Materiales.CERAMICOS.ProblemasEsctructuraCristalina(Resueltos).

UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS
ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS
SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P1.- La celda unitaria del Al2O3 tiene una simetría hexagonal con los siguientes parámetros de red:
a = 0.4759 nm
b = 1.2989 nm
Si la densidad del Al2O3 es 3.99 g/cm3, determinar su factor de empaquetamiento atómico.
DATOS: RAl3+ = 0,053 nm , RO2- = 0,140 nm , MAl = 27 , MO = 16.
R.- 84.15 %.
========================================================================
SOLUCIÓN:
Volumen de átomos en la celda unidad VS
Factor de empaqueta mi ento 

Volumen total de la celda unidad
VT
1 a 3
3 3 2
VT  Abase ( Altura)  6 a
c
a c
2
2
2
Sustituyendo valores:


2
3 3
0.4759 x107 1.2829 x107  0.7643x1021 cm3 
2
 0.7643 nm3
VT 
La expresión de la densidad viene dada por:

n   AC   AA 
de donde : n 
VT N A
VT N A
 AC   AA
Sustituyendo valores:
n
VT N A
 AC   AA
3.99

g
cm3
fórmula unidad
21
x
0.7643
x
10
x6.023x1023
3
celda unidad
mol
cm
g
(2 x 27  3x16)
mol
n  18
fórmula unidad
celda unidad
luego:
n = 18
→ 18x3 = 54 aniones oxígeno,
18x2 = 36 cationes aluminio
4
4
4 
VS  54 x  R3  36 x  R3
   54 R3  36 R3
3
3
3 
O2
Al3
O2
Al3



Sustituyendo valores:
4
3
3
VS   54 x  0.140   36 x  0.053   0.64313 nm3

3 
Factor de empaqueta mi ento 
VS 0.64313

 0.8415,
VT
0.7643
(84.15 %)
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P2.- Un tipo hipotético de material cerámico AX tiene una densidad de 2.10 g/cm3 y una celda unitaria de
simetría cúbica cuyo lado tiene una longitud de 0.57 nm. Los pesos atómicos de A y X son 28.5 y 30
g/mol, respectivamente. Tomando como base la información anterior, cual o cuales de las siguientes
estructuras cristalinas son posibles para dicho material: (a).- sal común (b).- cloruro de cesio (c).- Sulfuro
de zinc. Justificar la respuesta.
SOLUCIÓN:
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P3.- La celda unitaria del compuesto MgFe2O4 (MgO.Fe2O3) tiene una simetría cúbica con una longitud del
lado igual a 0.836 nm. Si la densidad de este material es de 4.52 g/cm3 determinar su factor de
empaquetamiento atómico.
DATOS: RFe3+ = 0,069 nm , RO2- = 0,140 nm , RMg2+ = 0,072 nm MFe = 55.85 , MO = 16, MMg =24.32
============================================================================
============
SOLUCIÓN:
Factor de empaqueta mi ento 
Volumen de átomos en la celda unidad VS

Volumen total de la celda unidad
VT

VT (Volumen celda unidad )  a3  0.836 x107

3
 0.5843x1021 cm3  0.5843 nm3
La expresión de la densidad viene dada por:

n
n   AC   AA 
VT N A
VT N A
 AC   AA
de donde : n 
4.52

VT N A
 AC   AA
y sustituyendo valores:
g
cm3
fórmula unidad
21
x
0.5843
x
10
x6.023x1023
3
celda unidad
mol
cm
8
g
(24.32  2 x55.85  4 x16)
mol
luego:
n=8
→ 8x4 = 32 aniones oxígeno,
8x2 = 16 cationes hierro, 8x1 = 8 cationes magnesio
4
4
4
4 
VS  32 x  R3  16 x  R3
 8x  R3
   54R3  36R3
 8xR3
3
3
3
3 
O2
Fe3
Mg 2
O2
Al3
Mg 2

