Revista de Didáctica de las Matemáticas Marzo de 2014 Volumen 85

NÚMEROS
Revista de Didáctica de las Matemáticas
Marzo de 2014
Volumen 85
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, página 2
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, se ocupa de la enseñanza y el aprendizaje desde infantil
hasta la universidad, aunque atiende preferentemente la educación primaria y secundaria. Publica trabajos de
interés para el profesorado de esos niveles, tales como experiencias de aula, reflexiones sobre la enseñanza,
aplicaciones de la investigación…
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas aparece en las bases de datos bibliográficas Latindex,
Dialnet y DICE, y es recensionada en Mathematics Education Database.
Directora
Alicia Bruno (Universidad de La Laguna)
Comité editorial
Hugo Afonso, Dolores de la Coba, Miguel Domínguez, Fátima García, Israel García, Mª Aurelia Noda,
Josefa Perdomo e Inés Plasencia.
Consejo asesor
José Luis Aguiar, Luis Balbuena, Carmen Batanero, Teresa Braicovich, Juan Contreras, Norma Cotic, Juan
Díaz Godino, Salvador Llinares, Antonio Martinón, Jacinto Quevedo, Victoria Sánchez y Arnulfo Santos.
Portada. Autor: Juan Cuenca Serrano. Título: “Rectas, circunferencias y espectáculo visual”. La Punta del
Hidalgo, Tenerife, a 28 de julio de 2013.
Edita
Sociedad Canaria Isaac Newton de Profesores de Matemáticas
Apartado 329.
38200 La Laguna (Tenerife) España
Email: [email protected]
Web: http://www.sinewton.org
Junta Directiva de la Sociedad Canaria "Isaac Newton" de Profesores de Matemáticas
Juan Agustín Noda Gómez (Presidente), Mª Nila Pérez Francisco (Vicepresidente), José Manuel Vidal
González (Secretario General), Sergio Alexander Hernández Hernández (Tesorero), Carmen Dolores Ríos
González (Vicesecretaria), Carmen Sonia Fernández Valdivia (Secretaria de actas), Luis Balbuena Castellano
(Bibliotecario). Coordinadores insulares: Ramón Galán González (Gran Canaria), Roberto Rodríguez Cruz
(La Palma), Dolores de la Coba García (Tenerife).
Números, Revista de Didáctica de las Matemáticas, es una publicación de la Sociedad Canaria Isaac
Newton de Profesores de Matemáticas. Se editan tres números ordinarios al año, los meses de marzo, julio y
noviembre.
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Volumen 85, marzo de 2014, páginas 3-4
Índice
Artículos
Enseñanza de la Probabilidad en Educación Primaria. Un Desafío para la
Formación Inicial y Continua del Profesorado
5
C. Vásquez, Á. Alsina
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a
través de la literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
25
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
Los sistemas de ecuaciones en el bachillerato
F. Martínez de la Rosa, S. M. Sáez Martínez
¿Pueden nuestros estudiantes construir conocimientos matemáticos?
P. Cobo, M. A. Molina
Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
Álvarez Alfonso, L. Ángel, E. Carranza, M. Soler-Alvarez
Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de
geometría
41
49
75
91
A. R. Corica, E. A. Marin
Secciones
Astronomía
Club Astronómico del Instituto
F. Fernández Porredón
115
Juegos
Poliprismas
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
139
Problemas
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón, M. García Déniz (Club Matemático)
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145
Índice (continuación)
Experiencias de aula
Los enigmas del Ogro de Halloween
157
E. Rodríguez Francisco
Leer Matemáticas
Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas. Joan Gómez
179
Reseña: J. García Melián
Matemáticamente competentes…Para reír. Pablo Flores y Antonio Moreno
Reseña: V. Giaconi
Informaciones
Normas para los autores
4
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Volumen 85, marzo de 2014, páginas 5-23
Enseñanza de la Probabilidad en Educación Primaria. Un Desafío para la
Formación Inicial y Continua del Profesorado.
Claudia Vásquez (Pontificia Universidad Católica de Chile. Chile)
Ángel Alsina (Universidad de Girona. España)
Fecha de recepción: 9 de julio de 2013
Fecha de aceptación: 30 de octubre de 2013
Resumen
En los últimos años la probabilidad se ha incorporado fuertemente en el currículo escolar
de muchos países, transformándose en un desafío para las instituciones formadoras y el
profesorado. Con este artículo se busca aportar evidencias sobre los conocimientos
matemáticos y didácticos que deben poner en juego los profesores de educación primaria
para la enseñanza de la probabilidad. Para ello, se ha realizado un análisis exploratorio de
referentes curriculares internacionales y nacionales sobre enseñanza y aprendizaje de la
probabilidad, así como de algunos modelos sobre el conocimiento didáctico y
matemático del profesor. En base a dicho análisis, se concluye con algunas directrices
para la formación del profesorado que contribuyen a mejorar la comprensión de la
probabilidad, y procurar así la transformación progresiva de la práctica docente.
Palabras clave
Conocimiento matemático y didáctico, probabilidad, educación primaria, formación
inicial y continua de profesores.
Abstract
In the last years, probability has become a major component of school curriculum in
many countries and a challenge to both, educational institutions and teachers. The
purpose of this article is to provide evidence about the mathematical and didactic
knowledge that primary school teachers must bring into play to teach probability. To do
that, an exploratory analysis of international and national curricular benchmarks of
probability teaching and learning, well as some models of teacher's mathematical and
didactic knowledge, has been conducted. Based on that, it concludes with some teacher
education guidelines that contribute to improving the understanding of probability, and
enable the progressive transformation of teaching practices.
Keywords
Mathematical and didactic knowledge, probability, primary education, initial and ongoing training of teachers.
1. Introducción
No es desconocido que los requerimientos de la sociedad varían muy rápidamente, cambiando
al mismo tiempo lo que los alumnos necesitan aprender en la escuela. Estos cambios exigen una
mayor preparación por parte de los profesores para ejercer la enseñanza en los distintos ciclos
educacionales que conforman el sistema escolar. Tal es el caso de la probabilidad, que durante los
últimos veinticinco años aproximadamente se ha ido incorporando fuertemente en los currículos de
matemática a nivel parvulario, básico, medio y superior en gran parte de los países desarrollados.
Algunos de los principales motivos son su utilidad y presencia en numerosas situaciones de la vida
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diaria, en las que es necesario disponer de un razonamiento crítico que permita interpretar y comunicar
distintos tipos de información, además de su estrecho vínculo con distintas disciplinas. Esta iniciativa
ha contado, desde 1989, con el apoyo del National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) al ser
este organismo pionero en incluir “Datos y Azar” como una área temática en el currículo de
matemáticas Currículum and Evaluation Standard for School Mathematics (NCTM, 1989). Esta
iniciativa ha ido cobrando fuerza con el transcurso de los años, generando una verdadera reforma en
los currículos de matemática de diversos países que se ha plasmado, en la última década, en los
Principles and Standard for School Mathematics (NCTM, 2000). Estos estándares buscan proveer de
una visión y dirección necesarias para una educación matemática de alta calidad para todos los
alumnos.
Dada esta situación de cambios se hace necesario contar con profesores preparados que logren
que sus alumnos alcancen estos nuevos requerimientos y que utilicen enfoques adecuados para enseñar
los contenidos recientemente incorporados, como es el caso de la probabilidad. Esta transformación
curricular representa un verdadero desafío para las instituciones formadoras, ya que la gran mayoría de
profesores no han contado durante su formación inicial con asignaturas que les permitan alcanzar una
enseñanza eficaz de la probabilidad. Bajo esta perspectiva, es necesario contar con estudios sobre la
enseñanza de la probabilidad en educación primaria, y más específicamente vinculados a los
conocimientos matemáticos y didácticos que los profesores de primaria deben poner en juego a la hora
de enseñar estos contenidos, sobre todo en países como Chile en el que tales estudios son aún muy
escasos. Es en este escenario que surge este trabajo, a través del cual se busca vislumbrar y analizar el
conocimiento matemático y didáctico que los profesores de primaria necesitan para la enseñanza de la
probabilidad.
2. La probabilidad en el currículo escolar
Un punto central en este estudio es el relacionado con la presencia y el rol otorgado a la
probabilidad dentro del currículo escolar tanto a nivel internacional como nacional. En esta sección se
describen los contenidos vinculados al estudio de la probabilidad en las orientaciones curriculares de
la NCTM (2000), los Estándares Comunes (CCSSI, 2010), en el currículo chileno para la educación
básica (Mineduc, 2012) y por último en el currículo español para la educación primaria (MEC, 2007).
Esto nos permitirá contar con una visión panorámica en torno al tratamiento otorgado al estudio de la
probabilidad, y de este modo tener claridad, en parte, acerca del conocimiento de la probabilidad y su
enseñanza que necesitan los profesores de primaria para llevar a cabo el proceso de enseñanza y
aprendizaje con sus estudiantes.
2.1. La probabilidad en el currículo escolar internacional
Para establecer la presencia y el rol otorgado a la probabilidad en el currículo escolar
internacional, se analizan los Principios y Estándares para la Educación Matemática del National
Council of Teachers of Mathematics (NCTM, 2000), y los Estándares Comunes para las Matemáticas
de la Common Core State Standard Initiative (CCSSI, 2010), al tratarse de documentos de referencia
que han tenido gran influencia tanto en el currículo de EEUU como en el de muchos otros países como
Chile y España.
Actualmente existe un acuerdo generalizado en que la probabilidad, debido a sus múltiples
aplicaciones en distintas áreas del saber, es parte importante de la matemática, por lo que es necesario
que el pensamiento probabilístico se desarrolle desde las primeras edades (nivel parvulario). Como se
ha indicado, esta fue adoptada por la NCTM (1989), al incluir como área temática en el Curriculum
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and Evaluation Standard for School Mathematics a Datos y Azar, iniciativa que desde entonces ha
cobrado fuerza y se ha plasmado, últimamente, en los Principles and Standard for School
Mathematics (NCTM, 2000). Por medio de tales Principios y Estándares se busca “describir las
características particulares de una educación matemática de gran calidad”, además de “describir los
contenidos y procesos matemáticos que deberían aprender los estudiantes” (NCTM, 2000, p. 11). Para
lograr este propósito se proponen los Principios de: igualdad, currículo, enseñanza, aprendizaje,
evaluación y tecnología para las matemáticas escolares. Además de un conjunto de conocimientos y
competencias matemáticas que buscan desarrollar en los estudiantes, la capacidad de pensar y razonar
matemáticamente. Es así como emergen los Estándares de Contenidos y los Estándares de Procesos.
Los primeros describen explícitamente los contenidos que deberían aprender los estudiantes desde el
Prekindergarten al nivel 12, en relación a Números y operaciones, Álgebra, Geometría, Medida y
Análisis de datos y probabilidad, mientras que los segundos exponen distintas formas de adquisición y
usos de dichos contenidos, como un continuo en el currículo escolar, por medio de los procesos de:
 Resolución de problemas: se enfatiza la construcción de nuevos conocimientos a partir de la
exploración de métodos de resolución de problemas, ya sea del ámbito de la matemática o de
otros contextos, lo que permitirá que los estudiantes reflexionen y apliquen sus
conocimientos y estrategias en busca de una solución.
 Razonamiento y demostración: se pretende capacitar a los estudiantes para reconocer la
importancia del razonamiento y la demostración en el desarrollo de la matemática, como
herramientas que permiten formular, desarrollar y evaluar distintos tipos de argumentos
matemáticos.
 Comunicación: se entiende como una parte esencial de las matemáticas, pues a través de ella
los estudiantes estarían capacitados para organizar, comunicar, analizar y evaluar, de forma
rigurosa, tanto su pensamiento matemático como el de los demás.
 Conexiones: se enfatiza que los estudiantes sean capaces de vincular distintas ideas
matemáticas entre sí, generando nuevas ideas, además de reconocer la aplicabilidad en
contextos no matemáticos.
 Representación: se busca mejorar la comprensión de distintos tipos de ideas matemáticas por
medio de amplio espectro de representaciones otorgadas a los estudiantes de modo que estos
sean capaces de seleccionar, aplicar y traducir aquellas que sean más adecuadas a un
determinado problema.
Estos diez estándares se encuentran presentes de forma continua y gradual a lo largo de todo el
currículo escolar, respondiendo a las distintas necesidades presentes en cada una de las distintas etapas
de la formación escolar, tal y como es posible apreciar en la figura 1.
Figura 1. Nivel de atención que deberían recibir los diferentes estándares de contenidos desde Prekindergarten
al nivel 12 (NCTM, 2000, p. 32)
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Dado que nuestro estudio se centra específicamente en el contenido de probabilidad, el análisis
se focaliza en el estándar de contenido de Análisis de datos y probabilidad (NCTM, 2000), puesto que
en él se abordan conceptos básicos y distintas aplicaciones de la probabilidad que permitirían a los
estudiantes establecer, de manera progresiva, conexiones entre las matemáticas y otros ámbitos del
saber, así como con experiencias de la vida diaria, de modo que al finalizar su formación escolar los
estudiantes posean una sólida formación en lo que se refiere al análisis de datos y probabilidad. Es por
esta razón que este estándar propone, específicamente para el tema de probabilidad, “capacitar a los
estudiantes, en las distintas etapas, para: desarrollar y evaluar inferencias y predicciones basadas en
datos; y comprender y aplicar conceptos básicos de probabilidad.” (NCTM, 2000, p. 51)
Para ello, se propone iniciar el estudio de la probabilidad y de los contenidos vinculados a partir
del Prekindergarten (preescolar) de forma continua hasta el nivel 12 (bachillerato), de tal manera que
se favorezca la adquisición progresiva de los siguientes contenidos:
Desarrollar y evaluar inferencias y
predicciones basadas en datos
Pre K-2
Comprender y aplicar conceptos básicos de
probabilidad
Discutir sucesos probables e improbables
relacionados con las experiencias de los alumnos.
Proponer y justificar conclusiones y predicciones Describir sucesos como probables o no probables,
basadas en datos, y diseñar estudios para y discutir su grado de probabilidad usando
investigarlas más a fondo.
expresiones como seguro, igualmente probable e
improbable;
Predecir la probabilidad de resultados de
experimentos sencillos, y someter a prueba tales
predicciones;
3–5
Comprender que la medida de la probabilidad de
un suceso puede representarse por un número
comprendido entre 0 y 1.
8
6–8
Utilizar observaciones relativas a las diferencias Comprender y utilizar la terminología apropiada
entre dos o más muestras, para formular para describir sucesos complementarios y
conjeturas sobre las poblaciones de las que se han mutuamente excluyentes;
extraído;
Utilizar la proporcionalidad y una comprensión
Formular conjeturas sobre las posibles relaciones básica de la probabilidad para formular y
entre dos características de una muestra, a partir comprobar conjeturas sobre los resultados de
de nubes de puntos de los datos y líneas de ajuste experimentos y simulaciones;
aproximadas;
Calcular probabilidades de sucesos compuestos
Utilizar las conjeturas para formular nuevas sencillos, utilizando métodos como listas
preguntas y programar nuevos estudios para organizadas, diagramas de árbol y modelos de
contestarlas.
área.
9–12
Utilizar simulaciones para explorar la variabilidad Comprender los conceptos de espacio muestral y
de muestras estadísticas de una población distribución de probabilidad, y construir espacios
conocida, y para construir distribuciones muestrales y distribuciones en casos sencillos;
muestrales;
Utilizar simulaciones para construir distribuciones
Comprender cómo las muestras estadísticas de probabilidad empíricas;
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reflejan los valores de los parámetros de la Calcular e interpretar el valor esperado de
población, y utilizar las distribuciones muestrales variables aleatorias en casos sencillos;
como base para inferencias informales;
Comprender los conceptos de probabilidad
Evaluar informes basados en datos, examinando condicionada y sucesos independientes;
el diseño del estudio, lo apropiado del análisis de
Comprender cómo se calcula la probabilidad de
los datos y la validez de las conclusiones;
un suceso compuesto.
Comprender cómo se utilizan técnicas estadísticas
básicas en los lugares de trabajo, para controlar
características del proceso de producción.
Tabla 1. Contenidos en relación al tema de probabilidad desde Prekindergarten al nivel 12 (NCTM, 2000)
Como se puede apreciar en la Tabla 1, el desarrollo de los conceptos básicos de probabilidad
pasa por diferentes fases: a) se inicia de manera informal en las primeras etapas, introduciendo en
primer lugar el vocabulario vinculado a las nociones de probabilidad por medio de actividades
centradas en los juicios que emiten los estudiantes en base a sus propias experiencias, llevándoles a
responder preguntas sobre la probabilidad de sucesos, cuyas respuestas consideren el empleo de
términos tales como: más probable, menos probable o imposible; b) sigue con la realización de
experimentos aleatorios con material concreto como bolitas, fichas de colores, monedas, ruletas, etc. y
de este modo comenzar a aprender cómo cuantificar la probabilidad de ocurrencia de un determinado
suceso. Además de empezar a comprender que la probabilidad de un suceso imposible se designa por
medio del 0 y la de un suceso seguro por medio del 1, vinculando así a los estudiantes con la
asignación numérica de probabilidad a la ocurrencia de ciertos sucesos; y c) se finaliza la educación
primaria con el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos sencillos, dejando para la educación
secundaria el cálculo de probabilidad de sucesos dependientes e independientes, así como conceptos
de mayor complejidad.
La adquisición de estos contenidos, como se ha indicado, se ve complementada con los
estándares de procesos, pues éstos ofrecen un conjunto de herramientas (Resolución de problemas,
Razonamiento y prueba, Comunicación, Conexiones y Representación) que facilitan la adquisición y
uso de tales contenidos en los estudiantes, ya que a partir de los estándares de procesos los estudiantes
se introducen progresivamente en las formas de pensar propias de las matemáticas como: razonar,
argumentar, descubrir, representar, modelizar, demostrar, etc. Estos procesos de pensamiento
matemático les permiten construir nuevos conocimientos y sobre todo otorgar aplicabilidad a los
distintos contenidos tratados, vinculándoles no tan solo con otros contenidos matemáticos y de otras
disciplinas, sino también con contextos de la vida cotidiana (Alsina, 2012). En este punto es crucial la
labor del profesor, pues éste debe ser capaz de lograr una correcta interacción entre los estándares de
contendidos y los de procesos, para así contribuir al desarrollo de la competencia matemática en los
estudiantes, lo cual de acuerdo con Alsina (2009) implica:
 Pensar matemáticamente: construir conocimiento matemático en situaciones donde tenga
sentido, experimentar, intuir, relacionar conceptos y abstraer.
 Razonar matemáticamente: realizar deducciones e inducciones, particularizar y generalizar;
argumentar las decisiones, así como los procesos y las técnicas.
 Plantear y resolver problemas: leer y entender el enunciado, generar preguntas, planificar y
desarrollar estrategias de resolución y validar soluciones.
 Obtener, interpretar y generar información con contenido matemático.
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Enseñanza de la Probabilidad en Educación Primaria. Un Desafío para la Formación Inicial y
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 Usar técnicas matemáticas básicas (para contar, operar, medir, situarse en el espacio y
organizar y analizar datos) e instrumentos (calculadoras y tecnologías de la información, de
dibujo y medida) para hacer matemáticas.
 Interpretar y representar expresiones, procesos y resultados matemáticos con palabras,
dibujos, símbolos, números y materiales.
 Comunicar el trabajo y los descubrimientos a los demás, tanto oralmente como por escrito,
usando de forma progresiva el lenguaje matemático.
Es precisamente en este punto donde todo lo anterior es de gran relevancia para este estudio
pues uno de los principales objetivos de este análisis es proporcionar información sobre el
conocimiento matemático y didáctico que necesitan los profesores de educación básica para enseñar
probabilidad, es decir del conocimiento necesario para propiciar el desarrollo de la competencia
matemática en sus estudiantes.
Otro referente internacional en esta línea son los Common Core State Standards for
Mathematics o Estándares Comunes para las Matemáticas de la Common Core State Standards
Initiative (CCSSI, 2010). Estos estándares describen los conocimientos y habilidades que los
profesores deben ser capaces de desarrollar en sus estudiantes en cada nivel, es decir, “lo que se espera
que los estudiantes aprendan y sean capaces de hacer” (CCSSI, 2010, p. 5). Se trata de un conjunto de
orientaciones para la práctica de matemáticas y del contenido en matemáticas, con el objeto de lograr
una educación de alta calidad que permita a los estudiantes acceder a los conocimientos y habilidades
necesarios para sus vidas después de la escuela, ya sea en la universidad o en el mundo laboral.
Los estándares para la práctica de matemáticas buscan describir la variedad de experiencias
(habilidades) que los profesores deben desarrollar en todos sus estudiantes desde la educación infantil
hasta el décimo segundo grado (nivel 12), para que éstos puedan aplicar los conocimientos
matemáticos, es decir, sean matemáticamente competentes. Tales estándares se basan, por un lado en
los estándares de procesos de la NCTM, y por otro en las competencias matemáticas descritas en el
informe Adding It del National Council Research, surgiendo de esta manera los siguientes ocho
estándares para la práctica de matemática, que a continuación se mencionan:








