Ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones cuadráticas
Resolver ecuaciones cuadráticas –
fórmula cuadrática y casos especiales
Departamento de Matemáticas
Universidad de Puerto Rico - Arecibo
Ecuación cuadrática en forma
general
Una ecuación cuadrática tiene una forma general
como sigue
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales; y a≠0
a es el coeficiente del término cuadrático
(coeficiente de la variable de grado 2).
b es el coeficiente del término lineal
(coeficiente de la variable de grado 1.)
c es la constante.
Resolver ecuaciones
cuadráticas
Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
• Método de factorización
• Método de raíz cuadrada
• Método utilizando la fórmula cuadrática
Ecuación cuadrática en forma
general
Nota: No todas las ecuaciones cuadráticas son
trinomios, o sea no todas tienen 3 términos.
En una ecuación cuadrática (en su forma general),
ax2 + bx + c = 0, los coeficientes b y/o c pueden ser
igual a 0.
Ejemplos:
9x2 – 16 = 0 (El coeficiente lineal, b, es 0.
( 4x2 – 8 = 0, el coeficiente lineal, b, es 0.
4x2 = 8
5x2 – 15x = 0 (El término constante, c, es 0.
𝟏 𝟐
𝟏
9x = 𝒙
( 𝒙𝟐 − 9x = 0, el término constante, c, es 0.
𝟐
𝟐
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando c = 0
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
5x2 – 15x = 0
Solución:
Cuando en una ecuación cuadrática la constante (c)
es 0, el factor común mayor de los términos que
quedan contiene al menos, alguna potencia de la
variable.
Cuando c = 0, podemos resolver la ecuación
mediante factorización por factor común.
Ejemplo-continuación
Solución: (continuación)
Podemos aplicar la propiedad distributiva para
factorizar.
5x2 – 15x = 0
5x(x – 3) = 0
Ahora aplicamos el principio del factor cero:
5x = 0
x–3=0
5𝑥 0
x=3
=
5
5
El conjunto solución es: {0, 3}
x=0
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando c = 0
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
18x3 + 9x2 = 0
Solución:
No hay constante.
No es una ecuación cuadrática.
Podemos remover de los dos términos el
factor común mayor de 9x2
Ejemplo – continuación
Solución: (continuación)
18x3 + 9x2 = 0
9x2 (2x + 1) = 0
Por el principio del factor cero
9x2 = 0
2x + 1 = 0
𝟗𝒙𝟐 𝟎
2x = – 1
El conjunto
=
solución
𝟐𝒙 −𝟏
𝟗
𝟗
𝟏
=
x2 = 0
es: {0, − }
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
x=0
𝒙=−
𝟐
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Cuando el coeficiente lineal, b, es igual a cero,
empleamos el método de la raíz cuadrada
para resolverlo.
Ejemplos:
2x2 – 7 = 0
36 = 9x2
(3x - 5)2 = 5
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Cuando una ecuación cuadrática tiene sólo un
término cuadrático y uno constante
• Dejamos a un lado de la ecuación el
término cuadrático y al otro lado el término
constante.
• Luego extraemos la raíz cuadrada de
ambos lados, tomando en cuenta que
existen dos soluciones para una ecuación
de la forma x2 = k
• 𝑥=± 𝑘
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Ejemplo: Resolver x2 + 2 = 10
Solución:
x2 + 2 – 2 = 10 – 2
x2 = 8
x2 = ± 8
𝑥= ± 8
𝑥= ±2 2
Las soluciones son: x = −𝟐 2, y x = 𝟐 2
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando b = 0
Ejemplo: Determinar las soluciones de
3x2 – 5 = 7
Solución:
3x2 – 5 + 5 = 7 + 5
3x2 = 12
3𝑥 2 12
=
3
3
x2 = 4
Las soluciones son
𝑥2 = ± 4
x = – 2 y x= 2.
𝑥 = ±2
Ejemplo
Resolver: (2x – 7)2 – 16 = 0
Solución:
(2x – 7)2 – 16 + 16= 16
(𝟐𝒙 − 𝟕)𝟐 = ± 𝟏𝟔
𝟐𝒙 − 𝟕 = ±𝟒
2x – 7 = 4
2x – 7 = - 4
Ejemplo – continuación
2x – 7 = 4
2x – 7 + 7= 4 + 7
2x = 11
𝟐𝒙 𝟏𝟏
=
𝟐
𝟐
x = 5.5
2x – 7 = - 4
2x – 7 + 7= - 4 + 7
2x = 3
𝟐𝒙 𝟑
=
𝟐
𝟐
x = 1.5
El conjunto solución es
{1.5, 5.5}
Resolver: 7(x – 3)2 + 5 = 8
7(x – 3)2 + 5 – 5 = 8 – 5
7(x – 3)2 = 3
7(𝑥 – 3)2 3
=
7
7
3
2
(𝑥 – 3) =
7
(𝑥 −
3)2 =
x–3=±
3
7
3
±
7
Resolver: 7(x – 3)2 + 5 = 8
x–3+3=3±
x = 3±
3
7
x =3+
3
7
ó
3
7
x = 3−
3
7
Las soluciones son x = 3 +
𝟑
𝟕
y x= 3 –
𝟑
.
𝟕
Fórmula cuadrática
Dada una ecuación cuadrática en su forma
general:
ax2 + bx + c = 0,
donde a, b,c son valores reales y a≠0,
la fórmula cuadrática establece que sus
soluciones están dadas por:
b  b  4ac
x
2a
2
Resolver: 6x2 + x = 2
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
6x2 + x - 2 = 0
Debemos identificar los coeficientes a, b y c:
a=6
b=1
c=-2
Aplicar la fórmula cuadrática
Con a = 6, b = 1, y c = -2
aplicamos a la fórmula cuadrática.
 1  12  4(6)( 2)
x
2(6)

