ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA

ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
José Agüera Soriano 2011
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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
•EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS
•ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
•SEMEJANZA DE MODELOS
Ensayos con modelos
Leyes de semejanza
Semejanza de Froude
Semejanza de Reynolds
Semejanza de Mach
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EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS
Las ecuaciones fundamentales de un flujo no
son generalmente suficientes para una solución
completa del problema.
En Mecánica de fluidos que pueden intervenir
hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible
la experimentación. Afortunadamente, en un
problema concreto, no influirán más de 6;
pero todavía es excesivo.
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Mediante el análisis dimensional podemos formar
agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas
en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con
ello se reduce el número de variables a (n−m):
n = número de magnitudes físicas que intervienen
m = número de magnitudes básicas que intervienen
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Cuantas menos agrupaciones resulten, menos
experiencias hay que hacer: una agrupación
requeriría una experiencia; dos agrupaciones
varias experiencias (10 por ejemplo) para
construir una curva, y tres nos llevaría a varias
(10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo).
Una ventaja adicional que nos proporciona la
teoría dimensional es la de predecir los resultados
de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando
con un modelo a escala.
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ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Para establecer los posibles adimensionales,
supongamos que intervienen a la vez todas
las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión,
de gravedad, de fricción, de elasticidad y de
tensión superficial.
Expresemos la resultante (ΣF ), o fuerza de
inercia ( Fi ), que provoca la aceleración del
flujo, en función de la velocidad u:
ΣF = Fi = m ⋅ a = ( ρ ⋅ l 3 ) ⋅ (l ⋅ t − 2 ) =
= ρ ⋅ l 2 ⋅ (l ⋅ t −1 ) 2 = ρ ⋅ l 2 ⋅ u 2
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Fuerza de presión (p):
Fp = l 2 · p
Fg = l 3 · ρ ·g
Fuerza de gravedad (g):
Fuerza viscosa (µ ):
Fr = l 2 · τ = l · u · µ
Fuerza elástica (K):
FK = l 2 · K
Fuerza tensión superficial (σ )
Fσ = l · σ
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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
l 2 ⋅ p + l 3 ⋅ ρ ⋅ g + l ⋅ u ⋅ µ + l 2 ⋅ K + l ⋅σ = ρ ⋅ l 2 ⋅ u 2
expresión que relaciona 8 magnitudes físicas:
f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con
frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8.
Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
µ
σ 
l⋅g
K
 p
ϕ
, 2 ,
,
,
=0
2
2
2 
ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u ρ ⋅l ⋅u 
u
 ρ ⋅u
en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar
de las 8 (dimensionales).
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8
p
l⋅g
K
µ
σ 
,
,
,
,
=0
2
2
2
2
u
ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u ρ ⋅l ⋅u 
 ρ ⋅u

ϕ
Coeficiente de presión =
Número de Froude
Número de Reynolds
Número de Mach
Número de Weber
p ρ
ϕ  2 ,
u 2
p ρ
u2 2
u
Fr =
l⋅g
ρ ⋅l ⋅u l ⋅u
Re =
=
µ
ν
u
u
=
Ma =
K ρ a
We =
u
σ ρ ⋅l
u
l ⋅u
,
,
l⋅g ν
u
,
K ρ
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
 = 0
σ ρ ⋅l 
u
9
p ρ
ϕ  2 ,
u 2
u
l ⋅u
,
,
l⋅g ν
u
,
K ρ