Dar sentido a los problemas y perseverar en resolverlos
Desarrollar un razonamiento abstracto y cuantitativo
Construir argumentos viables y criticar el razonamiento de otros
Modelar usando matemáticas
Usar herramientas adecuadas de manera estratégica
Reconocer la importancia de la precisión
Buscar y hacer uso de una estructura
Buscar y expresar regularidades en un razonamiento repetido
Mientras que los estándares para la práctica de matemáticas definen las experiencias que los
profesores deberían desarrollar en sus estudiantes, los estándares para el contenido en matemáticas
presentan una combinación equilibrada entre los procedimientos y la comprensión de conceptos
centrales en la formación de los estudiantes, es decir, lo que los estudiantes saben sobre matemáticas.
Así, se busca conectar las prácticas con los contenidos, estableciendo un conjunto de estándares
específicos para cada nivel, desde el Pre-K-2 al nivel 12, en los distintos dominios (Conteo y
cardinalidad, operaciones y pensamiento algebraico, números y operaciones en base diez, números y
operaciones-fracciones, medición y datos, geometría, razones y relaciones proporcionales, sistema de
numeración, expresiones y ecuaciones, funciones y estadística y probabilidad) definidos para el
aprendizaje de las matemáticas.
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Enseñanza de la Probabilidad en Educación Primaria. Un Desafío para la Formación Inicial y
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En el caso de los contenidos vinculados al estudio de la probabilidad, a diferencia de los
Principles and Standard for School Mathematics (NCTM, 2000), éstos no son considerados en la
educación primaria, iniciándose su estudio en la educación secundaria en el dominio de estadística y
probabilidad. Sin embargo, en el caso de la educación primaria encontramos, dentro del dominio de
medición y datos, estándares de contenidos vinculados únicamente a la estadística, con gran énfasis en
la recolección, análisis, clasificación y organización de datos utilizando distintos tipos de
representación como: dibujos, tablas, gráficos, diagramas, etc.
Como se puede apreciar, en términos generales los referentes internacionales analizados ponen
de manifiesto un constante énfasis en el estudio de la probabilidad dada su utilidad como herramienta
que permite modelar diversas situaciones en las que existe incertidumbre, y a la vez desarrollar el
pensamiento matemático e interpretar distintos tipos de información tanto del ámbito de otras
disciplinas como en lo cotidiano y el mundo laboral.
2.2. La probabilidad en el currículo escolar chileno para la educación básica
El currículo chileno de matemáticas en la educación básica (6 a 12 años) se ha modificado
recientemente a raíz de la implementación de las nuevas bases curriculares, y actualmente está
organizado en los ejes temáticos de: números y operaciones, patrones y álgebra, geometría, medición y
datos y probabilidades (Mineduc, 2012). Estas nuevas bases se encuentran estructuradas por Objetivos
de Aprendizaje, que describen los desempeños mínimos que deberán alcanzar los estudiantes, por
medio del desarrollo de ciertas habilidades, conocimientos y actitudes propias para cada asignatura, en
sus distintos ejes temáticos. Para alcanzar los distintos objetivos de aprendizaje el Ministerio de
Educación ha desarrollado nuevos programas de estudios de 1º a 6º básico, con los que se busca
apoyar a los profesores en la implementación de las nuevas bases curriculares. Tales programas
contemplan una planificación anual que contiene indicadores de evaluación para cada objetivo de
aprendizaje, además de actividades, ejemplos de evaluación y material educativo sugerido.
Cabe destacar que las nuevas bases curriculares para la asignatura de Matemática, consideran
que la formación matemática en la educación básica se logra por medio del desarrollo del pensamiento
matemático, el cual involucra las siguientes cuatro habilidades que se integran con los objetivos de
aprendizaje y están interrelacionadas entre sí (Mineduc, 2012, p. 3-4):
 Resolver problemas: esta habilidad tiene por objetivo el que los estudiantes sean capaces de
dar solución, de manera autónoma, a distintos tipos de situaciones problemáticas, por medio
de la aplicación de distintos tipos de estrategias como: la experimentación, ensayo y error,
transferencia des problemas similares ya resueltos, etc. siendo capaces de comparar los
distintos caminos de solución y evaluar las respuestas obtenidas y su pertinencia.
 Argumentar y comunicar: con esta habilidad se busca que los estudiantes sean capaces de
verbalizar y comunicar, progresivamente, sus intuiciones y conclusiones, así como también
detectar aquellas informaciones erróneas.
 Modelar: con el desarrollo de esta habilidad se pretende que los estudiantes construyan una
versión simplificada y abstracta de un sistema, usualmente más complejo, pero que capture
los patrones claves y los exprese mediante lenguaje matemático.
 Representar: esta habilidad tiene por objetivo que los estudiantes aprendan a utilizar una
amplia variedad de tipos de registros que le permitan representar distintos tipos de datos de
acuerdo a las necesidades que presente cada situación problemática.
Las habilidades descritas, que mantienen un fuerte paralelismo con los estándares de procesos
de la NCTM, juegan un rol fundamental tanto en la adquisición de nuevas destrezas y conceptos, como
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en la aplicación de conocimientos para la resolución de problemas en diversas áreas. Por otro lado, el
desarrollo de estas habilidades permitirá obtener desempeños medibles y observables de los
aprendizajes de los estudiantes, en los cinco ejes temáticos definidos para la asignatura de
matemáticas.
Para el eje de datos y probabilidades el Ministerio de Educación se ha planteado el objetivo de
que todos los estudiantes registren, clasifiquen y lean información dispuesta en tablas y gráficos, y que
se inicien a temprana edad y de manera continua a lo largo del currículo escolar en temas relacionados
con las probabilidades. Lo cual, de acuerdo a lo planteado por Vásquez y Alsina (2013), permitirá
desarrollar en los estudiantes, de manera paulatina a lo largo de toda su etapa escolar, un pensamiento
estadístico y probabilístico necesarios para el ciudadano actual, pues éste se ve diariamente enfrentado
a situaciones de incertidumbre ante las cuales es necesario que cuente con una actitud crítica que le
permita identificar informaciones erróneas que muchas veces aparecen en los distintos medios de
comunicación. Siendo esta una de las principales razones de la reciente incorporación de la
probabilidad a muy temprana edad en los currículos de diversos países.
Chile no se ha quedado ajeno a esta tendencia, planteándose los siguientes objetivos de
aprendizaje e indicadores de evaluación en los distintos niveles educativos relacionados con el tema
probabilidad:
Nivel
Objetivo de Aprendizaje
Indicadores de Evaluación Sugeridos
Recolectan datos acerca de situaciones sobre sí mismo y
del entorno.
1º básico
Formulan preguntas sobre sí mismo y los demás que
pueden ser respondidas a partir de recolección de
Recolectar y registrar datos para
información.
responder preguntas estadísticas sobre sí
mismo y el entorno, usando bloques, Registran datos, usando bloques y tablas de conteo.
tablas de conteo y pictogramas.
Recolectan y organizan datos, usando material concreto,
registros informales y tablas de conteo.
Responden
recolectada.
preguntas,
utilizando
la
información
Recolectan datos acerca de lanzamientos de dados y
monedas.
2º básico
Registran datos en una tabla de conteo acerca de datos de
Recolectar y registrar datos para
lanzamientos de monedas y dados.
responder preguntas estadísticas sobre
juegos con monedas y dados, usando Registran datos acerca de lanzamientos de dados y
bloques y tablas de conteo y monedas, usando cubos apilables.
pictogramas.
Responden preguntas en el contexto de juegos con
Registrar en tablas y gráficos de barra monedas, usando registros expresados en cubos apilables.
simple, resultados de juegos aleatorios
Registran resultados de juegos aleatorios con dados y
con dados y monedas.
monedas en tablas.
Registran resultados de juegos aleatorios con dados y
monedas en gráficos de barra simple.
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Enseñanza de la Probabilidad en Educación Primaria. Un Desafío para la Formación Inicial y
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3º básico
Registrar y ordenar datos obtenidos de
Realizan juegos aleatorios con dados de diferentes formas
juegos aleatorios con dados y monedas,
(cubos, tetraedros u otros) y monedas, registrando los
encontrando el menor, el mayor y
resultados en tablas de conteo y diagramas de punto.
estimando el punto medio entre ambos.
Realizan experimentos con dados cúbicos o de otra forma
regular como tetraedro, dodecaedro, etc.
Extraen naipes al azar con y sin devolución.
4º básico
Pesan piedritas de un saco de gravilla y determinan la
Realizar experimentos aleatorios lúdicos frecuencia absoluta de las masas de 5 g, 10 g, etc.
y cotidianos, y tabular y representar Reconocen que los resultados de experimentos lúdicos no
mediante gráficos de manera manual y/o son predecibles.
con software educativo.
Realizan repeticiones de un mismo experimento,
determinan la frecuencia absoluta y la representan en un
gráfico.
Usan software educativo para simular experimentos
aleatorios.
Describen eventos posibles en el resultado de un juego de
azar; por ejemplo: al lanzar un dado, indican los resultados
posibles incluidos en el evento: “que salga un número par”.
5º básico
Se refieren a la posibilidad de ocurrencia de un evento,
mediante expresiones simples como seguro, posible, poco
Describir la posibilidad de ocurrencia de posible o imposible.
un evento en base a un experimento
Dan ejemplos de eventos cuya posibilidad de ocurrencia es
aleatorio, empleando los términos seguro
segura, posible, poco posible o imposible.
- posible - poco posible - imposible.
Dan ejemplos de eventos cuya probabilidad de ocurrencia
Comparar probabilidades de distintos
es mayor que la de otros eventos, sin calcularla.
eventos sin calcularlas.
Juegan a lanzar dados o monedas y, frente a eventos
relacionados con estos lanzamientos, dicen, sin calcular,
cuál es más probable que ocurra.
Hacen apuestas entre alumnos y dicen, sin calcular, quién
tiene más probabilidad de ganar.
6º básico
Enumeran resultados posibles de lanzamientos de monedas
o dados con ayuda de un diagrama de árbol. Por ejemplo,
Conjeturar acerca de la tendencia de
al lanzar tres veces una moneda, o una vez dos dados.
resultados obtenidos en repeticiones de
un mismo experimento con dados, Realizan de manera repetitiva experimentos con monedas
monedas u otros, de manera manual y/o para conjeturar acerca de las tendencias de los resultados.
usando software educativo.
Conjeturan acerca de porcentajes de ocurrencia de eventos
relativos a lanzamientos de monedas o dados.
Tabla 2. Contenidos en relación al tema probabilidad desde 1º a 6º año básico (Mineduc, 2012)
Como puede apreciarse en la tabla anterior, el currículo nacional ha incluido el estudio de la
probabilidad en el currículo de matemática en todos los niveles escolares, iniciando con actividades
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muy sencillas que buscan que el estudiante se enfrente desde pequeño a situaciones donde el azar esta
presente y que permitan que sus intuiciones sobre el azar afloren. Para ello se propone la realización
de juegos aleatorios, por ejemplo: con monedas y dados, en los que primeramente se solicita registrar
los resultados por medio de la utilización de tablas y gráficos, para luego responder distintos tipos de
preguntas que lleven a realizar predicciones sobre: el comportamiento de los resultados de dichos
experimentos aleatorios y las posibilidades de ocurrencia de determinados fenómenos, y así introducir
de forma progresiva la noción de probabilidad. De este modo, a partir de los objetivos de aprendizaje y
de los indicadores de evaluación propuestos en las actuales bases curriculares, es posible distinguir
tres etapas orientadoras del proceso de enseñanza y aprendizaje de la probabilidad para la educación
básica:
 Plantear distintos tipos de situaciones y de preguntas, en un contexto familiar y de interés
para los estudiantes, que les permita distinguir entre aquellos datos que son pertinentes para
responder a tales preguntas.
 Organización y análisis de los datos por medio del uso de distintos tipos de registros que
permitan la realización de inferencias y predicciones para dar respuesta a las situaciones y
preguntas planteadas.
 Adquisición de las nociones básicas vinculadas a la probabilidad e incertidumbre para su
posterior aplicación en situaciones de la vida diaria y del estudio de la probabilidad en mayor
profundidad en la educación media.
En este enfoque para iniciar a los estudiantes en el desarrollo de la noción de probabilidad, si
bien no hay una correspondencia directa, se ve la influencia de las directrices presentadas en los
Principles and Standard for School Mathematics para trabajar los contenidos de probabilidad (NCTM,
2000), aunque con una menor profundidad y amplitud en los contenidos, puesto que solo se aborda la
probabilidad desde un punto de vista intuitivo y más bien ligados a una visión frecuentista de ésta.
Ahora bien, si nos centramos en el énfasis que se otorga al estudio de la probabilidad en las
orientaciones curriculares antes descritas, se puede apreciar que en todas ellas se comienza trabajando
a partir del planteamiento de situaciones cotidianas de las que emergen o están presentes los conceptos
posible, seguro, imposible, etc. que permiten dar cabida al concepto de probabilidad. Así mismo se da
gran importancia a la utilización de material concreto como fichas, dados entre otros, los que son
vinculados a los juegos de azar y de este modo a la noción de experimento aleatorio, reforzando de
esta forma la noción de probabilidad, vinculándole directamente con la asignación de probabilidades
desde una perspectiva cuantitativa, para luego pasar a una visión frecuentista de la probabilidad por
medio del uso de frecuencias relativas obtenidas de los distintos experimentos aleatorios realizados, ya
sea de forma manual o mediante a utilización de algún software.
2.3. La probabilidad en el currículo español para la educación primaria
La Educación Primaria en España tiene carácter obligatorio y gratuito, con una duración de seis
cursos académicos, de los 6 a los 12 años de edad. El currículo español se organiza en tres ciclos de
dos años cada uno, y en cuatro bloques de contenidos para cada ciclo: Números y operaciones;
Medida; Geometría; Tratamiento de la información, azar y probabilidad (MEC, 2007). El bloque 4,
como su nombre indica, se organiza en base a dos aspectos: a) tratamiento de la información (gráficos
estadísticos en el primer ciclo; gráficos y tablas en el segundo ciclo; y gráficos y parámetros
estadísticos en el tercer ciclo); y b) azar y probabilidad (carácter aleatorio de algunas experiencias en
el primer y segundo ciclo, e introducción al lenguaje del azar en el segundo ciclo, mientras que en el
tercer ciclo no se hace ninguna referencia explícita a los contenidos de azar y probabilidad).
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Como se indica en las orientaciones curriculares vigentes, en el currículo español los contenidos
del bloque 4 en general, y los que se refieren a azar y probabilidad en particular, adquieren su pleno
significado cuando se presentan en conexión con actividades que implican a otras áreas de
conocimiento. Igualmente el trabajo ha de incidir de forma significativa en la comprensión de las
informaciones de los medios de comunicación, para suscitar el interés por los temas y ayudar a valorar
el beneficio que los conocimientos estadísticos proporcionan ante la toma de decisiones, normalmente
sobre cuestiones que estudian otras áreas. Tienen especial importancia en el bloque los contenidos
actitudinales, que favorecen la presentación de los datos de forma ordenada y gráfica, y permiten
descubrir que las matemáticas facilitan la resolución de problemas de la vida diaria. A su vez, los
contenidos de este bloque deben iniciar en el uso crítico de la información recibida por diferentes
medios. En la Tabla 3 se exponen los contenidos que hacen referencia explícita a aspectos de
probabilidad en Educación Primaria, y que se han obtenido a partir del análisis de la ORDEN
ECI/2211/2007, del 12 de julio, por la que se establece el currículo y regula la ordenación de la
Educación Primaria (MEC, 2007):
Ciclo
Primer ciclo
Segundo ciclo
Tercer ciclo
Contenidos
Carácter aleatorio de algunas experiencias:
- Distinción entre lo imposible, lo seguro y aquello que es posible pero no seguro, y
utilización en el lenguaje habitual, de expresiones relacionadas con la probabilidad.
- Participación y colaboración activa en el trabajo en equipo y el aprendizaje
organizado a partir de la investigación sobre situaciones reales. Respeto por el trabajo
de los demás.
Carácter aleatorio de algunas experiencias:
- Valoración de los resultados de experiencias en las que interviene el azar, para
apreciar que hay sucesos más o menos probables y la imposibilidad de predecir un
resultado concreto.
Introducción al lenguaje del azar:
- Constatación del carácter aleatorio de algunas experiencias.
- Confianza en las propias posibilidades, y curiosidad, interés y constancia en la
interpretación de datos presentados de forma gráfica
Carácter aleatorio de algunas experiencias:
- Presencia del azar en la vida cotidiana. Estimación y expresión del grado de
probabilidad de un suceso.
- Utilización del lenguaje adecuado para describir experiencias relacionadas con el
azar.
- Valoración de la necesidad de reflexión, razonamiento y perseverancia para superar
las dificultades implícitas en la resolución de problemas.
- Confianza en las propias posibilidades e interés por utilizar las herramientas
tecnológicas en la comprensión de los contenidos funcionales.
Tabla 3. Contenidos en relación al tema de azar y probabilidad en Educación Primaria (MEC, 2007)
Como puede apreciarse en las Tablas 2 y 3, en ambos países las directrices curriculares incluyen
los temas de probabilidad a partir de los primeros niveles de la enseñanza primaria. La estructura de
los contenidos es gradual y, en términos generales, en ambos países hacen alusión a la utilización de
nociones de azar y probabilidad, realización de experimentos aleatorios y el cálculo de la probabilidad
de un suceso. Además, se sugiere la incorporación del uso de herramientas tecnológicas como apoyo
para fomentar la comprensión de los contenidos propuestos.
De forma más pormenorizada, al revisar los contenidos de probabilidad de ambos países se
observa, de acuerdo con Morales y Ruíz (2013), que en los dos primeros años de educación primaria
del currículo chileno se fomenta el estudio de datos, tablas y gráficos, presentando los experimentos
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aleatorios como una fuente para obtener información. En cambio, en el primer ciclo del currículo
español se comienza a introducir el lenguaje que se utiliza para describir conceptos probabilísticos
como: imposible, seguro y aquello que es posible pero no seguro. Tanto en los niveles de tercero y
cuarto de educación básica en Chile como en el segundo ciclo del currículo español se incluye la
realización de experimentos aleatorios, y en el caso español se enfatiza de nuevo el uso de los términos
relacionados con el azar y la probabilidad, que en el currículo chileno se introducen en 5º básico. En
los dos últimos años de la enseñanza primaria chilena, además de incidir en la descripción de la
ocurrencia de un evento usando el lenguaje apropiado, se hace alusión también a la comparación de
probabilidades de un mismo evento sin calcularlas y a la realización de conjeturas acerca de la
tendencia de resultados obtenidos a partir de la repetición de un mismo experimento, mientras que en
el currículo español no se alusión explícita a las conjeturas para, por ejemplo, llegar a deducir la ley de
los promedios, pero sí que se incide en el uso de software educativo para favorecer la comprensión de
este tipo de contenidos. Por otro lado, en el currículo español se menciona, como en el chileno, al uso
de lenguaje adecuado para describir experiencias relacionadas con el azar, y se subraya la importancia
de relacionar estos aspectos con la vida cotidiana.
Bajo este enfoque y atendiendo tanto a las orientaciones nacionales e internacionales, según
Alsina (2013) es importante tener en cuenta a la hora de iniciar el proceso de enseñanza-aprendizaje de
la probabilidad algunas ideas claves como la importancia de centrarse, primeramente, en el desarrollo
informal de la probabilidad a partir de la intuición y del planteamiento de actividades a partir de lo
cotidiano, de un contexto cercano para los estudiantes, para así, posteriormente (Batanero y Godino,
2004):
 Proporcionar una amplia variedad de experiencias que permitan observar los fenómenos
aleatorios y diferenciarlos de los deterministas.
 Estimular la expresión de predicciones sobre el comportamiento de estos fenómenos y los
resultados, así como su probabilidad.
 Organizar la recogida de datos de experimentación de forma que los alumnos tengan
posibilidad de contrastar sus predicciones con los resultados producidos y revisar sus
creencias en función de los resultados.
 Resaltar el carácter imprevisible de cada resultado aislado, así como la variabilidad de las
pequeñas muestras, mediante la comparación de resultados de cada niño o por parejas.
 Ayudar a apreciar el fenómeno de la convergencia mediante la acumulación de resultados de
toda la clase y comparar la fiabilidad de pequeñas y grandes muestras.
Y de este modo alcanzar los objetivos de aprendizaje planteados. No obstante, es importante
destacar que dado lo reciente de la incorporación de la probabilidad en el currículo de primaria, son
muchos los profesores que no han tenido la posibilidad de adquirir los conocimientos disciplinares y
didácticos, ya sea durante el ejercicio de la docencia o por medio de cursos de educación continua, que
les permitan desarrollar de manera efectiva las ideas claves antes expuestas. Razón por la cual es
necesario contar con directrices claras, que permitan orientar tanto los procesos de formación inicial
como continua del profesorado, que les lleven a transformar su práctica docente. Desde esta
perspectiva es de gran importancia el contar con antecedentes en relación al conocimiento matemático
y didáctico de los profesores para la enseñanza de la probabilidad en la educación primaria.
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3. La probabilidad y la formación del profesorado
Actualmente las investigaciones sobre el conocimiento matemático y didáctico de los profesores
en probabilidad y su enseñanza son escasas, sobre todo en lo que se refiere a profesores de primaria en
ejercicio, pues la mayoría se centra en profesores en formación y sobre todo en profesores de
secundaria. Sin embargo, es posible distinguir claramente dos líneas de estudio dentro de este campo:
las relacionadas con las actitudes y creencias de los profesores frente a la probabilidad y su enseñanza,
y las vinculadas con el conocimiento disciplinar y didáctico. Es en esta última en la cual nuestro
estudio busca profundizar, puesto que de acuerdo a investigaciones recientes se ha podido evidenciar
que los profesores en formación presentan concepciones erróneas y dificultades en relación a la
probabilidad y conceptos vinculados a ella (Ortiz, Mohamed, Batanero, Serrano y Rodríguez, 2006;
Ortiz, Serrano y Mohamed, 2009) mientras que un grupo importante evita su enseñanza debido a que
lo consideran un contenido de menor importancia que podría representar dificultades para los alumnos,
o bien por falta de información y preparación (Serradó, Azcárate y Cardeñoso, 2006). Esto se debería
a que los programas de formación inicial, en gran parte, no incluyen dentro de sus mallas curriculares
asignaturas relacionadas con la probabilidad y su enseñanza, ya que éstas hasta hace un par de años
formaban parte, casi únicamente, de la formación secundaria y no de la educación primaria como hoy
ocurre (Batanero, Godino y Roa, 2004; Franklin y Mewborn, 2006).
Una de las primeras investigaciones sobre el conocimiento probabilístico de los profesores de
educación primaria en formación, realizada por Azcárate (1995), evidenció una baja comprensión de
la noción de aleatoriedad y por ende en la comprensión del conocimiento probabilístico por parte de
futuros profesores, pues su razonamiento en relación a la noción de probabilidad se encontraba
elaborado más bien a partir de experiencias vinculadas a lo cotidiano que en un conocimiento formal.
Situación que se ve reforzada por Begg y Edwards (1999) quienes al solicitar a un grupo de profesores
de primaria dar respuesta a tres situaciones relacionadas con ideas básicas de aleatoriedad, sucesos
equiprobables e independencia, detectaron una débil comprensión de la probabilidad y de las nociones
que subyacen a ella. Con ello no se quiere decir que sea necesario que los profesores cuenten con
conocimientos matemáticos acabados de la probabilidad, como teoría de la medida, pero si se requiere
que tengan un conocimiento profundo y acabado del contenido a enseñar y de cómo enseñarlo, en
nuestro caso un conocimiento y una comprensión profunda de la probabilidad y de ciertos aspectos
básicos vinculados a ella, entendiendo por comprensión profunda “los conocimientos que debería
poseer un profesor para ejercer en plenitud su tarea de enseñar matemáticas” (Ma, 1999, p. 13). Lo
anterior, concuerda con las ideas de Ball, Lubienski y Mewborn (2001) quienes introducen el modelo
“Mathematical knowledge for Teaching (MKT)”, que se define como el conocimiento matemático que
utiliza el profesor en el aula para producir instrucción y crecimiento en el alumno (Hill, Ball y
Schilling, 2008). Desde este marco, proponen un modelo del conocimiento matemático para la
enseñanza en el que se describe el conocimiento matemático necesario para la enseñanza de la
matemática escolar, estableciendo, además, la existencia de una correlación positiva entre el
conocimiento matemático para la enseñanza y el logro de aprendizaje matemático en los alumnos.
Posteriormente Schoenfeld y Kilpatrick (2008) desarrollan la noción de proficiencia en la
enseñanza de las matemáticas, que se concibe como la competencia profesional del profesor de
matemáticas para ejercer una enseñanza de calidad. Para estos autores, la proficiencia se alcanza a
través de la integración de las siguientes dimensiones: a) conocer las matemáticas escolares con
profundidad y amplitud; b) conocer a los estudiantes como personas que piensan; c) conocer a los
estudiantes como personas que aprenden; d) diseñar y gestionar entornos de aprendizaje; e) desarrollar
las normas de la clase y apoyar el discurso de la clase como parte de la “enseñanza para la
comprensión”; y f) construir relaciones que apoyen el aprendizaje; g) reflexionar sobre la propia
práctica.
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A partir del modelo MKT y la noción de proficiencia, Godino, Batanero, Roa y Wilhelmi
(2008) elaboran un modelo integrador para el conocimiento didáctico-matemático del profesor de
matemáticas que incorpora, además, los elementos teóricos de Enfoque Ontosemiotico del
Conocimiento y la Instrucción Matemática (Godino, 2002; Godino, Batanero y Font, 2007). Este
modelo se concibe como “la trama de relaciones que se establecen entre los objetos que se ponen en
juego en las prácticas operativas y discursivas realizadas con el fin de resolver un determinado campo
de situaciones-problemas matemáticos para implementar procesos de instrucción eficaces (idóneos)
que faciliten el aprendizaje de los estudiantes” (Pino-Fan, Godino, Font, 2011, p. 144). Dicha trama de
relaciones que da origen al conocimiento didáctico-matemático del profesor, nace de la unión entre el
conocimiento del contenido y el conocimiento pedagógico del contenido, puesto que cada uno de estos
conocimientos, por sí solos, no consideran la totalidad de componentes y facetas que un profesor debe
conocer a la hora de enseñar un determinado contenido. De ahí la necesidad de contar con un modelo
integrador que contemple las facetas: epistemológica, cognitiva, afectiva, interaccional, mediacional y
ecológica, que se relacionan directamente con la noción de idoneidad didáctica y sus componentes.
Godino (2009) profundiza en dicho modelo y refina algunas de las nociones anteriormente
consideradas, planteándose un sistema de categorías de análisis de los conocimientos matemáticos y
didácticos del profesor que se encuentra compuesto por un conjunto de facetas y niveles para el
análisis didáctico, que interactúan entre sí (figura 2), donde cada uno de los elementos presentes puede
ser considerado como categorías o componentes del conocimiento matemático y didáctico de los
profesores.
Figura 2: Facetas y niveles del conocimiento del profesor (Godino, 2009, p. 21)
Como se muestra en la Figura 2, el conocimiento didáctico-matemático del profesor se
encuentra constituido por las siguientes categorías de conocimientos fundamentales necesarios para
que un profesor lleve a cabo el proceso de enseñanza y aprendizaje:
 Conocimiento del contenido: común, especializado y ampliado: se fundamenta en la faceta
epistémica del conocimiento del profesor, a través del cual se espera indagar en los
conocimientos matemáticos correspondientes al contexto institucional en el que se lleva a
cabo el proceso de enseñanza y aprendizaje. Para ello se elaboran consignas orientadas a
identificar, clasificar y evaluar aspectos específicos del conocimiento que se pone en juego
para resolver tareas o problemas matemáticos (conocimiento común); del conocimiento
especializado del contenido el cual considera las distintas formas de representar (lenguajes)
ideas y problemas matemáticos, así como los distintos procedimientos, definiciones,
propiedades y argumentos que permiten alcanzar su solución; y por último el conocimiento
ampliado del contenido que pretende evidenciar la relación entre el contenido a enseñar con
ideas matemáticas más avanzadas.
 Conocimiento del contenido en relación a los estudiantes: se fundamenta en la faceta
cognitiva y afectiva del conocimiento del profesor, por lo que incluye conocimientos
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relativos a conocimientos personales de los alumnos, errores, dificultades y conflictos
presentes en sus aprendizajes y su progresión, además de las actitudes, emociones, creencias
y valores vinculados al proceso de estudio y a los objetos matemáticos vinculados a las
probabilidades en la educación básica.
 Conocimiento del contenido en relación a la enseñanza: se fundamenta en las facetas
interaccional y mediacional del conocimiento del profesor, por lo que involucra
conocimientos relativos a los patrones de interacción entre el profesor y sus alumnos, su
secuenciación orientada a la fijación y negociación de significados, además de aspectos
vinculados a los conocimientos del profesor en relación a los recursos tecnológicos y la
asignación del tiempo a las distintas acciones y procesos.
 Conocimiento del currículo y conexiones intra e interdisciplinares: tiene sus fundamentos en
la faceta ecológica del conocimiento del profesor, pues considera aspectos del currículo,
entorno social, político, económico, etc. que condicionan el proceso de enseñanza y
aprendizaje.
Desde esta perspectiva, la enseñanza de la probabilidad en la educación primaria representa un
verdadero desafío sobre todo para los profesores en ejercicio, puesto que como las mismas
investigaciones lo han dilucidado, éstos no cuentan con una formación adecuada al respecto, es decir,
en muchos casos, éstos no cuentan con los conocimientos fundamentales necesarios para que un
profesor lleve a cabo el proceso de enseñanza y aprendizaje, lo que les lleva a presentar concepciones
erróneas y una ausencia de herramientas matemáticas y didácticas necesarias para alcanzar los
objetivos de aprendizaje planteados para la educación primaria.
Dicha situación representa no solo un reto para el profesorado chileno y español sino para
muchos otros países, puesto que como ya se ha expuesto gran parte de los profesores de educación
primaria no ha recibido una formación para la enseñanza de la probabilidad, y si la ha recibido ha sido
desde una perspectiva teórica y no didáctica, lo que plantea la necesidad de contar con programas de
formación inicial y continua que permitan que los profesores adquieran las herramientas tanto
disciplinares como didácticas para responder a las nuevas exigencias de la enseñanza de la
probabilidad en la educación primaria.
Lo cual, desde la perspectiva del modelo de categorías del conocimiento didáctico-matemático
del conocimiento del profesor (Godino, 2009) debe orientarse al desarrollo de una comprensión en
profundidad de los contenidos de probabilidad del currículo escolar, es decir, en el desarrollo de la
capacidad de resolver problemas de probabilidad que requieran del dominio de conceptos básicos
(conocimiento del contenido), como por ejemplo la resolución de problemas de asignación de
probabilidades (Figura 3):
Figura 3: Ejemplo conocimiento del contenido (Mineduc 2012b, p. 162)
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Por medio de situaciones problemáticas como la anterior, es posible desarrollar aspectos
específicos del conocimiento del contenido que los profesores deben poner en juego a la hora de dar
solución a un determinado problema, permitiéndoles además analizar y describir fenómenos aleatorios
distintos que lleven a cuantificar la probabilidad de ocurrencia de eventos, considerando sus distintas
formas de representación, procedimientos, propiedades y argumentos. Asimismo, dicha formación
debe encaminarse al desarrollo de la faceta cognitiva y afectiva del conocimiento del profesor
(conocimiento del contenido en relación a los estudiantes) considerando el estudio de situaciones en
las cuales se den a conocer algunos de las dificultades y errores comunes durante el aprendizaje de la
probabilidad (Figura 4):
Figura 4: Ejemplo conocimiento del contenido en relación a los estudiantes (Mineduc 2012b, p. 165)
En situaciones como la anterior es importante que el profesor reconozca el potencial de este tipo
de dificultades ante la independencia de sucesos, de modo de considerar y valorar el sentido común
para el estudio de la probabilidad.
Otro aspecto que no se debe dejar de lado en la formación del profesorado para la enseñanza de
la probabilidad, son los aspectos vinculados al conocimiento del contenido en relación a la enseñanza,
es decir, el conocimiento que el profesor debe tener sobre las relaciones que se dan entre la enseñanza
y el aprendizaje, así como de su capacidad para identificar los efectos que pueden tener los modos de
gestionar la clase (tiempo, materiales, trayectoria didáctica) sobre el aprendizaje de sus alumnos. Tal
tipo de conocimiento es posible de desarrollar por medio del enfrentamiento a situaciones en las que,
por ejemplo, debe seleccionar recursos pertinentes para apoyar el proceso de enseñanza del azar
(Figura 5):
Figura 5: Ejemplo conocimiento del contenido en relación a la enseñanza (Mineduc 2012b, p. 165)
Y por último, y no por eso menos importante, el desarrollo de la faceta ecológica del
conocimiento del profesor, es decir, del conocimiento del currículo y conexiones intra e
interdisciplinares, entendido como las actividades y tareas que se proponen para lograr los objetivos
planteados (Figura 6), para ello es fundamental que conozca el currículo en nuestro caso en el tema de
probabilidad, sus objetivos y contenidos.
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Figura 6: Ejemplo conocimiento del currículo y conexiones intra e interdisciplinares (Mineduc 2012b, p. 166)
Como es posible apreciar, los ejemplos antes expuestos abordan por medio de la resolución de
tareas y situaciones sencillas algunos de los aspectos relacionados con el proceso de enseñanza y
aprendizaje de la probabilidad, que llevarían a desarrollar las competencias profesionales de los
profesores de primaria, es decir, el nivel de su conocimiento en relación a cada una de las categorías
de conocimientos que conforman el conocimiento didáctico-matemático del profesor de matemáticas.
4. Reflexiones finales
En este trabajo hemos presentado un análisis de referentes curriculares internacionales y
nacionales en relación a la enseñanza y aprendizaje de la probabilidad, permitiéndonos evidenciar la
tendencia de introducir tempranamente el estudio de la probabilidad, lo cual significa un enorme
desafío a todo el sistema educacional, y sobre todo a las instituciones formadoras de profesores. Es por
esta razón, que hemos presentado algunos modelos que buscan categorizar el conocimiento del
profesor de matemática, como elemento central para el formador de profesores a la hora de conducir el
proceso de enseñanza y aprendizaje de la probabilidad en el profesorado. Es por ello que se ha
finalizado con un conjunto de situaciones problemas que buscan ejemplificar, y de este modo otorgar
algunas directrices para la formación del profesorado en relación al tipo de conocimientos a desarrollar
en torno a la probabilidad y su enseñanza.
Desde este marco, consideramos que es necesaria una adecuación o reestructuración de los
actuales programas de formación inicial y continua del profesorado de primaria que contemple la
mejora de aspectos disciplinares como didácticos pues, en su mayoría, los profesores de primaria
cuando se ven enfrentados a la enseñanza de la probabilidad, se limitan a enseñar un conjunto de
técnicas y formulas sin mayores interpretaciones que no facilitan la comprensión de la probabilidad y
de sus conceptos asociados por parte de los estudiantes, mostrando de este modo una debilidad en la
comprensión de los contenidos a enseñar y del conocimiento necesario para llevar a cabo el proceso de
enseñanza y aprendizaje. Razón por la cual, es preciso que dentro de los programas de formación
inicial y continua del profesorado se consideren cursos orientados a entregar el conocimiento
matemático y didáctico, que permita a los profesores comprender los conocimientos matemáticos que
deberán poner en juego a la hora de enseñar probabilidad, además de desarrollar las competencias
profesionales necesarias para anticiparse a los posibles errores y dificultades que pueden presentar los
estudiantes en su proceso de aprendizaje, y la forma de superar tales dificultades.
Para ello, en futuros estudios va a ser necesario seguir indagando para poder ofrecer una
formación que logre desarrollar una comprensión adecuada de la probabilidad, de los conceptos que
subyacen a ella y de las distintas estrategias para promover su enseñanza, por medio de la resolución
de problemas, la experimentación y simulación de fenómenos aleatorios; enfoque que finalmente
cambiará la mirada y los conocimientos del profesor en relación a la probabilidad y su enseñanza. Por
otro lado, es importante que los profesores cuenten con una formación que los lleve a tener una actitud
reflexiva y crítica sobre los conceptos que deben enseñar, sus estrategias de enseñanza y de la manera
en cómo aprenden sus estudiantes, para empoderar que progresivamente consideren la probabilidad
como una herramienta para el análisis de información, modelamiento y resolución de problemas
provenientes de distintos ámbitos.
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22
Vol. 85
marzo de 2014
NÚM E R OS
Enseñanza de la Probabilidad en Educación Primaria. Un Desafío para la Formación Inicial y
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Combinatoria (pp. 165-172). Granada, Departamento de Didáctica de la Matemática de la
Universidad de Granada.
Claudia Vásquez Ortiz. Profesora de Matemática y Didáctica de la Matemática de la Pontificia
Universidad Católica de Chile. Estudiante de Doctorado en Ciencias de la Educación de la Universidad de
Girona (España). Sus líneas de investigación son la didáctica de la matemática y la formación del
profesorado de primaria. [email protected]
Ángel Alsina es profesor de Didáctica de las Matemáticas en la Universidad de Girona (España). Sus
líneas de investigación están centradas en la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas en las
primeras edades y en la formación del profesorado de matemáticas. Ha publicado numerosos artículos
científicos y libros sobre cuestiones de educación matemática, y ha llevado a cabo múltiples actividades
de formación permanente del profesorado de matemáticas en España y en América Latina.
[email protected]
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 85
marzo de 2014
23
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 25-39
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de
Ciencias a través de la literatura infantil en Educación Infantil y Primaria
Raquel Fernández Cézar
Christine Harris
Constancio Aguirre Pérez
(Universidad de Castilla La Mancha. España)
Fecha de recepción: 9 de julio de 2013
Fecha de aceptación: 31 de octubre de 2013
Resumen
Este trabajo aportar herramientas para los maestros con las que trabajar en el aula de
manera interdisciplinar las competencias matemática y la de conocimiento del medio
mediante libros de literatura infantil. La naturaleza del trabajo es exploratoria y la
metodología de análisis documental consistiendo en la realización de la búsqueda de los
libros en lengua castellana e inglesa, y su estudio tomando como referencia de contenidos
curriculares incluidos en el currículo oficial de Educación Infantil y Primaria en Castilla
la Mancha. Se centra en las primeras etapas de la educación en España, es decir, a edades
entre 3 y 7 años. Se incluyen como resultados los libros catalogados según el ciclo para el
que son más adecuados, los contenidos que en ellos aparecen, reflexiones de los autores
sobre los mismos, y propuestas para los docentes de estas etapas de la educación.
Palabras clave
Educación Infantil, Educación Primaria, libro infantil, inglés, matemáticas y ciencias.
Abstract
This report is intended to propose ways that make possible competence acquisition
through cross-curricular learning, particularly starting from books for children to acquire
English language, mathematics and science competence. The research is exploratory and
the methodology used is empirical, searching for the books and analyzing them
respecting the reference: the Castile La Mancha curriculum for Infant and Primary
Education. The focus is on first stages of education in Spain, corresponding to ages from
3 to 7 years, and in children books in English and Spanish. As a result, tables including
classification of the books in terms of curriculum criteria, authors’ comments on them,
and proposals for their use in the classroom are obtained.
Keywords
Infant education, Primary education, children book, mathematics and sciences.
1. Introducción
La orientación presente de la enseñanza, tanto en el Espacio Europeo de Educación Superior
(EEES) como en niveles inferiores de la educación, se plantea en función de la adquisición de
competencias.
Existen distintas definiciones de competencias con distintos matices, aunque en su mayoría se
relacionan con lo que el estudiante va a saber, comprender y ser capaz de llevar a la práctica. Por
ejemplo, a nivel europeo, en el Marco de Cualificaciones para el EEES, se plantean los resultados de
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Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
aprendizaje y entre ellos se incluyen las competencias. Estos consisten en declaraciones de lo que una
persona debe conocer, entender y/o ser capaz de hacer al final de un período de aprendizaje. En otros
entornos fuera de Europa, como a los que se refiere el proyecto Tuning (González y Waagenar, 2003,
2006) que trabaja en el entorno iberoamericano, se describen como una combinación dinámica de
conocimientos, comprensión, habilidades y capacidades. La mejora de estas competencias es el objeto
de los programas educativos. Las competencias cobran forma en varias unidades de curso y son
evaluadas en diferentes etapas.
La educación primaria, primer tramo de la educación obligatoria en España, tiene como
propósito que los estudiantes alcancen las “competencias básicas” que le permitan ser un ciudadano
con recursos intelectuales suficientes para desenvolverse en su vida académica y cotidiana en la edad
adulta. La legislación que en Castilla-La Mancha rige la Educación Primaria, el decreto 68/2007 de 1
de junio, recoge un grupo de competencias básicas entre las que se encuentra la “competencia de
comunicación lingüística” en primer lugar, la “competencia matemática”, en segundo, y la
“competencia del conocimiento y la interacción con el mundo físico”, en tercero. Estas competencias
se deben adquirir mediante las asignaturas que se imparten en el currículo. Entre esas asignaturas, las
matemáticas han sido tradicionalmente una de las más complicadas para educadores, padres y
estudiantes. Es considerada una asignatura de tipo instrumental y fundamental en la Educación
Primaria en España y en todos los sistemas educativos de su entorno, como la lengua del país o región.
También el conocimiento del medio es importante en el desarrollo intelectual de los estudiantes: junto
con las matemáticas, el conocimiento del medio ofrece al alumno estrategias de razonamiento para que
pueda “aprender a pensar” y “aprender a aprender”. En este grupo de nueve competencias está también
la competencia “afectiva” que, sin ser una competencia de contenido, permite preparar perfectamente
la vía de comunicación entre maestro y alumno y favorece el proceso de enseñanza aprendizaje tanto
en matemáticas (Gómez-Chacón, 2000) como en el resto de materias.
La vía para adquirir estas competencias aparece desglosada en objetivos, contenidos, y criterios
de evaluación. La adquisición de la competencia matemática supone dotar al alumno de los
conocimientos y destrezas necesarios para comprender, utilizar, aplicar y comunicar conceptos y
procedimientos matemáticos; que puedan, a través de la exploración, abstracción, clasificación,
medición y estimación, llegar a resultados que le permitan comunicarse y hacer interpretaciones y
representaciones de la realidad. Es decir, descubrir que las matemáticas están relacionadas con la vida
y con las situaciones que lo rodean, más allá de la escuela. Por otro lado, la adquisición de la
competencia del conocimiento y la interacción con el mundo físico se traduce, en definitiva, en que el
alumno sepa actuar de forma coherente en ámbitos de la salud, actividad productiva, consumo, y de
interpretar el mundo dedicando sus esfuerzos, dentro de sus posibilidades, a asegurar el uso
responsable de los recursos naturales, el cuidado del medio ambiente, el consumo racional y
responsable, y la protección de la salud individual y colectiva. Y desde luego que todo ello se lleva a
cabo empleando una lengua, vehículo de comunicación, lo que permite trabajar también la
competencia lingüística.
Teniendo en cuenta que el papel fundamental de la etapa de Educación Primaria en el sistema
educativo español consiste en desarrollar en el alumnado la habilidad de desenvolverse en situaciones
de su vida cercana en las que tenga que emplear los conocimientos adquiridos en la escuela, esta debe
conseguir en el alumno un aprendizaje a medio y largo plazo. Para que esto sea así, ese aprendizaje
debe llevarse a cabo de forma no compartimentada confiando en que los alumnos encuentren
conexiones entre las materias que estudian de manera separada en la escuela, sino de forma
interdisciplinar, que es como el ser humano aprende en la vida real. Varios autores tratan de
desarrollar marcos didácticos teóricos para este tipo de enseñanza, como Woods (2007) y más
recientemente Barnes (2011). Pero más allá de la teoría es la práctica de aula la que prueba que esa
forma de enseñar consigue mejores resultados en los discentes, tanto en niveles preuniversitarios
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NÚMEROS
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
(Ortiz-Hernández, 2006) como en los universitarios. De estos últimos los que son de nuestro interés
son los realizados con maestros en formación (Altava et al, 1999; Moore, 2007) que son los que
educarán a los ciudadanos del futuro. De ahí que sea importante que este tipo de investigaciones se
desarrollen en las facultades de educación y se den a conocer a nuestros alumnos (Yore y Treasagut,
2006) para contribuir a la mejora de las prácticas de aula de nuestros alumnos, futuros maestros.
Buscar la intersección entre matemáticas, ciencias y literatura para abordar la enseñanza de
aquellas a través de esta última no es una idea nueva. Algunos investigadores han trabajado en la
enseñanza de las matemáticas a través del cuento o la novela, como Marín (2007; 2013) con el
Proyecto Kovalevskaya. Estas investigaciones tratan de actuar sobre el dominio afectivo del estudiante
(Gil et al. 2005) y evitar las barreras que surgen cuando ellos perciben lo que estamos enseñando como
algo muy alejado de sus vidas. Esta no es solo una situación de enseñanza- aprendizaje que se dé en
las matemáticas, sino también en otras disciplinas, como ciencias y lenguas extranjeras. También se
sabe que, al menos en las matemáticas, como recoge el Informe Cockcroft (1985), la edad a la que se
hacen más evidentes esas reticencias está en torno a los 11 años. Y sobre esas edades han trabajado los
estudios a los que anteriormente nos referíamos.
Despertar el gusto por la ciencia es también un reto actualmente, dado el bajo índice de alumnos
que deciden cursar carreras científicas. Hay también estudios sobre en qué debería consistir la
enseñanza de las ciencias para que esta fuera efectiva y resultara atractiva a los alumnos (Duit y
Treagust, 2003; Levinson, 2006). El nivel en el que estas se imparten en la educación primaria no
incluye las subdivisiones entre las ciencias naturales y sociales, y de las primeras en física, química,
geología y biología. Es habitual encontrar para niveles de Educación Secundaria Obligatoria (ESO),
bachillerato o superiores, estudios de alguna de esas ciencias por separado, en combinación con la
literatura, por ejemplo el estudio de Palacios (2007) particularmente para la física y la literatura de
ciencia ficción. También hay algunos trabajos hechos sobre la química y la literatura, como el de Mata
(2006). En el nivel correspondiente a la educación primaria existen algunas propuestas de materiales
para el estudio de alguna de las áreas de las ciencias, como la astronomía, aunque no de nuestro país
(Kaser, 2001).
La lectura tiene una importancia primordial en el proceso de aprendizaje del alumno. Mediante
la comprensión de mensajes escritos en cualquier estilo podrá el alumno avanzar en su aprendizaje en
la escuela y fuera de ella. También sabemos, como docentes que somos, de la importancia de despertar
en el niño el gusto por la lectura y por los libros. Consideramos importante para los maestros la
elaboración de propuestas para trabajar despertando en el niño el gusto por la lectura, la competencia
matemática y de ciencias de manera conjunta. Utilizando como referencia un libro, más allá del libro
de texto, pretendemos que se despierte en ellos el gusto por aprender, ya sea porque le gustan los
libros, las matemáticas o las ciencias, y que aquello que le gusta sirva como punto de partida para
despertar su curiosidad hacia lo que no le gusta tanto. Pensamos que los libros de lectura son material
clave como medio para alcanzar el objetivo máximo de interdisciplinariedad en la enseñanza.
Nuestro trabajo pretende aportar ideas para que el docente acometa la tarea de enseñar en
edades tempranas las matemáticas y ciencias contextualizando el aprendizaje, que es como los
expertos dicen que se aprende a largo plazo (de Guzmán, 2007) mediante libros de literatura infantil.
Se pretende con ello aportar una forma de trabajar en el aula tendente a vencer las reticencias frente a
estos contenidos que se observan en investigaciones realizadas con alumnos de edades posteriores en
la educación primaria y/o secundaria obligatoria en nuestro país.
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Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
2. Metodología y objetivos
Este es un estudio de naturaleza exploratoria sobre colecciones y ejemplares de libros infantiles
en los que puedan encontrarse incluidos de manera explícita contenidos de conocimiento del medio y
matemáticas, y por lo tanto puedan ser empleados en el aula por los docentes. De esta forma podrán
sacar el máximo partido a los libros al abordarlos de manera interdisciplinar.
El trabajo se ha hecho analizando libros infantiles en lengua española, y, en menor medida, en
lengua inglesa, adecuada para su uso en la etapa de educación infantil y en el primer ciclo de
educación primaria, donde la enseñanza puede ser desarrollada mediante el cuento o relato corto como
composición literaria, o mediante una obra más larga, estableciendo capítulos. Es sabido que hay
algunas obras literarias de este tipo no solo en castellano, sino también en inglés. En ellas se plantean
situaciones con un lenguaje literario rico, entendible por el niño, que amplían su vocabulario y el
conocimiento de la lengua que usa como vehículo en la comunicación, que fomenta su creatividad y
en la que aparecen en alguna medida los contenidos de matemáticas y de ciencias que se espera que
adquiera.
Los objetivos perseguidos han sido los siguientes:
1. Investigar y recopilar cuentos y/o relatos cortos que existen en lengua castellana e inglesa a
niños de edades entre 3 y 8 años;
2. Analizar su calidad científica y literaria, y su adecuación al currículo de Castilla-La
Mancha, estableciendo unos descriptores basados en ese currículo;
3. Clasificar por niveles, editoriales, autores y lenguas las obras encontradas en tablas,
distintas para cada lengua, para que puedan ser empleadas tanto por docentes que trabajan
en lengua española como por aquellos involucrados en los programa bilingües;
4. Preparar guías de uso para los materiales encontrados que cumplen estas características.
Para conseguir el objetivo 1, se han analizado distintos libros pertenecientes a editoriales
variadas y a colecciones de libro infantil.
Para llevar a cabo el objetivo 2 y desarrollar los descriptores se han tenido en cuenta los
documentos que rigen la educación Infantil y primaria en Castilla La Mancha, los decretos 67/2007 y
68/2007 respectivamente. De manera resumida se muestran en la tabla 1, para las áreas de
matemáticas y conocimiento del medio natural y social.
Matemáticas
Educación
Infantil
Acceder mediante manipulación y conteo
al concepto y representación de número.
28
Adquirir la idea de suma como adición y
resta como sustracción.
Construir del pensamiento lógico en la
resolución de problemas de juntar y quitar.
Manejar el orden y secuencias atendiendo
a uno o dos criterios, cuantificadores de
tiempo y espacio y situación en el mismo.
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Conocimiento del medio
Explorar su mundo cercano con relación al espacio tiempo en
situaciones de juego.
Reconocer el nombre y cualidades de partes del propio cuerpo y del
de los otros.
Adquirir esquemas de relación cada vez más complejos.
Interactuar con el mundo que le rodea: construir hábitos de
supervivencia y salud, evitar riesgos, conocer los efectos que su
actuación produce y actuar con respeto.
Localizar y orientarse en espacios cotidianos, situarse en el tiempo
y localizar acontecimientos relevantes.
NÚMEROS
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
Educación
Primaria
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
La comprensión, representación y uso de
los números: operaciones (de adición,
sustracción, multiplicación e introducción
a la división) y medida.
El conocimiento y defensa del hombre y el resto de los seres vivos:
la diversidad de los seres vivos; la salud y el desarrollo personal.
Interpretación y representación de las
formas planas y la situación en el espacio.
Elaboración de sencillos proyectos apoyándose en materiales con
explicación verbal de los mismos.
Recopilación de información y resolución
de problemas de su vida cotidiana
incluyendo la explicación verbal de los
mismos.
Conciencia de derechos y deberes, de igualdad entre todos,
reconocimiento de miembros de la familia, de profesiones del
entorno social y cultural.
El conocimiento, construcción y conservación del entorno
ambiental, social y cultural.
Producción de textos básicos.
Tabla 1. Contenidos por área y etapa incluidos en el decreto 67/2007 para Educación Infantil y en el 68/2007
para Educación Primaria
Para alcanzar el objetivo 3 se han recopilado en una tabla los libros analizados. Se han
catalogado teniendo en cuenta los descriptores elaborados a partir del currículo oficial, y además otros,
que son la editorial a la que pertenece el libro, el autor, la edad a la que va dirigido, la lengua en la que
está escrito (español o inglés), y la calidad de la obra escrita.
Por último, para conseguir el objetivo 4 se han desarrollado esquemas o guías de uso para seis
ejemplares: dos en español para la etapa de educación infantil (De cómo el tigre aprendió a contar;
Diez abejas en el naranjal), dos para el primer ciclo de educación primaria (Los números son
sorprendentes; Cuando la tierra se olvidó de girar), y uno en lengua inglesa (The Bad tempered
Ladybird). Esperamos que las guías preparadas sirvan de guía a los docentes y les estimulen a preparar
otras similares con el resto de los libros encontrados.
3. Resultados
Con los libros considerados se han elaborado unas tablas en las que se incluye una clasificación
sobre cada obra relativa a: idioma (español/ inglés), título, autor, editorial, disciplinas que se pueden
trabajar (matemáticas, conocimiento del medio natural y social), otras disciplinas a trabajar, ciclo al
que va dirigido (infantil y 1er ciclo de primaria), y se ha incluido un apartado de observaciones. En este
último apartado incluimos, por ejemplo información referente a que la edad a la que se recomienda el
libro por habilidad lectora del niño no se corresponde con aquella a la que van dirigidos los contenidos
matemáticos o de conocimiento del medio que se tratan o aparecen, según el currículum consultado,
sin que esto sea considerado de manera negativa por nosotros. También incluimos otros comentarios
sobre el tipo de libro, como si es considerado como obra de literatura infantil o no puede ser
considerado obra literaria, de nuevo sin que esto nos haga desestimar el libro para el tipo de registro
escrito en el que se encuadra.
3.1. Discusión
Se discuten los resultados de esta catalogación separando los libros por idioma (español o
inglés) y por etapa educativa (infantil o primaria).
En la tabla 2 aparecen los libros correspondientes a lengua española y al ciclo de educación
infantil de 3-6 años.
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Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
Disciplina
Título
Autor
Editorial
Matemáticas
Conocimiento del medio
natural y social
cmn
Colección “El
Zoo de los
números”
María Caparrós
Ed. Bruño
(Ana I. Jiménez)
Recuento, símbolo del
número y relación númerocantidad.
Colección “Mi
primer libro”
Ruth Thomson
Anaya
(1)Tamaños y dimensiones:
grande/pequeño
estrecho/ancho.
Contrarios (1)
Animales como
personajes: fauna
variada
1 2 3 (3)
Aprender a leer.
Vocabulario
Vocabulario
relacionado con
tamaños, formas,
partes de las figuras,
números.
(2) Figuras planas, sus
características y
particularidades; figuras en
volumen, descripción.
Formas (2)
Otros
cms
(3) Recuento y símbolos
numéricos. Relación
cantidad -símbolo
Colección “Mi
mundo y yo”
(1)Marilar
Aleixandre
Diez abejas en el
naranjal (1)
(2)Enric Lluch
Círculo de
lectores
(1)Números: recuento y
símbolo
(1)Insectos
La Galera
Formas planas,
reconocimiento y partes
Animales
domésticos y
diferentes entornos
Expresión oral y
escrita. Vocabulario
asociado
Alfaguara infantil
(1)Números y grafía
(1)Animales de
distintos
ecosistemas:
terrestres y marinos.
Expresión oral y
escrita. Vocabulario
del tema. Verso y
prosa. Rima.
La granja de
Simón (2)
Colección “A
través de la
ventana” (color
azul: nociones y
colores)
¿Dónde está el
cuadrado?(1)
¿Dónde está el
triángulo?(2)
(1)Pascale de
Bourgoing,
Celine Bour
Verso, colores.
(2)Animales
domésticos de
granja. Formas de
vida de los mismos.
(2)Pascale de
Bourgoing,
Colette Camille
(3)Pascale de
Bourgoing,
Colette Camille
¿Dónde están los
círculos? (3)
Colección
“Descubrimos”
Para qué sirven
los dientes (1)
(1) Gusti
(2) Teresa Novoa
(2,3) Recuento y símbolo
(3) Guadalupe
Espejo
(2,3) Animales
variados
Quién sigue a un
elefante (2)
Uno, dos, tres(3)
El laberinto del
No aparece
pequeño indiecito
Edaf
Buenas noches
dulces mariposas
Beascoa, Random Recuento, iniciación a suma
y resta
House,
Mondadori S.A.
María Casas,
Mónica PérezCampdepadrós
Orientación
Recompensa al
trabajo bien hecho.
Autoevaluación
(llega al punto final
o no).
(izda/dcha; arriba/abajo;
cerca/lejos)
Animales: Insectos
Colores.
Verso.
Expresión oral y
escrita.
Tabla 2. Libros para Educación Infantil (3-6 años)
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NÚMEROS
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
3.1.1. Idioma español
3.1.1. a- Educación Infantil
En este conjunto de libros no hemos detectado desfase entre la edad recomendada al niño por
habilidad lectora, y la que se corresponde con el contenido tratado incluido en el currículo oficial del
ciclo de la educación infantil. Teniendo en cuenta que en este rango de la educación no todos los niños
son capaces de leer por ellos mismos, serán los maestros, padres o educadores los que podrán
explotarlos y sacarles partido en cuanto a los aspectos lingüísticos, matemáticos y de conocimiento del
medio que se proponen.
Existen colecciones que no hemos adquirido, pero que hemos analizado por su idoneidad para
trabajar prácticamente todos los contenidos matemáticos del ciclo de la educación infantil. Para
trabajar la cantidad, el recuento y la grafía de los números, tenemos la colección “El Zoo de los
números” de la editorial Bruño; 1 2 3, de la colección “Mi primer libro”, de la editorial Anaya; Diez
abejas en el naranjal y La granja de Simón de la colección “Mi mundo y yo” de la editorial Círculo de
Lectores; Para qué sirven los dientes, Quién sigue a un elefante y Uno, dos, tres de la colección
“Descubrimos” de la editorial Juvenil Alfaguara; y por último, Buenas noches dulces mariposas, de la
editorial Beascoa, Random House, Mondadori S.A, que no solo introducen los números, el recuento y
la grafía, sino también inician a la suma y la resta mediante el recuento.
En la colección “Mi primer libro”, de la editorial Anaya, encontramos los títulos Contrarios y
Formas, que tratan tamaños y dimensiones (grande/pequeño; estrecho/ancho), y figuras planas, sus
características y particularidades, así como figuras en volumen y su descripción. Las formas y la
orientación se tratan también en la colección “A través de la ventana” (color azul: nociones y colores)
en los títulos ¿Dónde está el cuadrado?, ¿Dónde está el triángulo? y ¿Dónde están los círculos?, de la
editorial La Galera. Y la orientación espacial puede tratarse con el libro El laberinto del pequeño
indiecito de la editorial Edaf.
3.1.1. b- Educación Primaria
A continuación, en la tabla 3 se muestran los libros catalogados para primer ciclo de educación
primaria.
Título
Autor
Editorial
Disciplina
Conocimiento del
Matemáticas medio natural y social
cmn
La amiga más
amiga de la
hormiga Miga
E. Teixidor
SM
Direccionalidad
(arriba/abajo,
subir/bajar)
Comparación
tamaños:
grande/pequeño,
ancho/angosto
Secuencias:
adelante/atrás.
Clasificación de
animales:
vertebrados/invertebrados.
Diferenciación
insectos alados y sin
alas.
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Otros
cms
Inf/
Primaria
Lingüística:
formación de
palabras.
Contrarios.
Prosa/verso.
Actitudes: visión
5-7 años
positiva del
trabajo en equipo;
actitud de
respecto a uno
mismo y a los
demás.
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Ciclo o nivel.
Observaciones
Contenido:5-7 años.
Lector: 3er ciclo
Uso: emplear como
punto de partida y
adaptar a cada
necesidad.
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Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
F. Krahn y
M.L. Uribe
Cuando la
Fina
Tierra se olvidó
Casalderrey
de girar
Para Elisa, tres
lobos y un
cerdito feroz
Claudi Alsina
El sapo y la
rana se saltan
la evolución
Antonio
Rodríguez
Almodóvar
Números 1-10. Grafía
Destino infantil
y relación con
y juvenil
recuento. Par/ impar.
Distintos ecosistemas:
montes, ríos,
desiertos, playas.
SM
NO
Movimientos
terrestres y
estaciones.
Temperatura:
frío/calor.
Tiempo: día /noche.
Proyecto Sur
de ediciones
S.L.
Situaciones de la vida
cotidiana en las que
aparece vocabulario
matemático: orden
(dcha/izda); tamaño
(alto/bajo); ordinales
(primero, segundo…)
Situaciones en las que
encontramos números,
unidades de medida.
Colección
cuentos de
ciencia
De cómo el
tigre aprendió a Janosh
contar
Kokinos, 2003
El gran libro de
las
Gregory Oster
matemáticas
del Ogro feroz
Ediciones
Oniro
Números, recuento y
grafía. Unicidad de
cada elemento en un
conjunto (no contar
dos veces)
Comparaciones: el
más grande.
Plantea situaciones
cotidianas que
suponen el empleo de
las operaciones
matemáticas con
números naturales.
Nivola
colección
numeriverso
Las sumas que
vinieron del
espacio
David Blanco
Laserna
Nivola
Colección
numeriverso
El dragón que
no sabía sumar
ni restar
David Blanco
Laserna
Nivola
Colección
numeriverso
Así se
aprenden las
tablas de
multiplicar
Susana Obrero
Tejero
Colección El
rompecabezas
El fantasma
que odiaba las
matemáticas
Rafael Ortega
de la Cruz
Numeración
consecutiva, de 2 en 2,
Nivola: Lucía y
3 en 3, 4 en 4 y 5 en 5.
Bruno
Problemas simples de
sumas y restas.
Vol. 85
4-6 años
También para E.
Infantil
1er ciclo.
5-7 años
Promover
deducciones sobre
contenido del libro.
Lector: a partir de 8
años.
Creatividad.
Verso/prosa.
2º-3er ciclo
Primaria
La evolución de las
especies.
Conservación del
medioambiente.
Actitud frente al
medioambiente.
2º-3er ciclo
Primaria
Animales de distintos
ecosistemas: terrestres
(de granja o salvajes)
y marinos.
Amistad.
4-6 años
Inf.
Vocabulario.
Expresión oral y
escrita.
8-12 años
2º-3er ciclo
Primaria
Contenidos: 1er
ciclo
No es una novela,
sino juego en forma
de libro que cuenta
una historia y que
implica trabajo
matemático para
seguir avanzando.
No es una novela,
sino juego en forma
de libro que cuenta
una historia y que
implica trabajo
matemático para
seguir avanzando.
No es una novela,
sino juego en forma
de libro que cuenta
una historia y que
implica trabajo
matemático para
seguir avanzando.
Multiplicacione
David Blanco
s a toda
Laserna
máquina
32
Verso.
Actitudes hacia
otros diferentes a
uno mismo.
Tablas de multiplicar a
través de una historia
con personajes: Edu.
marzo de 2014
Geografía
Historia del
uno
Amor por los
libros.
Valor de la
amistad.
1er-2º ciclo
Primaria
NÚMEROS
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
Animales mamíferos
de diferentes
ecosistemas: selva,
sabana, domésticos,
marinos.
Concienciación del
peligro de extinción
de los animales.
Juana sin
miedo
Pizca de sal
Números pares,
Juan José
impares e
Millás
idiotas
SM: Barco de
vapor
Distintas ideas
matemáticas: conjunto
vacío, infinito,
múltiplos, etc.
Colección
Matemática
Pequeña
Grafía de números de
0 a 8.
Semejanzas y
diferencias.
Colección
Matemática
Pequeña
Grafía de números de
0 a 10.
Relación número y
cantidad.
Colección
Matemática
Pequeña
Grafía de números;
semejanzas y pares.
El Cero
Los números
son
sorprendentes
Claudi AlsinaElisenda SolàNiubó
Los Pares
Treinta y tres
son treinta y
tres
Carlo Frabetti
SM: Barco de
Vapor
Al-Jwarizmi y
la magia de las
matemáticas
Jorge de
Barnola
Colección El
Rompecabezas
Amor por los
libros y su empleo
2º ciclo
para aprender.
Primaria
Actitud hacia los
animales.
3er Ciclo
Nível lector: a partir
de 9 años.
Matemático algo
inferior.
Aceptación de
uno mismo;
afirmación y
Infantil-1er
autoestima
ciclo
individual y de
Primaria
grupo. Mayúscula
/minúscula.
Partes del cuerpo; la
familia.
Grafía de números.
Representación en el
ábaco.
Los números en
situaciones de la vida
cotidiana. Doble,
triple, números
capicúas.
Historia del sistema de
numeración
hindoarábigo.
Respeto a
Infantil-1er
personas mayores ciclo
y sabiduría.
Primaria
Mayúscula/
minúscula.
La España
musulmana
Infantil-1er
ciclo
Primaria
Error inducido:
incluye números del
1 al 10, y no todos
son pares.
1er ciclo
Primaria
No tiene riqueza
literaria, más allá
del vocabulario que
introduce.
2º ciclo
Primaria
Mucho vocabulario
de la época.
Tabla 3. Libros para 2º ciclo de Educación Infantil y 1er ciclo de Educación Primaria (6-8 años)
De los libros analizados enfocados a educación primaria, lo primero que destacamos es la
riqueza de vocabulario matemático y/o científico, dependiendo de los casos. También observamos que
no siempre la edad indicada en el libro correspondiente a la habilidad lectora del niño, coincide con la
correspondiente al ciclo de educación primaria en el que aparecen los contenidos de conocimiento del
medio y matemáticas incluidos en la obra, lo que indicamos en observaciones. Así por ejemplo, el
libro “La amiga más amiga de la hormiga miga” está dirigido a lectores de 3er ciclo, mientras que los
contenidos matemáticos que incluye corresponden al primer ciclo, 6-8 años. De la colección Proyecto
Sur, el libro “Para Elisa, tres lobos y un cerdito feroz” se indica para lectores de a partir de 8 años,
mientras que los contenidos matemáticos se corresponden al primer ciclo. Y por último, el libro de la
colección Barco de Vapor de SM, “Números pares, impares e idiotas”, también está dirigido a lectores
del tercer ciclo o mayores, mientras que los contenidos matemáticos se corresponden con el segundo
ciclo, y algunos incluso con el primero de educación primaria, como puede verse en la tabla 3.
Destacamos también que en “observaciones” hemos indicado que algunos libros que se venden
como literatura matemática no encajan ni en el cuento ni en el relato corto. Son meras instrucciones en
las que se emplean personajes que pueden ser más o menos atractivos para los niños, pero que en
ningún caso contribuyen a la calificación como “literatura” del libro. En este grupo se encuentran
aquellos de la colección Numeriverso, de editorial Nivola, que está compuesta por libros del mismo
autor, David Blanco Laserna. Esos libros posibilitan al niño enfrentarse a otro tipo de registro que le
será también útil entender e interpretar.
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de Profesores de Matemáticas
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literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
R. Fernández Cézar, C. Harris, C. Aguirre Pérez
Siguiendo con otras colecciones, podemos destacar algunas que publican obras literarias con
contenidos de las áreas que buscábamos, matemáticas y conocimiento del medio, como son la
colección Pizca de Sal, la colección Barco de Vapor, de SM, Destino Infantil y Juvenil, y El
Rompecabezas.
3.1.2. Idioma inglés (Educación Infantil y Primaria)
Los libros analizados en esta lengua se incluyen en la tabla 4 que se muestra a continuación.
Título
Autor
Editorial/ISBN
Matemáticas
Disciplina
Conocimiento del medio
natural y social
cmn
cms
The BadTempered
Ladybird
Eric Carle
Puffin
0140503986
Las horas, números
1-12, tamaños,
grande/pequeño
Insectos/Animales y Relaciones
sus característicos y sociales, egoísmo/
entornos
generosidad.
Handa’s
Surprise
Eileen Browne
Walker
9780744536348
Numeros de 1 a 7,
contando atrás
(subtracción)
Animales de Africa, Geografía,
entornos africanos; ubicación de
frutos exóticos.
África en mapa
A Little bit of
Winter
Paul Ste-wart
Monkey Puzzle
Julia Donaldson
The Shape of
Things
Jack and the
Beanstalk
Dayle Ann
Dodds
Relaciones,
diferencias
Walker
0744543681
Formas geométricas
Traditional Tale
Funnybones
Flat Stanley
Adventures
(The Big
Mountain
Adventure)
The Lighthouse
Keeper’s lunch
Room on the
Broom
InfantilPrimaria
3º curso Ed.
Infantil / 1º
ciclo Ed.
Primaria
3º Ed.Infantil/
1º ciclo
Ed.Primaria
3º curso Ed.
Infantil /
1º ciclo Ed.
Primaria
2º/3º curso
Ed Infantil
2º ciclo Ed.
Infantil
1º ciclo Ed.
Primaria
Janet & Allan
Ahlberg
Puffin
9780140565812
La estructura
esquelética humana
y de animales
La ciudad (casas,
zoo, comisaría,
parque etc)
Jeff Brown
Egmont
9781405252089
Máquinas simples:
Palancas
Historia y
geografía
2º /3º ciclo
americana (Dakota Ed. Primaria
del Sur)
Electricidad y
poleas
El faro y aves de
mar
R & D Armitage
Julia Donaldson
& Alex Scheffler
Macmillan
9780330508919
Medidas, distancias,
conteo con números
naturales pequeños.
Sumas.
El tiempo, tormenta,
Colaboración,
lluvia
ayudando tus
Hacer mapas,
amigos
dirección
1º ciclo Ed.
Primaria
Comentarios
Muchos recursos de
apoyo en internet
Muchos recursos de
apoyo en internet
Se presta a explotar con
la canción ‘dem bones’
Actividades adicionales
en Internet:
http://www.flatstanleyb
ooks.com/adventuresby
disney/index.aspx
1º ciclo Ed.
Primaria
1º Ed.
Primaria
Incluye CD interactivo,
actividades, posters etc.
Enlace web para
actividades:
http://www.primaryreso
urces.co.uk/english/engl
ishbooks_authors_d.htm
Tabla 4. Libros en lengua inglesa para para Educación Infantil y 1er ciclo de Educación Primaria (3-8 años)
En esta lengua hemos tenido más dificultades para hacernos con los libros que consideramos
interesantes, por lo que el análisis ha quedado reducido a los 10 ejemplares que hemos podido
adquirir. Se indica en la tabla 4 que casi todos pueden trabajarse indistintamente en la educación
infantil y en el primer ciclo de educación primaria.
3.2. Propuestas de aula
Nuestra propuesta fundamental es la incorporación de los libros analizados al “Plan de lectura”
o “Proyecto lector” del centro en educación primaria, y como material de clase en el caso de educación
infantil. Incorporamos en las figuras 1 a 3 unas guías de uso para algunos de estos libros. Contar con
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NÚMEROS
Propuestas para el tratamiento de la Competencia Matemática y de Ciencias a través de la
literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
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estas indicaciones sobre los temas que se incluyen en cada libro facilitará su labor a los docentes al
sugerirles cómo explotar los libros. Ellos a su vez promoverán con su uso la contextualización del
aprendizaje y la mejor comprensión del libro.
a)
b)
Figura 1. Guías de uso para libros adecuados para 2º ciclo de Educación Infantil (3-6 años)
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a)
b)
Figura 2. Guías de uso para libros adecuados para 1er ciclo de Educación Primaria (6-8años)
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Figura 3. Guía de uso para libros adecuados para 2º ciclo de Educación Infantil y 1er ciclo de Educación
Primaria (3-8 años) en lengua inglesa
El proceso de lectura del libro podría desarrollarse incluyendo un análisis de los sucesos
importantes acontecidos en el libro, asegurándonos así la comprensión básica de la historia.
Detectaríamos también con los alumnos los contenidos matemáticos y de ciencias que aparecen,
haciendo hincapié en cómo surgen y cómo los emplean los personajes. También se tratarían los otros
contenidos o valores que se encierren en la historia transmitida por el libro elegido y que sean temas
transversales como el compañerismo, la amistad, el trabajo en equipo, etc. Y la tarea puede
completarse con la ejecución de actividades que pongan en práctica los contenidos matemáticos y de
conocimiento del medio natural que se hayan tratado, como por ejemplo, actividades sobre contar
colecciones, ordenar colecciones, dibujar las figuras geométricas, inventar canciones con los números,
repetir nombres y características de animales que aparecen, cantar canciones en las que aparezcan
partes del cuerpo humano, etc.
Estas propuestas de aula creemos que facilitarán al docente el empleo de los libros analizados y
se explotarían mediante actividades que surgirían a partir del plan de lectura. Puede emplearse esta
actividad como punto de partida para abordar, no solo los contenidos de lengua inglesa o española,
sino para generar el interés por la lectura, y por aprender otros contenidos del currículo de
matemáticas y conocimiento del medio. Es indicado, por lo tanto, para su empleo en aulas de colegios
españoles y bilingües, que en los últimos años han incrementado notablemente su número en nuestro
país.
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literatura infantil en Educación Infantil y Primaria.
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4. Conclusiones
Se ha procedido a la elaboración de una base de datos que se muestra en las tablas 2 a 4, en las
que se incluyen diversas obras catalogadas según idioma (español/inglés), contenidos de matemáticas
y conocimiento del medio natural y social, y observaciones sobre otros contenidos.
Hemos encontrado varios libros que no podemos considerar como obras literarias, pero que no
por eso son rechazables para su lectura. Con ellos el niño aprenderá a manejar otros códigos del
lenguaje escrito y a entender mensajes escritos diversos: literarios, científicos, instrucciones, etc.
Se propone la inclusión de estos libros en el plan de lectura del centro.
Se ha preparado un plan de clase para el uso de cinco libros, dos para Educación Infantil, dos
para primer ciclo de Educación Primaria, ambos en español, y uno en lengua inglesa. El propósito es
que estos esquemas sirvan para ayudar a los maestros de infantil y primaria a emplear estas obras en
sus clases de forma interdisciplinar, contribuyendo así a que la enseñanza se aleje del modelo
compartimentado en áreas o disciplinas.
Se prevé poner en práctica estas sugerencias en colegios y recoger las impresiones de los
maestros sobre las mismas para poder mejorarlas en el futuro.
Agradecimientos
Este proyecto fue financiado por la Universidad de Castilla La Mancha, UCLM.
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Nota: de todos los libros que se incluyen en las tablas están incluidos en las mismas los datos
necesarios para su localización bibliográfica.
Raquel Fernández Cézar. Facultad de Educación de Cuenca, Universidad de Castilla La Mancha,
Campus universitario s/n. Es Profesora Asociada del Departamento de Matemáticas, área Didáctica de las
Matemáticas. Participa en congresos y posee publicaciones en el área de didáctica de las ciencias
experimentales y matemáticas, y sobre la formación de maestros a nivel universitario.
[email protected]
Christine Harris. Facultad de Educación de Cuenca, Universidad de Castilla La Mancha, Campus
universitario s/n. Es Profesora del Departamento de Inglés, área de Didáctica. [email protected]
Constancio Aguirre Pérez. Facultad de Educación de Cuenca, Universidad de Castilla La Mancha,
Campus universitario s/n. Es Profesora del Departamento de Pedagogía, área Didáctica de las Ciencias
Experimentales. [email protected]
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de Profesores de Matemáticas
Vol. 85
marzo de 2014
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 41-48
Los sistemas de ecuaciones en el bachillerato
Félix Martínez de la Rosa
Soledad María Sáez Martínez
(Universidad de Cádiz. España)
Fecha de recepción: 7 de junio de 2013
Fecha de aceptación: 31 de octubre de 2013
Resumen
En este artículo se describen los esquemas mentales relacionados con los sistemas de
ecuaciones lineales, que tienen los alumnos al acceder al primer curso de Matemáticas en
la Universidad. En relación con ello se analiza la normativa de las pruebas de acceso, el
tratamiento que se da a los sistemas en algunos libros de texto, y las consecuencias que
pueden derivarse del uso de esos esquemas.
Palabras clave
Matrices, determinantes, rango, sistemas, Cramer.
Abstract
In this paper we describe the freshman´s mental models about the systems of linear
equations. In this connection we analyze the rules of entrance exams, the treatment given
to the systems in some textbooks, and the consequences that may result from use of these
methods.
Keywords
Matrix, determinants, rank, systems, Cramer.
1. Introducción
Los sistemas de ecuaciones lineales son un tema importante dentro de los contenidos de
Matemáticas del bachillerato. Presentan un aspecto verbal, un aspecto algebraico y un aspecto gráfico.
El aspecto verbal trata sobre la comprensión del enunciado con el que se plantea un problema.
Esta es una de las carencias más evidentes de los alumnos por la dificultad que tienen para entender un
texto escrito, tener claro lo que se les pregunta, identificar las incógnitas y plasmarlo todo en
ecuaciones algebraicas y sistemas.
En el aspecto algebraico, los alumnos deben saber dilucidar o discutir si un sistema de
ecuaciones es posible resolverlo o no, saber el número de soluciones que tiene y saber calcularlas.
En cuanto al aspecto gráfico, en el bachillerato de ciencias se incide en los significados
geométricos de las ecuaciones como rectas y planos, estudiando sus posiciones relativas a través de los
sistemas. En el de ciencias sociales se analizan las regiones factibles de los ejercicios de programación
lineal bidimensional.
En este artículo queremos detenernos en contemplar la manera en que los alumnos de
bachillerato aprenden a discutir y resolver los sistemas de ecuaciones. El método de Gauss y el
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Los sistemas de ecuaciones en el bachillerato
F. Martínez de la Rosa, S. M. Sáez Martínez
posterior análisis de la matriz escalonada que se obtiene, es sencillo y rápido. Los alumnos de primer
curso de la Universidad lo conocen, sin embargo no es su primera opción para resolver un ejercicio.
Ellos tienen interiorizado un esquema mental o conceptual que expondremos. Veremos las causas que
contribuyen a que los alumnos lo tengan como el mejor método de resolución de sistemas. En relación
con ello analizaremos la normativa de acceso a la Universidad, el tratamiento que se da en algunos
libros de texto a la discusión y resolución de sistemas, y las consecuencias que pueden derivarse del
uso del esquema mencionado.
La expresión esquema mental o esquema conceptual hace referencia al término concept image
introducido en el artículo [Tall y Vinner, 1981], acerca de las dificultades en el proceso de enseñanza
y aprendizaje de límites y continuidad:
Concept image (esquema conceptual): son las estructuras cognitivas
que un individuo asocia a un concepto.
Cuando se explica un concepto, los alumnos desarrollan un proceso cognitivo con el que
conciben un esquema conceptual. Para ello se basan en un conjunto de imágenes mentales (formas
simbólicas, diagramas o gráficas) que asocian al concepto. Pero el conjunto de objetos matemáticos,
que un alumno considera ejemplos adecuados para formar esa imagen, puede que no se haya elegido
correctamente y pase por alto matices importante. Esto da lugar a esquemas conceptuales incompletos
e inadecuados, que propician la aparición de errores de concepto.
2. Esquema mental y normativa
Los autores de este artículo hemos impartido docencia en asignaturas de Matemáticas de primer
curso, en diferentes titulaciones de la Universidad de Cádiz a los que alumnos ingresan, en su mayoría,
tras haber cursado las asignaturas Matemáticas I y II del bachillerato de Ciencias, o bien las
Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I y II. A esas asignaturas de Matemáticas de primero de
Universidad, los alumnos acceden con una serie de conocimientos acerca de los sistemas de
ecuaciones, de los que nos ocuparemos en este artículo.
Sea cual sea la procedencia de los alumnos hemos observado que la mayoría de ellos ha
interiorizado el siguiente esquema para la resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres
incógnitas.
1. Si no hay parámetros, se calcula el determinante de la matriz de los coeficientes
aplicando la regla de Sarrus. Si es distinto de cero, el sistema se resuelve
usando la regla de Cramer. Si es cero, se prescinden de una o dos ecuaciones y
se resuelven una o dos incógnitas en función del resto.
2. Si hay parámetros, sus valores se obtienen igualando a cero el determinante de
la matriz de los coeficientes y para estos valores se resuelve el sistema como en
el paso anterior.
Tabla1. Esquema de los alumnos para la resolución de sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas.
En el Real Decreto 1467/2007 de 2 de noviembre (BOE del 6 de noviembre), se establece la
estructura del bachillerato y se fijan sus enseñanzas mínimas, mientras que en la Orden de 5 de agosto
de 2008 (BOJA del 26 de agosto) se desarrolla el currículo correspondiente al Bachillerato en
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NÚM E R OS
Los sistemas de ecuaciones en el bachillerato
F. Martínez de la Rosa, S. M. Sáez Martínez
Andalucía (comunidad a la que pertenecemos los autores), y que es similar a los del resto de
comunidades autónomas.
En el bachillerato de Ciencias la asignatura Matemáticas II recoge el estudio de matrices,
determinantes, rango y sistemas de ecuaciones. Las orientaciones para las pruebas de acceso a la
Universidad en Andalucía incluyen “saber clasificar un sistema de ecuaciones lineales con no más de
tres incógnitas y que dependa, como mucho, de un parámetro y, en su caso, resolverlo”.
Se supone que en esas pruebas se exigen contenidos mínimos, y los alumnos deberían ser
capaces de discutir y resolver sistemas de todo tipo. Pero la necesidad de obtener una nota alta para
acceder a los estudios preferidos, y la escasez de tiempo, propicia que los profesores se apliquen en
resolver los modelos de ejercicios que se preguntan en esas pruebas. El esquema de la tabla 1 funciona
bien para los sistemas de tres ecuaciones y tres incógnitas. Requiere poco esfuerzo intelectual, resulta
fácil de memorizar para los alumnos y es cómodo de explicar para los profesores. A los alumnos les
funciona bien y por eso les parece innecesario recordar y aplicar otra técnica.
En el bachillerato de Ciencias Sociales los contenidos de álgebra lineal se reparten entre las
Matemáticas I y II. En la primera se ubican los sistemas de ecuaciones lineales y en la segunda el
álgebra matricial y la programación lineal. Llama la atención que las orientaciones para las pruebas de
acceso no incluyan la discusión y resolución de sistemas de ecuaciones. Estos alumnos sólo discuten
sistemas en el primer año y, al no incluirse en esas pruebas, sus conocimientos acerca de ellos son
sensiblemente inferiores a los que cursan el otro bachillerato, aunque suelen recordar la estructura
básica del esquema de la tabla 1.
Las orientaciones para las pruebas de acceso acerca de los sistemas son demasiado restrictivas
en el primer caso, e inexistentes en el segundo, y tienen su repercusión porque influye en alumnos y
profesores a la hora de insistir más o menos en un tema, y esto propicia algunas deficiencias que
hemos observado en nuestros alumnos universitarios y que se comentarán en la sección cuatro.
3. Sobre los libros de texto
Las matrices, determinantes, rango y sistemas de ecuaciones lineales se exponen en los libros de
texto de los dos tipos de bachillerato, en cursos diferentes aunque con contenidos similares. Para que
el discurso sea fluido nos hemos centrado en dos textos correspondientes al bachillerato de ciencias
(que citaremos en función de su editorial: Santillana y Anaya), que son habitualmente usados en el
entorno en el que se ha hecho este trabajo.
Las matrices se dan como una tabla de elementos ordenados en filas y columnas [Santillana, p.
8], y a veces se motivan a partir de los coeficientes de los sistemas de ecuaciones [Anaya, p. 36]. Los
determinantes se introducen como un número asociado a una matriz cuadrada, dándose la fórmula
para los de orden dos y la regla de Sarrus para los de orden tres ([Santillana, p. 36] y [Anaya, p. 81]).
Esta técnica eclipsa la del desarrollo por adjuntos que en combinación con la técnica de hacer ceros
([Santillana, p. 43] y [Anaya, p. 88]), simplifica y facilita el cálculo de determinantes de cualquier
orden.
El rango es un concepto que observamos que los alumnos no llegan a comprender y dominar
del todo bien. Es posible que el hecho de que en los libros de texto se defina tres veces, influya en
crear una cierta confusión sobre el mismo. La primera definición que se da ([Santillana, p. 18] y
[Anaya p. 65]) es la siguiente:
Sociedad Canaria Isaac Newton
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Los sistemas de ecuaciones en el bachillerato
F. Martínez de la Rosa, S. M. Sáez Martínez
“El rango de una matriz es el número de filas o columnas no nulas
linealmente independientes de la matriz.”
Esta definición se basa en la dependencia e independencia lineal que son conceptos muy ligados
a los espacios vectoriales. Pero estos no se explican con detalle en segundo de bachillerato. Por
ejemplo en [Santillana, p. 98], se habla de las operaciones y otros elementos de los vectores como
introducción a la geometría del espacio, mientras que en [Anaya, p. 62] se da una breve introducción a
los espacios vectoriales generales, mencionándose que “la idea de vector como flecha da lugar a la de
espacio vectorial”.
Para analizar la independencia lineal de las filas de una matriz, se recurre a las operaciones
elementales de fila con el objeto de transformar la matriz inicial en una escalonada con el mismo
rango. A partir de esto se da la segunda definición de rango ([Santillana, p. 19] y [Anaya p. 66]):
“El rango de una matriz es el número de filas no nulas que tiene la matriz
escalonada que se obtiene con el método de Gauss”.
Con esta definición el concepto y la forma de calcular el rango se establece totalmente. El
problema surge al explicar los determinantes. Entonces aparece el concepto de menor de una matriz y
basándose en él se enuncia la tercera definición de rango ([Santillana, p. 45] y [Anaya p. 89]):
“El rango de una matriz es el orden del mayor de sus menores no nulo”.
De pronto, el método fácil y rápido que se empleaba para calcular el rango se sustituye por la
búsqueda de un menor. Pero como la cantidad de menores que tiene una matriz es muy grande, se
describe un método que según [Santillana, p. 45], “permitirá no tener que calcularlos todos para
determinar el rango”, y según [Anaya, p. 90], “permite hallar el rango con razonable rapidez”.
La técnica consiste en partir de un menor no nulo y añadir filas y columnas de una manera
adecuada para aumentar su orden: esto se denomina “orlar la matriz”. Pero al aplicarlo no se efectúa
una simplificación previa de la matriz por Gauss, y por eso se efectúan más cálculos de los necesarios.
Por otro lado, si se hiciese la simplificación entonces se obtendría una matriz escalonada en la que
hallar el rango no precisaría de los menores porque se haría directamente con la segunda definición.
El método de “orlar la matriz” no parece muy eficiente, además puede crear la impresión
errónea de que simplificar la matriz no es algo que se pueda mezclar con otras técnicas. Por otro lado,
la mecánica de los menores funciona bien en matrices de pequeñas dimensiones, como las de los
ejercicios de las pruebas de acceso del bachillerato de ciencias, por eso suele ser la que los alumnos
escogen como primera opción. Aquí nos preguntamos si la técnica de “orlar” es tan importante como
para enmarañar lo establecido en la segunda definición. Algún alumno que emplea esta técnica piensa
que “el rango es eso de coger determinantes cada vez más grandes”.
Un fenómeno parecido a lo analizado para el rango ocurre también en los sistemas de
ecuaciones. La primera técnica que se describe en los libros para su discusión y resolución consiste en
la transformación del mismo, con el método de Gauss, en un sistema escalonado. Según la forma que
presente la matriz ampliada así será el sistema. Para que sea más claro, los textos de bachillerato
ofrecen el siguiente esquema ([Santillana, p. 65] y [Anaya, p. 37]):
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     