Sustituyendo valores:
4
3
3
3
VS   32 x  0.140   16 x  0.069   8 x  0.072    0.4023 nm3

3 
Factor de empaqueta mi ento 
VS 0.4023

 0.6885,
VT 0.5843
(68.85 %)




Estructura de la espinela
Esta estructura de espinela se basa en un empaquetamiento cúbico compacto centrado en las caras de
oxígenos, donde los huecos octaédricos y tetraédricos están parcialmente ocupados. La celda unidad está
formada por ocho subunidades moleculares tipo AB2X4 con diferente estructura: NaCl y ZnS cúbico. Así
pues, la celdilla unidad contiene 32 aniones en empaquetamiento compacto casi perfecto de fórmula
A8B16X32. Existen 96 huecos entre los aniones en la celda unidad cúbica de la espinela; sin embargo, en los
compuestos AB2X4, únicamente 24 están ocupados por cationes. De estos 96 huecos disponibles 64 son
tetraédricos (de los cuales sólo 8 están ocupados por cationes, Cationes A2+) y 32 octaédricos (que son
ocupados por los 16 cationes restantes, cationes B3+).
La periodicidad de repetición entre los dos tipos de subunidades estructurales (cationes con coordinación
tetraédrica y con coordinación octaédrica) define el parámetro de red de la espinela a. Este parámetro de
red adopta valores comprendidos entre 8Å y 9Å, dependiendo del tipo de iones que formen la espinela.
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P4.- A partir de los datos de la tabla 3.4, determinar la densidad del fluoruro de calcio (CaF2), el cual tiene
la estructura de la fluorita.
============================================================================
=
SOLUCIÓN:
Estructura de la fluorita
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P5.- (i).- Estructura cristalina del diamante, (i).- Determinar la densidad teórica del diamante sabiendo que
la longitud y el ángulo del enlace C-C son 0.154 nm y 109.5 º, respectivamente. (iii).- Determinar el factor
de empaquetamiento. Asumir que los átomos enlazados se tocan entre si. DATOS: MC = 12
R.- 3.53 g/cm3, 34 %
SOLUCIÓN
(i)
E
D
(ii) La expresión de la densidad viene dada por:

nA
VT N A
A = 12
n = Ni + (1/2)Nc + (1/4)Na + (1/8)Nv = 4 + 6(1/2) + 8(1/8) = 8
Interiores Caras
Aristas Vértices
VT (Volumen celda unidad )  a03
 
2
2
2
Triángulo rectángulo ABC: a  a  2 y ;
a
x
2
Triángulo rectángulo ADE: tag ( )  
y a 2
Triángulo rectángulo ADE:     90;
2a 2  4 y 2 ; a 2  2 y 2 ;

2
y
a
a 2

2
2
1
 1 
; luego :   arctag 
  35.26 º
2
 2
  90    90  35.26  54.74
Ángulo de enlace C-C = 2ϕ = 2x54.74 = 109.48 º ≈ 109.5 º
Triángulo rectángulo ADE: AE = Longitud enlace C-C = 0.154 nm
a0
a
x
x
2
4
sen( ) 



AE Longitud enlace C  C Longitud enlace C  C Longitud enlace C  C
luego
a0  4  Longitud enlace C  C  sen( )
Sustituyendo valores:
a0  4  Longitud enlace C  C  sen( )  4 x0.154 xsen(35.26)  0.356

VT (Volumen celda unidad )  a03  0.356 x107
nA


VT N A
Factor de empaqueta mi ento 
8
4.51x1021

3
 4.51x1023 cm3
átomos
g
x12
celda unidad
at.g
 3.54 g / cm3
3
cm
átomos
x6.023x1023
celda unidad
at.g
Volumen de átomos en la celda unidad VS

Volumen total de la celda unidad
VT
VT (Volumen celda unidad )  a03
4
4
32
VS (Volumen átomos celda unidad )  n  R3  8  R3   R3
3
3
3
32 3
R
VS
32 R3
3
Factor de empaqueta mi ento 


