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EXAMEN FINAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. 12-Junio-2015.
APELLIDOS:
NOMBRE:
DNI:
GRUPO:
Después del examen escrito, a las 11:30, será el examen con ordenador (aulas de informática 1 y 2).
En todos los casos, considere un nivel de confianza del 95% (z=2).
1. Una encuesta de consumo fue realizada para estimar la proporción de los ingresos totales gastados en
alimentos, para las familias de una gran comunidad. Una muestra aleatoria de 4 familias fue seleccionada:
Familia Gasto en alimentos
Ingreso Total
1
5000
45100
2
5600
40200
3
5500
39600
4
4200
40000
a) (1,25 puntos) Obtenga la estimación y el límite para el error de la misma.
b) (1,25 puntos) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a
un 1%, ¿cuál debe ser el tamaño de la muestra?
2. El coste de transportar mercancías en avión depende del peso. Un determinado embarque de una fábrica
consistía en las máquinas producidas por la citada fábrica a lo largo de las dos últimas semanas. Se decide
estratificar basándose en las semanas. Se toman sendas muestras aleatorias, para las dos semanas (pesos en
kilos), de las máquinas transportadas en el embarque, obteniendo las siguientes mediciones:
Semana A Semana B
60,4
60,1
59,3
59,6
58,7
59,2
59,1
58,8
59,6
60,5
a) (1,25 puntos) Estime con un intervalo de confianza el peso total del embarque de máquinas,
sabiendo que el número total de máquinas producidas ha sido de 162 en la semana A y de 170 en la
semana B.
b) (1,25 puntos) Determine el tamaño de la muestra y su asignación, en el caso de que se quiera
estimar el peso total del embarque, con un límite para el error de estimación de 100 kg. Las
dispersiones en los pesos se suponen diferentes de una semana a otra. Considere las muestras
anteriores como muestras previas para estimar los parámetros necesarios.
3. Un ahorrador ha de decidir en qué tipo de fondo de inversión va a depositar su dinero. Puede optar por un
fondo de inversión muy agresivo, un fondo mixto que entraña un riesgo moderado o decidirse por títulos
de renta fija. En función de la evolución de los mercados, las ganancias que puede obtener con cada uno
de los fondos son:
Evolución buena
Evolución mala
Fondo agresivo
140
-140
Fondo mixto
84
-28
Títulos renta fija
56
7
La probabilidad estimada de que la evolución de los mercados sea buena o mala es, respectivamente, de
un 0,6 y 0,4.
a) (1 punto) ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar, como máximo, por conocer la evolución de los
mercados?
b) (2,5 puntos) Suponga que el inversor puede recurrir a una consultora que pronostica bastante
acertadamente cuál va a ser la marcha del mercado. Las probabilidades de si el mercado sigue una
determinada evolución, este hecho haya sido pronosticado por la consultora, están recogidas en la
siguiente tabla:
La consultora pronostica una evolución
buena
mala
Evolución buena
0,7
0,3
Evolución mala
0,2
0,8
¿Cuál es el valor máximo de esta información?
4. (1,5 puntos) El director de ventas de una cadena de electrodomésticos con implantación en algunas
autonomías está estudiando un plan de incentivos para sus vendedores. Considera que los incentivos deben
estar ajustados a las dificultades de las distintas zonas de ventas, siendo necesario fijar incentivos más
altos en aquellas zonas geográficas en que las condiciones de vida de sus habitantes hacen más difíciles las
ventas. Por este motivo quiere determinar si las comunidades autónomas en las que vende se pueden
segmentar en grupos homogéneos respecto al equipamiento de los hogares. Para ello dispone de los
siguientes datos:
Porcentaje de hogares que poseen
CC.AA. en las que
vende
TV color
Microondas
Lavavajillas
Andalucía
98,0
24,1
12,7
Aragón
97,5
43,4
20,6
Asturias
95,2
24,4
13,3
Baleares
98,8
29,8
10,1
Canarias
96,8
27,9
5,80
Cantabria
94,9
36,5
11,2
Castilla y León
97,1
28,1
14,0
Castilla- La Mancha
97,3
21,7
7,10
Cataluña
98,1
36,8
19,8
Comunidad Valenciana
98,4
26,6
12,1
Ha realizado un análisis clúster no jerárquico con SPSS obteniendo las siguientes tablas. Describa las
características de los tres clústeres formados, destacando los rasgos diferenciadores.
Pertenencia a los clústeres
Número de caso
1
CCAA
Andalucía
Clúster
3
Distancia
2,774
2
Aragón
2
3,338
3
Asturias
3
3,697
4
Baleares
1
3,007
5
Canarias
3
5,314
6
Cantabria
1
5,458
7
Castilla y León
1
4,044
8
Castilla-La Mancha
3
4,487
9
Cataluña
2
3,338
10
Comunidad Valenciana
3
2,820
Centros de los clústeres finales
Clúster
Tv Color
1
96,93
2
97,80
3
97,14
Microondas
31,47
40,10
24,94
Lavavajillas
11,77
20,20
10,20
ANOVA
Clúster
Media
cuadrática
,475
7
,237
Sig.
,795
Microondas
169,221
2
12,034
7
14,062
,004
Lavavajillas
73,177
2
8,121
7
9,011
,012
TV Color
gl
Error
Media
cuadrática
2,008
2
gl
F
SOLUCIONES
1.
xi
xi2
yi
45100 5000
40200 5600
39600 5500
40000 4200
164900 20300
yi2
xi yi
2034010000 25000000
1616040000 31360000
1568160000 30250000
1600000000 17640000
6818210000 104250000
225500000
225120000
217800000
168000000
836420000
a)
n
r
y
i
i 1
n

