Elementos para la generación de señal diente de sierra por

Elementos para la generación de señal diente de sierra por detección de
cruce por cero
Por M.S.C. Miguel Montiel Martínez
Academia de Ingeniería Mecatrónica
C.A. "Calidad y mejora continua en servicios tecnológicos"
Resumen
El presente artículo pretende capturar la atención de personas afines a la ciencia Electrónica,
ya que se muestran las partes que conforman una propuesta de generador de señales de
diente de sierra, el cual, se sincroniza por la detección de cruce por cero de una señal de
corriente alterna, así como las ecuaciones necesarias para determinar los valores del circuito
en cuestión, y finalmente, se proporcionan los resultados obtenidos a partir de la simulación
de los bloques que conforman este generador discreto.
Palabras clave: diente de sierra, rampa, cruce por cero, comparador
1. Señal tipo rampa y diente de Sierra
Las señales del corte electrónico son fenómenos con los que regularmente se interactúa,
siendo éstas, variaciones de niveles energéticos eléctricos en
función del tiempo y que a entender del ser humano se
modelan con ecuaciones matemáticas.
Gráfica 1 Función Rampa
Selik, M., & Baraniuk, R.(2009)
Una señal de tipo rampa (Gráfica 1) presenta un incremento
lineal a partir del origen hasta un valor normalizado en un
tiempo definido por t0
La función de la Gráfica 1, puede expresarse a partir la siguiente
representación matemática (Ecuación 1):
0 𝑠𝑖 𝑡 < 0
𝑡
Ecuación 1 Rampa
𝑠𝑖 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡0
𝑟 𝑡 =
𝑡0
1 𝑠𝑖 𝑡 > 𝑡0
donde la primera parte representa un valor de cero, la segunda parte el incremento a partir
del origen hasta el valor t0 y finalmente un valor constante unitario.
La importancia de esta señal básica se encuentra en trabajos como los de Vora y Satish (2010)
donde fueron determinadas las características estáticas de un convertidor analógico a digital a
partir de un enfoque cuasi-estático basado en un histograma al medir la salida del dispositivo
cuando éste tiene como entrada una señal de tipo rampa o una señal triangular.
Trabajando también con convertidores analógicos a digitales Hariharan, Rajkumar y
Abhaikumar (2011) proponen un método de medición de errores estáticos , en este caso se
propone la determinación del periodo ocurrido entre la transición de dos niveles lógicos
consecutivos para ser comparado con el periodo de transición ideal, la excitación del
convertidor analógico a digital es llevada a cabo por una señal tipo rampa.
Mencionar finalmente que Singh, et al (2011) en el trabajo titulado "Analysis of SP's unit step
function through examples" hace alusión a la función de tipo escalón unitario y rampa como
fundamentales y éstas, juegan un rol vital en el estudio de otras señales, ya que sirven como
bloques de construcción básicos para la generación de señales de mayor complejidad.
Considerando lo expuesto por Singh et al.(2011) una función diente de sierra, queda
conformada por la repetición de una señal tipo rampa, pero en el intervalo de 0 a t0, es decir,
una onda de sierra se levanta en forma de rampa y después baja de forma abrupta (Gráfica 2),
para repetirse de nuevo el ciclo (Montgomery y Vaughan, 2007).
Gráfica 2 Señal diente de sierra
(wikimedia, 2005)
2.Detección de cruce por cero
Se considera que una señal alterna, es aquella que cruza por un valor de referencia,
previamente establecido, esto es, va intercambiando su estado entre positivo y negativo;
múltiples formas de onda pueden ser producidas de esta manera, aquellas que se les conoce
como determinísticas (Gráfica 3) tienen valores fijos y pueden ser obtenidos por medio de una
tabla o de alguna ecuación.
Gráfica 3 Señal determinística
Selik, M., & Baraniuk, R.(2009)
La relevancia que adquiere el conocimiento del cruce de la señal por la referencia o la
detección del cruce por cero, tal y como menciona Betancourt, Giraldo y Franco (2004) no es
tan solo el determinar la frecuencia o periodo de una señal, sino las implicaciones que
conlleva, ya que en su trabajo sobre el reconocimiento de patrones de movimiento de señales
electromiográficas, requiere del conocimiento de este cruce y la definición de un umbral para
la reducción del número cortes en cero por cuestiones de ruido.
