Tendecias deterministicas y estocasticas

Econometria de Series Temporales
Procesos Univariados
No-Estacionarios
Walter Sosa Escudero
Universidad de San Andr¶
es y UNLP
1
Procesos unvariados no-estacionarios
Yt es estacionario si y solo si:
1. E(Yt ) = ¹ < 1; 8t
2. Cov(Yt ; Yt¡j ) = °j < 1; 8t; 8j
Yt es no-estacionario si por lo menos alguna de las dos
condiciones anteriores no se cumple
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2
Breve catalogo de procesos no-estacionarios
1. Tendencia deterministica
Yt = a + dt + ut
a; d parametros, t es un indice temporal, ut es cualquier
proceso estacionario con E(ut ) = 0 y V (ut ) = ¾ 2 < 1.
²E(Yt ) = a + dt
²V (Yt ) = V (ut ) = ¾2
¡ La fuente de no estacionariedad es la media.
¡ Es una °uctuacion estacionaria alrededor de una
tendencia deterministica.
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3
2. Random walk
Yt = Yt¡1 + "t ;
"t » RB(0; ¾2 )
²E(Yt ) = 0
¤
²V (Yt ) = t¾2 =) £
La
fuente de no-estacionariedad es la varianza.
Y0
=
0
Y1
=
Y0 + "1 = "1
Y2
=
Y1 + "2 = "1 + "2
¡
¢
::::::::::::::::::::::::::::::
Yt
=
Yt¡1 + "t =
Pt
"
i=1 i
y tomar E() y V ().
Importante: un RB es una suma no-ponderada de
elementos de un RB
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4
3. Random walk with drift
"t » RB(0; ¾ 2 )
Yt = m + Yt¡1 + "t
Y0
=
0
Y1
=
m + Y0 + "1 = m + "1
Y2
=
m + Y1 + "2 = 2m + "1 + "2
::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Yt
=
m + Yt¡1 + "t = tm +
Pt
"
i=1 i
²E(Yt ) = tm
²V (Yt ) = t¾2
- La fuente de no estacionariedad es la media y la varianza.
- Un RWD es una TD mas un RW.
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5
Ejemplos
AR(1)
-6
-2
-4
-2
0
0
2
2
4
Random walk
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
Random walk with drift
0
0
10
10
20
20
30
30
40
40
50
50
Deterministic Trend
0
20
40
60
80
100
0
20
40
60
80
100
² Es muy di¯cil distintinguir entre RWD y TD, y entre RW
y AR(1).
² Son procesos completamente diferentes.
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6
Procesos con raices unitarias
En terminos generales, un test de raiz unitaria es un test de
la hipotesis nula:
H0 : Á = 1
vs.
HA : jÁj < 1
en el siguiente modelo:
Yt = m + ÁYt¡1 + dt + "t ;
"t » RB(0; ¾ 2 )
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7
Casos particulares
Caso
Proceso
Parametros
Hipotesis
sobre Á
jÁj < 1; d = 0
1
AR(1)
Alternativa
2
TD
jÁj < 1; d 6
=0
Alternativa
3
RW
Á = 1; d = m = 0
Nula
4
RWD
Á=1
Nula
Los casos 3 y 4 (H0 ) son procesos con raiz unitaria.
Implican una forma muy particular de no-estacionariedad.
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8
Prueba del caso 2: Si jÁj < 1
Yt (1 ¡ ÁL) = m + d t + "t
Yt =
Notar que
dt
"t
m
+
+
1 ¡ Á 1 ¡ ÁL 1 ¡ ÁL
t=(1 ¡ ÁL) =
1
X
i=0
Ái (t ¡ i) =
Á
t
¡
1 ¡ Á (1 ¡ Á)2
reemplazando:
Yt = ¹¤ +
"t
dt
+
1 ¡ Á 1 ¡ ÁL
con ¹¤ ´ [m(1 ¡ Á) ¡ dÁ]=(1 ¡ Á)2 . Bajo jÁj < 1, "t =(1 ¡ ÁL) es
un M A(1) estacionario, entonces Yt es una tendencia
deterministica.
