominada impulso de la fuerza. Como siempre, debido a nuestro
poco conocimiento de análisis matemático haremos una definición para una fuerza
constante.
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90
Leyes de la conservación
Definición:
El impulso de una fuerza constante es una magnitud vectorial que se
obtiene como el producto entre la fuerza aplicada y el intervalo de tiempo en que actuó.
r r
I = F ⋅ Δt
Es evidente que el vector impulso tiene la misma dirección y sentido que la fuerza
aplicada.
Unidades:
[rI ] = [Fr ]⋅ [t] = N ⋅ s = Kgs⋅ m
Impulso de cualquier fuerza:
Como ocurrió en el caso de la definición de trabajo, para definir
correctamente la magnitud impulso pàra cualquier fuerza, sea o no constante habrá que
dividir el intervalo de tiempo en infinitos intervalos infinitamente pequeños y calcular el
impulso para cada uno de ellos para luego sumarlos y obtener el impulso total. Entonces
será:
r t2 r
I =∫ F ⋅ dt
t1
Cantidad de movimiento
Así como de la definición de trabajo surgió el concepto de energía, de la
definición del impulso surgirá otra magnitud denominada cantidad de movimiento.
Supongamos que una fuerza constante actúa durante un cierto intervalo de
tiempo sobre un cuerpo, como indica la figura:
El cuerpo cambiará su velocidad desde un cierto estado que llamaremos inicial
hasta otro que llamaremos final. El impulso de esta fuerza vendrá dado por la siguiente
expresión:
r r
I = F ⋅ Δt
Pero de acuerdo con el segundo principio de Newton podemos escribir:
r
r
I = m ⋅ a ⋅ Δt
Aplicando cinemática para el cálculo de la aceleración nos queda:
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91
Leyes de la conservación
r r
r
r r
vf - v0
I =m⋅
⋅ Δt = m ⋅ (v f - v 0 )
Δt
Haciendo distributiva nos queda:
r
r
r
I = m ⋅ vf - m ⋅ v0
A cada término del segundo miembro de esta expresión se lo denomina
respectivamente cantidad de movimiento inicial y final del móvil.
Definición:
r
La cantidad de movimiento ( p ) de un móvil es una magnitud vectorial que
se obtiene como el producto de la masa del cuerpo por su velocidad.
r
r
p =m⋅v
Conclusión:
El impulso que una fuerza ejerce sobre un cuerpo puede calcularse como
la variación de la cantidad de movimiento que experimenta.
r r r
I = pf - p0
r
r
I = Δp
Principio de conservación de la cantidad de movimiento
Cuando sobre un sistema de cuerpos no se aplica un impulso de fuerzas exteriores,
su cantidad de movimiento permanece constante.
r
Si IFext = 0
r
⇒ Δp = 0
r
r
⇒ p0 = p f
Es importante tener en cuenta que tanto el impulso como la cantidad de
movimiento son magnitudes vectoriales y por lo tanto en los problemas deben tratarse
como tales.
Choques
Es frecuente que en la naturaleza dos o mas cuerpos choquen entre si, para el
tratamiento de estos fenómenos deben utilizarse los conceptos de energía y cantidad de
movimiento ya tratados.
Los choques se clasifican en tres tipos:
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92
Leyes de la conservación
a- Choque plástico:
Se denomina de esta manera cuando los cuerpos que en
cuestión permanecen unidos después del choque, por ejemplo dos bolas de plastilina
que chocan. La particularidad de este choque es que no se conserva la energía cinética
del sistema, es decir, que después del choque es menor a la que tenía antes de chocar.
Este hecho puede entenderse si pensamos que se consumió parte de la energía en la
deformación de los cuerpos; la energía cinética se transforma en calor que se disipa en la
atmósfera.
Sin embargo, si se considera como sistema a los dos cuerpos que chocan, puede
afirmarse que no hay impulso de las fuerzas exteriores. Analicemos: sobre los cuerpos
actúa la fuerza peso, pero dado que la interacción en la mayoría de los choques dura
muy poco tiempo, el impulso de estas fuerzas es despreciable, también actúa el impulso
de las fuerzas de interacción entre los cuerpos que chocan, pero estas son interiores dado
que el sistema está compuesto por los dos cuerpos. Podemos llegar entonces a la
conclusión, aplicando el principio de conservación, que la cantidad de movimiento del
sistema antes del choque será igual a la cantidad de movimiento después del choque.
Por lo tanto:
E C0 ≠ E C f
r
r
p0 = pf
Ejemplo 4:
Un cuerpo de masa m1 se desplaza con una velocidad de módulo v01 en
dirección y sentido de las X positivas y choca con otro cuerpo de masa m2 que se
desplaza en la misma dirección pero en sentido contrario con una velocidad de módulo
v02. Calcular la velocidad con que se desplazarán los cuerpos después de chocar
plásticamente.
Solución:
Hacemos un esquema que representa el problema:
Los pesos y las normales se anulan entre si y por lo tanto no provocan impulso y si
consideramos un sistema formado por los dos cuerpos, las fuerzas que aparezcan en el
choque serán interiores, por lo tanto la cantidad de movimiento de este sistema
permanecerá constante:
E C0 ≠ E C f
r
r
p0 = pf
La cantidad de movimiento inicial ( antes del choque ) del sistema vendrá dada
por la suma de las cantidades de movimiento iniciales de cada móvil, mientras que la
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93
Leyes de la conservación
cantidad de movimiento final ( después del choque) vendrá dada por la de un cuerpo
conformado por ambos, pues quedan pegados. Por lo tanto:
r
r
r
p 01 + p 02 = p f1,2
r
r
r
m1 ⋅ v 01 + m 2 ⋅ v 02 = (m1 + m 2 ) ⋅ v f1,2
Tengamos en cuenta que:
r
v 01 = v 01 ˆi
r
v 02 = v 02 (-ˆi )
Remplazando:
r
m1 ⋅ v 01 ˆi + m 2 ⋅ v 02 (-ˆi ) = (m1 + m 2 ) ⋅ v f1,2
Despejando el vector velocidad:
(m1 ⋅ v 01 - m 2 ⋅ v 02 ) ˆi
r
v f1,2 =
(m1 + m 2 )
b- Choque elástico:
Se denomina de esta manera cuando los cuerpos en
cuestión no permanecen unidos después del choque y ninguno presenta deformación
permanente, por ejemplo dos bolas de billar que chocan. En este caso se conserva la
energía cinética del sistema, es decir, que después del choque es la misma que tenía
antes de chocar. Como no hay deformación permanente, no hay consumo de energía.
Al igual que en el choque plástico, si se considera como sistema a los dos cuerpos
que chocan y además sucede en un lapso de tiempo muy pequeño, puede afirmarse
que no hay impulso de las fuerzas exteriores. Por lo tanto, aplicando el principio de
conservación, la cantidad de movimiento del sistema antes del choque será igual a la
cantidad de movimiento después del choque:
E C0 = E C f
r
r
p0 = p f
Ejemplo 5:
Supongamos dos cuerpos de masa m1 y m2 que se mueven antes de
chocar con velocidades v01 y v02 y después del choque se mueven con velocidades vf1 y
vf2 como indica la figura. El problema consiste en averiguar las velocidades que tienen los
cuerpos después de chocar.
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94
Leyes de la conservación
Estas incógnitas se pueden calcular
empleando las ecuaciones que resultan de la
conservación de la cantidad de movimiento y de
la energía cinética:
E C0 = E C f
r
r
p0 = pf
Trabajamos
con
la
primera
planteando la energía cinética del sistema antes y
después del choque.
1
2
r2
⋅ m1 ⋅ v 01
r
r
r
1
1
1
+ ⋅ m 2 ⋅ v 202 = ⋅ m1 ⋅ v 2f1 + ⋅ m 2 ⋅ v 2f2
2
2
2
Simplificamos y agrupamos los términos que contienen la misma masa para
sacarla como factor común:
r
r
r
r
m1 ⋅ v 201 - m1 ⋅ v 2f1 = m 2 ⋅ v 2f2 - m 2 ⋅ v 202
r
r
r
r
m1 ⋅ (v 201 - v 2f1 ) = m 2 ⋅ (v 2f2 - v 202 )
(1)
Ahora planteamos la ecuación para la cantidad de movimiento:
r
r
r
r
m1 ⋅ v 01 + m 2 ⋅ v 02 = m1 ⋅ v f1 + m 2 ⋅ v f2
Nuevamente agrupamos y sacamos factor común:
r
r
r
r
m1 ⋅ (v 01 - v f1 ) = m 2 ⋅ (v f2 - v 02 )
(2)
Dividiendo miembro a miembro la ecuación (1) con la (2):
r
m1 ⋅ (v 201
r
m1 ⋅ (v 01
r
r
- v 2f1 ) m2 ⋅ (v 2f2
=
r
r
- v f1 ) m2 ⋅ (v f2
r
- v 202 )
r
- v 02 )
r
r
r
r
r
r
r
r
(v 01 - v f1 ) ⋅ (v 01 + v f1 ) (v f2 - v 02 ) ⋅ (v f2 + v 02 )
=
r
r
r
r
(v 01 - v f1 )
(v f2 - v 02 )
r
r
r
r
v 01 + v f1 = v f2 + v 02
Esta ecuación junto con la de la conservación de la cantidad de movimiento
conforman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que permite resolver el
problema de choque elástico.
r
m 1 ⋅ v 01
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r
r
r
r
v 01 + v f1 = v f2 + v 02
r
r
r
+ m 2 ⋅ v 02 = m1 ⋅ v f1 + m 2 ⋅ v f2
95
Leyes de la conservación
c- Choque inelástico:
Puede ocurrir que un choque no sea elástico ni tampoco
plástico: Los cuerpos, aunque deformados, no permanecen unidos después del choque.
El grado de elasticidad de un choque viene dado por un número que recibe el nombre
de coeficiente de restitución que indicaremos con la letra “η”.
Utilizando la misma nomenclatura que en el choque elástico, se define el
coeficiente de restitución de la siguiente manera:
r
r
v f2 - v f1
η=- r
r
v 02 - v 01
• Si η = 0, se deduce que vf1 = vf2. Los dos cuerpos después del choque poseen la misma
velocidad: El choque es plástico.
r
r
r
r
• Si η = 1, se deduce que v 01 + v f1 = v f2 + v 02 . Se conserva la energía cinética: El
choque es elástico.
• Si 1>η > 0, el choque es inelástico.
Problemas
Trabajo y energía
99.-Calcular el trabajo realizado por una fuerza constante de 12 N, cuyo punto de
aplicación se mueve 7 m, si el ángulo entre las direcciones de la fuerza y el
desplazamiento es: a-0º ; b-60º ; c-90º ; d-145º ; e- 180º.
Resp: 84J ; 42J ; 0J ; -68,8J ; -84J
100.-Un cuerpo de masa 5 kg. se eleva con velocidad constante a una altura de 10 m,
mediante una fuerza vertical F. Calcular el trabajo realizado:
a- Por la fuerza F
b- Por la fuerza peso.
Resp: 500J ; -500J
101.-Una caja de 10 kg. descansa sobre una mesa horizontal. El coeficiente de rozamiento
cinético entre la caja y la mesa es 0,4. Una fuerza F mueve a la caja con velocidad
constante a lo largo de 5 m. Calcular el trabajo realizado: a- Por la fuerza; b- Por la fuerza
de rozamiento.
Resp: 200J ; -200J
102.-Un bloque de hielo de 445 N resbala por un plano inclinado de 1,5 m de largo y 0,9 m
de alto. Un hombre sostiene el hielo paralelamente al plano de modo que lo hace deslizar
hacia arriba con velocidad constante. El coeficiente de rozamiento entre el plano y el
bloque es 0,1. Calcular:
a- La fuerza ejercida por el hombre sobre el bloque.
b- El trabajo realizado por dicha fuerza cuando el bloque recorre todo el plano.
c- El trabajo realizado por la fuerza peso en el mismo trayecto.
d- El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
f- El trabajo neto realizado.
Resp: 302,6N ; 453,9J ; -401,7 J ; -52,2J ; 0J .
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96
Leyes de la conservación
103.-Un bloque de 10 kg. sube a lo largo de un plano inclinado de 5 m de largo y 3 m de
alto.
a- Calcular el trabajo realizado por una fuerza paralela al plano inclinado que hace subir
al bloque con velocidad constante.
b- Si el bloque se levantara verticalmente hasta la misma altura, calcular el trabajo de la
fuerza que lo haría subir con velocidad constante.
c- Comparar los resultados anteriores y sacar una conclusión.
Resp: 300J ; 300J
104.-Un automóvil de 1200 kg. sube por una colina sin rozamiento, de 5º de inclinación,
con velocidad constante de 36 km/h. Calcular:
a- El trabajo realizado por la fuerza que ejerce el motor en 5 minutos.
b- La potencia desarrollada por el motor.
Resp: 3,1 . 106 J ; 1,05 . 104 W
105.-Un automóvil de 1500 kg., que se mueve sobre un plano horizontal, se acelera
uniformemente a partir del reposo, alcanzando una velocidad de 8 m/s en un tiempo de
6 seg. ¿Cuál es la potencia media desarrollada por el motor?
Resp: 8 kw
106.-Una fuerza horizontal de 4N empuja un bloque que pesa 80N sobre una superficie
horizontal sin rozamiento, una distancia de 6 m. El bloque parte del reposo.
a- Calcule el trabajo de la resultante de todas la fuerzas que actúan sobre el bloque.
b- ¿En qué se convierte este trabajo?
c- Verifique la respuesta al punto (b) calculando la aceleración del bloque, su velocidad
final y la variación de la energía cinética.
2
Resp: 24J ; 0,5 m/s ; 2,5 m/s ; 24J
107.-Una caja de 2 kg. está inicialmente en reposo sobre una mesa horizontal. El
coeficiente de rozamiento cinético entre la mesa y la caja es 0,4. La caja es acelerada a
lo largo de la mesa por acción de una fuerza horizontal de 10 N y recorre una distancia de
3 m. Calcular:
a- El trabajo realizado por la fuerza aplicada.
b- El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
c- El trabajo realizado por la fuerza peso.
d- El trabajo realizado por la normal.
e- La variación de la energía cinética de la caja.
f- La velocidad de la caja después de recorrer 3 m.
Resp: 30J ; -24J ; 0J ; 0J ; 6J ; 2,45 m/s
108.-Un péndulo constituido por una masa de 2 kg. colgada de una cuerda de 1m, se
desplaza 30º de la vertical y se suelta. Hallar:
a- La velocidad de la masa cuando la cuerda forma un ángulo de 10º con la vertical,
tanto de un lado como del otro de la posición de equilibrio.
b- La velocidad al pasar por la posición de equilibrio.
Nota: despreciar la resistencia del aire y resolver el problema usando el teorema del
trabajo y la energía cinética.
Resp: 1,54 m/s ; 4,16 m/s
109.-Un automóvil cuya masa es 908 kg. avanza con una velocidad de 9,1 m/s;
súbitamente se le aplican los frenos y se detiene en 6,1 m (suponer desaceleración
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97
Leyes de la conservación
constante). Si ahora se supone que la velocidad es 18,3 m/s, calcular la distancia a la cual
se detendrá y la fuerza desaceleradora que actúa sobre el vehículo. Nota: resuelva este
problema primero aplicando los principios de la dinámica y luego utilizando el concepto
de energía, compare ambos procedimientos.
Resp: 24,68 m ; 6154,4 N
110.-¿Qué potencia debe tener un motor para hacer subir un móvil de masa m= 500kg
con velocidad constante, de manera tal que recorra 10m en 1 minuto a lo largo de un
plano inclinado que forma un ángulo de 37º con la horizontal. El coeficiente de
rozamiento cinemático es 0,25.
Resp: 666,7 w
111.-Despreciando las fuerzas de rozamiento calcular desde qué altura debe caer un
trineo para alcanzar una energía cinética equivalente a la que posee cuando su
2
velocidad es 72km/h. Considere g= 10m/s
Resp: 20 m
112.- Un automóvil de 1450 kg. de masa tiene una velocidad de 98,6 km/h. Calcular su
energía cinética y la altura desde la cual tendría que precipitarse por un abismo, a partir
del reposo, para adquirir esa energía cinética. Despreciar la resistencia del aire.
5
Resp: 5,44 . 10 J ; 38,30 m.
113.- Un móvil de masa m=20kg se desliza por un camino horizontal con una velocidad de
10m/s. Al llegar al punto A entra en un camino de cuestas y pendientes de forma y alturas
indicadas en la figura donde h1 = 10m, h2= 3m h3= 7m h4= 5m . Suponga despreciable la
2
fuerza de rozamiento en todo el camino y considere g= 10m/s .
Calcular:
a- La energía potencial, la energía cinética y la velocidad del cuerpo en los puntos A, B,
C, D y E
b- ¿Con qué velocidad deberá pasar por el punto B para llegar al punto C con velocidad
nula?
c- ¿Qué velocidad tendría en el punto C si en el tramo AC hubiera actuado una fuerza de
rozamiento constante de 10N?
El tramo AC tiene una longitud de 10m.
Resp: 2000J, 1000J, 10m/s ; 600J, 2400J, 15,48m/s ; 1400J, 1600J, 12,65m/s ; 0J, 3000J,
17,32m/s ; 1000J, 2000J, 14,14 m/s ; 8,94 m/s ; 12,25 m/s
114.-Un automóvil de masa 1 tonelada tiene, al pasar por el punto A, una velocidad de
108 km/h y continúa según la figura por la pista ABC.
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98
Leyes de la conservación
a- Calcular con qué velocidad pasará por el punto B, suponiendo despreciable el
rozamiento.
b- Si entre A y B actuara la fuerza impulsora supuesta constante suministrada por el motor
de tal manera que la velocidad en B fuera de 40m/s, calcular el trabajo de dicha fuerza
en el tramo AB
c--Si al pasar por B deja de actuar la fuerza impulsora, calcular la energía cinética en el
punto C.
d- Calcular la altura máxima alcanzada por el móvil respecto del plano horizontal que
pasa por A
Resp: 27,93 m/s ; 410000J ; 740000J ; 86 m
115.-La longitud libre de un resorte es 12,5 cm y está comprimido de modo que su longitud
es 4/5 de su longitud libre. Un cuerpo de masa m= 1kg está apoyado contra uno de los
extremos del resorte, estando fijo el otro extremo del mismo. Se libera el resorte y la masa
recorre el camino ABCD mostrado en el esquema. Si la constante del resorte es 200 N/cm
y se desprecian los rozamientos, calcular:
a- La energía cinética en A
b- La energía cinética en B
c- La altura que la masa alcanza sobre la rampa CD
d- Si se deja retornar el cuerpo por el mismo camino; ¿hasta dónde se comprimirá el
resorte?
e- Calcular la altura desde la cual habría que soltar la masa sin velocidad inicial sobre la
rampa CD para que el resorte se comprima a la mitad de su longitud libre.
f- Repetir el punto c) si en la rampa CD actúa una fuerza de rozamiento constante fr= 2N
Resp: 6,25J ; 8,25J ; 82,5 cm ; el mismo acortamiento ; 4,10 m ; 0,59 m
116.- El péndulo de la figura tiene longitud l = 1m. Cuando se lo deja oscilar libremente la
masa describe arcos de circunferencia. Calcular el módulo de la velocidad con que la
masa cruza la vertical que pasa por 0, si se lo separó un ángulo α =90º respecto de la
vertical y no se tienen en cuenta los rozamientos.
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99
Leyes de la conservación
Resp: 4,47 m/s
117.- Un bloque de 2kg choca contra el extremo libre de un resorte de constante elástica
k= 2N/m El bloque deforma el resorte produciéndole un acortamiento máximo de 2 m. El
coeficiente de rozamiento cinético entre el bloque y el piso es 0,3. Calcular el módulo de
la velocidad del bloque en el instante del choque. Considerar g= 10 m/s2.
Resp: 4 m/s
118.- Un resorte de constante elástica k =400 N/m tiene un extremo fijo al final de un plano
inclinado que forma un ángulo de 45º con la horizontal, como indica la figura. Un bloque
de masa m=0,5 kg. que parte del reposo, resbala 3m sobre el plano muy liso, hasta chocar
contra el extremo libre del resorte. Calcular la máxima deformación.
Resp: 23,9 cm
Impulso y cantidad de movimiento
119.- a)¿Cuál es el módulo de la cantidad de movimiento de un barco de 100.000 kg.
cuya velocidad es 36 km/h?
b)¿ A qué velocidad tendrá la misma cantidad de movimiento otro barco cuya masa sea
cuatro veces mayor?
Resp: 106 kg.m/s
9 km/h
120.- A un carrito que puede deslizarse libremente sobre una pista horizontal se fija un rifle.
La masa del rifle y el carrito es m1 = 10 kg. Se dispara horizontalmente el rifle hacia la
derecha. La trayectoria de la bala es paralela a la pista. La bala de masa m2 = 0,005 kg.,
recorre una distancia de 50 m en 0,2s a partir del punto de partida. Calcular qué distancia
habrá recorrido el carrito (con el rifle unido a él) durante los 0,2 s, y en qué sentido.
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100
Leyes de la conservación
Resp: 0,025 m
121.- Un proyectil de 100g que se mueve con una velocidad de 500m/s se dirige
horizontalmente y choca contra un bloque de 100 kg. que se movía en la misma dirección
y sentido contrario con una velocidad de 5 m/s. Si se desprecia el rozamiento y teniendo
en cuenta que el proyectil queda alojado en el bloque, determinar la velocidad final del
sistema bloque-proyectil.
Resp: 4,49 m/s
122.-Una partícula de masa ma = 100 g recorre el semieje positivo de las "x" con una
velocidad de 20 cm/s. Choca con otra partícula de masa mb = 20 g que se mueve con
velocidad de 50 cm/s en dirección que forma un ángulo de 53º con el semieje positivo de
la "x". Después del choque ambas partículas se desplazan juntas. Calcular el módulo,
dirección y sentido de la velocidad de las dos partículas unidas, después del choque.
Resp: 22,67 cm/s , 17º
123.-Una piedra A de masa ma = 1 kg. desliza sobre una superficie lisa de hielo a una
velocidad constante de 16 m/s hacia el este. Choca con otra piedra B de masa mb = 4
kg., inicialmente en reposo. Después del choque, A se mueve perpendicularmente a su
dirección inicial hacia el norte con una velocidad de 12 m/s. Calcular el módulo y la
dirección de la velocidad de la piedra B después del choque.
Resp: 5 m/s , -37º
124.- Un bloque de madera de masa m2 se halla en reposo sobre una superficie horizontal
según muestra la figura. El coeficiente de rozamiento cinemático es m. El extremo libre de
un resorte se fija al bloque y el otro extremo a una pared. El resorte se encuentra
inicialmente sin deformación. Una bala de masa m1 que se desplaza horizontalmente
alcanza el bloque y se incrusta en él. Hallar la velocidad inicial v0 de la bala en función
del máximo acortamiento del resorte, m1 m2, k y m .
125.-Cuando un proyectil de masa 10 g choca contra un péndulo balístico de masa 2 kg.,
se observa que el centro de gravedad del péndulo se eleva una altura vertical de 10 cm.
La bala queda incrustada en el péndulo. Calcular la velocidad del proyectil.
Resp: 284 m/s
126.- Un proyectil de masa 2 g, que se mueve horizontalmente a la velocidad de 500 m/s,
es disparado contra un bloque de madera de masa 1 kg., inicialmente en reposo sobre
una superficie horizontal. El proyectil atraviesa el bloque y sale de él con su velocidad
reducida a 100 m/s. El bloque desliza una distancia de 20 cm sobre la superficie a partir de
su posición inicial. a)¿Cuál es el coeficiente cinético de rozamiento entre el bloque y la
superficie? b)¿Cuál ha sido la disminución de energía cinética del proyectil? c)¿Cuál era
la energía cinética del bloque un instante después de ser atravesado por el proyectil?
Resp: 0,16 , 240 J , 0,32 J
Problemas especiales:
E1. Suponga que está de visita en el polo norte en el iglú de unos simpáticos esquimales.
Uno de los niños apoya un trocito de hielo en la superficie del iglú (que puede
considerarse como una semiesfera perfecta sin roce) y luego lo suelta para verlo resbalar.
Prof. Lic. Claudio A. Naso
101
Leyes de la conservación
Se observa que cuanto mayor es la altura inicial respecto del suelo, mayor es la altura en
la que el trocito pierde contacto con la superficie, describiendo luego una parábola por
el
aire.
¿Serán esas alturas proporcionales? ¿Será la altura final (donde despega) un factor único
por la altura inicial? ¿Cuál será ese factor?
E2. Un péndulo formado por un pequeño objeto de peso P y una cuerda inextensible de
masa despreciable oscila en un plano vertical. Se ha medido que la tensión máxima de la
cuerda es siete veces mayor que la mínima. Halle esos valores extremos de la tensión
como función del peso. No se ha medido la longitud de la cuerda.
E3. Se dispara una granada con velocidad inicial v0 y ángulo inicial α respecto de un
terreno horizontal. En el punto más alto de su trayectoria explota y se divide en dos
fragmentos de igual masa. Uno de los fragmentos posee la componente horizontal del
vector velocidad igual a la que tenía la granada justo antes de la explosión y la
componente vertical (hacia arriba) igual a un valor v1.
a) Determine la ubicación de los puntos de impacto de los fragmentos con el suelo,
respecto del punto de lanzamiento de la granada.
b) Determine la ubicación de los puntos de impacto de los fragmentos con el suelo,
respecto del punto donde hubiera impactado la granada sin explotar.
Datos: g = 10 m/s2, α = 37°, v0 = 40 m/s, v1 = 100 m/s.
Considere que la granada se dispara desde el nivel del terreno.
E4. Un pequeño objeto cae, sin velocidad inicial, desde la terraza de un edificio de altura
H. Cuando se encuentra a una altura αH (0 < α < 1) choca contra una saliente del edificio
y se observa que inmediatamente después se mueve en dirección horizontal
(perpendicular a la pared) con la misma rapidez que tenía justo antes del choque.
a) Determine a qué distancia del edificio impacta contra el suelo, como función de α y H.
b) Halle el tiempo que demora desde la terraza hasta el suelo, como función de α, H y g.
E5. Un péndulo ideal oscila a ambos lados de la vertical de modo que la altura máxima
del objeto respecto del punto más bajo de su trayectoria es h0.
Determine qué altura posee el objeto cuando su peso coincide con el valor de la tensión
de la cuerda.
Unico dato: h0.
E6. Un péndulo ideal oscila a ambos lados de la vertical de modo que el ángulo máximo
que llega a formar la cuerda con la vertical es α0.
Determine para qué ángulo α el vector aceleración del objeto es horizontal.
Unico dato: α0.
E7. Una partícula choca elásticamente contra otra en reposo de igual masa.
Demuestre rigurosamente que si ambas partículas se mueven después del choque, sus
trayectorias forman un ángulo recto con vértice en el punto del impacto.
E8. Un resorte de constante elástica k está en posición vertical con uno de sus extremos
fijo al piso y el otro libre. Puede ser útil imaginar que en este último extremo se suelda una
placa horizontal de masa despreciable.
Con un pequeño objeto de masa m se realizarán los siguientes experimentos:
1) Se lo apoya con cuidado en el extremo libre y se permite que baje lentamente
guiándolo con la mano hasta que el resorte se comprima una longitud d1 y se observe
que el objeto permanece en reposo.
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102
Leyes de la conservación
2) Se lo apoya en el extremo libre e, inmediatamente, se lo suelta. En este caso se observa
que el resorte alcanza una compresión MAXIMA d2.
3) Se lo ubica sobre la línea vertical que contiene los dos extremos del resorte a una altura
H del extremo libre y se lo suelta. Se observa que, después de chocar con el extremo libre,
comprime al resorte hasta una longitud MAXIMA d3.
a) Determine d1, d2 y d3. Calcule d2/d1 y d3/d1. Realice un comentario sobre estos
resultados.
b) Halle el valor de la altura H para que d3/d1 sea igual a N (algún valor prefijado como
dato).
Datos: la aceleración de la gravedad g, la constante elástica k, la masa del objeto m y,
para el tercer experimento, la altura H.