     
0 0 0 0 a b


Si a  0 y se tiene el mismo número de ecuaciones no nulas que de
incógnitas, es un Sistema compatible determinado.
     

 Si a  0 o a  0 y se tienen más incógnitas que ecuaciones no
1
2
     
nulas,
es
un
Sistema
compatible indeterminado.
0 0 0 a a b
1
2


     


     
0 0 0 0 0 b


Si b  0 no hay solución del sistema, es un Sistema incompatible.
Tabla 2. Esquema para la resolución de sistemas de ecuaciones generales
En los textos citados, se explica que la solución de los sistemas compatibles determinados se
obtiene despejando la incógnita de la última fila. Sustituyendo en la anterior se calcula la siguiente, y
se repite el proceso hasta la primera fila. En los compatibles indeterminados, para obtener la forma
escalonada deben trasladarse una o más columnas al segundo miembro, y las incógnitas
correspondientes serán los parámetros. De esta forma, la discusión de sistemas, sea cual sea su forma,
queda establecida clara y rápidamente. Los textos que estamos citando sólo precisan de dos páginas
para describir el método de Gauss y el esquema de la tabla 2.
Sin embargo todo cambia tras la explicación del teorema de Rouché-Fröbenius ([Santillana, p.
68] y [Anaya, p. 102]). La cuestión no es la dificultad intrínseca de este teorema sino que al
“aplicarlo” los rangos se obtienen con la técnica de “orlar”. Claro que si se simplificara de forma
previa la matriz ampliada se obtendría un sistema escalonado cuya discusión ya se ha establecido en el
esquema de la tabla 2, lo que haría innecesaria la utilización de ningún otro algoritmo. Notemos que
en libros tan conocidos como [Grosman (1992)] o [Anton (1991)] los sistemas se resuelven con el
esquema de la tabla 2, enmarcando el teorema de Rouché-Fröbenius dentro de los espacios vectoriales.
Asimismo sólo en el primero [Grosman, p. 282] se alude (en un apartado opcional) al cálculo del
rango con menores.
Finalmente los libros de texto exponen la regla de Cramer. Como el ejercicio de la prueba de
acceso del bachillerato de ciencias se resuelve fácilmente con ella, los alumnos la prefieren antes que
el esquema de la tabla 2. La ubicación de la regla de Cramer al final de los temas dedicados a los
sistemas, donde se explica su uso para sistemas cualesquiera ([Santillana, p. 72] y [Anaya, p.106]),
puede dar la errónea impresión de que se trata de la culminación del proceso de resolución de los
mismos. Muchos alumnos así lo creen, pero no es así. En [Grossman, p. 158], se expresa el siguiente
comentario sobre esta regla:
“Durante casi 200 años fue esencial en la enseñanza del álgebra. Debido a la
gran cantidad de operaciones que requiere, en la actualidad se usa mucho
menos que antes. Sin embargo, el resultado fue de gran importancia en su
tiempo”.
En un sistema compatible determinado de tres ecuaciones y tres incógnitas, el método de
Cramer exige calcular cuatro determinantes que, si se hacen con la regla de Sarrus, requieren 68
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operaciones: con tantas operaciones el error siempre está al acecho. A pesar de esto, es la primera
opción de muchos alumnos para resolver sistemas.
4. Consecuencias observadas en los alumnos
El esquema de la tabla 1 junto con la técnica de “orlar la matriz” son las primeras opciones de
los alumnos de primer curso en la Universidad, para discutir y resolver sistemas de ecuaciones. Pero
su uso requiere de un gran número de operaciones y propicia la confusión en la comprensión de
algunos conceptos, como el rango o el de parámetro, a los que nos referiremos a continuación.
4.1. Sobre el exceso de operaciones
Uno de los aspectos en que los profesores de Matemáticas insistimos a los alumnos es en
economizar en los cálculos, para que no se pierdan entre tantas operaciones y prevengan los errores de
tipo operativo. El esquema de la tabla 1 y el método de “orlar” son ejemplos de lo contrario.
El exceso de operaciones propicia errores con los que los profesores nos mostramos permisivos,
en parte porque así sucede en las pruebas de acceso. De hecho, a los correctores de los ejercicios de
esas pruebas se nos instruye en que los errores en las operaciones aritméticas elementales se penalicen
con un máximo del 10% de la nota total del ejercicio. Los alumnos saben de esta permisividad con los
errores operativos, y la importancia del resultado correcto se relativiza apelando a que lo importante es
el método.
Por otro lado, los alumnos realizan las operaciones valiéndose de una calculadora. Confían
ciegamente en ellas para los cálculos lo que causa efectos secundarios: no practican jamás el cálculo
mental, descuidan las operaciones básicas con papel y lápiz, y no se preocupan en simplificar
previamente las expresiones numéricas. Es especialmente llamativo cuando para operar con fracciones
prefieren transformar estas en decimales y emplear un resultado aproximado antes que uno exacto. Ya
sea a mano o con calculadora, el resultado es un papel atiborrado de cálculos, a veces muy
desordenado y difícil de comprender incluso por ellos mismos, lo que propicia nuevos errores
operativos.
4.2. Sobre los parámetros
El esquema de la tabla 1 sirve para resolver un tipo de ejercicio muy concreto. Poner uno que se
salga de ese tipo es una manera de comprobar la consistencia de los conceptos adquiridos por los
alumnos. La idea que ellos tienen sobre los parámetros es un tanto difusa. Basta dar un sistema en el
que no aparece una incógnita para observar que la respuesta mayoritaria es ignorar ese hecho. Cuando
se pregunta cuál es el valor de la incógnita que falta razonan que si no aparece es que no existe, y lo
que no existe vale cero: no tienen asimilado un sistema como una serie de condiciones que deben
cumplir las incógnitas, y que si no hay condición sobre alguna significa que puede tomar cualquier
valor.
4.3. Sobre el rango
La simplificación de una matriz permite hallar su rango de una forma más rápida y directa que
el método de “orlar”. Y muchos alumnos la emplean, pero cambian de técnica al llegar a los sistemas.
Aquí se produce un fenómeno curioso: la distinción entre dos tipos de rango. Si se trata de una matriz
suelta aplican el método de Gauss, pero si se trata de una proveniente de un sistema de ecuaciones los
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alumnos aplican el “orlado” de la matriz. Esto permite apreciar que el concepto de rango no está bien
asimilado.
4.4. Sobre sistemas cuya matriz de los coeficientes no es cuadrada
Los alumnos suelen tratar de reproducir el esquema de la tabla 1 sea cual sea la forma del
sistema. A veces intentan realizar el determinante aunque sea imposible. Muchas dudas se suscitan
cuando falta alguna incógnita y también cuando el número de ecuaciones y de incógnitas es muy
desparejo. Cuando hay más ecuaciones que incógnitas, el método de Gauss permite observar
fácilmente las ecuaciones sobrantes, y si hay más incógnitas que ecuaciones, es sencillo apreciar
cuáles deben ser tomadas como parámetros. El esquema de la tabla 2 lo recuerdan vagamente porque
no lo han necesitado demasiado, y esto va en contra de la necesaria visión general que requiere el
estudio de los sistemas de ecuaciones.
Las dificultades expresadas en los puntos anteriores se superan si insistimos en la idea de
unificar la manera de calcular el rango de una matriz (esté relacionada o no con un sistema de
ecuaciones) utilizando la simplificación por Gauss para escalonarla. Con este método es fácil, además,
encontrar el mayor menor no nulo de la matriz y establecer y aclarar la relación entre su orden y el
número de filas no nulas de la matriz escalonada.
5. Resumen final
En bachillerato se explican tres métodos para discutir y resolver sistemas: Gauss, Rouché Fröbenius y Cramer. El método más rápido e intuitivo es el de Gauss. No conlleva más operaciones
que los otros métodos, y presenta la ventaja de no perder de vista lo que se hace, al aplicar
reiteradamente el método de reducción. Se explica el primero en los textos y el primero en las clases.
Los alumnos lo entienden y lo aplican para sistemas de todo tipo. Si hubiese sistemas que no se
pudiesen resolver de esa manera sería entendible la introducción de los otros dos métodos en
bachillerato pero esto no es así.
Los alumnos del bachillerato de ciencias tienen ante sí una disyuntiva acerca del método que
deben emplear. En este sentido, es decisivo el hecho de que el sistema de ecuaciones que se pregunta
en las pruebas de acceso a la Universidad se resuelva sin problemas siguiendo los pasos del esquema
de la tabla 1 basado en el método de Cramer. Debido a esto los profesores, que deben exprimir al
máximo el tiempo del que disponen, suelen preferirlo frente a otras técnicas y, finalmente, este es el
preferido por muchos alumnos, incluidos los del bachillerato de ciencias sociales. Una circunstancia
relativa a este método, es la no simplificación previa de la matriz con las operaciones elementales de
fila: es claro que si se hace se llega a un sistema escalonado cuya resolución resulta evidente y vaciaría
de sentido al citado método.
La no simplificación de la matriz se observa también en el método de Rouché - Fröbenius. En
este caso es el cálculo del rango el que se beneficiaría de ello. Y no sólo el rango: el propio sistema
quedaría casi resuelto. En los textos de bachillerato, cuando se trata de calcular el rango de una matriz
relacionada con un sistema de ecuaciones, se opta por la técnica denominada “orlar la matriz”, que
puede incrementar innecesariamente el número de operaciones. Pero lo peor es que crea confusión en
los alumnos sobre el concepto de rango: parece que es distinto el de una matriz general que el de una
que surge de un sistema de ecuaciones.
En este artículo nos preguntamos el por qué de la pervivencia de distintos métodos para el
cálculo de rangos y la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, y nos cuestionamos si tanta
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técnica puede contribuir al enmascaramiento de los conceptos en lugar de aclararlos. La postura de los
autores de este artículo es decidida a favor de utilizar la misma técnica de simplificación matricial, ya
sea para obtener un rango o para discutir un sistema de ecuaciones. De hecho, es así como se hace en
primera instancia en los textos de bachillerato y también en los universitarios.
Bibliografía
Anton, H. (1991) “Introducción al álgebra lineal”, Limusa, 5ª edición.
Colera, J.; Oliveira, M.J. (2009) “Matemáticas II. 2º bachillerato”, Anaya.
Escoredo, A. y otros (2009) “Matemáticas II. 2º bachillerato”, Santillana.
Grossman, S. (1992) “Álgebra lineal con aplicaciones”, McGraw-Hill, 3ª edición.
Tall, D.; Vinner, S. (1981) “Concept image and concept definition in mathematics with particular
reference to limits and continuity”, Educational Studies in Mathematics Education, nº 12, pp. 151169.
Félix Martínez de la Rosa. Doctor en Matemáticas y Catedrático de Escuela Universitaria de
Matemática aplicada en la Universidad de Cádiz. Investigaciones en educación matemática acerca de la
diferenciación de funciones reales de una y dos variables, el uso de la visualización en la docencia de las
matemáticas y la detección de errores de concepto. Email: [email protected]
Soledad María Sáez Martínez. Doctora en Matemáticas y profesora colaboradora en la Universidad de
Cádiz. Email: [email protected].
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 49-73
¿Pueden nuestros estudiantes construir conocimientos matemáticos?
Pedro Cobo Lozano (Instituto de Enseñanza Secundaria Pius Font i Quer. España)
Mª Antonia Molina Hernández (Universidad Politécnica de Cataluña. España)
Fecha de recepción: 29 de abril de 2013
Fecha de aceptación: 20 de diciembre de 2013
Resumen
Este es un artículo sobre resolución de problemas en las clases de matemáticas. En él
mostramos cómo los estudiantes pueden construir conocimientos matemáticos y dar
significado a los mismos. Para ello, establecemos una metodología con la que los
estudiantes aprenden a gestionar sus propios procesos de resolución. Además, definimos
el rol del profesor y de los estudiantes y resaltamos la importancia de las tareas que
proponemos para el aprendizaje, por su capacidad de favorecer la actividad en el aula.
Palabras clave
Resolución de Problemas, Procesos de Gestión, Heurísticas, Tareas ricas, Interacciones
sociales.
Abstract
This paper is about problem solving in mathematic lessons. It shows how students can
build mathematical knowledge and give meaning to them. We focus on a methodology in
which students learn to manage their own solving process. Furthermore, we define the
role of the teacher and the students, and we emphasize the importance of the tasks we
propose for learning, by its ability to promote the activity in the classroom.
Keywords
Problem solving, Managerial process, Heuristics, Rich tasks, Social interactions.
1. Introducción
¿Qué han aprendido nuestros estudiantes de cuarto curso de enseñanza secundaria después de un
proceso de enseñanza y aprendizaje de la resolución problemas de matemáticas? Empezamos este
artículo mostrando algunas respuestas de los estudiantes a esta pregunta.
Hemos aprendido: “a formularnos preguntas para llegar más allá de la solución, “a resolver
problemas desde el final”, “a hacer matemáticas, a crearlas”, “que de cualquier cosa cotidiana puede
salir un problema de matemáticas”, “a resolver problemas que nunca nos hubiéramos pensado que
pudiéramos resolver”, “que si empiezas por las cosas más sencillas después te saldrán las más
difíciles”, “que no hay solo un camino para resolver los problemas”, “a buscar relaciones entre
números y buscar el porqué de estas relaciones”, “a alargar un problema, no quedarnos con el
resultado, buscar variantes, investigar”, “a inventarnos nuestras propias fórmulas a partir de la
observación y la comparación”, “a generalizar problemas concretos”, “a resolver problemas mediante
el método de inducción”, “que las matemáticas pueden ser divertidas”, “a trabajar en grupo, a
organizarnos la tarea, a ayudarnos, más que a seguir las instrucciones del profesor”; “a valorar las
opiniones de los otros componentes del grupo”, etc.
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¿Pueden nuestros estudiantes construir conocimientos matemáticos?
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A continuación el lector tendrá la oportunidad de comprobar si esas respuestas se corresponden
con la realidad o no, y si realmente estos estudiantes construyen conocimientos matemáticos y cómo lo
hacen.
Antes de ello, y para concretar nuestros puntos de vista, expresamos lo que entendemos por
resolución de problemas, establecemos los principios básicos en los que basamos nuestro modelo de
enseñanza y concretamos los objetivos que nos proponemos.
De las muchas acepciones del término ‘resolución de problemas’, consideramos la que tiene que
ver con el desarrollo de las habilidades estratégicas relacionadas con la gestión de los procesos y con
los contenidos matemáticos implicados en las resoluciones, especialmente los procedimentales. En
consecuencia, exponemos a nuestros estudiantes a nuevas formas de enseñanza en las que se
modifican los roles tradicionales de profesor y estudiante, y en las que las tareas que se proponen sean
adecuadas a la generación del conocimiento que se pretende.
Basamos nuestro modelo de enseñanza en dos ideas fundamentales, relacionadas con la forma
de actuar del profesor y de los estudiantes, y con las características de las tareas que proponemos:
 Para nosotros, el buen profesor no actúa, hace actuar a los estudiantes. Es decir, la
intervención del profesor se ha de optimizar. Entendemos que su labor no ha de ser la de
explicar cosas y más cosas, hacer clases magistrales, convertirse en el centro de la
enseñanza, sino que ha de ceder el protagonismo a sus estudiantes, intentando conseguir que
sean ellos los que generen la actividad en el aula. Esta idea está en la línea de las teorías del
constructivismo social, que preconizan que los estudiantes han de ser los protagonistas
principales de su aprendizaje y, por tanto, los que construyan su propio conocimiento, que
ha de ser socialmente compartido.
 Las tareas han de ser ricas, en el sentido de: presentar situaciones contextualizadas próximas al
alumno; generar actitudes de curiosidad y de interés para su resolución; ser abiertas para
permitir que se aborden de diferentes maneras y, con ello, facilitar una mejor atención a la
diversidad; presentar la información inicial usando diferentes representaciones; permitir
establecer conexiones entre diferentes contenidos matemáticos y con otras materias; etc.
Así pues, el objetivo que perseguimos es mostrar cómo nuestros estudiantes aprenden, por una
parte, las heurísticas implicadas en la resolución de problemas y, por otra, la gestión de sus propios
procesos de resolución, de tal manera que, tras un proceso inicial de aprendizaje, ellos por sí solos
sean capaces de construir conocimientos matemáticos diversos y dar significado a los mismos.
Para conseguir ese objetivo, explicamos, en primer lugar, qué entendemos por gestión en la
resolución de problemas, separándola de lo que es la gestión de la clase, aunque en muchos momentos
ambos tipos de gestión estén muy próximos o incluso se solapen. Después, detallamos la metodología
que seguimos, y mostramos y comentamos las producciones de los alumnos en las clases de
matemáticas en los tres problemas que proponemos. Por último, en las reflexiones finales, trataremos
de responder a la pregunta del título de este artículo.
2. Qué entendemos por gestión de los procesos de resolución de problemas
Cuando hablamos de gestión de los procesos de resolución nos referimos a las preguntas (o
mensajes) que nos hacemos (o en los que pensamos) cuando estamos resolviendo un problema, que
tienen por finalidad conseguir activar o reactivar el proceso de resolución o simplemente reflexionar
sobre él. Y cuando decimos que queremos convertir la gestión en objeto de enseñanza y aprendizaje en
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nuestras clases estamos pensando en que los estudiantes han de aprender, en cada momento del
desarrollo de la actividad, a hacerse las mismas preguntas que un profesor experto les haría, y han de
aprender a responderlas.
En primer lugar, los estudiantes han de tener claro lo que se espera de ellos cuando se les
propone un problema, es decir, qué les pedimos y qué pretendemos que aprendan. Les pedimos que:
 Resuelvan el problema de todas las formas que sean capaces. Por tanto, el reto está no sólo
en resolver el problema utilizando una estrategia, sino que han de intentar buscar otras
estrategias de resolución. Aquí incluimos la utilización de todo tipo de contenidos
matemáticos (conceptos, procedimientos técnicos, heurísticas) y de gestión. Con esta
demanda conseguimos que cada pequeño grupo de alumnos pueda ir a su ritmo, facilitando
con ello la atención a la diversidad.
 Generen variantes del problema propuesto y que las resuelvan. Es decir, han de responder a
la pregunta: ¿qué podemos variar del enunciado del problema original? Se les enseña, a base
de práctica, que han de analizar el enunciado del problema e indicar los elementos que se
puedan cambiar.
 Busquen regularidades entre las variantes que han generado y traten de generalizar
resultados, no perdiendo nunca de vista ni el problema inicial ni las variantes generadas.
Además, se espera que aprendan a gestionar los procesos de resolución. Para ello, en Cobo
(2004a) podemos encontrar una batería de preguntas y mensajes ordenados según la fase del proceso
de resolución en la que nos encontremos.
Así por ejemplo, en la fase de comprensión del problema, los mensajes a enviar a los
estudiantes, y que ellos tienen que ir asimilando, podrían ser del tipo:






Trata de comprender bien las condiciones del problema.
Identifica el objetivo del problema.
Vuelve a leerlo lentamente.
Intenta comprender todas las palabras del enunciado.
Recuerda los conceptos matemáticos que hay en el enunciado.
Organiza la información que tienes, etc.
En la fase de planificación/ejecución, los mensajes podrían ser del tipo:









Piensa en un problema más sencillo.
Experimenta.
Piensa en alguna conjetura.
Inventa alguna representación simbólica.
Busca problemas análogos.
Trata de construir figuras.
Busca casos más sencillos.
Si ya has establecido un plan, ejecútalo.
Si has establecido una conjetura, trata de buscar relaciones entre los elementos del problema,
etc.
En la fase de verificación, los mensajes podrían ser del tipo:
 Comprueba los resultados, mira si son coherentes.
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 Reflexiona sobre la posibilidad de revisar la solución que has obtenido. Si es necesario sigue
un orden inverso a los pasos de la solución.
 Reflexiona sobre cómo surgieron las ideas que te llevaron a la solución.
 Haz un repaso de los contenidos matemáticos que has utilizado.
 Reflexiona sobre estas preguntas:
o ¿Has propuesto varias estrategias a lo largo de la resolución?
o ¿Las has examinado todas?
o ¿Te parece que has desarrollado la más adecuada?
Y cuando se pretende que los estudiantes generen problemas nuevos a partir del inicial, los
mensajes podrían ser del tipo:
 ¿Qué elementos del enunciado piensas que se pueden variar?
 ¿Se obtienen enunciados coherentes si variamos algún elemento?
 ¿Y si variamos dos o más simultáneamente?
 ¿Puedes invertir el enunciado del problema?
 ¿El problema te sugiere otros similares?
 ¿Puedes generalizar el enunciado del problema?, etc.
Se ha de hacer notar que estos mensajes que al principio el profesor envía a los alumnos cuando
se los demandan, ni uno ni los otros los han de aprender de memoria, simplemente, a base de ir
adquiriendo experiencia, se han de ir incorporando de manera natural al bagaje de conocimientos de
los estudiantes.
Además, se ha de tener presente que, en el inicio de la fase de aprendizaje, siempre hay una
demanda excesiva de ayuda por parte de los estudiantes. Es fundamental que el profesor se limite a
enviar mensajes que no conviertan el problema en un simple ejercicio.
3. Qué lugar ocupa la gestión en la resolución de problemas
Desde que en los años 80, algunos investigadores, como Schoenfeld (1987), adaptan la
definición de Flavell sobre metacognición a la resolución de problemas, son pocos los profesores que
han llevado a la práctica y han dado la importancia que se merecen a aspectos tales como las
creencias, las intuiciones, las emociones o cómo controlan los propios estudiantes lo que hacen cuando
resuelven problemas. Nosotros fijaremos nuestra atención en esta última cuestión, relacionada con la
gestión en los procesos de resolución y su enseñanza y aprendizaje en las aulas de matemáticas.
En los años 90, algunas investigadoras como Fernández, M. L. y otras. (1994) ya sitúan a la
gestión en el corazón de los procesos de resolución de problemas, siendo la que los organiza y los
controla (Figura1).
Estas investigadoras contraponen su modelo de naturaleza cíclica y dinámica de los procesos de
resolución (Figura 1), a los modelos que enfatizan en la linealidad de dichos procesos, propios de
muchos libros de texto, y que son inconsistentes con la actividad real de resolver problemas.
Además, nosotros consideramos que ese modelo cíclico y dinámico no estaría completo si no
contempla otros aspectos implicados en los procesos de resolución y en la enseñanza que se deriva de
ellos. Así pues, lo hemos acompañado sobrepuesto a tres capas en las que hemos evidenciado la
importancia que damos a los conocimientos matemáticos, a la conciencia del proceso que se sigue y a
la comunicación.
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Figura 1. Situación de la Gestión en los procesos de resolución de problemas (adaptada de Fernández, M. L y
otros, 1994)



Cuando hablamos de conocimientos matemáticos, nos referimos a los relacionados con
contenidos conceptuales; con procedimientos técnicos (o técnicas), que incluyen los
algorítmicos y los que están asociados a los contenidos matemáticos de los problemas que se
resuelven; y con los procedimientos heurísticos (o heurísticas), entendidos según L. Puig
(1996) como: “modos de comportamiento al resolver problemas y los medios que se utilizan
en el proceso de resolverlos que son independientes del contenido y que no suponen garantía
de que se obtenga la solución”(p. 38).
La conciencia de los procesos que se siguen y que pretendemos que los alumnos alcancen se
ha de encuadrar, como señalan Mayor y otros (1993), dentro de los niveles más altos o
conciencia reflexiva, procurando obviar aquellos niveles de conciencia vaga o meramente
funcional. Así pues, los estudiantes deberán tener conciencia, en general, de todos sus actos
importantes durante los procesos de resolución (tomas de decisiones, descubrimientos,
interpretaciones, preguntas clave, etc.) y reflexionar sobre ellos.
Se ha de potenciar el uso de diferentes formas de representación para comunicar lo que se
quiere expresar. Partiendo de la verbalización, el uso del lenguaje numérico y gráfico, hasta
llegar, de manera progresiva, a la utilización del lenguaje simbólico (DOGC, 2007).
En este modelo cíclico y dinámico, la gestión está presente en todas las fases de la resolución de
un problema. Por tanto, es esencial que los programas de enseñanza de resolución de problemas
tengan presente formas de aproximarnos a ella. Así pues, la metodología que proponemos a
continuación contempla esa enseñanza, en la que se visualiza la gestión, los conocimientos
matemáticos, la toma de conciencia de los procesos y la comunicación en sus diversas formas.
4. Metodología para la enseñanza y el aprendizaje de la resolución de problemas
En los apartados anteriores hemos hablado de la relación entre el profesor y el estudiante por lo
que respecta a la gestión de los procesos de resolución de problemas. Ahora extendemos esa relación a
la manera en que el profesor ha de gestionar el funcionamiento general de la clase.
Para que los estudiantes consigan los objetivos que nos proponemos es necesario que las clases
tengan una estructura de funcionamiento determinada, en la que queden claras las funciones que cada
elemento (profesor, estudiante, tarea) ha de desempeñar.
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Dividimos la descripción de dicho funcionamiento en tres fases: registro de los procesos de
resolución, reflexión y puesta en común, y elaboración de un informe final (Cobo, 2004b). Además,
resaltamos después otros elementos metodológicos.
4.1. Registro de los procesos de resolución
En el inicio, los estudiantes reflexionan individualmente sobre el problema propuesto durante un
tiempo breve.
Después, formamos grupos de tres o cuatro estudiantes.
A pesar de que los estudiantes que participan tienen experiencia en la resolución de problemas,
las primeras sesiones de una nueva secuencia didáctica siempre suelen ser de experimentación y
aprendizaje en lo que se refiere a cómo gestionar los procesos de resolución, a la importancia de la
función del moderador y/o secretario en esa gestión, y a la realización de informes escritos
provisionales como elementos generadores de reflexión y comunicación. También, en estas sesiones
puede haber falta de recursos en la utilización de estrategias heurísticas por parte de los estudiantes,
que se va subsanando conforme van participando en una segunda fase que es la puesta en común con
toda la clase.
4.2. Reflexión y puesta en común
Ahora, los estudiantes exponen al grupo-clase sus resultados y la forma de obtenerlos, y el
profesor va fomentando la participación de todos, analizándose conjuntamente los aspectos más
relevantes relacionados con los contenidos matemáticos que utilizan y con la gestión de los procesos
desarrollados, por ejemplo:
 Por qué es importante hacer una tabla o un diagrama y las consecuencias que puede tener en la
obtención de nuevos datos que ayuden a resolver el problema.
 Cómo puede evolucionar la realización de tablas o diagramas a medida que se avanza en la
resolución del problema.
 Cómo se ataca un problema de forma inductiva y la importancia de ser sistemáticos y de
ordenar la información que se vaya obteniendo.
 Cómo y cuándo podemos utilizar la estrategia de ensayo-error.
 Cómo podemos abordar la resolución de un problema empezando por el final y trabajando
hacia atrás.
 Qué importancia tiene elegir una representación simbólica adecuada.
 En qué momentos se han bloqueado los estudiantes y las posibles explicaciones y salidas a
esos bloqueos.
 Cómo se han hecho las revisiones de los procesos de resolución y de los resultados obtenidos;
etc.
Hemos de tener presente que las puestas en común en el grupo-clase y las discusiones que en
ellas se generan han de servir para que los estudiantes reflexionen y tomen conciencia de sus procesos
de resolución, así como para unificar criterios, intentar solucionar bloqueos y conflictos, dar
significado a los contenidos matemáticos involucrados en las resoluciones, y establecer, compartir y
aceptar por todos los conocimientos matemáticos generados. La propuesta interactiva de Schoenfeld
(2011) sobre la discusión de un tópico nos sirve como modelo para dirigir el debate en nuestras clases.
Para facilitar y fomentar la participación de los estudiantes hemos de transmitirles la idea de que
no importa que se equivoquen, lo importante es rectificar y seguir buscando. Esa insistencia en la
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búsqueda de soluciones y en la generación de problemas es la que hace que se consigan los objetivos
que nos proponemos.
4.3. Elaboración de un informe final escrito
Como recopilación final, proponemos a los estudiantes que, en casa e individualmente, elaboren
un informe final escrito del proceso de resolución, que es el que entregarán al profesor. Además, el
profesor selecciona a uno de los grupos para que exponga a toda la clase la resolución del problema,
ayudándose de los medios técnicos y materiales didácticos que considere oportunos.
Esta estructura metodológica que acabamos de exponer no es rígida. El profesor puede proponer
puestas en común en cualquier momento del proceso de resolución, por ejemplo cuando los
estudiantes estén bloqueados, o cuando se crea conveniente unificar las líneas de trabajo que hayan de
seguir. También, si durante las puestas en común se generan contenidos matemáticos interesantes, el
profesor puede proponer volver a trabajarlos en grupos pequeños.
4.4. Otros elementos metodológicos
Resaltamos aquí tres aspectos metodológicos más, relacionados con la actuación del profesor
antes y durante las clases de matemáticas, por la importancia que tienen en el desarrollo de los
procesos de resolución generados por los estudiantes. Concretamente, nos referimos a las
características de los problemas que proponemos, a la manera de formar los grupos de trabajo en clase
y a la actuación del profesor cuando hay estudiantes con dificultad de comprensión, cuando
pretendemos unificar las líneas de trabajo en el aula o cuando hay bloqueos y conflictos.
a) Los problemas que proponemos forman una secuencia didáctica contextualizada en la
enseñanza y aprendizaje del Álgebra. En el desarrollo de esta secuencia se utilizan
aproximadamente entre 12 y 14 horas de clase.
Los estudiantes ya tienen nociones algebraicas de cursos anteriores. Lo que pretendemos es
que consoliden aspectos concretos como la búsqueda de relaciones y regularidades para
obtener patrones, el análisis y la representación de estructuras matemáticas, y la búsqueda de
modelos para representar y comprender relaciones cuantitativas (DOGC, 2007), al mismo
tiempo que avancen en la utilización de heurísticas para la resolución de problemas. Para
conseguir esto e implicar a los estudiantes desde el principio proponemos problemas en los
que primen los contenidos procedimentales, que sean abiertos y permitan introducir variantes
que puedan resolver los estudiantes, que sean relativamente fáciles de resolver en su
presentación inicial y que esa resolución se pueda hacer de diferentes formas. (Cobo, 2004a).
b) La composición de los grupos de estudiantes que trabajan en la resolución de los problemas ha
de ser variada respecto a las capacidades de los estudiantes y a su rendimiento académico. Con
ello conseguiremos: integrar a todos los estudiantes, que no haya diferencias importantes en el
desarrollo de la resolución de los problemas de unos grupos a otros y que haya aportaciones
por parte de casi todos los grupos. Además, es importante ir cambiando la composición de
estos grupos de trabajo cuando cambiamos de problema, siempre procurando mantener los
criterios de formación de cada grupo.
c) Cuando estamos en el aula, para que los estudiantes puedan conseguir los objetivos que
perseguimos, el profesor ha de aplicar unas líneas básicas de actuación, que resumimos a
continuación y que también iremos resaltando en las descripciones de los procesos de
resolución generados por los estudiantes (apartado 5).
 Si queremos que los estudiantes generen buenos procesos de resolución han de tener
tiempo suficiente para desarrollarlos.
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


Las reflexiones conjuntas que tienen lugar en las puestas en común son los momentos
en los que se intentan solucionar las dificultades de comprensión, en los que se
unifican las líneas de trabajo de los diferentes grupos y donde se abordan los bloqueos
y conflictos que se produzcan. El profesor tiene que dar siempre prioridad a que sean
los propios estudiantes los que resuelvan las cuestiones y dificultades que se planteen.
El profesor ha de respetar el desarrollo de los procesos de resolución que vayan
generando los diferentes grupos de trabajo y solo cuando considere que la dispersión
del trabajo en la clase sea amplia, delimitará, en una puesta en común, las diferentes
líneas de trabajo propuestas por los estudiantes y les instará a trabajar sucesivamente
en cada una de ellas.
El profesor ha de procurar anticipar las dificultades que puedan tener los estudiantes,
para intentar solucionarlas conjuntamente en el grupo-clase. Normalmente, estas
dificultades suelen producirse cuando se aborda por primera vez algún contenido
matemático. Por ejemplo, cuando se producen las primeras generalizaciones o la
realización de tablas específicas u otras estrategias heurísticas, cuando, para avanzar,
necesitan de la introducción de un nuevo contenido conceptual, cuando hay bloqueos
en la búsqueda de nuevas variantes, etc.
5. Los estudiantes que participan y las resoluciones que generan
La experiencia que describimos en los siguientes parágrafos corresponde al desarrollo de las
clases ordinarias de matemáticas de un grupo-clase de cuarto curso de la ESO, de 29 estudiantes, con
capacidades matemáticas avanzadas, aunque no todos con un rendimiento académico alto en esa
materia. Este grupo-clase corresponde a la distribución que se hace habitualmente en el centro de
enseñanza donde se desarrolla la actividad en la que se tienen en cuenta los rendimientos académicos
en las materias instrumentales.
Además, a lo largo del curso, los estudiantes han adquirido, con su profesor de matemáticas,
experiencia en desarrollar las unidades didácticas enfocadas desde el punto de vista de la resolución de
problemas, como mostramos en este artículo, pero también utilizando otros tipos de enfoques, como,
por ejemplo, a partir de proyectos didácticos (Grup Vilatzara, 2001), o partiendo de un problema
inicial, como elemento motivador, que se va resolviendo conforme se van introduciendo conceptos
matemáticos nuevos, en la línea de algunas “mini unidades didácticas” del proyecto Intermates
(http://www.edu365.com/aulanet/intermates/).
En cualquier caso, sea cual sea el enfoque que utilicemos, siempre intentamos fomentar que los
estudiantes se involucren y sean los protagonistas principales de la actividad.
Todos los resultados que mostramos a continuación han sido obtenidos por los estudiantes en
las clases de matemáticas. Sólo los informes escritos los realizaron como deberes fuera del aula.
5.1. Problema de la suma de números consecutivos
Este problema es el primero de los propuestos en muchos libros de texto dentro del tema de
Álgebra, en cursos anteriores al 4º de la ESO. Puede resolverse en 5 minutos y ser abandonado, o
convertirse en una actividad rica a base de resolver las variantes que los estudiantes van generando. Su
enunciado es el siguiente:
Calcula tres números naturales consecutivos cuya suma sea 60.
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5.1.1. Búsqueda de soluciones
Después de un trabajo en grupos relativamente corto, hacemos una puesta en común para que
los estudiantes propongan las diferentes soluciones. Resumimos a continuación las que se proponen.
1. Utilizan el leguaje algebraico, siguiendo una de las dos formas:
x + x+1 + x+2 = 60, o (x-1)+x+(x+1) = 60.
2. Utilizan el método de ensayo-error: “Hemos probado primero con 15, 16 y 17, y como no
llegan a 60, aumentamos los números hasta encontrar el resultado”.
3. Dividen por 3: “Hemos dividido 60 entre 3 y nos ha dado 20, por tanto 20, 20 y 20, y
quitamos 1 del primero y se lo sumamos al tercero”.
4. Analizan posibilidades: “Hemos hecho todas las posibilidades y hemos llegado a que 9, 0 y
1 son las únicas tres cifras consecutivas que suman 0, que es la cifra de las unidades del 60,
y a partir de aquí hemos encontrado los tres números: 19, 20 y 21”.
5. Suman los tres primeros números naturales: “1+2+3=6, la suma total menos 6 dividida entre
3 y al resultado se le suman 1, 2 y 3”.
6. Utilizan la proporcionalidad: “elegimos tres números consecutivos cualesquiera, por
ejemplo, 7+8+9=24, cogemos el del centro y establecemos la proporción:
8
x
, de