Ejercicio: veri¯car el caso (4).
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9
>Porque es relevante evaluar raices unitarias?
² La interpretacion de los resultados de un test de raiz
unitaria depende de como estan especi¯cados los otros
parametros (d; m).
² La `regla' es tener una interpretacion economica
coherente para la hipotesis nula y la alternativa.
1. Evaluar estacionariedad
² Corresponde a contrastar el caso 1 (AR(1)) versus el 3
(RW). Bajo H0 el proceso es no-estacionario, bajo HA es
estacionario. El test tiene sentido si estamos dudando de la
estacionariedad.
² Ejemplo: tasa de interes, empleo, precio de un activo.
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10
Ejemplo
1
.2
0
.9
1
.0
1
.1
rja
p
1
.3
1
.4
1
.5
T ipo de cambio real. Japon
0
50
100
150
200
Index
² Es realmente estacionario?
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11
2. Determinar la fuente de no-estacionariedad
Ejemplo
5
.0
3
.5
4
.0
4
.5
lp
b
i
5
.5
6
.0
Log-PBI Argentino
1880
1900
1920
1940
1960
1980
2000
year
² Es una tendencia deterministica o un proceso de raiz
unitaria?
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12
Diferencias entre TD y RWD
1. Varianza
² TD = acotada y ¯ja. V (Yt ) = ¾ 2 < 1)
² RWD = no acotada. V (Yt ) = T ¾2 ! 1.
2. Transformacion para estacionariedad
² TD = restar la tendencia: Yt ¡ d t = m + ut » estacionario
² RWD = tomar diferencia: Yt ¡ Yt¡1 = d + "t » estacionario
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13
3. Efecto de shock en t sobre Yt+s
² Random walk with drift
Yt
= m + Yt¡1 + "t
Yt+1
= m + Yt + "t+1 = 2m + Yt¡1 + "t+1 + "t
Yt+2
= m + Yt+1 + "t+2 = 2m + Yt + "t+1 + "t
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
Yt+s
= m + Yt+s¡1 + "t+s = sm + Yt + "t+s + "t+s¡1 + ¢ ¢ ¢ + "t
@Yt+s
=1
@"t
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14
² Tendencia deterministica
Caso simple: Yt = a + dt + ut ;
ut = Áut¡1 + "t
ut
= Áut¡1 + "t
ut+1
= Áut + "t+1 = Á2 ut¡1 + Á"t + "t+1
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
ut+s
= Áut+s¡1 + "t+s = Ás+1 ut¡1 + Ás "t + Ás¡1 "t+1 + : : : + "t
Reemplazando en Yt+s = a + d(t + s) + ut+s :
Yt+s = a + d(t + s) + Ás+1 ut¡1 + Ás "t + Ás¡1 "t+1 + : : : + "t
@Yt+s
= Ás
@"t
En TD el efecto tiende a desaparecer cuando s ! 1
mientras que en RWD no desaparece. Efectos permanentes
(RWD) vs. transitorios (TD)
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15
3. Regresion espurea
² Supongamos que Yt y Xt tienen raices unitarias.
² Granger y Newbold (1974): los resultados de regresar
ambas series son espureos: tienden a presentar R2 alto y
estadisticos `t' signi¯cativos aun cuando las series no
guarden ninguna relacion entre ellas.
² No toda regresion de procesos con raices unitarias es
espurea (cointegracion)
² Practica usual: descartar la presencia de raices unitarias.
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16
z
5
-5
0
0
y
5
10
15
10
Ejemplo: Dos RW independientes
0
20
40
60
80
100
0
20
40
80
100
60
80
100
6
4
resid
-5
0
5
10
-6 -4 -2 0
2
10
5
0
z
60
Index
15
Index
0
y
20
40
Index
---------------------------------------------------------Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 2.64416
0.39644
6.67 1.53e-09 ***
y
0.82388
0.07234
11.39 < 2e-16 ***
---------------------------------------------------------Residual standard error: 3.366 on 98 degrees of freedom
Multiple R-Squared: 0.5696,
Adjusted R-squared: 0.5652
F-statistic: 129.7 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
----------------------------------------------------------
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17
Tests de raiz unitaria
Caso 1: H0 : Á = 1 vs. HA : jÁj < 1 en:
Yt = ÁYt¡1 + "t ; "t » RB
² Bajo H0 : RW, Bajo HA : AR(1) estacionario con media
cero.
