Métodos de inversión en la investigación de la alta atmósfera

Métodos de inversión en la investigación de la
alta atmósfera
D. L. Hysell
Earth and Atmospheric Sciences, Cornell University, Ithaca, New York
CEDAR 2008 – p. 1/2
anomalía de la gravidad
data with noise
true model
0.25
15
14
0.2
13
0.15
12
W(x)
0.1
0.05
11
0
10
20
30
40
10
0
LM model
20
30
40
2nd order reg. LM
25
15
D(x’)
ρ
10
14
20
13
15
12
10
5
11
0
10
20
W (x) = ρM G
30
Z
40
10
0
10
20
30
40
D(x′ )dx′
(D2 + (x − x′ )2 )3/2
CEDAR 2008 – p. 2/2
problemas de inversión
teoraa modelo
z}|{
datos+‘ruido′
z}|{
d
R
discreto |{z}
G |{z}
m = |{z}
d o continuo G(ψ, x)m(x)dx = d(ψ)
z}|{
G ( m )=
Rn×m Rm
Rn
o nonlineal
e.g. convolución, transformada de Fourier, Abel, Radon, Hilbert, ...
lineal
– existencia, unicidad, estabilidad
– “Riemann-Lebesque Lemma”
CEDAR 2008 – p. 3/2
problemas de inversión
filtrado (tomografía, SAR, radar planetario, decodifición de pulsos)
métodos de longitud (vector velocidad, análisis de los perfiles de
retardo)
métodos de MAP (Abel inversión, imágines con apertura sintética)
Estos son equivalentes!
CEDAR 2008 – p. 4/2
métodos de longitud
Gm = d, G ǫ Rnxm , rango[G]=p
min. cuadrados
longitud minima
min. cuadrados
con pesos amortiguados
p=m<n
p=n<m
p < n, m
nombre
sobredeterminado
bojodeterminado
determinado mixto
signif.
sin solución exacta
soluciones multiples
aproximadas multiples
min.
(Gm − d)t Cd−1 (Gm − d)
−1
mt Cm
m
−1
et Cd−1 e + α2 mt Cm
m
mest
[Gt Cd−1 G]−1 Gt Cd−1 d
−1 t
−1 t −1
Cm
G [GCm
G ] d
−1 −1 t −1
[Gt Cd−1 G + α2 Cm
] G Cd d
rango
−1 t
−1 t
Cm
G [GCm
G + α2 Cd−1 ]−1 d
max chance
la navaja de Occam
0, 1, 2 regularización
CEDAR 2008 – p. 5/2
SVD
Moore Penrose pseudoinversa: existencia, unicidad, estabilidad
G = U ΛV t , Gm = d Gx = 0 xt G = 0
¶
¶µ
¶µ
µ
espacio de fillas
Λpxp 0
columna
izquierdo
=
0
0
espacio
espaco nulo
espacio nulo
{z
}|
{z
}|
|
{z
}
nxn
G† = V Λ−1 U t ,
=
¡
nxm
mxm
m = G† d
Vmxp Vmx(m−p)
{z
|
mxm
t
= Vmxp Λ−1
U
pxp pxn
¶Ã
µ
!
t
U
Λ−1
0
pxn
pxp
t
U(n−p)xn
0
0
}
{z
}|
|
{z
}
¢
mxn
nxn
– no. condición ≡ Λmax /Λmin
CEDAR 2008 – p. 6/2
regularización cuadratica
los siguientes son equivalentes:
gSVD usando factores de filtro de la forma fi = (s2i + α2 )/s2i , donde
si son los valores singulares, y α es al asi-conocido parámetro de
regularización. La matriz de covarianza de datos puede ser
incorporada transformando y escalando G y d.
Minimización de función de costo,
−1 m, donde C −1 = Lt L. El
(Gm − d)t Cd−1 (Gm − d) + α2 mt Cm
m
−1 )−1 Gt C −1 d. Esta
modelo que ejecuta es mest = (Gt Cd−1 G + α2 Cm
d
strategia se llama los minimas cuadrados con pesos amortiguados.
Minimización de los cuadrados minimos a travez del gradiente
conjugado con pesos con supocisión inicial mest = 0 y con una
terminación temprana de la iteración consistente con algún valor
finito α.
CEDAR 2008 – p. 7/2
regularización cuadratica II
minimos cuadrados aumentados:
°Ã
!
Ã
!°2
°
°
−1/2
−1/2
Cd d °
° Cd G
min °
m−
°
°
°
αL
0
2
−1/2t
donde Cd
−1/2
Cd
= Cd−1 .