x
20300
 0,1231049
164900
r %  12,31%
i
i 1
n
1 n
1  n 2 2 n 2





2
S 
y
rx
y
r
x
r
xi yi  






i
i
i
i

n  1 i 1
n  1  i 1
i 1
i 1

2
2
r
1
104250000+  0,015154816  6818210000    0, 2462098  836420000    547973,3
3
N n
 x  x  41225
N 
1
N
1 Sr2  N  n  1 Sr2
1 547973,3
ˆ
B  2 Vˆ (r )  0, 017956
V (r )  2

 0, 000080608

 2
 x n  N  x n 412252
4
b)
B 2  x2 0.012  412252
N 2
2
547973,3
 12,8973  13

 42487,5156
n  2 r   N    r 
D
 r  ND
4
4
D 42487,5156

2.
a) Las medias y cuasivarianzas pueden calcularse fácilmente con las funciones estadísticas de la calculadora
Ni
ni
162
170
332
yi
5
5
59,42
59,64
S
2
i
0,407
0,463
Ni y i
9626,04
10138,80
19764,84
Ni
Si2
 Ni  ni 
ni
2070,3276
2597,4300
4667, 7576
L
 st   N i y i  19764,84
i 1
L
L
S2 N  n
S2
V ( st )   N i2 i i i   N i i  N i  ni   4667, 7576
ni N i
ni
i 1
i 1
B  2 V ( st ) 136, 642
19764,84  136, 642
, 19764,84  136, 642   19628,198 , 19901, 482 
b)
Ni
i

2
i
N i i
N i
2
i
i 
N i i
N 
j 1
162
170
N  332
0,63797
0,68044
ni  ni
L
j
j
0,407 103,35114
0,463 115,67480
65,934
78,710
0,471867
0,528133
219,02594
144,644
1
n1  8,559  9
n2  9,580  10
n  10
( N  )
2
L
D
B2
1002

 0, 022681085
4 N 2 4  3322
n
i
i 1
i
 18,139
L
N D
N i
2
i 1
n  n1  n2  9  10  19
2
i
3. a)
Probabilidad a priori
0,6
0,4
Evolución buena
Evolución mala
VME(ai)
Fondo agresivo
140
-140
28
Fondo mixto
84
-28
39,2
Títulos renta fija
56
7
36,4
Según el criterio del valor monetario esperado (con las probabilidades a priori) la decisión óptima sería
“Fondo mixto” y las ganancias esperadas serían 39,2.
El valor monetario esperado conociendo con certeza la evolución del mercado sería:
VMEIP   0, 6 140    0, 4  7   86,8
Por tanto, el valor de la información perfecta (valor de conocer con certeza la evolución del mercado) es:
VIP  VMEIP  VME  máximo   86,8  39, 2  47, 6
b)
P  ck ei  P(ei )
P  ck ei  P(ei )
e

