ITINFORM´ATICA DE GESTI´ON UNIVERSIDAD CARLOS III DE

III
UNIVERSIDAD CARLOS IIIDE M ADRID
I.T.INFORMÁTICA DE GESTIÓN
Departamento de Estadı́stica
Asignatura: Investigación Operativa
Curso: 2009/2010
Relación número 3 de problemas
1. (Febrero 2007) Considera la red de comunicaciones mostrada en la siguiente figura:
5
7
6
4
2
1
3
(a) Considera el problema de encontrar la ruta más rápida para ir del nodo 1 al nodo 7.
Formula este problema (y no un modelo más general) como un programa entero.
(b) Supongamos que los tiempos tij toman valores fraccionales. ¿Se puede garantizar en tal
caso que la solución de la relajación lineal del programa entero formulado en el apartado
anterior será entera?
2. (Septiembre 2007) Una compañı́a aérea ha decidio dejar de operar sus vuelos con destino
Parı́s desde los aeropuertos de Asturias, Valladolid, Pamplona y Valencia. Para ello, todos
los vuelos programados para los próximos meses que ya habı́an sido puestos a la venta deben
ser desplazados a otros aeropuertos más grandes en ciudades vecinas. Cada vuelo desplazado
conlleva un incremento del coste total al tener que asumir el vuelo interno entre los aeropuertos
nacionales. En la siguiente tabla se recogen los costes de los vuelos entre los aeropuertos
nacionales (expresados en miles de euros):
Asturias
Valladolid
Pamplona
Valencia
Madrid
91.4
205
84
78
Bilbao
88
143
157.2
84
Barcelona
95
65
91
72.5
El número de vuelos que deben ser desviados en cada una de estas ciudades es de 25 en
Asturias, 23 en Valladolid, 17 en Pamplona y 35 en Valencia. El número de vuelos que cada
aeropuerto grande es capaz de asumir es de 40 en Madrid, 25 en Bilbao y 35 en Barcelona.
(a) ¿Qué problema de programación lineal puede ayudar a la compañı́a aérea a decidir
cuántos vuelos de cada aeropuerto pequeño deben de ser desviados a cada aeropuerto
grande de forma que el coste total en vuelos internos sea el menor posible? Formúlalo.
(b) De los métodos estudiados en clase, di cuál emplearı́as para resolver este problema y por
qué.
3. (Febrero 2006) Considera una cola con tasa de llegada λ y 7 servidores idénticos en paralelo,
cada uno de los cuales tiene tasa de servicio µ.
(a) Formula la condición que han de cumplir los parámetros dados para que la cola sea
estable.
(b) Sabiendo que el número medio de servidores ocupados es 6, que el tiempo medio de
permanencia en el sistema (entre la cola propiamente dicha y el proceso de servicio) es
de 30 minutos y que el tiempo medio de espera a ser atendido es de 18 minutos, calcula:
i. El factor de utilización del sistema;
ii. la tasa de llegadas;
iii. la tasa de servicio;
iv. el número medio de clientes en el sistema, y
v. el número medio de clientes en espera.
¿Es estable el sistema?
(c) Asumiendo que los tiempos entre llegadas de clientes y los tiempos de servicio fuesen
variables aleatorias exponenciales, representa el diagrama de tasas de transición entre
estados y formula las ecuaciones de balance de flujo correspondientes.
4. (Febrero 2007) Una compañı́a aérea ha montado un sistema de reservas por teléfono, atendido
por 4 agentes, en el que las llamadas que llegan cuando los agentes están ocupados quedan
en espera para ser después atendidas en riguroso orden de llegada. Se sabe que las llamadas
son aleatorias y que, en promedio, reciben 20 llamadas por hora. También se sabe que el
tiempo medio de respuesta (que una llamada permanece en el sistema) es de 6.51 minutos y
que el número medio de llamadas en espera es de 0.17. Con esta información, contesta a las
siguientes preguntas que se plantea la empresa:
(a) ¿Cuál es el tiempo medio que una llamada ha de esperar hasta ser atendida por uno de
los agentes?
(b) ¿Cuál es el factor de utilización del sistema? ¿Qué ocurrirı́a si despidieran a dos agentes?
(c) Si la compañı́a ha valorado la hora de inactividad de cada agente en 300 euros, ¿a qué
cantidad asciende la pérdida media por hora debida a la inactividad de los agentes?
5. (Septiembre 2007) Consideramos un sistema informático que se representa como un sistema
de colas con 10 procesadores idénticos en paralelo, cada uno de los cuales procesa una cierta
tarea en 3 segundos. Los usuarios del sistema le envı́an órdenes para realizar esa tarea cada
cierto tiempo. Se observa que el tiempo medio de respuesta, desde que se envı́a una orden
para realizar la tarea hasta que ésta se completa, es de 10 segundos. Además, se observa que
la utilización del sistema es de un 90%.
(a) ¿Cuál es el número medio de procesadores ocupados? ¿Puedes afirmar que el sistema es
estable?
(b) ¿Cuál es la tasa media a la que se envı́an órdenes al sistema para realizar la tarea?
(c) ¿Cuál es el número medio de tareas en espera o en proceso en el sistema? ¿Y el número
medio de tareas en espera? ¿Y el tiempo medio en espera por tarea?
6. En un hospital se dispone de un equipo de médicos que pueden llevar a cabo cierto tipo
de operaciones quirúrgicas. Los pacientes que requieren estas operaciones llegan al hospital
de manera aleatoria, pero se puede suponer que sus tiempos entre llegadas siguen una distribución exponencial con media 3.6 dı́as. El equipo médico necesita un tiempo para atender
a cada paciente que es aleatorio, y que también supondremos exponencial con una tasa de
0.3 tratamientos por dı́a.
Calcula:
(a) El número medio de pacientes en el sistema en un momento cualquiera.
(b) El porcentaje del tiempo que el equipo médico está desocupado.
(c) El tiempo medio de espera de un paciente.
7. El pago del peaje en la salida de una autopista se realiza utilizando una única cabina de pago
de las dos cabinas disponibles. La tasa de llegadas a la cabina es de 90 por hora, y el tiempo
medio que necesita un conductor para completar el pago es de 30 segundos. Se supone que
los tiempos entre llegadas y de pago siguen distribuciones exponenciales.
(a) Se quiere saber cual es el número medio de automóviles en el sistema, y el tiempo medio
de espera de los mismos.
(b) Se quiere estudiar si se abre la segunda cabina. Suponiendo que no cambian las tasas de
llegada al sistema ni la tasa de servicio para cada cabina, ¿cuáles son los nuevos tiempos
de espera medios?