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Capı́tulo 4
Dinámica Bosónica
No-Conmutativa y Fermiónica
No-Anticonmutativa
En esta sección abordaremos el caso en el cual tenemos un sistema que tiene N grados de libertad bosónicos y N grados de libertad fermiónicos (caso No Supersimétrico).
Aclaremos que el caso más general serı́a aquel en el cual se tiene un sistema con N
grados de libertad bosónicos y M grados de libertad fermiónicos (caso Supersimétrico
M=N), no obstante, este caso sale del contexto de este trabajo de tesis (debido a las
herramientas matemáticas que requiere) y no se abordará.
Partamos de una estructura simpléctica con la siguiente forma:
{xi , xj }P
 {pi , xj }P



{xi , pj }P
{pi , pj }P

02N ×2N
02N ×2N
{ηi , ηj }P
{ηi∗ , ηj }P
{ηi , ηj∗ }P
{ηi∗ , ηj∗ }P


.
(4.1)
La cual, es el caso particular de:
{xi , xj }P {xi , pj }P
{xi , ηj }P {xi , ηj∗ }P 
 {pi , xj }P {pi , pj }P
{pi , ηj }P {pi , ηj∗ }P 

,
(4.2)
 {ηi , xj }P
{ηi , pj }P
{ηi , ηj }P {ηi , ηj∗ }P 
{ηi∗ , xj }P {ηi∗ , pj }P
{ηi∗ , ηj }P {ηi∗ , ηj∗ }P
es decir, estamos considerando que en el sistema no hay combinación entre las variables