VT
a03
3a03
Hay que encontrar una relación entre R y a0.
8R  a0 3
Por tanto: Factor de empaqueta mi ento 
luego : R 
a0 3
8
3
32 R3 32 a0 3 3 32 3


 0.34 ( 34%)
512
3a03
3a03 512
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P6.- La estructura cristalina de la blenda (SZn) puede generarse a partir del apilamiento de planos
compactos de aniones.
(a).-¿Qué secuencias del apilamiento producirán estructuras FCC y HC? ¿Por qué?
(b).- ¿Estarán los cationes en posiciones tetraédricas u octaédricas? ¿Por qué?
(c).- ¿Qué fracción de las posiciones estarán ocupadas?
SOLUCIÓN:
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P7.- La estructura cristalina del corindón, encontrada para el Al2O3, consiste en una estructura hexagonal
compacta (HC) de iones O2- ; los iones Al3+ ocupan posiciones octaédricas
(a).- ¿Qué fracción de las posiciones octaédricas existentes están ocupadas con iones Al3+?
(b).- Dibujar dos planos compactos de iones O2- en una secuencia AB e indicar las posiciones octaédricas
que estarán llenas con los iones Al3+.
SOLUCIÓN:
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P8.- El óxido de berilio (BeO) puede formar una estructura cristalina que consiste en una distribución HC
de iones O2-. Si el radio iónico del Be2+ es 0,035 nm, entonces:
(a).- ¿Qué tipo de intersticios ocuparán los iones de Be2+?
(b).- ¿Qué fracción de estos lugares intersticiales estarán ocupados por iones Be2+?
SOLUCIÓN:
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P9.- El titanato de hierro, FeTiO3, tiene la estructura de la ilmenita, la cual consiste en una distribución
hexagonal compacta (H) de iones O2-.
(a).- ¿Qué lugares intersticiales ocuparán los iones Fe2+? ¿Por qué?
(b).- ¿Qué lugares intersticiales ocuparán los iones Ti4+? ¿Por qué?
(c).- ¿Qué fracción de todos los lugares tetraédricos estarán ocupados?
(d).- ¿Qué fracción de todos los lugares octaédricos estarán ocupados?
SOLUCIÓN:
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P10.- Una forma cristalina de la sílice (SiO2) tiene una celdilla unidad cúbica. A partir de los resultados de
difracción de rayos X se sabe que la celdilla unidad tiene una arista de longitud 0,700 nm. Si la densidad
medida es 2,32 g/cm3, ¿cuántos iones Si4+ y O2- hay por celdilla unidad?.
SOLUCIÓN:
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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P11.- El compuesto BaTiO3 presenta estructura perovskita.
(a).- Dibujar la estructura de la celdilla unidad.
(b).- Determinar los parámetros reticulares de la celdilla unidad.
(c).- Determinar la densidad planar en el plano (101) en iones/nm2.
(d).- Determinar la densidad volumétrica (g/cm3) y el factor de empaquetamiento.
DATOS: RTi4+ = 0,071 nm, RO2-= 0,146 nm, RBa2+ = 0,113 nm, MBa = 137,33 , MTi = 47,88 MO =16,
NA=6,023x1023 .
SOLUCIÓN:
(a).- Estructura de la celdilla unidad de la perovskita.
Ba2+
Ti4+
O2-
(b).- Determinar los parámetros reticulares de la celdilla unidad.
RTi4+ = 0,071 nm, RO2-= 0,146 nm, RBa2+ = 0,113 nm
Supongamos que el ión titanio no esta presente y determinemos las dimensiones del hueco
intersticial. En este caso los iones se tocarán a lo largo de la diagonal de una cara, con lo cual el
parámetro de red será:
d
a
2
siendo
d  2R 2  2R 2  2 x0.113  2 x0.146  0.518 nm
Ba
luego:
O
2 R 2  2 R 2 2 x0.113  2 x0.146
d
O
a
 Ba