 1  1  48
x
12
 1 49
x
12
b  b 2  4ac
x
2a
Ejemplo-continuación
 1 49
x
12
 1 7
x
12
 1 7
ó
x
12
6
x
12
1
x
2
El conjunto solución de
6x2 + x - 2 = 0 es:
 1 7
x
12
8
x
12
2
x
3
 2 1
 , 
 3 2
Las soluciones son
racionales.
Esto implica que la
ecuación original se pudo
haber resuelto usando la
factorización por binomios.
Resolver: x2 - 5x = 8
Primeramente debemos escribir la ecuación en
forma general:
x2 - 5x - 8 = 0
Notemos que no existen factores de -8 que
sumen -5, por lo tanto, NO factoriza como el
producto de 2 binomio lineales.
Identificar los coeficientes a, b y c:
a=1
b = -5
c = -8
Aplicar la fórmula cuadrática
Con a = 1, b = - 5, y c = - 8
aplicamos a la fórmula cuadrática.
 ( 5)  ( 5) 2  4(1)( 8)
x
2(1)

5  25  32
x
2
5  57
x
2
b  b 2  4ac
x
2a
El conjunto solución de
la ecuación es:
 5  57 5  57 
,


2 
 2
Cuidado
Es común equivocarse con el signo de
“-b”.
Puede ser de ayuda si interpretamos “b” como el opuesto de b. De esta
forma:
• si b es positivo, -b será negativo
• si b es negativo, -b será positivo.
El discriminante
b  b  4ac
x
2a
2

Llamamos discriminante al radicando de
la fórmula cuadrática
b2 - 4ac
Podemos utilizar el discriminante para
determinar cuántas soluciones tiene
una ecuación cuadrática y si éstas son
reales o no.
Discriminante
b2 - 4ac
• Si b2 - 4ac > 0, la ecuación tiene 2
soluciones reales.
• Si b2 - 4ac < 0, la ecuación NO tiene
soluciones reales.
• Si b2 - 4ac = 0, la ecuación tiene 1
solución real.
¿Cuántas soluciones reales?
Determine cuántas soluciones reales tienen las
siguientes ecuaciones cuadráticas:
2x2 - 5x + 3 = 0
Identificar los coeficientes a, b y c:
a=2, b= -5, c= 3,
b2 - 4ac = (-5)2 - 4(2)(3)
= 25-24
= 1>0 ==> tiene 2 soluciones reales
¿Cuántas soluciones reales?
3x2 + 4x + 5 = 0 a=3, b= 4, c= 5,
b2 - 4ac = 42 - 4(3)(5) =16 -60
= -44<0 --> tiene 0 soluciones reales
-9 + 6x - x2 = 0 a= -1, b= 6, c= -9,
b2 - 4ac = 62 - 4(-1)(-9)
= 36-36
= 0 --> tiene 1 solución real
Ejercicios
Resuelva:
1) x2 - 5x + 4 = 0
2) 2y2 + 7y = 3
3) 3w2 + 4w - 3 = 0
4) 4y + 5y2 = 4
5) (x+2)2 = 10
6) 3(y-4)2 + 4 = 6
Soluciones

1) {4, 1}
2  2 6 2  2 6 
4) 
,

5
 5

7  73 7  73 
2) 
,

4
 4

5) { 10  2, 10  2}
2  13 2  13 
,
 
3) 
3
 3

 2

2
 4,
 4 
6) 
3
 3

Ejemplos adicionales
Resolver ecuaciones
cuadráticas cuando c = 0
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
3x2 = 7x
Solución:
Para resolver una ecuación cuadrática, debe
estar en su forma general, o sea igual a 0.
3x2 – 7x = 0
Factorizamos mediante factor común:
Ejemplo – continuación
Solución: (continuación)
3x2 – 7x = 0
x (3x – 7) = 0
Por el principio del factor cero
x=0
3x – 7 = 0
3x = 7
El conjunto
solución
𝟑𝒙 𝟕
𝟕
=
es: {0, }
𝟑
𝟑
𝟑
𝟕
𝒙=
𝟑
Ejemplo
Resolver: (2x – 7)2 = 9
2x – 7 =  9
2x = 3+7
Aquí hay dos ecuaciones lineales para
resolver:
2x = – 3+7
2x = 3+7
2x = 4
2x = 10
x=2
El conjunto solución de la
x=5
ecuación es: {2, 5}
Ejercicios
Resuelva:
1) y2 = 7
2) 3w2 = 15
3) 5y2 = 4
4) (x + 2)2 = 10
5) 3(y - 4)2 + 4 = 6
6) 3p2 + 4p + 1 = 0
Soluciones
1) { 7, 7}
2) { 5, 5}


3)
4 4
{ ,
}
5 5
4){2  10 ,2  10}
2
2
, 4
}
5) {4 
3
3
1
3
6) {− , −1}