P  i   2
c
 k   P  c e  P (e )
P  ck 
k
j
j
j 1
Pronóstico de la consultora: Evolución buena ( c1 )
ei
P(ei )
P  c1 ei 
P  c1 ei  P(ei )
e1 : Evolución buena
e2 : Evolución mala
0,6
0,4
0,7
0,2
0,42
0,08
e
P  i 
 c1 
0,84
0,16
0,50
1
SUMAS
Probabilidad a
posteriori / c1
P  c1  
1
0,84
0,16
Evolución buena
Evolución mala
VME(ai) / c1
Fondo agresivo
140
-140
95,2
Fondo mixto
84
-28
66,08
Títulos renta fija
56
7
48,16
Según el criterio del valor monetario esperado (con las probabilidades a posteriori / c1 ) la decisión óptima
sería “Fondo agresivo” y las ganancias esperadas serían 95,2.
Pronóstico de la consultora: Evolución mala ( c2 )
ei
P(ei )
P  c2 ei 
P  c2 ei  P(ei )
e1 : Evolución buena
e2 : Evolución mala
0,6
0,4
0,3
0,8
0,18
0,32
e
P  i 
 c2 
0,36
0,64
SUMAS
P  c2  
1
Probabilidad a
posteriori / c2
0,36
0,64
Evolución buena
Evolución mala
0,50
1
VME(ai) / c2
Fondo agresivo
140
-140
-39,2
Fondo mixto
84
-28
12,32
Títulos renta fija
56
7
24,64
Según el criterio del valor monetario esperado (con las probabilidades a posteriori / c2 ) la decisión óptima
sería “Títulos renta fija” y las ganancias esperadas serían 24,64.
Las ganancias esperadas medias con el pronóstico de la consultora son (valor monetario esperado con
información imperfecta):
VMEII   95,2  P  c1     24,64  P  c2    59,92
Y sin el informe de la consultora serían 39,2, luego estaríamos dispuestos a pagar como máximo por dicha
información (valor de la información imperfecta):
VII  59,92  39, 2  20, 72
4.
Entre los tres clústeres formados no hay diferencias significativas en cuanto al porcentaje de hogares con
TV color (Sig.=0,795>0,05). Si las hay en cuanto al porcentaje de hogares con microondas
(Sig.=0,004>0,05), destacando el clúster 2 como el de las comunidades con mayor porcentaje de hogares
con microondas, seguido por el clúster 1 y por último el 3 siendo el porcentaje medio de hogares con
microondas para cada clúster los valores que aparecen en la tabla Centros de los clústeres finales (31,47%,
40,10% y 24,94%). También hay diferencias significativas entre los clústeres en relación al porcentaje de
hogares con lavavajillas (Sig.=0,012<0,05), aunque las diferencias no son tan notorias como en el
porcentaje de hogares con microondas (0,012>0,004). En cuanto al porcentaje de hogares con lavavajillas
podemos observar en la tabla Centros de los clústeres finales que, como en el caso de los microondas,
destaca el clúster 2 (20,20%) frente a los clústeres 1 y 3 que presentan unos porcentajes similares.
TÉCNICAS CUANTITATIVAS III (ordenador). 12-Junio-2015
APELLIDOS:
1
NOMBRE:
DNI:
GRUPO:
SOLUCIONES
Responda dentro de la siguiente tabla (con 4 decimales). No redondee los tamaños de las muestras. En
todos los casos, considere un nivel de confianza del 95% (z=2). Cada apartado puntúa 1,25.
1 a) r  0,11818
B  0, 02077
2 a) 19593, 711 , 19850,556 
3 a)   8000 B  562,8499
4 a) n  784, 0772
1 b)
2 b)
3 b)
4 b)
n  31, 2086
n  65, 6682 n1  34,3691 n2  31, 2992
 t  6400 B  1077, 7755
k 5
(valor entero)
1. Una encuesta de consumo fue realizada para estimar la proporción de los ingresos totales gastada en
alimentos, para las familias de una pequeña comunidad. Una muestra aleatoria de 8 familias fue
seleccionada de entre 250. Los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla:
Familia Ingreso Total Gasto en alimentos
1
45100
5000
2
50200
5600
3
49600
5500
4
40000
4200
5
30400
5300
6
45500
3100
7
58700
7000
8
45200
7400
c) Obtenga la estimación y el límite para el error de la misma.
d) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a un 1%, ¿cuál
debe ser el tamaño muestral?
2. El coste de transportar mercancías en avión depende del peso. Un determinado embarque de una fábrica
consistía en las máquinas producidas por la citada fábrica a lo largo de las dos últimas semanas. Se decide
estratificar basándose en las semanas. Se toman sendas muestras aleatorias (pesos en kilos) de las
máquinas transportadas en el embarque, para las dos semanas, obteniendo las siguientes mediciones:
Semana A Semana B
58,3
59,2
60,4
60,1
59,3
59,6
58,7
59,2
59,1
58,8
59,6
60,5
c) Estime con un intervalo de confianza el peso total del embarque de máquinas, sabiendo que el
número total de máquinas producidas ha sido de 162 en la semana A y de 170 en la semana B.
d) Determine el tamaño de la muestra y su asignación, en el caso de que se quiera estimar el peso
total del embarque, con un límite para el error de estimación de 50 kg. Las dispersiones en los
pesos se suponen diferentes de una semana a otra. Considere las muestras anteriores como
muestras previas para estimar los parámetros necesarios.
3. Un empresario quiere estimar el número de tubos de dentífrico usados por mes en una comunidad de 4000
hogares divididos en 400 bloques. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 4 bloques que
proporciona los siguientes resultados:
Bloque
tubos gastados por hogar
1
1 2 1 3 3 2 1 4
2
1 3 2 2 3 1 4 1 1
3
2 1 1 1 3 2 2
4
1 1 3 2 1 5 1 3
Estime el número total de tubos gastados y el límite para el error de estimación:
a) Usando muestreo por conglomerados.
b) Usando muestreo aleatorio simple.
4. La gerencia de una compañía privada, con 4000 empleados, está interesada en estimar la proporción de
empleados a favor de una nueva política de inversión. Una muestra sistemática de 1 en 10 es obtenida de
los empleados que salen del edificio al final de un día de trabajo en particular (anotando como respuesta 1
si están a favor de la nueva política):
Empleado
muestreado
7
17
27
Respuesta
1
0
1