Para la pregunta (b) N es dato y H es la incógnita.
E9. Un pequeño objeto se mueve en una trayectoria circular, contenida en un plano
vertical, unido al extremo de una cuerda cuyo otro extremo está fijo. Se observa que la
cuerda está siempre tensa y se ha medido su tensión TC, cuando el objeto pasa por el
punto C, el más alto de su trayectoria.
a) Halle TA, la tensión de la cuerda cuando el objeto pasa por el punto A, el más bajo de
su trayectoria.
b) Halle TB, la tensión de la cuerda cuando el objeto pasa por el punto B, donde la cuerda
está
en
dirección
horizontal.
Datos: g = 10 m/s2, m = 0,2 kg, TC = 5 N. La longitud R de la cuerda no es dato.
E10. El movimiento que se va a describir es unidimensional, es decir, las partículas se
mueven a lo largo de la misma recta. Tres partículas se numeran de izquierda a derecha.
La partícula 1 se mueve inicialmente hacia la derecha con velocidad v0 mientras las otras
permanecen en reposo.
Realizará un choque elástico con la partícula 2 y, más tarde, la 2 chocará de manera
totalmente inelástica (plástica) con la 3. Si se sabe que m1 = 2 kg y m2 = 0,5 kg, halle el
valor mínimo que debe tener m3 para que se observe un nuevo choque. No se conoce v0
y la superficie sobre la que se desarrolla el experimento es horizontal y no presenta roce
alguno a las partículas.
E11. Para un péndulo ideal que oscila pruebe que el cambio de la tensión de la cuerda,
entre dos posiciones arbitrarias, es proporcional a la variación de la energía potencial
correspondiente a esas mismas posiciones.
Halle la constante de proporcionalidad. Tenga en cuenta que será un número negativo
debido a que la tensión disminuye con la altura.
E12. Un pequeño objeto desliza hacia arriba sobre una superficie plana con roce,
inclinada un ángulo α respecto de la horizontal.
Cuando pasa por cierto punto su velocidad es v0.
¿Cuál será su velocidad cuando pase nuevamente por ese punto?
Considere como datos la aceleración de la gravedad, el ángulo α, la velocidad v0 y el
coeficiente de roce cinético. Suponga que el coeficiente de roce estático es menor que
la tangente del ángulo α.
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103
Temperatura y dilatación
CAPÍTULO 4:
TEMPERATURA Y DILATACIÓN
La Temperatura
TEORÍA ATÓMICA DE LA MATERIA
Al estudiar las propiedades físicas de la materia es conveniente dividir las
sustancias en sus tres formas o estados: sólido, líquido y gaseoso. Se puede hacer que la
mayoría de las sustancias tomen cualquiera de estos tres estados, simplemente por
cambios de temperatura y o presión.La teoría atómica de la materia considera que toda la materia del Universo está
formada por cuerpos ultra microscópicos llamados átomos y que en todo momento estos
están en rápido movimiento. La naturaleza de este movimiento y su actividad dependen
de la temperatura y del estado de la materia en cuestión, así como de la clase de
átomos que la forman.-
CLASES DE ÁTOMOS
Aunque hay millares de sustancias diferentes conocidas en el mundo científico, se
encuentra que todas están compuestas de una o más clases de átomos.
Una sustancia que contiene solo átomos de una clase, se llama elemento.
Mientras que aquellas que contienen más de una clase de átomos se denominan
compuestos o mezclas.Son ejemplos de elementos: el hierro, cobre, aluminio, platino, mercurio, hidrógeno,
helio, mientras que el agua, sal, bronce, madera y aire, son ejemplos de compuestos y
mezclas.En la siguiente tabla se dan los nombres técnicos y abreviaturas químicas de
algunos de los elementos más conocidos.-
ALGUNOS ELEMENTOS QUÍMICOS
Número Elemento Símbolo
Masa
atómico
atómica
1
2
3
4
6
7
8
10
13
26
29
47
50
78
79
80
82
88
92
94
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hidrógeno
helio
litio
berilio
carbono
nitrógeno
oxígeno
neón
aluminio
hierro
cobre
plata
estaño
platino
oro
mercurio
plomo
radio
uranio
plutonio
H
He
Li
Be
C
N
O
Ne
Al
Fe
Cu
Ag
Sn
Pt
Au
Hg
Pb
Ra
U
Pu
1.0078
4.004
6.940
9.02
12.01
14.01
16.000
20.183
26.97
55.84
63.57
107.88
118.70
195.23
197.2
200.61
207.18
225.95
238.17
239.18
104
Temperatura y dilatación
Se acostumbra a asignar dos números para cada elemento, uno llamado número
atómico y el otro llamado masa atómica.
El número atómico específica la posición que ocupa el elemento con respecto a
los demás, mientras que la masa atómica dado a la derecha, nos proporciona la masa
promedio de un átomo de ese elemento en relación con la de un átomo de carbono al
cual se le da arbitrariamente, el valor 12.
Sobre esa base el elemento más ligero conocido es el átomo de hidrógeno que
tiene un peso promedio muy próximo a la unidad.
Para ilustrar la pequeñez de los átomos veamos la masa en kilogramos y el
diámetro aproximado en metros para el elemento más ligero, el hidrógeno y el más
pesado, el plutonio.-
HIDRÓGENO
PLUTONIO
masa: 1,66 . 10-27 kg
diámetro: 1 10-10 m
masa: 3,9 . 10-25 kg
diámetro: 6 . 10-10 m
En Química se estudiará en profundidad la estructura de un átomo, para nuestros
objetivos ésta sencilla explicación basta.-
MOLÉCULAS
Una de las propiedades más importantes de los átomos es su capacidad de
actuar unos sobre otros a cierta distancia.
Algunos átomos ejercen entre sí fuerzas de atracción cuando se acercan mientras
que otros se repelen. Estas fuerzas son de crácter eléctrico y cumplen con la ley de
Coulomb que estudiaremos en el capítulo 6.
Cuando se produce atracción entre dos o más átomos estos pueden combinarse
para formar una molécula.
En general, las moléculas, pueden contener casi cualquier número de átomos, se
denominan monoatómicas, si tienen un átomo, diatómicas si tienen dos, triatómicas, etc.-
LOS TRES ESTADOS DE LA MATERIA
Como ya dijimos la materia puede existir en tres estados: sólido, líquido y gaseoso.
Si un sólido se calienta suficientemente puede hacerse que se derrita y se licúe y si se
continua calentando, hacerlo hervir o evaporar. Al convertirse en vapor queda en estado
gaseoso.
Por otra parte si un gas se enfría lo necesario, podrá condensarse y convertirse en
líquido.
El continuo enfriamiento de un líquido hará que se solidifique o congele.
Todas las sustancias pueden transformarse de un estado a otro, aunque a veces es
necesario un calentamiento o enfriamiento extremo.-
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105
Temperatura y dilatación
EL ESTADO GASEOSO:
Cuando una sustancia está en este estado, se encuentra en una condición de
extremo enrarecimiento. La mayoría de los átomos se encuentran agrupados en
moléculas, que normalmente se encuentra alejadas una de otras. Estas moléculas no
están en reposo, sino que se mueven a velocidades extremadamente elevadas,
chocando unas con otras y con las paredes del recipiente.
Estos golpes de los muchos de millones de moléculas que pegan contra las
paredes del recipiente son los que provocan lo que llamamos "la presión de los gases".
Cuando se bombea aire para llenar una cámara de automóvil o de pelota de
fútbol, se está observando un buen ejemplo de presión de un gas.
Como por dentro hay muchas más moléculas de aire bombardeando las paredes
de goma que por fuera, las paredes se mantienen firmes.
Además de moverse linealmente las moléculas gaseosas formadas por dos o más
átomos, también vibran y giran en torno a su centro de masas. Todos estos movimientos
aumentan de velocidad al elevarse la temperatura. Produciendo un aumento de presión.
Cuando se disminuye la temperatura se hacen más lentos lo cual disminuye la
presión.EL ESTADO LÍQUIDO:
Cuando se enfría continuamente un gas el movimiento molecular se hace cada
vez más lento, hasta que a cierta temperatura el gas se condensa en un volumen mucho
menor y se convierte en líquido. Aunque las moléculas siguen moviéndose, no se mueven
tan rápidamente como lo hacían en estado gaseoso. Por otra parte por estar mucho más
cerca, se atraen con fuerzas suficientemente grandes para hacer que su movimiento se
produzcan en enjambres bastante compactos.EL ESTADO SÓLIDO:
Conforme se baja la temperatura de un líquido, disminuye su actividad molecular.
Esto permite que las moléculas se acomoden más cerca entre sí y explica la ligera
contracción del líquido al enfriarse y la correspondiente dilatación al calentarse.
En el estado sólido, cada molécula se encuentra confinada a un pequeño
espacio definido entre las moléculas vecinas conformando las denominadas estructuras
cristalinas.-
TEMPERATURA Y DILATACIÓN
La temperatura es una cantidad relativa y al igual que el tiempo, es difícil de
definir en términos sencillos. Puede definirse como un número medido en una escala
(llamada termómetro).
Pero para ser más precisos, la temperatura absoluta de un cuerpo es proporcional
a la energía cinética media de las moléculas que componen el cuerpo.-
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106
Temperatura y dilatación
TERMÓMETROS
El primer registro auténtico de un termómetro se remonta
a la época de Galileo. El termómetro de Galileo como muestra la
figura, consiste en un tubo estrecho de vidrio, con una abertura
en un extremo y un bulbo en el otro. El extremo abierto del tubo
se llena con agua coloreada y se invierte dentro de un vaso con
agua. Cuando sube la temperatura del aire que rodea al
termómetro, el aire dentro del bulbo entra en "equilibrio térmico"
con el exterior y se dilata forzando al agua hacia abajo. Si se
enfría el bulbo, el aire interior se contrae haciendo subir el agua
por el tubo (para más precisión, la presión atmosférica del exterior
empuja el agua hacia arriba).
Se puede agregar al tubo estrecho una escala graduada,
quedando las temperaturas bajas en la parte superior y las
temperaturas altas en la parte inferior del tubo.
Termómetro de mercurio:
El más común de los aparatos medidores de
temperatura, es el termómetro de mercurio, como
se ve en la figura.
Consiste en un tubo delgado de vidrio (tubo
capilar), unido en su extremo inferior a un pequeño
bulbo y tiene su extremo superior cerrado. El bulbo y
una parte del tubo capilar se llenan de mercurio y se
hace vacío en la parte restante del tubo. Cuando
sube la temperatura, el mercurio y el tubo de vidrio
se dilatan. Como el mercurio se dilata más que el
vidrio, sube a un nivel más alto dentro del tubo
capilar. En el vidrio del tubo se graba una escala
para leer las temperaturas.
ESCALAS DE TEMPERATURAS
Para graduar cualquier termómetro se necesitan dos puntos fijos entre los cuales
definir la unidad de temperatura.
Actualmente se usan tres escalas de temperaturas que son: la Centígrada o
Celcius, la de Kelvin o Absoluta y la de Fahrenheit.
Los termómetros se fabrican de forma idéntica, aunque tengan diferentes escalas.
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107
Temperatura y dilatación
Para graduar cualquier termómetro
se necesitan dos puntos fijos entre
los cuales definir la unidad de
temperatura.
Actualmente se usan tres
escalas de temperaturas que son:
la Centígrada o Celcius, la de
Kelvin o Absoluta y la de
Fahrenheit.
Los termómetros se fabrican de
forma idéntica, aunque tengan
diferentes escalas.
La escala Célcius es usada en
Europa continental y los países
latinoamericanos en la vida diaria.
Ésta da el valor 0ºC a la
temperatura de fusión del hielo y
100ºC a la de evaporación del
agua.
La escala Kelvin es usada en todo el mundo para medidas científicas, ésta tiene
en cuenta que existe una temperatura mínima posible, que corresponde al estado de
reposo de las moléculas que componen un cuerpo y le asigna el valor 0 K (cero absoluto)
quedando así determinado el valor 273K para la temperatura de fusión del hielo y 373K
para la de evaporación del agua. De esta manera el 0 K coincide con –273 ºC.
Por ultimo la escala Fahrenheit, que se usa en la vida diaria en los EE.UU. y en el
Reino Unido, asigna los valores 32ºF y 212ºF para los puntos de fusión del hielo y
evaporación del agua.
Para graduar un termómetro, se pone el bulbo dentro de
una mezcla de hielo y agua y se marca en el tubo la altura a que llega el mercurio.
Después se coloca en vapor que se desprende del agua hirviendo y se señala el nuevo
nivel. Estas dos marcas determinan los puntos fijos de las escalas, que se vaya a usar
después.
Entre la temperatura de fusión del hielo y la de ebullición del agua, hay un
intervalo de 100 grados en las escalas Celcius y Kelvin (por eso son centígradas), y de 180
grados en la escala Fahrenheit. La relación de estos números es de 5/9, lo cual nos hace
ver que un aumento de temperatura de 5ºC o 5ºK equivale a una elevación de 9ºF.
Relaciones entre unidades:
t(º F) =
9º F
t(º C) + 32º F
5º C
t(º C) = [t(º F) − 32º F]
5º C
9º F
T(K) = t(º C) + 273
Obsérvese que la temperatura absoluta se indica con T mayúscula y por supuesto
su unidad es el Kelvin.
TERMÓMETROS ELÉCTRICOS
Si se va a medir una temperatura muy baja o muy alta, deben emplearse otros
termómetros distintos al de mercurio.
A temperaturas inferiores a -39ºC el mercurio se solidifica y a temperaturas altas se
funde el vidrio. Para estas temperaturas extremas se usan corrientemente termómetros
eléctricos. Este instrumento opera basándose en el principio de que la resistencia que un
alambre opone al paso de la corriente.Prof. Lic. Claudio A. Naso
108
Temperatura y dilatación
Dilatación
DILATACIÓN TÉRMICA DE SÓLIDOS
Cuando un objeto se calienta, ya sea sólido, líquido o gaseoso, en general se
dilata. Hay muy pocas excepciones a esta regla. Si tomamos un alambre de hierro de dos
metros de largo y comenzamos a elevar su temperatura (por ejemplo haciéndole circular
corriente eléctrica) dicho alambre comenzará a estirarse. La gráfica representa la
relación directamente proporcional que hay entre la elevación de la temperatura y el
alargamiento.4
elongación (mm)
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
50
100
150
200
tem peratura (ºC)
Se entiende por alargamiento, el aumento de longitud y no la longitud total del
alambre. Para un alambre de hierro de 2 m. de largo una elevación de temperatura de
50ºC produce un alargamiento de 1 mm.
La línea recta de la gráfica significa que el alargamiento es directamente
proporcional a la temperatura.
Hay muchos casos en los trabajos de ingeniería, donde la dilatación de los sólidos
es un factor de importancia en el diseño y construcción de máquinas o edificios. Esto es
particularmente cierto en la construcción de puentes, y vías de ferrocarril.
Se dejan pequeños intervalos en cada unión de las vías férreas para considerar la
dilatación del material, porque en el verano los rieles al dilatarse cierran estos huecos.
Si los intervalos no son suficientemente grandes en el invierno, el riel se podrá
deformar al llegar el verano y provocar serios accidentes. Cuando los rieles se contraen
en invierno y esos espacios se hacen más anchos, producen bastante ruido al pasar sobre
ellos el tren.
No todas las sustancias se dilatan en la misma proporción cuando se calientan a
una misma temperatura.
Coeficiente de dilatación lineal
Experimentalmente puede verificarse que la variación de longitud que
experimenta un cuerpo sólido en donde la longitud predomina sobre las otras
dimensiones, es directamente proporcional a la variación de la temperatura del mismo.
También puede demostrarse que dos cuerpos que tengan longitudes distintas no
experimentan la misma dilatación ante el mismo cambio de temperatura. Una barra que
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109
Temperatura y dilatación
tenga el doble de longitud que otra, sufre una variación de longitud que también es el
doble frente al mismo incremento de temperatura.
El coeficiente lineal de dilatación térmica se define como el cambio de longitud
de la unidad de longitud original de una sustancia por cada grado de elevación de sus
temperaturas.
λ=
Δl
l 0 .Δt
En ésta ecuación, Δl representa la variación de longitud
Δl =l f -l 0
donde l0 es la longitud inicial del material y Δt representa la variación de temperatura
Δt = t − t0
Dado que la dilatación de un material depende en forma directamente
proporcional a la variación de la temperatura y a la longitud inicial del material siendo la
constante de proporcionalidad λ, puede calcularse la dilatación lineal de cualquier
objeto hecho del mismo material para cualquier cambio de temperatura con la siguiente
fórmula:
Δl =λ.l 0 .Δt
Remplazando:
l f − l 0 = λ .l 0 .Δt
⇒
l f = l 0 + λ .l 0 .Δt
Sacando factor común l0 queda:
l f = l 0 . (1+λ . Δt)
Expresión que nos permite calcular la longitud final de un objeto.
La expresión (1 + λ . Δt) se denomina binomio de dilatación lineal.
COEFICIENTES LINEALES DE
DILATACIÓN TÉRMICA ( en ºC-1
)
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MATERIAL
λ por ºC
Aluminio
Acero
Bronce
Cobre
Cuarzo
Hierro
Oro
Pino (veta a lo largo)
Pino (veta cruzada)
Platino
Vidrio común
Vidrio pyrex
25 . 10-6
12 . 10-6
17 . 10-6
17 . 10-6
3 . 10-6
14 . 10-6
11 . 10-6
9 . 10-6
11 . 10-6
0,4 . 10-6
5 . 10-6
3 . 10-6
110
Temperatura y dilatación
Ejemplo 1:
Una varilla de vidrio Pirex tiene una longitud de 10 cm., cuando la temperatura
ambiente es de 20ºC . Si se calienta esta varilla a una temperatura de 420ºC . ¿Cuánto se
alargará?
Usando la ecuación anterior:
Δl = λ.l 0 .Δt
Δl = 10cm .3.10−6
1
⋅ (420ºC - 20ºC)
ºC
Δl = 0,012cm.
DILATACIÓN DIFERENCIAL
En la sección anterior se establecía que todas las sustancias tienen diferente
dilatación. Algunos metales, como el bronce y el aluminio, se dilatan dos veces más que
otros como el hierro y el platino.
Esta diferencia de dilatación se determina por el calentamiento de una cinta bimetálica
como la de la figura (a). Se colocan dos cintas delgadas de diferentes metales una junto
a la otra, y se sueldan a lo largo. Cuando se caliente, un metal se dilata más que el otro,
haciendo que la cinta se flexione. Cuanto más se caliente mayor es su flexión. Cuando se
enfría hasta su temperatura original, la cinta vuelve a quedar recta y si se enfría más, se
flexiona en dirección opuesta.-
(a)
(b)
(c)
La dilatación observada en este experimento, tiene muchas aplicaciones
prácticas en la industria, las cintas bimetálicas son usadas, por ejemplo, en la construcción
de volantes para relojes finos y para los termostatos de refrigeradores, termotanques y
radiadores de automóviles. En un día caliente los radios del volante del reloj se dilatan, por
lo cual la masa de la rueda se aleja del centro, haciendo que el volante oscile más
lentamente. Si la rueda está formada por cinta bimetálica, se compensa esto, como se ve
en la figura (b).
Con la elevación de la temperatura, los extremos de los radios "S", se alejan del
centro y los extremos libres, R de la cinta bimetálica, se flexionan más cerca del eje de
rotación . Una dilatación compensa la otra y logra que el reloj se mantenga en
movimiento al mismo paso.
Actualmente es muy común el empleo de termostatos en aparatos eléctricos y a
gas ,por eso explicaremos su funcionamiento:
Prof. Lic. Claudio A. Naso
111
Temperatura y dilatación
Un termostato eléctrico es un interruptor automático que se cierra cuando la
temperatura llega a un cierto valor y se abre cuando llega a otro.
En la figura (c) se ve uno de estos interruptores.-
DILATACIÓN DE SUPERFICIE Y DE VOLUMEN
Cuando se eleva la temperatura de un alambre, no solo aumenta de longitud sino
también aumentan su diámetro y sección transversal. Cuando se calienta un disco,
aumenta de radio y área, mientras que en una esfera o un cubo aumenta su volumen. En
sustancias isótropas, como el cobre, la dilatación lineal, tiene lugar del mismo modo en
todas direcciones. En las sustancias anisótropas, como la madera, la dilatación
perpendicular a la veta es muy diferente a la dilatación paralela a la misma.Para encontrar el aumento de área o de volumen de estos materiales debe
aplicarse en cada dirección por separado la fórmula de la dilatación lineal. Se puede
aplicar el mismo procedimiento a las sustancias isotrópicas, cosa que haremos a
continuación:
Supongamos una chapa rectangular de lados a0 y b0. Su superficie viene dada
por la siguiente expresión:
S0 = a 0 ⋅ b 0
Si la calentamos alcanzará una superficie Sf que será el producto entre las
longitudes de sus nuevos lados af y bf:
Sf = a f ⋅ b f
Pero:
a f = a 0 . (1 + λ . Δt )
Remplazando:
bf = b0 . (1 + λ . Δt )
Sf = a 0 . (1 + λ . Δt ) ⋅ b0 . (1 + λ . Δt )
Sf = S0 . (1 + λ . Δt )2
= S0 ⋅ (1 + 2 λ . Δt + λ2 . Δt 2 )
Si tenemos en cuenta que λ es un numero muy pequeño, al elevarlo al cuadrado
su valor hace que el ultimo término de la ecuación sea despreciable frente a los demás,
por lo tanto para la dilatación superficial de un medio isotrópico nos queda:
Sf = S0 .(1 + 2. λ . Δt)
ó
ΔS = S0 .2. λ . Δt
donde es So el área original, ΔS el aumento del área, λ el coeficiente de dilatación lineal y
Δt el aumento o disminución de la temperatura.
Para la dilatación volumétrica de un medio isotrópico puede hacerse una
deducción similar y entonces nos queda:
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112
Temperatura y dilatación
ΔV = V0 .3. λ . Δt
ó
Vf = V0 .(1 + 3.λ .Δt)
La cavidad de una esfera hueca o de un recipiente, se dilata como si fuese una pieza
maciza del mismo material.
DILATACIÓN TÉRMICA DE LOS LÍQUIDOS
La medida exacta de la dilatación de los líquidos con la elevación de la
temperatura, se hacia difícil por la dilatación simultánea del recipiente que contiene al
líquido.
Se puede vencer esta dificultad y es entonces que la mayoría de los líquidos, al
igual que los sólidos, se dilatan en una cantidad que es proporcional al aumento de
temperatura. Esto se ilustra por las gráficas rectilíneas del alcohol y del mercurio.-
Aquí las gráficas rectilíneas significan que, con cada grado de elevación de
temperatura, el aumento de volumen debido a la dilatación es exactamente el mismo.
A la constante de proporcionalidad entre el aumento de volumen y el aumento
de temperatura se la denomina "coeficiente volumétrico de dilatación térmica".
COEFICIENTE
VOLUMÉTRICO DE
DILATACIÓN DE LÍQUIDOS
Líquido
Alcohol
Glicerina
Mercurio
Trementina
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α por ºC
11,0 x 10-4
5,3 x 10-4
1,8 x 10-4
10,5 x 10-4
113
Temperatura y dilatación
La dilatación volumétrica para los líquidos que se comportan como el mercurio y
el alcohol, se obtiene con una ecuación que tienen la misma forma que la usada para los
sólidos.
ΔV = V0 . α . Δt
ó
Vf = V0 .(1 + α . Δt)
donde es el coeficiente de dilatación volumétrico la letra α.
DILATACIÓN ANORMAL DEL AGUA
Entre límites de temperatura muy separados, los líquidos no se dilatan siguiendo
una ley lineal. En realidad, su gráfica se desvía ligeramente hacia arriba, indicando un
aumento más rápido de volumen a altas temperaturas. Para diferentes líquidos, el
alejamiento de su gráfica de la forma rectilínea es muy diferente.A 100ºC por ejemplo, el alcohol se dilata un 20% más para cada grado de
temperatura que lo que se dilata a 0ºC. Por otra parte el mercurio varía en menos de un
centésimo de un 1ª y puede considerarse casi lineal entre 0ºC y 100ºC.
Empezando en la temperatura de congelación del agua a 0º C y calentándola
lentamente el agua se contrae hasta que llega a la temperatura de 4ºC y luego se dilata.
A 4ºC, en que llega a su volumen mínimo , alcanza su máxima densidad. Se debe
considerar como una circunstancia muy afortunada que el agua se dilate al ser enfriada
de 4ºC a 0ºC. Si no fuera así, y se contrajera como sucede con la mayoría de los líquidos,
el hielo comenzaría a formarse del fondo de los lagos hacia arriba, en vez de congelarse
desde la superficie, como ocurre.
Cuando un estanque se enfría tendiendo a la temperatura de congelación, se
enfría primero la superficie del agua que está en contacto con el aire frío. Habiéndose
enfriado y contraído, tendrá mayor densidad que el agua que está debajo de ella y se irá
al fondo. Este proceso continúa hasta que toda el agua llega a 4ºC, cuando el agua de
la superficie se enfría más de 4ºC, se dilata y se hace menos densa, y por ello queda
arriba, el agua de la superficie puede llegar a 0ºC y congelarse antes que el agua de
abajo. El agua se dilata más aún al convertirse en hielo. El hielo flota sobre el agua porque
su densidad es menor que la del agua.Ejemplo 2
Un vaso de precipitado de vidrio pirex que tiene una capacidad de 2000 cm3 está
completamente lleno de alcohol a una temperatura de 0ºC. Calcular cuanto alcohol se
derramará al calentarlo hasta 70º si se supone que la evaporación es despreciable.
Solución:
Tengamos claro que al calentarse se dilatarán tanto el vaso como el alcohol pero
debido a que el coeficiente de dilatación del alcohol es en el orden de 100 veces mayor
que el del vidrio, se derramará. Según las tablas los coeficientes de dilatación son:
λA= 11 . 10-4 ºC-1 y λV= 3 . 10-6 ºC-1
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114
Temperatura y dilatación
Calcularemos primero cuanto se dilata el recipiente para saber cual es su
capacidad a 70ºC. En este cálculo no debemos olvidarnos que el coeficiente de
dilatación lineal está multiplicado por tres debido a que se trata de un volumen.
ΔVV = V0 ⋅ 3λ ⋅ Δt
⇒
ΔVV = 2000cm3 ⋅ 3 ⋅ 3 . 10-6 º C-1 ⋅ 70º C = 1,26cm3
Calculamos ahora la dilatación que sufre la masa de alcohol.
ΔVA = V0 ⋅ α ⋅ Δt
⇒
ΔVA = 2000cm3 ⋅ 11 . 10-4 º C-1 ⋅ 70º C = 154cm3
El alcohol derramado podemos calcularlo haciendo la diferencia entre lo que se
dilató el alcohol y lo que se dilató el recipiente.
Vderramado = ΔVA − ΔVV = 154cm3 − 1,26cm3 = 152,74cm3
Se derraman 152,74 cm3 de alcohol.
DILATACIÓN DE LOS GASES
El estado de una masa gaseosa (sistema) queda determinado si se conocen su
presión, su volumen y sus temperatura (coordenadas de estado del sistema). cuando se
modifica el valor de alguna de estas coordenadas se dice que el sistema evoluciona. Si se
mantiene constante la presión (evolución isobárica), al variar la temperatura se modifica
el volumen.
Si se mantiene el volumen constante (evolución isocora o isométrica), al variar la
temperatura se modifica la presión.
Trabajaremos con gases que se acercan a la condición de gas ideal, entendiendo
por tal el que cumple rigurosamente con la ley de Boyle y Mariote.-
LEY DE BOYLE Y MARIOTE
Si un gas evoluciona a temperatura constante (evolución isotérmica) se encuentra
que al disminuir el volumen la presión aumenta en forma inversamente proporcional, es
decir a menor volumen mayor presión. Esto puede verificarse con una jeringa tapada, a
medida que introduzcamos el émbolo sentimos que el pistón ejerce mayor presión sobre
el dedo por lo tanto
p.V = cte.
presión por volumen igual a una constante por lo que para evolucionar de un estado a
otro
p0 .V0 = p1 .V1
siendo p0 y V0 los estados iniciales de presión y volumen y p1 y V1 los estados finales.
