Propiedades de las series numéricas.

Propiedades de las series numéricas.
1) Si intercalamos en laPsucesión {an }n∈N un número finito de términos de suma b, el
carácter de la serie n an no varı́a y, si converge, su suma aumenta en b.
D: Sea b1 + b2 + · · · + bq = b. Tomando una suma parcial que los contenga a todos,
0
0
Sn+q
= Sn + b =⇒ lı́m Sn+q
= lı́m (Sn + b) y, por las propiedades de los lı́mites,
n→∞
n→∞
- Si Sn es convergente a S, Sn0 es convergente a S + b.
- Si Sn es divergente, Sn0 es divergente.
- Si Sn es oscilante, Sn0 es oscilante.
Nota: Si, en lugar de intercalar, suprimimos en {an }n∈N un número finito de
términos de suma b, el carácter de la serie no varı́a y, si converge, su suma disminuye
en b. Se demuestra como en el caso anterior, sumando los opuestos de los términos
que queremos suprimir.
2) Si multiplicamos todos los términos de una serie por un número real λ 6= 0, su
carácter no varı́a y, si converge, su suma queda multiplicada por λ.
D: La sucesión de sumas parciales es
S10 = λa1
= λS1
0
S2 = λa1 + λa2
= λS2
..
.
Sn0 = λa1 + · · · + λan = λSn =⇒ lı́m Sn0 = lı́m (λSn ),
n→∞
n→∞
con lo que, por las propiedades de los lı́mites, ambas tienen el mismo carácter.
3) Si una serie es convergente o divergente, se pueden sustituir varios términos por
su suma efectuada sin que varı́e el carácter ni la suma (si es convergente).
D: S10 , S20 , . . . Sn0 es una subsucesión de S1 , S2 , . . . Sn , por lo que Sn0 :
a) Tiene igual lı́mite si Sn es convergente (prop. 7 de las sucesiones).
b) Diverge, si Sn es divergente. En efecto, al ser Sn0 subsucesión de Sn , los términos
de Sn0 pertenecen también a Sn , por lo que cumplen la condición de divergencia.
4) Si en una serie suprimimos los n primeros términos, la serie resultante se llama
resto de orden n. El resto de orden n de una serie convergente es convergente y
sus suma tiende a 0 cuando n → ∞.
D: Dada una serie convergente, su suma parcial de orden p se escribe como
p
∞
X
X
Sp =
ai . La suma de la serie valdrá lı́m Sp = S, que expresamos como
ai .
p→∞
i=1
La suma del resto de orden n será Rn =
∞
X
i=1
ai = S − Sn ∈ R (convergente).
i=n+1
Entonces se cumple lı́m Rn = lı́m (S − Sn ) = S − S = 0.
n→∞
n→∞
5) Dadas
X
an y
n∈N
X
bn , la suma de ambas se define como
n∈N
X
(an + bn ).
n∈N
La combinación lineal de series convergentes es convergente y su suma es la combinación lineal de las sumas.
D: Sean las sumas parciales
© ª
y Snb n∈N → S b . Entonces
Sna
=
n
X
ai y
Snb
=
i=1
n
X
bi , tales que {Sna }n∈N → S a
i=1
¢
¡
lı́m αSna + βSnb = α lı́m Sna + β lı́m Snb = αS a + βS b , ∀α, β ∈ R.
n→∞
n→∞
n→∞
6) (Sólo para series de términos positivos) Si alteramos el orden de los términos
de una S.T.P. no varı́a el carácter ni la suma (si es convergente).
X
X
an y
a0n las mismas series con los términos en distinto orden.
D: Sean
n∈N
n∈N
Como ambas tienen los mismos términos, para toda suma parcial de la primera,
podemos encontrar una suma parcial de la segunda que la supere y viceversa; es
decir
0
0
0
∀Sn ∃m / Sn ≤ Sm
y ∀Sm
∃ p / Sm
≤ Sp .
0
Entonces ∀n ∃ m, p / Sn ≤ Sm
≤ Sp . Como lı́m Sn = lı́m Sp , resulta:
n→∞
p→∞
0
lı́m Sn = lı́m Sm
(finito o infinito).
n→∞
m→∞
7) (Sólo para series de términos positivos) Si se agrupan un número finito o
infinito de términos de una S.T.P. o se descomponen en suma de términos positivos,
no se altera el carácter de la serie ni su suma (si es convergente).
D: Se deduce de la propiedad 3, pues una S.T.P. nunca es oscilante.