3997
1
y
i 1
i
 130
a) Con los datos anteriores, determine el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de
empleados a favor de la nueva política con un límite para el error de estimación del 3%.
b) ¿Qué tipo de muestra sistemática deberá obtenerse? Indique k.
TÉCNICAS CUANTITATIVAS III (ordenador). 12-Junio-2015
APELLIDOS:
2
NOMBRE:
DNI:
GRUPO:
SOLUCIONES
Responda dentro de la siguiente tabla (con 4 decimales). No redondee los tamaños de las muestras. En
todos los casos, considere un nivel de confianza del 95% (z=2). Cada apartado puntúa 1,25.
1 a) r  0, 0778
B  0, 0169
2 a) 12943, 4521 , 13187,3479 
3 a)   9750 B  856,1615
4 a) n  342,9355
1 b)
2 b)
3 b)
4 b)
n  21, 6079
n  44, 2210 n1  23,9020 n2  20,3190
 t  7800 B  1471,3259
k  11
(valor entero)
1. Una encuesta de consumo fue realizada para estimar la proporción de los ingresos totales gastada en
alimentos, para las familias de una pequeña comunidad. Una muestra aleatoria de 8 familias fue
seleccionada de entre 250. Los datos de la muestra se presentan en la siguiente tabla:
Familia Ingreso Total Gasto en alimentos
1
65100
6000
2
80200
4600
3
79600
5500
4
60000
5200
5
60400
7300
6
40500
5100
7
98700
6000
8
95200
5400
a) Obtenga la estimación y el límite para el error de la misma.
b) Se quiere repetir el anterior estudio de forma que el error de estimación sea inferior a un 1%, ¿cuál
debe ser el tamaño muestral?
2. El coste de transportar mercancías en avión depende del peso. Un determinado embarque de una fábrica
consistía en las máquinas producidas por la citada fábrica a lo largo de las dos últimas semanas. Se decide
estratificar basándose en las semanas. Se toman sendas muestras aleatorias (pesos en kilos) de las
máquinas transportadas en el embarque, para las dos semanas, obteniendo las siguientes mediciones:
Semana A Semana B
38,3
39,2
40,4
40,1
39,3
39,4
38,7
39,2
39,1
38,8
39,4
40,3
a) Estime con un intervalo de confianza el peso total del embarque de máquinas, sabiendo que el
número total de máquinas producidas ha sido de 162 en la semana A y de 170 en la semana B.
b) Determine el tamaño de la muestra y su asignación, en el caso de que se quiera estimar el peso
total del embarque, con un límite para el error de estimación de 60 kg. Las dispersiones en los
pesos se suponen diferentes de una semana a otra. Considere las muestras anteriores como
muestras previas para estimar los parámetros necesarios.
3. Un empresario quiere estimar el número de tubos de dentífrico usados por mes en una comunidad de 4000
hogares divididos en 400 bloques. Se selecciona una muestra aleatoria simple de 4 bloques que
proporciona los siguientes resultados:
Bloque
tubos gastados por hogar
1
1 2 1 5 5 2 1 4
2
1 5 2 2 5 1 4 1 1
3
2 1 1 1 5 2 2
4
1 1 5 2 1 5 1 5
Estime el número total de tubos gastados y el límite para el error de estimación:
a) Usando muestreo por conglomerados.
b) Usando muestreo aleatorio simple.
4. La gerencia de una compañía privada, con 4000 empleados, está interesada en estimar la proporción de
empleados a favor de una nueva política de inversión. Una muestra sistemática de 1 en 20 es obtenida de
los empleados que salen del edificio al final de un día de trabajo en particular (anotando como respuesta 1
si están a favor de la nueva política):
Empleado
muestreado
7
27
47
Respuesta
1
0
1


3987
1
y
i 1
i
 75
a) Con los datos anteriores, determine el tamaño de muestra necesario para estimar la proporción de
empleados a favor de la nueva política con un límite para el error de estimación del 5%.
b) ¿Qué tipo de muestra sistemática deberá obtenerse? Indique k.