24 60
aquí resulta que x = 20 y los números son 19, 20 y 21”.
5.1.2. Propuesta y resolución de variantes
1. Los estudiantes empiezan cambiando el valor de la suma de los tres números consecutivos,
y responden a preguntas como: ¿el enunciado estaría bien construido si la suma toma
cualquier valor?, ¿qué propiedad ha de tener la suma para que el enunciado esté bien
construido?, e intentan buscar respuestas y justificaciones a esas preguntas.
Utilizan como suma (n) de los tres números valores concretos, y utilizan expresiones
algebraicas para concluir que la suma ha de ser múltiplo de 3:
(x-1)+x+(x+1)=n; 3·x=n
2. A continuación suman 2, 3, 4… números consecutivos, y tratan de buscar las características
que ha de tener la suma (n) para que el enunciado esté bien construido.
En los distintos grupos de trabajo, se producen formas diferentes de abordar esta variante,
que el profesor ha de respetar. Así, unos grupos van elaborando la Tabla 1.
Suma de k números
consecutivos
Justificación algebraica
Resultados
2
x+(x+1)=n; 2x=n-1
n=2x+1
3
(x-1)+x+(x+1)=n
(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=n
(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)=n
(x-2)+(x-1)+x+(x+1)+(x+2)+(x+3)=n
n=3x
4
5
6
n=4x+2
n=5x
n=6x+3
Tabla 1. Características de la suma de 2, 3, 4,... números naturales consecutivos
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De esta manera obtienen el resultado general, que lo expresan de la forma siguiente:
 “Si sumamos una cantidad impar de números consecutivos, n siempre será múltiplo de esta
cantidad. Es decir, si sumamos k números, n será múltiplo de los k números que hemos
sumado.
n=k·x”
 “Si sumamos una cantidad par de números consecutivos, n siempre será múltiplo de esta
cantidad, más la mitad de la misma cantidad. Es decir, si sumamos k números.
n=k·x+(1/2)·k”
Otros grupos de estudiantes, siguen la quinta solución propuesta en el apartado 5.1.1 y
consiguen la generalización a partir de la propuesta:
x+1+x+2+x+3+…+x+k = x+…(k-veces)…+x +1+2+3+…+k
Y, para calcular la suma, hacen un esquema como el de la Figura 2.
Figura 2. Visualización de la suma x+…(k-veces)…+x +1+2+3+…+k
Obteniendo el resultado como suma de las dos áreas
n = x+…(k-veces)…+x +1+2+3+…+k = k·x + k·(k-1)/2 + k·1 = k·x + k·(k+1)/2
Y no llegan a establecer el valor de n como múltiplo (o no) de k porque no diferencian que k
pueda ser par o impar.
En este momento, los estudiantes exponen sus soluciones en una puesta en común para toda la
clase, y como hay desavenencias en los resultados que muestran, les pedimos que traten de
unificar los resultados que han obtenido, diferenciando los casos en los que k sea par o impar.
Esa unificación se produce, llegándose a la misma generalización en los dos desarrollos que
hemos expuesto.
Por otra parte, el profesor explica qué es una progresión aritmética y reparte el material
didáctico de la Figura 3a, con la finalidad de que los estudiantes generen el procedimiento de
la suma de los términos de una progresión aritmética (Figura 3b).
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(a)
(b)
Figura 3. Material didáctico para generar el procedimiento de la suma de los primeros términos de una
progresión aritmética
Los estudiantes pronto visualizan cómo conseguir la suma de los primeros números
naturales y el procedimiento general para obtener la suma de los k primeros términos de
cualquier progresión aritmética. El profesor, simplemente, resalta el valor que tiene dicho
procedimiento en matemáticas.
3. Después, los pequeños grupos continúan considerando otra variación del enunciado inicial,
como es averiguar qué pasa si los números naturales que se suman no son consecutivos, por
ejemplo, si están separados por dos, tres, cuatro… unidades.
Y van elaborando tablas, buscando regularidades y llegan a las siguientes conclusiones:
“En el caso de que sumemos una cantidad impar de números (k), la distancia entre los
números no afecta a la conclusión final, es decir, en todos los casos, n es múltiplo de la
cantidad de números sumados: n=k·x”
“En el caso de que sumemos una cantidad par de números (k), n será múltiplo de la cantidad
de números sumados más la mitad del producto de los números sumados por la distancia
entre ellos (m), es decir, n= k·x+1/2·k·m
4. Llegados a este extremo, algunos grupos han observado que hay números que no tienen
descomposición posible como suma de números consecutivos, en cambio hay otros que
tienen una o más descomposiciones, y la pregunta que surge es: ¿qué números se pueden
expresar como suma de números naturales consecutivos?
Encuentran regularidades en los números que no se pueden descomponer, en ningún caso,
como suma de números naturales consecutivos, que son las potencias de 2, pero no
encuentran regularidades entre los números que sólo tienen una descomposición, o dos, o
tres, etc.
5. Otra variante que los estudiantes consideran y que no tiene mucho recorrido es la de pensar
qué pasa si sustituyen la suma de números naturales consecutivos por el producto. Por
ejemplo, empiezan suponiendo que el producto de tres números naturales consecutivos es
24. Y buscan, mediante la descomposición factorial, números cuyos factores se puedan
agrupar en tres que sean consecutivos.
Otros estudiantes razonan al revés, van multiplicando números naturales consecutivos y
observan los resultados. Por ejemplo, si un número natural (n) se puede expresar como
n=a·(a+1)·(a+2), el siguiente (m) es de la forma m = n·(a+3)/a.
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6. Otros grupos también buscan patrones en la suma de los cuadrados de tres números
naturales consecutivos. Obtienen regularidades en las que aparecen la suma de los
cuadrados de números naturales consecutivos.
El profesor podría continuar esta actividad utilizando modelos con discos y conos hechos de
plastilina para calcular y justificar la suma de los cuadrados de números naturales
consecutivos (Somchaipeng y otros, 2012).
5.1.3. Puesta en común de los resultados obtenidos en la resolución del problema de la suma de
números consecutivos
En la puesta en común general, a medida que los estudiantes van haciendo sus exposiciones, el
profesor va fomentando la participación de todos y va resaltando los contenidos matemáticos o de
gestión que están implícitos en las resoluciones que presentan. Así por ejemplo, en esta puesta en
común se habla de:
 Múltiplos y divisores. Criterios de divisibilidad.
 Utilización del lenguaje algebraico.
 Estrategia de ensayo-error.
 Análisis de posibilidades.
 Procesos inductivos (realización de tablas).
 Generalizaciones de propiedades.
 Procesos de conjeturar y probar.
 Comunicación de los procesos de resolución.
 Identificación de las dificultades que han tenido y la forma en que las han superado.
 Exposición de las ideas a las críticas de otros.
 Generación de nuevos problemas.
 Progresiones aritméticas. Suma. Etc.
5.2. Problema de Jaimito
Jaimito sale de casa con un mazo de cromos y vuelve sin ningún cromo. Su madre le pregunta
qué ha hecho de los cromos.
- A cada amigo que he encontrado le he dado la mitad de los cromos que llevaba más uno.
- ¿Cuántos amigos te has encontrado?
- Seis.
¿Cuántos cromos llevaba Jaimito cuando salió de casa?
5.2.1. Búsqueda de soluciones
Los diferentes grupos de la clase abordan la resolución de este problema, esencialmente, de dos
formas:
1. Siguiendo un procedimiento a la inversa, es decir, empezando por el final. Si a cada amigo
le da la mitad de los cromos más 1, quiere decir que a Jaimito le quedan, cada vez, la mitad
de los cromos menos 1, es decir, tendrán que sumar 1 cromo a los que tiene y multiplicar el
resultado por 2. De esta manera, construyen tablas como la siguiente (Tabla 2) para obtener
el resultado final.
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Amigo 6 (último)
Amigo 5 (penúltimo)
Amigo 4
Amigo 3
Amigo 2
Amigo 1
(0+1)·2=2
(2+1)·2=6
(6+1)·2=14
(14+1)·2=30
(30+1)·2=62
(62+1)·2=126
Tabla 2. Procedimiento “empezar por el final”
2. Siguiendo un procedimiento directo, es decir, empezando por el amigo 1, el 2, el 3, etc.,
planteando un esquema como el de la Tabla 3, e igualando el resultado final a cero.
Obtienen el resultado final x=126.
Tabla 3. Utilización del lenguaje algebraico para resolver el problema
Otros grupos, siguiendo este procedimiento, utilizan las mismas expresiones pero con los
números en forma de potencia y obtienen directamente una expresión general para el caso de n
amigos, de la forma:
Después de encontrarse al primer amigo tiene:
x
x 1
 1 ; después del segundo, tiene: 2   1 .
2
2 2
Y así sucesivamente hasta obtener la cantidad de cromos que le queda a Jaimito después del sexto
amigo:
x x x x x 1
      1.
26 25 24 23 22 2
Así pues, llegan a obtener la expresión de x de la forma x = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 = 126. Y,
de aquí, la expresión general para n amigos que sería: x = 2 + 22 + 23 + 24 +…+ 2n-1 + 2n . E indican
textualmente que “como esta operación es muy larga intentamos resolverla encontrando una fórmula a
partir de la Tabla 4”
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Amigos Cromos
2
6
14
30
62
126
254
1
2
3
4
5
6
7
Buscamos una fórmula para encontrar cuántos cromos
debería de tener sabiendo el número de amigos. Es:
2·(2n-1)
n: número de amigos
Tabla 4. Búsqueda de la expresión general para n amigos
Esta expresión, a la que no han llegado todos los grupos de trabajo, es motivo de comentarios y
reflexiones en una puesta en común que provoca el profesor. Se incide en esta generalización puesto
que es la primera con cierta dificultad que ha aparecido y el profesor ha de cerciorarse de que los
estudiantes que la han generado expliquen el proceso que han seguido y éste sea comprendido por los
demás. Después el profesor explica qué es una progresión geométrica y cómo se puede obtener la
suma de un número finito de sus términos.
5.2.2. Propuesta y resolución de variantes
1. La primera propuesta, integrada en la resolución del problema original, es, como vemos en
la Tabla 4, la consideración de n amigos.
2. La segunda propuesta de variación del enunciado que proponen los estudiantes es la de
considerar que, en lugar de dar a cada amigo la mitad de los cromos más 1, le demos la
mitad más 2, más 3, más 4…, más m.
Después de construir tablas como la Tabla 5, llegan a obtener una generalización para el caso
1
m
2
Amigos
1
2
3
4
5
6
1
1
2
2
6
14
30
62
126
1
2
2
4
12
28
60
124
252
1
3
2
6
18
42
90
186
372
Ahora lo hacemos también para 1/2+4.
Se ve que con 1/2+2 es el doble del
primero y con 1/2+3, es el triple. Por eso
la fórmula para saber el número de
cromos será: 2·(2n-1)·m
m: número que le sumamos a la
fracción
Tabla 5. Inicio del proceso inductivo y generalización del caso
1
m
2
Según explican los estudiantes, para obtener la generalización, simplemente observan que
cada columna se obtiene multiplicando la primera por m.
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3. La tercera variante, por otra parte lógica, que los estudiantes pretenden resolver es la de variar
la fracción, considerando que cada vez, Jaimito da a sus amigos
1 1
1
; ; ...; .
2 3
n
En este momento, los estudiantes empiezan a tener dificultades porque observan que no
1
de los cromos que tenía, más una cantidad. Después de
n
siempre es posible dar a los amigos
una puesta en común en la que expresan las dudas sobre la posibilidad de poder continuar
haciendo propuestas y desarrollando el enunciado inicial, el profesor da más tiempo a los
grupos de trabajo para que traten de resolver este primer bloqueo serio que se ha presentado.
Así, poco después, un grupo de alumnas propone a la clase que la variación lógica es
considerar que se da
1 2 3
n1
; ; ;...;
.
2 3 4
n
Entonces empieza una búsqueda frenética para encontrar generalizaciones que resuelvan el
caso planteado, llegando los estudiantes a producir, ordenar y generalizar datos como los que
se muestran en la Tabla 6.
Amigos
1
1
2
1
2
2
2
1
3
2
2
3
3
1
4
3
2
4
4
1
5
4
2
5
5
1
6
1
2
3
4
5
6
2
6
14
30
62
126
4
12
28
60
124
252
3
12
39
120
363
1092
6
24
78
240
726
2184
4
20
84
340
1364
5460
8
40
168
680
2728
10920
5
30
155
780
3905
19530
10
60
310
1560
7810
39060
6
42
258
1554
9330
55986

m

m

m

m
…
n
2 2n  1
1
3 3n  1
2
4 4n  1
3
5 5n  1
Tabla 6. Inicio del proceso inductivo sobre fracciones del tipo
Y a encontrar generalizaciones para el caso de
4
q 1
q
q 1
 m (Tabla 7).
q
1
no funciona, vamos probando con diferentes fracciones. Llegamos a la
3
q 1
2
4
conclusión que sólo funciona con fracciones del tipo
como por ejemplo
o , donde el
3
5
q
numerador es una unidad más pequeño que el denominador.
Viendo que con
Después vemos que para




2 2n  1
3 3n  1
1
2
m ; Para será:
m
la fórmula en realidad era:
2
3
1
2
Por tanto deducimos que la fórmula general será:
q: denominador de la fracción

q qn  1
q 1
n: número de amigos
m: número que le sumamos a la fracción
Tabla 7. Generalización al caso
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m
q 1
m
q
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En la idea del profesor de no abandonar ninguna línea de trabajo propuesta por los estudiantes y
una vez acabado el proceso de generalización para el caso de
q 1
 m , les propone insistir sobre el
q
caso que había quedado pendiente, es decir, investigar qué pasa si Jaimito da a cada amigo una tercera
parte más uno de los cromos que llevaba, una tercera parte más dos, una tercera más tres, etc.
Después de trabajar sobre este caso, un grupo de estudiantes escribe:
1
1
1,
3,
3
3
cromos que funcione”.
“Con
1
1
 5 , … ,  un número impar , no hay ningún número natural de
3
3
1
 un número par funciona, pero sólo con un amigo”.
3
1
1
“Con  2 y potencias de 2, funciona de la forma siguiente: para  2 funciona si sólo se
3
3
1
1
encuentra con un amigo; para  4 , funciona si se encuentra con 2 amigos; para  8 , funciona si se
3
3
1
encuentra con 3 amigos; para  2n funciona si se encuentra a n amigos”. Y realizan la tabla
3
siguiente (Tabla 8).
“Con
Amigos
1 (x1)
2 (x2)
3 (x3)
4 (x4)
5 (x5)
6 (x6)
1
2
3
1
4
3
1
8
3
1
 16
3
1
 32
3
1
 64
3
3
6
15
12
30
57
24
60
114
195
48
120
228
390
633
96
240
456
780
1266
1995
Tabla 8. Inicio del proceso inductivo para el caso
1
m
3
Y continúan la generalización realizando un proceso iterativo para el caso
1
 m , aplicando la
q
x

expresión x    m   0 , siendo x el número de cromos que tiene Jaimito antes de darle al
q

siguiente amigo. De esta manera, para el primer amigo será:
x

x1   1  m   0
 q

x1 
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x1
m0
q
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
1
x1  1    m
q

x1 
mq
q 1
Y utilizan la misma ecuación para saber el número de cromos que da al segundo amigo (x2), y
anteriores (Tabla 9)
Sustituyendo x1 por su valor:
Tabla 9. Proceso iterativo para el caso
1
m
q
Comprobando, con las fórmulas que obtienen, los valores de la Tabla 8
5.2.3. Puesta en común de los resultados obtenidos en la resolución del problema de Jaimito
Durante las exposiciones de los estudiantes, el profesor resalta los resultados que han obtenido,
y les va pidiendo que los relacionen, como por ejemplo cuando presentan los resultados de las Tablas
4 y 9:
x = 2 + 22 + 23 + 24 + … + 2n-1 + 2n = 2·(2n-1)
x5 
q5 m
 q  1
5

q4 m
 q  1
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4

q3 m
 q  1
3

q2 m
 q  1
2
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 q  1
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Donde les pide que, por similitud, calculen la suma general en el segundo caso. Hablan después
de las progresiones geométricas y de la importancia del cálculo de la suma de un número finito de sus
términos, y de que las generalizaciones en forma de expresiones algebraicas que van obteniendo
necesitan, para su validación, de una justificación más rigurosa que la simple observación. Los
estudiantes de estas edades no entienden todavía esa necesidad de demostración.
Además, el profesor va favoreciendo la participación de los estudiantes e invitándoles a la
reflexión sobre las aportaciones que van haciendo y, al mismo tiempo, va dando nombre a las
heurísticas y otros contenidos matemáticos y elementos de gestión que van apareciendo, como por
ejemplo:
 Comprensión e interpretación del enunciado.
 Estrategia de ensayo error.
 Procedimiento directo y de empezar por el final.
 Realización de tablas.
 Búsqueda y determinación de regularidades.
 Visualización de modelos.
 Procesos de inducción y generalización.
 Utilización de razonamientos.
 Generación y análisis de variantes de un problema.
 Interpretación de resultados múltiples.
 Utilización de expresiones algebraicas.
 Procesos iterativos. Iteración.
 Utilización de potencias y sus propiedades.
 Conceptos matemáticos de progresiones geométricas, múltiplos y divisores, etc.
5.3. El juego de las 21 cartas
El juego consta de tres iteraciones que acaban produciendo la posición fija de una carta
previamente elegida.
5.3.1. Cómo se juega
El profesor hace una presentación práctica del juego de la siguiente manera:
Baraja un paquete de 21 cartas diferentes. Con las 21 cartas boca abajo, y empezando por arriba,
reparte las cartas de una en una sobre una mesa en tres montones, de forma consecutiva, y dejando
todas las cartas boca arriba. Así, la primera carta quedará en el primer montón, la segunda, en el
segundo, la tercera, en el tercero, la cuarta, en el primero, la quinta, en el segundo, etc.
Mientras ejecuta la acción anterior pide a un estudiante que se fije en una carta y que, después
del reparto, solo señale el montón en la que se encuentra.
A continuación, agrupa los tres montones de forma que el que contiene la carta elegida quede
en el centro y, con las 21 cartas boca abajo, repite este proceso otras dos veces más.
Después de esas tres iteraciones, con las 21 cartas agrupadas y boca abajo, el profesor cuenta
mentalmente, desde la carta superior, hasta 11 cartas y señala la que ocupa ese lugar, adivinando, de
esta forma, la carta que el estudiante había elegido.
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El profesor vuelve a repetir la presentación anterior y después explica a los estudiantes los
objetivos de este juego: explicar de manera razonada cómo se encuentra la carta elegida y buscar
variantes del juego y resolverlos.
5.3.2. Cómo funciona
En la primera fase, los estudiantes han de ver cómo funciona el juego.
Para ello, y después de varios intentos, suponen, como ha hecho el profesor, que el montón de la
carta elegida en las tres iteraciones se coloca en la posición central y, en ese caso, describen el
funcionamiento del juego haciendo un seguimiento de la carta elegida. En la primera iteración, una
vez que saben el montón que contiene la carta elegida lo colocan entre los otros dos. O sea que la carta
elegida quedará entre las posiciones 8 y 14.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Suponen, por ejemplo, que la carta elegida es la que ocupa la posición 9. Hacen la segunda
iteración y observan que la carta de esa posición queda en el tercer montón (Tabla 10).
Posición en el montón
Montón nº 1
Montón nº 2
Montón nº 3
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
1
4
7
10
13
16
19
2
5
8
11
14
17
20
3
6
9
12
15
18
21
Tabla 10. Distribución de las cartas después de la segunda iteración
A continuación, sitúan el montón 3 (que contiene la carta 9) en el centro de los tres montones.
2 5 8 11 14 17 20 3 6
9
12 15 18 21 1 4 7 10 13 16 19
Finalmente hacen la tercera iteración (Tabla 11) y sitúan el primer montón (el que contiene la
carta 9) en el centro de los tres montones.
Posición en el montón
Montón nº 1
Montón nº 2
Montón nº 3
1ª
2ª
3ª
4ª
5ª
6ª
7ª
2
11
20
9
18
4
13
5
14
3
12
21
7
16
8
17
6
15
1
10
19
Tabla11. Distribución de las cartas después de la tercera iteración
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Quedando, al final distribuidas las cartas de la forma:
5 14 3 12 21 7 16 2 11 20 9 18 4 13 8 17 6 15 1 10 19
Con la carta número 9 en la posición 11.
Repiten el juego varias veces, eligiendo otras cartas en diversas posiciones y comprueban que,
al final, la carta elegida siempre ocupa la posición número 11 de entre las 21 cartas.
5.3.3. Generación de variantes. Generalizaciones
Como en los otros problemas, lo que pretendemos es que los estudiantes generen, resuelvan y
generalicen variantes de este juego.
Durante el desarrollo de la actividad, los grupos de estudiantes van trabajando sobre diferentes
variantes. Aproximadamente a la mitad del proceso de resolución, decidimos con los estudiantes
unificar las notaciones que utilizaban los diferentes grupos de trabajo para facilitar las puestas en
común. Mostramos aquí desde el principio esa notación unificada.
Así pues, llamamos p a la posición final de la carta elegida y mi a la posición del montón que
contiene la carta elegida tras la iteración i. Así, mi=1 significaría que el montón que contiene la carta
elegida tras la iteración i se coloca en la parte superior con las cartas boca abajo. En el ejemplo
anterior p sería 11, y m1, m2 y m3 serían siempre 2, ya que el montón que contiene a la carta elegida
siempre lo vamos colocando en segunda posición.
a) Algunos grupos consideran el juego en el que sean necesarias sólo dos iteraciones para
determinar la posición de la carta elegida.
Después de muchos intentos, encuentran dicha posición en función de la posición (m1 y m2)
del montón en el que está la carta elegida.
Observan que la carta elegida se puede adivinar considerando n2 cartas y realizando con ellas
dos iteraciones en n montones. Hacen tablas como las que mostramos en la Tabla 12. Por
ejemplo, para 9 cartas, 3 montones y 2 iteraciones, la Tabla 12b muestra las diferentes
posiciones finales de la carta elegida según que m1 tome los valores 1, 2 o 3 y m2 tome los
valores 1, 2 o 3.
m1
m2
1
2
1
2
1
3
2
4
m1
m2
1
2
3
(a)
1
2
3
1
4
7
2
5
8
3
6
9
(b)
m2
m1
1
2
3
4
1
2
3
1
5
9
13
2
6
10
14
3
7
11
15
4
4
8
12
16
(c)
Tabla 12. En cada tabla, posición p de la carta elegida para n2 cartas y n montones.
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La observación de estas tablas lleva a los estudiantes a obtener una expresión generalizada para
la posición de la carta elegida como la siguiente:
p= m1 + n·(m2-1)
El profesor pide a los estudiantes que expliquen el significado de esa expresión, y lo hacen de
la siguiente manera: “en la primera iteración cada montón representa una columna; en la
segunda, cada columna se distribuye en filas; por tanto, sabidas la columna y la fila se sabe la
posición de la carta elegida”. Están hablando, aunque no lo expliciten, de filas y columnas de
matrices cuadradas y de transpuesta de una matriz.
b) Una variante que surge es la de determinar la posición de la carta elegida en función del orden
en el que se vayan colocando los montones que la contienen.
Los estudiantes resuelven este reto aportando ideas muy interesantes tanto en la utilización de
diferentes representaciones como en la realización de tablas y en la búsqueda de regularidades.
Lo cual contribuye a incorporar al juego modificaciones atractivas.
En primer lugar, observan que, para 3 montones, sólo se estabiliza la posición de la carta
elegida, en todas las posiciones posibles de los montones, cuando el número total de cartas es
una potencia de 3. Así, para 21 cartas distribuidas en 3 montones, la carta elegida se estabiliza,
tras 3 iteraciones, solo en algunas posiciones de los montones que la contienen. Por ejemplo,
en el caso que presentamos en el juego inicial (cuando las posiciones son m1=2, m2=2 y
m3=2), pero no se estabiliza en el caso m1=1, m2=2 y m3=1.


De esta forma, si sólo tienen 3 cartas, la posición de la carta elegida se estabiliza después
de una iteración. Y sería p=m1.
Si tienen 9 cartas, la posición de la carta elegida se estabiliza después dos iteraciones.
Los estudiantes determinan dicha posición construyendo la Tabla 13, que es la misma que
la Tabla 12b.
m2
m1
1
2
3
1
2
3
1
4
7
2
5
8
3
6
9
Tabla 13. Posiciones (p) de la carta elegida en función de las posiciones de los montones, para 9 cartas.
Y encuentran la expresión general de la posición de la carta elegida de la forma:
p=m1+3(m2-1)