 = 0
σ ρ ⋅l 
u
p ρ
= f (Fr, Re, Ma, We)
2
u 2
Si hubiera dos longitudes características en el problema, l
y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
p ρ
= f (Fr, Re, Ma, We, l/l’)
2
u 2
En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya
intervención sea nula o poco importante.
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Wiliam Froude
Inglaterra (1810-1879)
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Osborne Reynolds
Belfast (1842-1912)
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Ernst Mach
Austria (1839-1916)
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Moritz Weber
Alemania (1871-1951)
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Ensayos con modelos
Los modelos se hacen de materiales diversos
madera, escayola, metales, hormigón, plástico
etc.
No es necesario ensayar con el mismo fluido
que utilice el prototipo. El agua y el aire son
los fluidos que generalmente se utilizan.
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Los ensayos de canalizaciones, puertos,
presas, aliviaderos, etc, se hacen en los
laboratorios de hidráulica.
Los ensayos de modelos de aviones, y en
general de cuerpos sumergidos, se hacen en
túneles de viento y en túneles de agua.
Los ensayos de barcos se hacen en los llamados
canales hidrodinámicos.
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Leyes de semejanza
Dos corrientes fluidas son semejantes cuando las
líneas de flujo de una lo sean respecto a las
homólogas de la otra; diremos entonces que existe
semejanza cinemática. Para ello es necesario,
a) Semejanza geométrica
lp
lm
= λ;
siendo λ la escala.
l p2
2
lm
= λ2 ;
l p3
3
lm
= λ3
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos
han de ser semejantes:
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem
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a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza
predominante es la de gravedad: semejanza de Froude,
Frp = Frm
b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la
fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds,
Rep = Rem
c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la
fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach,
Map = Mam
d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión
superficial: semejanza de Weber,
Wep = Wem
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Semejanza de Froude
Frp = Frm
Relación de velocidades
up
um
=
lp ⋅ g p
lm ⋅ g m
up
um
= λ⋅
gp
gm
y si gp = gm, como es lo habitual:
up
um
= λ1 2
Por ejemplo, si λ = 25 , up /um = 5.
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Relación de caudales (Q = S ⋅ u )
Qp
Sp up
=
⋅
Qm S m u m
Qp
Qm
= λ5 2
Para λ = 25, Qp/Qm = 3125.
Relación de fuerzas ( F = γ ⋅ l 3 )
γp 3
=
⋅ λ Si γp = γm,
Fm γ m
Fp
Fp
Fm
=λ
3
Para λ = 25, Fp/Fm = 15625.
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Relación de potencias ( P = F ⋅ u )
Si γp = γm,
Pp
Fp u p
=
⋅
= λ3 ⋅ λ1 2
Pm Fm u m
Pp
Pm
= λ7 2
Para λ = 25, Pp/Pm = 78125.
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Semejanza de Reynolds
Re p = Re m
Relación de velocidades
lp ⋅ up
νp
=
lm ⋅ um
νm
;
νp
1
=
⋅
u m ν m lp lm
up
νp 1
=
⋅
um ν m λ
up
Por ejemplo, si λ = 25, νp = νm, y up/um = 1/25.
Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad
5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces
mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez,
a menos que la escala sea la unidad.
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Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del
prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo
frecuente es que sólo intervenga una.
Relación de caudales (m& = ρ ⋅ Q = ρ ⋅ S ⋅ u )
ρ p Sp up ρ p 2 ν p 1
=
⋅
⋅
=
⋅λ ⋅
⋅
νm λ
m& m ρ m S m u m ρ m
m& p
ρp ν p
µp
=
⋅
⋅λ =
⋅λ
m& m ρ m ν m
µm
m& p
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Relación de fuerzas ( F = l ⋅ u ⋅ µ )
ν p 1 ν p ⋅ ρp
lp up µ p
= ⋅
⋅
=λ⋅
⋅ ⋅
ν m λ ν m ⋅ ρm
Fm l m u m µ m
Fp
2
ν p  ρp
=   ⋅
Fm ν m  ρ m
Fp
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm:
el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su
menor superficie de rozamiento.
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Semejanza de Mach
Ma p = Ma m
Relación de velocidades
up
Kp ρp
up
um
=
=
um
Km ρm
ap
am
Relación de caudales (m& = ρ ⋅ Q = ρ ⋅ u ⋅ S )
m& p ρ p u p S p
=
⋅
⋅
m& m ρ m u m S m
ρ p ap 2
=
⋅
⋅λ
m& m ρ m a m
m& p
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Relación de fuerzas ( F = K ⋅ S )
Fp
Kp Sp
Kp 2
=
⋅
=
⋅ λ ; y como a =
Fm K m S m K m
Fp ρ p
=
Fm ρ m
K
ρ
2
 ap 
⋅   ⋅ λ2
 am 
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