Servomotor Eléctrico. Vemos en la figura un esquema del circuito

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Servomotor Eléctrico.
Vemos en la figura un esquema del circuito parte mecánica del servomotor de
corriente continua controlado por armadura , es decir mediante la tensión aplicada
al rotor (armadura). En cuanto al campo para simplificar consideramos If corriente
de campo constante.
En el diagrama las abreviaturas significan lo siguiente
Ra: resistencia del rotor.
La: inductancia del Rotor ( la despreciamos luego)
Ea: tensión aplicada al circuito del rotor
Eb: fuerza contraelectromotriz inducida (Lenz).
θ : ángulo girado por el eje motor
J : momento de inercia total reducido al eje del motor
F : Fricción viscosa total reducida al eje motor
T : para motor
Ia : corriente del circuito del rotor
Ef : tensión aplicad al circuito del estator.
El objetivo es calcular la siguiente transferencia:
θ(s)
Ea (s)
Para lo cual se consideran las siguientes ecuaciones ;
tengamos en cuenta que consideramos if constante para simplificar con lo que en la ecuación del
par motor solo queda variable la corriente en el rotor.:
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A) T = k1 ⋅ ia ⋅ ψ
el par " T" es proporcional a la corriente " ia" y al flujo " ψ"; a su vez : (#)
ψ = kf ⋅ i f
reemplazando y agrupando las constantes se tiene :
la expresión del par motor:
B)
T = k ⋅ ia
desarrollo la ecuación del circuito del rotor para ea:
ea = ia ⋅ Ra ⋅ + La ⋅
C)
(I)
dia
+ eb
dt
(II)
Planteamos una ecuación mecánica:
T = k ⋅ ia = J ⋅
d 2θ
dθ
+ F⋅
2
dt
dt
(III)
J es el momento de inercia y F representa la fricción viscosa; si se presenta el problema
de una caja reductora cuya relación de transmisión es “i ”, se debe calcular el “Jeq” (momento de
inercia equivalente).
Si se tiene por ejemplo:
Dadas las pérdidas por rozamiento la potencia las potencias perdidas por el mismo se pueden
expresar como el par torsor de rozamiento por la velocidad angular entonces
Par torsor de Rozamiento T1 = F1 * ω1 y
T2 = F2 * ω2
Potencia en el eje del motor Pot 1 = F1 * ω1* ω1 = F1 * (ω1)2
.
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Potencia en el eje del de carga Pot 2 = F2 * ω2* ω2 = F2 * (ω2)2
y teniendo en cuenta que la relación de transmisión
rozamiento es
i = ω2/ω1 la potencia total perdida por
Pot = Pot 1 + Pot 2
=
Feq * (ω1)2 = F1 * (ω1)2 + F2 * (ω2)2
Feq * (ω1)2 = F1 * (ω1)2 + F2 * i2 * (ω1)2
Se puede entonces simplificar (ω1)2
Donde queda la expresión del coeficiente de rozamiento viscoso equivalente:
Feq = F1 + F2 * i2 (IV)
Para hallar el momento de inercia equivalente el criterio de semejanza que usamos es el de la
energía cinética total que deberá ser igual considerando un Jeq en el eje del motor que sumando
las energías cinéticas reales en el eje del motor y en el eje de carga.
Energía cinética en el eje del motor
Ec1 = ½ * J1 * (ω1)2
Energía cinética en el eje del de carga
Ec2 = ½ * J2 * (ω2)2
Energía cinética Total en ambos ejes
EcTotal = Ec1 + Ec2
EcTotal = Ec1 + Ec2
=½ *
J equivalente * (ω1)2 = ½ * J1 * (ω1)2 + ½ * J2 * (ω2)2
y teniendo en cuenta que la relación de transmisión
i = ω2/ω1
½ * J equivalente * (ω1)2 = ½ * J1 * (ω1)2 + ½ * J2 * i2 * (ω1)2
Se puede entonces simplificar (ω1)2
Donde queda la expresión del coeficiente de rozamiento viscoso equivalente:
½ * J equivalente = J1 + J2 * i2
(V)
Las ecuaciones (II), (III), (IV) y (V) resuelven el problema; si las transformamos queda:
Ea (s) = Ia (s) ⋅ Ra + La ⋅ s ⋅ Ia (s) + Eb(s)
K ⋅ Ia (s) = J ⋅ s 2 ⋅ θ(s) + F ⋅ s ⋅ θ(s)
Eb(s) = kb ⋅ s ⋅ θ(s)
(VI)
por sencillez J=Jeq; F=Feq
Operando con las ecuaciones (VI) (pudiendo armarlas como un diagrama de bloques y resolverlo
con las ecuaciones demostradas para los mismos se tiene finalmente) tener en cuenta despreciar
la inductancia en el circuito del rotor La obtenemos las siguientes expresiones para el servomotor
eléctrico de corriente continua sin realimentar.
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θ(s)
kM
=
Ea (s) s ⋅ (τM ⋅ s + 1)
k
kM =
Ra ⋅ F + k ⋅ kb
Ra ⋅ J
τM =
Ra ⋅ F + k ⋅ kb
Servomecanismo posicional.
Ra
r
Amp.
La
T
F
N
C
J
Vemos en el diagrama un esquema del servomecanismo de posición (por supuesto angular)
realizado a partir de la realimentación del servomotor eléctrico de CC. El mismo constituye un
sistema de lazo cerrado donde el sistema a controlar o Planta es el dicho motor y el diagrama de
bloques que lo representa es el siguiente:
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Ka
= ganancia del amplificador.
i
= relación de transimisión de la caja reductora.
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Kpote = constante de proporcionalidad otorgada al bloque por el potenciómetro.
El objetivo es calcular la transferencia del ángulo del eje de salida respecto del ángulo de
referencia introducido en el eje del control.
Aplicando la expresión que da la transferencia de un lazo obtenemos la expresión en general
Resolviendo entonces el lazo de la figura queda un sistema de segundo orden donde
Y la relación de ganancias de los potenciometros es un factor de escala que valdría uno de ser
ambos potenciometros de igual característica respecto de la resistencia y ángulo recorrido.
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