Para Pérez, Romero y Pérez (2007) quienes desarrollaron una metodología basada en
microcontrolador, con el fin de determinar el ángulo de carga con base en la posición relativa
del eje del rotor y el voltaje terminal de una máquina síncrona, fue de gran importancia medir
la diferencia de tiempo entre el pulso enviado por un detector de cruce por cero y el pulso
generado por un sensor óptico colocado en el eje.
3. Generación de una señal tipo diente de sierra.
Es posible generar una señal de voltaje como una función monótona usando la ley de ohm, la
cual establece que, al variar de forma proporcional la corriente eléctrica sobre un elemento
resistivo ideal, en consecuencia, la caída de potencial eléctrico también lo hará; y aunque este
concepto básico y simple se reduzca a una relación de proporcionalidad, salta a la vista que su
implementación no es tan sencilla como aparenta, ya que se
requiere de una fuente de corriente que varíe en forma lineal.
regresando al mismo punto.
Otro elemento que hace factible el producir una caída de tensión
eléctrica entre sus terminales, de forma similar a una recta, es un
capacitor. La variación de voltaje cuando se aplica entre sus
Ilustración 1 Circuito RC serie
terminales un potencial eléctrico con una resistencia en serie se Elaboración Propia
"asemeja" a la recta esperada.
Sin embargo la señal del cambio de la diferencia de potencial en el capacitor se puede expresar
a través de la Ecuación 2, la cual claramente no tiene un comportamiento lineal.
𝑉𝑐 𝑡 = 𝑉1 (1 − 𝑒
−𝑡
𝑅𝐶 )
Ecuación 2
Una manera más adecuada para generar una señal como una
función lineal, es mediante la alimentación de un capacitor por medio
de una fuente de corriente constante, lo cual se justifica al considerar
que, la ecuación para determinar la caída de potencial en un
capacitor cuando una corriente eléctrica constante lo cruza, se define Ilustración 2 Circuito I-C
Elaboración Propia
de la siguiente manera (FIE-UV,1999):
1
𝑉𝑐 =
𝐶
𝐼𝑠
𝑖 𝑡 𝑑𝑡
0
Ecuación 3
Donde Vc es el potencial pico de la señal que se requiere, C la
capacitancia del elemento capacitivo, Is el valor de la
corriente eléctrica constante.
Integrando y despejando Is se obtiene la Ecuación 4, con la
cual es posible determinar el valor de la fuente de corriente
necesaria para cargar el capacitor C a un valor V c en un
tiempo t.
𝐼𝑠 =
𝑉𝑐
𝐶
𝑡
Ecuación 4
Es importante recalcar que debe ser limitado el voltaje al
que se desea cargar el capacitor, teniendo especial cuidado
en no sobre pasar el límite de ruptura dieléctrica del
capacitor a utilizar.
Gráfica 4 Diente de sierra
Elaboración Propia
Para crear la pendiente muy pronunciada de la onda de diente de sierra, es necesario
cortocircuitar las terminales del capacitor C en el instante en el que sea detectado un cruce
por cero (véase Gráfica 4 Diente de sierra), y que este proceso sea periódico, a fin de obtener
una señal en forma de diente de sierra.
4. Sincronización de la generación de la rampa por detección de cruce
por cero
La generación de la señal de diente de sierra se
obtiene a partir de crear un ciclo de cargadescarga del capacitor C del circuito mostrado
en la Ilustración 2 Circuito I-C, el tiempo de
sincronía para iniciar un nuevo ciclo, lo estará
dando la detección del cruce por cero de la
señal de corriente alterna tal y como se
muestra en la Gráfica 5 cruce por cero.
Al ser considerados los cruces ascendentes y
Gráfica 5 cruce por cero
Elaboración Propia
descendentes, la detección se logrará al utilizar
un puente de diodos (rectificador de onda
completo), un elemento de comparación y ajuste de cero.(FIE-UV,1999)
Ilustración 3 Diagrama a bloques detector de cruce por cero
Elaboración Propia
5. Cálculo de bloques para circuito electrónico propuesto
El circuito electrónico propuesto se muestra en la
¡Error! No se encuentra el origen de la referencia., las
siguientes etapas:





Rectificación de onda completa
Comparador
Disparo de descarga
Fuente de corriente
Capacitor de generación
El valor de la señal de entrada está en función de la
tensión y corriente soportada por el circuito
comparador, para este circuito un LM339 tiene un rango diferencial de voltaje de entrada de
Gráfica 6 Cruce por cero teórico
36 Vdc (OnSemiconductor, 2004), por lo que es adecuado rectificar a onda completa una
tensión de 24Vacp-p.