 0.366
2
2
2
El tamaño del hueco intersticial es:
2 RHueco  2R
O2 
 a0
de donde:
RHueco 
a0  2 R
O2
2

0.366  2 x0.146
 0.037 nm
2
Se puede observar que el radio del hueco intersticial (=0.037 nm) es menor que el radio del ion
titanio (=0.071), por tanto dicho ion debe empujar a los iones circundantes separándolos.
Ba2+
Ti4+
O2-
En consecuencia, cuando el ion titanio se introduce en el hueco intersticial octaédrico,
acomodándose en él, los iones que se tocan son el titanio y los oxígenos, por lo que el parámetro
reticular real es:
a0  2R
Ti4
 2R
O2
 2 x0.071  2 x0.146  0.434 nm
(c).- Determinar la densidad planar en el plano (101) en iones/nm2.
d Planar


Ba 2  Ti 4  O 2
Número iones
4(1/ 4)  1  2(1/ 2)
3



 2
2
Superficie
a0 d
S (nm )
a0 2
d Planar 
3
a02 2

3
 0.434 
2
 11.26 iones
2
nm2
(d).- Determinar la densidad volumétrica (g/cm3) y el factor de empaquetamiento.
La expresión de la densidad viene dada por:

n   AC   AA 
VT N A
n=1
N A  6.023x1023
átomos
at.g

VT (Volumen celda unidad )  a03  0.434 x107

3
 8.175 x1023 cm3
Fórmula unidad
g
x 137.33  47.88  3x16 
n   AC   AA 
celda unidad
mol


 4.736 g / cm3
3
VT N A
cm
Fórmula unidad
8.175 x1023
x6.023x1023
celda unidad
mol
1
Factor de empaqueta mi ento 
n=1
→ 3 aniones oxígeno,
Volumen de átomos en la celda unidad VS

Volumen total de la celda unidad
VT
1 catión titanio, 1 catión bario
4
4
4
4 
VS  3x  R3  1x  R3
 1x  R3
   3R 3  R 3
 R3
3
3
3
3  O2
O2
Ba2
Ti4
Ba2
Ti4
Sustituyendo valores:
4
3
3
3
VS   3x  0.146    0.113   0.071   0.04665 nm3

3 
Factor de empaqueta mi ento 
VS 0.04665

 0.5707,
VT 0.08174
(57.07 %)