Si se gráfica en dos ejes cartesianos que representen presión y volumen (diagrama
p-V ) una evolución isotérmica se obtienen el siguiente gráfico.
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115
Temperatura y dilatación
EVOLUCIÓN ISOBÁRICA
Utilizaremos un cilindro con émbolo que se desliza con rozamiento despreciable.
Este libre desplazamiento permitirá que se produzcan variaciones de volúmenes
generadas por variaciones de temperatura. Las indicaciones del manómetro señalarán si
la evolución es a presión constante, lo que deberá ser así pues, la fuerza que se aplica
sobre el pistón es constante y por lo tanto la presión también.
Por analogía con lo expuesto en dilatación lineal, puede definirse el coeficiente de
dilatación del gas ideal a presión constante por la expresión:
ΔV = β.V0 . Δt
⇒
β=
ΔV
V0 . Δt
que físicamente representa el aumento de volumen por unidad de volumen inicial y por
grado de variación de la temperatura.
Si V0 es el volumen a 0ºC entonces Δt = t , es decir:
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116
Temperatura y dilatación
ΔV
V − V0
= t
V0 .t
V0 .t
(1)
Para un gas ideal, β resulta ser igual a 0,003663 1/ºC lo que también puede indicarse con
1 1
la fracción
273 º C
De (1) resulta:
Vt = V0 .(1 + β .t)
(2)
Si en la (2) se reemplaza β por su medida se tiene:
Vt = V0 . (1 +
1
273 + t
.t) = V0 .(
)
273
273
pero ( 273 + t ) corresponde a la medida de la temperatura absoluta T ; y 273 es la medida
de la temperatura absoluta a 0ºC. Luego,
VT = V0 ⋅
T
T0
es decir:
VT V0
=
T
T0
EVOLUCIÓN ISOCORA
Si se cierra un gas en un recinto hermético que posee un manómetro podrá
comprobarse que un aumento de temperatura implica un aumento de presión.
Por analogía definiremos el coeficiente de tensión del gas a volumen constante el
que se obtiene por la expresión:
γ =
Δp
p0 . Δt
que físicamente representa el aumento de presión por unidad de presión inicial y por
grado de variación de temperatura a volumen constante:
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117
Temperatura y dilatación
Si p0 es la presión del gas, a 0ºC, Δt es t, es decir:
γ =
p − p0
Δp
= t
p0 . Δt
po .t
para el gas ideal resulta ser igual a 0,003663
de (1) resulta:
(1)
1
1 1
=
º C 273 º C
pt − p0 = γ .p0 .t
de donde
pt = p0 .(1 + γ .t)
(2)
Si se reemplaza γ por su medida
( 273273+ t ) = p . TT
pt = p0 .
0
0
luego
pT p0
=
T
T0
LEYES DE GAY LUSSAC Y CHARLES
Las expresiones:
VT V0
=
T
T0
(a presión constante)
pT p0
=
T
T0
(a volumen constante)
indican que:
1.- A presión constante, los volúmenes de una misma masa de gas son directamente
proporcionales a sus temperaturas absolutas.2.- A volumen constante, las presiones de una misma masa de gas son directamente
proporcionales a las temperaturas absolutas.Prof. Lic. Claudio A. Naso
118
Temperatura y dilatación
Estas conclusiones se conocen con el nombre de LEYES DE GAY LOUSSAC Y CHARLES.
ECUACIÓN GENERAL DE ESTADO DEL GAS IDEAL
¿Existirá alguna ley general que relacione las tres variables de estado?
La respuesta es afirmativa, tal relación existe y puede deducirse. Consideremos
para ello dos evoluciones sucesivas de una misma masa gaseosa.
Primero calentaremos lentamente el gas ideal contenido en el cilindro de la figura
y haciendo que una fuerza constante actúe sobre el pistón de manera que la presión
permanezca constante. El pistón que se desliza con rozamiento despreciable, se desplaza
y el volumen del gas aumenta. ( evolución isobárica )
Luego de llegar al estado (2), se deja de calentar el gas y el sistema se pone en
equilibrio. Ahora se aumenta lentamente la fuerza aplicada sobre el pistón de manera
que el gas se comprima sin variar su temperatura ( evolución isotérmica ).
Del estado (1) al estado (2) siendo la evolución isobárica, se puede escribir según
la primera ley de Gay Loussac:
V0 V1
=
T0
T
(1)
Y del estado (2) al estado (3), la evolución es isotérmica, por lo tanto, según la ley
de Boyle:
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119
Temperatura y dilatación
V1 . p0 = V . p
(2)
Si despejamos V1 de la ecuaciones (1) y (2) e igualamos:
V . p T . V0
=
p0
T0
Agrupando nos queda la denominada ecuación general de estado de los gases
ideales:
p. V
p V
= 0. 0
T0
T
(3)
En el inicio del capítulo , definimos la masa atómica, y vimos que para el átomo de
oxígeno su valor es “16”, para el de hidrógeno “1”, etc. Dado que una molécula esta
formada por la unión de átomos, puede definirse la masa molecular de una sustancia
como la suma de las masas atómicas de los átomos que componen una molécula de
dicha sustancia. Por ejemplo la masa molecular de la molécula de oxígeno será “32”, ya
que contiene dos átomos “O2” y la masa molecular del agua será “18”, ya que contiene
dos átomos de hidrógeno y uno de oxígeno “H2O”. En el caso de las moléculas
monoatómicas ( gases inertes como el helio, el argón, etc.) la masa atómica coincide con
la masa molecular.
El físico italiano Amadeo Avogadro (1776-1856) descubrió que si se toma una
cantidad de sustancia en gramos, numéricamente igual a su masa molecular ( M ), dicha
cantidad contiene exactamente 6,02 . 1023 moléculas, independientemente de qué
sustancia se trate. A esta cantidad de sustancia se la denomina “mol” y es otra forma de
medir la masa de una sustancia.
Según la hipótesis de Avogadro, un mol de cualquier gas que se comporte como
ideal, ocupa en condiciones normales de presión y temperatura (CNPT = 1 atm y 0 ºC ), un
volumen de 22,4 l.
Si de la ecuación deducida los subíndices cero hacen referencia a CNPT, teniendo
'
en cuenta que V0 = n . V0 , siendo n el número de moles y V’1 el volumen de un mol en
CNPT, resulta:
V ' . p0
V.p
= n⋅ 0
T0
T
Pero:
V0' . p 0
=
T0
22,4
l
⋅ 1 atm
l . atm
mol
= 0,082
mol . K
273 K
Este valor constituye la constante universal de los gases ideales que se indica con
la letra “R”.
R = 0,082
Luego:
O su expresión mas conocida:
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l . atm
mol . K
V.p
= n. R
T
120
Temperatura y dilatación
p. V = n. R. T
(4)
Tanto la expresión (3) como la (4) constituyen la ecuación general de estado de
los gases ideales.
En el sistema MKS:
R = 8,3144
J
mol . K
Ejemplo 3:
Calcule la masa de un gas sabiendo que ocupa un volumen de 10 l a una
temperatura de 227ºC y a una presión de 4 atm. La densidad en condiciones normales
vale δ = 1,3 g/l.
Solución:
Estando la densidad en condiciones normales, el volumen debe expresarse en
esas condiciones.
Teniendo en cuenta que:
p. V
p V
= 0. 0
T0
T
Resulta:
V0 =
/ . 273 K/
p . V . T0
10 l . 4 atm
=
= 21,84 l
/ . 500 K/
T . p0
1 atm
m = V0 . δ 0 = 21,84 l . 1,3 g/l = 28,39 g.
Observar que para trabajar con las ecuaciones de estado debe utilizarse la temperatura
absoluta, T que se expresa en K
Ejemplo 4
Sabiendo que 15 litros de hidrógeno se encuentran a 27ºC y sometidos a una
presión de 3 atm. determine la masa del gas (masa molecular del H2 MH2 = 2)
Solución:
Aplicamos la ecuación general de los gases:
p. V = n. R. T
n=
/ . 15 l
p.V
3 atm
=
= 1,83 mol
/
R . T 0,082 l . atm
⋅ 300 K/
mol . K/
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121
Temperatura y dilatación
La masa de un gas se puede indicar en moles o gramos. Para indicarla en gramos,
tenemos que tener en cuenta cuál es la masa en gramos de un mol de hidrógeno, que en
este caso es 2 g. Por lo tanto:
m = 1,83 mol
/ . 2
g
= 3,66 g
mol
/
Ejemplo 4:
Calcular la densidad de 320 g de oxígeno a la temperatura de 27ºC y a la presión
de 4 atm.
Solución
Para calcular la densidad es necesario conocer el volumen pues:
δ=
m
V
La masa atómica del oxígeno es 16 y debido a que el oxígeno es biatómico O2 su masa
moléculas es 32 por lo tanto tiene una masa molar de 32 g/mol de manera que el número
de moles:
n=
320g/
= 10mol
g/
32
mol
Ahora podemos aplicar la ecuación general de estado para calcular el volumen que
ocupa el gas teniendo en cuenta que, como nos encontramos alejados de las
condiciones de cambio de estado, el oxígeno se comporta como gas ideal. La
temperatura expresada en K es T=(27+273)K= 300K
p⋅ V = n⋅R ⋅ T
⇒
n⋅R ⋅ T
V=
=
p
10 ⋅ 0,082
l ⋅ atm
⋅ 300K
mol ⋅ K
= 61,5 l
4
Una vez calculado el volumen podemos calcular la densidad:
δ=
m 320g
g
=
= 5,2
V 61.5 l
l
En las condiciones indicadas la densidad del oxígeno es 5,2 g/l
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122
Temperatura y dilatación
Problemas y preguntas
127.- ¿Qué diferencia puede establecer entre átomos y moléculas?
128.- ¿Podrá un átomo verse con un microscopio?
129.- De algún ejemplo en el que la naturaleza se encarga de transformar la materia en
sus tres estados.
130.- ¿Un aumento de temperatura de una sustancia está asociado a un aumento de
velocidad de las moléculas que la componen? ¿Esto indica el aumento de algún tipo
de energía?
131.- Investigue que es el movimiento Browiniano.132.- Un termómetro centígrado muestra una temperatura de 75ºC. ¿Cuál debe ser la
lectura Fahareheit en el mismo lugar?
Resp: 167ºF
133.- ¿Qué temperatura centígrada equivale a cada una de las siguientes
a) 86ºF
Resp:
b) 122ºF
a) 30ºC
c) 158ºF
b) 50ºC
d) 176ºF
c) 70ºC
d) 80ºC
e) 400ºF
e) 204ºC
f) 150ºF
f) 65,5ºC
134.- Una cinta de acero mide 100m. de largo cuando la temperatura es de 27ºC.
Encontrar su cambio de longitud si la temperatura baja a 10ºC.
Resp: 0,0204m
135.- ¿ Todos los termómetros dan el mismo resultado cuando se trata de medir la
temperatura de un mismo sistema ?
136.- ¿ Qué es la temperatura absoluta de un gas ?
137.- Si una lámina de metal que tiene un agujero se dilata, ¿ se hace el agujero más
grande o más pequeño ?
138.- Si el mercurio y el cristal tuvieran el mismo coeficiente de dilatación, ¿ podría
construirse un termómetro de mercurio ?
139.- ¿ Por qué el agua de los lagos se congela sólo en la superficie, mientras que en el
fondo permanece en estado líquido ?
140.- La longitud de una columna de mercurio de un termómetro es de 4 cm cuando el
termómetro se sumerge en agua con hielo y 24 cm cuando el termómetro se coloca
en agua hirviendo.
a-¿ Cuál es su longitud cuando se lo coloca en una habitación a 22 ºC .
b-Si cuando se introduce el termómetro en un líquido la columna alcanza una altura de
25,4
cm. ¿ Cuál es la temperatura del líquido ?
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123
Temperatura y dilatación
Resp: 8,4 cm. , 107 ºC.
141.- Calcular la variación de longitud de un cable de latón ( λ =2.10-5 1/°C) de 10
metros. cuando su temperatura pasa de 20ºC a 70°C.
Resp: 1 cm.
142.- En un comparador (medidor de dilataciones) se ha medido la dilatación de una
barra de hierro de un metro de longitud a 0°C, obteniéndose a 50°C una dilatación de
0,06 cm. Determinar el coeficiente de dilatación lineal del hierro.
Resp: 1,2.10-5 1/°C
143.- La barra del problema anterior tiene una sección de 10 cm2 a 0°C. Calcular la
sección y el volumen, ambos a 100°C.
Resp: 10,024 cm2 , 1003,6 cm3
144.- Los cables conductores del alumbrado eléctrico son de cobre. Si los postes están
separados 25 metros entre sí y los alambres están tensos un día de invierno cuando la
temperatura es de -5°C. Calcular:
a- el alargamiento que resultó en un día de verano en que la temperatura fue de 30°C
b- la longitud final de los cables. ( λCu = 1,8 . 10-5 )
Resp: 16 mm.
,
25,016 m
145.- Cada riel de acero de una vía férrea mide 12 metros. Determinar la separación que
debe dejarse entre dos rieles consecutivos para que no se deformen por efecto del
calor, si la temperatura oscila entre -4°C y 42°C.
Resp: 6,6 mm
146.- La longitud de un puente de acero es de 200 m. Calcular la diferencia de sus
longitudes un día de invierno en que la temperatura es -20º F y un día de verano en
que la temperatura es 100º F. (λacero = 12 . 10-6 ºC-1)
Resp: 16 cm.
147.- Calcular el volumen de una caja cilíndrica de hojalata a 100°C, si a 0º tiene 20 cm.
de diámetro y 50 cm de altura. ( λ =1.5.10-5 1/°C).
Resp: 15,770 dm3
148.- Una chapa metálica de aluminio tiene una superficie de 200 cm2 a 30°C. ¿ A qué
temperatura la superficie será 17 mm2 mayor?
Resp: 47,7°C
149.- La densidad del mercurio a 0°C es de 13,6 g/cm3 calcular la densidad del mercurio a
100°C sabiendo que su coeficiente de dilatación es αHg= 1,8.10-4 1/°C.
Resp:
13,36 g/cm3
150.- Se llena de mercurio un recipiente de vidrio de 1 litro de capacidad a 0°C.
Determinar la cantidad de mercurio que se derrama de dicho recipiente si la
temperatura aumenta hasta 100°C ( α Hg= 1,8 10-4 . 1/°C
y del vidrio λ v=8.10-6
1/°C).
Resp: 15,6 cm3
151.- Un frasco de vidrio cuyo volumen es 1000 cm3 a 0º C se llena completamente con
mercurio a esta temperatura. Cuando frasco y mercurio se calientan a 100º C, se
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124
Temperatura y dilatación
derraman 15,2 cm3. Si el coeficiente de dilatación cúbica del mercurio es 0,000182 ºC-1,
calcular el coeficiente de dilatación del vidrio.
Resp: 1. 10-5 ºC-1
152.- Un recipiente de cinc (λZn=2,9.10-5 1/°C) está lleno de mercurio a 100°C, teniendo una
capacidad de 10 litros a esa temperatura. Si se enfría hasta 0°C, calcular la masa de
mercurio a 0°C que hay que añadir para que dicho recipiente quede completamente
lleno (αHg=1,8.10-4 1/°C
δHga 0°C = 13,6g/cm3).
Resp: mHg= 1264,8 g
153.- Un recipiente de cinc (λ=2,6.10-5 1/°C) tiene un volumen de 500 cm3 y contiene 490
cm3 de glicerina (α=4,9.10-4 1/°C) a 0°C. Calcular la temperatura a la cual será
necesario llegar para que el recipiente quede totalmente lleno, sin que rebalse la
glicerina.
Resp: t=50°C
154.-Una plataforma horizontal está sostenida por dos barras de longitud la y lb . ¿Qué
condición deben cumplir los coeficientes de dilatación lineal de ambas barras para
que ante un cambio de temperatura la plataforma permanezca horizontal?
155.-¿Un par bimetálico formado por dos barras iguales que están a 0ºC y son de zinc
abajo y de cobre arriba, para dónde se curvará ante temperaturas mayores y ante
temperaturas menores a 0ºC?
Resp: para arriba a temperaturas mayores a 0ºC y para abajo a temperaturas menores a
0ºC.
156.-Un recipiente de vidrio Pirex tiene una capacidad de 2 l y está totalmente lleno de
mercurio a una temperatura de 0ºC. ¿Qué cantidad de mercurio se derramará al
elevarse la temperatura hasta 380ºK?
Resp: 0,0366 l
157.- Represente en un diagrama de ejes cartesianos p.V en una evolución isobárica, en
otra isotérmica y en una isométrica.158.-¿Cuántos moles corresponden a un cierto gas cuyo volumen es de 49,2 l a presión de
3 atm. y 27ºC de temperatura?
Resp: 6 moles.
159.-20 moles de un gas ideal se encuentran evolucionando a una presión de 10
atmósfera, una temperatura de 230ºK, ¿qué volumen ocupa?
Resp: 37,72 l
160.Si colocamos 160 g de oxígeno (O2 ) a 27 ºC en un recipiente de 2,5 l, ¿ Cuál será la
presión ejercida por el gas ?
Resp: 49,2 atm ó 5 . 106 Pa
161.A qué temperatura se debe calentar un gas que se encuentra en un frasco abierto, a
3 ºC para que salgan de él 2/5 de la masa gaseosa.
Resp: 187 ºC
162.Un gas ocupa 500 cm3 a 7ºC y una atmósfera de presión. Calcular el volumen que
ocupará a:
a-62ºC y una atmósfera.
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125
Temperatura y dilatación
b-12 ºC y 4 atm.
c-62ºC y 4 atm.
Resp: 600 cm3 , 125 cm3 , 150 cm3
163.En una recipiente se tienen 4 l de oxígeno a 100 ºC y una presión de una atmósfera. Si
el gas se expande hasta ocupar un volumen de 5 l y la presión aumenta a 1,5 atm.,
determinar:
a-El número de moles que tiene dicho gas.
b-La temperatura final del sistema.
Resp: 0,129 moles. , 426,4ºC
164.Un recipiente de 1,5 l contiene 0,075 moles de hidrógeno a 27 ºC. Calcular:
a-La presión a la que se encuentra el gas.
b-Se abre el recipiente y parte del gas escapa a la atmósfera; en ese caso determinar la
masa de hidrógeno que queda en el recipiente, si la presión exterior es la normal.
c-¿ A qué temperatura habrá que calentar el gas que ha quedado encerrado en el
recipiente para que recobre la presión que tenía inicialmente.
Resp: 1,23 atm. , 0,122 g , 96ºC
165.-Un gas ocupa un volumen de 100 cm3 a una presión de 2 atm. y a una temperatura
de -10ºC. Calcular el volumen que tendrá si la presión disminuye a 1 atm. y la
temperatura se eleva a 97ºC.
Resp: 281,4 cm3
166.-Un gas ejerce una presión de 800 mmHg cuando su volumen es de 5,6 cm3 y su
temperatura de 27 ºC. Calcular la presión que ejercería si su volumen se reduciría a 4,2
cm3 y la temperatura aumentara a 87ºC.
Resp: 1280 mmHg.
167.-10 g de oxígeno ( O2 ) están sometidos a una presión de 3 atm. a 10 ºC. Después de
haberse dilatado cuando fue calentado a presión constante, ocupó un volumen de
10l. Calcular:
a-El volumen que tenía inicialmente.
b-La temperatura que tuvo cuando se dilató.
c-la densidad inicial.
d-la densidad final.
Resp: 2,4 dm3 , 897ºC , δ0 = 4,14 g/dm3 , δf = 1 g/dm3
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126
Calor
CAPÍTULO 5:
Calorimetría Y Transmisión del Calor
El Calor
Conforme a la teoría cinética de la materia, los diferentes átomos de que están
constituidas todas las sustancias se encuentran en rápido movimiento. Cuando un cuerpo
se calienta a más alta temperatura ese movimiento atómico aumenta y el cuerpo se
dilata. Cuando el cuerpo se enfría, el movimiento disminuye y el cuerpo se contrae. El
conde de Rumford, a fines del siglo XVIII, fue el primero en proponer la teoría de que el
calor es una forma de energía y es debido a la energía cinética del movimiento
molecular.No siempre está claro para un estudiante que la temperatura y la cantidad de
calor, son cantidades diferentes. Se puede ilustrar la diferencia con agua. Se tendrá que
quemar mayor cantidad de combustible para calentar un recipiente grande de agua
que para uno pequeño. Aunque los dos empiezan en la misma temperatura y los dos se
eleven a una temperatura igual de ebullición, 100ºC , el recipiente mayor habrá
necesitado mayor energía calorífica, o sea mayor cantidad de calor.-
La Caloría
La diferencia entre la temperatura y la cantidad de calor se ilustra muy bien por el
siguiente experimento.
Cinco esferas, todas del mismo tamaño, pero de diferentes materiales, se
calientan en agua hirviendo a la temperatura de 100ºC.En determinado momento se las coloca sobre una placa de parafina de unos 0,5
cm. de espesor, y se deja que se abran camino derritiendo la parafina. Las esferas de
vidrio, hierro y bronce caen pronto a través de la parafina, pero las esferas de plomo y de
plata nunca llegan a atravesarla. Esto ilustra el hecho de que el contenido de calor de las
bolas de vidrio, hierro y bronce aunque estén a la misma temperatura que las otras, es
considerablemente mayor que el contenido de calor de las de plata y plomo.Si el calor es una forma de energía la cantidad de calor debe tener por unidad de
medida el kilográmetro, el Joule o el ergio. Pero todavía es común usar como unidad
práctica fundamental la caloría.Una caloría es numéricamente igual a la cantidad de calor que debe entregarse
a un gramo de agua pura para que pase de 14,5ºC a 15,5ºC. Se abrevia “cal”.
Puede establecerse la siguiente equivalencia
1 cal = 4,186 Joule
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127
Calor
Una vez definida la caloría puede calcularse la cantidad de calor necesaria para llevar
una cantidad dada de agua desde una temperatura hasta otra, por la simple
multiplicación de la masa de agua y la diferencia de temperaturas.
Aunque una caloría pueda elevar 1 grado centígrado la temperatura de un
gramo de agua, se necesitará un número diferente de calorías para elevar un grado
centígrado la temperatura de un gramo de otras sustancias.Por ejemplo, para elevar 1ºC la temperatura de 1 gramo de hierro, se requiere solo
una décima parte de una caloría. En otras palabras, tienen diferente valor la capacidad
térmica de masas iguales de materiales diferentes.-
Calor Específico
Es la cantidad de calor que provoca en la unidad de masa una variación unitaria
de temperatura.- Es decir, es el número de calorías necesarias para elevar 1ºC la
temperatura de 1 gramo de la sustancia.En la siguiente tabla se dan los calores específicos de algunas sustancias en
cal/gºC
Sustancia
Aluminio
Bronce
Cobre
Glicerina
Hielo
Hierro
c
0,220
0,092
0,093
0,600
0,500
0,105
Sustanci
a
Mercurio
Oro
Plata
Plomo
Vidrio
Zinc
c
0,033
0,031
0,056
0,031
0,160
0,092
Ecuación Fundamental de la Calorimetría
Teniendo en cuenta la definición de calor específico resulta sencillo encontrar una
expresión que permita calcular la cantidad de calor entregada a una sustancia para
elevar su temperatura hasta un cierto valor.
Si indicamos la cantidad de calor con la letra Q:
Q = c . m . Δt
Siendo el calor específico de la sustancia “c” , la masa “m” y “Δt” la variación de
la temperatura.
Calorimetría
Se llama calorimetría el estudio de la medida de las cantidades de calor.Para ello, el principio de conservación de la energía puede adecuarse a través de tres
proposiciones:
• Cuando dos cuerpos intercambian calor sin ganar o perder energía con otros cuerpos,
la cantidad de calor recibida por cada uno de ellos es igual a la cantidad de calor
cedida por el otro.• El calor pasa espontáneamente de un cuerpo de temperatura más alta a otro cuerpo
de temperatura más baja hasta lograr el equilibrio térmico, si el sistema está asilado.
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128
Calor
• La cantidad de calor recibido por un cuerpo durante una cierta transformación es
igual a la cantidad de calor cedida para realizar la transformación inversa.Ejemplo 1:
¿Qué cantidad de calor deberá recibir 20 litros de agua para pasar de 20ºC a 100ºC?
Se aplica la ecuación fundamental de la calorimetría
Q = c . m . Δt = c . m .(t f - t 0 ) =
=1
cal
⋅ 20000 g . ( 100ºC-20ºC )=1600000 cal=1600 Kcal
g.ºC
Ejemplo 2:
¿Qué cantidad de calor deberán ceder 20 kg. de agua para pasar de 100ºC a 20ºC?
Q = c . m . Δt = c . m .(t f - t 0 ) =
=1
cal
⋅ 20000 g . ( 20ºC-100ºC )=-1600000 cal=-1600 Kcal
g.ºC
Obsérvese que las cantidades son numéricamente iguales pero de signo contrario.-
Los Calorímetros
Un
sistema
aislado
térmicamente constituye un
calorímetro, que puede estar
constituido como el de la
figura.
Son
dos
vasos
separados con una capa de
material
adiabático
(por
ejemplo tergopol)
entre
ambos. Se trata de que las
paredes externas e internas de
los vasos sean pulidas para
lograr
mayor
aislamiento
térmico, por razones que más
adelante se estudiarán.
El
principio
del
calorímetro se funda en la
proposición Nº 1:
Cuando
dos
cuerpos
intercambian calor sin ganar o
perder energía con otros
cuerpos, la cantidad de calor
recibida por uno de ellos es
igual a la cantidad de calor
cedida por el otro.
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129
Calor
Ejemplo 3:
En un calorímetro el recipiente interior tiene una masa de m3= 50 g y está
constituido por un material de calor específico c3= 0,22 cal/gºC y contiene 400 g de agua
(m2) a una temperatura t0 = 20ºC.
Se introducen 150 g de hierro (m1) que habían sido calentados a 80ºC ( t’0 ).
La temperatura final de equilibrio térmico fue tf = 22,5 ºC. Determine el calor
específico del hierro considerando despreciables las cantidades de calor absorbidas por
el agitador y el termómetro.
Solución:
El calor cedido por el cuerpo de acuerdo con la proposición 1 es ganado por el
calorímetro y el agua.
Las cantidades son iguales pero de signos contrarios, por lo tanto
Q1 = - Q 2 - Q 3
ó
Q1 + Q 2 + Q 3 = 0
Por lo tanto, si reemplazamos nos queda:
c1 . m1 . ( t f - t 0' ) + c 2 . m2 . ( t f - t 0 ) + c 3 . m3 . ( t f - t 0 ) = 0
c1 . 150 g . ( 22,5 º C - 80 º C ) + 1
+ 0,22
cal
. 400 g . ( 22,5 º C - 20 º C ) +
g.º C
cal
. 50 g . ( 22,5 º C - 20 º C ) = 0
g.º C
Realizando los cálculos intermedios:
-c1 . 8625 g.º C + 1000 cal + 27,5 cal = 0
Despejando:
c1 =
cal
1000 cal + 27,5 cal
= 0,12
g.º C
8625 g.º C
Equivalente en agua de un calorímetro:
Todos los elementos que conforman un calorímetro, vaso interior, agitador,
termómetro; absorben calor. Estos elementos son de distintos materiales y distintas masas
lo que hace difícil evaluar la cantidad de calor que intercambian. Por esta razón se define
el equivalente en agua del calorímetro de las siguiente manera:
El equivalente en agua de un calorímetro es una masa ficticia de agua que
absorbería la misma cantidad de calor que todos los elementos que componen el
calorímetro y se lo indica con la letra “π”. Por supuesto que se mide en gramos.
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130
Calor
Ejemplo 4:
Un calorímetro contiene 300 g de agua a 10ºC y tiene un equivalente en agua π =
60 g. Dentro de él se coloca un cuerpo de aluminio de 150 g a una temperatura de
100ºC. Calcular la temperatura final de la mezcla teniendo en cuenta que cAl = 0,22
cal/g.ºC.