Si hay 27 cartas, la posición de la carta elegida se estabiliza después tres iteraciones.
Los estudiantes determinan dicha posición construyendo la Tabla 14. En ella, según
explican, m1 y m2 pueden tomar los valores 1, 2 o 3, que indica la tabla, y el montón que
contiene la carta elegida tras la 3ª iteración siempre lo colocan en la primera posición, es
decir m3=1.
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m2
m1
1
2
3
1
2
3
1
4
7
2
5
8
3
6
9
Tabla 14. Posiciones de la carta elegida, si, tras la 3ª iteración, m3=1
Observan que en todas las posiciones en que se puedan colocar los montones tras las
sucesivas iteraciones, la posición de la carta elegida se estabiliza en el lugar que dice la
tabla.
Después realizan la Tabla 15, que les da las posiciones de la carta elegida en función de
las posiciones de los montones que la contienen tras las tres iteraciones. En realidad han
reducido una tabla que debería ser de tres dimensiones a una de doble entrada.
También explican que la colocación de los montones después de la 3ª iteración (m 3) tiene
una influencia muy evidente en la colocación final de la carta elegida. Simplemente si m3
es 2, se suma 9 a la posición que se obtiene si m3 fuera 1; y si m3 es 3, se suma 18 a la
posición que se obtiene si m3 fuera 1 (Tabla 15).
m3
m1m2
1
2
3
11
21
31
12
22
32
13
23
33
1
10
19
2
11
20
3
12
21
4
13
22
5
14
23
6
15
24
7
16
25
8
17
26
9
18
27
Tabla 15. Posiciones de la carta elegida según las posiciones del montón que la contiene
Tras la realización de estas tablas, los estudiantes buscan una expresión algebraica que permita
calcular directamente la posición de la carta elegida sabiendo las posiciones (m1, m2 y m3) de
los montones tras cada iteración. Obtienen la siguiente expresión, que Serrano (2006) llama
Teorema de Tamariz :
p = m1+3(m2-1)+9(m3-1)
Así, el que realice el juego puede abrirlo y permitir que la persona del público elija libremente
las posiciones en las que quiera colocar los montones tras las tres iteraciones.
La pregunta siguiente que se hacen los estudiantes es obvia: ¿Cómo sería la expresión para 81
cartas?, ¿y para 3i cartas? Las respuestas son rápidas, y, sin hacer ninguna comprobación,
proponen que para 81 (34) cartas se necesitarían 4 iteraciones y la expresión podría ser:
p = m1+3(m2-1)+9(m3-1)+27(m4-1)
Para 3i cartas, se necesitarían i iteraciones y la expresión podría ser una generalización del
Teorema de Tamariz:
p = m1+3(m2-1)+32(m3-1)+….-… …+3i-1(mi-1)
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En este momento, y debido al tiempo considerable que les ha llevado el desarrollo del juego, el
profesor decide acabarlo, dejando para las discusiones de la puesta en común las posibles variantes por
las que se hubiera podido continuar.
5.3.4. Puesta en común de los resultados obtenidos en la resolución del juego de las 21 cartas
En la puesta en común, como en el caso del problema de Jaimito, el profesor insiste a los
estudiantes que las generalizaciones obtenidas por inducción necesitan ser justificadas para poderse
aceptar como válidas en matemáticas.
A partir de aquí, y aceptando su incomprensión por lo que dicen con insistencia: “se ve que la
expresión general es correcta y no necesita ninguna justificación más”, se propone que generen nuevas
variantes. En las discusiones aparecen retos como los siguientes:
 ¿Y si hiciéramos dos montones con un número de cartas que sea potencia de 2? , ¿y si fueran
cuatro montones con un número de cartas que sea potencia de 4?, ¿y si fueran k montones con
un número de cartas que sea potencia de k ?
Rápidamente y sin comprobar los estudiantes proponen expresiones similares a la del
Teorema de Tamariz que tratan de localizar la carta elegida, para 2 n cartas, para 4n cartas y
para kn cartas.
 Hay estudiantes que insisten en analizar el caso del enunciado, es decir, suponen que siempre
colocan el montón que contiene la carta elegida en segunda posición, manteniendo el número
de montones (3), pero variando el número de cartas, que siempre ha de ser múltiplo de 3.
 El profesor propone, siguiendo a Alegría (2004), el reto de considerar 27 cartas distribuidas en
3 montones, y ver si es posible llevar la carta elegida a cualquier posición de la baraja. Este
autor dice que sí es posible, escribiendo esa posición en base 3. Las preguntas que nos
formularíamos serían: ¿De qué manera se puede conseguir esto?, ¿es aplicable a otros
números de cartas?
Estas preguntas y otras pueden generar para los estudiantes nuevos retos y prolongar la
actividad tanto como queramos.
Además, en las exposiciones de los estudiantes van apareciendo contenidos matemáticos que se
van comentando en el grupo-clase, como por ejemplo:
 Comprensión e interpretación del enunciado.
 Estrategia de ensayo error.
 Consideración y análisis de juegos más simples. Resolución de casos particulares.
 Realización, caracterización y propiedades de las tablas generadas.
 Búsqueda y determinación de regularidades.
 Visualización de modelos.
 Procesos de inducción y generalización.
 Utilización de diferentes sistemas de representación.
 Utilización de razonamientos.
 Generación y análisis de variantes de un juego (o de un problema).
 Interpretación de resultados múltiples.
 Generación y utilización de expresiones algebraicas.
 Conceptos matemáticos de matriz, matriz transpuesta, múltiplo, iteración, punto fijo, etc.
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6. Reflexiones finales
Pensamos que mostrar a los estudiantes las matemáticas acabadas, hechas, cerradas y sin, o con
poca, posibilidad de construirlas no es la mejor manera de avanzar ni en la motivación, ni en la actitud,
ni en el progreso de los conocimientos matemáticos de los estudiantes. Por el contrario, creemos que
hemos de intentar buscar nuevas formas de aproximarnos a la enseñanza de las matemáticas, que
contemplen una mayor participación de los estudiantes, unas tareas más ricas, y una participación más
discreta y optimizada del profesor, que favorezca la reflexión, la búsqueda, el descubrimiento, etc.
En esas nuevas formas de enseñanza, consideramos que han de ser muy importantes las
reflexiones conjuntas que tienen lugar en las puestas en común de todos los estudiantes del grupoclase. Son los momentos en los que se han de intentar solucionar las dificultades de comprensión, en
los que se unifiquen las líneas de trabajo de los diferentes grupos y donde se aborden los bloqueos y
los conflictos que se produzcan. Además, en ellas, el profesor ha de dar prioridad a que sean los
propios estudiantes los que resuelvan las cuestiones y dificultades que se vayan planteando.
En la metodología que proponemos, no es fácil el papel del profesor, que en todo momento ha
de estar abierto a los nuevos retos que plantean los estudiantes y a las soluciones que aportan.
Tampoco es fácil para los estudiantes el cambio de hábitos que supone pasar de esperar las respuestas
del profesor a que sean ellos los que tengan que generar retos y buscar soluciones.
Llegados a este momento, tratamos de responder a la pregunta del título de este artículo:
¿Pueden nuestros estudiantes construir el conocimiento matemático?
Según Giménez (2000), “se construye cuando se produce con significado. No hay construcción
sin producción, aunque pueda haber momentos de ‘reproducción’” (p.5). Es claro que nuestros
estudiantes no solo han producido conocimiento matemático nuevo, sino que han sido capaces de
vincular ese conocimiento a un lenguaje matemático que le da significado. En este sentido, las
presentaciones al grupo-clase de las aportaciones que han hecho los estudiantes han contribuido al
desarrollo de dicho lenguaje y a que el conocimiento sea socialmente compartido.
Es importante saber si los estudiantes construyen o no, pero también lo es saber: cómo
construyen, qué papel otorgamos a cada uno de los protagonistas, y cómo reflexionamos sobre las
construcciones (Giménez, 2000). Cuestiones que hemos tratado de responder a lo largo de este
artículo, mostrando la metodología que seguimos y los desarrollos detallados de los procesos de
resolución de los problemas que los estudiantes han producido.
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Pedro Cobo Lozano. Catedrático de Matemáticas del Instituto de Enseñanza Secundaria Pius Font i Quer
de Manresa. Doctor en Ciencias de la Educación por la Universidad Autónoma de Barcelona (UAB). Es
investigador invitado de la UAB y profesor formador del ICE de la UAB. Participa en proyectos de
investigación relacionados con la Didáctica de las Matemáticas y con el uso de las nuevas tecnologías,
subvencionados por el MEC. Como miembro del Grupo Vilatzara se dedica a la elaboración de material
didáctico para la enseñanza secundaria.
María Antonia Molina Hernández. Licenciada en Matemáticas por la Universidad de Granada. Fue
profesora de enseñanza secundaria y es, en la actualidad, profesora titular de la Escuela Politécnica
Superior de Ingeniería de Manresa de la Universidad Politécnica de Cataluña. Ha pertenecido a
movimientos de renovación pedagógica en la enseñanza secundaria. Ha publicado diversos trabajos sobre
Educación Matemática relacionados con la enseñanza universitaria.
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 75-90
Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
Ingrith Álvarez Alfonso
Leonardo Ángel Bautista
Edwin Carranza Vargas
María Nubia Soler-Alvarez
(Universidad Pedagógica Nacional. Colombia)
Fecha de recepción: 15 de mayo de 2013
Fecha de aceptación: 31 de octubre de 2013
Resumen
Con el fin de brindar algunos elementos adicionales para la transformación de la práctica
educativa, se presentan descripciones detalladas de algunos procesos fundamentales de la
actividad matemática: conjeturar y argumentar. En términos generales, conjeturar
corresponde al proceso de formular y validar conjeturas, y argumentar al proceso de
hacer inferencias que se deducen de una información inicial. Conjeturar se apoya en la
visualización y en la argumentación; visualizar hace referencia al proceso de creación de
representaciones gráficas de objetos matemáticos y permite identificar aquello que es
relevante y que puede llevar a la formulación de una conjetura, mientras que argumentar
busca justificar o validar afirmaciones que se hagan en este proceso. Esta caracterización
se amplía con ejemplos surgidos en clases de matemáticas de futuros profesores.
Palabras clave
Actividad matemática, argumentar, conjeturar, generalizar, visualizar, validar, verificar.
Abstract
With the aim to offer to mathematics teacher some additional elements for transformation
of their educative practice, in this article we present detailed descriptions of some
fundamental processes of the mathematical activity: conjecturation and argumentation.
In general terms, a conjecture refers to the process of formulating and validating
conjectures and argumentation is related to the process of doing inferences that are
concluded of initial information. Conjecturation rests significantly on both process,
argumentation and visualization. Visualization refers to the process of creation of
graphics representations of mathematical objects and allows identify relevant aspects for
formulate conjectures; while argumentation finds justify or validate some aims. For
extending this description, we give some examples arisen in classes of mathematics of
training teachers.
Keywords
Mathematical
verification.
activity,
argumentation,
conjecturation,
visualization,
validation,
1. Introducción
La organización curricular para la enseñanza de las matemáticas en Colombia se ha caracterizado
por estar centrada en los contenidos tal como lo demuestran las reformas curriculares presentadas a partir
de los años 60. Sin embargo, desde el año 1998 con la publicación de los Lineamientos Curriculares de
Matemáticas se hace evidente la importancia de atender no sólo los contenidos, sino los procesos
inherentes al desarrollo del pensamiento matemático. (MEN, 1998, pp. 14).
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Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
I. Álvarez Alfonso, L. Ángel, E. Carranza, M. Soler-Alvarez
En ese sentido, el interés de este artículo, sin dejar de lado los contenidos, es abordar acciones
propias de la actividad matemática, sugiriendo al docente experimentar los roles que un matemático
tiene cuando se enfrenta a la tarea de crear y estudiar las matemáticas que ha de llevar al aula, para que
de esta manera, amplíe su concepción sobre las matemáticas y transforme, su práctica docente.
2. Actividad Matemática
Uno de los objetivos del quehacer matemático consiste en estudiar los elementos que aparecen
en un determinado contexto con el propósito de identificar y caracterizar comportamientos y
propiedades para abstraer estructuras, modelar situaciones, aplicar estos modelos, y en la medida de
las posibilidades, si el contexto lo permite, generar nuevas teorías o actualizar las existentes de tal
manera que se evidencie la aplicabilidad de las mismas.
Así, se considera que la actividad matemática se concreta en procesos tales como los de
conjeturar y argumentar, que contribuyen al desarrollo de otros procesos generales presentes en toda
actividad matemática como la resolución y planteamiento de problemas, el razonamiento, la
comunicación, la modelación y la elaboración, comparación y ejercitación de procedimientos. (MEN,
1998, pp. 35).
3. Proceso de conjeturar
El proceso de conjeturar en matemáticas se constituye en el mecanismo por medio del cual se
formulan afirmaciones acerca de las propiedades de determinados objetos o las relaciones que se dan
entre éstos, a partir de ciertas observaciones, exploraciones, ensayos o experimentos sobre dichos
objetos, que permiten identificar información para plantear conjeturas a través de tales afirmaciones.
En concordancia con Harel y Sowder en este documento se considera que una conjetura es:
[…] una observación hecha por una persona quien no tiene dudas acerca de
su verdad. La observación de la persona deja de ser una conjetura y se
convierte en un hecho según su visión una vez que la persona obtiene certeza
de su verdad. (Harel y Sowder citados en Balacheff, 2008, pp. 504)
Bajo esta mirada, Cañadas, Deulofeu, Figueiras, Reid y Yevdokimov (2008, pp. 436), proponen
y caracterizan cinco tipos de conjeturas1, a partir de distintos modos de razonamiento (inductivo,
deductivo, abductivo y analógico) que aparecen en la resolución de problemas como parte de la
actividad matemática. Para cada tipo de conjetura sugieren pasos que de manera general, permiten
evidenciar la existencia de otras actividades matemáticas transversales al proceso de conjeturar 2, las
cuales pueden ser secuenciales o repetitivas. Sin embargo, se considera que el conjeturar puede
estructurarse a partir de las actividades de visualizar; identificar patrones, relaciones, regularidades,
propiedades, etc.; formular, verificar, generalizar y validar conjeturas.
1
Inducción empírica a partir de un número finito de casos discretos, Inducción empírica a partir de casos
dinámicos, Analogía, Abducción y Conjeturas basadas en la percepción.
2
Entre las cuales se encuentran las actividades de visualizar, identificar, organizar, categorizar, relacionar,
comparar, verbalizar, simbolizar, modelar, deducir, inducir, generalizar, argumentar, verificar, probar, explicar,
entre otras,
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A continuación se caracterizan las primeras cinco actividades, en tanto la validación de
conjeturas, será abordada en el contexto de la actividad de argumentar; además, se proponen tres
tareas como ejemplos para evidenciar las características fundamentales de estas actividades.
3.1. Visualizar
En matemáticas la visualización se refiere al proceso de observar el objeto matemático para
identificar sus características y las relaciones que se establecen entre ellas, fundamentándose en los
esquemas cognitivos previos que tiene el observador sobre tales objetos.
Planchart (2002, pp. 35), con el propósito de caracterizar el proceso de visualización, presenta
algunas definiciones asociadas a éste y dadas por diferentes autores: Zimmermann y Cunningham
(1991), plantean que la visualización matemática corresponde a la producción o uso de
representaciones geométricas y gráficas de conceptos o problemas matemáticos y consideran además
que la visualización se hace a partir de diagramas que representan los objetos matemáticos y permiten
describir en términos visuales los problemas estudiados; Castro y Castro (1997) consideran que la
visualización es la capacidad de creación de imágenes mentales, estas últimas permiten hacer
referencia a los objetos matemáticos sin que estos se encuentren presentes.
Dentro del proceso de conjeturar, la visualización no se hace de forma descontextualizada o al
azar, sino que ésta, de manera previa a través de la tarea formulada, persigue el objetivo específico de
identificar elementos necesarios para poder formular una conjetura. Así, dependiendo del tipo de
conjetura se busca visualizar: un patrón, una propiedad invariante, una característica a partir de las
representaciones, entre otras.
Aunque la visualización tiene un papel relevante al inicio del proceso de conjeturar, cabe
resaltar que esta actividad puede darse en cualquier otro momento, con diferentes propósitos como
ratificar lo inicialmente visualizado, identificar nuevos elementos, modificar la conjetura o buscar un
argumento para la misma. Sin embargo, en los ejemplos que siguen se enfatiza en la visualización
como un primer paso para conjeturar.
Tarea 1
En la siguiente figura ¿cuál superficie tiene mayor área, la
amarilla o la blanca?
Tarea
(1)2
(2)
Observe las siguientes igualdades
8  35
27  7  9  11
64  13  15  17  19
¿Cuáles son las dos filas siguientes?
Enuncie una regla general
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Lo visualizado
Se puede observar en la image: figuras,
colores, la cuadricula, entre otras cosas, pero
pensando en la tarea, se debe atender
características propias de la imagen tales
como, la figura global que contiene a las dos
superficies, la cuadricula que puede servir
como unidad de medida y las figuras
geométricas (triángulos, rectángulos) que
pueden usarse para descomponer las
diferentes superficies.
Lo visualizado
Se puede observar en las igualdades: las
clases de números que allí aparecen, las
operaciones inmersas, la cantidad de números
que se usa en cada igualdad, etc.; pero
pensando en la tarea se debe prestar atención
a la clase de números que aparecen al lado
izquierdo de la igualdad, a la clase y cantidad
de números que aparecen en la suma del lado
derecho de la igualdad y al primer o último
número que aparece en la suma.
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Tarea 3
Lo visualizado
Observe la siguiente secuencia3, cuente la cantidad de
cuadros blancos en cada caso y determine el número de
cuadros blancos de la figura n-ésima.
 En cada figura aparece un cuadrado
grande y en el centro un cuadrado
pequeño.
 El cuadrado grande tiene cuadrados
unitarios en cada lado. El cuadrado
pequeño no tiene cuadrados unitarios.
 Los cuadrados unitarios del cuadrado
grande son blancos y el cuadrado del
centro es negro.
 En cada vértice del cuadrado negro, hay
un cuadrado unitario blanco.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Tabla 1. Actividad de visualizar, ejemplo en tres tareas
3.2. Identificar patrones, relaciones, regularidades o propiedades
En esta etapa los estudiantes a partir del estudio de los datos iniciales, identifican aquello que es
relevante y común, lo cual, dependiendo del contexto de la situación propuesta, puede corresponder a
patrones, regularidades, relaciones entre objetos, propiedades, semejanzas, entre otros. En la tabla 2 se
presentan algunos patrones y relaciones encontradas en cada una de las tareas propuestas en la tabla 1.
Tarea 1
Tarea 2
En relación con la tarea, se
identifica lo siguiente:
a. La superficie amarilla consta de cuatro
triángulos, dos grandes y dos pequeños.
b. La superficie blanca consta de dos
triángulos congruentes, cada uno con un
área mayor que el área de cualquiera de
los triángulos amarillos.
c. Si la superficie se divide con un
segmento horizontal que pase por el
centro (el punto rojo) se obtienen dos
figuras congruentes.
En relación con la tarea propuesta, se pueden identificar
entre otras las siguientes características:
a. Al lado izquierdo de cada igualdad el número es un cubo
perfecto, empezando en la primera igualdad (primera fila) con
el cubo de dos, en la segunda con el cubo de tres y en la tercera
con el cubo de 4.
b. En la primera igualdad, la suma del lado derecho tiene dos
sumandos impares, en la segunda tres y en la tercera 4.
c. En la cuarta fila al lado izquierdo deberá estar el cubo de 5 y al
lado derecho habrá una suma de cinco números impares
d. Para la fila n el término del lado izquierdo de la igualdad es el
cubo de (n+1) y en la suma del lado derecho de la igualdad
deben haber (n+1) sumandos impares consecutivos.
Tarea 3
a.
b.
c.
d.
En la secuencia cada lado del cuadrado mayor tiene una unidad más de lado en relación con el anterior.
De una figura a la siguiente se aumenta, en cuatro, el número de cuadros blancos.
En cada figura los cuadros blancos se pueden agrupar para formar cuatro rectángulos del mismo tamaño,
que bordean el cuadro negro, así: para la primera figura que es un cuadrado de lado 3, cada rectángulo
tiene 2 cuadrados, luego el total de cuadros blancos es 4x2=8; para la segunda figura que es un cuadrado
de lado 4, cada rectángulo tiene 3 cuadrados, luego el total de cuadros blancos es 4x3=12; para la tercera
figura que es un cuadrado de lado 5, cada rectángulo tiene 4 cuadrados, luego el total de cuadros blancos
es 4x4=16.
El número de cuadros blancos es un múltiplo de cuatro.
Tabla 2. Actividad de identificar patrones, regularidades y propiedades en las tareas propuestas
3
Esta tarea es una adaptación de un ejercicio propuesto por Mason, Graham, Pimm y Gowar (Trad. 1982, pp.
139).
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3.3. Formular conjeturas
Un proceso importante después de visualizar e identificar las características, propiedades,
patrones, reglas, regularidades o propiedades de un objeto, es comunicarlas ya sea verbal, simbólica o
gráficamente con el fin de tener un registro que permita organizar, clasificar e identificar la
información útil para formular la conjetura de forma clara.
En esta etapa de la actividad matemática no es necesario hacer uso de un lenguaje especializado,
pero sí se considera pertinente escribir las observaciones o la conjetura en un lenguaje que sea
compartido por la comunidad académica en la que se encuentra inmersa la persona que esta
enfrentándose a la tarea. Ahora bien, una forma particular de expresar lo visualizado es a través de la
simbología propia del lenguaje matemático; con ello se busca expresar de manera abreviada las
características identificadas en el caso o casos observados.
Continuando con las tareas propuestas, en la tabla 3 se observan posibles conjeturas derivadas
de las visualizaciones y de la identificación de patrones y regularidades presentadas, tanto en la tabla 1
como en la tabla 2.
Formulación de la conjetura
Tarea 1
Tarea 2
Conjetura:
La superficie blanca tiene mayor
área que la superficie amarilla.
Conjetura:
Para la fila n, con a=n+1,los términos de la suma se obtienen, así:
a2=[a(a-1)+1]+[a(a-1)+3]+ . . . +[a(a-1)+2a-1]
Tarea 3
Una forma de registrar lo visualizado en esta tarea es utilizando una tabla como la siguiente:
Figura
1
2
3
4
…
Número de rectángulos
4
4
4
4
Cantidad de cuadros en cada rectángulo
2
3
4
5
Total de cuadros blancos
8
12
16
20
Conjetura:
La figura que se encuentra en la posición n ha de tener 4 rectángulos cada uno formado por n+1 cuadrados
blancos, luego en total tenemos 4(n+1) cuadros blancos.
Tabla 3. Actividad de formular conjeturas, ejemplo en tres tareas
3.4. Verificar conjeturas
Después de que ha emergido la conjetura que permite consolidar las observaciones hechas, es
pertinente llevar a cabo el proceso de verificación, el cual tiene como objetivo que la persona se
convenza e intente convencer a otros de que tal afirmación tiene una alta probabilidad de ser verdadera
en el contexto estudiado, en cuyo caso debe buscar, en la medida de las posibilidades, validar la
conjetura formulada. Con esto, no se está diciendo que la conjetura sea demostrada, ya que aún no se
tiene el constructo teórico para generar tal proceso, sino que se busca probar si la conjetura es válida
en algunos nuevos casos o por el contrario que se muestre que la conjetura es falsa (puede ser a través
de un contraejemplo), lo cual puede llevar de nuevo al proceso de reformular la conjetura a partir de
una nueva etapa de visualización.
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Verificación de la conjetura
Tarea 1
Tarea 2
En relación con la tarea propuesta se
intenta verificar la conjetura, es decir, que el
área de la superficie amarilla es menor que el
área de la superficie blanca.
Para lo cual se procede así:
El proceso de verificar la conjetura
a3=[a(a-1)+1]+[a(a-1)+3]+ . . . +[a(a-1)+2a-1]
se puede presentar de la siguiente manera:
a. Mirar que se cumple para la fila #4, es decir:
Opción 1.
 El término del lado derecho ha de ser 53  125 .
a. Usar la unidad de la cuadricula, como
unidad de medida para el área de la
superficie.
 La suma del lado derecho debe tener 5 términos.
b. Calcular el área de cada uno de los
triángulos
pequeños
amarillos
b  h 1 2
;
 1 . Como son dos triángulos,
2
2
entonces el área, iría en 2u 2 .
c. Calcular el área para los triángulos
32
amarillos grandes
 3u 2 , y como son
2
dos
triángulos
de
igual
tamaño
(semejantes), entonces se lleva 6u 2
d. El área de la región amarilla es de
6u2  2u2  8u2
42
 8u 2
2
 Así, 125=21+23+25+29
b. Mirar que se cumpla para la fila #5, es decir
 El término del lado derecho es (n  1)3 , así, 63=216
 La suma del lado derecho debe tener 6 términos
a  5  1 ; el primer término de la suma ha de ser:
6  6  1  1  31
 Los otros 5 términos han de ser, 33, 35, 37 39 y 41,
(impares consecutivos)
c. Mirar que se cumpla para una posición mayor, por ejemplo
qué igualdad estaría en la fila #20, n  20 , a  20  1 ,
entonces:
 El término del lado izquierdo de la igualdad ha de ser
f. Por lo tanto el área de la superficie blanca
es igual al área de superficie amarilla,
siendo contradictorio con lo que se había
expresado de manera verbal en la anterior
etapa del proceso de conjeturar.
En ese sentido, se ha verificado
conjetura inicial es FALSA, pero se
reformular para afirmar que el área
superficie amarilla es igual al área
superficie blanca.
 Por lo tanto los otros 4 términos han de ser, 23, 25, 27 y
29, (impares consecutivos)
 Así, 216=31+33+35+37+39+41
e. Ahora se calcula el área de la región
blanca. Como son dos triángulos, entonces
es 2 
 a  4  1 ; el primer término de la suma ha de ser:
5 5  1  1  21
que la
puede
de la
de la
(n  1)3 , así, 213=9261
 La suma del lado derecho de la igualdad debe tener 21
términos
 El primer término
20  20  1  1  381
de
la
suma
a
de
ser:
 Por lo tanto los otros 20 términos han de ser,
383,385,387,389,391,393,395,397,399,401,403,405,407,409,411,413,415,417,419,421
ya que son los impares consecutivos.
Así,
Opción 2.
Como la figura global es un cuadrado, y
tiene de lado 4u , el área de éste sería 16u 2 ; y
como se comprobó anteriormente que el área
de los dos triángulos blancos es de 8u 2 ,
entonces el área de la superficie coloreada de
9261  383, 385, 387, 389, 391, 393, 395, 397, 399, 401, 403, 405, 407, 409, 411, 413, 415, 417, 419, 421
Nótese que no se ha mostrado que la conjetura sea
válida para cualquier n , solamente se ha verificado para
tres casos, que por el momento genera un nivel de certeza
sobre su validez.
amarillo será de 8u 2 , lo cual confirma el
razonamiento de la opción 2.
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Tarea 3
Para verificar la conjetura planteada, se cuentan los cuadros de posiciones diferentes a las presentadas
en la primera instrucción, para cada posición se aplica la fórmula encontrada, luego se contrasta este resultado
con el anterior, si hay coincidencia, se empieza a considerar que la conjetura planteada es posiblemente válida.
En lo que sigue se verifica la conjetura presentada en la tabla 3.
Figura 4
Figura 5
Figura 6
Posición
4
Número de cuadrados blancos
20
Aplicación de la fórmula
5
24
4   5  1  24
6
28
4   6  1  28
4   4  1  20
Tabla 4. Actividad de verificar conjeturas, ejemplos en las tareas propuestas
3.5. Generalizar conjeturas
La generalización de la conjetura implica un cambio de valor epistémico, un cambio de
concepción frente a la conjetura como afirmación válida para determinados casos y que se ha de
convertir en una regla generalmente aceptada, a tal punto de poder reconocer que ésta es verdadera
para cualquier caso del contexto estudiado. Así, la verificación de varios casos no es suficiente para
generalizar la conjetura, pero tampoco se requiere de un proceso formal de demostración para
justificar la generalización, aunque se puede acudir a un paso intermedio y presentar algún tipo de
prueba matemática, lo importante es poder llegar a convencer a otros, con argumentos fuertes, de que
la conjetura es válida a nivel general, a partir del convencimiento propio de quién la plantea.
Generalizada la conjetura, el último paso en el proceso de conjeturar consiste en validar la
conjetura generalizada. En la tabla 5 se presentan las generalizaciones de las conjeturas propuestas en
los tres ejemplos que se han venido desarrollando a lo largo de este documento.
Generalización de la conjetura
Tarea 1
Tarea 2
La generalización en esta
La generalización de la conjetura es:
situación es:
Para la fila n, la igualdad ha de tener en su término de la
Sin importar el tamaño del izquierda el valor de (n+1)2, mientras que el término de la derecha
cuadrado, pero manteniendo la razón ha de tener n+1 sumandos impares consecutivos de tal forma que se
entre las medidas de las superficies, es cumpla, que si a=n+1, entonces:
posible afirmar que el área de la
a2=[a(a-1)+1]+[a(a-1)+3]+ . . . +[a(a-1)+2a-1]
superficie blanca siempre será igual al
Esto para cualquier caso que se tome.
área de la superficie amarilla.
Tarea 3
La generalización de la conjetura es la siguiente:
El número de cuadrados blancos en cualquier posición n se obtiene aplicando la fórmula 4(n+1).
Tabla 5. Actividad de generalizar conjeturas, ejemplo en las tareas presentadas
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A partir de los ejemplos presentados, se puede observar que de manera transversal a la actividad
de conjeturar se encuentra presente el proceso de argumentar, pues en cada una de las fases aparece
una conclusión que debe ser validada a la luz de los antecedentes y del contexto en el que se esté
trabajando. En ese sentido y ya que, por ejemplo, los argumentos que permiten concluir una
observación difieren de los que permiten verificar una conjetura y estos a su vez difieren de los que
permiten demostrar la conjetura, es necesario ahondar en el estudio del proceso de argumentar.
4. Proceso de Argumentar
El proceso de argumentar está presente en todos los momentos de la actividad matemática en los
que se afirma algo, o en los que se quiere garantizar la verdad o falsedad de ciertas afirmaciones.
Argumentar, es decir, el proceso de generar argumentos, tiene un carácter social y cobra sentido
cuando hay la necesidad de garantizar la validez de alguna afirmación hecha. En este sentido, el valor
de verdad de una afirmación depende del contexto en el que se esté desarrollando la actividad
matemática, por ejemplo, para un grupo de estudiantes de básica primaria que están desarrollando un
ejercicio de generalización sobre números naturales, verificar la propiedad general en muchos
ejemplos podría ser un argumento válido, mientras que en un contexto de formación de profesores en
el área de Aritmética, un argumento válido sería una demostración por inducción.
Para Toulmin (2003, pp. 92) un argumento tiene lugar cuando a partir de unos hechos o datos se
elabora una afirmación (conclusión). El paso de los datos a la conclusión es el garante y,
generalmente, hace referencia a una regla, norma o principio general. El garante, a su vez, se sustenta
en un grupo de afirmaciones que hacen parte de un conjunto de contenidos o creencias denominado
respaldo. Las refutaciones o reservas son el conjunto de circunstancias en las cuales el garante se
podría anular y el cualificador modal es una construcción lingüística que acompaña a la conclusión,
atenuándola, indica el grado de probabilidad o de fuerza de la conclusión. La figura 1 presenta la
estructura de un argumento de acuerdo con este modelo.
Figura 1. Estructura de un argumento
Para Harel y Sowder (1998), según Flores (2007, pp. 67), existen dos tipos de argumentos que
dependen de la contundencia en que los datos son hilados de manera veraz en el garante y sustentados
por los respaldos para dar fuerza a la conclusión, dejando sin oportunidad a las refutaciones. Según
esto en matemáticas se considera válido un argumento que es sustentado por reglas teóricas y en los
que se hace un correcto uso de la lógica.
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Como ya se ha mencionado, parte de la actividad matemática responde al proceso de conjeturar
abordado anteriormente, durante todo este proceso surgen argumentos que ayudan a obtener de manera
eficiente el poder de convencimiento de que lo realizado es una conjetura y deja de serlo cuando se
logra argumentar de manera adecuada. Por ello, se exhiben tipos de argumentos presentes en la
actividad matemática con el objeto de profundizar más en los procesos de conjeturar.
Tipos de argumentos en la formulación de conjeturas
En la actividad matemática aparecen al menos tres tipos de argumentos diferentes, estos son:
abductivo, inductivo y deductivo. Las definiciones de estos argumentos se hacen a partir de la
propuesta de Peirce sobre los razonamientos utilizados para crear conocimiento científico (ver segunda
etapa de desarrollo de la teoría de Peirce sobre razonamiento. Santaella ,2011). En este documento un
razonamiento es un tipo especial de argumento.
La abducción es un tipo de argumento en el que el sujeto a partir de la observación de unos
datos, extrae una conclusión, la cual en caso de ser verdadera, deriva la verdad de los datos iniciales.
Por ejemplo, una persona saca muchas bolas de una bolsa, supongamos que todas las que sacó son de
color blanco, de lo hecho se puede inferir que todas las bolas de la bolsa son blancas 4. Este ejemplo
muestra que hay una regularidad que permite discurrir la conclusión a partir de los datos. Dicha
regularidad es considerada como el garante de este argumento.
En la formulación de conjeturas, se presentan argumentos de tipo abductivo, los cuales se logran
al producir una conjetura a partir de unos datos observados. En estos argumentos, el garante
corresponde a patrones, reglas, regularidades o propiedades que se identifican en los datos observados.
(Soler-Alvarez y Manrique, 2012, pp. 6)
La inducción se presenta cuando teniendo la regla general o la conjetura planteada, se procede a
experimentar para tratar de verificar si dicha regla o conjetura es verdadera. Algunos autores como
Cañadas, Castro y Castro (2008, pp. 138) definen los argumentos inductivos de forma diferente a la
mencionada, siguiendo a Neubert y Binko (1992), establecen que el razonamiento inductivo
corresponde al paso de casos particulares a leyes generales. Las etapas en este proceso son: trabajo con
casos particulares; organización de casos particulares; identificación de un patrón; formulación de
conjetura; justificación de conjetura (basada en casos particulares); generalización; y demostración.
Obsérvese que esta definición incluye los tres tipos de argumentos mencionados y los procesos de
formular y validar conjeturas descritos anteriormente.
La deducción ocurre cuando, de premisas que se suponen verdaderas, se deduce una conclusión
que debe ser verdadera. La deducción surge cuando en cada conjetura ya generalizada se desea mirar
su validez, es decir, que argumentar no depende directamente de los objetos sino de sus propiedades,
características que generalizan el objeto, para que pueda concluirse de manera satisfactoria.
Una conjetura normalmente se puede expresar de la forma p  q , donde p y q son dos
proposiciones, aunque hay que resaltar que las conjeturas adoptan generalmente esta estructura cuando
se intenta probar que son válidas. Un razonamiento deductivo garantiza la validez de la conjetura si a
partir de la verdad de q, se deduce necesariamente la verdad de p. En la figura 2 se presenta un
esquema para los argumentos deductivos en el modelo de Toulmin.
4
Es importante aclarar que la conclusión no es necesariamente verdadera.
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Figura 2. Esquema de un argumento deductivo según modelo de Toulmin
Para ejemplificar el proceso de argumentar, su relación con conjeturar y los tipos de
argumentos, se presentan argumentos logrados en las tareas mencionadas anteriormente.
Tarea 1
En el momento de proponer la conclusión que el área de la región blanca es mayor que el área
de la región amarilla, se evidencia un tipo de argumento abductivo proveniente de la percepción, bien
puede ser por el contraste del color y los estilos o por la distribución de éstos dentro de la figura. En
esta tarea no hay forma de verificar casos, puesto que sólo hay uno, así que el trabajo no presenta
razonamientos de tipo inductivo.
Respecto al razonamiento deductivo se presentan diferentes argumentos de este tipo, uno de tipo
geométrico al establecer correspondencias entre partes de la figura (tabla 4, opción 1-a), otros de tipo
métrico cuando se establecen las medidas del área de la superficie (tabla 4, opción 1-b, 1-c, 1-d, 1-e).
En cada caso se da un argumento respaldado por proposiciones matemáticas ya probadas y sólidas que
dan sustento al argumento de que las áreas de las dos regiones son iguales.
Tarea 2
En el desarrollo de esta tarea se evidencia inicialmente un argumento de tipo abductivo, en el
que se presenta una fórmula que permite determinar el resultado y los términos de la n-ésima fila. El
garante de este argumento se encuentra en las características observadas en los números, como por
ejemplo, suma de impares consecutivos y suma de números cúbicos.
En la tabla 4, tarea 2, opciones a, b y c se observa razonamiento inductivo, esto porque dada la
conjetura, se busca verificar si en casos distintos a los usados inicialmente, la conjetura es válida.
Es posible observar al menos dos razonamientos deductivos en esta tarea, uno correspondiente a
una demostración por inducción y otro a través del uso de propiedades de los números y las sumatorias
finitas. La demostración por inducción debe hacerse en dos pasos, en la primera, se debe garantizar
que para el primer elemento, la fórmula es válida, luego se acepta que es válida para una fila k y se
muestra que para la fila k+1 también es válida. El garante de este razonamiento corresponde al
principio de inducción matemática.
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El otro tipo de argumento deductivo usado se puede observar en la siguiente secuencia:
n
  n 2   n   2i  1 
i 1
n
n
n
i 1
i 1
i 1
  n 2   n    2i  1
 n3  n 2  n 2
 n3
La expresión que se obtiene de esta secuencia es la siguiente:
n
n 2   n 2   n   2i  1 
i 1
Los garantes de este argumento se encuentran en las propiedades de las sumatorias de números
naturales.
Tarea 3
Teniendo en cuenta la tarea 3, presentada en páginas anteriores, es posible contar de diferentes
maneras el número de cuadrados blancos de la secuencia dada en la figura 3.
Figura 4
Figura 5
Figura 3. Figuras de una secuencia
Cada forma de conteo (figura 4) plantea un argumento diferente, en el que la conclusión es la
forma de contar los cuadrados de cualquier figura y los garantes corresponden a los patrones
observados.
Figura 3
Figura 4
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Figura 4
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Figura 3
-
=
Figura 4
-
=
Figura 4. Diversas formas de conteo de los cuadros blancos
Cuando se verifica la conjetura para las posiciones 4, 5 y 6, y otras mayores como la 7, 10, 30,
50 u otra posición, se desarrollan razonamientos de tipo inductivo. En lo que sigue se presentan
razonamientos inductivos para cada una de las conjeturas presentadas en la tarea 3.
Primera situación
Posición
4
5
6
10
Número de cuadrados
blancos observados
20
24
28
44
Aplicación de la
fórmula
4   4  1  20
4   5  1  24
4   6  1  28
4  10  1  44
Segunda situación
Posición
4
5
6
10
Número de cuadrados
blancos observados
20
24
28
44
Aplicación de la fórmula
2   4  2   2   4   20
2   5  2   2   5  24
2   6  2   2   6   28
2  10  2   2  10   44
Tercera situación
Posición
4
Número de cuadrados
blancos observados
20
5
6
10
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Aplicación de la fórmula
 4  2 2  42
 20
24
5  2   5
 24
28
6  2  6
44
10  2   102
2
2
2
2
2
 28
 44
NÚMEROS
Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
I. Álvarez Alfonso, L. Ángel, E. Carranza, M. Soler-Alvarez
En cada situación se evidencia la manera en que se cuentan los cuadrados blancos, hay que
centrar la atención que dichas formas surgieron de un proceso abductivo, que fue refinado a partir de
uno inductivo.
En el ejemplo que se está siguiendo, un razonamiento deductivo puede presentarse en esta tarea
cuando habiendo llegado a diferentes fórmulas, se muestra que todas son equivalentes y llevan al
mismo resultado.
Figura 5. Argumento deductivo identificado en la validación
Procedimiento:
Opción 1
2
2
(x+2)  x
=(x2+4x+4)  x2
=4x+4
=4(x+1)
Opción 2
(x+2)2+2x
=2x+4+2x
=4x+4
=4(x+1)
De esta manera se verifica la equivalencia de las tres situaciones y los tres hallazgos. El garante
de este razonamiento corresponde a las propiedades de los números naturales utilizadas en el
procedimiento, tales como el cuadrado de una suma, las propiedades conmutativa, asociativa y
distributiva.
Este razonamiento muestra que hay tres fórmulas equivalentes que podrían describir el número
de cuadrados blancos de la figura en cualquier posición. Esta equivalencia no garantiza la validez de
alguna de las fórmulas, es posible que se hayan llegado a tres fórmulas erróneas pero equivalentes. La
manera de demostrar la validez de alguna de estas fórmulas se logra por medio de una demostración
por inducción. Se usará este método para demostrar que la conjetura es válida, asumiendo la primera
situación. En esta se afirma que en la posición n hay 4(n+1) cuadrados blancos.
Para la tercera posición hay 4(3+1)=16, lo cual es verificable en las figuras 3 y 4 de la Figura 4.
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Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
I. Álvarez Alfonso, L. Ángel, E. Carranza, M. Soler-Alvarez
Se supone que se cumple para n, es decir que en la posición n hay
4(n+1) cuadrados blancos. Para poder demostrar para la posición siguiente,
n+1, se toma la construcción generalizada de la posición n, en ella hay un
cuadrado negro de n2 cuadrados negros y 4(n+1) cuadrados blancos a su
alrededor.
En la posición n+1, se amplía en el cuadrado la zona negra, una
columna a la derecha y una fila hacia arriba, con lo cual la zona negra tiene
(n+1)2 cuadrados negros.
Para completar el cuadrado grande con las zonas blancas que faltan,
que son 2(n+1)+1, se aumenta por cada cuadrado negro en la primera fila, un
cuadrado blanco arriba de éste y por cada cuadrado negro de la última
columna se adiciona uno blanco a la derecha, para completar el cuadrado
blanco faltan 3 cuadrados, uno en cada una de las esquinas, dando así
4(n+1)+4 que es equivalente a 4(n+2), que es el número de cuadrados
blancos para la posición n+1.
4. A modo de conclusión
En las tres tareas se muestran los tipos de argumentos en distintos momentos. En la siguiente
tabla se puede evidenciar una manera de relacionar los procesos de visualizar y conjeturar con los
tipos de argumentos.
Proceso de
Conjeturar
Proceso de
Argumentar
ESTUDIO DE DATOS
VISUALIZACIÓN
La
visualización
permite
identificar lo que es común,
presumir cosas y tratar de
establecer formas generales.
ABDUCCIÓN
INDUCCIÓN
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Vol. 85
Por ejemplo: Se presentan varias
figuras, separándolas en que son X
o no X. Se pregunta por una figura
en particular y pedir si es X o no X.
La
visualización
permite
determinar si en casos diferentes a
los estudiados inicialmente, se
marzo de 2014
IDENTIFICACIÓN
DE PATRONES
Y
FORMULACIÓN DE
CONJETURAS
De los casos estudiados
se extrae u expresa una
generalidad
(conjetura).
Por ejemplo: x, y, z y w
cumplen la propiedad
X, luego esta propiedad
podría cumplirse en
todos
los
casos
similares.
La verificación de la
conjetura en diferentes
casos
permite
VERIFICAR
Y
GENERALIZAR
Cuando se encuentran casos
en los que la conjetura no es
válida, se construye otra que
pueda incluir el caso no
válido para la anterior.
Por ejemplo: Se confrontan
las características de la figura
con
las
posibles
características de ser X y se
construye Y.
La
verificación
de
la
conjetura en diferentes casos
permite saber qué tan general
NÚMEROS
Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
I. Álvarez Alfonso, L. Ángel, E. Carranza, M. Soler-Alvarez
evidencia la conjetura formulada.
reformulaciones
de
esta, en las que se
incluyen otros casos.
Por ejemplo: Se presentan figuras
diferentes a las estudiadas
inicialmente, en las que se
observan las mismas regularidades.
Por ejemplo: x e y
tienen la característica
X, la cual no se ve
exactamente igual en z.
Se produce X` que se
observa en x, y y z.
La
visualización
permite
identificar con claridad los
argumentos deductivos que se usan
en la validación de una conjetura.
DEDUCCIÓN
Se
expresa
la
generalidad, desde lo
simbólico o verbal.
Por ejemplo: Una persona plantea
una secuencia p, q, r y s de
argumentos
deductivos
para
validar una conjetura. Otra
persona,
visualiza
estos
argumentos en el contexto dado,
para identificarlos con claridad.
Por ejemplo: Dada la
situación se generaliza
de
forma
escrita,
algunas veces usando
lenguaje algebraico.
podría ser.
Por ejemplo: x e y cumplen la
propiedad X. Resulta que z, w,
h y k también cumplen X. Se
podría pensar que X es
general.
Se
usan
métodos
de
demostración pertinentes para
la
validación
de
los
argumentos.
Por ejemplo: Usando la
característica de X se deduce
la situación.
Tabla 6. Relaciones entre los procesos de conjeturar y argumentar
Una aplicación de la tabla 6 en las tareas desarrolladas se presenta a continuación.
Tarea
1
ABDUCCIÓN
Las primeras intuiciones,
aseguran que la zona amarilla
es menor que la zona blanca.
2
Reconocimiento de suma de
números impares.
Reconocimiento de números
cúbicos.
3
Los métodos gráficos de conteo
INDUCCIÓN
DEDUCCIÓN
Características de los triángulos
amarillos, las cuadrículas.
Cálculo de áreas.
Superposición de figuras.
Regularidades entre las sumas de
números impares y los cúbicos.
Relación entre la cantidad de
sumandos y el cubo.
Comprobación para el siguiente.
Planteamiento de la generalidad.
Las características de dichos
métodos y la generalidad extraída de
la verificación de casos.
Prueba por inducción
matemática, haciendo uso de
las premisas generadas en la
inducción.
Uso de propiedades de la
suma.
Método inductivo.
Tabla 7. Procesos de conjeturar y argumentar a través de las tareas
En toda fase de desarrollo de la actividad matemática el proceso de argumentar debe estar
presente con el objetivo de potenciar el pensamiento matemático y propiciar habilidades o
competencias argumentativas. Así pues, la actividad matemática debe estar en pro de la producción y
validación de conjeturas, generalidades, proposiciones, entre otros; para ello el proceso de argumentar
debe enriquecerse cada vez más.
Las habilidades de argumentar van desde identificar y analizar argumentos en textos o
ambientes educativos, hasta construirlos. Por lo tanto, las actividades matemáticas deben generar
momentos de reflexión para que los procesos de conjeturar y argumentar aporten al desarrollo del
pensamiento matemático y al desarrollo de otro tipo de competencias que atañen a los distintos
campos del saber.
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Actividades Matemáticas: Conjeturar y Argumentar
I. Álvarez Alfonso, L. Ángel, E. Carranza, M. Soler-Alvarez
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Ingrith Álvarez Alfonso. Licenciada en Matemáticas de la Universidad Distrital Francisco José de
Caldas. Magister en Educación y Magister en Docencia de las Matemáticas. Profesora del Departamento
de Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia y docente de la Licenciatura en
Educación Básica con Énfasis en Matemáticas de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
José Leonardo Ángel Bautista. Licenciado en Matemáticas, Magister en Docencia de las Matemáticas
de la Universidad Pedagógica Nacional, y Magister en Matemáticas de la Universidad de los Andes.
Actualmente trabaja como docente del Departamento de Matemáticas de la Universidad de los Andes y
de la Universidad Pedagógica Nacional, y es integrante del grupo de Álgebra de ésta última.
Edwin Carranza Vargas. Licenciado en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional.
Especialista en Edumatica Universidad Autónoma de Colombia, estudios de Maestría en Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia y Título de Maestría en Educación y TIC Universitat Oberta de
Catalunya. Actualmente trabaja en la Universidad Distrital Francisco José de Caldas y en la Universidad
Pedagógica Nacional.
María Nubia Soler-Alvarez. Licenciada en Matemáticas de la Universidad Pedagógica Nacional,
Magister en Ciencias - Matemáticas de la Universidad Nacional de Colombia. Actualmente trabaja en
Universidad Pedagógica Nacional y su área de interés es la argumentación y la prueba en la clase de
matemáticas. Coeditora de Tecné, Episteme y Didaxis - TED, revista dedicada a la Educación en
Ciencias, Matemáticas y Tecnologías. Vive en Bogotá. e-mail: [email protected]
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 91-114
Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
Ana Rosa Corica
Elisabeth Alejandra Marin
(Universidad Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Argentina)
Fecha de recepción: 2 de noviembre de 2012
Fecha de aceptación: 25 de septiembre de 2013
Resumen
Presentamos resultados parciales del diseño e implementación de una actividad de
estudio e investigación, para la enseñanza de ángulos inscriptos en una circunferencia en
la escuela secundaria argentina. Con fundamento en la Teoría Antropológica de lo
Didáctico se diseñó un modelo epistemológico de referencia, en el que se describieron
nociones que le dan sentido al estudio de ángulos inscriptos en una circunferencia. Dicho
modelo constituyó la base para el diseño de la actividad de estudio e investigación. La
implementación se realizó en un curso de tercer año de la escuela secundaria. Se
involucró a los estudiantes en un nuevo tipo de trabajo, que implicó modificaciones a
nivel de mesogénesis, topogénesis y cronogénesis. En particular, los estudiantes
resolvieron situaciones que les permitió explorar, conjeturar y validar.
Palabras clave
Escuela secundaria, Didáctica, Enseñanza, Actividad de Estudio e Investigación,
Geometría, Ángulos, Circunferencia
Abstract
We show partial results of the design and implementation of a study and research
activity, for the teaching of inscribed angles in a circumference at the high school
Argentine. Based on the Anthropologic Theory of the Didactic we designed a reference
epistemological model, in which is described notions that to give meaning to the study of
inscribed angles in a circumference. The model was the stand for design of the study and
research activity. We realized the implementation in a third year course of high school.
The students were involved in a new kind of work, which implied changes a
mesogenesis, topogenesis and chronogenesis level. In particular, students solved
situations that allowed them to explored, to conjecture and validate.
Keywords
High school, Didactic, Teaching, Study and Research Activity, Geometry, Angles,
Circumference
1. Introducción
La geometría es considerada como uno de los pilares de formación académica y cultural de las
personas, tanto por su aplicación en diversos contextos (Báez e Iglesias, 2007), como por su
contribución al desarrollo de habilidades como conjeturar, razonar deductivamente y argumentar de
manera lógica en procesos de prueba o demostración (Jones, 2002).
En los últimos años, la enseñanza de la geometría ha ganado interés por numerosos
investigadores (Ancochea, 2011; Báez, Iglesias, 2007; Barrantes, Blanco, 2005; Espinoza, Barbe y
Dinko, 2007; Gamboa y Ballestero, 2010; Gascón, 2002, 2003; Itzcovich, 2005; Roditi 2004; entre
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Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
A. R. Corica, E. A. Marin
otros). En particular, el estudio de la geometría ha perdido espacio y sentido, tanto en escuelas como
en la formación docente. De esta manera, se imposibilita a los estudiantes conocer otro modo de
pensar, que supone la posibilidad de utilizar propiedades de los objetos geométricos para poder
anticipar relaciones no conocidas, así como inferir y producir nuevas propiedades (Itzcovich, 2005).
Investigaciones realizadas por Abrate, Delgado y Puchulu (2006) y Espinoza et al. (2007), indican que
los docentes priorizan la enseñanza en áreas de la matemática que excluyen a la geometría, y se
desplazan dichas nociones al final de los cursos. Esto implica la exclusión del estudio de nociones de
geometría o la realización de un estudio superficial de las mismas.
En particular, en la educación secundaria las nociones de geometría son presentadas a los
estudiantes como el producto acabado de la actividad matemática (Gamboa y Ballesteros, 2010;
Ancochea, 2011). Esto se corresponde con una de las difusiones de la actividad matemática que se
lleva a cabo en el seno de las instituciones escolares actuales: la monumentalización de los saberes
(Chevallard, 2004). La misma es producto del olvido de la razón de ser de la mayoría de las
praxeologías matemáticas que se construyen en el aula, y se manifiesta con la ausencia escolar de las
principales cuestiones que dan origen a su estudio.
Las líneas recientes de investigación que propone la Teoría Antropológica de lo Didáctico
(Chevallard, 1999; 2004, 2006, 2007, 2009a, 2009b) plantea la necesidad de introducir en los sistemas
de enseñanza proceso de estudio funcionales. Las Actividades de Estudio e Investigación constituyen
dispositivos didácticos que retoman la preocupación de la reconstrucción funcional de los saberes
matemáticos, como respuesta a ciertas cuestiones fundamentales. En este trabajo, presentamos
resultados del diseño e implementación de una Actividad de Estudio e Investigación, que buscó
recuperar las principales cuestiones para el estudio de ángulos inscriptos en circunferencia en la
escuela secundaria argentina.
2. El diseño curricular de matemática en la educación secundaria y la enseñanza de
ángulos inscriptos en circunferencias
En el diseño curricular de matemática para la educación secundaria de la provincia de Buenos
Aires (Dirección General de Cultura y Educación, 2008, 2009), se propone el estudio de ángulos
inscriptos en circunferencia en segundo y tercer año, destinado a alumnos entre 13 y 15 años. En
particular, en el bloque de geometría y magnitudes del diseño de segundo año, se propone el estudio
de lugar geométrico, y en especial de la circunferencia. Se plantea reconocer ángulos centrales,
inscritos y semiinscriptos en una circunferencia, así como explorar y validar sus propiedades. Una vez
reconstruidas dichas propiedades, se sugiere el cálculo de las medidas de ángulos, para emplear las
mismas como entorno tecnológico.
Por otro lado, en el diseño de tercer año, en el bloque geometría y magnitudes, se propone el
estudio de figuras planas. Se sugiere plantear problemas tales que permitan revisar los conocimientos
previos de los estudiantes sobre ángulos en la circunferencia. Por ejemplo, tareas que permitan el
análisis de figuras, tales como la identificación de ángulos inscritos, centrales, pares de ángulos
inscritos con el mismo ángulo central correspondiente.
Destacamos que el estudio propuesto en ambos diseños curriculares, sobre ángulos inscriptos en
circunferencias, se encuentra desarticulado con relación a las restantes nociones que se proponen
estudiar. Se sugiere el inicio del estudio en segundo año de la secundaria, y que se retome al año
siguiente solo a modo de revisión. En el diseño curricular de tercer año, no se proponen tareas en las
que se cuestionen las técnicas y tecnologías estudiadas en el año anterior, con la intención de
modificarlas y proseguir en la elaboración de nuevas.
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NÚM E R OS
Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
A. R. Corica, E. A. Marin
El estudio de ángulos inscriptos en circunferencias gesta un entorno tecnológico que justifica,
en parte, el estudio de las propiedades y relaciones de los cuadriláteros cíclicos. Dichas nociones se
encuentran excluidas del diseño curricular de la escuela secundaria, y son en ellas donde consideramos
que cobra sentido el estudio de ángulos inscriptos en circunferencias.
3. Marco Teórico
En este trabajo se adopta como referencial teórico a la Teoría Antropológica de lo Didáctico y
sus últimos desarrollos (Chevallard, 1999, 2004, 2006, 2007, 2009a, 2009b). El constructo teórico
fundamental de la Teoría Antropológica de lo Didáctico (TAD), es la noción de praxeología u
organización matemática (OM). Estas emergen como respuesta a una cuestión o conjunto de
cuestiones problemáticas que se denominan cuestiones generatrices. Las praxeologías constan de dos
niveles:
 El nivel de la praxis o del saber hacer, que engloba un cierto tipo de tareas, así como las
técnicas para resolverlos.
 El nivel del logos o del saber, en el que se sitúan los discursos que describen, explican y
justifican las técnicas que se utilizan, los que reciben el nombre de tecnología. Dentro del
saber se postula un segundo nivel de descripción-explicación-justificación (esto es, el nivel
tecnología de la tecnología) que se denomina teoría.
Junto a las OM, se distinguen las formas de organizar la enseñanza escolar de la matemática,
que se describen en términos de praxeologías didácticas. La consideración de los diversos procesos
que conciernen a la construcción matemática permite identificar aspectos invariantes, es decir,
momentos que estructuran cualquier proceso de elaboración matemática, independientemente de sus
características culturales, sociales, individuales o de otra índole. Así, el proceso de estudio se sitúa en
un espacio determinado por seis momentos didácticos: el momento del primer encuentro con un
determinado tipo de tareas; el momento exploratorio del tipo de tareas; el momento de construcción de
un entorno tecnológico-teórico, que explica y justifica las técnicas puestas en funcionamiento y
permite la elaboración de nuevas técnicas; el momento de trabajo de la técnica, que provoca la
evolución de las técnicas existentes y la construcción de nuevas; el momento de la
institucionalización, que delimita y precisa aquellos elementos constituyentes de la organización
matemática construida; el momento de la evaluación de la praxeología construida.
Siguiendo las líneas recientes de investigación que propone la TAD, se plantea la necesidad de
introducir en los sistemas de enseñanza procesos de estudio funcionales, donde los saberes no
constituyan monumentos que el profesor enseña a los estudiantes, sino herramientas materiales y
conceptuales, útiles para estudiar y resolver situaciones problemáticas. Las Actividades de Estudio e
Investigación (AEI) emergen como modelo didáctico para abordar la problemática. De esta manera, se
trata de superar la estructura binaria clásica de la enseñanza de la matemática, que se caracteriza por la
presentación de elementos tecnológicos – teóricos y luego tareas como medio para la aplicación de los
primeros.
Una AEI es, en principio, una organización didáctica donde la clase, bajo la dirección de un
profesor, va a hacer estudiar, reconstruir y hacer accesible a los alumnos una cierta Organización
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A. R. Corica, E. A. Marin
Matemática Local1 (OML). Para esto es necesario partir de una cuestión generatriz Q cuyo estudio
produzca la elaboración de una respuesta R, y esta contenga los elementos esenciales de la OML
inicial. De esta manera, las AEI constituyen un proceso de estudio praxeológicamente finalizado, pues
se impone la condición de que R contenga los principales componentes de una OML previamente
determinada y conocida de antemano por la institución escolar.
Una enseñanza por AEI permite comenzar a enfrentar el problema de la monumentalización de
los saberes. Supone un cuestionamiento fuerte del contrato didáctico tradicional de la secundaria y
cambios a nivel de mesogénesis, topogénesis y cronogénsis (Chevallard, 1985, 2009b). Implica
básicamente el estudio de cuestiones suficientemente ricas, vivas y fecundas que provoquen en los
estudiantes la necesidad de seguir aprendiendo, y que facilite abrir un proceso de investigación, que
permita explorar, conjeturar y validar.
4. Metodología
Proponemos una investigación cualitativa, de corte exploratorio y descriptivo. Se describen las
características de un dispositivo didáctico diseñado en una pedagogía de AEI para la escuela
secundaria, y se presentan algunos resultados de su implementación. La AEI propuesta se compone de
nueve situaciones en las que se involucra el estudio de ángulos inscriptos en la circunferencia.
Según el referencial teórico asumido, como actividad previa al diseño de la AEI es necesario
elaborar un Modelo Epistemológico de Referencia (Bosch y Gascón, 2010). Dicho modelo es
elaborado por el investigador para realizar su estudio y no necesariamente coincide con la OM sabia
de la que proviene, aunque se formula en términos próximos a ésta y a la OM a enseñar. Este modelo
tiene un carácter provisional, pues con fundamento en la Teoría de la Transposición Didáctica
(Chevallard, 1985) no existe un sistema de referencia privilegiado desde el que se observe, analice y
juzgue los saberes, pero se trata de una hipótesis de trabajo que es constantemente contrastada y
revisada (Gascón, 2011). Con fundamento en las cuestiones cruciales propuestas en el Modelos
Epistemológico de Referencia (MER) se diseñó la AEI.
4.1. Descripción del curso en el que se implementó la AEI
El curso en el que se implementó corresponde al tercer año de una escuela de educación
secundaria argentina. El grupo estaba constituido por 24 alumnos, cuyas edades oscilaban entre los 14
y 15 años. Este grupo, en segundo año solo había estudiado la identificación de ángulos inscriptos y
centrales en circunferencias, cuyas nociones son fundamentales para el desarrollo de la AEI propuesta.
Al momento de implementar, en el curso predominaba una enseñanza tradicional. El
protagonista del proceso de estudio era el profesor: es quien proponía las tareas, las técnicas y las
1
Chevallard (1999) introdujo la distinción de diferentes tipos de OM, según el grado de complejidad de sus
componentes:
 Organizaciones Puntuales (OMP): Están generadas por lo que se considera en la institución como un
único tipo de tarea y está definida a partir del bloque práctico-técnico.
 Organizaciones Locales (OML): Es el resultado de integrar diversas praxeologías puntuales. Cada
praxeología local se caracteriza por una tecnología que sirve para justificar, explicar, relacionar entre sí y
producir las técnicas de todas las praxeologías puntuales que la integran.
 Organizaciones Regionales (OMR): Se obtienen mediante la coordinación, articulación y posterior
integración de diversas praxeologías locales a una teoría matemática en común.
 Organizaciones Globales (OMG): Surgen al agregar varias praxeologías regionales a partir de la
integración de diferentes teorías.
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NÚM E R OS
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validaba. Esto implica una reducción del topos del alumno a hacer y decir lo que indica el profesor.
Las clases se desarrollaban en 3 encuentros semanales (2 encuentros de 60 minutos y un encuentro de
120 minutos), y los estudiantes se encontraban dispuestos en equipos de trabajo compuestos por 2 o 3
integrantes.
Durante la implementación de la AEI, se trató de instalar una dinámica de estudio en
correspondencia con el marco teórico adoptado en la investigación. Las clases se focalizaron en que
los estudiantes propongan las técnicas para resolver las situaciones y que justifiquen sus producciones.
Posteriormente a la resolución de cada situación, se realizaron discusiones de las propuestas brindadas
por cada grupo, lo que permitió confrontar las distintas resoluciones y evaluar las técnicas construidas.
Los debates permitieron realizar una síntesis de lo aportado por los alumnos y así institucionalizar los
nuevos saberes reconstruidos.
4.2. Recolección de registros y análisis
En la implementación el profesor tuvo carácter de observador participante. Se registró en audio
general cada una de las sesiones que involucró la implementación, y el profesor realizó notas de
campo antes y después de cada sesión. En todas las clases, el profesor proporcionó a los estudiantes
las tareas a resolver y al finalizar cada sesión, recogió la totalidad de las producciones escritas. Se
escanearon y se devolvieron a los estudiantes en la sesión inmediata siguiente, para garantizar que los
alumnos no realizaran modificaciones a sus resoluciones luego de cada sesión, para asegurar la
continuidad de su trabajo y para que ellos dispongan permanentemente de sus registros. Para analizar
los protocolos se los segmentó en episodios correspondientes a cada situación. En este trabajo se
indican algunos resultados de la implementación de la AEI, y los efectos producidos en un curso
habituado a la enseñanza demarcada por el paradigma de la monumentalización de los saberes.
5. Modelo Epistemológico de Referencia
En este apartado se describe un Modelo Epistemológico de Referencia (MER) en relación a las
propiedades y relaciones de los cuadriláteros cíclicos, que se gesta a partir de la cuestión generatriz
Q0 : ¿Cuáles son las propiedades y relaciones de los cuadriláteros cíclicos?
Un cuadrilátero es cíclico si está inscripto en una circunferencia, es decir si todos sus vértices
están sobre ella. La condición necesaria y suficiente para que un cuadrilátero sea cíclico es que los
ángulos opuestos sean suplementarios. La cuestión Q0 aquí es concebida en sentido fuerte, es decir,
una cuestión problemática que debe ser estudiada, y no se puede responder dando una simple
información. Se requiere una respuesta basada en la construcción de OMs, es decir, un conjunto de
tareas, técnicas, definiciones, propiedades que permiten describir y justificar el trabajo realizado. A
partir de la cuestión generatriz inicial, se derivaron siete OMs relacionadas y fundamentales para el
estudio de cuadriláteros cíclicos. En la figura 1 se indican las OMi, que integran al MER, junto al tipo
de tareas que las representan (  i ), y las relaciones que se establecen entre ellas.
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Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
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Q0: ¿CUÁLES SON LAS-PROPIEDADES Y RELACIONES DE LOS
CUADRILÁTEROS CÍCLICOS?
OM 1
OM 2
OM 3
Γ1 : Establecer la propiedad
Γ2 : Establecer la relación entre los
Γ3 : Calcular el área de
de los ángulos opuestos de
un cuadrilátero cíclico
OM 4
Γ4 : Establecer
propiedades y
relaciones entre
elementos de
figuras planas
lados opuestos y diagonales de un
cuadrilátero cíclico
cuadriláteros cíclicos
OM 5
OM 6
OM 7
Γ5 : Establecer
relaciones entre los
ángulos inscriptos y
otros elementos de la
circunferencia
Γ6 : Establecer
relaciones entre figuras
semejantes
Γ7 : Resolver triángulos
Figura 1. Modelo Epistemológico de Referencia
En particular, el estudio del tipo de tareas que compone a OM 1 conduce a estudiar la propiedad
de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico. Es decir, su estudio permite establecer que los
ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico son suplementarios. La OM 2 lleva al estudio de la
relación entre los lados opuestos y diagonales de un cuadrilátero cíclico. Esta relación, corresponde al
Teorema de Ptolomeo: En todo cuadrilátero inscribible en una circunferencia, la suma de los
productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales. La OM 3 conduce al
estudio de la expresión del área de un cuadrilátero cíclico, que se denomina fórmula de Brahmagupta.
La fórmula se puede obtener a partir del teorema del coseno y teniendo en cuenta que los ángulos
opuestos del cuadrilátero cíclico son suplementarios. De esta manera, el hacer del tipo de tareas que
involucra OM 1 (  1 : Establecer la propiedad de los ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico),
OM 2 (  2 : Establecer la relación entre los lados opuestos y diagonales de un cuadrilátero cíclico) y
OM 3 (  3 : Calcular el área de cuadriláteros cíclicos) consolidan elementos tecnológicos
fundamentales del MER. Mientras que las relaciones entre los ángulos inscriptos y otros elementos de
la circunferencia, que emergen del hacer del tipo de tareas que involucra la OM 5 (  5 : Establecer
relaciones entre los ángulos inscriptos y otros elementos de la circunferencia) justifican el hacer del
tipo de tareas que conforman a OM 1 , OM 2 y OM 3 .
La OM 4 conduce al estudio de propiedades y relaciones entre elementos de figuras planas. Y
La OM 6 conduce al estudio de las relaciones entre figuras semejantes. El hacer del tipo de tareas que
involucra la OM 4 (  4 : Establecer propiedades y relaciones entre elementos de figuras planas) y
la OM 6 (  6 : Establecer relaciones entre figuras semejantes), consolidan parte de una tecnología que
justifica el hacer de OM 2 .
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La OM 7 conduce al estudio de las relaciones trigonométricas. La tecnología que se gesta en el
hacer de la OM 7 (  7 : Resolver triángulos), junto a la gestada en OM 6 justifica el hacer del tipo de
tareas que involucra OM 3 .
Así mismo, el estudio de las relaciones entre los ángulos inscriptos y otros elementos de la
circunferencia ( OM 5 ), como el estudio de las relaciones entre figuras semejantes ( OM 6 ) requieren de
las propiedades y relaciones entre elementos de figuras planas ( OM 4 ). Y el estudio de relaciones
trigonométricas, que emergen del hacer del tipo de tareas que constituye a la OM 7 , requiere del
entorno tecnológico que se gesta en OM 6 .
Siguiendo los objetivos de la investigación, a continuación sólo desarrollamos una parte del
MER, la cual corresponde a la OM 5 . La misma se genera a partir de la cuestión generatriz
Q05 : ¿Cuáles son las relaciones que se establecen entre los ángulos inscriptos en una circunferencia y
otros elementos de la misma?
La OM 5 se sitúa en el nivel de una OM Local (OML), y se encuentra conformada por una
articulación de cinco OM puntuales (OMP 2), que se indican a continuación junto al tipo de tareas (Ti)
que las representan.
Q05 : ¿CUÁLES SON LAS RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE LOS ÁNGULOS
INSCRIPTOS EN UNA CIRCUNFERENCIA Y OTROS ELEMENTOS DE LA MISMA?
OMP1
T1 : Establecer la
relación entre un
ángulo inscripto
en un arco de
circunferencia y
el ángulo central
correspondiente
OMP2
T2 : Establecer
la relación entre
los ángulos
inscriptos en un
mismo arco de
circunferencia
T2,1 : Establecer la
amplitud de los
ángulos inscriptos
en una
semicircunferencia
OMP5
T5 : Establecer la
relación entre los
ángulos inscriptos
y los ángulos
semiinscriptos en
un mismo arco de
circunferencia
T1,1 : Establecer la
T1, 2 : Establecer la
T1,3 : Establecer la
relación entre un ángulo
inscripto en un arco de
circunferencia y el
ángulo central
correspondiente cuando
uno de los lados del
ángulo inscripto pasa
por el centro de la
circunferencia
relación entre un
ángulo inscripto en un
arco de circunferencia y
el ángulo central
correspondiente cuando
el centro queda interior
respecto al ángulo
inscripto
relación entre un
ángulo inscripto en un
arco de circunferencia
y el ángulo central
correspondiente
cuando el centro queda
exterior respecto al
ángulo inscripto
OMP3
T3 : Establecer la
relación entre un
ángulo
semiinscripto en
un arco de
circunferencia y
el ángulo central
correspondiente
OMP4
T4 : Determinar la
relación entre los
ángulos
semiinscriptos en un
mismo arco de
circunferencia
Figura 2. Tipos de tareas que componen a la OM5
2
Cada OMP se identifica por OMPi, siendo i el número de la OMP correspondiente.
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La OMP1 se encuentra representada por el tipo de tareas T1 : Establecer la relación entre un
ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo central correspondiente. La técnica para
abordar T1 consiste básicamente, en determinar el ángulo inscripto y el ángulo central correspondiente
y establecer relaciones geométricas en los triángulos determinados en el interior de la circunferencia.
 
Así mismo, T1 se compone de tres tareas T1, j que comparten ciertas características, pero
presentan leves diferencias en cuanto a su hacer, que nos conducen a distinguirlas:
T1,1 : Establecer la relación entre un ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo
central correspondiente cuando uno de los lados del ángulo inscripto pasa por el centro de la
circunferencia.
T1, 2 : Establecer la relación entre un ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo
central correspondiente cuando el centro queda interior respecto al ángulo inscripto.
T1,3 : Establecer la relación entre un ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo
central correspondiente cuando el centro queda exterior respecto al ángulo inscripto.
El hacer de estas tres tareas permite concluir en el siguiente teorema:
Todo ángulo central en un arco de circunferencia es igual al doble del ángulo inscripto
correspondiente” o “todo ángulo inscripto en un arco de circunferencia es igual a la mitad
del ángulo central correspondiente.
El teorema constituye la tecnología fundamental que justifica parte del hacer de las tareas
constitutivas de las restantes OM que definen a la OM 5 .
La OMP2 se encuentra representada por el tipo de tareas T2 : Determinar la relación entre los
ángulos inscriptos en un mismo arco de circunferencia. La técnica para abordar T2 consiste en
determinar la amplitud del ángulo central correspondiente a los ángulos inscriptos mediante el
resultado tecnológico gestado en OMP1. El estudio de T2 permite consolidar el siguiente resultado
tecnológico:
Los ángulos inscriptos en una circunferencia que abarcan un mismo arco de circunferencia
son congruentes.
En particular, de T2 distinguimos la tareas T2.1 : Establecer la amplitud de los ángulos
inscriptos en una semicircunferencia, su hacer permite concluir en el siguiente resultado tecnológico:
Todos los ángulos inscriptos que abarcan una semicircunferencia tienen una amplitud de 90º.
La OMP3 se encuentra representada por el tipo de tareas T3 : Establecer la relación entre un
ángulo semiinscripto en una circunferencia y el ángulo central correspondiente. El hacer de T3
permite consolidar el siguiente resultado tecnológico:
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La amplitud del ángulo central es el doble de la amplitud del ángulo semiinscripto.
La OMP4 se encuentra representada por el tipo de tareas T4 : Determinar la relación entre los
ángulos semiinscriptos en un mismo arco de circunferencia. El hacer de T4 encuentra justificación en
el entorno tecnológico gestado en OMP3 y permite consolidar el siguiente resultado tecnológico:
Los ángulos semiinscriptos en un mismo arco de circunferencia tienen la misma amplitud.
Finalmente, la OMP5 se encuentra representada por el tipo de tareas T5 : Determinar la relación
entre los ángulos inscriptos y los ángulos semiinscriptos en un mismo arco de circunferencia. El hacer
de T5 encuentra justificación en los resultados tecnológicos gestados en OMP1 y OMP3, y permite
concluir en el siguiente resultado tecnológico:
El ángulo inscripto y el ángulo semiinscripto en un mismo arco de circunferencia tienen la
misma amplitud.
6. La Actividad de Estudio e Investigación
La AEI propuesta se diseñó a partir de considerar los tipos de tarea que representan a OMP1 y a
OMP2 en el MER. Si bien, la OM5 contempla otras OMP, el diseño se ajustó a las limitaciones de la
institución en la que se implementó el dispositivo didáctico. Al momento de seleccionar un curso para
realizar la implementación, nos enfrentamos a la dificultad de disponer de aquel en que los estudiantes
conocieran las nociones básicas fundamentales de geometría para abordar las situaciones, y que el
profesor del curso estuviese dispuesto a destinar suficiente espacio temporal para el estudio de las
nociones que proponemos en la AEI. Así, los tipos de tareas T1 y T2 se corresponden inmediatamente
con los contenidos establecidos en el diseño curricular y acorde a los tiempos cronológicos propuestos
por el profesor del curso que permitió el desarrollo de la investigación.
El estudio de Q05 conduce a la formulación de “cuestiones derivaras” ( qi ), que involucran el
estudio de tipo de tareas ( t i ), a partir de las que se establecen las situaciones que realizarán los
estudiantes. El estudio de dichas tareas proporcionan una respuesta ( Ri ) que en conjunto, contribuyen
a la elaboración de la respuesta R a Q05 El siguiente esquema presenta las conexiones entre las
.
respuestas Ri que emergen del estudio de cada t i
.
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q1 : ¿Cómo determinar
ángulos inscriptos y
ángulos centrales en un
mismo
arco
de
circunferencia?
q 2 : ¿Qué relación se
Q05 : ¿Cuáles
son
R1
t2
R2
t3
R21
las
relaciones que se
establecen entre
los
establece entre el
ángulo inscripto en un
arco de circunferencia
y el ángulo central
correspondiente?
t1
ángulos
inscriptos
en
q
3
:
¿Cómo
determinar la amplitud
de ángulos inscriptos
en una circunferencia?
una
circunferencia y
q 4 : ¿Qué relaciones
otros
se establecen entre los
ángulos inscriptos en
un mismo arco de
circunferencia?
elementos
de la misma?
𝑅
t 21
R3
t 22
R4
R51
q5
:
¿Cómo
determinar un lugar
geométrico?
t4
R52
R53
Figura 3. Esquema de la AEI
De Q05 se derivan cinco cuestiones fundamentales. La primera es q1 : ¿Cómo determinar
ángulos inscriptos y ángulos centrales en un mismo arco de circunferencia?, y conduce al estudio de
t1 : Determinar ángulos inscritos y ángulos centrales en un mismo arco de circunferencia. El
propósito de este tipo de tareas es recuperar el trabajo realizado por los alumnos en años anteriores y
alcanzar una mayor comprensión sobre los ángulos inscriptos y centrales determinados en una
circunferencia. Este tipo de tareas permite la elaboración de la respuesta R1 : Al trazar un ángulo
inscripto en un arco de circunferencia sólo se puede trazar un único ángulo central cuya amplitud
puede ser entre 0° y 360°. Mientras que se pueden trazar infinitos ángulos inscriptos en un mismo
arco de circunferencia y pueden tener una amplitud entre 0º y 180º.
La segunda cuestión que se formula es q2 : ¿Qué relación se establece entre el ángulo inscripto
en un arco de circunferencia y el ángulo central correspondiente? Esta cuestión conduce al estudio de
t 2 : Establecer la relación que existe entre los ángulos inscriptos y los ángulos centrales en un mismo
arco de circunferencia. Este tipo de tareas se corresponde con T2 definida en el MER.
El estudio de t 2 permite elaborar la respuesta R2 : Todo ángulo central en un arco de
circunferencia es igual al doble del ángulo inscripto correspondiente o todo ángulo inscripto en un
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arco de circunferencia es igual a la mitad del ángulo central correspondiente. Aquí se establece la
relación entre un ángulo inscripto y un ángulo central en un mismo arco de circunferencia,
considerando las conclusiones obtenidas en R1 y otras relaciones y propiedades estudiadas por los
alumnos en años anteriores.
La tercera cuestión que se propone es q3 : ¿Cómo determinar la amplitud de ángulos inscriptos
en una circunferencia? Esta cuestión conduce al estudio de t 3 : Determinar la amplitud de ángulos
inscriptos en una circunferencia. Este tipo de tareas se corresponde con T1 definida en el MER.
La elaboración de la respuesta a q3 ( R21 ) no aporta nuevos elementos tecnológicos. Para su
obtención se requiere del empleo del entorno tecnológico gestado a partir del estudio de t1 , y trabajar
sobre la técnica producida en R2 . Así se logra una rutinización y posterior naturalización de dicha
técnica.
La cuarta cuestión que se propone es q4 : ¿Qué relaciones se establecen entre los ángulos
inscriptos en un mismo arco de circunferencia? Esta cuestión conduce al estudio de las siguientes
tareas asociadas al tipo de tareas t 2 :
t 12 : Determinar la relación entre ángulos inscriptos en un mismo arco de circunferencia.
t 22 : Determinar la amplitud de los ángulos inscriptos en una semicircunferencia.
1
2
Con t 2 y t 2 se busca poner a prueba la potencia de las técnicas institucionalizadas y obtener
nuevas respuestas que favorezcan la construcción de una respuesta a Q05 .
1
Para el estudio de t 2 es fundamental el saber que se consolida en R2 , y que permite la
elaboración de R3 : Los ángulos inscriptos en una circunferencia que abarcan un mismo arco de
2
circunferencia son congruentes. Las respuestas R2 y R3 aportan tecnologías para el estudio de t 2 y la
elaboración de R4 : Todos los ángulos inscriptos que abarcan una semicircunferencia tienen un
amplitud de 90º.
Finalmente, la quinta cuestión que se formula es q5 : ¿Cómo determinar un lugar geométrico?
Esta cuestión conduce al estudio de t4 : Definir un lugar geométrico. Para elaborar una respuesta a q5 ,
es fundamental la aplicación de técnicas institucionalizadas en el estudio de las tareas anteriores, y
además su estudio permite elaborar tres respuestas que presentan características similares:
La respuesta R51 es elaborada a partir de R4 , y permite determinar la circunferencia que pasa por
los vértices de un triángulo rectángulo cualquiera.
La respuesta R52 es elaborada a partir de un trabajo realizado en forma empírica y argumentado
con fundamentos provenientes de R2 . Se justifica la construcción de un conjunto de puntos que surge
a partir del conocimiento de un ángulo inscripto.
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Y la respuesta R53 es construida considerando las conclusiones obtenidas en la respuesta R52 y
en R2 .
A continuación se presentan las situaciones que se derivan de los tipos de tareas descriptos, y
algunos resultados de las producciones de los estudiantes.
6.1. Situación 1
La situación 1 se corresponde con t1 . Su estudio se realizó en la primera sesión, en un encuentro
de 120 minutos.
Situación 1
1.1 En los siguientes esquemas se encuentran dibujados ángulos inscriptos en un arco de
circunferencia. Dibuja, para cada uno de ellos, un ángulo central que abarque el mismo arco de
circunferencia.
Esquema 1
Esquema 2
Esquema 3
1.2 En los siguientes esquemas se encuentran dibujados ángulos centrales en un arco de
circunferencia. Dibuja, para cada uno de ellos, un ángulo inscripto en el mismo arco de circunferencia.
Esquema 4
Esquema 5
Esquema 6
Teniendo en cuenta lo realizado en el ítem 1.1 y 1.2, compara el trabajo con tu compañero y responde:
a) Considerando un ángulo inscripto en un arco de circunferencia, ¿Cuántos ángulos centrales en el
mismo arco de circunferencia es posible determinar? Justifica.
b) Considerando un ángulo central, ¿cuántos ángulos inscriptos en el mismo arco de circunferencia es
posible determinar? Justifica.
c) ¿Qué amplitud puede tener un ángulo central? ¿y un ángulo inscripto? Justifica.
d) ¿Dónde se encuentra el centro O respecto al ángulo inscripto? Justifica.
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En el estudio de esta situación el momento prioritario lo constituyó el momento exploratorio. En
principio, los estudiantes manifestaron dificultades para trazar los ángulos inscriptos correspondientes
a cada ángulo central. Esto requirió de intervenciones del docente para lograr en los estudiantes
recuperar dichas nociones fundamentales para el desarrollo de la AEI. La situación generó la discusión
acerca de la unicidad o no de las construcciones de ángulos inscriptos y ángulos centrales en un arco
de circunferencia, y de esta manera se preparó el terreno para el acceso de los alumnos en
producciones más argumentativas, y todo el proceso deductivo que implican las situaciones que se
proponen a continuación.
En particular, en las producciones de los estudiantes no se observan elementos tecnológicos
explícitos. Por ejemplo, para el inciso 1.2 a) el Grupo 4 indica:
Figura 4. Resolución de la situación 1 1.2 a) por el Grupo 4
En el protocolo se registra una respuesta sin indicar el por qué de la misma. Este tipo de
respuesta también fue recurrente en los restantes grupos.
Para el inciso1.2 b), en general, los grupos concordaron con la respuesta aportada por el Grupo 4:
Figura 5. Resolución de la situación 1 1.2 b) por el Grupo 4
Si bien, en este protocolo los estudiantes emplean términos adecuados para dar respuesta a la
consigna, se encuentra carente de justificación. Destacamos que en general, los estudiantes emplearon
el término varios, muchos, todos los que sean posibles, para referirse a los infinitos puntos del arco de
circunferencia. Esto lo atribuimos a la corta experiencia escolar de los estudiantes en torno al estudio
de la noción de infinito, que se debería enriquecer a lo largo de toda la formación secundaria.
Con relación a los restantes incisos que contempla la situación, la respuesta obtenida de los
estudiantes fue satisfactoria. En particular, los estudiantes responden a las consignas como si se tratara
de una demanda de información del profesor. No se evidencia la necesidad de justificar las respuestas
si no es por insistencia del profesor. Esto se logró en las instancias donde se discutieron las respuestas
aportadas por los diferentes grupos.
6.2. Situación 2
La situación 2 se origina a partir de t2 . El estudio de la situación se desarrolló en 3 encuentros
de 60 minutos cada uno. Esta situación tuvo como propósito reconstruir el teorema que establece la
relación entre un ángulo inscripto en un arco de circunferencia y el ángulo central correspondiente.
Los alumnos debieron establecer la relación entre ángulos, considerando las distintas posiciones del
centro O respecto al ángulo inscripto, y analizadas en la situación 1. En particular, se pretendió que los
alumnos recuperaran propiedades conocidas y a partir de ellas elaborar otras nuevas. Pues según
Sadovsky, Parra, Itzcovich y Broitman (1998) el hecho de inferir a partir de datos y propiedades,
relaciones que no están explicitadas, llevan a establecer los resultados de manera independiente a la
experimentación y esto forma parte del trabajo en geometría.
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Situación 2
Trazar una circunferencia de centro O y radio r. Ubicar tres puntos (A, B y C) en la circunferencia de

tal manera que el ángulo ABC sea de 30º y el lado AB pase por el centro de la misma. Sin utilizar el
transportador, responde las siguientes preguntas:

a) ¿Es posible determinar la amplitud del ángulo central AOC ? ¿Por qué?
b) Determina un punto D, en el arco AB que no contiene al punto C, de tal manera que el ángulo