Resolviendo la ecuación característica
µ
¶
¢
¡ t −1
G
t
m
G Cd
αL
αL
µ ¶
¡ t −1
¢
d
t
=
G Cd
αL
0
el resultado es el estimador de cuadrados minimos con pesos
amordiguados como se menciónó.
CEDAR 2008 – p. 8/2
el moviemento del plasma sobre Arecibo
φ(t)
v
u
d
2
6
4
2
cos φ(t)
..
.
3
u(t)
6
7 2
3
3
6 .. 7
6
7
sin φ(t)
d(t)
76 . 7 6
7
=
6
7
5
4
5
.
..
6
7
.
v(t)
.
6
7
.
4 . 5
.
.
CEDAR 2008 – p. 9/2
aplicaciónes de Jicamarca
CEDAR 2008 – p. 10/2
dispersión incoherente
rango vs. tiempo
Range
Te /Ti = 1, 2, 4, 8
Τ
Time
v1
v4 v5 v7
CEDAR 2008 – p. 11/2
función del instrumento
0.75
Weight 0.5
0.25
0
0
-5
-10 Range
0
5
Lag
10
-15
15
CEDAR 2008 – p. 12/2
los perfiles de retardo del radar
CEDAR 2008 – p. 13/2
parámetros de regularización
mínimos cuadrados no linealas aumentados
la norma del error predicción et Cd−1 e
||Te′′ ||22 ||Ti′′ ||22 aspereza de la temperatura
Ti /Te ≤ 1 razón de temperatura
′′
||H + ||22 aspereza del ion hidrógeno
fracción de la composición [0,1]
CEDAR 2008 – p. 14/2
12 LT
CEDAR 2008 – p. 15/2
métodos de MAP, teorema de Bayes
P (m|d) =
P (d|m) =
P (d|m)P (m)
P (d)
1
− 12 (Gm−d)t Cd−1 (Gm−d)
e
N/2
1/2
(2π) |Cd |
P (m) = ?, eαS
M
mi
=
m
X
mi
i=1
perm =
i
m
M!
Πm
i=1 mi !
S = −
m
X
mi log(mi /M )
i=1
CEDAR 2008 – p. 16/2
entropía máxima
E = S + λt (d + e − Gm) + Λ(et Cd−1 e − Σ)
mi = M
Z =
t [,i]
−λ
e G
Z
Iˆt m
M
E = λt (d + e) + M log Z + Λ(et Cd−1 e − Σ)
CEDAR 2008 – p. 17/2
transformada de Abel
x
{
{
dx
dr
s
φ(s) = 2C
r
Z
∞
rdr
ne (r) √
r2 − s2
s
1
ne (r) = −
πC
Z
r
∞
dφ
ds
√
ds s2 − r2
CEDAR 2008 – p. 18/2
simulación de occultación
CEDAR 2008 – p. 19/2
irregularidades del plasma ionosférico
CEDAR 2008 – p. 20/2
imágines con apertura sintética
CEDAR 2008 – p. 21/2
inversión de datos
z
|k| = ωo/c
k
ξ
η
y
r2
d12
r1
x
hV ∗ (r1 , ω)V (r2 , ω)i
Z
√ 2 2
dηdξ
p
B(η, ξ, ω) A(η, ξ) eik(dx η+dy ξ+dz 1−η −ξ )
=
| {z }
1 − η2 − ξ2
illumination
d(kdx , kdy , ω; ω◦ )
F
↔
m(η, ξ, ω)A(η, ξ)
CEDAR 2008 – p. 22/2
imágines de F dispersa
movie 1 movie 2
CEDAR 2008 – p. 23/2
referencias
Aster, R. C., B. Borchers, and C. H. Thurber, Parameter Estimation and
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Gull, S. F., Developments in Maximum Entropy data analysis, in
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Jaynes, E. T., Where do we go from here?, in Maximum-Entropy and
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Grandy, Jr., chap. 2, pp. 21-58, D. Reidel, Norwell, Mass., 1985.
Kaipio, J., and E. Somersalo, Statistical and Computational Inverse
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Menke, W., Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory ,
Academic, New York, 1984.
Parker, R. L., Geophysical Inverse Theory, Princeton, 1994.
Sen, M. K., and P. L. Stoffa, Global Optimization Methods in Geophysical
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Tarantola, A., Inverse Theory , Elsevier, New York, 1987.
CEDAR 2008 – p. 24/2