Solución:
En este problema tenemos involucradas tres cantidades de calor. La cedida por el
cuerpo (Q1), la absorbida por el agua (Q2) y la absorbida por el calorímetro, el agitador y
el termómetro (Q3). Por lo tanto si llamamos t0 a la temperatura inicial del agua y el
calorímetro, t’0 a la temperatura inicial del cuerpo de aluminio, tf a la temperatura final
de la mezcla, mAl a la masa de aluminio, ma a la masa del agua, cAl al calor específico
del aluminio y ca al calor específico del agua:
Q1 + Q 2 + Q 3 = 0
c Al . mAl . (t f - t 0' ) + c a . ma . (t f - t 0 ) + c a . π . (t f - t 0 ) = 0
0,22
33
cal
cal
. 150 g . (t f - 100º C ) + 1
. 300 g . (t f - 10º C ) +
g.º C
g.º C
cal
+1
. 60 g . (t f - 10º C ) = 0
g.º C
cal
cal
cal
⋅ t f - 3300 cal + 300
⋅ t f - 3000 cal + 60
⋅ t f - 600 cal = 0
ºC
ºC
ºC
393
tf =
cal
⋅ t f - 6900 cal = 0
ºC
6900 cal
/
cal
/
393
ºC
= 17,56 º C
Obsérvese que en lugar de colocar las masas y los calores específicos del
calorímetro, de agitador y del termómetro se utilizó únicamente π.
Cambio de Estado
En un sistema heterogéneo se denomina fase cada una de las porciones de
materia física homogénea, separables entre sí por procedimientos mecánicos.
En una mezcla gaseosa, a pesar de ser heterogénea, como cada gas
componente ocupa homogéneamente todo el volumen, la mezcla gaseosa constituye
una fase única. Igual situación se presenta con varios solutos presentes en un mismo
solvente.Las tres fases de una misma sustancia: sólida, líquida y vapor pueden estar
presentes al mismo tiempo a una determinada presión y temperatura.
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131
Calor
Calor Sensible y Calor Latente
Experimento:
Si calentamos agua a la presión exterior de una atmósfera, la temperatura irá
elevándose hasta alcanzar 100ºC y comenzará a hervir. Si se sigue suministrando energía
la ebullición continuará pero la temperatura se mantiene constante, en tanto exista agua
por evaporar.
En la primera parte del experimento, la cantidad de calor que el agua absorbe y
que trae como consecuencia la variación de la temperatura se llama calor sensible y,
como sabemos, se calcula por la expresión:
Q = c . m . Δt
La cantidad de calor que en experimento suministramos al agua, y que no se
produce una variación de temperatura sino el pasaje de fase líquida a fase de vapor, se
llama calor latente.-
Calor latente:
La medida del calor latente resulta del cociente entre la medida de la cantidad
de calor que absorbe o cede una sustancia que se halla a la temperatura de cambio de
estado para modificar éste, sin cambiar la temperatura y la medida de la masa de la
sustancia
L=
Q
m
Su unidad resulta:
L =
Q
m
=
cal
g
La definición es válida para el calor latente de cualquier cambio de fase, es decir,
calor latente, de fusión , de solidificación , condensación, etc.
¿Cuál tendrá mayor medida, el calor latente de fusión o el de solidificación?
De acuerdo con las preposiciones enunciadas ambos calores, salvo el signo son iguales. Si
el calor de fusión del hielo es 80 cal/g el de solidificación del agua será -80 cal/g.
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132
Calor
En el siguiente
gráfico se puede ver
como
varía
la
temperatura de una
masa de agua a
medida que se le
entrega calor. Cuando
se
producen
los
cambios de estado la
temperatura
permanece constante
aunque
se
siga
entregando calor. Una
vez que toda la masa
cambia de estado la
temperatura comienza
a subir nuevamente.
Ejemplo 5:
Un calorímetro que tiene un equivalente en agua de 50g y contiene 650 g de
agua a una temperatura de 20ºC. Si se coloca en su interior 300 g de hielo a 0ºC. Calcular
cuál será el estado final de la mezcla.
Solución:
La cuestión en este tipo de problemas es determinar si el hielo se derrite
totalmente o no. Si lo hace entonces la temperatura final de la mezcal será mayor a 0ºC y
habrá que determinarla, Si no, lo que habrá que calcular es qué masa de hielo se derrite.
Para conocer estas cuestiones, debemos determinar qué cantidad de calor es necesaria
para fundir todo el hielo y compararla con la cantidad de calor que son capaces de
entregar el calorímetro y el agua hasta llegar a 0ºC. Entonces calculamos el calor que
absorbería el hielo:
Q=m ⋅ L f =300g ⋅ 80
cal
=24000cal
g
Ahora calculamos la cantidad de calor que cederían el calorímetro y al agua.
Q 50ºC→0ºC =c A ⋅ mA ⋅ Δt+c A ⋅ π ⋅ Δt=1
cal
cal
⋅ 650g ⋅ ( 0ºC-20ºC ) +1
⋅ 50g ⋅ ( 0ºC-20ºC ) =14000cal
gºC
gºC
Como la cantidad de calor entregada por el agua y el calorímetro es menor que la que
necesita el hielo para derretirse totalmente, entonces solo se fundirá parte del hielo.
Como siempre se cumplirá que:
∑Q
intercambiados
=0
⇒
Qhielo +Q agua +Q calorímetro =0
L f ⋅ mh +c A ⋅ mA ⋅ ( t f -t 0A ) +c A ⋅ π ⋅ ( t f -t 0A ) =0
Despejando:
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133
Calor
cal
cal
⋅ 650g ⋅ ( 0ºC-20ºC ) -1
⋅ 50g ⋅ ( 0ºC-20ºC )
-c A ⋅ mA ⋅ ( t f -t 0A ) -c A ⋅ π ⋅ ( t f -t 0A )
gºC
gºC
mh =
=
cal
Lf
80
g
14000cal
mh =
=175g
cal
80
g
-1
Se fundirán 175 g de hielo
Dilatación y Contracción en la Fusión
Cuando los metales fundidos se vacían en un molde para hacer piezas coladas, el
metal se puede contraer o dilatar al solidificarse y después cuando se enfría a la
temperatura ambiente, contraerse o dilatarse, de acuerdo con su coeficiente de
dilatación térmica.El hierro colado, por ejemplo es una sustancia, que al solidificarse, se dilata
ligeramente, pero después, al enfriarse a temperatura ambiente, se contrae cerca de un
1% de su longitud.
Por eso es apropiado para el moldeo ya que la ligera dilatación al solidificarse
ayuda a que reproduzca todos los detalles del molde. Para dar margen al acortamiento
producido al enfriarse, los modelos con los que se forman los moldes deben ser un 1%
mayor que las medidas definitivas que deberá tener la pieza de hierro.-
Enfriamiento por evaporación
Al dejar agua en un vaso abierto, se evapora lentamente, es decir, va pasando
espontáneamente al estado gaseoso. Por esto se considera que la evaporación es una
dilatación libre, y ésta última siempre aparece acompañada de enfriamiento.
Este fenómeno de enfriamiento por evaporación que es tan importante por sus
muchas aplicaciones comerciales, se puede explicar por la teoría cinética de la materia.Debido a los movimientos irregulares de las moléculas de un líquido, algunas de
ellas obtienen momentáneamente una velocidad muy grande.Si una molécula superficial logra una gran velocidad hacia arriba, puede
escaparse al aire por encima del líquido. Algunas de éstas moléculas que se escapan,
regresan otra vez al líquido por los choques fortuitos con las moléculas del aire que están
por encima de la superficie, pero muchas de ellas no regresan. Puede acelerarse el
escape accidental de las moléculas haciendo circular aire sobre la superficie del líquido.
El aire se lleva las moléculas recién evaporadas antes de que tengan oportunidad de
regresar.
En virtud de la gran velocidad de las moléculas que escapan de la superficie de
un líquido, se pierde con ellas una cantidad de energía cinética considerablemente
mayor que la promedio. La disminución de la energía cinética media de las moléculas
restantes en el líquido significa un descenso de la temperatura, cuanto más rápida es la
evaporación, más rápido será el enfriamiento. Esto se demuestra palpablemente
vaciando una pequeña cantidad de éter o alcohol.Cualquiera de estos líquidos, y en especial el éter se evapora muy rápidamente
enfriando la superficie.
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134
Calor
Humedad
Cuando las moléculas de
agua se escapan de la superficie
libre del líquido por evaporación, se
mezclan con las moléculas de aire
que está encima. Si el espacio que
está sobre la superficie del líquido se
encuentra cerrado como en la
figura, ésta mezcla no puede
escapar.
En éstas circunstancias, el
agua continúa evaporándose hasta
que el aire por encima de ellas se
satura con vapor de agua, es decir,
hasta que ya no puede aceptar
más vapor. Cuando
se llega a ésta situación, regresan al líquido tantas moléculas de agua como las que se
logren escapar de él cada segundo.
La cantidad máxima de agua que el aire puede
MASA DE VAPOR DE
retener en estado de vapor depende de la
temperatura y en parte también de la presión del aire.
AGUA EN
Esto se ilustra por los valores dados en la tabla:
1 m3 DE AIRE SATURADO
La temperatura del aire está dada en una
Temperatur masa de vapor
columna, y en la otra se da la cantidad máxima de
a
vapor de agua que puede existir en un metro cúbico
0º C
4,8 g
de aire a dicha temperatura.
Por la tabla se ve
5º
C
6,8g
claramente que cuanto más caliente está el aire,
10º
C
93g
mayor es la cantidad de vapor de agua que puede
15º
C
12,7g
retener.
20º C
17,1g
La atmósfera que podemos considerar como
25º
C
22,8g
aire libre, no está siempre saturada con vapor de agua.
30º C
30,0g
Decimos que el aire está seco si contiene muy poco o
35º C
39,2g
ningún vapor de agua. Si contienen mucho vapor,
decimos que éste es aire húmedo.
La cantidad de vapor de agua presente en un metro cúbico de aire, se llama
“humedad absoluta” . Se mide por el número de gramos de vapor de agua presentes en
un metro cúbico de aire. Por ejemplo, la humedad absoluta puede decirse es de 14 g/m3.
Al hablar de la humedad del aire se acostumbra más frecuentemente expresarla
en humedad relativa en vez de humedad absoluta.
La humedad relativa se define como la relación entre la cantidad de vapor de
agua presente en un volumen dado de aire y la cantidad requerida de vapor para
saturar dicho volumen de aire a la misma temperatura.
Supongamos para ilustrarlo, que el aire contiene en este momento 5,7 g/cm3 de
vapor de agua y la temperatura es de 25ºC. Si el aire estuviera saturado a ésta
temperatura (ver tabla), contendría 22,8 g/cm3. Por lo tanto humedad relativa 5,7/22,8 =
0,25.
Se acostumbra a expresar esta respuesta en porcentaje es decir que la humedad
relativa es de 25%.
Si se baja la temperatura del aire que está saturado con vapor de agua, puede
condensarse algo de dicho vapor al estado líquido. Estas son las condiciones en que se
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135
Calor
forma la lluvia y la neblina. La razón de esta condensación es que a más baja
temperatura debe existir menos vapor de agua para seguir saturado el aire.
Transmisión del calor
Existen tres formas de transmisión del calor: la conducción, la convección y la
radiación. La conducción es un proceso lento por el cual se transmite calor a través de
una sustancia por actividad molecular. La convección es un proceso más rápido donde
es la materia en movimiento la responsable de transportar el calor. La radiación se
produce de la misma forma y con la misma velocidad con que se propaga la luz, 300.000
Km/s.
Conducción:
Cuando queremos calentar un objeto, podemos ponerlo en contacto con otro
cuerpo que esté a una temperatura más alta. Si ponemos un cuerpo metálico sobre la
llama de un mechero, rápidamente se calienta. En este proceso la combustión imprime
una gran velocidad a las moléculas de gas; éstas, chocan con la parte inferior del
cuerpo y hacen que las moléculas del metal aumenten sus vibraciones, a su vez, ahora
éstas golpean a otras moléculas y éstas a otras y a otras y luego de un tiempo, todo el
cuerpo se encuentra a una temperatura mucho más alta que la que tenía inicialmente.
No todos los cuerpos son buenos conductores del calor. Los metales como el cobre o la
plata son mucho mejores que otras sustancias como la madera, el vidrio, el papel o el
agua. La capacidad de una sustancia para transmitir calor se mide por una magnitud
llamada conductividad térmica.
Experimentalmente se demuestra que la cantidad de calor que fluye través
de una pared plana por unidad de tiempo (τ)es directamente proporcional a la superficie
(S) de la pared y a la diferencia de temperatura entre sus caras ( t2 - t1 ), e inversamente
proporcional a su espesor (e).
(t − t ) ⋅ S
Q
=k 1 2
τ
e
Donde k es el coeficiente de conductividad térmica, es decir, la cantidad
de calor que por segundo, atraviesa una placa de un centímetro de espesor y un
centímetro cuadrado de sección transversal cuando sus dos caras opuestas tienen una
diferencia de temperatura de 1ºC.
El calor atraviesa la pared plana desde la cara
que se encuentra a una temperatura mayor
hacia la que se encuentra a una temperatura
menor
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136
Calor
Tabla de coeficientes de conductividad
térmica k, en cal/seg.cm.ºC
Sustancia
Sustancia
k
k
Agua
0,0014
Madera
0,0005
Aluminio
0,50
Mercurio
0,02
Bronce
0,26
Papel
0,0003
Cobre
0,92
Plata
0,97
cuero
0,0004
Plomo
0,08
Hierro
0,16
Vidrio
0,0025
El coeficiente de conductividad del hierro es 0,16 porque
cada cm2 de una pared plana que tiene 1 cm de espesor
es atravesada por 0,16 cal en cada segundo cuando la
diferencia de temperatura entre sus caras es de 1ºC
Experimento:
Si fabricamos un recipiente de papel, podremos hacer hervir agua en él.
Aunque la llama de directamente en su superficie, no se quemará. La razón de esto es
que el calor que recibe la superficie inferior del papel, se transmite a través de él hasta el
agua, con suficiente rapidez para que la temperatura del papel siga quedando por
debajo de la temperatura de combustión. Si el papel es grueso se quemará la superficie
inferior. Aunque parezca extraño, cuento más delgado sea el papel, menor es el riesgo de
que se queme pues, la rapidez con que el calor se transmite es inversamente proporcional
al espesor.
Convección:
¿ Por qué una sustancia tan mala conductora del calor como el agua, se
puede calentar tan rápidamente cuando se la coloca en un recipiente sobre la llama ?
Ello se debe a la segunda forma de transmisión de calor, conocida como convección. El
agua del fondo del recipiente se calienta primero. Debido a la elevación de su
temperatura se dilata y su peso específico se hace menor que el del agua fría que está
por encima. Por lo tanto y según el principio de Arquímedes el agua caliente sube
mientras que la fría baja. Esta acción produce un flujo llamado corriente de convección
que mantiene al agua en movimiento hasta que se calienta toda.
Los calefactores de tiro balanceado son convectores, pues calientan el
aire frío que se encuentra cerca del piso, este se dilata y asciende mientras que el aire frío
que se encuentra en el techo desciende, generando corrientes de convección en todo el
ambiente que de esta forma permanece calefaccionado.
En la atmósfera, las corrientes de convección son considerables y originan
los vientos. En las costas durante el día, el aire fresco del océano viene hacia la tierra
como brisa marina, debido a la convección. Los rayos del sol calientan mas a la arena de
la playa que al agua debido a la diferencia entre sus calores específicos. El aire que se
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137
Calor
encuentra sobre la playa se calienta y asciende mientras que el que está sobre el agua
mas frío pasa a ocupar su lugar.
Durante la noche, la tierra se enfría mas rápidamente que el agua, y por lo
tanto el aire sobre ella también. El fenómeno ahora se produce en sentido inverso y la
brisa sopla desde la tierra hacia el mar.
Las corrientes de convección de la atmósfera son también responsables de
los posos de aire que sufren los aviones.
Radiación:
Si alguna vez nos quedamos a ver el amanecer, habremos notado que apenas se asoma
el sol, ya sentimos la diferencia de temperatura en nuestros rostros. Este calor que
percibimos se denomina calor radiante y viaja a la velocidad de la luz.
El calor radiante es una de las muchas formas de energía y es fácilmente
localizable por medio de un radiómetro.
El más común de los radiómetros es el de Crooke, que se compone de una ampolla de
vidrio y una veleta montada sobre un soporte con muy poco rozamiento, en sus extremos,
la veleta, tiene unas aletas muy livianas de mica que tienen
una cara brillante y la otra negra.La cara negra, absorbe el
calor radiante mientras que la plateada lo refleja, entonces
el aire que se encuentra del lado de la negra se calienta
más. El rápido impacto de las moléculas de aire calentado
ejerce entonces una fuerza mayor sobre la cara negra y la
hace girar.
El calor radiante no es otra cosa que ondas
electromagnéticas, que tienen las mismas propiedades que
la luz visible. La diferencia es que los rayos de calor llamados
infrarrojos, tienen una longitud de onda un poco mayor al
rojo y no son visibles al ojo humano. Es evidente entonces
que para las ondas de calor se cumplirán las leyes de la
reflexión, la refracción y demás estudiadas en tercer año.
Recipientes adiabáticos:
Un recipiente adiabático es aquel
que no deja entrar o salir el calor y por
lo tanto debe evitar as tres formas de
transmisión del calor. El más común es
el termo de vidrio que consiste en un
recipiente de vidrio de doble pared,
plateado por la cara interior. El
propósito del plateado es reflejar el
calor radiante que trate de entrar o
salir del frasco. Al espacio que queda
entre las paredes se le practica vacío,
para
evitar
las
corrientes
de
convección y como el vidrio es mal
conductor, se hace mínima la
conducción a través de las paredes del
cuello de la botella.
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138
Calor
Cuando vimos el calorímetro, dijimos que más adelante explicaríamos el
porque de las paredes pulidas, ahora tenemos la explicación.
El tergopol, también es utilizado como material adiabático, pues el plástico
es mal conductor y la enorme cantidad de minúsculas burbujas de aire en su interior
evitan la convección. Como sabemos, al ser de color blanco, refleja las radiaciones.
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139
Calor
Preguntas y Problemas
168- ¿ Es lo mismo el calor que la temperatura ? ¿Por qué ?
169- Encontrar tres ejemplos prácticos donde alguna forma de energía se transforme en
calor.
170- ¿ Por qué razón en las zonas donde abunda el agua los cambios de temperatura
entre el día y la noche son mas leves que en las zonas desérticas ?
171- ¿ Cómo explicaría la diferencia que existe entre el calor específico y el equivalente
en agua de un calorímetro ?
172- ¿ Por qué razón cuando se produce un cambio de estado en una sustancia su
temperatura no varía?
173- Calcular la cantidad de calor en kcal. que deben ceder 800 g. de agua que se
encuentran a 100 ºC para disminuir su temperatura hasta 10 ºC.
Resp: 72 kcal.
174- Un cuerpo de 200 g. absorbe 1200 cal. produciendo una variación de temperatura
de 80ºC. Determinar el calor específico del mismo.
Resp: 0,075 cal/gºC.
175- Se colocan 0,095 kg de aluminio que está a 120ºC en 0,050 kg de agua que está a
25ºC. Calcular la temperatura de equilibrio de la mezcla. C(Al) = 0,217 cal/gºC
Resp: 52,7ºC
176- Indicar qué requiere mayor transformación de energía:
a) Elevar un bloque de hierro de 5 kg hasta una altura de 8 metros a velocidad constante
o
b) Aumentar la temperatura del mismo bloque en 0,1ºC . C(fe) =0,115 cal/gºC
177- Un cuerpo de 100 g que está a una temperatura de 120 ºC se introduce dentro de un
calorímetro de π = 13,95 g que contiene 500 g de agua a 15ºC. Si la temperatura de
equilibrio resulta de 20ºC, calcular el calor específico del cuerpo.
Resp: 0,257 cal/gºC
178- Un camión de 10 toneladas marcha a una velocidad de 72 km/h. Calcular la
cantidad de calor en kilocalorías que producen los frenos para detener su marcha.
Resp: 478 Kcal.
179- Una esfera de acero (C = 0,115 cal/gºC) se deja caer desde una altura de 5 metros
sobre un plano horizontal, rebotando y elevándose hasta una altura de 2,5 metros.
Suponiendo que el plano no se mueve ni se calienta, calcular la variación que
experimenta la temperatura de la esfera suponiendo que toda la energía se transforma
en calor.
Resp: 5 . 10-2 ºC
180- Un trozo de plata (C = 0,056 cal/gºC) de 40 gramos se introduce en un horno hasta
haber adquirido la temperatura de éste, luego se lo sumerge en un calorímetro de π = 50g
que contiene 100 gramos de agua a 15ºC. La temperatura de equilibrio es de 25 ºC.
Calcular la temperatura que tenía el horno.
Resp: 695ºC
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140
Calor
181- Un trozo de vidrio cuya masa es de 200 gramos tiene una temperatura de 150ºC y se
introduce en un calorímetro de π = 40 g que contiene 760 gramos de agua que está a
10ºC. Calcular la temperatura de equilibrio. Cv = 0,199 cal/gºC.
Resp: 16,6ºC
182- En un calorímetro de π = 800 g que contiene 4,2 kg de agua a 22ºC se coloca un
trozo de 200 gramos de plomo a 100ºC y un trozo de vidrio a -20ºC. La temperatura de
equilibrio del conjunto es de 20ºC. Calcular la masa de vidrio (CPb =0,031 cal/gºC Cv =
0,199 cal/gºC)
Resp: 1319 g
183- Calcular la cantidad de calor que hay que suministrarle a :
a) 150 gramos de aluminio que se encuentra a la temperatura de fusión para que se
funda totalmente (Lf = 76,8 cal/g)
b) a 1kg de hielo en iguales condiciones
c) a 0,5 kg de hidrógeno a los mismos efectos (Lf = 14 cal/g)
Resp: a) 11,52 Kcal b) 80 Kcal c) 7 Kcal
184- Calcular la altura desde la cual habrá que dejar caer una cierta masa de hielo que
está a 0 ºC para que se funda totalmente, si toda la energía del choque se transformara
en calor.
Resp: 34 km
185- Calcular la masa de hielo que se encuentra a -10ºC que será necesaria introducir en
el interior del un calorímetro de π = 150 g que contiene 850 g de agua que está a 50ºC,
para que el equilibrio térmico se produzca a 20ºC. Hacer la gráfica pertinente.
Resp: 285,71 g
186- Un cuerpo de 20 gramos de una sustancia
cede calor variando de temperatura y
cambiándola de acuerdo con el proceso que
muestra la gráfica. Determinar:
a) el punto de fusión de dicha sustancia.
b) el punto de condensación.
c) el calor de solidificación.
d) el calor específico al estado sólido y al estado
líquido.
e) el calor latente de vaporización.
f) el calor específico al estado gaseoso.
Resp: a) 10ºC. b) 30ºC. c) 10 cal/g, d) 0,25 cal/gºC , 0,5 cal/gºC. e)15 cal/g. f) 0,5
cal/gºC.
187- En un calorímetro ideal se encuentra 1 kg de hielo que está a -10ºC
a) Calcular la cantidad de agua que está a 80ºC , que debe ser introducida para que el
equilibrio térmico se verifique a los 10 ºC.
b) ídem , si en lugar de agua se introduce vapor de agua a 100ºC para que el
equilibrio térmico tenga lugar a los 40ºC.
Resp: a) 1357 g ; b) 208 g.
188- Se mezclan un kilogramo de agua que está a 95ºC con un kilogramo de hielo que
está a -10ºC Determinar:
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141
Calor
a) si se dispone de suficiente cantidad de calor para fundir el hielo,
b) si es así a qué temperatura quedará la mezcla?
Resp: 5ºC
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142
Electrostática
Unidad Nº 6:
Electrostática
Noción de carga eléctrica
Como sabemos, los cuerpos materiales se atraen unos a otros con una fuerza
denominada ''fuerza gravitatoria''. Esta atracción tiene consecuencias observables
cuando al menos uno de los cuerpos que intervienen tienen una masa enorme, como
ocurre con un planeta. Sin embargo, las fuerzas gravitatorias no son las únicas que actúan
a distancia entre los cuerpos materiales. A veces otras fuerzas son enormemente mayores.
Un pequeño imán es capaz de levantar un clavo de acero de una mesa en contra de la
atracción gravitatoria de la tierra entera. Un peine frotado con un tejido levantará
pequeños trozos de papel. Estos son ejemplos de fuerzas magnéticas y eléctricas
respectivamente.
La existencia de estas fuerzas es conocida desde la antigüedad, pero fue durante
el Renacimiento cuando se inició el estudio sistemático de la electricidad y el
magnetismo, sin embargo, el conocimiento claro de estos fenómenos físicos, no tuvo lugar
hasta fines del siglo pasado. Difícilmente, otro logro científico tuvo consecuencias tan
profundas y de tan largo alcance. Existen aplicaciones prácticas innumerables. El dominio
de las fuerzas eléctricas y el desarrollo de las comunicaciones han cambiado nuestra
forma de vivir.
En el aspecto científico hemos aprendido que las fuerzas eléctricas controlan la estructura
de los átomos y moléculas. La electricidad esta asociada a muchos procesos biológicos,
por ejemplo, con la acción de los centros nerviosos y cerebrales.
Atracción y repulsión entre objetos electrificados
Vamos a examinar algunos hechos básicos de los fenómenos eléctricos y
magnéticos, y discutiremos su interpretación. Comencemos con un simple experimento
eléctrico. Si frotamos una barra de vidrio con un paño de seda y la situamos
horizontalmente sobre un soporte colgado de un hilo, y luego frotamos otra barra de
vidrio, observaremos que al acercarla a la primera, se repelen.
Si repetimos el experimento con dos barras de plástico frotadas con un paño de
lana observaremos que sucede lo mismo.
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143
Electrostática
Finalmente, si frotamos una barra de vidrio con seda y otra de plástico con lana y,
situamos una de ellas sobre el soporte, acercando la otra veremos que se atraen.
Podemos realizar experimentos semejantes con un gran número de otras
sustancias. Los objetos del mismo material electrizados por el mismo procedimiento se
repelen siempre. Los cuerpos de distinta sustancia pueden atraerse o repelerse.
Por consiguiente, los cuerpos electrificados pueden clasificarse en dos grupos. Sólo
existen dos estados eléctricos, Uno semejante al de la barra de vidrio y otro semejante al
de la barra de plástico. Siguiendo la notación común, creada por Benjamín Franklin (17061790), diremos que la barra de vidrio y todos los objetos que se comportan de igual
manera, están cargados positivamente. Del mismo modo, diremos que la barra de
plástico y los restantes objetos que se comportan del mismo modo están cargados
negativamente.
Primer principio de la electrostática
Cargas de igual signo se repelen, y cargas de signo contrario se atraen.
Estructura eléctrica de la materia
Como sabemos, la materia esta formada por átomos y los mismos átomos están
constituidos por unidades más pequeñas: los protones, los neutrones y los electrones.
Los protones y neutrones se encuentran en el núcleo del átomo, donde esta
concentrada prácticamente toda la masa y los electrones se encuentran orbitando a
gran velocidad alrededor del núcleo. Los protones están cargados positivamente; los
electrones, negativamente y los neutrones no tienen carga eléctrica.
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144
Electrostática
Un átomo neutro tiene la misma cantidad de protones en el núcleo que electrones
orbitando, por esta razón su carga neta es cero. Si de alguna manera se quitan electrones
a un átomo neutro, quedará con un defecto de carga negativa, por lo tanto estará
cargado positivamente. Si por el contrario, se le agregan electrones, quedará con exceso
de carga negativa, por lo tanto estará cargado negativamente.
Al frotar un cuerpo con otro, algunas sustancias tienden a captar algunos
electrones superficiales y otras a cederlos, por ejemplo, la barra de vidrio cede electrones
a la seda, quedando el vidrio cargado positivamente y el paño cargado negativamente.
En el caso de la barra de plástico la lana cede electrones y el plástico los capta
quedando cargado negativamente.