DOC sea recto. ¿Es posible conocer el valor del ángulo inscripto DBC ? Justifica.
c) Determina en el arco AC que no contiene al punto B, un punto E de tal manera que el ángulo


AOE tenga una amplitud de 20º. ¿Es posible determinar la amplitud del ángulo inscripto EBC ? ¿y

del ángulo central EOC ? Justifica.
d) ¿Qué relación se establece entre cada ángulo inscripto determinado en los ítems anteriores y el
ángulo central correspondiente a cada uno de ellos?
e) ¿Podrías afirmar que dicha relación es válida para todo ángulo inscripto? Justifica.
En general, para el inciso a) los alumnos pudieron determinar la amplitud del ángulo central
correspondiente al ángulo inscripto trazado, y recuperaron técnicas provenientes de la situación 1. Esto
permitió trabajar con argumentos deductivos llegando al resultado de manera independiente de la
experimentación. Para llegar a esta instancia, algunos grupos tuvieron que transitar por la práctica de
medir con el transportador para tener una aproximación del valor del ángulo y enfrentarse a que los
integrantes de cada grupo obtuvieran diferentes resultados. Esto los hizo desconfiar de lo que se dibuja
y se observa, y buscar otras técnicas para dar respuesta. Con esta situación se puso en evidencia que
los dibujos son sólo representantes de los objetos geométricos, pues en geometría ver y dibujar no es
suficiente.
Como ocurrió en la situación 1, las producciones de los estudiantes se encontraban carentes de
elementos tecnológicos explícitos, lo que requirió en las instancias de discusión, constantes
intervenciones del profesor para que los estudiantes los indicaran.
En los incisos que siguen se registraron algunas producciones donde los estudiantes explicitaron
algunos elementos tecnológicos por iniciativa propia. Por ejemplo, para el inciso b) el Grupo 6 indicó
en forma escrita:
Figura 6. Resolución de la situación 2 b) por el Grupo 6
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Para el inciso c), el Grupo 1 indicó:
Figura 7. Resolución de la situación 2 c) por el Grupo 1
Estas producciones constituyen un gran avance en relación a lo obtenido en las situaciones
anteriores. Los estudiantes comenzaron a evidenciar vestigios de la necesidad de explicitar el entorno
tecnológico, sin necesidad de que el profesor lo requiera.
Con relación al inciso d) se logró que los estudiantes revisen sus producciones anteriores y
puedan establecer la relación entre ángulos inscriptos y centrales. Mientras que el inciso e) los condujo
a cuestionarse la validez de la respuesta dada al inciso d).
La situación 2 permitió a los estudiantes concluir en el siguiente teorema, que constituye una
pieza vital en la organización que se reconstruye.
Todo ángulo central en un arco de circunferencia es igual al doble del ángulo inscripto
correspondiente” o “todo ángulo inscripto en un arco de circunferencia es igual a la mitad
del ángulo central correspondiente.
6.3. Situación 3
La situación 3 se gestó a partir de t3 . El estudio se realizó en una sesión de 60 minutos. El
objetivo fue hacer vivir el momento del trabajo de la técnica. Se pretendió que los alumnos empleen
técnicas que emergieron del hacer de la situación 2 y lleguen a utilizarlas de manera natural.
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Situación 3
Determina los valores de α y β. Indica los procedimientos utilizados para hallar la solución.
a)
Esquema 7
b)
Esquema 8
Los estudiantes determinaron la amplitud de los ángulos solicitados en la tarea, y justificaron los
resultados obtenidos a partir de los datos conocidos y con el apoyo de las relaciones estudiadas,
independientemente de la experimentación. En particular, destacamos que el entorno tecnológico
explícito en los protocolos continúa siendo incompleto. Esto condujo nuevamente al profesor, en las
instancias de discusión, a formular preguntas para que los estudiantes lo hagan explícito. Por ejemplo,
encontramos resoluciones como la siguiente:
Figura 8. Resolución de la situación 3 a) por el Alumno 4
En el protocolo se indican procedimientos y se da respuesta a la consigna sin explicitar el medio
tecnológico que justifica el hacer.
6.4. Situación 4
La situación 4, al igual que la situación 3, se corresponde con t3 . La situación se plantea en
forma coloquial, y se pretendió que los alumnos realicen sus propios esquemas y encuentren
relaciones entre los elementos involucrados. El estudio de la situación tuvo lugar en un encuentro de
60 minutos.
Situación 4
Resuelve las siguientes situaciones, justificando los procedimientos empleados.
a) ¿Es posible determinar la amplitud de un ángulo inscripto que abarca tres cuartos de circunferencia?
¿Por qué?
b) Si un ángulo inscripto ε es el doble de un ángulo inscripto cuyo ángulo central correspondiente es
de 135º ¿Podrías decidir la amplitud del ángulo inscripto ε y del ángulo central correspondiente?
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Para dar respuesta al inciso a), en general, los alumnos realizaron un esquema para determinar
los tres cuartos de circunferencia y el ángulo que debían calcular. La figura de análisis jugó un papel
importante en la situación. Permitió buscar razones y argumentos para justificar la amplitud de
ángulos inscriptos, tal como se observa por ejemplo en el siguiente protocolo:
Figura 9. Resolución de la situación 4 a) por el Alumno 5
Aquí observamos que el estudiante justificó su propuesta de manera adecuada. Del mismo
modo, para el inciso b) las respuestas registradas fueron satisfactorias.
6.5. Situación 5
1
La situación 5 se originó a partir de t2 . El estudio de la situación se desarrolló en un encuentro
de 60 minutos.
Situación 5
Dada la siguiente circunferencia de centro O y radio r, β un ángulo central y M un punto de la
circunferencia:
Esquema 9
a) ¿Es posible trazar tres ángulos inscriptos, α, ε y π, que tenga como ángulo central el ángulo β?
Justifica.
b) ¿Qué relación existe entre las amplitudes de los ángulos inscriptos, α, ε y π? Justifica.
Los estudiantes elaboraron una técnica en base a lo estudiado hasta aquí, lo que provocó la
aparición de una nueva tecnología para ser empleada en las próximas situaciones. La toma de decisión
acerca de la ubicación de los vértices y los puntos por los cuales deben pasar los lados de los ángulos
involucra un razonamiento con tintes deductivos, y promueve la reflexión sobre ciertas condiciones
que deben cumplir los ángulos construidos.
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En general, los estudiantes comenzaron el trabajo trazando tres ángulos en el esquema dado,
como se puede observar en el protocolo del Alumno 19:
Figura 10. Resolución de la situación 5 por el Alumno 19
En el protocolo, se observa que el alumno ubicó los vértices de los ángulos inscriptos en el arco
de circunferencia que contiene a M, aunque la respuesta que se indica es incompleta. Pues no es
adecuado considerar cualquier punto de la circunferencia, sino que es necesario explicitar cualquier
punto del arco de circunferencia que contiene a M. Por otro lado, la respuesta no se fundamenta
utilizando un medio tecnológico explícito. Se pretendía que los alumnos recuperaran elementos
tecnológicos de la situación 1. Este tipo de respuesta, recurrente en las producciones de los alumnos,
requirió que en la instancia de discusión, interviniera el profesor para que los estudiantes puedan
concluir en el siguiente resultado tecnológico:
Los ángulos inscriptos en un mismo arco de circunferencia tienen la misma amplitud.
Luego, para responder a la segunda cuestión, los alumnos recuperaron elementos tecnológicos
que emergieron del hacer de la situación 2 y dedujeron que todos los ángulos inscriptos en un mismo
arco de circunferencia tienen por ángulo central al ángulo β y por lo tanto tienen la misma amplitud.
De esta manera, la tecnología institucionalizada en el hacer de la situación 2, apareció como una
necesidad tecnológica para explicar el hacer de la situación 5. Finalmente, se institucionalizó que:
Los ángulos inscriptos en una circunferencia que abarcan un mismo arco de circunferencia
son congruentes.
6.6. Situación 6
2
La situación 6 se corresponde con t2 , y el estudio se desarrolló en un encuentro de 60 minutos.
Situación 6
Considera una circunferencia de centro O y radio
AO , el diámetro AB y un punto cualquiera C

sobre la circunferencia. ¿Podrías determinar la amplitud del ángulo inscripto ACB ? Justifica de dos
maneras diferentes.
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El objetivo de la situación fue que los alumnos puedan determinar la amplitud de los ángulos
inscriptos en una semicircunferencia utilizando elementos tecnológicos que emergen del hacer de las
situaciones 2 y 5.
En particular, de los registros obtenidos destacamos las dificultades de los estudiantes para
justificar de otra manera el valor del ángulo inscripto. Esto requirió de intervenciones del docente para
arribar a una respuesta. Finalmente, en un trabajo conjunto entre los alumnos y el profesor se concluyó
en que:
Todos los ángulos inscriptos que abarcan una semicircunferencia tienen una amplitud de 90°.
6.7. Situación 7
Las situación 7 se originó a partir de t4 . Se trata de una situación abierta en el sentido de que
los alumnos debieron decidir sobre cuáles son los datos y las incógnitas en el enunciado de la tarea. El
estudio de esta situación se llevó a cabo en una sesión de 60 minutos.
Situación 7
¿Es posible trazar la circunferencia que pasa por los vértices de un triángulo rectángulo? Justifica.
Los alumnos analizaron los datos con los que debieron construir la figura, determinaron si la
construcción era posible o no, y establecieron relaciones entre los datos conocidos y el dibujo a
obtener. La toma de decisiones acerca de la ubicación del centro de la circunferencia involucró un
razonamiento con argumentos deductivos. Es decir, promovió la reflexión sobre los elementos de un
triángulo (lados y ángulos), las relaciones entre éstos y los elementos de una circunferencia (centro,
radio, diámetro, ángulo inscripto, ángulo central). Luego de discutir las respuestas aportadas por los
diferentes grupos, se concluyó en lo siguiente:
Es posible trazar la circunferencia que pasa por los vértices de cualquier triángulo
rectángulo porque para todo triángulo rectángulo la hipotenusa es diámetro de la
circunferencia que pasa por los tres vértices.
6.8. Situación 8
Las situación 8 se corresponde con t4 . Con esta situación se acercó a los estudiantes al
resultado que se arriba con el estudio de la situación 9. Si bien, lo que se realiza es en principio un
trabajo empírico, del que emerge la solución en forma casi inmediata, se involucra a los estudiantes en
una actividad de cuestionarse dicho resultado. Esto exigió que los alumnos argumenten a partir de
propiedades conocidas. El estudio de esta tarea se realizó en un encuentro de 60 minutos.
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Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
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Situación 8
En una papel transparente dibuja un ángulo menor que 180º y haz un agujero en el vértice con la punta
de un lápiz.
Sobre un papel blanco señala un segmento AB y coloca la transparencia sobre el papel blanco de
modo que cada lado del ángulo pase por uno de los dos extremos del segmento AB .
Señala con el lápiz donde queda el vértice para cada solución posible de la transparencia.
¿Podrías inferir qué curva va describiendo el vértice? Encuentren argumentos que expliquen el
resultado obtenido.
En general, los estudiantes determinaron que la curva que se va describiendo es un arco de
circunferencia. En el momento de argumentar el resultado obtenido, no se registraron elementos
tecnológicos explícitos. Las respuestas aportadas por los diferentes grupos no van más allá de indicar
lo que se obtuvo mediante el trabajo empírico. Se obtuvieron respuesta como la que se indica a
continuación:
Figura 11. Resolución de la Situación 8 por el Grupo 2
6.9. Situación 9
Las situación 9 se corresponde con t4 , y tiene como finalidad que los alumnos, considerando lo
realizado en la situación 8, logren trazar un conjunto de puntos sin utilizar la transparencia. El estudio
de esta situación se desarrolló en un encuentro de 60 minutos.
Situación 9

Considera un segmento AB , encuentra, por lo menos, tres puntos P tal que el ángulo APB sea de
60º. ¿Es posible determinar el conjunto de puntos P que cumplen esta condición, sin utilizar la
transparencia? Justifica.
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Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
A. R. Corica, E. A. Marin
Aquí se propuso una situación donde los datos son la amplitud de un ángulo y un segmento, y la
incógnita es el arco de circunferencia que representa el conjunto de vértices del ángulo dado, es decir
una tarea inversa a la realizada en la situación 3 y en la situación 4. En general, se obtuvieron
respuestas como la del Grupo 1.
Figura 12. Resolución de la Situación 9 por el Grupo 1
Los alumnos analizaron los datos con los que construyeron la figura, determinaron si la
construcción era posible o no, establecieron relaciones entre los datos conocidos y el dibujo a obtener.
De esta manera, la presencia de una figura de análisis fue un referente importante en el hacer de la
situación.
Los estudiantes pusieron en práctica los elementos tecnológicos institucionalizados hasta el
momento y otros objetos matemáticos estudiados. Si bien, los alumnos trazaron un conjunto de puntos,
considerando un segmento y el ángulo inscripto dado en el enunciado, en general, no interpretaron el
resultado obtenido. En los protocolos se observó que el entorno tecnológico explicitado se encuentra
incompleto, y en el hacer de la situación, el profesor tuvo la necesidad de realizar sugerencias que
permitan a los alumnos observar el trabajo y establecer relaciones entre los datos considerados.
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Actividad de estudio e investigación para la enseñanza de nociones de geometría
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7. Reflexiones finales
Con fundamento en la Teoría Antropológica de lo Didáctico, se elaboró y describió las
características esenciales de un MER con relación a ángulos inscriptos en una circunferencia. Dicho
modelo constituyó la base para el diseño de la AEI.
Se realizó una primera implementación de la AEI, en un curso de tercer año de la educación
secundaria argentina, y habituado al estudio de la matemática de manera tradicional. Durante las
diferentes sesiones, se involucró a los estudiantes en un nuevo tipo de trabajo, que implicó
modificaciones a nivel de mesogénesis, topogénesis y cronogénesis. Con relación a la mesogenésis, se
resolvieron situaciones que permitieron desplegar razonamientos propios del trabajo geométrico y que
permitió institucionalizar el teorema de ángulos inscriptos en una circunferencia. En particular, los
estudiantes dedujeron a partir de los datos y utilizaron propiedades y relaciones que no se encontraban
explícitas en las situaciones. Analizaron los datos con los que se debían construir las diferentes
figuras, determinaron si la construcción era posible o no, trataron a sus esquemas como figuras
generales y no como figuras particulares, establecieron relaciones entre los datos conocidos y el dibujo
a obtener, llegando a establecer el resultado independientemente de la experimentación. Esto resultó
ser una experiencia sumamente útil en el camino hacia comprender a una figura como el conjunto de
relaciones que la caracterizan y que pueden ser enunciadas en un texto.
Con relación a la topogénesis, se buscó que los estudiantes se responsabilizaran de validar las
técnicas propuestas. Esto requirió de constantes intervenciones del profesor, pues los estudiantes se
manifestaron resistentes a recuperar su topos en el proceso de estudio, como producto de la formación
escolar vivida hasta el momento. Esta implementación también puso en evidencia cambios
cronogenéticos, en el sentido de que se requirió de mayores períodos de trabajo de los estudiantes para
realizar las tareas, porque fueron ellos quienes propusieron las técnicas para resolver.
De nuestro trabajo, destacamos las dificultades para desarrollar un dispositivo didáctico con las
características de una AEI en la escuela secundaria, en grupos fuertemente demarcados por el
paradigma de la monumentalización de los saberes. Dentro de la ideología de las AEI, no conseguimos
darnos suficiente espacio para poder salir del camino que habíamos planeado recorrer y los encuentros
que producir. Para los estudiantes resolver una situación es dar respuesta a la demanda del profesor,
que se caracteriza por la ausencia de un entorno tecnológico explícito, y de nuevas cuestiones que
deriven en la necesidad de seguir estudiando.
Si bien, la noción de AEI es una alternativa incompleta y limitada, consideramos que es una
propuesta viable en la escuela secundaria y permite comenzar a enfrentar el problema de la
monumentalización de los saberes. Aquí los estudiantes resolvieron situaciones que les permitió
explorar, conjeturar y validar. Con la AEI diseñada se produjeron encuentros con una cierta OM que
perdió sentido su estudio en la escuela secundaria. Como se indicó en el MER, hay nociones
fundamentales que le dan sentido al estudio de ángulos inscriptos en circunferencia y que se
encuentran ausente en el diseño curricular de la escuela secundaria. Serían de vital importancia volver
a recuperarlas para restablecer la razón de su estudio.
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Ana Rosa Corica. Doctora en Ciencias de la Educación por la Universidad Nacional de Córdoba en
Argentina. Licenciada en Educación Matemática y Profesora en Matemática y Física por la Universidad
Nacional del Centro de la Provincia de Buenos Aires. Investigadora Asistente del Consejo Nacional de
Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET). Investigadora del Núcleo de Investigación en
Educación en Ciencia y Tecnología (NIECyT). Docente de la cátedra de Didáctica de la Matemática en la
Facultad de Ciencias Exactas de la UNCPBA.
Elisabeth Alejandra Marin. Licenciada en Educación Matemática por la Universidad Nacional del
Centro de la Provincia de Buenos Aires. Profesora de Matemática por el Instituto de Formación Docente
y Técnica Nº156 "Dr. Palmiro Bogliano". Es docente de Matemática en diversas escuelas de nivel
secundario en la ciudad de Azul (Provincia de Buenos Aires).
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NÚM E R OS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 115-137
Club Astronómico del Instituto
Federico Fernández Porredón
(Instituto de Enseñanza Secundaria Profesor Martín Miranda. La Laguna. Tenerife. España)
O
M
Astronomy, observations, forum, interdisciplinary, secondary school.
N
Keywords
O
The Astronomic Club of the secondary school Profesor Martín Miranda in La Cuesta, La
Laguna, is a forum for debating, conferences and observations related to this
interdisciplinary area: the Astronomy. Many students have taken part in this centre from
1996 up today. The Astronomic Club has the collaboration of old students that keep in
touch with us, as well as parents and teachers from this centre and from other secondary
schools in Tenerife. Staff from Astrophysics Institute of Canarias has supported our
activity from its origins visiting us and giving excellent lectures and projects, as we will
see in this article. We invite all the secondary school staffs to participate in this kind of
initiatives.
R
Abstract
T
Astronomía, observaciones, foro, interdisciplinar, instituto.
S
Palabras clave
A
El Club Astronómico del Instituto Profesor Martín Miranda de La Cuesta-La Laguna, es
un foro de debates, conferencias y observaciones relativos a una materia interdisciplinar:
la Astronomía. En el club participan alumnos de este centro de forma continuada desde el
año 1996 hasta la actualidad. El Club Astronómico cuenta también con la colaboración
de ex alumnos que guardan este vínculo con el instituto, así como padres, madres y
profesores, tanto de nuestro centro como de otros homólogos de Tenerife. Desde su
origen se ha visto arropado por profesionales del Instituto de Astrofísica de Canarias
(IAC), que, de forma desinteresada, acuden a nuestra invitación premiándonos con
excelentes conferencias y proyectos, como veremos a lo largo de este artículo. Desde
estas páginas invitamos a profesionales de Secundaria a sumarse a iniciativas de este
tipo.
Coordinador: Luis Balbuena Castellano
Resumen
Í
1. Introducción
Antes de seguir quisiera dejar constancia de mi agradecimiento a D. Pedro Morales Escuela,
conserje del Instituto pues sin su desinteresada y continuada colaboración esta historia habría sido muy
distinta.
Estimo que para dar una imagen, lo más fiel posible, de esta actividad extraescolar debo
contextualizarla. Es por eso que en algunos momentos de esta exposición me veré obligado al recurrir
a aspectos colaterales que ayuden a poner de manifiesto el cómo y el porqué de esta, para mí,
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de Profesores de Matemáticas
A
El año 1990 iniciamos una ruta que unos años después desembocaría en El Club Astronómico
del Instituto, entonces I.B. San Hermenegildo y hoy IES Profesor Martín Miranda, en honor a José
Francisco, nuestro querido compañero y director durante muchos años.
Club Astronómico del Instituto
F. Fernández Porredón
El proyecto comenzó, sin saberlo entonces, desde el instante en que intentaba dar respuesta a la
curiosidad de un alumno: Profesor ¿y Júpiter puede verse? Estábamos tratando un problema de Física
en el cual dados algunos parámetros orbitales se pedía determinar la velocidad media de traslación del
planeta. Mi respuesta fue que sí, pero no supe qué contestarle cuando me volvió a preguntar: ¿y esta
noche lo podemos ver? La búsqueda de la respuesta llevaba latente una gran dosis de entusiasmo que
contagió a otros alumnos y profesores. Es así que decidimos realizar una primera observación
nocturna desde el Pico de las Nieves, en el kilómetro 13 de la carretera que conduce a Las Cañadas del
Teide. Allá fuimos dotados de planisferios, prismáticos, un cuaderno de campo y una cámara
fotográfica en la que se había instalado un carrete de diapositivas. Como no teníamos trípode, tiramos
las primeras fotos al cielo con la cámara apoyada en el techo del coche a la vez que probábamos con
diferentes tiempos de exposición en espera del dictamen del revelado. Cuando días después tuvimos
las diapositivas entendimos que los tiempos de exposición aceptables para un objetivo de 50 mm de
focal, en el que cabe una constelación extensa como la de Orión, no debían superar los 20 segundos
pues el movimiento aparente de los astros se apreciaba de forma notable. Tras unas cuantas salidas
teníamos localizadas la mayor parte de las constelaciones visibles desde Canarias e identificados a los
planetas que podían verse en esas fechas a unas horas prudenciales. El interminable puzle de la bóveda
celeste comenzaba a armarse para nosotros. Una de las primeras imágenes que nos daban constancia
de la visibilidad de Júpiter se añade a continuación.
A
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A
apasionante aventura. Una travesía que aún hoy continuamos con el mismo entusiasmo e ilusión que
en sus comienzos pero con la experiencia y medios técnicos acumulados durante el largo recorrido.
Figura 1. La noche del 20 de febrero de 1991, el brillante Júpiter se encontraba junto al cúmulo del Pesebre
(M44), ambos dentro de un asterismo en forma de trapecio que caracteriza a la constelación de
Cáncer. La foto original es una diapositiva posteriormente digitalizada. En la parte inferior derecha
de la imagen también se aprecia el pentágono característico de la cabeza de la Hidra.1
1
Datos técnicos de la imagen de la Figura 1: 20/02/1991; 22:20 horas; Objetivo 50 milímetros; f/1,4; Exposición
15 segundos; ISO 100.
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F. Fernández Porredón
2. La fotografía astronómica fue nuestra más importante herramienta de trabajo
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Este último punto merece un comentario, ya que la cámara réflex nos permite tener el obturador
abierto el tiempo deseado, lo que unido al poder de acumular información que posee una placa
fotográfica, consigue que se lleguen a plasmar fielmente colores como el rojo anaranjado del
hidrógeno incandescente de las nebulosas de emisión (Figura 2). Colores que no podemos visualizar ni
con los más potentes telescopios pues nuestros conos (células de la retina especialistas en la detección
del color) necesitan mayor intensidad de luz de la que nos llega desde las nebulosas. Esta circunstancia
la resume bien el refrán: Por la noche todos los gatos son pardos.
A
Pronto apreciamos, en este embrión de Club Astronómico, que la fotografía astronómica era una
potente herramienta ya que el uso de diapositivas en el aula abría unas posibilidades didácticas tales
que facilitaban enormemente la labor del profesor en aquellos años en que las tecnologías de
información y comunicación no tenían, ni de lejos, el desarrollo actual. Además, su belleza plástica
nos incitaba a salir de observación más a menudo con el aliciente de captar hermosos ejemplares
permitiéndonos reproducir fielmente zonas de la bóveda celeste y apreciar con exactitud,
características del cielo nocturno tales como: a) Los diferentes tipos de objetos celestes y sus
magnitudes. b) El movimiento relativo de los astros durante la noche. c) Las distancias relativas entre
ellos. d) El desplazamiento de los planetas en relación a las estrellas, y consecuentemente los
movimientos retrógrados de los planetas, noche tras noche, especialmente el de Marte. e) Los
diferentes colores estelares. f) El color de los objetos débiles y lejanos.
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Figura 2. En esta foto de la constelación de Orión que obtuvimos con una técnica más depurada que la
anterior, se aprecian los colores de diferentes astros y el color anaranjado de las nebulosas de
Orión (M42, en el centro de la imagen) el bucle de Barnard (a 1600 años-luz) y La Roseta (abajo).
Con las experiencias adquiridas durante ese curso, se elaboró esta tabla para tener una referencia
de los tiempos máximos de exposición dependiendo de los objetivos fotográficos empleados y de la
posición de los astros en la bóveda celeste en relación al ecuador celeste. El arco descrito en un tiempo
dado por un astro es menor cuanto más próximo esté al polo celeste, permitiéndonos mayor tiempo de
exposición sin que aparezcan trazos.
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Distancia del astro al ecuador celeste
0º (ecuador)
30º
45º
60º
F=28mm
35seg
40seg
50seg
75seg
F=50mm
20seg
23seg
28seg
40seg
F=200mm
5seg
5,5seg
7seg
10seg
A
Tabla 1. Tabla que elaboramos de forma experimental con los tiempos de exposición máximos para
diferentes objetivos, dependiendo de la posición del objeto en la bóveda celeste.
A
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3. Llega la Astronomía como asignatura reglada… y el telescopio
La rápida evolución desarrollada en los conocimientos básicos de esta materia fue, en gran
parte, gracias a las conferencias impartidas por astrofísicos del IAC. Pero también a una la labor
autodidacta. No quiero pecar de falsa modestia, y creo que debo añadir esta reflexión: mi formación
como licenciado en químicas hizo posible mi rápida evolución en este territorio interdisciplinar que es
la Astronomía. Es más, el estudio en los años 90 de esta materia me ayudó a atar cabos que me habían
quedado sueltos en los 70, y así llenar lagunas importantes en mi formación como químico. Sobre todo
por lo que supuso para mí el conocimiento básico de la evolución estelar, y por tanto, el conocimiento
de la génesis de los elementos químicos. “A partir de la muerte de una estrella surgen los átomos de
los elementos químicos pesados que podrán dar lugar, o no, a través de la evolución, a seres tan
irrepetibles como los lectores de Números. En el caso de la Humanidad así fue”. 2 Reflexión del autor.
Es así que nos decidimos a dar un paso más. Elaborar un cuestionario y pasarlo entre los
alumnos del instituto sobre la aceptación que tendría la Astronomía como materia optativa ofertada
como EATP Enseñanzas y Actividades Técnico Profesionales). El grado de aceptación fue tan
motivador que nos decidimos a elaborar una programación para impartir la asignatura optativa titulada
Astronomía y Astrofísica para los cursos de 2º y 3º de BUP (Bachillerato Unificado y Polivalente). La
programación fue enviada a la autoridad educativa. Tras su aprobación, comenzamos a impartirla el
curso 1991-92, curso en el cual el director del Instituto de Astrofísica de Canarias, el Profesor Dr.
Francisco Sánchez Martínez dio una emotiva conferencia en nuestro instituto, precisamente sobre
Evolución estelar con la finalidad de apoyar el proyecto de impartir Astronomía de forma reglada en
un centro de Canarias.
Nuestro siguiente salto cualitativo fue adquirir un telescopio. Tras la aceptación por parte del
Consejo Escolar compramos a Tycho, así decidieron bautizar los alumnos al telescopio refractor de
1000 mm de focal y 10 cm de apertura f/10 y montura ecuatorial que facilita el seguimiento de los
astros. El nombre del telescopio se eligió en honor al extraordinario y pintoresco astrónomo danés
Tycho Brahe, astrónomo en la corte de Praga que, por pocos años, no pudo conocer este invento de los
holandeses. Con un telescopio perfeccionado por Galileo en 1609, este profesor de Matemáticas de la
Universidad de Padova, pudo demostrar que la teoría de Copérnico era correcta, dando comienzo con
ello al método científico. La compra fue un éxito, ya que, tras pasar por decenas de salidas
observacionales, acampadas astronómicas y centenares de manos jóvenes, entusiastas e inexpertas, aun
sigue operativo 21 años después.
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A
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Con nuestras observaciones, elaboramos una tabla de resultados y los enviamos mensualmente a
una sede de recogida de datos solares ubicada en Bruselas, denominada SUNSPOT INDEX DATA
CENTER.
T
La presencia de un telescopio dotado con un filtro Mylar colocado en el objetivo, nos permitió
realizar observaciones solares, surgiendo ahí el proyecto “Los recreos al Sol” en el que los alumnos,
debidamente informados sobre los riesgos que supone la observación solar, determinaban su actividad
diariamente cuantificando las manchas existentes en la fotosfera, que es la zona del Sol que podemos
ver directamente desde la Tierra, una capa gaseosa en la que la temperatura es de sólo 6.000 grados.
Con estas observaciones obteníamos el número de Wolf, que es una forma de cuantificar la actividad
solar. Su expresión es: W=k(10xG+F). Donde W es el nº de Wolf, k es un factor de corrección entre
los diferentes observadores, G es el número de grupos observados, F el número de focos individuales;
k suele tener valor uno.
S
Figura 3. Alumno de 3º de BUP observando a través de Tycho durante una acampada en Madre del Agua
(Vilaflor). Los telescopios refractores son ideales para actividades que exijan desplazamientos. El
hecho de que no tengan espejo sino lentes los hace más resistentes al uso fuera de un observatorio.
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A
Figura 4. Fotografía de la fotosfera solar obtenida por un alumno de la época a través de “Tycho” dotado de
filtro Mylar. Las manchas solares son zonas más frías y oscuras de la fotosfera, ya que su temperatura
es de 4.000 grados y se forman por los movimientos convectivos de la atmósfera solar producidos por
la existencia de enormes campos magnéticos.
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4. Un observatorio para “Tycho”
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Finalizando el curso 1992-93 presentamos al Consejo Escolar un presupuesto para la
autoconstrucción de una cúpula. En aquel momento se pudo abordar gracias, sobre todo, al
compromiso de muchas personas que se prestaron a trabajar durante el mes de julio de 1993. Ese
compromiso aún continúa ya que son los propios miembros del Club, en su mayoría estudiantes, los
que se encargan de su mantenimiento. En el acto inaugural de nuestro observatorio pronunció una
conferencia D. Ignacio García de la Rosa, que era entonces director del Museo de la Ciencia y el
Cosmos.
Figura 5. Alumnos en plena faena de mantenimiento de la cúpula-observatorio.
Poco antes de fin de curso llegó al instituto la convocatoria de un Encuentro de Profesores de
Astronomía de ámbito nacional promovido por la Caja de Ahorros del Mediterráneo para celebrar a
finales de septiembre del 93 en Alicante. Embargado por la buena marcha de nuestro proyecto, decidí
asistir, (entonces las clases comenzaban en octubre), y presenté una comunicación titulada La
fotografía Astronómica y su utilidad didáctica. Una de las comunicaciones que más me impactó fue la
de un Inspector de Enseñanza Secundaria de Uruguay: el Dr. Gonzalo Vincino. En ella, además de
informarnos de que la asignatura de Astronomía existía como materia obligatoria en su país desde
finales del siglo XIX, resaltó un aspecto que me llamó mucho la atención: la tradición que tenían en
los centros de enseñanza segundaria uruguayos los clubs de Astronomía, como elemento aglutinador
de los alumnos con su instituto, una vez concluido su periplo formativo.
5. Un club de Astronomía para el San Hermenegildo
Durante el curso 1993-94 recibimos la propuesta por parte de la Consejería de Educación de
elaborar el currículo de una optativa de Astronomía. El desarrollo del currículo lo llevamos a cabo tres
profesores: D. José B. Navarro García, coordinador del Departamento Didáctico del Museo de la
Ciencia y el Cosmos, miembro del Programa Contenidos Canarios. D. Juan Antonio García Herrera,
profesor del C.E.I. (Centro de Enseñanzas Integradas) de La Laguna, y quien suscribe D. Federico
Fernández Porredón, profesor del I.B. San Hermenegildo (La Laguna). La asignatura se llamaría
Taller de Astronomía. La aprobación del currículo se publicó en el BOC (Boletín Oficial de Canarias)
de 25 de mayo de 1995 en la resolución 981 de 8 de mayo de 1995. Llegados a este punto hay varios
motivos que nos llevan a constituir un Club Astronómico:
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Club Astronómico del Instituto
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1. La nueva asignatura atrajo un alumnado de los que dejan huella.
2. La propuesta que nos hace el IAC de realizar un intercambio basado en prácticas
astronómicas con un instituto danés, el Rodovre Gymnasium de Copenhague, nos exigió un
esfuerzo organizativo que nos animó a rentabilizar más nuestros recursos.
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3. Pero el motivo principal para crear el CAI fue el deseo del alumnado y del profesorado de
otros centros, de realizar prácticas nocturnas frecuentes en el observatorio del instituto y
rentabilizar estas instalaciones. En los estatutos de régimen interno se indica lo siguiente:
“Artículo 2º: Los fines del Club son: 1. La divulgación de la Astronomía en el área de
influencia del Instituto. 2. La realización de estudios y observaciones que contribuyan a esta
ciencia. 3. Fomentar el encuentro entre antiguos, nuevos alumnos y otras personas interesadas
en la Astronomía con el objeto de desarrollar su afición a esta Ciencia. 4. Dar el mejor
aprovechamiento posible a las instalaciones y medios que el Instituto posee para le desarrollo
de Astronomía". En resumen el objetivo del proyecto es aglutinar en torno a nuestro Instituto,
a los miembros de la comunidad escolar que manifiesten curiosidad e interés por la
Astronomía, materia que por su carácter interdisciplinar, puede interesar a muchas personas
de distinto ámbito cultural.
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Merece la pena un breve comentario sobre esta primera experiencia internacional a la que
seguirían muchas más. En Copenhague convivieron 28 alumnos de La Cuesta con los respectivos
compañeros y sus familias danesas, realizando además numerosas actividades y visitas incluida una
acampada astronómica en Jutlandia, y presenciaron dos partidos de fútbol de la selección española, la
sub 21 y la absoluta. La experiencia, basada en el programa Lingua, estuvo repleta de anécdotas, casi
todas formativas y divertidas. Como aquella en la que, tras una presentación realizada por nuestros
alumnos sobre la astronomía en Canarias, tuvimos que participar en el salón de actos, poblado por
cuatrocientos espectadores, con la interpretación de alguna canción española, pues celebraban el
vigésimo quinto aniversario de la inauguración del Rodovre Gymnasium y solicitaron la colaboración
de los españoles.
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Figura 6. Alumnas de la primera promoción, estrenando club en el observatorio Galileo Galilei. Marta,
Gabriela, Larisa… ¡qué recuerdos! (Foto escaneada de una diapositiva).
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Nos estrenamos como club con otro intercambio, al igual que el anterior, por iniciativa del
Instituto de Astrofísica de Canarias, y con motivo de la inauguración del Telescopio Nacional Galileo
(TNG), propiedad de la Universidad de Padua, recién instalado en el Observatorio del Roque de los
Muchachos. Se establece contacto con el Liceo Scientifico Statale Eugenio Curiel de Padova (Padua),
Italia, donde participaron 30 alumnos. El motivo: la figura de Galileo Galilei, cuyo nombre acordamos
poner a nuestro observatorio.
6. El CAI como foro de actividades
Una de las primeras apariciones públicas del CAI se produce con la celebración, en el Museo de
la Ciencia y el Cosmos y en el IES San Hermenegildo, del Primer Encuentro de Profesores de
Astronomía de Enseñanza Secundaria de Canarias. El proyecto se gesta durante un curso de
Astronomía impartido por el que suscribe y convocado por el CEP (Centro de Profesores) de Icod de
los Vinos. El comité organizador del Encuentro estaba formado por los profesores de Enseñanza
Secundaria: D. Manuel Fernando Chinea Niebla, Dª Leandra Toste Cubas, Dª María José Fumero
Hernández y D. Federico Fernández Porredón.
I Encuentro de Profesores de Astronomía de Enseñanza Secundaria de Canarias
Dirigido a :
Profesores de Enseñanza Secundaria
Plazas que se convocan:
40
Intervienen:
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6.1. Primer Encuentro de profesores de Astronomía en Canarias
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El Club Astronómico del Instituto ha promovido o participado en diversos proyectos dentro del
ámbito de la Astronomía, como el intercambio anteriormente descrito. Veamos algunos de otros.
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Federico Fernández Porredón
Graciano Afonso González
Francisco Reyes Suárez
Erik Stengler
Loreto Reyes Sánchez
Julen Sarasola Manich
Oswaldo González Sánchez
Nieves Mª Pérez Acosta
José Navarro García
Miguel Angel Padrón Padrón
Juan Carlos Alcázar Hernández
Manuel Chinea Niebla
Mª José Fumero Hernández
Leandra Toste Cubas
Fecha de celebración:
12,13 y 14 de marzo de 1999
Duración:
25 horas presenciales
Figura 7. Relación de ponentes de los Encuentros.
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6.2. La Comunidad Canaria comienza a impartir Astronomía en bachillerato
La Consejería de Educación nos propone la realización de un currículo de Astronomía para
impartir en bachillerato con una dotación de cuatro horas semanales. Los profesores que lo desarrollan
son Dª María Gloria Estévez Romero, Dª Carmen Delia Pérez Hernández y D. Federico Fernández
Porredón, y el título de la asignatura es Astronomía Fundamental. El currículo de esta asignatura fue
presentado en mayo del 98, como respuesta a la petición realizada por miembros de la Dirección
General de la Consejería. Comienza a impartirse durante el curso 1999-2000, esto repercute de forma
decisiva en la expansión del club Astronómico porque se produce un incremento del número de
alumnos que estudian Astronomía de forma reglada.
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En 2000 nos constituimos en centro coordinador del Proyecto Europeo Stars in the School, al
que se adhieren centros de Italia, Francia, Finlandia, Alemania, Rumania y Bulgaria. El proyecto se
prolonga durante cuatro años y su finalidad es crear una red clubs astronómicos en centros europeos.
Durante el transcurso del proyecto se realizaron trabajos astronómicos de interés llevados a cabo
conjuntamente con los centros implicados.
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6.3. El IES San Hermenegildo, centro coordinador del proyecto Comenius “Stars in the School”
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La Comunidad Canaria se convirtió así en la única del Estado en impartir una asignatura de
Astronomía en bachillerato. Esto quedó de manifiesto mediante la comunicación que presenté al
respecto en los III Encuentros para la Enseñanza de la Astronomía, celebrados en septiembre de 1999
en Granada y promovidos por ApEA (Asociación para la Enseñanza de la Astronomía).
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Figura 8. Algunos de los alumnos matriculados en la optativa de bachillerato que además pertenecían al
CAI junto a nuestra ponente en la conferencia de esa noche, Dª Cristina Hansen y su esposo, otro
entrañable amigo y ponente habitual del CAI, el Dr. Erik Stengler.
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IES "San Hermenegildo" - La Laguna, Tenerife, SPAIN
Istituto Tecnico Commerciale Statale "A.Pitentino" - Mantova, ITALY
Liceo Scientifico Statale "Alfano da Termoli" - Termoli, ITALY
Lycee "Marie Curie" - Sceaux Cedex, FRANCE
Berufskolleg Bergish Land - Wermelskirchen, GERMANY
Pieksämäen Lukio – Pieksämäki, FINLAND
Railways Highschool – Craiova, ROMANIA
Planetarium with Astronomical Observatory – Smolyan, BULGARIA
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Figura 9. Logotipo del proyecto Comenius “Stars in the School”.
STARS IN THE SCHOOL
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CÁLCULO DE LA DISTANCIA TIERRA – LUNA A
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PARTIR DE LAS FOTOGRAFÍAS DE UN ECLIPSE
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GRUPO SELENE
CLUB ASTRONÓMICO DEL INSTITUTO
IES San Hermenegildo
La autoría del presente trabajo corresponde al GRUPO SELENE compuesto por los alumnos de Astronomía del
IES San Hermenegildo, todos ellos de 3º de BUP:
Eduardo Abia Luño, Aarón Abril Torres, Jonay Abril Torres, Ricardo Fagundo Rivero, Saray Herrera Arteaga,
Sara Mesa Flores, Ángeles Méndez García.
Profesor coordinador: Federico Fernández Porredón
La Cuesta - La Laguna - Febrero de 2000
Figura 10. Portada de uno de los trabajos realizados durante el proyecto “Stars in the School”.
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6.4. En 2000 y 2002 se celebran sendas Ferias de Astronomía Escolar.
En 2000 se celebra la primera feria en el IES Viera y Clavijo de La Laguna, organizada por el
Profesor D. Luis Balbuena Castellano y sus alumnos de Astronomía, y en su desarrollo colaboran los
alumnos del Club Astronómico del Instituto San Hermenegildo.
La segunda feria se celebra conjuntamente en ambos institutos, y lleva la denominación de
internacional por realizarse de forma simultánea en los centros Comenius adheridos a “Stars in the
School”. En la sesión de clausura de la II Feria, celebrada en el salón de actos del IES San
Hermenegildo, el Dr. Francisco Sánchez Martínez, director del IAC, pronunció una conferencia
titulada Presente y futuro del Gran Telescopio Canarias.
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Figura 11. Cartel anunciador de la II Feria Internacional de Astronomía Escolar.
6.5. El Club Astronómico en los VII Encuentros para la Enseñanza de la Astronomía
La séptima edición de estos Encuentros de carácter estatal, se celebró en julio de 2007 en el
Museo de la Ciencia y el Cosmos de Tenerife, siendo el profesor que suscribe presidente de la ApEA.
El alumnado del Club asumió un protagonismo desinteresado, siendo los monitores del Encuentro y
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realizando funciones de secretaría y asesoramiento. Además, los propios alumnos presentaron una
comunicación con el título El Astronómico del Instituto…algo más que un Club y un audiovisual de
astrofotografía diseñado por ellos. Fueron calurosamente felicitados por asistentes y organización en
la jornada de clausura.
Figura 12. Convocatoria de los VII Encuentros. Los alumnos del CAI fueron los monitores del evento.
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“El astronómico del instituto…
algo más que un club”
Federico Fernández Porredón
y los miembros del Club Astronómico del
IES San Hermenegildo
José Luis Rubio da Costa 1º Bach.
Ana Mª Velázquez Galván 1º Bach.
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Rubén Ángel Negrín Afonso 1º Bach.
VII ENCUENTROS ApEA
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Tenerife 05/07/07
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Figura 13. Portada de la presentación en Power Point que expusieron los alumnos del CAI en los VII
Encuentros para la Enseñanza de la Astronomía celebrados en el Museo de la Ciencia y el Cosmos.
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6.6. En 2008 un nuevo telescopio para el Club
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Gracias a la dotación económica conseguida mediante nuestra participación en los Proyectos de
Mejora, convocados por la Dirección General de Ordenación e Innovación Educativa, pudimos
adquirir un telescopio más acorde con el desarrollo alcanzado por el Club. Se trata de un Vixen SXDVC 2000L, con un objetivo de 8 pulgadas y una distancia focal de 2000 mm. Dispone de un montura
SXD, que mediante el controlador Star Book, permite la búsqueda y auto guiado de múltiples cuerpos
celestes.
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Figura 14. También hay profesoras entre los miembros del CAI. Tona, Cande y Rosa fotografíando un
eclipse parcial de sol.
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Figura 15. Eclipse parcial del día 4 de noviembre de 2013. En la Laguna llovía. Pero en la fase final del
eclipse, gracias a la insistencia de nuestras motivadas compañeras, se hizo un claro y
dispararon. Se aprecia un pequeño arco de la mordida lunar y algunas manchas en la fotosfera.
7. Las observaciones astronómicas del CAI
Tal vez las actividades más demandadas por el alumnado son las observaciones astronómicas,
que pueden ser diurnas o nocturnas. Las primeras ya se han comentado cuando se habló de “Los
recreos al Sol”.
7.1 Observaciones astronómicas nocturnas en el observatorio del instituto
Las observaciones nocturnas son sumamente atractivas para todos, pero deben programarse
adecuadamente pues no están exentas de riesgo. Si estas observaciones son en el instituto, basta con
reunir a alumnos y padres a comienzo de curso, comentarles el proyecto y rogar que si creen que la
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madurez del alumno/a no hace recomendable su participación es mejor que lo deje para el próximo
curso. La experiencia me dice que esta labor disuasoria es conveniente y eficaz, sobre todo si se hace
en presencia de todo el grupo de interesados. Una vez informados y debatidos los pros y los contras,
los padres interesados deben firmar una autorización para que su hijo/a participe en estas
observaciones. No obstante, cada vez que se programe una observación nocturna se hará
imprescindible la autorización del padre o la madre del alumno/a para esa actividad. En la
convocatoria se hacía figurar el día, la hora y la duración aproximada de la observación. Los medios
actuales: WhatsApp, email, etc. así como las webcam meteorológicas, facilitan mucho la labor de
desconvocar la actividad cuando el tiempo es adverso. Debe quedar muy claro que el profesor no se
hace cargo del alumno en caso de desconvocatoria por mal tiempo u otras razones. Este último aspecto
debe ser claramente informado en la reunión inicial con alumnos, padres y madres.
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Figura 16. Alumnos de bachillerato miembros del Club manejando el telescopio durante una
observación. El alumno de la izquierda está localizando el astro con el Star Book, el de la
derecha está enfocando.
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Figura 17. Nebulosa de La Laguna, una región de formación estelar. En el punto 2 de este informe se
hizo referencia del color de este tipo de objetos. Foto obtenida por el autor a través del
telescopio.
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Figura 18. Júpiter y sus lunas Io, Europa, Ganimedes y Calixto, fotografiadas desde nuestro observatorio
por alumnos habituales del CAI. Para Galileo, en 1609, esta imagen supuso un argumento
irrefutable, contrario a las tesis geocéntricas.
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7.1.1 Fotografía planetaria a través de telescopio con webcam
Las observación planetaria utilizando la técnica de grabar un video de tres minutos acoplando una
webcam doméstica al telescopio da unos espléndidos resultados, pues tratando el video con programas
adecuados se consigue un efecto similar a la eliminación de las turbulencias atmosféricas. Algo
parecido a sacar fotos a través de telescopio desde el espacio...
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Figura 19. Proceso de obtención de imágenes planetarias a través de cámara web acoplada al telescopio
en el Observatorio Galileo del CAI. En la foto estábamos obteniendo la imagen de Venus en
fase (ver pantalla del ordenador). Otro hecho irrefutable descubierto por Galileo que obligaba
a sustituir el modelo geocéntrico.
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Figura 20. “El señor de los anillos” a través de una webcam acoplada al telescopio. En la imagen se
aprecia la división de Cassini y detalles como la sombra del planeta sobre sus anillos y la
sombra de los anillos sobre el planeta.
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7.2 Observaciones astronómicas nocturnas fuera del instituto
Las indicaciones enumeradas el punto 7.1 alcanzan mayor vigor, si cabe, cuando la observación
exige un desplazamiento. La salida se ha de realizar solo si el tiempo es adecuado, sobre todo en lo
referente a ausencia de nubosidad y viento, ya que produce mucha frustración la presencia de claros y
nubes especialmente, entre las personas que se están iniciando. En estas salidas han de colaborar
padres y madres aportando vehículos conducidos por ellos, y responsabilizándose de los menores de
edad, que debidamente autorizados por sus padres, transporten. Es muy aconsejable el uso de ropa de
abrigo adecuada, llevar un cuaderno de campo donde hacer las anotaciones, así como frutos secos y
bebidas energéticas calientes (chocolate, café, té). El profesor debe llevar un laser verde, que se usará
siempre con precaución y mesura, para marcar constelaciones y objetos celestes.
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Figura 21. Aunque la salida se programe adecuadamente, hay veces que aparece la bruma. Y en cierta forma
hasta se agradece, sobre todo si es pasajera. (Mirador de Chipeque a 1.850 m de altitud).
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A veces decidimos desplazarnos a zonas altas de la isla para realizar las observaciones para
encontrar un cielo con una menor contaminación lumínica.
7.2.1 Observaciones desde el mirador de Chipeque
Una de las salidas observacionales más frecuentes la realizamos al mirador de Chipeque,
situado en el punto kilométrico 26 de la carretera que conduce a Las Cañadas del Teide, a unos 1850
metros de altitud. Es un lugar seguro, accesible, amplio y que reúne buenas condiciones para la
observación astronómica del grupo. Es conveniente llegar antes de la puesta de sol para ubicarnos y
además poder disfrutar de ese espectáculo, enmarcado en una panorámica realmente espectacular con
mar de nubes, el Teide y la isla de La Palma, etc.
En cada salida observacional se marcan unos objetivos. Por ejemplo: 1º) Identificación de los
puntos cardinales a partir de la Estrella Polar con la finalidad de ubicarnos en el cielo. 2º)
Reconocimiento a simple vista de todas las constelaciones posibles, y de los planetas presentes durante
esa noche en el cielo. 3º) Diferenciar las constelaciones zodiacales y las no zodiacales. 4º) Llevar
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relación de objetos celeste (cúmulos estelares, nebulosas y alguna galaxia) para su localización con
prismáticos y telescopio, etc.
Para grupos más avanzados los objetivos se amplían: 1) Determinación de los 10 primeros
astros visibles tras el anochecer, medir su altura y azimut e identificarlos. 2) Determinación de la
magnitud de esos astros. 3) Observación de sistemas estelares dobles o múltiples con prismáticos y
telescopio. 4) Iniciación a la astrofotografía, etc.
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Figura 22. Conjunción Venus (abajo a la izquierda)-Mercurio (abajo a la derecha)-Júpiter (arriba).
Observación del día 24 de mayo de 2013 desde el Mirador de Chipeque.
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Figura 23. La constelación de Orión desde el mirador de Chipeque en abril de 1993. El colorido
crepuscular se debe a partículas en suspensión en la alta atmósfera debido a la explosión del
volcán Pinatubo en Filipinas.
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Figura 24. Grupo de alumnos preparando la observación.
Esta actividad la realizábamos todos los años, generalmente durante la semana después de
Semana Santa, de martes a jueves, aprovechando el comienzo del buen tiempo, la ausencia de luna
llena y la lejanía, aún, del final de curso. El programa era apretado pues se trataba de hacer actividades
de senderismo y medio ambiente, educación física y astronomía. Para las actividades astronómicas
nocturnas, el alumnado se dividía en grupos; los más habituales eran los de mitología, observación a
simple vista y prismáticos, observación con telescopio y astrofotografía, de forma que durante la
noche todos debían informar al resto, de forma rotativa, de lo que estaban haciendo y comunicarles sus
pequeños logros y avances implicándolos en su tarea.
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7.2.2. Acampadas astronómicas en Madre del Agua (Vilaflor)
Figura 25. Llegada del grupo, tras 9 kilómetros de caminata (desde la carretera al campamento). Se dan
las instrucciones propias del campamento y se reparten las habitaciones.
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La fotografía de la figura 28 muestra las nebulosas Laguna (M8) y Trífida (M20) ambas en el
corazón de la Vía Láctea. Fue obtenida en el Campamento de Madre del agua en 1995 por Yago. Él
quería ser astronauta, hoy es ingeniero aeronáutico.
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El campamento de Madre del Agua, dada su altura, su ubicación y la ausencia de contaminación
lumínica, es ideal para la práctica astronómica y en especial para la astrofotografía. Han sido muchos
los alumnos que han encontrado, en la fotografía en general y en la astronómica en particular, una
fuente de creatividad que ha sido determinante, incluso, en su vocación profesional.
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Figura 26. Hasta una actividad de senderismo contiene connotaciones astronómicas en Vilaflor: alumnos
en el “Paisaje Lunar”.
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Figura 27. Datos técnicos: Objetivo 210 mm; Campamento "Madre del Agua". Vilaflor. Altitud 1.800 m;
Hora: 2:25 T.U.; f/9; T: 20 minutos; 400 ISO.
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7.2.3. Observaciones desde el Observatorio del Teide (O.T)
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Han sido múltiples las ocasiones en que hemos presentado al I.A.C un proyecto de observación
para un grupo de estudiantes y se nos ha concedido la plataforma existente en el O.T. para colocar
telescopios portátiles, así como el telescopio Mons para realizar observaciones puntuales. Sin lugar a
dudas, no es una casualidad que la comunidad científica internacional haya decidido instalar sus
telescopios en suelo canario. La altitud, la ausencia de contaminación lumínica e industrial y la latitud
de las cumbres canarias, que hacen posible ver todo el hemisferio norte, y gran parte del sur, a lo largo
del año, las han hecho un referente mundial en el terreno de la astrofísica. No en vano el Observatorio
del Roque de los Muchachos, en la isla de La Palma, es conocido como Observatorio Norte Europeo.
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Figura 28. Torres solares en el Observatorio del Teide bajo la atenta mirada de Orión.
Figura 29. Rubén, alumno de 1º de bachillerato, observando a través del telescopio Mons del
Observatorio del Teide.
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Reflexión final
El Club Astronómico del Instituto “IES Profesor Martín Miranda” agradece a Números, Revista de
Didáctica de las Matemáticas, la oportunidad de expresarse en sus páginas y se ofrece a seguir contando sus
actividades pasadas, como, por ejemplo, la diversidad de charlas de cualificados conferenciantes que han pasado
por nuestro humilde foro junto a futuras actividades. Gracias.
Nota de Cande
Soy miembro de la Sociedad Isaac Newton desde hace muchísimos años. Sin embargo, hoy les escribo,
como directora del I.E.S. Profesor Martín Miranda, para mostrar mi profundo agradecimiento a Federico
Fernández Porredón por su labor en la continuación, a pesar de su retiro profesional, del Club Astronómico del
Instituto (CAI). Su abnegada y vocacional dedicación ha contribuido al enriquecimiento científico de nuestro
alumnado y al prestigio de nuestro centro.
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Muchas gracias, querido amigo.
Candelaria González Martín
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Federico Fernández Porredón. Lugar de trabajo: IES. San Hermenegildo. La Cuesta-La Laguna,
Tenerife. Lugar de residencia: Bajamar, Tenerife. Catedrático de Física y Química jubilado. En 1991
introdujo la asignatura Astronomía y Astrofísica en su centro. Miembro de la sociedad de profesores
ApEA (Asociación para la Enseñanza de la Astronomía). Presidente de ApEA desde el congreso de
Granada (1999) hasta el de Tenerife (2007). Coordinador y autor del libro de texto para el segundo ciclo
de ESO Iniciación a la Astronomía. En 2005 elaboro el CD-Rom El Cielo en el Aula, promovido por la
Consejería de Educación y CajaCanarias del cual se editan 4.000 ejemplares. Responsable del área
didáctica del grupo Shelios, participa desde 2004 en el proyecto La Ruta de las Estrellas.
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 139-144
Poliprismas
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
En este artículo se presenta un campo poco explotado de disecciones de prismas.
Partiendo de un prisma unitario de proporciones 3x2x1 que llamamos “canónico” se
construyen poliprismas de 2, 3, 4,… elementos. Estos poliprismas se ensamblan para
formar un prisma de las mismas proporciones relativas. Partiendo de un modelo de
disección del cubo, el Cubo de Rupe, se analiza el procedimiento para convertir el cubo
en prisma, y los policubos en poliprismas, estudiando las variantes que aparecen.
Palabras clave
Policubos. Poliprismas. Disección de prismas. Estudio de las posiciones relativas de
prismas elementales al ensamblarlos. Número de poliprismas según los elementos que
intervienen. Orientación espacial. Análisis de figuras en el espacio.
Abstract
In this article a field of untapped dissections prisms is presented. Starting from a unitary
prism proportions 3x2x1 we call "canonical" are built polyprisms 2, 3, 4, ... elements.
These polyprisms assemble into a prism of the same relative proportions. Starting from a
model cube dissection, Rupe's Cube, the procedure is analyzed to convert the cube to
prism, and polycubes to polyprisms in studying the variants shown.
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Keywords
Polycubes. Polyprisms. Dissection of prisms. Study of the relative positions of
elementary prisms to assemble. Number polyprisms as the elements involved. Spatial
orientation. Analysis figures in space.
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Resumen
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En nuestro anterior artículo sobre juegos, adelantamos el caso de los poliprismas.
Verdaderamente hemos encontrado poco escrito al respecto. Y, comparados con los puzles pensados y
construidos alrededor de los policubos, son casi inexistentes. Por otro lado, podemos considerar que la
mayoría de las disecciones de cubos dan lugar a poliprismas, pero
aquí tenemos en cuenta dos características, dos principios
fundamentales: partimos de la solución a un cubo diseccionado en
varios policubos y transformamos los policubos en poliprismas
según alguno de los criterios que explicamos en el artículo. De esta
manera, uniendo los poliprismas obtenemos lo que llamábamos “un
ladrillo”, un prisma rectangular de proporciones 9x6x3.
1
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
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1. Introducción
Poliprismas
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
2. Poliprismas a partir de los policubos
Las piezas (policubos) que componen el Cubo de Rupe son seis.
Desde un bicubo hasta un heptacubo. Es decir, formadas por 2, 3, 4, 5,
6 y 7 cubos elementales unidos por sus caras. Los tenemos dibujados a
continuación.
Vamos a analizar que ocurre cuando convertimos cada uno de los cubos
elementales del policubo en un prisma de dimensiones 3x2x1 (al que llamaremos “prisma
canónico”), y los unimos por sus caras de forma congruente, es decir, que de las tres caras
diferentes que presenta: la de dimensiones 3x2 (cara 6), la de 3x1 (cara 3) y la de 2x1
(cara 2), se han de adosar las de dimensiones iguales, no siendo válido el unir, por
ejemplo, tres prismas por sus caras 2 con un cuarto prisma por su cara 6 como en la figura
de color madera de la derecha.
Cuando queremos convertir los policubos en poliprismas, a partir de
una solución del Cubo, vemos que existen seis posiciones del prisma según
la cara y orientación que se presente.
G
O
S
Formar un cubo de dimensiones 3x3 con las seis piezas tiene al
menos 54 soluciones, ya que la pieza roja, el hexacubo,
limita el número de resultados al ocupar, en la mayoría
de las construcciones, necesariamente el cubito central
del Cubo. Con esto también se simplifica el estudio de
las posibles soluciones.
J
U
E
Tales orientaciones son importantes porque al construir el poliprisma,
la unión de los elementos se hace teniendo en cuenta la orientación de los
cubos del policubo del modelo.
Por ejemplo, el tetracubo verde tal como está
orientado en la pieza modelo y dado que presenta
simetrías, da lugar a los siguientes seis poliprismas,
todos distintos, y que presentan al frente las tres caras
con dos orientaciones cada una.
Actuando de la misma manera con los otros policubos, elegimos luego las variantes que
presentan la misma cara y orientación al frente para a partir de los policubos diseñar los poliprismas.
Tenemos seis biprismas posibles atendiendo a la cara que
vemos al frente, pero está claro que solo tres son los modelos
posibles: los unidos por la cara 2, los que lo hacen por la cara
3 y los que lo hacen por la cara 6.
Sin embargo, al considerar los triprismas, encontramos seis
poliprismas diferentes con las siguientes uniones: por sus caras 2, por sus
cara 3, por sus caras 6, dos por la cara 6 y el tercero por la cara 2 (que se
puede considerar también formado por dos prismas unidos por la cara 2 y
el tercero unido por la cara 6) o dos por la cara 6 y el tercero por la cara 3
(e igual consideración que antes), y por último, el que resulta de unir dos
por la cara 2 y el otro por la cara 3, que es equivalente al que resulta de
unir dos por la cara 3 y el otro por la cara 2 de uno de ellos. Luego, cada
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NÚMEROS
Poliprismas
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
uno de ellos se puede ver con diferente orientación, por ejemplo, tres caras 2 al frente se pueden ver
horizontal o verticalmente contiguas, es decir, unidas por su lado 1 o unidas por su lado 2 (los dos
triprismas superiores de la figura).
Para el tetraprisma, encontramos 29 modelos distinguibles:
J
U
E
Para poliprismas de órdenes más elevados, el número de construcciones aumenta enormemente,
quedando pendiente su cálculo, representación y estudio.
G
O
3. Poliprismas a partir de las piezas del Cubo de Rupe.
S
La solución del Cubo que hemos tomado como ejemplo se construye con
las piezas que se indica.
Conservando la cara que vemos como cara “principal”, tomamos prismas
cuyas caras anteriores son caras 6 en posición horizontal (6H).
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de Profesores de Matemáticas
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Poliprismas
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Si hubiésemos tomado los poliprismas con sus caras 2 en posición vertical (2V), por ejemplo,
las piezas necesarias serían las siguientes:
Comprobando que los poliprismas que intervienen son diferentes a los del caso anterior.
En las siguientes figuras se representan para las caras 2 (horizontal: 2H), la 3 (horizontal: 3H y
vertical: 3V) y la 6 (vertical: 6V)
J
U
E
G
O
S
Por cada solución al Cubo de Rupe tendremos seis tipos de construcción si tomamos
poliprismas, dos orientaciones por cada una de las caras posibles: orientaciones horizontal (H) o
vertical (V) para las caras 6, 3 y 2.
Queda para el lector, como actividad que puede compartir con los alumnos, el desarmar cada
uno de los “ladrillos” y ver qué poliprismas los constituyen. No obstante adelantamos algunas pistas.
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Poliprismas
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Cada una de los poliprismas presenta, para cada “ladrillo”, o una orientación o un acoplamiento
diferente. En la pieza más sencilla, el biprisma, las piezas que intervienen, en el mismo orden que
aparecen las figuras, son:
Hemos construido los ladrillos en el orden 6H, 2V, 2H, 3H, 3V y 6V, y las piezas se repiten,
como era de esperar.
Si consideramos qué tetraprisma interviene en cada ladrillo, siguiendo el orden establecido,
serían:
J
U
Y aquí vemos que las piezas son diferentes. ¿Ocurre también para el resto de los poliprismas
que intervienen?
E
El triprisma presenta, entre otras, las variantes de la figura.
¿Cuál interviene en cada ladrillo, orientándola adecuadamente?
G
O
¿Y en el caso del heptaprisma, el más complicado de los que intervienen?
S
Y ya puestos, los dos que faltan:
Sociedad Canaria Isaac Newton
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Poliprismas
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
La manipulación y posterior discusión de las construcciones que exponemos, implican un
desarrollo de las capacidades de visión espacial, de orientación, sistematización, ordenación de
resultados, análisis, etc., que son “ladrillos” esenciales en la formación científica y matemática.
¿Y para qué sirve esto, dirán nuestros lectores? Pues nosotros entendemos que es un posible
modelo de investigación tridimensional, en el que aparece la posibilidad de modelización con piezas
construidas en madera y pegamento o utilizar, como hemos hecho nosotros con Excel, un programa
que permita dibujar las piezas tridimensionales y jugar con ellas. Posteriormente se puede construir el
modelo que nos haya resultado más interesante.
Queda mucho por trabajar.
Nosotros solamente hemos pretendido abrir un camino
aparentemente poco explorado y permitir que quien quiera, quien se sienta motivado, explore un poco
más allá.
S
Agradeceríamos que si alguien conoce alguna investigación en esta línea nos lo haga saber para
rendirle el homenaje oportuno. Y si ese alguien, u otro, investiga en esta dirección y nos lo hace
saber, que quede claro que aquí, en esta página, daremos cumplido conocimiento de lo que nos llegue.
pues. Un cordial saludo.
O
Hasta el próximo
J
U
E
G
Club Matemático
144
Vol. 85
marzo de 2014
NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 145-156
Tiempo de espera y algunas cosas más
Problemas Comentados XXXVI
José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García Déniz (Club Matemático1)
El artículo consta de tres partes: en la primera exponemos los problemas planteados en la
Primera Fase del Torneo de Matemáticas para 2º de la ESO y resolvemos alguno de ellos;
en la segunda parte enunciamos los ejercicios propuestos en el Torneo de Primaria; y por
último planteamos varios problemas de diferentes fuentes, uno de la colección de
“Problemas de los abuelos”. Solucionamos el que nos ha llegado como propuesto en una
Oposición para ser resuelto sin aplicar un método algebraico, resolución que debía ser
entendible por alumnos de niveles elementales. Para las soluciones hemos aplicado
ecuaciones, gráficos del parte-todo o tablas de doble entrada, como ya es habitual,
orientando al provecho que se puede obtener en el aula con las diversas metodologías.
P
Palabras clave
Torneos de problemas de matemáticas para Primaria y Secundaria. Métodos de
resolución sin álgebra.
O
Abstract
The article consists of three parts: first we present the problems encountered in the first
phase of the Tournament Math 2nd year of ESO and solve any of them, in the second part
we state the exercises in the Tournament of Elementary School, and finally propose
several problems from different sources, one of the collection of "problems of
grandparents." We solve that has come to us as an “Oposición” proposed to be solved
without applying an algebraic method, resolution should be understood by students of
elementary level. For solutions we applied equations, graphs of part-whole or crosstabs,
as usual, guiding the advantage that you can get in the classroom with various
methodologies.
Keywords
Tournament math problems for Primary and Secondary. Resolution methods without
algebra.
R
Resumen
B
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
S
El Club Matemático está formado por los profesores José Antonio Rupérez Padrón y Manuel García
Déniz, jubilados del IES de Canarias-Cabrera Pinto (La Laguna) y del IES Tomás de Iriarte (Santa Cruz de
Tenerife), respectivamente. [email protected] / [email protected]
A
1
M
Pues les vamos a dar un poco de tiempo más antes de poner nuestras soluciones. Bueno,
haremos algún comentario sobre algunos de ellos y daremos alguna solución o aproximaciones a las
mismas en otros casos.
E
¿Y qué tal les ha ido? No hemos recibido ningún correo con soluciones, dudas, ideas o
aplicaciones en clase. ¿Necesitan más tiempo para pensarlos?
L
En nuestro anterior artículo decíamos textualmente “Con estas dos pruebas de los Torneos de
Secundaria y Primaria tenemos, pues, abundante entretenimiento para nuestra próxima cita en la
revista”.
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Los problemas de la Segunda Fase del Torneo de Secundaria:
Problema nº 1. La magia del espejo
A continuación tienes un dibujo y la representación de un espejo (las flechas señalan la
superficie reflectante).
Este problema es muy simple y sólo requiere una buena visión espacial. Está basado en una de
las actividades presentes en la Exposición Matemáticas 2000 de la que ya hemos hablado. Es una
manera lúdica de trabajar la geometría, muy atractiva para los muchachos y muchachas de estas
edades y, naturalmente, muy educativa.
Problema nº 2. Jugando con los dados
Candelaria y Pino son dos amigas que se han inventado un juego de dados
con las siguientes reglas:
Lanzan dos dados sucesivamente y calculan la resta de puntos entre el
mayor y el menor.
 Si resulta una diferencia de 0, 1 ó 2 entonces Candelaria gana una ficha.
 Si resulta 3, 4 ó 5 es Pino quien gana una ficha.
Comienzan con un total de 20 fichas y el juego termina cuando no quedan
más.
¿Te parece que en este juego tienen las mismas posibilidades de ganar?
Si tuvieras que jugar, ¿qué jugador preferirías ser?
También es muy simple. Constituye una primera aproximación
al estudio del azar y al cálculo de probabilidades. Si tabulamos los
resultados posibles y puesto que en el enunciado no se estipula que
intervenga el orden de los lanzamientos en el cálculo de la diferencia
(cosa que se recalca al decir que se calcula la resta de puntos entre el
mayor y el menor), hay 36 posibles resultados:
12 de los resultados favorables a Pino y 24 favorables a
Candelaria. De ahí se concluye fácilmente que el juego no da la misma
146
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Primer dado
Segundo dado
P
R
O
B
L
E
M
A
S
Si colocamos el espejo sobre el dibujo en la posición que
dibujamos a continuación la imagen que se ve a través del espejo
junto con lo que queda fuera, es la misma que la anterior.
Encuentra todas las posiciones en que puedes colocar el espejo
para ver:
a) el círculo completo y 3 cuadrados
b) el círculo completo y 2 cuadrados
c) sólo 1 cuadrado
d) sólo 2 cuadrados
1
2
3
4
5
6
1
0
1
2
3
4
5
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
3
4
3
2
1
0
1
2
5
4
3
2
1
0
1
NÚMEROS
6
5
4
3
2
1
0
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
posibilidad de ganancia a los dos jugadores. De tener que jugar, evidentemente la opción es jugar en el
puesto de Candelaria.
Problema nº 3. Aterriza como puedas
P
Miguel de la Peña, es un piloto novato de Canarias Airlines, y se
encuentra en un avión a 5000 metros de altura y, para aterrizar,
está descendiendo a razón de 200 metros cada 5 kilómetros, que
es justo la trayectoria exacta para aterrizar en el aeropuerto
internacional de San Borondón.
a) Dibuja, haciendo una gráfica, el itinerario de bajada hasta llegar al aeropuerto.
b) ¿A qué distancia se encuentra el avión del citado aeropuerto?
c) ¿A partir de qué distancia del aeropuerto se podrían construir edificios de 30
metros de altura, para que, con un margen superior de 10 metros, el avión de
Miguel no choque con ellos?
O
B
Problema nº 4. La tarjeta de crédito
R
Este problema parece adolecer de alguna información importante, que debe suponer el alumno.
¿Cuál? Pero lo realmente interesante es analizar cómo proceden nuestros alumnos ante una situación
como ésta. ¿Qué piensan ustedes?
L
Los dieciséis dígitos de una tarjeta de crédito están escritos en sus
casillas de modo que la suma de tres cifras contiguas cualesquiera
del número es 18. ¿Podrías averiguar el número completo si sólo
recordamos los dos dígitos que aparecen a continuación?
E
M
S
Problema nº 5. Albóndigas
A
No parece tampoco especialmente difícil y el número de soluciones diferentes se presenta
abundante. ¿O no?
En cinco platos se han repartido cien albóndigas. Los platos 1º y 2º tienen en
total 52; entre el 2º y el 3º hay 43; el 3º y el 4º suman 34; mientras que en los
platos 4º y 5º hay 30. ¿Cuántas albóndigas hay en cada plato?
Podrá ser resuelto mediante aritmética, utilizando un diagrama partes/todo, o con el
uso del álgebra.
Veamos la solución algebraica:
Si llamamos A, B, C, D y E a la cantidad de albóndigas contenidas en los platos en el orden
mencionado, tendremos dos informaciones relevantes que podremos expresar así:
A + B + C + D + E = 100
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de Profesores de Matemáticas
Vol. 85 marzo de 2014
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Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
(A + B) + (B + C) + (C + D) + (D + E) = 52 + 43 + 34 + 30 = 159
es decir:
A + 2B + 2C + 2D + E – (A + B + C + D + E) = 159 - 100 = 59
De la combinación de ambas obtenemos B + C + D = 59
M
A
S
Y combinando esta última con cada una de las cuatro informaciones simples dadas por el
problema vamos obteniendo las cantidades de cada plato.
B  C  D  59 
 D  16
B  C  43