Restando Yt¡1 en ambos lados:
¢Yt = gYt¡1 + ut =
con g ´ (Á ¡ 1). Entonces H0 : Á = 1 , g = 0
² En esta especi¯cacion el test de raiz unitaria es el
estadistico `t' de signi¯catividad de g .
² Problema: a diferencia del caso de regresion estandar,
bajo H0 el estadistico NO tiene distribucion asintotica
normal (Dickey y Fuller, 1979).
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18
² El `test de Dickey-Fuller' se basa en un estadistico `t'
simple.
² La distribucion asintotica de este estadistico bajo H0 es
no-estandar (no confundir!).
² En este formato, un test de raiz unitaria es un test de
no-estacionariedad.
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19
Caso 2: H0 : Á = 1 vs. HA : jÁj < 1 en: Yt = m + ÁYt¡1 + "t
² La interpretacion del modelo bajo H0 y HA depende del
valor de m.
² Si m = 0 estamos en el caso anterior.
² Si m 6
= 0, bajo H0 es un RWD y bajo HA es un AR(1)
estacionario con media no-nula.
² Es importante chequear si m 6
= 0 bajo H0 .
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20
Caso 3: H0 : Á = 1 vs. HA : jÁj < 1 en: Yt = m + ÁYt¡1 + d t + "t
² La interpretacion del modelo bajo H0 y HA depende de los
valores de m y d.
² Cuando m; d 6
= 0, bajo H0 : RWD y bajo HA : T D.
En forma similar, restando Yt¡1 , el test de Dickey-Fuller
corresponde al estadistico t del modelo:
¢Yt = m + gYt¡1 + dt + "t
² Tambien es relevante evaluar m y d.
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21
Sobre constantes y tendencias:
² Mas alla del sentido estadistico que pueda tener
incluirlas o no, la guia fundamental es que el modelo en
cuestion tenga sentido economico bajo H0 y bajo HA .
Ejemplos: Precio de acciones?, PBI?, Desempleo?
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22
Tests ADF y de Phillips/Perron
1. Dickey-Fuller Aumentado
DF suponen que ut » RB(0; ¾2 ) en
¢Yt = gYt¡1 + ut =
Si ut no es ruido blanco, Dickey and Fuller (1979) utilizar:
¢Yt = gYt¡1 +
p
X
¯i ¢Yt¡i+1 + ut =
i=2
Problema: determinacion de p (lag-length). El resultado es
mas `apropiado' para p grande, pero implica una gran
perdida de grados de libertad.
Soluciones: usar BIC, general-a-particular, etc.
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23
2. Phillips-Perron
Alternativamente, Phillips y Perron (1988) sugieren una
modi¯cacion simple para lidiar con el problema de ut no
independiente y con varianza variable.
Lamentablemente, la expresion para la correccion involucra algunas nociones de analisis espectral que
estan por afuera de los objetivos de este curso. Ver notas de clase (Class-Notes on Unit Root
Asymptotics) para una motivacion de la necesidad de efectuar la correccion y algunos detalles
adicionales. Un tratamiento un poco mas completo es Stock (1994).
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24
Resultados de muestra ¯nita para
tests de raices unitaria
² Los tests son muy sensibles a la introduccion de
constantes y tendencias y a la eleccion del numero de
rezagos.
² Hay una suerte de `trade-o®' entre consistencia y
potencia en la especi¯cacion de los componentes
deterministicos (tendencia y constante) similar al
problema estandar de variables omitidas.
² Incrementar espureamente el numero de rezagos baja la
potencia. BIC y General-a-Particular andan
razonablemente bien (Pantula, 1994).
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25
² Todos los tests tienen muy baja potencia con
alternativas relevantes cercanas a la hipotesis nula.