Cuando un cuerpo tiene todos sus átomos en estado neutro decimos que está
descargado. Sin embargo tengamos en claro que esto no significa que no tiene cargas
eléctricas.
Segundo principio de la electrostática:
Es imposible crear carga eléctrica de un signo si a la vez no se crea igual carga
del signo contrario. Es decir, la carga eléctrica en un sistema cerrado permanece
constante
Dieléctricos y conductores
Con frecuencia clasificamos distintos materiales diciendo que unos son
conductores eléctricos y otros son aislantes. La clasificación está basada en experiencias
semejantes a las siguientes:
Fabricamos un péndulo eléctrico colgando de un hilo una esferita de tergopol
recubierta con un delgado papel metálico. Colocamos una barra metálica en posición
horizontal sobre un soporte de manera que haga contacto con el péndulo, como indica
la figura 1. Si electrificamos por frotamiento una barra de plástico y tocamos con ella la
barra metálica veremos que la esfera del péndulo es inmediatamente repelida, como
indica la figura 2.
Si repetimos el experimento utilizando una barra de plástico en lugar de una
metálica veremos que al tocarla con la barra cargada no sucede nada.
Por lo tanto podemos asegurar que las barras metálicas y las de plástico se
comportan de manera diferente.
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145
Electrostática
.
Para explicar ésta diferencia basta admitir que en un metal existan algunas
partículas eléctricas libres que son capaces de desplazarse de un punto a otro, cosa que
no ocurre con el plástico. Supongamos, por ejemplo, que las partículas libres del metal son
negativas. Cuando el plástico cargado negativamente toca la barra metálica neutra,
algunas de estas partículas que se encuentran en exceso en la primera pasan a la
segunda y se dispersan a lo largo de toda la barra hasta llegar a la esfera. Entonces la
barra y la esfera quedan cargadas negativamente y se repelen mutuamente.
¿Qué ocurre al sustituir la barra metálica por otra de plástico?. En este material no
hay posibilidad de que las partículas negativas se muevan libremente, por esto, las cargas
que le pasa la primera barra quedan alojadas en el punto de contacto. El resto,
permanece eléctricamente neutro al igual que la esfera; por lo tanto, no existe ninguna
fuerza que obligue a la esfera a separarse de la barra.
Las sustancias que se comportan como el metal se denominan conductores. Las
sustancias cuya conducta es similar a la del plástico se llaman aislantes o dieléctricos.
Todos los conductores tienen partículas eléctricas libres y los aislantes no.
En los metales, la conductividad es debida exclusivamente al movimiento de las
partículas negativas, es decir, los electrones.
Carga eléctrica por contacto.
Si se pone en contacto un cuerpo cargado con otro neutro, parte de la carga del
primero pasa al segundo, quedando ambos cargados con el mismo signo. Si el segundo
cuerpo es conductor, la carga que adquiere se distribuye por toda su superficie exterior.
Experimentalmente se verifica que si se ponen en contacto dos esferas
conductoras iguales, una cargada y la otra neutra, la carga se reparte mitad para cada
una. Si una de las esferas es más grande, la carga se reparte proporcionalmente, yendo la
mayor cantidad de carga a la esfera mayor.
Descarga a tierra:
Siendo la tierra un conductor enormemente mayor que cualquier otro cuerpo que
se encuentre sobre ella, todo objeto cargado que se conecte a tierra se descargará
inmediatamente.
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146
Electrostática
Inducción eléctrica:
Supongamos que se tiene una barra conductora en estado neutro y se le acerca
otra barra que se encuentra cargada, por ejemplo, positivamente como indica la figura.
Experimentalmente se observa que la barra conductora se “polariza”, esto
significa que en el extremo que se encuentra más cercano a la barra cargada se
concentra carga negativa y en el más lejano se concentra carga positiva. Este hecho
puede explicarse si recordamos que los conductores tienen electrones libres que son
atraídos por la carga positiva de la barra que acercamos, de esta manera en el otro
extremo se produce un defecto de electrones que dan origen a la carga positiva.
Electroscopio de hojas:
El electroscopio es un instrumento cualitativo
empleado para demostrar la presencia de cargas
eléctricas. En la figura se muestra el instrumento tal
como lo utilizó por primera vez el físico Michael
Faraday. El electroscopio está compuesto por dos
hojuelas de metal muy finas (a,a) colgadas de un
soporte metálico (b) en el interior de un recipiente de
vidrio u otro material no conductor (c). Una esfera (d)
recoge las cargas eléctricas del cuerpo cargado que
se quiere observar; las cargas, positivas o negativas,
pasan a través del soporte metálico y llegan a ambas
hojas. Al ser iguales, las cargas se repelen y las
láminas se separan. La distancia entre éstas depende
de la cantidad de carga.
Ley de Coulomb
Realizando una serie de experimentos con una balanza de torsión por él diseñada,
Charles de Coulomb (francés, 1736-1806) descubre la ley que permite calcular las fuerzas
que se ejercen entre cargas eléctricas.
Balanza de torsión de Coulomb
Coulomb empleó una balanza de torsión para estudiar las
fuerzas electrostáticas. Para ello cargó una esfera fija con
una carga q1, y una esfera situada en el extremo de una
varilla colgada con una carga q2. La fuerza ejercida por q1
sobre q2 tuerce la varilla y la fibra de la que cuelga.
Girando el cabezal de suspensión en sentido contrario se
mantienen las esferas a la distancia original. La fuerza se
mide por el ángulo que hay que girar el cabezal. Coulomb
halló que la fuerza ejercida por una carga sobre otra es
directamente proporcional al producto de ambas cargas
(q1q2). También observó que la fuerza era inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia r entre las esferas
cargadas.
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147
Electrostática
Ley:
La fuerza de atracción o repulsión que ejerce una carga eléctrica sobre otra tiene
una dirección que coincide con la de la recta que las une y su módulo es directamente
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia que las separa.
Adoptando un sistema de referencias polar con origen en una carga nos queda:
r
q ⋅ q
F = k 0 1 2 2 ⋅ r̂
r
Esta es la fuerza que la carga 1 hace sobre la 2, tengamos en cuenta que,
cumpliendo con el principio de acción y reacción, la carga 2 hará una fuerza igual y de
sentido contrario sobre la 1.
La constante de proporcionalidad k0 depende del sistema de unidades adoptado
para definir la unidad de carga eléctrica. En el sistema internacional la unidad de carga
se llama Coulomb.
Dos cuerpos puntuales se encuentran cargados con 1 C (Coulomb) cada uno
cuando separados una distancia de 1 m. se repelen con una fuerza de 9 . 109 N (Newton).
Despejando la constante k0 de la ecuación de Coulomb y reemplazando por los
valores de la definición se obtiene su valor.
q1 ⋅ q2
F ⋅ r2
9 ⋅ 109 N ⋅ 1m2
F = k0
⇒ k0 =
=
r2
q1 ⋅ q2
1C ⋅ 1C
k 0 = 9 ⋅ 109
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N ⋅ m2
C2
148
Electrostática
Un cuerpo puntual es aquel cuyas dimensiones son despreciables frente a las
distancias que lo separan de los demás.
Ejemplo 1:
Dos cargas puntuales q1= 5.10-5 C y q2 desconocida se encuentran separadas a 0,3
m y se repelen con una fuerza de 2 N. Calcular el valor de q2
Solución:
Planteamos la ley de Coulomb para el cálculo del módulo de la fuerza y
despejamos q2
q1 ⋅ q2
F ⋅ r2
F = k0
⇒ q2 =
=
r2
q1 ⋅ k 0
2N ⋅
0,09 m2
= 4 ⋅ 10-7C
2
N⋅m
5.10-5C ⋅ 9 ⋅ 109
C2
Ejemplo 2:
Tres cargas eléctricas puntuales están
ubicadas en el vacío como indica la figura,
siendo q1 = 4.10-5 C; q2 = 8.10-5 C y q3 = 105 C. Calcular la fuerza resultante que
actúan sobre la carga tres.
Solución:
Primero hacemos un diagrama de las fuerzas que actúan sobre q3 y calculamos
sus valores:
r
q ⋅ q
N ⋅ m2 4.10-5
F1,3 = k 0 1 2 3 ⋅ ˆi = 9 ⋅ 109
⋅
C2
r1,3
r
F1,3 = 3,6N ˆi
2
r
q2 ⋅ q3 ˆ
8.10-5
9 N⋅m
F2,3 = k 0
⋅ j = 9 ⋅ 10
⋅
2
C2
r2,3
r
F2,3 = 1,6N ˆj
C ⋅ 10-5 C
1m2
C ⋅ 10-5 C
4m2
Por lo tanto:
r
F = 3,6N ˆi + 1,6N ˆj
Si aplicamos Pitágoras para calcular el módulo, nos queda:
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149
Electrostática
r
F =
(3,6 N)2 + (1,6N)2 ≅ 3,94N
Carga del electrón
Robert Andrews Millikan, (1868-1953), físico y premio Nobel estadounidense, fue
conocido por su trabajo dentro de la física atómica. Millikan nació en Morrison (Illinois) y
estudió en las universidades de Columbia, Berlín y Göttingen. Se incorporó al cuerpo
docente de la Universidad de Chicago en 1896, y en 1910 fue profesor de física.
Abandonó la universidad en 1921 al convertirse en director del laboratorio de física
Norman Bridge en el Instituto de Tecnología de California. En 1923 le fue concedido el
Premio Nobel de Física por los experimentos que le permitieron medir la carga de un
electrón, comprobando que la carga solamente existe como múltiplo de esa carga
elemental.
El valor por el hallado es de 1,6.10-19C, es decir, que en 1C de carga habrá
6,25.1018 electrones.
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150
Electrostática
Campo eléctrico
Cuando un cuerpo se encuentra cargado, el espacio que lo rodea se ve
afectado por su presencia, pues si se coloca una carga puntual en dicho espacio, sobre
ella aparecerá una fuerza. Entonces podemos decir que en el espacio existe “algo“
provocado por el cuerpo cargado que modifica sus propiedades; a ese “algo” lo
denominamos Campo eléctrico. Por lo tanto podemos decir que el campo eléctrico es
una propiedad del espacio que le permite ejercer fuerzas sobre cargas eléctricas en
reposo.
Vector Campo Eléctrico:
Como dijimos, podemos hablar de una propiedad nueva del espacio y por lo
tanto debemos “inventar” una magnitud que nos permita medirla. Definiremos entonces
el vector campo eléctrico.
Si colocamos una carga puntual muy pequeña (carga exploradora) en reposo, en una
región del espacio podrán suceder dos cosas: que no experimente la acción de una
fuerza o que si lo haga. De ser así, existe un campo eléctrico. Si duplicamos el valor de la
carga exploradora, observamos que se duplica la fuerza que sobre ella actúa, si
triplicamos el valor de la carga también se triplica el de la fuerza, es decir, que la fuerza
que aparece sobre la carga, en ese punto del espacio, es directamente proporcional al
valor de esta. Si se hace lo mismo para otros puntos del espacio se encuentra que la
relación de proporcionalidad continúa aunque el valor de la constante podrá ser otro.
Esto significa que cada punto del espacio tendrá asociada una magnitud igual al
cociente entre la fuerza que actúa sobre una carga eléctrica puesta en el y su valor. Es
evidente que se tratará de una magnitud vectorial pues es el resultado del producto de
un escalar por un vector.
Definición:
El vector campo eléctrico en un punto del espacio es una magnitud que se
obtiene como el cociente entre la fuerza que actúa sobre una carga exploradora
colocada en el punto y el valor de la carga.
r
r
r
r F
E = ⇒ F = q⋅E
q
Es importante destacar que la dirección del vector campo eléctrico es el mismo
que la de la fuerza y su sentido también coincide siempre y cuando la carga exploradora
sea positiva.
Veamos en el ejemplo gráfico como serían los vectores campo eléctrico en
distintos puntos del espacio que rodean a cuerpos cargados.
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151
Electrostática
Espacio que rodea a un cuerpo cargado
negativamente
Espacio que rodea a un cuerpo cargado
positivamente
Obsérvese que en el caso que el campo lo genera un cuerpo cargado
positivamente los vectores campo eléctrico son salientes mientras que, si el cuerpo que
genera el campo está cargado negativamente los vectores son entrantes, es decir, se
dirigen hacia el cuerpo.
Cálculo del campo eléctrico producido por una carga puntual:
Supongamos una carga puntual Q en el espacio alejada de cualquier otro
cuerpo. Alrededor de ella se generará un campo eléctrico que podrá detectarse con
una carga exploradora q y calcularse aplicando la definición de campo eléctrico.
r
r F
E=
q
Pero según la ley de Coulomb la fuerza sobre la carga exploradora puede
calcularse como:
r
Q⋅ q
F = k 0 2 ⋅ r̂
r
Por lo tanto reemplazando nos queda:
r
Q⋅ q
E = k 0 2 / ⋅ r̂
r ⋅ q/
r
Q
E = k 0 2 ⋅ r̂
r
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152
Electrostática
Conclusión:
El campo eléctrico que rodea a una carga puntual aislada en el espacio
disminuye según el cuadrado de la distancia a la carga que lo genera.
Principio de superposición:
Cuando un campo eléctrico es generado por varias cargas eléctricas puntuales,
el campo eléctrico en un punto del espacio es la suma vectorial de los vectores campo
eléctrico generados por cada una de las cargas en dicho punto como si las otras no
existieran.
r i =n r
E = ∑ Ei
i =1
Ejemplo 3:
En la figura se observa la obtención
del campo eléctrico en el punto P debido a
las cargas Q1, Q2, Q3. Es importante destacar
que en el punto P solo existe el campo EP. Los
vectores E1, E2, E3, se utilizaron para hacer la
suma vectorial pero en realidad no existen,
solo existirían independientemente, es decir,
si solo estuvieran en el espacio las cargas
que los generan en ausencia de las otras:
r
r
r
v
Ep = E1 + E 2 + E 3
Campo eléctrico en el interior de un conductor:
Si un conductor se encuentra en equilibrio electrostático, la carga eléctrica en
exceso se encuentra distribuida sobre la superficie de manera que en el interior del
conductor el campo eléctrico será nulo. Esto es lógico pues si no lo fuera, dicho campo
produciría movimiento de cargas y entonces no habría equilibrio.
Michael Faraday nació el 22 de septiembre de 1791 en Newington (Surrey). Era hijo de un
herrero y recibió poca formación académica. Mientras trabajaba de aprendiz con un
encuadernador de Londres, leyó libros de temas científicos y experimentó con la electricidad. En
1812 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico sir Humphry Davy y envió a éste las
notas que tomó en esas conferencias junto con una petición de empleo. Davy contrató a Faraday
como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real. Faraday entró en la Sociedad Real
en 1824 y al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Royal Institution. Faraday
recibió muchos galardones científicos, algunos de ellos concedidos por la Sociedad Real. También
le ofrecieron la presidencia de esta institución, pero declinó el honor. Murió el 25 de agosto de 1867,
cerca de Hampton Court (Surrey).
Las investigaciones que convirtieron a Faraday en el primer científico experimental
de su época las realizó en los campos de la electricidad y el magnetismo. En 1821 trazó el
campo magnético alrededor de un conductor por el que circula una corriente eléctrica
(la existencia del campo magnético había sido observada por vez primera por el físico danés
Hans Christian Oersted en 1819). En 1831 Faraday descubrió la inducción electromagnética,
y el mismo año demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Durante este
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153
Electrostática
mismo periodo de trabajo, investigó los fenómenos de la electrólisis y descubrió dos leyes
fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente eléctrica en una
electrólisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrólito, y que las
cantidades de sustancias electrolíticas depositadas por la acción de una misma cantidad de
electricidad son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias.
Al experimentar con el magnetismo, Faraday realizó dos descubrimientos de gran
importancia. Uno fue la existencia del diamagnetismo y el otro fue comprobar que un campo
magnético tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada que pasa a través de ciertos tipos de
cristal. ( Fuente Microsoft Encarta 97).
Líneas de fuerza:
En esta parte de nuestro desarrollo queremos destacar una de las concepciones
más importantes de la electrostática: el modelo de lineas de fuerza. Faraday imaginó al
campo eléctrico representandolo con lineas que nacían en cargas positivas y morían en
cargas negativas. La intensidad del campo era proporcional a la densidad de lineas de
fuerza, es decir, en los lugares donde las lineas se concentraban el campo era más
intenso y donde las líneas estaban más dispersas el campo era más débil. Veamos
algunos ejemplos:
Campo generado por una carga positiva
infinitamente alejada de otras.
Campo generado por una carga negativa
infinitamente alejada de otras.
Campo generado por un dipolo eléctrico, es decir
dos cargas iguales pero de signo contrario.
Campo generado por dos cargas iguales.
Las líneas de fuerza eléctricas indican la dirección y el sentido en que se movería
una carga de prueba positiva de masa despreciable si se situara en un campo eléctrico.
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154
Electrostática
Flujo de un campo eléctrico
Supongamos un campo eléctrico uniforme representado por líneas de fuerza
paralelas en una región del espacio. Si colocamos en dicha región una superficie
matemática, será atravesada por las líneas. La cantidad de líneas que atraviesen la
superficie será proporcional a la intensidad del campo, a la medida de la superficie y al
ángulo que forme la superficie respecto de las líneas de fuerza.
Para medir este ángulo definiremos el vector superficie, cuyas características
serán: Módulo, igual a la medida de la superficie; dirección y sentido, perpendicular a la
superficie.
Definición:
El flujo Φ del campo eléctrico E constante a
través de una superficie S es una magnitud
que se obtiene como el producto escalar
entre el vector campo eléctrico y el vector
superficie.
r r
Φ Er = E ⋅ S ⋅ cos α
Tengamos en cuenta que si el campo eléctrico no fuera constante sobre toda la
superficie o si la superficie no fuera plana el cálculo del flujo se complicaría y para
efectuarlo habría que recurrir a el cálculo diferencial y hacerlo a través de una integral.
Carl Friedrich Gauss, (1777-1855), fue un matemático alemán conocido por sus muy
diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del
electromagnetismo.
Nació en Braunschweig el 30 de abril de 1777 y estudió lenguas antiguas, pero a
los 17 años comenzó a interesarse por las matemáticas e intentó dar una solución al
problema clásico de la construcción de un heptágono regular, o figura de siete lados,
con una regla y un compás. No solamente consiguió probar que esto era imposible, sino
que siguió aportando métodos para construir figuras de 17, 257 y 65.537 lados. Durante estos
estudios, probó que la construcción, con regla y compás, de un polígono regular con un número de
lados impar sólo era posible cuando el número de lados era un número primo de la serie 3, 5, 17, 257
y 65.537 o un producto de dos o más de estos números. A raíz de este descubrimiento abandonó sus
estudios de lenguas y se dedicó a las matemáticas. Estudió en la Universidad de Gotinga desde
1795 hasta 1798; para su tesis doctoral presentó una prueba de que cada ecuación
algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema, que ha sido un desafío para los
matemáticos durante siglos, se sigue denominando teorema fundamental de álgebra. Su tratado
sobre la teoría numérica, Disquisitiones arithmeticae (1801), es una obra clásica en el campo de
las matemáticas.
Más tarde, Gauss dirigió su atención hacia la astronomía. Ceres (un asteroide débil) había
sido descubierto en 1801, y puesto que los astrónomos pensaban que era un planeta, lo observaron
con mucho interés hasta que lo perdieron de vista. Desde sus primeras observaciones, Gauss calculó
su posición exacta, de forma que fue fácil su redescubrimiento. También planeó un nuevo método
para calcular las órbitas de los cuerpos celestes. En 1807 fue nombrado profesor de matemáticas y
director del observatorio de Gotinga, ocupando los dos cargos hasta el 23 de febrero de 1855,
fecha de su muerte.
Aunque Gauss hizo valiosas contribuciones tanto a la astronomía teórica como práctica,
trabajó sobre todo en matemáticas y en física matemática, abarcando prácticamente todas sus
ramas. En la teoría numérica desarrolló el importante teorema de los números primos Gauss fue el
primero en desarrollar una geometría no euclídia, pero no publicó estos importantes
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155
Electrostática
descubrimientos ya que deseaba evitar todo tipo de publicidad. En la teoría de la probabilidad,
desarrolló el importante método de los mínimos cuadrados y las leyes fundamentales de la
distribución de la probabilidad. El diagrama normal de la probabilidad se sigue llamando curva de
Gauss. Realizó estudios geodésicos y aplicó las matemáticas a la geodesia. Junto con el físico
alemán Wilhelm Eduard Weber, Gauss realizó una intensa investigación sobre el magnetismo. Entre
sus más importantes trabajos están los de la aplicación de las matemáticas al magnetismo y a la
electricidad; una unidad de inducción magnética recibe su nombre. También llevó a cabo
investigaciones en el campo de la óptica, especialmente en los sistemas de lentes. ( Fuente
Microsoft Encarta 97).
Ley de Gauss
Imaginemos una carga eléctrica puntual que genera un campo eléctrico en un
punto del espacio.
Si rodeamos la carga con superficies
esféricas concéntricas a ella S1, S2, S3, las
r
líneas de fuerza del campo eléctrico E
producirán un flujo a través de ellas. Las
superficies son mayores cuanto más alejadas
están las superficies a la carga pero también
las líneas de fuerza que las atraviesan están
mas separadas. La medida de las superficies
aumentan con el cuadrado de su radio
(S=4.π.r2) y como sabemos el valor del campo
eléctrico disminuye en la misma proporción
(E= k0.Q/r2).
Por lo tanto el flujo a través de cualquiera de las superficies será siempre el mismo
(obsérvese que el vector superficie para un pequeño elemento de S es paralelo al vector
campo eléctrico que lo atraviesa).
(
)
Q⎞
⎛
Φ Er = ⎜ k 0 ⋅ 2 ⎟ ⋅ 4 ⋅ π ⋅ r 2 ⋅ cos 0º = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ Q
r ⎠
⎝
Esto nos indica que el flujo que atraviesa cualquiera de las esferas es constante y
directamente proporcional a la carga que encierra la superficie.
Gauss generalizó esta conclusión haciendo uso del cálculo diferencial y llegó a la
siguiente ley:
Ley de Gauss:
El flujo de campo eléctrico que atraviesa cualquier superficie cerrada es
directamente proporcional a la carga encerrada por la superficie.
Φ Er = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
Aplicaciones de la ley de Gauss:
Conductor recto infinito:
Podemos aplicar la ley para calcular el campo eléctrico generado por un alambre
infinito cargado.
Supongamos que tenemos en el espacio un alambre infinito cargado y deseamos
calcular el campo eléctrico que produce a una distancia r del mismo. Para esto
colocamos una superficie cilíndrica cerrada de longitud l y radio r, concéntrica con el
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156
Electrostática
conductor de manera que solo habrá flujo a través de la superficie cilíndrica propiamente
dicha ya que las tapas no son atravesadas por ninguna línea de fuerza.
En la figura se indica el alambre infinito cargado con una carga genérica Q y
rodeado por la superficie. Obsérvese que para cada elemento de superficie S el campo
eléctrico es paralelo y además es constante sobre toda la superficie.
Aplicando la ley de Gauss sabemos que:
Φ Er = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
El flujo a través de la superficie cilíndrica puede calcularse como el producto del
módulo del campo eléctrico, que es constante, y la medida de la superficie.
r
r
Φ Er = E ⋅ S = E ⋅ 2π ⋅ r ⋅ l
Si igualamos las ecuaciones y despejamos el módulo del campo eléctrico nos
queda:
r
E ⋅ 2π/ ⋅ r ⋅ l = 4 ⋅ π/ ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
r 2 ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
E=
r⋅l
Definiremos una magnitud denominada densidad lineal de carga que indicará la
carga por unidad de longitud de la siguiente manera:
λ=
Por lo tanto nos queda:
Q
l
r 2 ⋅k0 ⋅ λ
E=
r
En el caso de un alambre recto de longitud infinita el campo eléctrico disminuye
en forma inversamente proporcional a la distancia que lo separa del punto donde se
desea calcular el campo.
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157
Electrostática
Placa conductora infinita cargada:
Ahora aplicaremos la ley para calcular el campo eléctrico generado por una
placa conductora infinita cargada.
Supongamos que tenemos en el espacio una placa infinito cargada y deseamos
calcular el campo eléctrico que produce en un punto cualquiera del mismo. Para esto
colocamos una superficie cilíndrica cerrada, de manera que una de las tapas se
encuentre en el interior de la placa, por lo tanto solo habrá flujo a través de la tapa que
se encuentra en el exterior ya que en el interior del conductor en equilibrio electrostático
el campo es cero y la superficie cilíndrica propiamente dicha no es atravesada por
ninguna línea de fuerza.
En la figura se indica la placa conductora infinita cargada con una carga
genérica Q y rodeado por la superficie. Obsérvese que para cada elemento de superficie
S el campo eléctrico es paralelo y además es constante sobre toda la superficie.
Aplicando la ley de Gauss sabemos que:
Φ Er = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
El flujo a través de la tapa circular puede
calcularse como el producto del módulo del
campo eléctrico, que es constante, y la medida
de la superficie.
r
Φ Er = E ⋅ S
Si igualamos las ecuaciones y despejamos
el módulo del campo eléctrico nos queda:
r
E ⋅ S = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
r 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ Q encerrada
E=
S
Definiremos una magnitud denominada densidad superficial de carga que
indicará la carga por unidad de superficie de la siguiente manera:
σ=
Q
S
Por lo tanto nos queda:
r
E = 4 ⋅ π ⋅k0 ⋅ σ
Como vemos el campo eléctrico es constante en todo el espacio.
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158
Electrostática
Trabajo Eléctrico
Supongamos un campo eléctrico uniforme en una región del espacio
representado por líneas de fuerza paralelas y una carga que se desplaza desde el punto
A hasta el punto B sin acelerarse siguiendo dos caminos, el AB y el ACB. Tengamos en
cuenta que para que la carga no se acelere habrá que realizar sobre ella una fuerza
externa igual y contraria a la que el campo le aplica. Calcularemos el trabajo realizado
por la fuerza eléctrica para las dos trayectorias:
Trayectoria AB:
Trayectoria ACB:
r
r
L AB = F ⋅ d AB ⋅ cos 0º = F ⋅ d AB
L AC + L CB = F ⋅ d AC ⋅ cos
1
4290º
4
3 + F ⋅ d CB ⋅ cos α
0
Pero si observamos el triángulo tenemos:
cos α =
Reemplazando:
d AB
d CB
r
r
d
L AC + L CB = 0 + F ⋅ d CB ⋅ AB = F ⋅ d AB
d CB
Como podemos ver el trabajo realizado por la fuerza que el campo ejerce sobre la
carga es independiente de la trayectoria.
Esta demostración se realizó para el caso particular de un campo eléctrico
uniforme pero se puede generalizar para un campo eléctrico cualquiera si se hace uso
del cálculo diferencial.
Se trata de un caso similar al que se demostró para el campo gravitatorio cuando
estudiamos mecánica.
Diremos entonces que la fuerza que el campo eléctrico ejerce sobre la carga es
conservativa pues el trabajo que realiza es independiente de la trayectoria.
Energía potencial eléctrica:
Como el trabajo es independiente de la trayectoria podemos introducir el
concepto de energía potencial eléctrica tal que, cuando la carga pasa de un punto a
otro dentro de un campo eléctrico, experimenta una variación en dicha energía que es
igual al trabajo de esa fuerza cambiado de signo.
ΔEPBA = - L AB
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159
Electrostática
La variación de la energía potencial eléctrica es la diferencia entre la energía
potencial que la carga posee en el punto final de su trayectoria y la energía potencial
que posee en el punto inicial de la misma:
E PB - E PA = - L AB
Por lo tanto:
Si el Trabajo de la fuerza es positivo, la variación de la energía potencial es
negativa, por lo tanto la energía potencial de la carga a disminuido.
Si el Trabajo de la fuerza es negativo, la variación de la energía potencial es
positiva, por lo tanto la energía potencial de la carga a aumentado.
Diferencia de potencial eléctrico (Tensión):
La diferencia de energía potencial eléctrica entre dos puntos de un campo
eléctrico depende de la cantidad de carga que se transporte entre esos puntos pues las
fuerzas que aplique el campo sobre la carga dependerán de su valor y por lo tanto el
trabajo que estas fuerzas realicen también.