A  B  52 
 A  27
B  25

B  C  D  59 
 B  25
C  D  34

D  E  30 
 E  14
D  16

El valor de C puede salir de cualquier combinación a partir de las informaciones existentes y se
obtiene que C = 18.
E
Solución: las cantidades de albóndigas en los platos serían las siguientes:
Nos quedaría comprobar los resultados, primero las sumas de albóndigas en los pares de platos,
y luego el total de ellas.
B
L
A = 27, B = 25, C = 18, D = 16 y E = 14
O
27 + 25 = 52;
25 + 18 = 43;
18 + 16 = 34;
16 + 14 = 30
27 + 25 + 18 + 16 + 14 = 100
R
Añadiríamos, además de ¡buen provecho!: ¡¡buenos platos para contener tantas albóndigas!!
P
Y estos son los problemas del Torneo de Primaria:
Problema 1. Juego de monedas alternadas.
Alex colocó seis monedas sobre una regla,
de manera que hacia arriba quedan tres
caras y tres cruces de forma alternada.
Objetivo: Coloca las tres caras juntas y las tres cruces juntas.
Reglas: Sólo puedes mover las monedas de dos en dos, y además deben estar juntas sin
intercambiar el orden en el que se encuentran.
Ejemplo:
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NÚMEROS
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Mi amiga Lola dice que es capaz de ganar el juego en sólo cuatro movimientos. ¿Serás tú
capaz de realizar la misma hazaña? ¡PUES ADELANTE!
A partir de la posición inicial:
P
R
O
Los cuatro movimientos necesarios son los siguientes:
B
L
E
M
A
Problema 2. Amarrando triángulos
El abuelo Isidro, tiene cuatro árboles sembrados en dos
líneas, y se dispone a amarrar una cuerda alrededor de tres
de ellos. ¿De cuántas formas puede hacerlo? ¡A POR ELLO!
¿Y si fueran seis árboles? ¿Y si fueran ocho?
Sociedad Canaria Isaac Newton
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149
S
Estos problemas de intercambio son muy conocidos; sus grandes divulgadores fueron Dudeney
y Loyd. Tanto en la Exposición Matemáticas 2000 como en el Komando Matemático de la Sociedad
Canaria “Isaac Newton” de Profesores de Matemáticas, aparecen en sus distintas versiones (tres o
cuatro piezas por bando) y presentaciones (monedas, fichas, vasos, etc.).
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Problema 3. Ninguna en tres en raya
El tres en raya es un juego aburrido si estas sólo, pero usando el
mismo tablero, ¿cuántas fichas del mismo color, serás capaz de
colocar sin hacer ningún tres en raya, ni en las filas, ni en las
columnas, ni en las diagonales? ¡VAMOS!
Es muy fácil quedarse corto si se parte de la situación de tablero
vacío y se van añadiendo las fichas. Resulta más sencillo iniciar el
razonamiento a partir del máximo de fichas colocadas.
A
S
No pueden ser 9, porque habría tres en raya por todos lados. No pueden ser 8, porque en el
mejor de los casos habría cuatro posiciones de tres en raya.
¿Serán 7? Si se colocan de manera que los dos espacios vacíos sean
contiguos habrá tres posiciones de tres en raya; y si se colocan en espacios
separados habrá dos posiciones de tres en raya.
¿Habrá más soluciones?
Problema 4. No tengo cambio
En esto, que se encuentran dos profesores de Matemáticas:
-¿Tienes cambio de un euro? – le dijo Déniz a Manolo
- Deja ver, tengo bastante suelto…pues mira no tengo. – Le contesta Manolo.
-¿Cómo va a ser eso?, déjame ver… – dice Déniz – es verdad, no tienes cambio… es más,
no se puede tener mayor cantidad de dinero en calderilla, sin tener cambio de un euro.
Si para Déniz, la calderilla son las monedas más pequeñas de un euro (50, 20, 10, 5, 2 y 1
céntimo). ¿Cuánto dinero tenía Manolo?
¡¡¡ADELANTE!!!
R
O
B
L
E
M
Habrá, pues, que colocar 6 fichas sin hacer tres en raya.
P
Problema 5. Pintando baldosas
El patio del colegio donde estudia
mi amiga Avelina es rectangular,
y el piso está cubierto de baldosas
cuadradas (todas iguales). Avelina
las tiene contadas, el patio mide
120 por 40 baldosas. Lo sabe
porque jugando el otro día pintó
una línea recta de una esquina a la
opuesta, y luego la maestra le
hizo limpiar todas las que había
marcado. ¿Cuántas baldosas tuvo
que limpiar Avelina por hacer
ruindades?
150
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NÚMEROS
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
PISTA: Se sabe que para un mismo problema siempre hay varias formas de llegar a la
solución, pero si quieres un consejo, primero cuenta las que marcarías en unos ejemplos
pequeños antes de aventurarte a buscar la solución del grande. ¡ÁNIMO!
Problema 5.- Pintando baldosas
P
El patio del colegio donde estudia mi amiga Avelina es rectangular, y el piso está cubierto
de baldosas cuadradas (todas iguales). Avelina las tiene contadas, el patio mide 120 por
40 baldosas. Lo sabe porque jugando el otro día pintó una línea recta de una esquina a la
opuesta, y luego la maestra le hizo limpiar todas las que había marcado. ¿Cuántas
baldosas tuvo que limpiar Avelina por hacer ruindades?
PISTA: Se sabe que para un mismo problema siempre hay varias formas de llegar a la
solución, pero si quieres un consejo, primero cuenta las que marcarías en unos ejemplos
pequeños antes de aventurarte a buscar la solución del grande. ¡¡¡ÁNIMO!!!
R
O
B
L
E
M
Ahora a completar lo presentado y hacer lo que no hemos tocado.
A
¡Ah! Y no tarden mucho. ¡Ya se están preparando los Torneos del año 2014!
El primero es de nuestra habitual serie “Los problemas de los abuelos”. Y dice así:
Los LEDs
A la entrada del colegio de Mario y Andrea hay una
pantalla como ésta, con trece LEDs (LightEmitting Diode: ‘diodo emisor de luz’) que se encienden
para dibujar las cifras desde el 0 hasta el 9 (podemos ver
cómo se ilumina el 4 – Figura1).
A cada LED corresponde un interruptor con el mismo
número del LED. Un alumno, al pasar por los
interruptores apaga todos los LEDs. Un segundo alumno
pulsa todos los interruptores pares, cuyas luces quedan
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Figura 1
Figura 2
Vol. 85 marzo de 2014
151
S
Nosotros, mientras, les hemos preparado un par (o dos) de problemas nuevos para pensar y
resolver.
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
encendidas (tal como se ve en la figura 2, no se aprecia ninguna cifra). Igualmente, un
tercer alumno pasa y pulsa todos los interruptores múltiplos de 3, encendiendo los LEDs
apagados y apagando los encendidos. Así continúan pasando hasta un total de 13 alumnos
y cada uno pulsa los interruptores múltiplos de su ordinal. Después de que pase el
decimotercero, ¿qué cifra es la que dibujan los LEDs encendidos?
El segundo está tomado del libro “Pitagoras si diverte. 77 giochi matematici”, a cargo de Gilles
Cohen y editado por Bruno Mondadari:
Las cifras
Y el tercero, tomado de la sección “El problema de este número” a cargo de José Paulo Viana,
de la revista portuguesa “Educaçao e Matemática” (nº 119, de septiembre/octubre de 2012), nos indica
lo siguiente:
A
S
Un número de dos cifras multiplicado por el producto de sus cifras da como resultado
336. ¿De qué número se trata?
M
Tiro al blanco
P
R
O
B
L
E
En el Gran Concurso de Tiro de Torres Nuevas, cada
concursante disparaba cinco veces. Acertar en el centro daba
derecho a 20 puntos, mientras que las restantes zonas del
blanco valían 15, 10, 5, 2 y 1.
Las cuatro mejor clasificadas quedaron empatadas con 61
puntos. Por casualidad, sabemos que:
El último tiro de Marcia valió 15 puntos.
Cuatro de los cinco tiros de Inés acertaron en la misma zona
del blanco.
Ninguna de ellas falló un tiro, excepto Sofía que falló el
blanco en el primer disparo.
El primero y el último tiro de Carolina fueron en el centro.
Por suerte, fue posible ordenar a las cuatro tiradoras aplicando una norma del reglamento
que decía: «En caso de empate, tiene ventaja quien acertara más veces en el centro.»
¿A quién fueron atribuidas las medallas de oro, plata y bronce?
Y rematamos con este último que tiene una curiosa historia. Llegó vía teléfono móvil a uno de
nuestros amigos, Luis Ángel Blanco Fernández, asesor del Centro de Profesores del Norte de Tenerife
y colaborador de nuestras tareas de resolución de problemas en el Proyecto Newton, con la indicación
de ser un problema que había aparecido en una Oposición. Pero se indicaba expresamente que debería
ser resuelto de manera comprensible para alumnos de Primaria y, a ser posible, de manera gráfica.
Dice así:
Solteros y casados
En un pueblo, los 2/3 de los hombres están casados con los 3/5 de las mujeres. Sabiendo
que no hay nadie casado fuera del pueblo, ¿qué fracción de personas está soltera?
Desde luego, el problema es políticamente incorrecto. Su redacción debe ser de la época
preconstitucional. Supone que todos los matrimonios son heterosexuales y que no existe el divorcio la
separación, la viudedad y las segundas nupcias. Pero es válido para su resolución matemática y, sobre
todo, para un debate en la clase sobre las circunstancias anteriormente señaladas.
152
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NÚMEROS
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Este problema presenta una seria dificultad para los alumnos debido al mal aprendizaje de las
fracciones, los ejercicios descontextualizados que aparecen en los libros de texto y la abundancia de
problemas mal contextualizados que no incluyen nunca referentes distintos para las fracciones
involucradas.
Resolución algebraica:
Datos: Hay H hombres y M mujeres
Objetivo: ¿Qué fracción de personas está soltera?
Relación: Los 2/3 de H están casados con los 3/5 de M
No hay nadie casado fuera del pueblo.
Diagrama: Utilizaremos como herramienta lógica el lenguaje algebraico.
P
La ESTRATEGIA a utilizar es la ORGANIZACIÓN DE LA INFORMACIÓN
Plantearemos:
R
Habitantes del pueblo: M + H
Solteros:
1
2
H M
3
5
luego
2
3
9
H  M , de donde H  M
3
5
10
B
2
3
H M
3
5
O
Casados:
La fracción pedida es:
L
9
21
M  6M
M
21 7
2
2



9


 19  67 19
15  M  M  15  M 
10 

 10 
E
1
2
H M
solteros
5H  6 M
5
F
3


habitantes
M H
15  M  H 
M
Solución:
Los habitantes solteros del pueblo suponen un 7/19 del total de habitantes.
A
Resolución gráfica:
Hombres
Mujeres
(Nota: Aunque parezcan las dos partes iguales, son diferentes; ligeramente superior la de las
mujeres. Para que no resulte confuso deberá dibujarse sobre un papel cuadriculado.)
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 85 marzo de 2014
153
S
Representaremos la situación en un diagrama PARTES/TODO, muy adecuado cuando se
trabaja con fracciones.
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Ahora representaremos solamente los hombres y mujeres casados, modificando las dimensiones
de los rectángulos de tal manera que la superficie que representa los hombres casados sea la misma
que la de los rectángulos que representan a la fracción de mujeres casadas:
3/5 de las MUJERES están casadas
Al estar la superficie de los hombres casados dividida en dos y la de las mujeres casadas en tres,
tenemos un m.c.m. de seis. Las partes de hombres casados han de subdividirse en tercios y las partes
de mujeres casadas en medios para poder operar con ellos, obteniéndose así fracciones que pueden
sumarse, es decir, con un denominador común.
Pero lo que se haga con los casados ha de hacerse también con los solteros, siendo así que
tenemos 19 partes en el total de habitantes del pueblo.
P
R
O
B
L
E
M
A
S
2/3 de los HOMBRES están casados
Lo que nos interesa es contabilizar la fracción de habitantes solteros: 3/19 + 4/19 = 7/19.
Respuesta:
Los habitantes solteros del pueblo suponen un 7 / 19 del total de habitantes.
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marzo de 2014
NÚMEROS
Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Se nos ocurre una versión políticamente correcta, cambiando el contexto:
Tornillos y tuercas
Tenemos dos cajas con tornillería. En una hay tornillos de diferentes tipos y, en la otra,
tuercas también diferentes. Hemos intentado unir cada tornillo con una tuerca adecuada y
lo hemos conseguido con los 2/3 de los tornillos y los 3/5 de las tuercas. Sabiendo que no
quedó ninguna posibilidad de encajar los tornillos y tuercas restantes, ¿qué fracción de
tornillería está desemparejada?
Ahora es políticamente correcta, pero… ¿no suena un tanto raro? Aunque se presta a otras
consideraciones tales como que partiendo de una cantidad total de tornillos y tuercas, digamos 114:
¿cuántos tipos de tornillos diferentes hay como mínimo? ¿Y como máximo? Similares cuestiones con
las tuercas. Ampliando de esta manera el problema, se abren nuevas líneas de investigación.
O
B
L
E
Yo lo hice de otra manera para evitar dicha confusión. Es simplemente otra forma de enfocar la
resolución gráfica teniendo en cuenta que no soy un experto en matemáticas pero que procuro
hacerlo de la manera más sencilla para que sea comprensible por alumnado de primaria. Represento
las fracciones correspondientes teniendo en cuenta la relación de igualdad no de hombres y mujeres
del pueblo sino la de hombres y mujeres CASADOS. Así evitamos la confusión de que en el pueblo
parezca que hay el mismo número de hombres y mujeres.
R
Estuve estudiando la solución al problema de solteros y casados. La solución algebraica es la
misma que obtuve yo. En cuanto a la solución partes/todo, aunque es correcta da lugar a cierta
confusión. El diagrama PARTES/TODO en un principio despista un poco en la medida que parece
suponer que en el pueblo hay igual número de Hombres que de Mujeres al hacer las dos partes
aparentemente iguales.
P
Cuando le dimos nuestra solución al amigo Luis, éste nos contestó rápidamente. Veamos sus
indicaciones.
M
A
S
Hombres del
pueblo
Mujeres del
pueblo
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Tiempo de espera y algunas cosas más. Problemas Comentados XXXVI
J. A. Rupérez Padrón y M. García Déniz
Solapamos los hombres y las mujeres
casados y prolongamos las divisiones para
obtener partes iguales,
L
E
M
A
S
Y por último desagrupamos sabiendo que
la parte no coloreada representa la fracción de
personas solteras en el pueblo es decir 7/19
Y quedamos así, como siempre, hasta el próximo artículo. Pero seguimos insistiendo: hagan
como Luis Blanco, resuelvan los problemas, utilícenlos con los alumnos y, sobre todo, aporten sus
comentarios a la revista, sus soluciones e, incluso, nuevas propuestas. O, simplemente, cuéntennos lo
sucedido en el transcurso de la clase en que probaron el problema. Eso nos alegraría mucho y también
al resto de lectores. Vamos, anímense…
R
O
B
Maravilloso, ¿no?
P
Nos vemos en el próximo
Un saludo afectuoso del Club Matemático.
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
E
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 157-178
X
Los enigmas del Ogro de Halloween
P
Encarnación Rodríguez Francisco
(Centro de Educación Infantil y Primaria Calypo. Departamento MIDE I. UNED. España)
E
Measurement, Geometry, Elementary Education, research, cooperative learning.
S
D
E
A
U
En esta propuesta didáctica, cada tarea constituye una situación problemática que hay que
explorar y que desencadena procesos de razonamiento y experimentación junto con discusiones,
conjeturas y argumentaciones. Estas propuestas forman parte del contexto general del aprendizaje y
están estrechamente relacionadas con el resto de áreas. Momentos como el día de Halloween o
Navidad, que son muy importantes para el niño, ayudan a la aparición de personajes fantásticos que
proponen a los niños situaciones de investigación matemática. Estos personajes dotados de vida y que
provienen del mundo de la fantasía infantil animan al niño a explorar sus propios caminos y a
descubrir sus propias reglas junto con el desarrollo de actitudes positivas hacia las matemáticas. No
existe una única manera de hacer las cosas, sino que cada forma de resolver cada problema se verifica
por cómo se argumenta su validez. De esta forma cada niño define su propia interpretación del
mensaje y lo resuelve según su propio bagaje personal y creatividad. La verbalización del proceso de
resolución junto con argumentaciones del porqué de las afirmaciones es uno de los pilares de la
evaluación del aprendizaje. De esta forma, se rompen aquellas concepciones muy generalizadas sobre
las matemáticas escolares asociadas a respuestas cortas y objetivas.
A
1. Introducción
I
Keywords
C
Through a fantastic character that leaves traces in school it will pose a series of
mathematical puzzles that children have to solve. The solution to all the puzzles is
available to all children, and that can be solved using different strategies depending on
prior knowledge that everyone has. Through cooperation all teams must arrive at the
solution, so that all of them can enjoy together the treasure.
N
Abstract
E
Medición, Geometría, Educación Primaria, investigación, aprendizaje cooperativo.
I
Palabras clave
R
A través de un personaje fantástico que va dejando rastros en el colegio se plantean una
serie de enigmas matemáticos que tienen que resolver niños de 7 años. La solución a
todos los enigmas está al alcance de todos, ya que se pueden resolver utilizando diversas
estrategias, dependiendo de los conocimientos previos que cada cual tenga. El objetivo
no es que un solo niño lo logre, sino que a través de la cooperación todos los equipos
puedan llegar a la solución para así poder disfrutar todos juntos el tesoro del Ogro.
Coordinador: Carlos Duque Gómez
Resumen
2. Marco curricular
L
El currículo basado en Competencias Básicas, surge en España tras la publicación de la LOE
(2006). Las competencias básicas se definieron como la capacidad de poner en práctica de una forma
A
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Los enigmas del Ogro de Halloween
integrada, en contextos y situaciones diferentes, los conocimientos, las habilidades y las actitudes
personales adquiridas. Por su parte, la competencia matemática se definió como «la habilidad para
utilizar y relacionar los números, sus operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y
razonamiento matemático, tanto para producir e interpretar distintos tipos de información, como para
ampliar el conocimiento sobre aspectos cuantitativos y espaciales de la realidad, y para resolver
problemas relacionados con la vida cotidiana y con el mundo laboral»1. Esta definición implica por
un lado el conocimiento y manejo de los elementos matemáticos básicos y la puesta en práctica de
procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información.
Por otro lado hace referencia clara a la posibilidad real de utilizar la actividad matemática en contextos
tan variados como sea posible. Por ello, su desarrollo «se alcanzará en la medida en que los
conocimientos matemáticos se apliquen de manera espontánea a una amplia variedad de situaciones,
provenientes de otros campos de conocimiento y de la vida cotidiana».
3. Marco teórico
La resolución de problemas como una forma de desarrollar el curriculum de matemáticas surgió
en los años setenta y fue propugnado a partir de varios documentos entre los que destaca el informe
Cockcroft de 1982. La obra de Paulo Abrantes en Portugal basada principalmente en la resolución de
problemas a partir de situaciones contextualizadas y en el desarrollo de una educación matemática
para todos, abre un sinfín de oportunidades de investigación que se reflejan en una gran colección de
artículos que hacen referencia a la investigación matemática a través de proyectos, tareas y actividades
de investigación como eje de trabajo en el aula.
1
P
E
R
X
Cuando se habla de resolución de problemas, suelen surgir conflictos sobre lo que cada uno de
nosotros entendemos como problema y sobre las distintas maneras de interpretar lo que significa
resolverlos. Por esta razón se hace imprescindible definir el sentido que tiene la expresión «resolución
de problemas». Para ello, recojo las ideas de Paulo Abrantes (1996), entendiendo ésta en un sentido
más amplio relacionado con el trabajo en torno a situaciones problemáticas y procesos como
experimentar, conjeturar, probar, comunicar, discutir y generalizar. Así mismo en esta experiencia me
propuse que el trabajo que realizaran los niños constituyera una verdadera y significativa experiencia
matemática. Finalmente, mi objetivo fue desarrollar una parte curricular que generalmente queda
oculta en el currículo y que está relacionada con los procesos superiores de matematización.
E
I
E
A
S
I
Finalmente, Las directrices europeas para el desarrollo de la competencia matemática (informe
EURODICE, 2011) van encaminadas a adoptar un enfoque centrado fundamentalmente en el
desarrollo de competencias y habilidades más que en el desarrollo de contenidos teóricos. Para ello
propone una mayor interdisciplinariedad, un currículo basado en la resolución de problemas y en la
aplicación del conocimiento a contextos reales. Esto se consigue mediante el uso de nuevos métodos
de aprendizaje basados en la resolución de problemas contextualizados y en la investigación sobre
situaciones concretas, todo ello dentro de un marco de pensamiento crítico y aprendizaje activo. De
esta forma se separa de enfoques tradicionales relacionados con la ejercitación de los algoritmos y el
cálculo por sí solo.
C
Además, la LOE2 en su desarrollo curricular señala que «el sentido de esta área en la
Educación Primaria es eminentemente experiencial, en donde los contenidos de aprendizaje toman
como referencia lo que resulta familiar y cercano al alumnado, y se abordan en contextos de
resolución de problemas y de contraste de puntos de vista».
N
D
E
A
U
L
A
E. Rodríguez Francisco
2
Real Decreto 1513/2006, 8 de diciembre del 2006. Pp. 43059
Real Decreto 1513/2006, 8 de diciembre del 2006. Pp. 43095
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NÚMEROS
Los enigmas del Ogro de Halloween
E. Rodríguez Francisco
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Actividades de alto nivel cognitivo (formular, probar, demostrar conjeturas, argumentar, usar
procedimientos de naturaleza metacognitiva, etc.)
E
Según las últimas aportaciones científicas, las investigaciones matemáticas conllevan procesos
complejos de pensamiento, requieren trabajo en equipo y creatividad por parte de los alumnos.
Abrantes señalaba una diferencia clara entre lo que era hacer y no hacer matemáticas.
Actividades de bajo nivel cognitivo (ejercicios de repetición y las técnicas de cálculo)
R
I
E
N
C
4. El proyecto «Los enigmas del Ogro de Halloween»
E
Tras una revisión bibliográfica, encontré una gran colección de artículos, libros, propuestas y
experiencias. Sin embargo la mayor parte de éstos recogían experiencias concretas realizadas en el
ciclo superior de Primaria o en educación secundaria (Giménez, Santos y Ponte, 2002). En la siguiente
experiencia describo un proyecto de investigación matemática llevado a cabo en el primer ciclo de
primaria, en concreto, en el 2º curso (6-7 años). A través de él, trato de contribuir al conocimiento
práctico de las posibilidades que tienen los niños de primer ciclo de primaria de aprender y disfrutar de
las matemáticas mediante el desarrollo de tareas o proyectos de investigación matemática con el fin de
dar a conocer otra forma de enseñar y aprender alejada de planteamientos mecanicistas y rutinarios
basados únicamente en el uso de los algoritmos básicos y en el esquema de trabajo explicaciónejercitación.
I
A
La fiesta de Halloween forma parte de la programación general del centro en el que trabajo. Una
forma muy fácil de contextualizar la actividad matemática es a través de situaciones didácticas
relacionadas con esta fiesta. Calabazas, monstruos gigantescos, esqueletos, vampiros…etc nos
ayudarán a comprender mejor las matemáticas.
En el proyecto se pueden diferenciar dos partes:
E
A
U
4.1. Descripción del proyecto
D
La segunda parte del proyecto (4ª, 5ª, 6ª y 7ª) se desarrolla a través de la repentina visita de un
ser misterioso que va dejando huellas. Al final los niños averiguan que ha sido el mismo Ogro de
Hamelin que se ha puesto en contacto con ellos para proponerles también una serie de enigmas y
ofrecerles a cambio una parte de su tesoro. En estas edades los niños conservan todavía una tremenda
creatividad y lo fantástico y mágico forma parte de su manera de entender el mundo.
S
En la primera parte (1ª, 2ª y 3ª sesión) se trabajan noticias que llegan en varios periódicos
digitales sobre unos niños de Hamelin que se pierden en un bosque y se encuentran con un Ogro que
les plantea enigmas a cambio de dejarles libres, comerse una pizza o darles una parte de su tesoro. Los
niños alemanes piden colaboración ciudadana para lograr resolver los enigmas. De esta manera, los
niños de mi clase empiezan a ayudar a aquellos otros niños y les «envían» los resultados de sus
investigaciones. En esta primera parte el Ogro aparece como un personaje lejano, de otro país.
L
En este apartado voy a explicar cómo se organizaron las sesiones, cuáles eran las características
de las tareas de investigación, los contenidos que se trabajaron junto con la metodología, los
materiales y recursos empleados.
A
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de Profesores de Matemáticas
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Los enigmas del Ogro de Halloween
4.1.1. Temporalización y recursos
La actividad se llevó a cabo en el 2º curso de Educación Primaria durante las dos últimas
semanas antes de la fiesta de Halloween. Las sesiones duraron entre una hora y una hora y media cada
una. Los materiales necesarios para su realización fueron de uso frecuente en las escuelas: plastilina,
reglas, rotuladores, pinturas y la pizarra digital, que jugó un papel muy importante. El esquema que
siguieron las sesiones fue el siguiente:
Número de Sesión
1ª noticia: «El enigma de la tarta»
2ª Sesión
2ª noticia: «El enigma de la pizza»
3ª Sesión
3ª noticia: «El enigma del donut»
4ª Sesión
Investigación de las huellas misteriosas
5ª Sesión
Organización de la información recogida
6ª Sesión
1er enigma del Ogro: ¿Cómo seré de alto?
7ª Sesión
2º enigma del Ogro: La ropa para la gran gala
8ª Sesión y final
3er enigma del Ogro: El problema de la cena de Halloween
9ª Sesión: evaluación
La carta del Ogro: Las preguntas del Ogro
I
4.1.2. Características de los enigmas del Ogro
Todas las tareas de investigación que les propone el Ogro comparten unas características
comunes que permiten que los alumnos exploren y desarrollen su propio camino de resolución.
Algunas de estas características son:
N
C
Tabla 1. Organización de las sesiones
E