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SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P12.- La figura muestra los resultados de un ensayo de difracción de Rayos X en la forma de la
intensidad del pico difractado en función del ángulo 2θ de difracción. Si se utilizan Rayos X con una
longitud de onda de 0,07107 nm, determinar:
(a).- La
estructura cristalina del material
(b).- Los índices de los planos que produce cada pico
(c).- El parámetro de red
SOLUCIÓN:
Ecuación de Bragg:
n  2dsen  
(1)
donde:
λ = Longitud de onda
d = Distancia interplanar entre planos atómicos adyacentes
θ = Ángulo de dispersión o de Bragg(Figura 1),
2θ = Ángulo de difracción (Figura 2), ya que éste es el ángulo medido experimentalmente
La figura muestra los resultados de un análisis de difracción de Rayos X representando la intensidad de los
diferentes picos difractados en función del ángulo de difracción 2θ. Se utilizan Rayos X con una longitud
de onda de 0,07107 nm.
Las estructuras cristalinas con celdas unidad no primitivas tienen átomos en puntos reticulares adicionales
situados a lo largo de las aristas, en las caras o en el interior de la celda unidad. Los centros de dispersión
adicionales pueden provocar difracción fuera de fase para ciertos ángulos de Bragg. El resultado es que
parte de la difracción que predice la ecuación 1 no tiene lugar. En la tabla 1 se muestra un ejemplo de este
efecto, y se dan las reglas de reflexión para las estructuras metálicas comunes. En la tabla pueden verse los
índices de Miller que no producen difracción como predice la ley de Bragg. Debería tenerse en mente que
el término reflexión aquí es un término casual, puesto que lo que se está describiendo es la difracción, y no
una verdadera reflexión.
Tabla 1.- Reglas de reflexión de la difracción de rayos X en las estructuras metálicas comunes.
Para identificar la estructura cristalina de un material cúbico, se anota el patrón de las líneas de difracción,
típicamente, mediante la creación de una tabla de valores de sen2(θ). Al combinar las ecuaciones (1) y (2)
se obtiene:
sen   
2
2
4a 2
h
2
k l
2
2
;
h k l 
2
2
2
sen 2  
2
(4)
4a 2
En los metales cúbicos simples, todos los planos posibles producirán difracciones, dando un patrón
h2+k2+l2 de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.... En metales cúbicos centrados en el cuerpo, la difracción proviene
únicamente de aquellos planos que tengan una suma de h2+k2+l2 entera par, es decir de 2, 4, 6, 8, 10, 12,
14, 16,... Por lo que se refiere a los metales cúbicos centrados en las caras existe más interferencia
destructora y los planos que se difractarán son los que tengan una suma de h2+k2+l2 de 3, 4, 8, 11, 12, 16,
19, ..o bien de 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, Calculando los valores de sen2θ y a continuación encontrando el patrón apropiado, se puede determinar la estructura cristalina de los metales que tengan una de estas
estructuras simples.
h  k  l  par 
h  k  l 
2
h  k  l 
2
 par
 h2  k 2  l 2  2hk  2hl  2kl  h 2  k 2  l 2  2  hk  hl  kl 
Par  h2  k 2  l 2  Par  h 2  k 2  l 2  Par
h, k , l  Todos pares  h2  k 2  l 2  Par
h, k , l  Todos impares  h2  k 2  l 2  (2 x  1) 2  (2 y  1) 2  (2 z  1) 2 


 2 2 x 2  2 x  2 y 2  2 y  2 z 2  2 z  1  1  Im par
h, k , l  Todos pares  h2  k 2  l 2  4,8,12,16, 20, 24,......
h, k , l  Todos impares  h2  k 2  l 2  3,11,19, 27,.......
Se puede determinar primero el valor de sen2(θ) para cada uno de los picos y a continuación dividirlo por el
menor valor del sen2(θ) . Los valores de 2θ se pueden estimar a partir de la figura.
Planos
Pico
2θ
θ
θ(π/180)
sen(θ)
sen2(θ)
sen2(θ)/m
sen2(θ)/m:2
h
k
l
d=λ/2sen(θ) a=d√(h2+k2+l2 )
1
25,5
12,75
0,2225
0,2207
0,0487
1
2
1
1
0
0,1610
0,2277
2
36
18
0,3142
0,3090
0,0955
2
4
2
0
0
0,1150
0,2300
3
44,5
22,25
0,3883
0,3786
0,1434
3
6
2
1
1
0,0938
0,2299
4
51,5
25,75
0,4494
0,4344
0,1887
4
8
2
2
0
0,0818
0,2313
5
58
29
0,5061
0,4848
0,2350
5
10
3
1
0
0,0733
0,2318
6
64,5
32,25
0,5629
0,5336
0,2847
6
12
2
2
2
0,0666
0,2307
7
70
35
0,6109
0,5736
0,3290
7
14
3
2
1
0,0620
0,2318
8
75,5
37,75
0,6589
0,6122
0,3748
8
15
4
0
0
0,0580
0,2322
NO VALE
VALE
Al hacer lo anterior, se encuentra un patrón de valores de sen2(θ)/0.0308 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Si el
material fuera cúbico simple, el 7 no estaría presente porque no existen planos h2+k2+l2 con un valor de 7.
Por tanto, los valores del sen2(θ) se deben de dividir por 0.0154 [la mitad del primer valor de sen2(θ)] con
el fin de dar lugar a una secuencia de números posibles. En este caso la secuencia que se encuentra es 2, 4,
6, 8, 10, 12, 14, 16..., por tanto, patrón debe ser realmente ese y debe tratarse de un material cúbico
centrado en el cuerpo. Los valores (hkl) listados dan estos valores h2+k2+l2 requeridos.
A continuación se utilizarán los valores 2θ para calcular el espaciamiento interplanar y de ahí el parámetro
de red. Escogiendo el pico 8, se tiene:
2θ = 59,42, es decir: θ = 29,71
d 400 