Por lo tanto resultará conveniente definir una magnitud que nos independice de la
cantidad de carga transportada y que solo dependa de la posición dentro del campo
eléctrico. Esta magnitud se denomina diferencia de potencial (ddp):
La diferencia de potencial entra dos puntos de un campo eléctrico es el cociente
entre el trabajo realizado por el campo sobre una carga para tansportarla de un punto al
otro y el valor de la carga transportada.
− ΔVAB = −
E PB - E PA L AB
=
q
q
(ΔVAB = diferencia de potencial entre el punto B y el punto A del campo.)
Por lo tanto:
− (VB - VA ) =
L AB
q
(VA = Potencial del punto A)
(VB = Potencial del punto B)
VA - VB =
L AB
q
Obsérvese que la diferencia de potencial eléctrico indica la diferencia de energía
potencial eléctrica por unidad de carga entre dos puntos.
Es evidente que no tiene mucho sentido hablar del potencial absoluto ya que lo
que hemos definido es la diferencia de potencial. Ahora si arbitrariamente asignamos el
valor de potencial cero para algún punto del espacio. Todos los demás puntos tendrán un
valor de potencial relativo a este al que usualmente se llama potencial absoluto del
punto.
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160
Electrostática
Unidad:
[V ] = [L] = J = V ( Volt )
[q] C
La diferencia de potencial entre dos puntos de un campo eléctrico es de 1V
cuando para trasladar una carga de 1C entre dichos puntos el campo realiza un trabajo
de 1J.
Relación entre diferencia de potencial y campo eléctrico para un campo uniforme:
A Partir de la definición tenemos:
r
L AB F ⋅ d AB r
− (VB - VA ) =
=
= E ⋅ d AB
q
q
r
− ΔVAB = E ⋅ d AB
Esta relación es solo válida para un campo eléctrico uniforme porque se calculó el
trabajo considerando que la fuerza F se mantiene constante para todo el trayecto.
Fuerza electromotriz (fem)
Una fem es un dispositivo capaz de producir y sostener una diferencia de potencial
entre dos puntos. Funciona transformando algún tipo de energía en eléctrica. Por
ejemplo:
Una pila eléctrica: Transforma energía química en eléctrica.
Una dínamo o un alternador: Transforman energía mecánica en eléctrica.
Una fotocélula: Transforma energía lumínica en eléctrica.
Una termocupla: transforma calor en energía eléctrica.
Un conjunto de estos elementos conforma una batería.
En un circuito se la indica con el siguiente símbolo:
Pila Eléctrica:
Alessandro Volta, (1745-1827), físico italiano, conocido por sus trabajos sobre la electricidad.
Nació en Como y estudió allí, en la escuela pública. En 1774 fue profesor de física en la Escuela
Regia de Como y al año siguiente inventó el electróforo, un instrumento que producía cargas de
electricidad estática. Durante 1776 y 1777 se dedicó a la química, estudió la electricidad
atmosférica e ideó experimentos como la ignición de gases mediante una chispa eléctrica en un
recipiente cerrado. En 1779 fue profesor de física en la Universidad de Pavía, cátedra que ocupó
durante 25 años. Hacia 1800 había desarrollado la llamada pila de Volta, precursora de la batería
eléctrica, que producía un flujo estable de electricidad. Por su trabajo en el campo de la
electricidad, Napoleón le nombró conde en 1801. La unidad eléctrica de tensión conocida como
volt recibió ese nombre en su honor.
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161
Electrostática
La pila de eléctrica elemental está compuesta de tres partes: un par de placas
metálicas distintas, llamadas electrodos, una solución ácida llamada electrolito y un
recipiente no conductor, llamado celda.
Para construir una pila en el laboratorio en general se utiliza cinc y cobre como
electrodos; ácido sulfúrico diluido como electrolito y un recipiente de vidrio o goma dura
como celda.
Las moléculas individuales de ácido sulfúrico ( H2SO4 ) están compuestas de siete
átomos cada una: dos átomos de hidrógeno, uno de azufre y cuatro de oxígeno. Cuando
se vierte un poco de ácido concentrado en una celda llena de agua que tiene los
electrodos de cobre (Cu) y cinc (Zn) se produce una reacción química de manera que el
cinc se combina con el ácido formando sulfato de cinc ( ZnSO4 ), esta reacción, tiene
como consecuencia la liberación de electrones en el electrodo de cinc, quedando
cargado entonces con carga negativa, a su vez el electrodo de cobre tiene que ceder
electrones quedando cargado positivamente.
Las pilas en las que el producto químico no puede volver a su forma original una
vez que la energía ha sido convertida (es decir, que las pilas se han descargado), se
llaman pilas primarias o voltaicas. Las pilas en las que el producto químico puede ser
reconstituido pasando una corriente eléctrica a través de él en dirección opuesta a la
operación normal de la pila, se llaman pilas secundarias o acumuladores.
Pilas primarias
La pila primaria más común es la pila Leclanché o pila seca, inventada por el
químico francés Georges Leclanché en los años sesenta. La pila seca que se utiliza hoy es
muy similar al invento original. El electrólito es una pasta consistente en una mezcla de
cloruro de amonio y cloruro de cinc. El electrodo negativo es de cinc, igual que la parte
exterior de la pila, y el electrodo positivo es una varilla de carbono rodeada por una
mezcla de carbono y dióxido de manganeso. Esta pila produce una fuerza electromotriz
de unos 1,5 V.
Otra pila primaria muy utilizada es la pila de cinc-óxido de mercurio, conocida
normalmente como batería de mercurio. Puede tener forma de disco pequeño y se utiliza
en audífonos, células fotoeléctricas y relojes de pulsera eléctricos. El electrodo negativo es
de cinc, el electrodo positivo de óxido de mercurio y el electrólito es una disolución de
hidróxido de potasio. La batería de mercurio produce unos 1,34 V.
La pila de combustible es otro tipo de pila primaria. Se diferencia de las demás en
que los productos químicos no están dentro de la pila, sino que se suministran desde fuera.
Pilas secundarias
El acumulador o pila secundaria, que puede recargarse revirtiendo la reacción
química, fue inventado en 1859 por el físico francés Gaston Planté. La pila de Planté era
una batería de plomo y ácido, y es la que más se utiliza en la actualidad. Esta batería que
contiene de tres a seis pilas conectadas en serie, se usa en automóviles, camiones,
aviones y otros vehículos. Su ventaja principal es que puede producir una corriente
eléctrica suficiente para arrancar un motor; sin embargo, se agota rápidamente. El
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162
Electrostática
electrólito es una disolución diluida de ácido sulfúrico, el electrodo negativo es de plomo
y el electrodo positivo de dióxido de plomo. En funcionamiento, el electrodo negativo de
plomo se disocia en electrones libres e iones positivos de plomo. Los electrones se mueven
por el circuito eléctrico externo y los iones positivos de plomo reaccionan con los iones
sulfato del electrólito para formar sulfato de plomo. Cuando los electrones vuelven a
entrar en la pila por el electrodo positivo de dióxido de plomo, se produce otra reacción
química. El dióxido de plomo reacciona con los iones hidrógeno del electrólito y con los
electrones formando agua e iones plomo; estos últimos se liberarán en el electrólito
produciendo nuevamente sulfato de plomo.
Un acumulador de plomo y ácido se agota porque el ácido sulfúrico se transforma
gradualmente en agua y en sulfato de plomo. Al recargar la pila, las reacciones químicas
descritas anteriormente se revierten hasta que los productos químicos vuelven a su
condición original. Una batería de plomo y ácido tiene una vida útil de unos cuatro años.
Produce unos 2 V por pila. Recientemente, se han desarrollado baterías de plomo para
aplicaciones especiales con una vida útil de 50 a 70 años.
Otra pila secundaria muy utilizada es la pila alcalina o batería de níquel y hierro,
ideada por el inventor estadounidense Thomas Edison en torno a 1900. El principio de
funcionamiento es el mismo que en la pila de ácido y plomo, pero aquí el electrodo
negativo es de hierro, el electrodo positivo de óxido de níquel y el electrólito es una
disolución de hidróxido de potasio. La pila de níquel y hierro tiene la desventaja de
desprender gas hidrógeno durante la carga. Esta batería se usa principalmente en la
industria pesada. La batería de Edison tiene una vida útil de unos diez años y produce
aproximadamente unos 1,15 V.
Otra pila alcalina similar a la batería de Edison es la pila de níquel y cadmio o
batería de cadmio, en la que el electrodo de hierro se sustituye por uno de cadmio.
Produce también 1,15 V y su vida útil es de unos 25 años.
Voltímetro:
Es un instrumento que permite medir la diferencia de potencial entre dos puntos.
En un circuito se lo simboliza de la siguiente forma:
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163
Electrostática
Capacidad
Supongamos un conductor esférico conectado a través de una fem. a tierra como
indica la figura. Al hacerlo, los electrones libres que se encuentran en el conductor son
obligados por el campo eléctrico que aplica la fem a desplazarse hasta la tierra de
manera que la carga se polariza entre el cuerpo y la tierra hasta que la ddp entre el
cuerpo y la tierra es la misma que la que aplica la fem.
Si la fem es variable, podemos cambiar la ddp
aplicada entre la esfera y la tierra. Al realizar este experimento
se observa que a medida que aumenta la ddp, se
incrementa la caga de la esfera en forma directamente
proporcional.
Si se cambia la esfera por otro cuerpo conductor
cualquiera se observa que la carga admitida por el
conductor sigue siendo directamente proporcional a la ddp
pero la constante de proporcionalidad es otra.
Q ∝ ΔV
Definición:
La capacidad de un conductor es una magnitud escalar que depende de sus
características geométricas y cuyo valor es igual al cociente entre la carga que admite
cuando se le aplica una diferencia de potencial y el valor de dicha diferencia.
C=
Unidades:
Q
ΔV
[C] = [Q ] = C = F (Faradio)
[V ] V
Sub-unidades:
Milifaradio:
mF = 10-3 F
Microfaradio: μF = 10-6 F
Nanofaradio: nF = 10-9 F
Picofaradio:
pF = 10-12 F
Podemos concluir también que todo cuerpo cargado tiene una ddp respecto de
tierra. Generalmente se da el valor potencial cero a la tierra con lo cual el cuerpo
cargado tiene un potencial absoluto respecto de tierra.
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164
Electrostática
Ejemplo 4:
Dos cuerpos conductores se encuentran muy alejados uno del otro y tienen una
carga Q1=4 μC y Q2=6 μC siendo sus capacidades C1=2 μF y C2=6 μF. Si se los pone en
contacto mediante un fino hilo conductor calcular:
a- El potencial inicial respecto de tierra para cada cuerpo.
b- El potencial final de las cuerpo.
c- La carga final de cada cuerpo.
Solución:
Cálculo de los potenciales iniciales:
V1,0 =
Q 1 4μC
=
= 2V
C 1 2μF
;
V2,0 =
Q 2 6μC
=
= 1V
C 2 6μF
Para calcular el potencial final tenemos que tener en cuenta el principio de
conservación de la carga y que al conectar los cuerpos se producirá un movimiento de
cargas hasta que todo vuelva a quedar en equilibrio cuando no haya ddp entre los
cuerpos y por lo tanto ambos cuerpos tendrán el mismo potencial respecto de tierra:
Q 1,0 + Q 2,0 = Q 1,f + Q 2,f
4μC + 6μC = C 1 ⋅ Vf + C 2 ⋅ Vf
10μC = ( C 1 + C 2 ) ⋅ Vf
Vf =
10μC
= 1,25 V
8μF
Calculamos ahora la carga final de cada cuerpo:
Q 1,f = C 1 ⋅ Vf = 2μF ⋅ 1,25V = 2,5 μC
Q 2,f = C 2 ⋅ Vf = 6μF ⋅ 1,25V = 7,5 μC
Obsérvese que la suma da las cargas finales coincide con la suma de las cargas
iniciales.
Capacitores:
Un capacitor es un dispositivo especialmente diseñado para tener una gran
capacidad en relación con un conductor común. Los hay de varios tipos: cerámicos,
electrolíticos, de poliester, pero uno de los primeros en inventarse y más utilizados es el
capacitor plano de placas paralelas.
Este capacitor consiste en dos placas conductoras enfrentadas paralelamente y
separadas por una cierta distancia que puede estar vacía u ocupada por un dieléctrico,
como indica la figura. Cuando se conecta este capacitor a una fem., el campo eléctrico
que esta genera comienza a introducir electrones en una placa quitándolos de la otra
hasta que la ddp. entre placas es la misma que la de la fem. en estas condiciones se
restablece el equilibrio electrostático y el capacitor ha quedado cargado. Si se lo
desconecta de la fem., continuará cargado hasta que las placas sean conectadas por
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165
Electrostática
un conductor. En esta situación la carga negativa pasará a la placa positiva y el
capacitor se habrá descargado.
Si aplicamos la definición de capacidad
tenemos que:
C=
Q
ΔV
Siendo Q la carga sobre una de las placas y ΔV
la ddp. entre placas.
Como ya hemos calculado aplicando la ley de
Gauss el campo eléctrico producida por esta placa en el
vacío es constante siendo su valor:
r
E = 4 ⋅ π ⋅k0 ⋅ σ
La diferencia de potencial para un campo
constante es:
r
ΔV = E ⋅ d
ΔV = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅ σ ⋅ d
ΔV = 4 ⋅ π ⋅ k 0 ⋅
Q
⋅d
S
Por lo tanto:
C=
Q
/
Q
/
4 ⋅ π ⋅k0 ⋅ ⋅ d
S
=
1
S
⋅
4 ⋅ π ⋅k0 d
1
es una magnitud física denominada permitividad
4 ⋅ π ⋅k0
eléctrica del vacío y se lo indica con ε0 :
1
ε0 =
4 ⋅ π ⋅k0
La expresión
Entonces:
C = ε0 ⋅
S
d
El valor de la permitividad eléctrica del vacío es: ε0 = 8,85 . 10-12 C2/Nm2.
Si en lugar de vacío se coloca un dieléctrico entre placas la capacidad del
sistema aumenta porque, debido a un fenómeno de polarización en el mismo, la
permitividad eléctrica es mayor. Esto significa que la permitividad eléctrica (ε) de
cualquier sustancia dieléctrica es mayor que la del vacío. En dicho caso la capacidad se
calcula como:
C = ε⋅
S
d
Permitividad eléctrica relativa:
Para una sustancia se define la capacidad eléctrica relativa como el cociente
entre la permitividad eléctrica de la sustancia y la del vacío:
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166
Electrostática
εr =
ε
ε0
Estos valores se encuentran tabulados:
Permitividades relativas a 18ºC
Parafina
Ebonita
Vidrio
Azufre
Mica
Baquelita
Germanio
Alcohol metílico
Glicerina
Acetona
Agua pura
Ácido cianhídrico
2
2,5
5a9
4
3a6
5,5
16
33
42
21
81
95
Símbolo del capacitor:
Cuando en un circuito se quiere indicar un capacitor se lo representa con el
siguiente símbolo:
Asociación de capacitores:
Los capacitores pueden asociarse entre si para obtener distintos valores de
capacidad deseados. Existen dos formas de asociación: en serie y en paralelo.
Asociación en paralelo:
Un conjunto de capacitores está asociado en paralelo cuando se encuentran
conectados a la misma diferencia de potencial. Por ejemplo:
En esta asociación todos los capacitores se encuentran
conectados a la ddp producida por la fem. (ΔVAB). Ésta, provocará
que una de las placas de cada capacitor adquiera una carga
proveniente de la placa que la enfrenta, de manera que el
equilibrio se restablecerá cuando la ddp en cada capacitor sea la
misma que la de la fem. La carga total del sistema será entonces
la suma de las cargas adquiridas por cada capacitor:
QT = Q1 + Q2 + Q3
Pero según la definición de capacidad:
QT = C1 . VAB + C2 . VAB + C3 . VAB
Sacando factor común:
QT = VAB . ( C1 + C2 + C3 )
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167
Electrostática
Por lo tanto:
QT
= C1 + C 2 + C 3
VAB
Teniendo en cuenta la definición de capacidad nos queda:
C T = C1 + C 2 + C 3
Cuando los capacitores se encuentran asociados en paralelo, la capacidad del
sistema es igual a la suma de las capacidades de cada capacitor.
Asociación en serie:
Un conjunto de capacitores está asociado en serie cuando se encuentran
conectados uno a continuación de otro. Por ejemplo:
En esta asociación la fem. obliga a los electrones libres de la placa izquierda del
capacitor C1a trasladarse a la placa de la derecha del capacitor C3 hasta que la ddp
entre los puntos AyB se hace igual a la producida por la fem. La carga no puede ingresar
al capacitor C2, sin embargo este se carga por inducción ya que las placas exteriores
obligan a una polarización de cargas en el capacitor central. Si se desconecta al sistema
de la fem., habrá adquirido una determinada carga, que no es otra que la de las placas
exteriores. Sin embargo cada capacitor tendrá también la misma carga, pues si se los
desconectara entre sí, quedarían cargados de la misma manera. Eso significa que:
Q1 = Q2 = Q3 = QT
Además la diferencia de potencial entre los extremos del sistema será la suma de las
diferencias de potencial de cada capacitor:
Remplazando:
VAB = VAD + VDE + VEB
VAB =
Q3
Q1
Q2
+
+
C1
C2
C3
Teniendo en cuenta que todas las cargas son iguales e iguales a la carga total,
sacamos factor común y despejamos:
⎛1
1
1 ⎞
+
+
VAB = Q T ⋅ ⎜
⎟
C2
C3 ⎠
⎝ C1
VAB 1
1
1
=
+
+
Q T C1 C 2 C 3
Por lo tanto:
1
1
1
1
=
+
+
C T C1 C 2 C 3
Ejemplo 5:
Para el siguiente circuito de capacitores calcular una vez que entra en régimen
estacionario:
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168
Electrostática
a) CT, e
b) QT , Q en cada capacitor
c) VAB , VBD , VBE ,
Datos:
C1 = 5 μ F
C2 = 8 μ F
C3 = 20 μF
C4 = 30 μF
VED = 2 V
Calculamos la capacidad total
1
1
1
1
1
3+2
1
=
+
=
+
=
=
⇒ C 3,4 = 12μF
C 3,4 C 3 C 4 20μF 30μF 60μF 12μF
C2,3,4 = 8μF + 12μF = 20μF
1
1
1
1
1
1+ 4
1
=
+
=
+
=
=
⇒ C T = 4μF
C T C 2,34 C 1 20μF 5μF 20μF 4μF
Calculamos Q4
Q4 = C4 . VED = 30μF . 2V = 60 μC
Como C3 está en serie con C4 tienen la misma carga
Q3= 60 μC
Calculamos ahora VBE
VBE =
Q 3 60μC
=
= 3V
C 3 20μF
Calculamos VBD
Calculamos ahora Q2
VBD = VBE + VED = 5V
Q2 = C2 . VBD = 8μF . 5V = 40μC
Sumando las cargas en paralelo calculamos Q2,3,4 que es igual a Q1 y a QT por
estar conectadas en serie
QT = Q1 = Q2,3,4 = Q2 + Q3,4 = 40 μC + 60 μC = 100 μC
Ahora calculamos VAB
VAB =
Q 1 100μC
=
= 20V
C1
5μF
La fem. se calcula sumando las ddp
e = VAB + VBD = 20V + 5V = 25 V
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169
Electrostática
Preguntas y problemas de electrostática
Carga eléctrica y ley de Coulomb
189- ¿ Cuántas clases de cargas eléctricas existen y cómo se las denomina?
190- ¿ Cómo está constituido un átomo neutro?
191- ¿Cómo se explica la electrificación por frotamiento?
192- Enuncie los principios de la electrostática.
193- ¿Qué diferencia existe entre una aislante y un conductor?
194-Si dos esferas conductoras se ponen en contacto, estando una cargada
eléctricamente y la otra descargada. ¿ Qué sucede?
195- Si ambas esferas son iguales. ¿ Qué sucede?
196- Si una de las esferas es más grande. ¿ Cómo se repartirá la carga?
197- Si se pone en contacto con la tierra a un cuerpo cargado ¿ Qué sucede?
198- ¿Cómo explicaría esto en base a las conclusiones anteriores?
199- ¿Qué es un electroscopio de hojas?
200- ¿En qué consiste el fenómeno de inducción electrostática y cómo se explica?
201- Explique la forma de cargar un electroscopio por inducción.
202- ¿Qué es una carga eléctrica puntual?
203- Enuncie la ley de Coulomb.
204- ¿De qué depende el valor de la constante de proporcionalidad k?
205- ¿Cómo se define la unidad de carga eléctrica en el sistema MKS?
206- ¿Cuál es el valor de la constante electrostática en el vacío?
207- ¿Qué es el cuanto elemental de electricidad y cuál es el valor de su carga eléctrica?
208- ¿En qué lugar de los conductores se distribuyen las cargas eléctricas?
209- Si se carga un cuerpo conductor no esférico ¿ Cómo se distribuye la carga?
210- Dos cargas eléctricas iguales están ubicadas en el vacío a 2 m una de la otra y se
repelen con una fuerza de 400 N. Calcular el valor de cada carga.
Resp: 4,2 10-4 C
211- Tres cargas eléctricas, q1 = 8 . 10-4 C ; q2 = 9 . 10-5 C y q3 desconocida están ubicadas
en el vacío como indica la figura. Calcular el valor de q3 para que q2 se encuentre en
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170
Electrostática
equilibrio.
Resp: 7,2 10-3 C
212- Tres cargas eléctricas se encuentran ubicadas en el vacío como indica la figura. Si el
valor de la fuerza resultante que actúa sobre q2 es 300 N. Calcular el valor y signo de q1 y
q3 .
Resp: -6,67 10-4 C , 8 10-3 C
213- Calcular las fuerzas resultantes que actúa sobre q1 y q3 en el caso del problema
anterior.
Resp: 4861,8 N , 4574,9 N
214- En el modelo de Bohr correspondiente al átomo de hidrógeno, un electrón describe
una órbita circular alrededor de un núcleo que contiene un solo protón. Si el radio de la
órbita es aproximadamente 0,53 . 10-10 m, y la masa del electrón es me = 9,1 10-31 Kg.
Calcular la velocidad del electrón y el número de revoluciones que da por segundo.
(frecuencia).
Resp: 2187,5 Km/s , 6,57 1015 Hz.
215- Dos esferas iguales de masa m = 5 g., cuelgan de hilos de seda de longitud L = 0,2 m.
como indica la figura. Ambas esferas están cargadas con cargas eléctricas iguales. Sí el
ángulo α = 37º. Calcular el valor de la carga de cada esfera cuando el sistema se
encuentra en equilibrio.
Resp: 4,93 10-7 C
216- Dos cargas puntuales A y B iguales ubicadas en el vacío a 2 m de distancia
interactúan con una fuerza de módulo 3,1 N. Otra carga C igual a las anteriores se
ubica en la perpendicular trazada al segmento AB en el punto medio a 2 m del mismo.
Determine:
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171
Electrostática
a- El valor de as cargas eléctricas.
b- El módulo de la fuerza que actúa sobre C.
Resp: 3,71 10-5 C , 4,46 N.
217- Tres cargas eléctricas puntuales están ubicadas en el vacío como indica la figura,
siendo q1 = 4 . 10-5 C ; q2 = 8 . 10-5 C y q3 = 10-5 C. Calcular el módulo y dirección de las
fuerzas resultantes que actúan sobre cada carga.
Resp:
4,28 N
,
5N ,
2N
218- Dos esferas conductoras de igual radio A y B con cargas iguales se repelen con una
fuerza de 3,6 N encontrándose en el vacío a una distancia de 4 m en el vacío. Otra
esfera conductora C neutra y del mismo radio que las anteriores, toca primero a la
esfera A y luego a la B, finalmente se ubica en el punto medio del segmento
determinado por las esferas A y B. Calcule:
a- Carga inicial de las esferas.
b- Carga final de las esferas.
c- Fuerza resultante sobre qC.
Resp: 4 10-5 C , 6 10-5 C , 6 10-5 C , 2,7 N
219- Dos cargas eléctricas puntuales de igual signo q1 = 8.10-4 C y q2 = 2.10-4 C están
ubicadas en el vacío a 6 m de distancia. Determine en que punto de la recta que une
ambas cargas debe ubicarse q3 = 10-5C para que la fuerza neta sobre ella resulte nula.
Resp: 2 m
Campo Eléctrico
220- El módulo del campo eléctrico debido a una carga puntual es E = k q/r2 , siendo r la
distancia entre la carga y el punto en el cual se calcula el campo. Esto sugiere que el
campo eléctrico es infinito en el sitio en que está localizada la carga. ¿ Será infinita la
fuerza actuante sobre ella?
221- Las líneas de fuerza permiten representar gráficamente a un campo eléctrico. ¿ Son
estas líneas sobre las cuales el valor del campo eléctrico es constante? ¿ Pueden cruzarse
dos líneas de fuerza? Justifique sus respuestas.
222- Dibuje las líneas de fuerza en un plano que contenga dos cargas puntuales de igual
valor y signo. ¿Por qué las líneas de fuerza parecen emanar en forma uniforme desde el
centro de la figura a distancias suficientemente alejadas del mismo?
223- Si se deja en libertad una carga puntual de masa m, inicialmente en reposo ¿ se
moverá a lo largo de una línem de fuerza?
224- Si se coloca un dipolo electrico en un campo el ectrico no uniforme ¿ existe una
fuerza neta sobre él ?
Aplique su respuesta a la experiencia "casera" en la cual un peine frotado se acerca a
trozos de papel livianos.
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172
Electrostática
225- Dos cargas de 0,7 μC y de signo contrario, están separadas 15 m.
r
a) ¿Cuál es la magnitud, dirección y sentido de E en un punto a la mitad del segmento
que une ambas cargas?
b)¿Qué fuerza (módulo, dirección y sentido) obraría sobre un electrón colocado allí?
Datos: La carga de un electrón es e = -1,6 10-19C.
Resp: 224 N/C. La dirección es la de la recta que contiene a ambas cargas y su sentido es
r
hacia la carga negativa. F= 3,584 .10-7 N con igual dirección, y sentido contrario que E .
226- Una carga +2q está separada de una carga -8q, por una distancia a. Determinar:
Los puntos (en la recta que contiene a ambas cargas) en los cuales la intensidad del
campo eléctrico es cero. Dato: a = 50cm
Resp: E = 0 a 50 cm de la carga +2q, del lado contrario a la carga -8q.
r
227- Determinar el campo eléctrico E (magnitud, dirección y
sentido) en el centro del cuadrado de la figura.
Datos: q = 100 μC ; a = 5 cm
Resp: 109 N/C j donde j es un versor paralelo a los lados
verticales, con sentido hacia el lado superior.
228- Dos cargas positivas de 10-6 C se encuentran en los puntos indicados por las
coordenadas (0 ; 0) y (0,1m ; 0) de un plano. Determinar el campo eléctrico en el punto
de coordenadas (0,05m ; 0,05 m).
Resp: 2,55 . 106 N/C
229- Se tienen dos cargas eléctricas puntuales de 2μC y -5 μC separadas a 10 cm.
Calcular
el campo eléctrico en un punto que se encuentra a 20 cm sobre la recta que une ambas
cargas del lado exterior de la carga positiva.
Resp: 5 . 106 N/C
230- En tres de los vértices de un cuadrado de 1 m de lado hay cargas iguales de 10 μC.
Calcular el módulo del campo eléctrico en el cuarto vértice.
Resp: 1,723 . 105 N/C
231- Si situamos una carga positiva de 2 μC en el origen de coordenadas encontramos
que experimenta una fuerza de 8.10-4 N î Calcular:
a- El vector campo eléctrico en dicho punto.
b- Cuál sería la fuerza que actuaría sobre una carga eléctrica de –6 μC colocada en el
mismo punto.
Resp: 400 N/C î
-2,4.10-3 N î
232- En dos de los vértices de un triángulo equilátero de 3 m de lado hay una carga de 10
μC. Calcular el campo eléctrico en el tercer vértice.