bosónicas y fermiónicas, esto es, son independientes entre sı́ dichas variables.
Para tomar los casos No-conmutativos y No-anticonmutativos, usaremos los siguien-
25
tes generadores: Para la parte de las variables bosónicas:
{xα , xβ }P = θαβ ,
{xα , pβ }P = δαβ ,
{pα , pβ }P = βαβ .
y para la parte de las variables fermiónicas.
{ηα , ηβ }P =
ϕαβ ,
{ηα , ηβ∗ }P = −2iδαβ ,
{ηα∗ , ηβ∗ }P =
ϑαβ .
Ya teniendo definida la estructura simpléctica a utilizar, tomemos el Hamiltoniano
completo de G2 (es decir incluyendo grados de libertad bosónicos y fermiónicos):
H=
p2β
+ V1 (x) + ηβ∗ ηβ V2 (x),
2m
(4.3)
y calculemos las ecuaciones de movimiento correspondientes, empecemos con xα :
p2
β
ẋα = {xα , H}P = {xα , 2m
+ V1 (x) + ηβ∗ ηβ V2 (x)}P .
Aquı́ hay que tener presente las definiciones para los paréntesis de Poisson dadas en
(2.21, 2.22, 2.23); aumentándoles los términos de corrección. Tanto para x como para
p se debe usar la definición:
1 ∂E2
1 ∂E2
{E1 , E2 }P = +θij ∂E
+ ( ∂E
−
∂xi ∂xj
∂xi ∂pi
∂E1 ∂E2
)
∂pi ∂xi
1 ∂E2
+ βij ∂E
∂pi ∂pj
(4.4)
1 ∂E2
+ϕij ∂E
∂ηi ∂ηj
−
1 ∂E2
2i( ∂E
∂ηi ∂ηi∗
−
∂E1 ∂E2
)
∂ηi∗ ∂ηi
+
1 ∂E2
ϑij ∂E
∂ηi∗ ∂ηj∗
puesto que x, p y H son funciones pares respecto a las variables fermiónicas
α ∂H
α ∂H
ẋα = {xi , xj }P ∂x
+ {xi , pj }P ∂x
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+{pi , xj }P ∂x
+ {pi , pj }P ∂x
∂pi ∂xj
∂pi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj }P ∂x
+ {ηi , ηj∗ }P ∂x
∂ηi ∂ηj
∂ηi ∂η ∗
j
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj∗ }P ∂x
+ {ηi∗ , ηj∗ }P ∂x
∂η ∗ ∂ηj
∂η ∗ ∂η ∗
i
26
i
j
2
ẋα =
1
θij δαi [ ∂V
∂xj
+
2
ηβ∗ ηβ ∂V
]
∂xj
+
∂p
δij δαi ∂p2mj
∂
p2
1
2
−δij (0)[ ∂V
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + βij (0) ∂p2mj
∂xj
∂xj
+ϕij (0)(−ηβ∗ δβj V2 ) − 2iδij (0)(−δβj ηβ V2 )
−2iδij (0)(−δβj ηβ∗ V2 ) + ϑij (0)(−δβj ηβ V2 )
ẋα = θαj [
Para ṗα :
∂V1
∂V2
pα
+ ηβ∗ ηβ
] + ( ).
∂xj
∂xj
m
(4.5)
α ∂H
α ∂H
ṗα = {xi , xj }P ∂p
+ {xi , pj }P ∂p
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+ {pi , pj }P ∂p
+{pi , xj }P ∂p
∂pi ∂xj
∂pi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj }P ∂p
+ {ηi , ηj∗ }P ∂p
∂ηi ∂ηj
∂ηi ∂η ∗
j
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj∗ }P ∂p
+ {ηi∗ , ηj∗ }P ∂p
∂η ∗ ∂ηj
∂η ∗ ∂η ∗
i
i
∂
j
p2
1
2
ṗα = +θij (0)[ ∂V
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + δij (0) ∂p2mj
∂xj
∂xj
∂
p2
1
2
−δij δαi [ ∂V
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + βij (δαi ) ∂p2mj
∂xj
∂xj
+ϕij (0)(−ηβ∗ δβj V2 ) − 2iδij (0)(−δβj ηβ V2 )
−2iδij (0)(−δβj ηβ∗ V2 ) + ϑij (0)(−δβj ηβ V2 )
ṗα = −[
pj
∂V2
∂V1
+ ηβ∗ ηβ
] + βαj ( )
∂xα
∂α
m
(4.6)
Por su parte, para calcular η̇α y η̇α∗ debemos usar la definición del Paréntesis de Poisson:
∂O ∂E
∂O ∂E
{O, E}P = +θij ∂x
+ ( ∂x
−
i ∂xj
i ∂pi
∂O ∂E
)
∂pi ∂xi
∂O ∂E
+ βij ∂p
i ∂pj
(4.7)
∂O ∂E
−ϕij ∂η
i ∂ηj
+
∂O ∂E
2i( ∂η
∗
i ∂ηi
+
∂O ∂E
)
∂ηi∗ ∂ηi
−
∂O ∂E
ϑij ∂η
∗
∗
i ∂ηj
puesto que η y η ∗ son funciones impares respecto a las variables fermiónicas y H es
función par.
27
α ∂H
α ∂H
+ {xi , pj }P ∂η
η̇α = {xi , xj }P ∂η
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+{pi , xj }P ∂η
+ {pi , pj }P ∂η
∂pi ∂xj
∂pi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj }P ∂η
+ {ηi , ηj∗ }P ∂η
∂ηi ∂ηj
∂ηi ∂η ∗
j
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj∗ }P ∂η
+ {ηi∗ , ηj∗ }P ∂η
∂η ∗ ∂ηj
∂η ∗ ∂η ∗
i
i
∂
j
p2
1
2
η̇α = θij (0)[ ∂V
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + δij (0) ∂p2mj
∂xj
∂xj
∂
p2
2
1
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + βij (0) ∂p2mj
−δij (0)[ ∂V
∂xj
∂xj
−ϕij (δαi )(−ηβ∗ δβj V2 ) + 2iδij (δαi )(−δβj ηβ V2 )
−2iδij (0)(−δβj ηβ∗ V2 ) + ϑij (0)(−δβj ηβ V2 )
η̇α = ϕαβ ηβ∗ V2 − 2iηα V2 .
(4.8)
Para η̇α∗ :
∗
∗
α ∂H
α ∂H
η̇α∗ = {xi , xj }P ∂η
+ {xi , pj }P ∂η
∂xi ∂xj
∂xi ∂pj
∗
∗
∗
∗
α ∂H
α ∂H
+ {pi , pj }P ∂η
+{pi , xj }P ∂η
∂pi ∂xj
∂pi ∂pj
α ∂H
α ∂H
+{ηi , ηj }P ∂η
+ {ηi , ηj∗ }P ∂η
∂ηi ∂ηj
∂ηi ∂η ∗
j
∗
∗
i
i
α ∂H
α ∂H
+ {ηi∗ , ηj∗ }P ∂η
+{ηi , ηj∗ }P ∂η
∂η ∗ ∂ηj
∂η ∗ ∂η ∗
∂
j
p2
1
2
η̇α∗ = θij (0)[ ∂V
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + δij (0) ∂p2mj
∂xj
∂xj
∂
p2
1
2
−δij (0)[ ∂V
+ ηβ∗ ηβ ∂V
] + βij (0) ∂p2mj
∂xj
∂xj
−ϕij (0)(−ηβ∗ δβj V2 ) + 2iδij (0)(−δβj ηβ V2 )
+2iδij (δαi )(−δβj ηβ∗ V2 ) − ϑij (δαi )(−δβj ηβ V2 )
η̇α∗ = 2iηα∗ V2 + ϑαβ ηβ V2 .
28
(4.9)
Observemos las ecuaciones obtenidas para cada una de las variables dinámicas. Los
términos de corrección obtenidos para las variables bosónicas están afectados ahora por
el potencial fermiónico, mientras que las ecuaciones de movimiento para las variables
fermiónicas no sufrieron cambio alguno, es decir, no las alteró el hecho de que ahora
hubiera términos bosónicos.
Finalmente, sustituyendo todos los resultados anteriores, se llega a la ecuación de
la segunda ley de Newton:
∂V2
∂V1
mẍα = βαj ẋj − [ ∂x
+ ηβ∗ ηβ ∂x
]
α
α
2
∂V2
+mθαj [ ∂x∂ kV∂x1 j ẋk + (2iηβ∗ V2 + ϑβγ ηγ V2 )ηβ ∂x
α
2
∂V2
V2
−ηβ∗ (ϕβγ ηγ∗ V2 − 2iηβ V2 ) ∂x
− ηβ∗ ηβ ∂x∂k ∂x
ẋk ].
α
α
29