2sen  

0, 7107
 0, 71699 Å
2sen  29, 71
a  dhkl h2  k 2  l 2  d400 42  02  02  4 x0.71699  2,868 Å
Este es el parámetro de red correspondiente al hierro cúbico centrado en el cuerpo.
UNIVERSIDAD DE OVIEDO // ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE MINAS
ASIGNATURA: TECNOLOGÍA CEMENTOS, VIDRIO Y CERÁMICAS
SERIE PROBLEMAS: TEMA .- ESTRUCTURA CRISTALINA
P12.- Los resultados de un experimento de difracción de Rayos X, con una longitud de onda de 0,07107
nm (= 0.7107 Å), muestran que ocurren picos difractados en los siguientes ángulos 2θ:
Pico
Ángulo 2θ
1
20,20
2
28,72
3
35,36
4
41,07
5
46,19
6
50,90
7
55,28
8
59,42
Se pide:
(a).- Determinar la estructura cristalina del material
(b).- Los índices de los planos que produce cada pico
(c).- El parámetro de red
SOLUCIÓN:
Ecuación de Bragg:
n  2dsen  
(1)
donde:
λ = Longitud de onda
d = Distancia interplanar entre planos atómicos adyacentes
θ = Ángulo de dispersión o de Bragg(Figura 1),
2θ = Ángulo de difracción (Figura 2), ya que éste es el ángulo medido experimentalmente
Figura 1.- Geometría del proceso de difracción de la radiación X. La estructura cristalina es una red de
difracción tridimensional. La ley de Bragg describe la condición de difracción.
Figura 2.- Relación entre el ángulo de Bragg (θ) y el ángulo de difracción medido experimentalmente (2θ).
La magnitud del espaciado interplanar (d en la Ecuación 1) es una función directa de los índices de Miller
del plano. En el caso del sistema cúbico la relación es bastante simple. El espaciado entre planos
adyacentes es:
a
d hkl 
(2)
h2  k 2  l 2
donde a es el parámetro de la red (longitud del lado de la celda unidad). En el caso de que la celda unidad
presente formas más complejas, la relación es más complicada. Para el sistema hexagonal se tiene:
a
d hkl 
4
3
h
2
 hk  k
2
l
2
 c
a2
(3)
2
donde a y c son los parámetros de red.
La ley de Bragg (Ecuación 1) es una condición necesaria pero no suficiente para que se produzca
difracción. Define la condición de difracción para celdas unidad primitivas, esto es, aquellas redes de
Bravais con puntos reticulares sólo en los vértices de la celda unidad, como la cúbica simple y la tetragonal
simple.
Las estructuras cristalinas con celdas unidad no primitivas tienen átomos en puntos reticulares adicionales
situados a lo largo de las aristas, en las caras o en el interior de la celda unidad. Los centros de dispersión
adicionales pueden provocar difracción fuera de fase para ciertos ángulos de Bragg. El resultado es que
parte de la difracción que predice la ecuación 1 no tiene lugar. En la tabla 1 se muestra un ejemplo de este
efecto, y se dan las reglas de reflexión para las estructuras metálicas comunes. En la tabla pueden verse los
índices de Miller que no producen difracción como predice la ley de Bragg. Debería tenerse en mente que
el término reflexión aquí es un término casual, puesto que lo que se está describiendo es la difracción, y no
una verdadera reflexión.
Tabla 1.- Reglas de reflexión de la difracción de rayos X en las estructuras metálicas comunes.
Para identificar la estructura cristalina de un material cúbico, se anota el patrón de las líneas de difracción,
típicamente, mediante la creación de una tabla de valores de sen2(θ). Al combinar las ecuaciones (1) y (2)
se obtiene:
sen   
2
2
4a 2
h
2
k l
2
2
;
h k l 
2
2
2
sen 2  
2
4a
(4)
2
En los metales cúbicos simples, todos los planos posibles producirán difracciones, dando un patrón
h2+k2+l2 de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8.... En metales cúbicos centrados en el cuerpo, la difracción proviene
únicamente de aquellos planos que tengan una suma de h2+k2+l2 entera par, es decir de 2, 4, 6, 8, 10, 12,
14, 16,... Por lo que se refiere a los metales cúbicos centrados en las caras existe más interferencia
destructora y los planos que se difractarán son los que tengan una suma de h2+k2+l2 de 3, 4, 8, 11, 12, 16,
19, ..o bien de 3, 4, 8, 11, 12, 16, 19, Calculando los valores de sen2θ y a continuación encontrando el patrón apropiado, se puede determinar la estructura cristalina de los metales que tengan una de estas
estructuras simples.
h  k  l  par 
h  k  l 
2
h  k  l 
2
 par
 h2  k 2  l 2  2hk  2hl  2kl  h 2  k 2  l 2  2  hk  hl  kl 
Par  h2  k 2  l 2  Par  h 2  k 2  l 2  Par
h, k , l  Todos pares  h2  k 2  l 2  Par
h, k , l  Todos impares  h2  k 2  l 2  (2 x  1) 2  (2 y  1) 2  (2 z  1) 2 