A fin de determinar el cruce por cero se propone comparar la tensión rectificada con una de
referencia, para fines prácticos se puede usar un divisor de voltaje con potenciómetro de
ajuste fino. (Gráfica 6 Cruce por cero teórico).
De la gráfica las intersecciones es posible determinar la duración de un pulso que,
proporcionado por una etapa de comparación, permita el disparo de descarga de un capacitor
que esté alimentado por una fuente de corriente. Lo anterior se realiza mediante las
herramientas "brush/select data" y "data cursor" del comando "figure" de MATLAB en su
versión 2011.
Tabla 1 Tiempo de cero
Tinicial = 8.11ms
Tfinal = 8.56ms
En la Tabla 1 Tiempo de cero se muestran los límites del ancho de pulso de salida del
comparador, este ancho de pulso tiene una frecuencia de 120Hz y un ciclo de trabajo del 5.4%.
El tiempo obtenido servirá para cargar al capacitor en 7.43ms con la fuente de corriente, y
cuando este tiempo finalice, el capacitor deberá descargarse en 450µs, por cada ciclo.
Si se considera un capacitor de 100nF y un tiempo de carga 7.43ms, la corriente necesaria para
elevar la tensión del elemento pasivo antes mencionado a 5V, será de:
𝐼𝑠 =
𝑉𝑐 𝐶
= 67.3𝜇𝐴
𝑡
6. Circuito Propuesto y Resultados en simulación
La simulación se realizó utilizando el software Proteus de Labcenter Electronics, y los
esquemas se obtuvieron usando la opción de SPICE en modo analógico.
El circuito electrónico propuesto se muestra en la Ilustración 4 Circuito propuesto donde el
ajuste de cero se realiza mediante un divisor de voltaje, la rectificación a través de elemento
puente de diodos, para la comparación se utiliza un comparador LM741 (sin ajuste de offset),
para el ajuste del disparo, se propone un arreglo de transistor en modo inversor y un
descargador BC547, y finalmente una fuente de corriente ideal.
Ilustración 4 Circuito propuesto
La primer gráfica muestra los tiempos de ajuste de cero y la intersección con la onda
rectificada con un tiempo de simulación de 24ms, medidos en las terminales 3 y 4 del circuito
U1; se indica un tiempo de 475µs para la comparación y un tiempo de carga del capacitor de
7.85ms el cual se indica en la Ilustración 6 Tiempo de carga
Ilustración 5 Ancho de pulso
Ilustración 6 Tiempo de carga
En cuanto a la detección del cruce por cero (sonda en el nodo entre R2, R6 y Q3) se puede
visualizar que la gráfica obtenida por la simulación del circuito se muestra en Ilustración 7
Pulso de disparo de descarga donde se muestra un pulso de descarga con un ancho de 750µs.
Ilustración 7 Pulso de disparo de descarga
Al acoplar los bloques propuestos en la simulación se comparan los potenciales a las salidas de
las etapas de rectificación, comparación y generación de la rampa, obteniéndose las siguientes
formas de onda (Ilustración 8 formas de onda de salida).
Ilustración 8 formas de onda de salida
De la forma de onda de salida del generador mide 4.85V, lo que arroja un error porcentual con
respecto al valor calculado del 3%.
7.Conclusiones
La generación de una onda diente de sierra sincronizada con el cruce por cero de una señal de
corriente alterna es factible a través de ciclos de carga y descarga de un capacitor por medio
de una fuente de corriente constante de baja potencia (336.5µW).
A su vez que, la pendiente de la recta obtenida sobre la generación de la onda diente de sierra,
es proporcional a la cantidad de corriente suministrada al capacitor de generación, al valor de
la capacitancia e inversamente proporcional al tiempo que se otorgue de descarga.
Referencias
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electromiográficas. Scientia Et Technica, Vol X, Núm. 26. diciembre. pp. 53-58. Universidad
Tecnológica de Pereira. Colombia. ISSN 0122-1701
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Montgomery, H.L., Vaughan, R.C. (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory.
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OnSemiconductor, (2004) LM339,LM239,LM2901, LM2901V,NCV2901,MC3302, Single supply
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http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Sawtooth-td_and_fd.png?uselang=es