Resp: 1,73 . 10-4 N/C
233- Una carga puntual se coloca en el centro de una superficie gaussiana esférica.
¿Cambiaría el valor del flujo del campo eléctrico:
a) Si la superficie se sustituye por un cubo dei mismo volumen?
b) Si la esfera se reemplaza por un cubo de un décimo del volumen?
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173
Electrostática
c) Si la carga se mueve quitándola del centro de la esfera original, pero dejando que
permanezca en su interior?
d)Si la carga se mueve hasta afuera de la superficie gaussiana?
234- Puede afirmarse a partir del teorema de Gauss que el campo eléctrico es debido
solamente a q (la carga encerrada por la superficie gaussiana?
235- Supóngase que una superficie gaussiana no encierra carga. ¿ Implica el teorema de
r
r
Gauss que E es igual a cero en todos los puntos de la superficie? Si E es igual a cero en
todos los puntos de la superficie. ¿Implica el teorema de Gauss que no existe carga total
en el interior?
236- Se cumpliría el teorema de Gauss si el exponente de la ley de Coulomb no fuera
exactamente igual a dos?
237- Determinar el campo eléctrico a una distancia z = 3 m de una línea infinita, cuya
densidad lineal de carga es λ =25 μC/m.
Resp: 1,5 .105 N/C
238- Una lámina conductora de espesor no despreciable, se encuentra cargada
con una densidad superficial uniforme σ sobre c/u de sus caras. Una pequeña
esfera de masa m = 10-3 g, está suspendida de un punto de la lámina conductora,
mediante un hilo de seda, como se muestra en la figura. La esfera está cargada
con q = 20 nC. El equilibrio se produce cuando el ángulo entre el hilo y la lámina
es de 30º. Obtener el valor de σ.
Resp: 2,5 nC/m2
Capacidad
239- Dos conductores esféricos aislados y muy alejados están en el vacío y tienen
capacidades C1 = 2 . 10-5 μF y C2 = 4 . 10-5 μF. Se encuentran electrizados con cargas
eléctricas Q1= 7 .10-4 μC y Q2 = 8 . 10-4 μC respectivamente y se conectan mediante un fino
hilo conductor. Determinar :
• Potencial eléctrico de equilibrio.
• Carga eléctrica final de cada esfera.
Resp : 25 V , 5 . 10-4 μC , 10 . 10-4 μC
240- Dos conductores esféricos aislados se encuentran en el vacío muy alejados entre sí.
Están electrizados y tienen capacidades C1 = 3 . 10-5 μF y C2 = 9 . 10-5 μF respectivamente.
Si se los une con un fino hilo conductor el potencial eléctrico de equilibrio resulta 50 V.
Determinar:
• La carga de la esfera 2 sabiendo que Q1 = 5 . 10-3 μC.
• Potencial eléctrico inicial de las esferas.
Resp : 1 . 10-3 μC , 11V
241- Tres conductores esféricos aislados están en el vacío y tienen capacidades
C1 = 3 .10-5 μF, C2 = 2 . 10-5 μF y C3 = 5 . 10-5 μF y se encuentran cargados con
Q1 = 6 .10-4 μC, Q2 = 2.10-4μC y Q3 = 4 . 10-4 μC respectivamente. Se conecten las tres
mediante un fino hilo conductor hasta que se restablece el equilibrio. Determinar :
• El potencial de equilibrio.
• La carga eléctrica final de cada esfera.
Resp : 12 V , 3,6 . 10-4 μC , 2,4 . 10-4 μC , 6 . 10-4 μC.
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174
Electrostática
242- Tres conductores esféricos iguales y aislados tienen la misma capacidad eléctrica
C =5 . 10-5 μF y poseen cargas eléctricas Q1 = 5 . 10-4 μC, Q2 = 4 . 10-4 μC y Q3 = 3 . 104μC. Si las esferas se ponen en contacto determinar :
• El potencial eléctrico de equilibrio.
• L a carga eléctrica final de cada esfera.
• Resp : 8 V , 4 . 10-4 μC
243- Las placas de un capacitor plano tienen una superficie de 0,05 m2 y están situadas a
una distancia de 2 cm. El espacio entre las placas está ocupado por un dieléctrico de
permitividad relativa 4. El capacitor se conecta a una ddp de 200 V. Calcular :
• Capacidad del capacitor.
• Carga eléctrica que adquiere.
Resp : 8,85 . 10-5 μF , 1,77 . 10-2 μC
244- Las placas de un capacitor plano tienen una superficie de 0,008 m2 y están situadas a
una distancia de 2 cm. El espacio entre las placas está ocupado por un dieléctrico de
permitividad relativa 5. El capacitor se conecta a una ddp de 180 V. Calcular :
• Capacidad del capacitor.
• Carga eléctrica que adquiere.
• Resp : 1,77. 10-5 μF , 3,186 . 10-3 μC
245- Las placas de un capacitor plano tienen una superficie de 0,005 m2 y están situadas a
una distancia de 4 cm. El espacio entre las placas está ocupado por un dieléctrico. Si el
capacitor se conecta a 150 V adquiere una carga de 1,3275 . 10-3 μC. Calcular :
• Capacidad del capacitor.
• Permitividad relativa dl dieléctrico
Resp : 8.85 . 10-6 μF , 8
246- Un capacitor plano de placas horizontales se ha conectado a una diferencia de
potencial. La distancia entre placas es de 8 cm. Una pequeña esfera conductora de m2 =
0,2g con una carga eléctrica de 4 . 10-6 C cae con MRU. Calcular :
• Módulo del vector campo eléctrico.
• Diferencia de potencial entre placas.
Resp : 5 . 10-2 N/C , 40
247- Para el siguiente circuito de capacitores calcular
una vez que entra en régimen estacionario:
a) CT (4μF), e (50 V)
b) QT (200μC), Q en cada capacitor
(QT=Q1=200μC, Q2=140μC, Q3=Q4=Q5=60 μC)
c) VAB (40V), VBD(10V) , VBE(3V) , VFD(5V)
Datos:
C1 = 5 μF C4 = 30 μF
C2 = 14 μF C5 = 12 μF
C3 = 20 μF VEF = 2 V
d) Energía en el capacitor 5 (150 μJ)
248- Para el siguiente circuito de capacitores calcular
una vez que entra en régimen estacionario:
a) CT (2μF) , e (60V)
b) QT , Q en cada capacitor
(QT=Q1=Q5=120μC, Q2=Q3=80μC)
c) VAB (20V), VBD(8V) , VDE(2V) , VEF(30V) , VBE(10V)
d) Energía en el capacitor 1(1200μJ)
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Datos:
C1 = 6 μ F C4 = 4 μ F
C2 = 10 μF C5 = 4 μF
C3 = 40μF Q4 = 40 μC
175
Electrostática
249- Para el siguiente circuito de capacitores calcular
una vez que entra en régimen estacionario:
a) CT (20μC)
b) QT , Q en cada capacitor
(QT=400μC,Q1=160μC,Q2=80μC, Q3=Q4=Q5=160μC)
c) VAB (2,67V), VBD(4V) , VDE(13.33V) ,VBE(17,33V)
d) Energía en el capacitor 3 (213,6μJ)
Datos:
C1 = 8 μF C4 = 40 μF
C2 = 4 μF C5 = 12 μF
C3 = 60 μF e = 20 V
250- Para el siguiente circuito de capacitores calcular
una vez que entra en régimen estacionario:
a) CT (38μF), e (15V)
b) QT , Q en cada capacitor
(QT=570μC,Q1=Q2=120μC,Q3=105μC,Q4=Q7=45μC,
Q5=200μC, Q8=300μC)
c) VAB (3V),VBD(12V),VDE(3,75V) , VEF(6,25V) , VBE(8,25V)
d) Energía en el capacitor 1 (180μJ)
251- Para el siguiente circuito de capacitores calcular
una vez que entra en régimen estacionario:
a) CT (1,5μF) , e (240V)
b) QT , Q en cada capacitor
(QT=Q1=360μC,Q2=Q3=Q4=120μC,Q5=240μC,Q6=180μC,
Q7=Q8=60μC
c)VAB(180V),VBD(10V),VDE(10V),VEF(40V),VBE(20V)
,VGH(2V),VFG(10V),VEH(28V)
d) Energía en el capacitor 1 (32400μJ)
Datos:
C1 =40 μF C5 =40 μF
C2 =10 μF C6 =20 μF
C3 =7 μF C7 =12 μF
C4 =4 μF C8 =30 μF
Q6 = 100 μC
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Datos:
C1 =2 μF
C2 =12 μF
C3 =12 μF
C4 =3 μF
VDE = 10 V
C5 =5 μF
C6 =15 μF
C7 =6 μF
C8 =30 μF
176
Electrodinámica
Capítulo 7: Electrodinámica
Corriente eléctrica
Si se unen los electrodos de una fem con un alambre conductor, observaremos que en pocos
instantes aumenta su temperatura y emite calor. La explicación de este fenómeno está relacionada
con lo que sucede en el interior del conductor a nivel microscópico.
La presencia de la fem genera en el interior del conductor un campo eléctrico que se dirige
desde el polo positivo al negativo, este campo aplica fuerzas sobre cada uno de los electrones libres
(cargados negativamente) obligándolos a moverse en el sentido opuesto al él.
De ésta manera comienza a circular un flujo de electrones continuo desde el electrodo
negativo al positivo, que continuará mientras la fem tenga energía para producir la diferencia de
potencial y por ende el campo. A éste flujo de electrones se lo denomina corriente eléctrica.
Entendamos que la fem es la que impulsa los electrones, cuanto mayor sea la diferencia de
potencial que produzca, mayor será el flujo de electrones que circule por el conductor. Podemos
concluir entonces que para que exista una corriente eléctrica deben existir tres elementos:
1- Un conductor, es el medio por donde circulará la corriente.
2- Electrones, es el conductor quien aporta sus innumerables electrones libres.
3- Una fuerza electro motriz (fem), encargada de producir la diferencia de potencial (ddp) que
impulsa a los electrones a través del conductor.
Es claro que el flujo de electrones a través del conductor podrá ser más o menos veloz de
acuerdo a leyes que pronto estudiaremos. Por esa razón se hace necesario definir una magnitud
física que permita medir la rapidez con que fluyen los electrones.
Intensidad media de corriente eléctrica
La intensidad media de corriente eléctrica ( IM ) es una magnitud escalar cuyo valor se obtiene
como el cociente entre la cantidad de carga (ΔQ) que atraviesa la sección normal de un conductor
en un intervalo de tiempo (Δt) y el valor de dicho intervalo.
IΜ =
ΔQ
Δt
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177
Electrodinámica
Unidades:
[IM ] =
[Q ] = C =A(Ampère)
[t] s
Dado que en durante un intervalo de tiempo cualquiera el flujo de electrones podría variar se
hace necesario definir la intensidad instantánea
Intensidad instantánea de corriente eléctrica
La intensidad instantánea de corriente eléctrica es una magnitud igual a la intensidad media
pero medida en un intervalo de tiempo infinitamente pequeño. Esta magnitud nos indicará cuál es el
valor de la corriente en cada instante. Matemáticamente se expresa de la siguiente manera:
ΔQ
Δt →0 Δt
I = lím
Tipos de corriente:
Corriente continua:
Cuando la intensidad y sentido de una corriente
permanece constante a lo largo del tiempo, la corriente
se denomina continua (CC o DC).
Esto se representa en el siguiente gráfico de
intensidad en función de tiempo.
Es evidente que si la corriente es continua será exactamente lo mismo medirla en cualquier
intervalo de tiempo y por lo tanto para calcular la intensidad instantánea ya no será necesario
calcular el límite. Por lo tanto para las CC y solo para las CC podremos calcular:
I=
ΔQ
Δt
Corrientes variables
Cuando la intensidad y/o sentido de la corriente varían a lo largo del tiempo la corriente se
denomina variable. Estas a su vez pueden clasificarse de la muchas maneras, algunas de las más
conocidas son:
CUADRADA
DIENTE DE SIERRA
ALTERNADA O ALTERNA
Cambia el sentido pero no la
intensidad
Cambia la intensidad pero no el
sentido
Cambian intensidad y sentido
Sentidos de la corriente eléctrica:
Cuando , a fines del siglo XVIII, se desarrollan las investigaciones sobre corrientes eléctricas, no
se sabía cuál era el signo con que estaban cargadas las partículas portadoras de carga.
Arbitrariamente se decidió que las partículas que se movían eran las positivas y por esta razón, en un
circuito, la corriente circularía de positivo a negativo por afuera de la fem. Cuando, muy
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178
Electrodinámica
posteriormente, se descubre que las partículas móviles eran los electrones y estos tenían carga
negativa, queda en evidencia que en realidad la corriente eléctrica circula de negativo a positivo.
Sin embargo, como todas las teorías del electromagnetismo se habían desarrollado con la primera
convención y, el sentido de circulación de la corriente no modificaba ninguna de sus conclusiones, se
decidió seguir con el sentido convencional de positivo a negativo.
Sentido Convencional
Sentido Real
Ley de Ohm
Al conectar un conductor a una ddp se observa que la intensidad de corriente que por él
circula depende del valor de la ddp. Si se cambia el conductor para una misma ddp la intensidad de
corriente también cambia. Un Profesor de Física alemán llamado Georg Simon Ohm (1787-1854)
estableció experimentalmente una ley, que si bien no es una ley fundamental de la física, por sus
aplicaciones prácticas cambió la historia de la electricidad.
Ley:
La intensidad de corriente que circula por un conductor es directamente proporcional a la
tensión a la que se lo conecta, siendo la constante de proporcionalidad que las relaciona, una
magnitud que depende de las características físicas del conductor denominada resistencia eléctrica
( R ).
R=
V
V
⇒ V= I⋅ R ⇒ I =
I
R
Unidades
[R ] =
[ V ] = V =Ω (Ohm)
[I ] A
La resistencia eléctrica de un conductor es de 1 Ω cuando al conectarlo a una tensión de 1 V
circula por él una intensidad de 1 A.
Resistencia eléctrica
La resistencia eléctrica es la propiedad que tienen los conductores de transformar la energía
eléctrica en calor, todas las sustancias conductoras ofrecen resistencia al pasaje de corriente, pues,
al desplazarse los electrones por el interior del conductor, van siendo atraídos por los átomos que lo
conforman produciendo sucesivos choques que se manifiestan a través del aumento de su
temperatura.
Fue precisamente Ohm quien también experimentalmente descubrió de qué factores
dependía la resistencia de un conductor estableciendo que:
a- A mayor longitud de conductor mayor resistencia.
b- A mayor sección de conductor (grosor), menor resistencia.
c- Distintas sustancias tienen distintas resistencias específicas, por ejemplo el cobre tiene
menor resistencia específica que el aluminio.
d- Algunas sustancias aumentan su resistencia eléctrica con la temperatura y otras la
disminuyen.
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179
Electrodinámica
Conclusión 1:
La resistencia de un alambre conductor es directamente proporcional a su longitud e
inversamente proporcional a la superficie de su sección normal, siendo la constante de
proporcionalidad una magnitud que depende de la sustancia conductora y que se denomina
resistencia específica o resistividad de la sustancia (ρ)
R=ρ ⋅
l
S
Por lo tanto:
ρ=R ⋅
S
l
Las unidades de la resistencia específica serán:
[ρ ] = [R ] ⋅
[S] =Ω ⋅ m2 =Ω ⋅ m ,
[l ]
m
[ ]
o también ρ =Ω ⋅
mm2
m
Conclusión 2:
La resistividad de una sustancia conductora depende linealmente de su temperatura según la
siguiente expresión:
ρ=ρ0 ⋅ (1+α ⋅ Δt )
Siendo α una magnitud que depende de la sustancia y se denomina coeficiente de
temperatura.
Sustancia
1
2
3
4
5
6
Cobre
Aluminio
Tungsteno
Hierro
Nicrom (aleación de Ni, Fe, Cr)
Silicio
Resistividad (Ω.m)
10-8
1,68 x
2,65 x 10-8
5,6 x 10-8
9,71 x 10-8
100 x 10-8
Entre 0,1 y 60 según impurezas
Coef. de temp. (ºC-1)
0,0068
0,00429
0,0045
0,00651
0,0004
-0,07
Resistor
El resistor es un elemento especialmente diseñado de manera que su resistencia eléctrica sea
muchísima mayor que la del resto de los conductores que componen un circuito eléctrico. Los
resistores se utilizan en un gran numero de aparatos electrodomésticos para transformar la energía
eléctrica en calor, por ejemplo en planchas, cafeteras eléctricas, estufas, lamparitas, etc.
En general, para un circuito, la resistencia de los alambres que se utilizan para hacer las
conexiones es despreciable frente a la resistencia de los resistores.
Veamos un circuito elemental en donde simbolizaremos un resistor, una fem, una llave
interruptora y los correspondientes alambres conductores.
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180
Electrodinámica
Cuando el circuito está abierto no hay circulación de corriente pero cuando la llave se cierra,
la fem obliga a los electrones a circular atravesando el resistor.
El resistor puede estar representando la resistencia de una estufa, la lamparita de un velador,
etc. La llave L, un interruptor de tecla, o la perilla del velador. La fem, una batería, una pila o
simplemente el toma corriente de la red domiciliaria.
Ejemplo1:
Un velador se conecta a la red domiciliaria de 220 V, si la resistencia de la lamparita con que
está construido es 1100 Ω, calcular:
a- El valor de la tensión que suministra la fem y la intensidad de corriente cuando la llave
interruptora está abierta.
b- Ídem cuando la llave interruptora está cerrada.
Solución:
a- Cuando el interruptor esta abierto, no circula corriente por el circuito, es decir I=0, sin
embargo, la tensión suministrada por la fem es 220 V, pues ésta, en condiciones ideales, no depende
de que el circuito este cerrado o abierto.
b- Cuando la llave se cierra, comienza a circular corriente, y el valor de la intensidad se
calcula con la ley de Ohm.
I=
V 220V
=
=0,2A
R 1100Ω
Código de colores:
Los resistores que se suelen utilizar en equipos electrónicos tienen la forma de la figura:
Las rayas de colores se utilizan para indicar la resistencia del resistor según el siguiente código:
Color
negro
marrón
rojo
naranja
amarillo
verde
azul
violeta
gris
blanco
oro
plata
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Número que
representa
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
5%
10%
Tolerancia
181
Electrodinámica
Ley de Joule
El hecho de que en un circuito eléctrico se genere calor nos hace reflexionar acerca de la
transformación energética que se produce en el sistema. Es claro que energía eléctrica se está
transformando en calor, pero ¿cómo calcularla?. La respuesta a esta pregunta se conoce con el
nombre de ley de Joule.
Si tenemos en cuenta que la diferencia de potencial aplicada a un conductor es la diferencia
de energía eléctrica por unidad de carga tenemos que:
V=
ΔE
⇒ ΔE=V ⋅ ΔQ
ΔQ
Pero según la definición de intensidad de corriente eléctrica para una CC tenemos:
I=
ΔQ
⇒ ΔQ= I⋅ Δt
Δt
Reemplazando obtenemos la cantidad de energía que se transforma en calor:
ΔE=V ⋅ I⋅ Δt Ley de Joule
Si tenemos en cuenta la ley de Ohm, podemos expresar la ley de Joule de las siguientes
maneras:
V= I⋅ R ⇒ I =
ΔE= I 2 ⋅ R ⋅ Δt
ó
V
R
ΔE=
V2
⋅ Δt
R
Potencia disipada por una resistencia
La potencia, para un circuito eléctrico elemental, es una magnitud que mide la cantidad de
energía que se transforma en calor en la unidad de tiempo. Como sabemos, en el sistema
internacional se mide en Watt(W).
P=
ΔE
Δt
Combinando esta expresión con la ley de Joule podremos calcular la potencia:
P=
V ⋅ I ⋅ Δt
= V⋅I
Δt
Esta conclusión puede expresarse de tres maneras:
P=V ⋅ I
P= I 2 ⋅ R
P=
V2
R
Ejemplo 2:
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182
Electrodinámica
Una plancha que se conecta a la red domiciliaria tiene una potencia de 1000 W, Calcular :
a- La intensidad de corriente que circula por ella.
b- El valor de la resistencia eléctrica que utiliza para transformar la energía eléctrica en calor.
Solución:
a- La intensidad de corriente la obtenemos despejando de la ecuación de potencia,
teniendo en cuenta que la red domiciliaria tiene una tensión de 220 V.
I=
P 1000W
=
=4,5A
V 220V
b- Ahora aplicamos la ley de Ohm Para calcular la resistencia:
R=
V 220V
=
=48,9Ω
I 4,5A
Obsérvese cuanto más pequeña es esta resistencia que la del ejemplo 1, esto no es casual. Al
contrario de lo que la mayoría de la gente piensa, cuanto menor sea la resistencia de un resistor
mayor será la cantidad de calor que produce por segundo cuando se le aplica una tensión. Esto
puede comprenderse si se observa la siguiente expresión:
P= I 2 ⋅ R
Si bien, al reducir la resistencia parecería que la potencia también debería disminuir, esto no
será así ya que, según la ley de Ohm, si se reduce la resistencia la intensidad de corriente aumenta en
forma inversamente proporcional y en la ecuación para el cálculo de la potencia la intensidad está
elevada al cuadrado, por lo tanto al realizar el cálculo, la influencia del aumento de corriente es
mucho mayor que la de la disminución en la resistencia. Lo que sucede nos queda claro si lo
planteamos en una situación real y lo llevamos a casos extremos. Si tomamos un conductor de
resistencia infinita (en realidad esto sería un aislante, por ejemplo un hilo de plástico) y lo conectamos
a un tomacorrientes de la red (220 V), no se generará calor ya no circula corriente. Si por el contrario,
tomamos un conductor de muy poca resistencia, por ejemplo un pequeño trozo de alambre, al
conectarlo al tomacorrientes se producirá lo que llamamos un cortocircuito, esto es, al haber muy
poca resistencia la intensidad de corriente que circula será enorme y por ende el calor generado
también, esto recalentará el circuito produciendo la fusión y destrucción de sus componentes.
Ejemplo 3:
Un circuito está conformado por una fem de 50V conectada a una resistencia a través de
alambres conductores de resistencia despreciable. Calcular la intensidad de corriente y la potencia
transformada en calor:
a- si la resistencia es de 100 Ω.
b- si la resistencia es de 10 Ω.
Solución:
Calculamos la intensidad de corriente que circula por el circuito para el caso “a” aplicando la
ley de Ohm:
I=
V 50V
=
=0,5A
R 100Ω
Calculamos ahora la potencia aplicando la ley de Joule:
P= I 2 ×R= ( 0,5A ) ⋅ 100Ω=25W
2
Calculamos la intensidad de corriente que circula por el circuito para el caso “b”:
I=
Y ahora la potencia:
V 50V
=
=5A
R 10Ω
P= I 2 ⋅ R= ( 5A ) ⋅ 10Ω=250W
2
Queda claro que pese a que en el segundo caso la resistencia es 10 veces menor que en el
primero, la potencia que se transforma en calor es 10 veces mayor.
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183
Electrodinámica
Aplicaciones de la ley de Joule:
a- El potenciómetro:
Es un dispositivo que se utiliza para variar la tensión o ddp aplicada a otro
elemento del circuito, como por ejemplo una lámpara que se desea que brille
más o menos, un autito de escaléctric al que se quiere variar su velocidad o
una perilla de un amplificador que permite variar el volumen del sonido. Se
trata de una resistencia variable (reóstato) que se puede conectar en serie o en
paralelo con el elemento de circuito en cuestión.
Si se conecta en serie se procede de la siguiente manera:
El cursor se desliza sobre un resistor
haciendo contacto en distintos
puntos. Entonces, al variar la longitud
útil del reóstato, varía su resistencia
haciendo que la diferencia de
potencial entre el punto A y el cursor
cambie. Como la suma de esta ddp
y la que se aplica a la lámpara debe
ser iguala la suministrada por la fem
(Principio de conservación de la
energía), al aumentar o disminuir la
ddp en el reóstato, disminuirá o
aumentará la ddp aplicada a la
lámpara haciendo que brille más o
menos.
Si se lo conecta en paralelo se procede así:
Los contactos extremos del reóstato
se conectan a la fuente de manera
que se establece una circulación de
corriente a través de él. Uno de los
contactos del elemento de circuito al
que se desea aplicar una tensión
variable, en este ejemplo la lámpara,
se conecta al punto “A” del reóstato
y el otro contacto, al cursor. Al
cambiar la posición del cursor, la
diferencia de potencial aplicada
cambia variando desde cero, si el
cursor se encuentra en “A” hasta el
valor de la fuente si el cursor se
encuentra en “B”.
b- El fusible:
Es un dispositivo que permite proteger un circuito de un exceso de corriente producido por un
desperfecto o una mala utilización del sistema. Se trata generalmente de un cartucho que puede ser
sellado o no y que tiene en su interior un alambre conductor calibrado de manera tal que cuando la
intensidad de corriente que circula por él llega a un determinado valor, el calor producido por efecto
Joule le hace alcanzar la temperatura de fusión del metal que constituye el alambre. De este modo
se funde y deja de circular corriente. El fusible se conecta en serie con el circuito que se quiere
proteger. Se simboliza de la siguiente manera:
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184
Electrodinámica
c- La lámpara incandescente:
Fue inventada por Thomas Edison e involucra varias leyes físicas: Por un lado la
ley de Joule ya que se basa en la transformación de energía eléctrica en calor en un
filamento que tiene una determinada resistencia eléctrica. Por otro lado, si la
temperatura de un cuerpo es lo suficientemente elevada, se pone incandescente, es
decir, emite luz.
El problema con que se encontró Edison fue que el filamento, hecho en aquel
momento con una fibra de bambú carbonizada, se prendía fuego e inmediatamente
dejaba de funcionar. La solución a este problema la encontró colocando el filamento
dentro de una bombilla de vidrio a la cual se le practicaba vacío. De esta manera, al
no haber oxígeno, no se quemaba. Sin embargo, el vacío no es lo ideal, porque la
única forma en que el calor generado en el filamento puede disiparse, es por
radiación, y esto provoca que la temperatura del filamento se eleve demasiado
acortando su vida útil. Hoy en día se utiliza un filamento de tungsteno y en lugar de
vacío se coloca un gas noble a baja presión. El gas entonces permite la convección y
el calor se disipa más rápidamente al tiempo que no se produce reacción química
entre el filamento y el gas porque éste es noble.
d- Calentadores:
Todo aparato que, usando como fuente de energía electricidad, se utilice para calentar,
tiene una resistencia y el calor que genera se puede calcular aplicando la ley de Joule. Es el caso de
cafeteras, planchas, jarras eléctricas, etc.
Para calcular el calor generado debemos tener en cuenta la equivalencia entre el Joule (J) y
la caloría (cal):
1cal=4,16J
Una caloría es la cantidad de calor que hay que entregarle a un gramo de agua para
aumentarle 1ºC su temperatura.
Voltímetro y Amperímetro
El voltímetro, como sabemos, es un instrumento que permite medir la tensión o ddp. entre dos
puntos de un circuito. Se conecta en paralelo con los puntos del circuito entre los cuales se desea
medir la tensión, por ejemplo, si queremos medir la ddp a la que se conectó un resistor, la forma de
conectarlo es la siguiente:
El amperímetro es un instrumento que permite medir la intensidad de corriente eléctrica que
circula por un elemento de un circuito. Se conecta en serie con el elemento en cuestión, por
ejemplo, para medir la intensidad que circula por un resistor, hay que abrir el circuito en la rama
donde se encuentra el resistor e intercalar el amperímetro:
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185
Electrodinámica
Tester o Multímetro
El tester es un instrumento que puede ser usado como voltímetro y como amperímetro
(también puede medir otras magnitudes eléctricas como la resistencia, en este caso actúa como
ohmetro). Una perilla de control permite seleccionar la función requerida y dar al mismo varias
escalas o alcances máximos de medición.
Asociación de resistencias.
Un conjunto de resistencias pueden asociarse con distintos fines en el diseño de un circuito. Las
formas básicas de asociarlas son dos, en serie y en paralelo.