² DFA tiene tama~
no correcto pero baja potencia. PP, lo
contrario.
² Importa la extension del periodo y NO la frecuencia
(Shiller y Perron, 1988).
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26
Descomposicion de componentes
permanentes y transitorios
Si el proceso es DT es facil
La discusion es menos obvia si el proceso tiene una
tendencia estocastica
La descomposicion de Beveridge-Nelson
Si Yt tiene una raiz unitaria, por la descomposicion de Wald:
¢Yt = ¹ + ©(L)"t
P1
con "t » RB(0; ¾ 2 ) y ©(L) ´ j=0 Áj Lj que satisface las
condiciones de sumabilidad absoluta.
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27
Beveridge y Nelson (1988):
Yt = ª(1)
t
X
s=1
con: ª(1) =
P1
j=0
Ãj ,
"s + ¹ t + ´t + Y0 ¡ ´0
´t =
®j = ¡(Ãj+1 + Ãj+2 + Ãj+3 + ¢ ¢ ¢),
P
j=0
®j "t¡j
P1
j=0
j®j j < 1
Intuitivamente: Si Yt tiene una raiz unitaria, entonces se
puede escribir como la suma de un random walk
¡
¢
P
ª(1) ts=1 "s mas un proceso de tendencia deterministica
(¹t + ´t + Y0 ¡ ´0 ). Notar que ´t es estacionario ya que
satisface la condicion de sumabilidad absoluta)
Prueba: facil pero aburrida (Hamilton (1994, Apendice 17 A)). De hecho ya hemos probado un caso
particular (>cuando?)
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28
Una intuicion `computable' (Favero, 2001):
¢Yt
=
¹ + ©(L)"t
=
¹ + [©(L) ¡ ©(1) + ©(1)] "t
=
¹ + D(L) "t + ©(1)"t ;
=
¹ + ©¤ (L)(1 ¡ L) "t + ©(1) "t
=
D(L) ´ ©(L) ¡ ©(1)
¹ + ©¤ (L)¢ "t + ©(1) "t
ya que 1 es una raiz de D(L), y ©¤ (L) satisface
D(L) = ©¤ (L)(1 ¡ L).
Comenzando con Y0 y sustituyendo recursivamente:
Yt = ©(1)
t
X
s=1
"s + ©¤ (L)"t + ¹ t + Y0 ¡ ©¤ (L)"0
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29
Si Y0 = "0 = 0
Yt
= ¹ t + ©(1)
t
X
"s + ©¤ (L)"t
s=1
= Zt + Ct
con Zt ´ ¹ t + ©(1)
Pt
s=1 "s
y Ct ´ ©¤ (L)"t .
Zt es la tendencia estocastica y Ct es una °uctuacion
estacionaria alrededor de la tendencia estocastica.
Es facil ver que:
Zt = Zt¡1 + ¹ + ©(1)"t
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30
Ejemplo: ¢Yt » ARM A(1; 1) invertible:
¢Yt = Á¢Yt¡1 + "t + µ"t¡1
©(L) =
1 + µL
;
1 ¡ ÁL
©(1) =
1+µ
;
1¡Á
©¤ (L) =
©(L) ¡ ©(1)
µ+½
=
1¡L
(1 ¡ Á)(1 ¡ ÁL)
Reemplazando:
Yt =
zt ´
Pt
s=1 "s .
µ+½
1+µ
"t +
zt
(1 ¡ Á)(1 ¡ ÁL)
1¡Á
Notar que zt = zt¡1 +
1+µ
1¡Á "t
con z0 = 0.
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Pasos para computar la descomposicion de
Beveridge-Nelson (Cuddington y Winters (1987)):
1. Identi¯car un ARMA para ¢Yt , estimar los parametros
del ARMA y obtener los residuos et .
2. Dado un valor inicial para Y0 , computar la tendencia
estocastica usando la recursion:
zt = zt¡1 + ¹ + ©(1)et
reemplazando ¹ y ©(1) por sus estimaciones.
^t = Yt ¡ Z^t
3. Generar el componente ciclico como C
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