 2 2 x 2  2 x  2 y 2  2 y  2 z 2  2 z  1  1  Im par
h, k , l  Todos pares  h2  k 2  l 2  4,8,12,16, 20, 24,......
h, k , l  Todos impares  h2  k 2  l 2  3,11,19, 27,.......
Se puede determinar primero el valor de sen2(θ) para cada uno de los picos y a continuación dividirlo por el
menor valor del sen2(θ) .
Pico
1
2
3
4
5
6
7
8
2θ
20,2
28,72
35,36
41,07
46,19
50,9
55,28
59,42
θ
10,1
14,36
17,68
20,535
23,095
25,45
27,64
29,71
θ(π/180)
0,1763
0,2506
0,3086
0,3584
0,4031
0,4442
0,4824
0,5185
sen2(θ)
0,0308
0,0615
0,0922
0,1230
0,1539
0,1847
0,2152
0,2456
sen2(θ)/Mínimo sen2(θ)/Mínimo:2 Planos (hkl)
(h2+k2+l2)
(h2+k2+l2)
(110)
1
2
(200)
2
4
(211)
3
6
(220)
4
8
(310)
5
10
(222)
6
12
(321)
7
14
(400)
8
16
Al hacer lo anterior, se encuentra un patrón de valores de sen2(θ)/0.0308 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8. Si el
material fuera cúbico simple, el 7 no estaría presente porque no existen planos h2+k2+l2 con un valor de 7.
Por tanto, los valores del sen2(θ) se deben de dividir por 0.0154 [la mitad del primer valor de sen2(θ)] con
el fin de dar lugar a una secuencia de números posibles. En este caso la secuencia que se encuentra es 2, 4,
6, 8, 10, 12, 14, 16..., por tanto, patrón debe ser realmente ese y debe tratarse de un material cúbico
centrado en el cuerpo. Los valores (hkl) listados dan estos valores h2+k2+l2 requeridos.
A continuación se utilizarán los valores 2θ para calcular el espaciamiento interplanar y de ahí el parámetro
de red. Escogiendo el pico 8, se tiene:
2θ = 59,42, es decir: θ = 29,71
d 400 

2sen  

0, 7107
 0, 71699 Å
2sen  29, 71
a  dhkl h2  k 2  l 2  d400 42  02  02  4 x0.71699  2,868 Å
Este es el parámetro de red correspondiente al hierro cúbico centrado en el cuerpo.