Asociación en serie:
En este caso las resistencias están conectadas una a continuación de la otra de manera que
la suma de las ddp que se produce en cada una de ellas es igual a la ddp aplicada a todo el
conjunto. Consideremos tres resistencias conectadas en serie como indica la figura.
Según lo expuesto, la ddp aplicada al conjunto será:
e=VAD =VAB +VBC +VCD
La intensidad de corriente que circula por cada resistencia es la misma pues, una vez cerrado
el circuito, se establece una única corriente. Todos los electrones que pasan por R1 luego lo harán por
R2 y por R3, según el principio de conservación de la carga. Aplicando la ley de Ohm para cada
resistencia:
VAD = I⋅ R 1 + I⋅ R 2 + I⋅ R 3
Sacamos factor común I:
VAD = I⋅ (R 1 +R 2 +R 3 )
Pasamos I dividiéndola primer miembro:
VAD
=R1 +R 2 +R 3
I
El Primer miembro de la igualdad es el cociente entre la tensión aplicada a todo el conjunto y la
intensidad de corriente que por él circula. Esto no es otra cosa que una resistencia, la resistencia total
o equivalente del conjunto:
R T =R1 +R 2 +R 3
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186
Electrodinámica
Conclusión: La resistencia total de un conjunto de resistencias asociadas en serie es igual a la suma
de cada una de las resistencias conectadas.
Asociación en Paralelo:
En este caso las resistencias están conectadas a la misma ddp como indica el ejemplo de la
figura para tres resistencias:
Pero la corriente total al llegar al nodo “A” se divide en tres. Una parte
pasará por R1, otra por R2 y otra por R3 pero al llegar al nodo “B”
volverán a unirse conformando nuevamente la I total. Cumpliendo
con el principio de conservación de la carga, tendremos:
I T = I1 + I 2 + I 3
Si aplicamos la ley de Ohm para cada resistencia nos queda:
IT =
VAB VAB VAB
+
+
R1 R 2 R 3
Sacando factor común VAB tenemos:
⎛ 1
1
1 ⎞
+
I T =VAB ⎜ +
⎟
⎝ R1 R 2 R 3 ⎠
Pasamos VAB dividiendo:
IT
1
1
1
= +
+
VAB R 1 R 2 R 3
El cociente entre la intensidad y la tensión, según la ley de Ohm, la recíproca de la resistencia
que hay entre los puntos A y B, es decir, de la resistencia total o equivalente.
1
1
1
1
= +
+
R T R1 R 2 R 3
Conclusión: La suma de las recíprocas de cada una de las resistencias conectadas en
paralelo es igual a la recíproca de la resistencia total o equivalente del conjunto.
Ejemplo 4:
Para el circuito de la figura, teniendo en cuenta que los resistores tienen los siguientes
valores R1=6Ω, R2=20Ω R3=5Ω y R4=2Ω y que la fem es de 12V calcular:
a- La resistencia total del circuito.
b- La intensidad de corriente que circula por cada
resistencia.
c- La ddp a la que se encuentra sometida cada
resistencia.
d- La potencia que transforma en calor todo el circuito.
Solución: Para comprender el circuito es conveniente redibujarlo. Partiendo del positivo de la fem lo
recorremos hasta llegar al negativo:
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187
Electrodinámica
Una vez redibujado vemos claramente que R2 y R3 se encuentran en paralelo y dicho conjunto se
encuentra en serie con R1 y R4. Calculamos el paralelo:
1
1
1
1
1 1+4
1
=
+
=
+
=
=
⇒ R 2,3 =4Ω
R 2,3 R 2 R 3 20Ω 5Ω 20Ω 4Ω
Calculamos ahora RT en serie:
R T =R1 +R 2,3 +R 4 =6Ω+4Ω+2Ω=12Ω
La intensidad de corriente que circulará por todo el circuito será la misma que circula por R1, R2,3 y R4
por estar en serie. Por lo tanto:
IT =
VAD 12V
=
=1A= I1 = I 2,3 = I 4
R T 12Ω
Calculamos la ddp en cada resistencia y en el conjunto 2,3 aplicando nuevamente la ley de Ohm:
VAB = I1⋅ R1 =1A ⋅ 6Ω=6V
VBC = I 2 ,3 ⋅ R 2,3 =1A ⋅ 4Ω=4V
VCD = I 4 ⋅ R 4 =1A ⋅ 2Ω=2V
Obsérvese que la suma de las tres tensiones es 12 V, el valor de la fem, confirmando el principio de
conservación de la energía.
Calculamos ahora las intensidades 2 y 3
I2 =
VBC 4V
=
=0,2A
R 2 20Ω
I3 =
VBC 4V
=
=0,8A
R 3 5Ω
Aquí podemos ver que la suma de estas corrientes da como resultado la corriente total cumpliendo
el principio de conservación de la carga.
Finalmente calculamos la potencia:
PT = I 2T ⋅ R T = (1A ) ⋅ 12Ω=12W
2
Resistencia interna de una fem
Hasta el momento, hemos estado discutiendo distintas cuestiones sobre los circuitos teniendo
en cuenta la resistencia de sus distintos componentes, salvo uno: la fem. Toda fuente de energía
eléctrica esta constituida por conductores y por su interior, cuando el circuito esta cerrado, circula
corriente. Ya sean los alambres que conforman las bobinas de una transformador o las distintas
sustancias que conforman una pila, tienen resistencia eléctrica a la que denominamos resistencia
interna de la fem.
Veamos, cuando tenemos un circuito abierto como el
que se indica en la figura, podemos medir el valor de la tensión
suministrada por la pila con un voltímetro digital (Debido a su
modo de funcionamiento no influye sobre el circuito). Podemos
comprobar que la medida de la tensión es igual a la que el
fabricante de la pila indica.
VAB=e
Pero al cerrar el circuito podemos notar una que el valor
medido por el voltímetro es menor el indicado por la fem.
VAB<e
Es evidente que al establecerse una circulación de
corriente se produce una caída de tensión en el interior de la
fem. Si llamamos r a la resistencia interna de la fem y tenemos en
cuenta la ley de Ohm nos queda:
e = I ⋅R + I ⋅r
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188
Electrodinámica
Con lo cual la resistencia interna de la fem será:
r=
e- I⋅ R
I
Leyes de Kirchhoff
Enunciar las leyes de Kirchhoff solo es pasar en limpio algunos conceptos que hemos estado
utilizando. Para hacerlo, debemos tener en claro, para un circuito, a qué se llama nodo y a qué se
llama malla.
Nodo: Es un punto del circuito donde concurren tres o más
corrientes.. Para el circuito de la figura son nodos los puntos B y E.
Malla: Una malla queda determinada por aquel camino cerrado
que se pueda realizar a través del circuito sin pasar dos veces
por el mismo punto. Para el circuito de la figura hay tres mallas:
ABEFA, ACDFA y BCDEB.
Ley de nodos:
La suma de las corrientes entrantes y salientes a un nodo es igual a cero (se consideran que las
entrantes tienen signo contrario a las salientes).
Esta ley es una consecuencia del principio de conservación de la carga, por lo tanto, en un
nodo siempre habrá al menos una corriente entrante y al menos una saliente.
Σ I =0
Ley de mallas:
En una malla, la suma de las subidas de tensión es igual a la suma de las caídas de tensión.
Esta ley es consecuencia del principio de conservación de la energía ya que nos esta
diciendo que en una malla, la suma de la energía que nos entrega cada fem será igual a la suma de
la energía que se transforma en calor en las resistencias del circuito. Esto se expresa
matemáticamente así:
Σe-Σ ( I⋅ R ) =0
Aplicación de las leyes de Kirchhoff:
Veamos un ejemplo de cómo se pueden utilizar las leyes de Kirchhoff para resolver un circuito
un poco más complejo que suna simple asociación en serie y en paralelo.
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189
Electrodinámica
Ejemplo 5:
Supongamos el circuito de la figura donde e1=10V,
e2=20V, R1=5Ω, R2=10Ω y R3=4Ω. Calcular la intensidad de
corriente que circula por cada rama (I1, I2, I3).
Solución:
Para resolver este problema lo primero que tenemos
que hacer es indicar cuáles son y en qué sentido circulan las
corrientes del circuito. Intuitivamente, por la ubicación de las
fem, puede sospecharse hacia dónde circularán las corrientes,
aunque realmente puede suceder que nos equivoquemos en
esta apreciación.
Sin embargo este error no tendrá importancia porque si alguna de las corrientes circula en
sentido contrario al que nosotros propusimos, simplemente, cuando hallemos su valor, nos dará
negativo indicándonos que su verdadero sentido es el contrario al adoptado.
Sí es muy importante conceptualmente que siempre haya corrientes que entren y corrientes
que salgan de cada nodo.
En nuestro caso adoptamos los sentidos de tal modo que en el nodo B entran las corrientes I1
e I2 y sale la corriente I3.
Aplicando la ley de nodos y tomando que las corrientes entrantes son positivas y las salientes
negativas, nos queda:
I1 + I 2 - I 3 =0
La ecuación para el nodo E será igual a la anterior, pues aunque tendrá todos los signos
cambiados, está igualada a cero. Cuando uno resuelve un problema aplicando las leyes de
Kirchhoff, debe aplicar tantas ecuaciones de nodos como N-1 nodos haya en el circuito siendo N el
numero total de nodos.
Es claro que en este caso solo se plantea una ecuación. Esto significa que tenemos una
ecuación con tres incógnitas. Para poder resolver el problema necesitamos dos ecuaciones más
(igual numero de ecuaciones que de incógnitas). Éstas surgirán de la ley de mallas. De las tres mallas
disponibles adoptaremos dos cualesquiera. En esta caso las mallas ABEFA y BCDEB.
Hay muchas maneras de aplicar la ecuación: Σe − ΣIR = 0 . Nosotros lo haremos dela
siguiente:
Lo primero es indicar para cada elemento de
circuito cuál es el punto de potencial más alto y cuál el de
potencial más bajo. Esto lo indicaremos en el dibujo
colocando un signo + en el más alto y uno – en el más bajo.
En las fem me lo indica el fabricante la pata larga es + y la
corta es -. En los resistores la cosa es distinta. La corriente, en
un resistor, siempre circula del punto de potencial más alto
al de potencial más bajo. Esto significa que para establecer
los signos debemos mirar cómo colocamos las corrientes.
Veamos la figura:
Ahora tomaremos la malla ABEFA y partiendo de un punto cualquiera, por ejemplo el A, la
recorreremos toda en un sentido (en nuestro caso lo haremos en sentido horario) e iremos colocando
los términos que corresponden para cada elemento según suba o baje la tensión. Si la sube el
término tendrá signo positivo y si la baja, tendrá signo negativo. Según lo expuesto en R2 la tensión
baja, en R1, también y en la fem e1 sube, por lo tanto la ecuación queda:
- I 3 ⋅ R 3 - I1⋅ R 1 +e1 =0
En la malla BCDEB la recorreremos desde el punto B en el mismo sentido. Vemos ahora que en
e2 baja la tensión, en R3 sube y en R2 sube, le ecuación queda:
-e1 + I 2 ⋅ R 2 + I 3 ⋅ R 3 =0
Estas tres ecuaciones resuelven el problema, Remplacemos los valores de cada magnitud:
- I 3 ⋅ 4Ω- I1⋅ 5Ω+10V=0
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190
Electrodinámica
-20V+ I 2 ⋅ 10Ω+ I 3 ⋅ 4Ω=0
Despajamos I1 de la primera e I2 de la segunda:
I1 =
10V- I 3 ⋅ 4Ω
=2A- I 3 ⋅ 0,8
5Ω
I2 =
20V- I 3 ⋅ 4Ω
=2A- I 3 ⋅ 0,4
10Ω
Si remplazamos estas expresiones en la ecuación de nodos:
I1 + I 2 - I 3 =0
2A- I 3 ⋅ 0,8+2A- I 3 ⋅ 0,4- I 3 =0
4A- I 3 ⋅ 2,2=0
4A
I3 =
≅ 1,82A
2,2Ω
Remplazamos en las ecuaciones para calcular las otras corrientes:
I1 =2A- I 3 ⋅ 0,8=2A-1,82A ⋅ 0,8=0,544A
I 2 =2A- I 3 ⋅ 0,4=2A-1,82A ⋅ 0,4=1,272A
Obsérvese que las corrientes I1 e I2 sumadas dan como resultado I3.
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191
Electrodinámica
Preguntas y problemas
252- ¿ Qué dice la ley de Ohm y en qué unidades se miden las magnitudes que intervienen en ella?
253- ¿ Qué es un voltímetro y cómo se conecta?
254-¿ Qué es un amperímetro y cómo se conecta?
255- ¿ De qué factores depende la resistencia de un conductor?
256- ¿ Qué es un resistor?
257- Calcular el valor de la resistencia eléctrica de un resistor que al ser conectado a una fem de 60 V
deja circular una intensidad de corriente de 180 A.
Resp: 0,333 Ω.
258- Una plancha se conecta a 220 V y por ella circula una corriente de 5 A. ¿Cuál es el valor de su
resistencia eléctrica?
Resp: 44 Ω.
259- ¿ Qué corriente circulará por un resistor de 24 Ω que se conecta a 120 V?
Resp: 5A.
260- Calcular la tensión que habrá que aplicar a un resistor de 50 Ω, para que por él circule una
intensidad de corriente de 3,5 A.
Resp: 175 V.
261- Por una resistencia de 20 Ω pasa una carga de 120 C en un minuto. Suponiendo que la corriente
es continua, calcular su valor y el valor de la tensión a la que esta conectada la resistencia.
Resp: 2 A , 40V
262- Un calentador eléctrico tiene una resistencia de 50 Ω y se lo conecta a una fem de 200 V.
Calcular cual es su potencia.
Resp: 800 W
263- Calcular la resistencia eléctrica del filamento de una lámpara de 100 W que se conecta a la red
domiciliaria.
Resp: 484 Ω
264- Calcular la intensidad de corriente que circula por una equipo de aire acondicionado que se
conecta a la red domiciliaria y tiene una potencia de 2000 W.
Resp: 9,1 A
265- Tres resistencias de 20 Ω, 100 Ω y 480 Ω se conectan en serie con una fem de 120 V. Calcular la
potencia que disipa cada una en forma de calor. ¿Cuánto es la potencia total?
Resp: : 0.8W, 4W, 19.2W , 24W
266- Si las resistencias del problema anterior se conectan independientemente y por separado a la
misma fem. ¿Cuánto disipará cada una?
Resp: 720W, 144W, 30W
267- Tres resistencias de 20 Ω, 30 Ω y 48 Ω se conectan en paralelo con una fem de 300 V. Calcular la
potencia que disipa cada una en forma de calor. ¿Cuánto es la potencia total? ¿Cuál es la
resistencia total del sistema?
Resp, 4500W, 3000W, 1875W , 9375W, 9.6 Ω
268- La potencia suministrada a un motor es de 240 W y la tensión a la que trabaja es de 60 V. ¿Qué
resistencia habrá que conectar en serie con el motor para que pueda funcionar conectado a una
línea de 220 V?¿Qué potencia deberá disipar la resistencia?
Resp: 40 Ω , 640 W
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192
Electrodinámica
269- Dos lámparas que indican “60W, 120V” y “40W, 120V” se conectan en serie a una línea de 120
V.¿Qué potencia se consume en cada lámpara?
Resp: 9,6 W, 14,4 W
270- Un calentador de inmersión tiene una resistencia de 50 Ω y transporta una intensidad de 2,5 A.
¿Cuál es la temperatura final de 1500 g de agua que se encuentran inicialmente a 20 ºC si el agua
absorbe todo el calor desprendido por el calentador durante 3 minutos?
Resp: 29ºC
271- Un calentador de 110Ω a 220 V se utiliza para calentar agua de un vaso. Suponiendo que el
100% de la energía transformada se utiliza para calentar el agua:
a- ¿Cuánto tiempo se tarda en calentar 250g de agua desde 15ºC a 100ºC.?
b- ¿Cuánto tiempo tardará en evaporar la totalidad del agua? (Lv=540cal/g)
Resp: 3min 22seg, 24 min. 37 seg.
272-
Si la energía eléctrica cuesta $ 0,1 cada KW.h:
a. ¿Cuánto costará hacer funcionar un tostador eléctrico durante 4 minutos si tiene una
resistencia de 22Ω
b. ¿Cuánto costará hacer funcionar un sistema de calefacción de 88 Ω durante 8 horas?
Resp: $ 0,015
$ 0,44
273- Para el siguiente circuito:
Datos:
Calcular:
R1= 4 Ω
Rtotal
R2= 4 Ω
Itotal
R3= 8 Ω
Ien c/resistencia
R4= 2 Ω
VBD; P1
e= 10 V
274- Para el siguiente circuito:
Calcular:
Rtotal
Itotal
e
Ien c/resistencia
P6
275- Para el siguiente circuito:
Calcular:
Rtotal
Itotal
e
VBC ; VAE ; VDC ; VAB : VAC ; VED
276- Para
circuito:
Calcular:
R4
VBF
VCD
VAB
VBC
VDE
el
siguiente
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I3
I4
I6
I7
I8
P1
P6
Datos:
R1= 4 Ω
R2= 6 Ω
R3= 14 Ω
R4= 6 Ω
R5= 2 Ω
R6= 10 Ω
VBD = 18V
Datos:
R1= 5 Ω
R2= 15 Ω
R3= 10 Ω
R4= 6 Ω
R5= 6 Ω
R6= 14 Ω
R7= 6 Ω
I5= 1A
Datos:
R1= 3 Ω
R2= 5 Ω
R3= 5 Ω
R5= 2 Ω
R6= 6 Ω
R7= 4 Ω
R8= 4 Ω
Itotal= 2 A
193
Electrodinámica
e= 20 V
277- Para el siguiente circuito:
Datos:
Calcular:
R1= 9 Ω
Rtotal
R2= 10 Ω
Itotal
R3= 14 Ω
I2
R4= 28 Ω
I5
R5= 10 Ω
VAB
R6= 30 Ω
VDE
R7= 20 Ω
VCD
P7= 180 W
273) 5 Ω ; 2 A ; 1,5 A ; 6 A ; 0,5 A ; 2 A ; 8V ; 9W
274) 3 Ω ; 16 A ; 12 A ; 4 A ; 1 A ; 3 A ; 3 A ; 1 A ; 10W
275) 10 Ω ; 5 A ; 50 V ; 14 V ; 3,33 V ; 6,67 V ; 6 V ; 20 V ; 10 V
276) 15 Ω ; 6 V ; 1,5 V ; 0,5 V ; 0,5 V ; 1 V ; 0,1 A ; 0,4 A ; 0,1 A ; 0,5 A ; 1,5 A ; 2 A ; 12W ; 1,5 W
277) 15 Ω ; 33,33 A ; 8,33 A ; 20A ; 300 V ; 116,67 V ; 60 V
I2
278Para el siguiente circuito calcular I en 281- Para el siguiente circuito calcular I en
cada rama y la potencia en cada cada rama y la ddp en la resistencia de 10Ω
resistencia
279- Para el siguiente circuito calcular I en cada 282- Para el siguiente circuito calcular I en
rama y la ddp en la resistencia de 2Ω
cada rama
280- Para el siguiente circuito calcular I en cada 283- Para el siguiente circuito calcular las I
rama y la ddp en la resistencia de 8Ω
desconocidas. Siendo VAB=20V
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194
Índice
Índice por capítulos
Capítulo I: CINEMÁTICA
Sistema de referencias.................................................... 1
Movimiento ....................................................................... 2
Trayectoria......................................................................... 2
Vector posición ................................................................ 2
Vector desplazamiento .................................................. 3
Velocidad media............................................................. 4
Velocidad instantánea ................................................... 5
La velocidad instantánea y la trayectoria.................. 6
Aceleración ...................................................................... 6
Aceleración media ......................................................... 7
Aceleración instantánea................................................ 7
Clasificación de los movimientos ............................... 10
Movimiento rectilíneo uniforme ( MRU )..................... 10
Ecuación horaria del MRU............................................ 11
Gráficos............................................................................ 12
Movimiento rectilíneo uniformemente variado ....... 16
Primera ecuación horaria del MRUV.......................... 17
Segunda ecuación horaria del MRUV ....................... 18
Gráficos............................................................................ 19
Signos................................................................................ 19
El problema de la caída............................................... 23
Caída y Tiro vertical en el vacío ................................. 24
Movimientos compuestos............................................. 28
Composición de velocidades ..................................... 28
Descomposición de velocidades ............................... 29
Tiro horizontal .................................................................. 29
Tiro oblicuo en el vacío................................................. 31
Movimientos circulares ................................................. 34
Velocidad angular media............................................ 34
Velocidad angular instantánea.................................. 34
Movimiento circular uniforme (MCU) ......................... 35
Período............................................................................. 35
Frecuencia ...................................................................... 35
Cálculo de la velocidad angular en el MCU ........... 36
Cálculo de la velocidad tangencial.......................... 36
Aceleración centrípeta ................................................ 37
Problemas de Cinemática ........................................... 39
Capítulo II: DINÁMICA
El Principio de Inercia .................................................... 47
El Principio de Masa ...................................................... 48
Medición de la masa: ................................................... 48
Diagramas de cuerpo libre: ......................................... 49
El Principio de Acción y Reacción.............................. 50
Sistemas de unidades.................................................... 50
Sistema Técnico de unidades:..................................... 51
Sistema MKS de unidades: ........................................... 51
Sistema cgs de unidades:............................................. 52
Equivalencia entre el N y el Kgf: ................................. 52
Los principios de Newton y los movimientos............. 53
Fuerzas.............................................................................. 54
Fuerza de reacción normal de apoyo:...................... 54
Tensión:............................................................................. 56
Fuerzas de rozamiento: ................................................. 59
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Fuerzas de rozamiento viscoso:....................................59
Fuerza de rozamiento por deslizamiento: ..................59
Cálculo de la fuerza de rozamiento: ..........................61
Fuerza de rozamiento estático máxima:....................61
Fuerza de rozamiento cinético: ...................................61
Fuerzas Elásticas: .............................................................63
Fuerzas inerciales: ...........................................................64
Fuerzas centrípeta y centrífuga: ..................................65
Fuerza centrípeta:...........................................................65
Fuerza centrífuga: ...........................................................65
Fuerzas Gravitatorias: . ...................................................66
Ley de gravitación:.........................................................67
Masa gravitatoria y masa inerte ..................................69
Capítulo III: LEYES DE CONSERVACIÓN
Trabajo de una fuerza....................................................78
Definición de trabajo para cualquier fuerza.............79
Potencia ...........................................................................80
Relación entre potencia y velocidad media:...........80
Otras unidades de potencia: .......................................80
Teorema del trabajo y la energía................................81
Energía cinética: .............................................................83
Energía ..............................................................................83
Energía potencial gravitatoria .....................................84
El trabajo de la fuerza peso y la trayectoria:............85
Energía potencial elástica ............................................85
Energía Mecánica ..........................................................87
Principio de conservación de la energía mecánica
............................................................................................87
Fuerzas no conservativas:..............................................87
Impulso y cantidad de movimiento............................90
Sistema de cuerpos: .......................................................90
Fuerzas interiores y exteriores:.......................................90
Impulso de una fuerza constante ................................90
Definición: ........................................................................91
Unidades:..........................................................................91
Impulso de cualquier fuerza: ........................................91
Cantidad de movimiento .............................................91
Principio de conservación de la cantidad de
movimiento ......................................................................92
Choques ...........................................................................92
Choque plástico: ............................................................93
Choque elástico: ............................................................94
Choque inelástico: .........................................................96
Trabajo y energía............................................................96
Impulso y cantidad de movimiento........................ 100
Capítulo
IV:
DILATACIÓN
TEMPERATURA
Y
La temperatura ............................................................ 104
Teoría atómica de la materia ................................... 104
Termómetros ................................................................. 107
Termómetro de mercurio:........................................... 107
195
Índice
Escalas de temperaturas ............................................ 107
Termómetros eléctricos ............................................... 108
Dilatación ...................................................................... 109
Dilatación térmica de sólidos .................................... 109
Coeficiente de dilatación lineal ............................... 109
Dilatación diferencial.................................................. 111
Dilatación de superficie y de volumen.................... 112
Dilatación térmica de los líquidos............................. 113
Dilatación anormal del agua .................................... 114
Dilatación de los gases ............................................... 115
Ley de Boyle y Mariote............................................... 115
Evolución isobárica...................................................... 116
Evolución isocora ......................................................... 117
Leyes de Gay Lussac y Charles ................................. 118
Ecuación general de estado del gas ideal ............ 119
Problemas y preguntas ............................................... 123
Trabajo Eléctrico .......................................................... 159
Energía potencial eléctrica: ...................................... 159
Diferencia de potencial eléctrico (Tensión): .......... 160
Fuerza electromotriz (fem) ........................................ 161
Pila Eléctrica: ................................................................ 161
Pilas primarias ............................................................... 162
Pilas secundarias.......................................................... 162
Voltímetro: ..................................................................... 163
Capacidad ................................................................... 164
Capacitores: ................................................................. 165
Permitividad eléctrica relativa: ................................. 166
Asociación en paralelo: ............................................. 167
Asociación en serie: .................................................... 168
Preguntas y problemas de electrostática............... 170
Capítulo V: CALOR
Corriente eléctrica ...................................................... 177
Intensidad media de corriente eléctrica ................ 177
Intensidad instantánea de corriente eléctrica ...... 178
Corriente continua: ..................................................... 178
Corrientes variables..................................................... 178
Sentidos de la corriente eléctrica:............................ 178
Ley de Ohm .................................................................. 179
Resistencia eléctrica ................................................... 179
Resistor ........................................................................... 180
Código de colores:...................................................... 181
Ley de Joule.................................................................. 182
Potencia disipada por una resistencia .................... 182
Aplicaciones de la ley de Joule: .............................. 184
El potenciómetro: ........................................................184
El fusible: ........................................................................ 184
La lámpara incandescente: ...................................... 185
Calentadores:............................................................... 185
Voltímetro y Amperímetro .......................................... 185
Tester o Multímetro....................................................... 186
Asociación en serie: .................................................... 186
Asociación en Paralelo:.............................................. 187
Resistencia interna de una fem ................................ 188
Leyes de Kirchhoff........................................................ 189
Ley de nodos: ............................................................... 189
Ley de mallas:............................................................... 189
Aplicación de las leyes de Kirchhoff:....................... 189
Preguntas y problemas ............................................... 192
El Calor ........................................................................... 127
La Caloría ...................................................................... 127
Calor Específico ........................................................... 128
Ecuación Fundamental de la Calorimetría ............ 128
Los Calorímetros ........................................................... 129
Equivalente en agua de un calorímetro: ................ 130
Cambio de Estado....................................................... 131
Calor Sensible y Calor Latente .................................. 132
Calor latente: ................................................................ 132
Dilatación y Contracción en la Fusión..................... 134
Enfriamiento por evaporación .................................. 134
Humedad ...................................................................... 135
Transmisión del calor ................................................... 136
Conducción:................................................................. 136
Convección: ................................................................. 137
Radiación: ..................................................................... 138
Recipientes adiabáticos:............................................ 138
Preguntas y Problemas................................................ 140
Capítulo V: ELECTROSTÁTICA
Noción de carga eléctrica ........................................ 143
Primer principio de la electrostática ........................ 144
Estructura eléctrica de la materia ............................ 144
Segundo principio de la electrostática: .................. 145
Dieléctricos y conductores......................................... 145
Carga eléctrica por contacto................................... 146
Descarga a tierra: ........................................................ 146
Inducción eléctrica: .................................................... 147
Electroscopio de hojas:............................................... 147
Ley de Coulomb........................................................... 147
Carga del electrón ...................................................... 150
Campo eléctrico.......................................................... 151
Cálculo del campo eléctrico producido por una
carga puntual:.............................................................. 152
Principio de superposición: ........................................ 153
Campo eléctrico en el interior de un conductor: 153
Líneas de fuerza: .......................................................... 154
Flujo de un campo eléctrico ..................................... 155
Ley de Gauss:................................................................ 156
Aplicaciones de la ley de Gauss: ............................. 156
Prof. Lic. Claudio A. Naso
Capítulo VII: ELECTRODINÁMICA
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