I

R



Variedad de situaciones de aprendizaje de naturaleza problemática y exploratoria.
Estructura: combinar varias formas de tareas, tanto de naturaleza abierta como otras más
concretas pero lo suficientemente flexibles como para que den lugar a distintos caminos de
exploración y resolución.
Pre-requisitos reducidos al mínimo, de forma que todos los niños puedan participar
independientemente de sus conocimientos anteriores.
El aprendizaje cooperativo como medio para que todos lleguen a conseguir el objetivo.
El papel del maestro reducido al de mediador entre el conocimiento y el alumno.
Evaluación participativa.
4.1.3. Contenidos de las propuestas
Los contenidos programados que se trabajan en el proyecto del Ogro son los siguientes:
P
E
Contenido de la sesión
1ª Sesión
A
S
D
E
A
U
L
A
E. Rodríguez Francisco
X

E

160
Resolución de problemas que impliquen la realización de cálculos, medidas y situaciones en el
espacio y en el plano. Explicación oral del significado de los datos, la situación planteada, el
proceso seguido y las soluciones obtenidas.
Uso intuitivo de las operaciones con números naturales: suma para juntar o añadir;
multiplicación para calcular número de veces.
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Los enigmas del Ogro de Halloween
E. Rodríguez Francisco

P
E

X


Utilización de técnicas elementales para la recogida y ordenación de datos en contextos
familiares y cercanos, y su representación gráfica.
La medida: estimación y cálculo de magnitudes de longitud. Comparación de objetos según
longitud, de manera directa o indirecta. Medición con instrumentos y estrategias no
convencionales; Medición con instrumentos convencionales y unidades usuales de objetos y
distancias del entorno.
Descubrimiento del carácter combinatorio de algunas experiencias.
Confianza en las propias posibilidades; curiosidad, interés y constancia en la búsqueda de
soluciones y gusto por la presentación ordenada y limpia de los cálculos y sus resultados.
Participación y colaboración activa en el trabajo en equipo y el aprendizaje organizado a partir
de la investigación sobre situaciones reales.
E

R
4.1.4. Metodología de las actividades
I
E
...las competencias matemáticas importantes para todo el alumnado no se
adquieren sin su involucración en actividades significativas, acompañadas de
los necesarios momentos de discusión y reflexión, y sin que desarrolle una
predisposición hacia las matemáticas. (Bishop y Goffree, 1986)3
N
C
Teniendo en cuenta que en la etapa de Educación Primaria el sentido de esta área es
fundamentalmente experiencial y teniendo en cuenta que la mejor forma de enseñar es mediante el
ejemplo, las sesiones se organizarán:

I
A
S
D
A partir del trabajo en torno a situaciones problemáticas y procesos como experimentar,
conjeturar, probar, comunicar, discutir y generalizar.
 Buscando, recreando tareas que constituyan una verdadera y significativa experiencia
matemática para todos los niños.
 Partiendo de lo manipulativo para llegar a lo formal: utilizando materiales estructurados
diversos y no estructurados.
 Favoreciendo la interacción con el otro en los procesos de aprendizaje.
 Propiciando el aprendizaje cooperativo que permita el contraste e intercambio de ideas, de
experiencias, de estrategias de aprendizaje y facilite la verbalización de las experiencias
realizadas.
 Reflexionando junto al alumno sobre el desarrollo de las actividades que ha diseñado.
4.2. Narración de las sesiones
E
A
En esta parte voy a describir cada una de las sesiones que se desarrollaron en el proyecto. Como
he explicado anteriormente, las sesiones se pueden organizar en dos partes: aquellas en las que el Ogro
es un personaje que se encuentra en Alemania y el resto de las sesiones en las que el Ogro visita a los
niños en el colegio.
4.2.1. Los niños perdidos del bosque (1ª sesión)
U
L
En las semanas anteriores a Halloween empecé llevando cuentos ilustrados sobre personajes
relacionados con el miedo. Cuentos de momias, monstruos, vampiros y seres fantásticos inundaron el
aula de los niños. Cuando quedaban un par de semanas les conté una noticia que había leído en los
periódicos:
A
3
En Abrantes (1996): El papel de la resolución de problemas en un contexto de innovación curricular
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Los enigmas del Ogro de Halloween
A
El pasado 20 de octubre, once niños que se habían ido de acampada a un bosque cercano a la
localidad de Hamelin, decidieron hacer una excursión a un castillo abandonado por la noche. Al
entrar por la puerta principal la puerta se cerró de repente y apareció un Ogro. Era un Ogro
terrible y les dijo: Hoy es mi cumpleaños. Si resolvéis el enigma de la tarta podréis comérosla,
pero si no, ¡¡OS COMERÉ DE UN SOLO BOCADO!! El enigma es el siguiente: deberéis
cortar la tarta en once trozos utilizando sólo 4 cortes rectos. Los niños del bosque piden
colaboración ciudadana para poder descifrar el enigma.
A
U
Once niños han desaparecido en el bosque del Ogro
L
E. Rodríguez Francisco
D
E
Texto 1. Primera noticia de los niños desaparecidos en el bosque
Los niños rápidamente aceptan colaborar para resolver el enigma. Al principio no saben ni por
dónde empezar. Reparto celos para hacer los círculos y reglas y les animo a empezar. Al cabo de un
rato me dicen que sólo les salen 10 u 8 trozos y que el Ogro va a comerse a los niños. Decido darles
algunas pistas y realizo una tabla en la que tienen que ir registrando el número de trozos que les salen.
1
2
2
4
3
4
S
Nº de cortes
Nº de trozos
Hasta aquí todo bien pero en el siguiente corte, los niños tienden a pasarlo por el medio de
forma que sólo se obtienen 6 trozos. Algunos niños se han dado cuenta de que tienen 7 trozos con sólo
3 trazos. Les pido que expongan sus resultados en la pizarra y que comparen ambos esquemas.
E
X
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I
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C
I
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Tabla 2. Inicio del patrón de números
Figura 1. Representación de los cortes realizados por los niños
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Los enigmas del Ogro de Halloween
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Ahora pido que hagan un último trazo para obtener los 11 trazos. El cuaderno tiene tantos
borrones que cuesta mucho entender lo que quieren hacer. Muy pocos niños lo consiguen y los que lo
consiguen no saben explicar por qué. Les propongo que ayuden a sus compañeros a encontrar los
trozos, pero que no vale darles la solución, sino que tienen que explicárselo sin señalarles por donde
tiene que pasar la recta. Al final de la sesión, la mayoría de los niños han resulto el enigma. Alguno de
los niños sale a explicarlo a la pizarra. No saben muy bien cómo explicarlo verbalmente, pero
ayudándose de los dibujos lo explican de forma bastante clara.
E
R
I
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C
Figura 2. Dibujos realizados por los niños para representar los cortes de la tarta
Vuelvo a la tabla y les pido que averigüen cuantos trocitos habrá para cinco cortes.
I
1
2
2
4
3
7
4
11
5
A
Nº de cortes
Nº de trozos
Tabla 3. Patrón de números que sigue la secuencia
S
Los niños están muy contentos, recogen los resultados en un sobre y se lo mandan a Roberto (el
conserje) para que lo envíe por correo.
D
4.2.2. La pizza del Ogro (2ª sesión)
Al día siguiente el periódico trae otra noticia:
E
Los niños desaparecidos en el bosque del Ogro logran resolver
el enigma gracias a los niños de 2ºA del colegio Calypo
A
U
L
Los once niños perdidos en el bosque del Ogro logran resolver el enigma gracias a la
colaboración ciudadana. Los niños dan las gracias públicamente a sus compañeros de 2º. El
Ogro, sorprendido por esta circunstancia, propone un nuevo reto a los niños: si queréis, podéis
marcharos a vuestra casa pero tengo aquí un trozo de pizza muy rico que os podéis comer si
resolvéis el próximo enigma. 7 niños deciden marcharse. El Ogro les dice que con sólo 3 cortes
rectos tienen que cortar este trozo de pizza en 4 porciones de la misma forma y tamaño. Se pide
colaboración ciudadana.
A
Texto 2. Segunda noticia de los niños desaparecidos en el bosque
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de Profesores de Matemáticas
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Los enigmas del Ogro de Halloween
Los niños dibujan el triángulo y empiezan a hacer trazos pero no logran la solución. Decido dar
la vuelta al problema y les propongo que construyan un triángulo a partir de cuatro triángulos
pequeños e iguales con material manipulativo. Al cabo de unos minutos probando encuentran la
solución.
Figura 3. Representación de la repartición de la pizza
Sin embargo cuando les digo que representen en el papel los trazos sobre el triángulo grande
inicial, no son capaces y se hacen un lío haciendo trazos. Les propongo que empiecen a dibujar los
triángulos a partir de uno pequeño y así lo hacen aunque al dibujarlo lo hacen con las piezas separadas.
Aparentemente los niños perciben el todo como una suma de partes separadas y divisibles. Separaban
las partes incluso cuando estaban unidas. El hecho de que con material manipulativo hayan sido
capaces de resolver el reto, me hace preguntarme cómo hubiera cambiado el problema de las tartas si
lo hubieran hecho con un material que pudieran cortar y borrar con facilidad como la plastilina. A raíz
de esta reflexión planteo el tercer enigma:
4.2.3. El último enigma desde Hamelin (3ª sesión)
Los niños desaparecidos en el bosque del Ogro están
encantados con los enigmas y no quieren volver. El Ogro les
propone el tercer y último enigma
Los cuatro niños perdidos en el bosque del Ogro lograron también resolver el enigma de las
pizzas y se comieron su trocito. Los niños dan las gracias públicamente a la colaboración
ciudadana y les explica que se van a quedar con el Ogro un día más porque les ha prometido
parte de su tesoro si resuelven el tercer y último enigma. El Ogro les propone que con sólo 3
cortes rectos tienen que cortar un donut y obtener el máximo de trocitos.
Texto 3. Tercera noticia de los niños desaparecidos en el bosque
Nos ponemos manos a la obra, pero esta vez les doy plastilina y cuchillos de plástico para que
puedan manipular con facilidad. Tras muchos intentos casi todas las parejas han conseguido encontrar
9 trozos, salvo un niño que ha encontrado 10. Le pedimos que nos explique cómo lo ha resuelto y nos
cuenta que él ha partido el donut por la mitad y así ha conseguido los 10 trozos. Le felicitamos toda la
clase porque él ha logrado encontrar una solución nueva.
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E. Rodríguez Francisco
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Figura 5. Obtención de 9 trozos
utilizando 2 dimensiones
R
Figura 4. Obtención de los 10 trozos utilizando
las 3 dimensiones
E
N
4.2.4. Las huellas misteriosas (4ª sesión)
I
En este caso se observa que el hecho de utilizar material manipulativo (plastilina) introduce una
variable nueva que permite resolver los problemas de otra forma al introducir una nueva dimensión.
También deja de manifiesto que cuando un problema queda abierto pueden aparecer soluciones que
antes no se habían considerado. Cada uno interpreta la situación problemática desde su propio punto
de vista y eso puede dar lugar a cambios de perspectivas y a distintas soluciones, como la de CS.
I
A
S
El primer grupo ha investigado sobre el tamaño de las huellas, cuánto miden las huellas,
dejándoles a ellos elegir el material y su interpretación sobre lo que significa hacer una medición. Han
pintado una huella en papel transparente y se la han ido llevando a otros sitios para poder compararla
directamente, han transportado la medida. Al final han utilizado su modelo con el del equipo que ha
representado la huella de los pies de los profes.
C
Cuándo los niños han llegado al cole se han encontrado unas huellas pintadas en el suelo,
rápidamente han pensado que eran de algún profesor o del conserje. Yo les he regañado porque no me
parecía bien que hicieran dibujos en el suelo porque luego Carmen (la limpiadora) le tocaba limpiarlo.
Los niños me aseguran que no han sido ellos y que habrá que investigar quien ha sido. Hacemos
grupos de investigación y decidimos que cada grupo se pusiera un nombre relacionado con Halloween
y que se pusiera un objetivo según lo que consideraban que había que investigar (ver tabla 4).
D
E
A
Foto 3. Comparación de huellas
L
Foto 2. Estrategia del 1er equipo
con la copia en papel de vinilo de
la huella de la clase
U
Foto 1. Dibujo del 3er equipo con
los distintos pies de los maestros
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El segundo grupo ha elegido investigar sobre cómo estaban distribuidas las huellas para poder
hacer un posible itinerario de los pasos que había dado el personaje fantástico. Como en el baño no
había huellas y desaparecían en la entrada de emergencia, los niños llegaron a la conclusión de que
Los enigmas del Ogro de Halloween
llegó a la entrada del colegio se pintó los pies con un cubo de pintura abandonado y a la vuelta se
limpió las suelas con una toallita porque faltaban toallitas en clase. Señalan que además habían pies
que van del derecho y otros del revés, lo que significa que ha ido y ha dado la vuelta.
E
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El tercer grupo ha investigado sobre el tamaño de las huellas de los profesores y las ha
comparado con la huella que estaba en el suelo. Las han representado en un papel y han visto que la
más grande era la de un profesor pero que aun así era demasiado pequeña. La han medido con la regla
y han dicho que mide 30 centímetros. Al final se han dado cuenta de que en una huella del gigante
caben 4 pies o 6 manos como las de ellos.
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C
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S
D
Foto 4. Representación inicial del itinerario de las huellas
El cuarto grupo ha investigado sobre la distribución de los colores de las huellas, porque no
todas eran iguales. Han encontrado también huellas de dedos y han llegado a la conclusión de que era
un brujo porque tenía las huellas muy grandes y además olían a pintura, así que las tenían que haber
pintado.
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Figura 6. Representación gráfica de superficie de las huellas
Texto 4. Resultados de la investigación del grupo Colores
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E. Rodríguez Francisco
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El quinto grupo ha investigado sobre la cantidad de huellas que había en el colegio, pero se han
puesto a hacer el plano del colegio y no les ha dado tiempo a contarlas. Decido que es interesante
terminar la tarea entre todos, por lo que planifico una sesión para ayudarles a organizar los datos, los
diagramas y el mapa.
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I
E
Figura 7. plano del colegio realizado por el grupo Calabazas
N
C
El sexto grupo ha decidido comparar huellas, para ver si eran todas iguales o pertenecían a
personas distintas. Se han dado cuenta que la huella del pie izquierdo era más pequeña que la del
derecho. Hemos organizado los datos en la pizarra.
I
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Foto 5. Niños midiendo el largo de la huella izquierda
Foto 6. Resultados de la investigación del grupo 6
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El séptimo grupo ha medido las huellas pero ha utilizado las reglas pequeñas, así que han tenido
que unirlas para saber cuál es la medida. A pesar de que ya saben contar de 10 en 10, empiezan a
contar de uno en uno. Un compañero propone que cuenten de 10 en 10, utilizando la decena como
agrupación para el conteo. Les pregunto si se podría contar de otra manera que fuera más rápida. Un
niño, NL, propone que se puede contar utilizando el tamaño de las reglas 15+15=30; 30+7=37 cm. No
todos son capaces de sumar mentalmente de 15 en 15. Les ayudo a separar la decena de las unidades y
sumar primero las decenas y luego las unidades, aplicando la propiedad conmutativa y asociativa de la
suma:
L
A
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A
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L
15 = 10+5
U
15+15 = 10+5+10+5 = 10+10+5+5 = 20+10 = 30
A
30+7 (de la otra regla) = 37 cm
E
D
1.º) Vampiros
2.º) Momias
3.º) Halloween
4.º) Colores
5.º) Calabazas
6.º) Zombis
7.º) Fantasmas
A
Nombre del equipo
S
Foto 7. Niños midiendo la huella
concatenando 3 reglas de 15 cm
Tarea que realizan
Transportan la medida de la huella copiándola en un plástico transparente
Realizan el itinerario de la huella
Buscan a los posibles autores de la huella y copian su pie en papel para luego
compararla
Investigan la relación entre las huellas y los colores
Realizan un mapa del colegio para situar las huellas
Miden la huella izquierda y derecha para compararlas
Miden todas las huellas para saber si son todas iguales
E
X
P
E
R
I
E
N
C
I
Tabla 4. Relación de equipos con las tareas que realizan
Al final deciden que puede ser Frankenstein porque se le puede dar la vuelta a los pies y que
cada pie puede ir por un lado, así que no tiene que dar la vuelta. Es un ser amorfo y deforme porque
tiene un pie de cada tamaño. Otro niño ha dicho que podían ser dos Ogros distintos porque tenían los
pies distintos pero el grupo ha concluido que sería imposible caminar con un solo pie.
Los niños se lo han pasado genial y han participado todos. En esta sesión los niños han medido,
han transportado medidas, han utilizado distintos instrumentos de medición, han comparado medidas,
han realizado itinerarios, han hecho un mapa de situación, han realizado gráficos de medidas y han
apuntado sus resultados. Todos estamos de acuerdo en que tenemos que mejorar un poco la limpieza
de los escritos porque se entiende muy mal. Solamente uno de los grupos no ha terminado su trabajo
porque a uno de sus miembros le encanta dibujar y se ha recreado haciendo el mapa del colegio, le
apetecía más eso que el objetivo que se había marcado. Queda todavía una tarea más por hacer: ayudar
a los niños a organizar los resultados de las investigaciones. Para ello, planteo al día siguiente una
nueva sesión para organizar los datos.
4.2.5. Organización de la información (5ª sesión)
Nada más llegar a clase los niños empiezan a buscar pistas o alguna nota por toda la clase, pero
no encuentran nada y se decepcionan un poquito. Sugieren que quizá hay algo que no han hecho bien
porque el monstruo no ha vuelto a clase. Un niño dice que se ha encontrado la ventana abierta (estaban
cerradas) y que quizá el monstruo ha entrado por la ventana y que ha visto algo que no le ha gustado.
Deciden que no han presentado bien sus cálculos y que hay que resolver el tema del orden.
Les digo que me parece bien y que si quieren yo les puedo ayudar a poner sus resultados en
limpio. Los niños reparten rápidamente sus cuadernos y se ponen manos a la obra. Empezamos a
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―¿Qué huella es más grande?
―La derecha.
E
recordar las conclusiones y la primera que señalan es que un pie era más grande que otro. Les proyecto
la imagen del día anterior y empiezan a anotar en su cuaderno. Señalan que la línea tiene que pasar por
el medio porque es el lado más largo. Anotan el largo y el ancho y les sugiero que hagan una pregunta
que se pueda resolver con los datos que hemos puesto. La mayor parte escribe:
E
La segunda conclusión está relacionada con la superficie que ocupan las huellas y los niños
recuerdan que en cada huella cabían 4 pies o 6 manos. Hacen su esquema y representan las huellas del
gigante en relación con las suyas.
R
I
E
N
C
Foto 9. cuaderno en el que representan la
superficie de las huellas en relación con el
tamaño de los pies y las manos
I
Foto 8. cuaderno en el que representan el
tamaño de las huellas
D
11 en la clase de 2ºB
12 en la clase de 2ºA
4 en el pasillo de ida
4 en el pasillo de vuelta
Total: 31 huellas
S





A
Finalmente deciden que les falta hacer el plano de las huellas para poder contarlas, cosa que
faltaba por averiguar. Les invito a dibujar el plano de las clases y del pasillo por donde supuestamente
entró el personaje fantástico. Proponen que hay que utilizar dos colores, uno para marcar las de la ida
y otro para las de la vuelta. Por último, calculan las huellas agrupando por partes:
E
A
U
L
Foto 10. Mapa de huellas
Foto 11. Mapa de huellas y operación
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Todos han hecho sus dibujos y esquemas y ya están satisfechos con lo que han hecho, ahora
falta que el personaje fantástico quiera venir.
Los enigmas del Ogro de Halloween
4.2.6. El enigma de las huellas (6ª sesión)
Los niños llegan al cole al día siguiente y vuelven a buscar por todas partes las pistas, pero no
encuentran nada y empiezan a pensar que algo no lo han hecho bien y se ponen muy tristes. A los diez
minutos aparece el conserje y les dice que ha llegado una carta a nombre de ellos. Los niños se ponen
muy contentos y me preguntan que si la pueden leer. En ella el Ogro les dice que les va a regalar un
tesoro si logran descifrar los tres enigmas pero que tienen que resolverlos todos y cumplir una serie de
requisitos, como explicar lo que han hecho, mostrar los resultados ordenadamente… Los niños
escuchan con atención el enigma en que les dice que tienen que averiguar su altura.
Foto 12. AA lee la carta que les ha escrito el Ogro
Texto 5. La primera carta del Ogro
Los niños empiezan a decir alturas al azar sin pensar, un grupo lo relaciona con el paso: si
miden la distancia del paso podrán saber cuánto miden las piernas del gigante, pero hacen una relación
directa entre paso y longitud de las piernas. Quizá si supieran dividir y multiplicar hubieran podido
hacer una regla de tres y lo hubieran resuelto así. Les ayudo a recordar la relación entre longitud del
pie y altura: el profe más alto del colegio es el que tiene el pie más grande.
La mayor parte de los niños se da cuenta de que si caben dos huellas serán dos alturas, y
empiezan a buscar el pie que se ajusta mejor a la huella y miden su altura en la pared. Hacen la
relación 120+120=240 cm.
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Foto 13. Pies puestos en línea para relacionar con la altura
Foto 14. Medición de la altura de los niños
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Comprobamos la medida que nos ha dado a casi todos (aproximadamente dos metros y medio) y
la transportamos en la comba de clase. El gigante llegará casi hasta el techo de la clase. Finalmente
organizamos los resultados en el cuaderno:
I
Hay un grupo que utiliza un pie de un niño y otro de otro y suma la altura de uno más la altura
de otro 131+127=258 cm. Sólo hay un grupo que no llega a la solución porque lo que hace es sumar la
distancia de dos de sus pies con la de la huella. 21+21+41= 83 cm. Comprobamos la altura que les da
y vemos que es imposible que el gigante sea tan pequeño.
I
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Texto 6. Cuaderno en el que los niños explican sus conclusiones
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4.2.7. La ropa para la gran gala (7ª sesión)
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Al día siguiente no hay ninguna noticia del Ogro. Una niña propone que le escribamos una carta
para ver si así se anima y quiere venir al día siguiente. Nos ponemos manos a la obra y recordamos
cómo se escribe una carta.
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Texto 8. Carta de CS al Ogro
S
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Texto 7. Carta de VR al Ogro
Las cartas son geniales, en todas ellas llaman al Ogro amigo y le piden que por favor venga a
ponerles más pistas y que por favor no les coman porque quieren ser sus amigos. Algunos niños le
hacen preguntas: ¿cómo has llegado hasta la puerta?, ¿cómo has abierto la puerta?, ¿tienes poderes
mágicos?
A
Por fin llegan las cartas:
I
Queridos amigos pequeñines:
He recibido vuestras cartas y me he puesto muy contento. No os
C
preocupéis, soy vegetariano y desde hace mucho tiempo no como niños ¡PUAJJ!
¡Muy bien niños! ¡Lo habéis logrado!
¡¡QUE ASCO!!
N
Os voy a contestar a vuestras preguntas. Me llaman Ogro Verde
cambiar de color, también tengo el poder de hacerme invisible. No tengo ningún
I
E
tornillo en la cabeza, y en efecto tal y como habéis descubierto tengo un pie más
grande que otro porque nací así, los Ogros somos un poco deformes.
¡¡¡Atchis!!! Vaya constipado que he cogido, estoy en la camita
ENIGMA 2
A una fiesta de Halloween me han invitado
Con mis mejores trajes y bien repeinado
tomando jarabe para la tos y sopita por eso no he podido mandaros en estos días
Verde, rojo y azul son mis calzoncillos
ningún enigma. Quiero deciros que estoy muy orgulloso de todos vosotros, sois
Y mis jerséis morado y amarillo
unos auténticos cerebritos y vuestros cuadernos están fenomenal. ¡Seguid así y
¿De cuantas formas puedo ir vestido a la gran gala?
conseguiréis el tesoro!
Un abrazo muy fuerte, El Ogro verde
E
R
Ahora vamos a ver si conseguís resolver el segundo enigma:
porque más bien soy verde, aunque me puedo camuflar como los camaleones y
E
X
P
Texto 9. Cartas del Ogro a los niños
Se lee la carta, hacemos un dibujo en la pizarra y los niños empiezan a trabajar en sus equipos.
La mayoría de los grupos comienzan a resolver el problema haciendo esquemas de las posibles
combinaciones aunque sólo un grupo lo hace de forma sistemática. Un grupo no termina de
comprender bien lo que tiene que hacer y les propongo recortar las camisetas y los calzoncillos y
colorearlos de los colores indicados para así registrar las combinaciones. Finalmente con la ayuda de
los recortables lo solucionan. Una vez que terminan les propongo que expliquen a sus compañeros
cómo lo han hecho.
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Foto 15. Material manipulativo creado por un grupo
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Foto 17. Resultado combinaciones de ropa
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Foto 16. Niños resolviendo el enigma
A
S
Al final todos los equipos han encontrado las seis combinaciones y han señalado que le
recomiendan al Ogro que se ponga la amarilla y roja como la selección española. Los esquemas de los
niños cada vez son más claros y están mejor explicados. Poco a poco se esfuerzan en hacer las cosas
bien y en repartirse las tareas siendo conscientes que todos tienen que entender lo que están haciendo.
4.2.8. El problema de la cena de Halloween (8ª sesión)
E
A
U
Todos los trabajos están bien presentados y los esquemas están bien organizados. Los niños
celebran que han resuelto los enigmas y se preguntan cuándo llegará el tesoro del Ogro porque han
logrado resolver todos los problemas. Finalmente después del recreo encuentran una caja encima de la
mesa con el tesoro.
D
A primera hora llega la última carta con el enigma de los invitados a la fiesta, les propongo que
anotemos las condiciones del Ogro para sentarse en la mesa y les pregunto cómo podemos resolverlo.
Alberto propone que utilicemos los botes de lápices para dibujar la mesa como en las tartas y que
utilicemos los pegamentos para representar las sillas de los 5 invitados. Les propongo que empiecen a
representar el problema y que empiecen a pensar cómo hay que colocarlos. La mitad de los equipos
solucionan el enigma y los otros cometen errores que corrigen cuando empiezan a revisar las
condiciones del Ogro.
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¡¡Aunque sois tan pequeños como Pulgarcito tenéis un cerebro como Gulliver!!
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A ver si sois capaces de resolver el último enigma y conseguir el tesoro
ENIGMA 3
5 en la fiesta conmigo somos
A
La momia, Frankenstein, Drácula y el hombre Lobo
Pero yo no aguanto a Drácula
Drácula no aguanta a Frankenstein
Figura 8. Organización de los monstruos en la mesa
E
Frankenstein no aguanta a la momia
La momia no aguanta al hombre lobo
D
Y el hombre lobo no me aguanta a mi
¿Podéis descubrir una forma en que todos nos sentemos con
alguien a quien no odiemos?
Foto 18. Niños abriendo el cofre del tesoro
4.2.9. Sesión final y de evaluación. La petición del Ogro (9ª sesión)
A pesar de que ya habían pasado varias semanas de la visita del Ogro, los niños seguían
escribiéndole cartas pidiéndole que viniera a clase a ponerles más enigmas. Se me ocurre que es una
buena oportunidad para recoger información sobre la experiencia y decido volver a mandar al Ogro
para que les haga una serie de preguntas. Les leo la carta y les digo que tienen que escribir muy clarito
y ordenadamente para que el Ogro pueda entender todas sus respuestas. Los niños se enfadan un
poquito porque se ha ido a París, pero deciden contestarle a las preguntas.
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Texto 10. Último enigma del Ogro
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Texto 11. Carta de JE al Ogro
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Calypo, 8 de noviembre de 2012
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Queridos amiguitos,
P
Espero que os haya gustado mi tesoro y siento mucho no haber podido estar con vosotros en la fiesta pero tenía una urgencia.
Unos niños de otro colegio de París me llamaron para que les pusiera unos enigmas y tuve que marcharme en el AVE. Tengo un
E
problema ¿Me podéis ayudar? Me gustaría que me echarais una mano para pensar nuevos enigmas para otros niños y para eso
necesito que me contestéis a algunas preguntas. Por favor, pensadlas bien porque así serán mejores y más divertidas la próxima vez.
R
¿Estáis preparados?
¿Quieres que vuelva otra vez a ponerte nuevos enigmas? ¿Por qué?
2.
¿Te acuerdas de cuáles eran?
3.
¿Cuál enigma te ha gustado más? ¿Por qué?
I
1.
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4. ¿Cuál te ha parecido más difícil? ¿Por qué?
C
Texto 12. Carta del Ogro a los niños
I
5. Reflexiones finales
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Todos los niños están encantados con los enigmas y piden al Ogro que vuelva para que les
ponga más. Sólo una niña no quiere que venga porque le dan miedo los monstruos.
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
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Una vez realizadas las actividades planteé una nueva carta en la que el Ogro les pedía ayuda
para diseñar nuevos enigmas a otros niños a través de una serie de preguntas (cuestionario). Tras la
lectura de los cuestionarios cabe destacar que:
A

E

D

Actividades contextualizadas dentro del marco temático de la fiesta de Halloween.
Variedad de situaciones de aprendizaje de naturaleza problemática y exploratoria.
Estructura: se propusieron 8 tareas relacionadas con un personaje de Halloween en las que se
combinaron varias formas de trabajo, una era de naturaleza abierta en las que no estaba ni
señalado el objetivo y en las otras siete se planteaba el objetivo pero no el camino que había
que seguir para llegar al resultado.
Todas las tareas excepto la de introducción (experiencia piloto) fueron planteadas dentro del
marco del aprendizaje cooperativo.
Pre-requisitos reducidos al mínimo, todos los niños podían participar independientemente de
sus conocimientos anteriores.
El papel del maestro reducido al de mediador, ya que era el personaje fantástico el que
planteaba el reto.
S



A
Cuando me puse a diseñar las tareas de este proyecto no sabía qué respuesta iban a tener por
parte de los alumnos y tampoco sabía cómo se las iban a ingeniar para resolver los enigmas ni si iban a
ser capaces de lograrlo. Mi experiencia me dice que los niños te sorprenden cada día y que las
actividades abiertas pueden sugerir un sinfín de oportunidades que a priori no se le ocurren al maestro.
Ante todo intenté que todas las tareas tomaran en cuenta los siguientes aspectos fundamentales:
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
L

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

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
La mayoría de los niños recuerdan todos los enigmas. El niño que menos enigmas recuerda,
registra 3.
El enigma que más les ha gustado no se puede señalar, porque cada uno es valorado por varios
niños.
El enigma que señala la mayoría como el más difícil es el del cálculo de la altura del Ogro.
Analizando el problema es comprensible ya que tenían que relacionar dos medidas distintas y
no era una relación directa.
Todos los niños escriben que lo que han aprendido ha sido el trabajo en equipo y el orden y
limpieza en los cálculos y esquemas.
Todos los niños, menos uno, prefieren el trabajo en equipo. Los más capacitados señalan que
así aprenden cosas de los demás que ellos no saben y los que tienen más dificultades señalan
que así pueden conseguir resolver enigmas «porque no soy tan listo».
Luego, han mejorado en su…
Confianza en el uso de la matemática
Gusto y persistencia para afrontar situaciones relacionadas con el uso de la Matemática
Capacidad de trabajo en equipo y cooperativo
Capacidad de organización y toma de decisiones
Capacidad de presentación y organización de sus trabajos
A
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




A modo de resumen podemos señalar que a través de este proyecto los niños han mejorado en
sus competencias:
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
R
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E

P
E

E
X

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Competencia lingüística: los niños han tenido que leer para poder comprender los enigmas y en
la fase de verbalización de los resultados y del proceso de resolución han tenido que esforzarse
para hacerlo de forma coherente, ordenada y clara. Los compañeros se han escuchado
atentamente y han compartido sus ideas o han rebatido sus hallazgos. Una sorpresa ha sido
que los niños han decidido comunicarse por escrito con el Ogro a través de cartas y
cuestionarios. Esta competencia también está relacionada con la mejora en la presentación y
organización de sus trabajos.
Competencia matemática: en un primer nivel, los niños utilizan y relacionan los números, las
operaciones básicas, los símbolos y las formas de expresión y razonamiento matemático para
resolver los distintos enigmas; y, en un segundo nivel, son capaces de utilizar el razonamiento
matemático para experimentar, conjeturar, probar, comunicar y discutir argumentando su
punto de vista frente al de los demás. Finalmente cabe señalar que esta competencia engloba
todo el ámbito actitudinal en relación con las matemáticas. A través de las respuestas de los
niños podemos concluir que los niños han mejorado sobre todo su confianza en el uso de la
matemática así como el gusto y persistencia para afrontar situaciones relacionadas con el uso
de la Matemática.
Competencia social y ciudadana: desde su punto de vista, tal y como señalan en sus
respuestas, los niños han aprendido a trabajar en equipo porque aprenden de los demás y
porque necesitan ayuda de los demás. Podríamos decir que ha mejorado su capacidad de
trabajo en equipo y cooperativo.
Competencia para aprender a aprender: aprender a aprender implica utilizar las estrategias
de aprendizaje de una forma cada vez más autónoma y disfrutar con el ejercicio de esa
autonomía. A través de las propuestas del Ogro el niño ha utilizado técnicas y hábitos de
trabajo para planificar y organizar su propio camino de resolución; integra y organiza la
información a través de esquemas, tablas, dibujos; revisa el trabajo realizado para mejorarlo e
intenta presentar los trabajos con orden y limpieza. Los propios niños señalan que el Ogro les
ha enseñado a ser más limpios con sus trabajos.
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En relación con el ambiente de aprendizaje podemos concluir que éste se ha caracterizado por
ser cooperativo, basado en el trabajo en equipo, apoyado en la confianza entre los alumnos y la
maestra y en donde los niños han mostrado autonomía y responsabilidad en las tareas propuestas. Este
ambiente probablemente se debe a:
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E
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I
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S

Trabajo cooperativo, aprendizaje entre iguales en el resto de las áreas de la tutoría.
Sucesivas oportunidades de conseguir el éxito para todos los alumnos.
Evitar las comparaciones entre alumnos mediante calificaciones numéricas.
Paciencia y persistencia por parte de todos para esperar y apoyar a los que más dificultades
tienen.
Proporcionar un entorno seguro y cálido en el que el aprendiz se sienta libre y confiado para
probar, equivocarse, corregir y volver a probar.
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



P

X
Autonomía e iniciativa personal: el niño a través de las propuestas del Ogro ha sido capaz de
llevar sus ideas a la práctica, de planificar la acción, de llevarla a cabo y concluirla en
colaboración con los demás y apoyado por sus compañeros. Además, esto implica aceptar
responsabilidades, actuar, evaluar lo realizado, autoevaluarse, aprender de los errores, extraer
conclusiones y valorar las posibilidades de mejora. Después de cada tarea se valoraron estos
aspectos entre todos y se señalaron los objetivos a tener en cuenta en el siguiente enigma. Al
final de los últimos enigmas se puede decir que lograron un mejor reparto de tareas y una
mayor capacidad de organización y toma de decisiones.
Competencia emocional: el desarrollo de la competencia emocional siempre está asociado a
una relación positiva y comprometida con los otros. Como he señalado anteriormente, toda la
programación gira en torno a la idea de cooperación entre compañeros y ayuda mutua. El
Ogro establece en su primera carta que es condición imprescindible que todos los miembros
de cada equipo participe y se ayude, no dando lugar a actuaciones individuales. El grupo está
acostumbrado a la cooperación ya que el enfoque desde las áreas de mi tutoría desde el curso
anterior está basado en la colaboración y la ayuda mutua. En el cuestionario de los niños,
todos señalan que han aprendido a trabajar en equipo y a no pelearse, pero han aprendido
mucho más: a escuchar a sus compañeros, a defender sus ideas a través de la palabra, a
respetar las ideas de sus compañeros y a valorarlas.
E

En cuanto a las actividades podemos señalar que:


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A
Posteriormente cabe destacar que ningún niño ha hecho referencia en el cuestionario a las
matemáticas, en cuanto a lo que ellos consideran que han aprendido. Parece que para ellos todo el
trabajo que han realizado no tiene que ver con ellas ni con la resolución de problemas. Habría que
preguntarse qué entienden ellos por matemáticas y por lo que significa resolver un problema. Por otro
lado sucede que, cuando las tareas tienen un significado o propósito real para ellos, estas actividades
son acogidas con mayor entusiasmo. Es el Ogro, y no la maestra, quien les está pidiendo que resuelvan
las situaciones y les recompensa con su tesoro.
E

Las actividades son más apreciadas y recordadas por los alumnos cuando tienen un significado
para ellos y están contextualizadas (fiesta de Halloween).
Aumenta la confianza en sus capacidades cuando las desarrollan en equipo, lo que mejora su
interés y actitud ante situaciones problemáticas.
El uso de material manipulativo ayuda a comprender problemas que para algunos equipos se
les hace demasiado abstracto.
La actividad de la huella, que era totalmente abierta, sin objetivos y sin planteamiento
ninguno, dio lugar a una gran riqueza de oportunidades de aprendizaje matemático.
D

Los enigmas del Ogro de Halloween
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Tabla 1. Organización de las sesiones ...................................................................................... 160
L
Tabla 2. Inicio del patrón de números ...................................................................................... 162
Tabla 4. Relación de equipos con las tareas que realizan ........................................................ 168
Bibliografía
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contexto de un plan de estudios nacional. En Giménez, (coord.) Matemáticas en Europa: diversas
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Segarra, L. (2001). Colección de problemas matemáticos para todas las edades. Grao.
Encarnación Rodríguez Francisco es maestra de Educación Primaria en el CEIP CALYPO de
Casarrubios del Monte (Toledo). Es licenciada en Antropología por la UNED en donde obtuvo el Premio
Extraordinario Fin de Carrera. En la actualidad compagina su labor como maestra y formadora en
distintas asociaciones y centros de formación de maestros junto con sus estudios de doctorado en el
departamento MIDE I de la UNED en donde está desarrollando su tesis doctoral en el campo de la
investigación matemática y el desarrollo de la competencia matemática. [email protected]
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Tabla 3. Patrón de números que sigue la secuencia ................................................................. 163
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NÚMEROS
http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 179-181
Cuando las rectas se vuelven curvas
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Las geometrías no euclídeas
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Joan Gómez
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Á
ISBN: 9788498678567
M
EDITORIAL RBA
160 páginas
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I
El enfoque de Euclides es riguroso: introduce una serie de definiciones, axiomas y postulados, y
a partir de ellos obtiene todas las proposiciones. Sin embargo, desde muy pronto este tratamiento no se
consideró perfecto. Los matemáticos empezaron a sospechar que uno de los postulados, el quinto1, no
era independiente de los demás, sino que podía ser deducido a partir de ellos. Innumerables intentos de
ilustres matemáticos hicieron creer finalmente en la posibilidad de que este postulado fuera en realidad
independiente de los otros cuatro. De esta forma se llegó al convencimiento de que se podían
establecer “otras geometrías”, resultantes de los cuatro primeros postulados y la negación del quinto (y
que son perfectamente coherentes desde el punto de vista lógico). Éstas son las llamadas geometrías
T
Durante unos dos mil años, los matemáticos europeos vieron la geometría a través de los ojos de
Euclides gracias a su magna obra Elementos de geometría. El tratamiento elegante que el matemático
griego hizo de esta disciplina propició que ésta fuera durante muchos años la rama fundamental del
saber matemático y fue determinante en la forma en la que se ha enseñado geometría en los colegios,
incluso hasta el día de hoy.
Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas. Joan Gómez
Reseña: J. García Melián
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no euclídeas. Joan Gómez, en su libro Cuando las rectas se vuelven curvas, presenta una introducción
de dichas geometrías, a nivel elemental.
El libro comienza exponiendo la llamada “geometría del taxi”, derivada de la “distancia del
taxi”. La intención es mostrar que es posible ver las cosas desde otro punto de vista si se cambia la
forma de medir distancias, preparando al lector para lo que está por venir.
A continuación se realiza un recorrido por la geometría euclídea, enunciando las principales
definiciones y axiomas, y por supuesto los postulados. Mención aparte merece, naturalmente, el
quinto:
1
Se proporcionan asimismo algunas propiedades equivalentes a este postulado; la más célebre de
ellas, debida a John Playfair, es la que en muchos textos se toma como quinto postulado y establece
que:
“Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única recta paralela
a ella”
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“Si una línea recta corta dos rectas de forma que los ángulos interiores
de un mismo lado son menores que dos ángulos rectos, las dos líneas
rectas, prolongadas indefinidamente, se encuentran en el lado en el cual
los ángulos son menores que dos ángulos rectos”.
El tercer capítulo está dedicado a comentar varios intentos de demostración del quinto postulado
a partir de los cuatro primeros. En particular, se citan los de Proclo, Omar Khayyam, Christopher
Clavio, John Wallis y Gerolamo Saccheri. Este último probó numerosos resultados consecuencia de
negar el quinto postulado con idea de alcanzar una contradicción que nunca llegó, pero no fue más allá
porque para él todos ellos eran “contra natura”.
No fue hasta la aparición de Nikolai Lobachevski y János Bolyai que se empezó a tener serias
dudas de que el quinto postulado fuera en realidad dependiente de los otros (si bien Carl Friedrich
Gauss ya había considerado esta idea, aunque nunca se atrevió a hacerla pública). Ellos lo negaron
sustituyéndolo por este otro: “por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas a ésta” y
desarrollaron una geometría perfectamente lógica que hoy lleva el nombre de geometría hiperbólica,
también muchas veces conocida como geometría de Lobachevski. Para ilustrar esta geometría se
introducen la seudoesfera y el círculo hiperbólico, espacios en los que se dan los postulados de la
geometría hiperbólica. A renglón seguido se considera la geometría elíptica, debida a Bernhard
Riemann (esta es la geometría propia de una esfera, por ejemplo).
Se efectúan ciertas comparaciones entre las tres geometrías (euclídea, hiperbólica y elíptica),
destacándose sobre todo sus diferencias. A modo de ejemplo, citemos dos de las más llamativas. La
primera de ellas está relacionada con la suma de los ángulos interiores de un triángulo que, como es
bien sabido, es siempre de 180 grados en la geometría euclídea. Esta suma es inferior a 180 grados en
la hiperbólica y superior a 180 grados en la elíptica, y de hecho depende del área del triángulo. La
segunda de las diferencias que muestra este libro entre las tres geometrías tiene que ver con el
concepto de triángulos semejantes: estos solamente existen en la geometría euclídea. En las otras, dos
triángulos cuyos ángulos son iguales son automáticamente iguales (congruentes). Es decir, no hay
triángulos con la misma forma y distinto tamaño.
Para poder medir en la geometría hiperbólica se definen las funciones trigonométricas
hiperbólicas, y con su ayuda se establecen algunos resultados destacados de esta geometría. Por
ejemplo la fórmula para la longitud de una circunferencia de radio r resulta ser
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Vol. 95
marzo de 2014
NÚM E R OS
Cuando las rectas se vuelven curvas. Las geometrías no euclídeas. Joan Gómez
Reseña: J. García Melián
r
Longitud  2 k senh  
k
e x  e x
. También se consideran las versiones correspondientes del teorema de Pitágoras
2
y los teoremas del seno y del coseno.
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donde k es una constante de proporcionalidad y senh es la función seno hiperbólico, definida
por senh x 
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Finalmente, se dedica un capítulo a la geometría elíptica, concentrándose en el caso particular
de la esfera. Después de introducir la terminología de meridianos y paralelos en la misma, se centra la
atención en los triángulos esféricos, destacando la propiedad importante anteriormente reseñada de
que la suma de sus ángulos es mayor que 180 grados.
El libro concluye con un apéndice en el que se menciona la relación de las geometrías no
euclídeas con la teoría de la relatividad, puesto que Einstein usó las ideas de Riemann para explicar su
teoría: el universo es un espacio cuatridimensional, que se curva en cada punto por efecto del campo
gravitatorio.
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Jorge García Melián (Universidad de La Laguna)
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En mi opinión, el libro es bastante ameno y constituye una asequible incursión a nivel elemental
en el mundo de las geometrías no euclídeas y su origen histórico. Las explicaciones son en general
claras y concisas y los capítulos 3 y 5 son bastante sugestivos. Sin embargo, los capítulos 7 y 8, siendo
interesantes en sí mismos, me parecen un tanto desligados del resto del libro, puesto que la presencia
de la geometría en ellos es meramente testimonial. Pero en conclusión encuentro que este libro es una
lectura recomendable para los lectores interesados en la geometría en general.
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
Vol. 85
marzo de 2014
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 183-185
Matemáticamente competentes… Para reír
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Pablo Flores y Antonio Moreno
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Editorial GRAÓ
ISBN:978-84-9980-360-9
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134 páginas
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El primer capítulo del libro hace un análisis de la cultura y de la sociedad a través de las
viñetas, poniendo de manifiesto los valores de la cultura occidental que se relacionan con las
matemáticas, como por ejemplo el racionalismo, el progreso, etc.
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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El libro Matemáticamente competentes… Para reír contiene una compilación de viñetas
humorísticas relacionadas con las matemáticas que han aparecido en diarios y revistas
principalmente de España. Los autores recopilaron, organizaron y analizaron por mucho
tiempo estas historietas gráficas o viñetas. En un formato amigable y atractivo, las viñetas
están organizadas en seis capítulos y consideran variados temas relacionados con la
matemática y la educación matemática.
Matemáticamente competentes…Para reír. Pablo Flores y Antonio Moreno
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Reseña: V. Giaconi
El capítulo 2 es de especial relevancia, sobre todo para los profesores, ya que se
relaciona el contenido de las viñetas con las competencias evaluadas en la prueba PISA:
pensar y razonar; argumentar y justificar; comunicar; modelizar; plantear y resolver
problemas; representar; utilizar lenguaje y símbolos, fórmulas y operaciones y por último
emplear soportes y herramientas tecnológicas. Las competencias de PISA buscan representar
las capacidades matemáticas que debe tener un ciudadano común y corriente para
desenvolverse bien en la vida. Por ejemplo, relacionadas con la competencia de modelizar
aparecen viñetas donde se utiliza o se alude a un modelo matemático como la
proporcionalidad inversa.
Los capítulos 3 y 4 contienen chistes y viñetas donde los protagonistas son conceptos y
símbolos matemáticos como el misterioso infinito, el cero o la famosa x. Como ejemplo se
tiene el clásico chiste de que el ocho es un cero con cinturón.
Por supuesto no podían faltar también las viñetas asociadas a educación matemática,
que son el tema del capítulo 5. Hay viñetas donde se alude a las características o roles del
profesor de matemáticas o de los estudiantes de matemáticas. Es más, en las viñetas de este
capítulo uno puede darse cuenta de las distintas visiones que se tienen del profesor de
matemáticas, por ejemplo se los representa cómo profesores desconcertados con sus alumnos,
o blancos de la ira de estudiantes y padres, etc.
Por último, en el capítulo 6, se tienen chistes que no tocan directamente temas
matemáticos, pero que los sugieren. Por ejemplo, hay chistes que aluden al azar (un ejemplo
son los que sacan a relucir la célebre frase "Dios no juega a los dados").
En resumen, este es un libro para divertirse, sorprenderse y compartir las matemáticas y
las visiones que tenemos de ellas. Además, es un material que sirve para plantear temas en el
aula respecto a cómo la matemática se inserta en la vida cotidiana. Las viñetas del primer y
quinto capítulo permiten instalar en la clase temas de creencias sobre las matemáticas y su
enseñanza, que influyen en el aprendizaje de los niños. Por otro lado, las viñetas sobre
conceptos, fórmulas, etc. permiten aludir a ciertas propiedades e ideas matemáticas que no
siempre es fácil poner en la palestra. Un ejemplo es el chiste “¿Por qué no te integras?- le dice
una función a otra en una fiesta de funciones. ¿Para qué, si yo soy exponencial?- le responde
la otra” donde la clave está en que la integral de una exponencial es una exponencial. Otros
ejemplos son los chistes donde se juega con los conceptos de proporcionalidad o con la
comprensión de gráficos y diagramas estadísticos.
No hay duda de que para entender este libro hay que ser matemáticamente competente
para reír. Sin embargo, si alguna persona carece de competencias matemáticas para entender
alguna viñeta, puede ser una gran oportunidad para motivarse a desarrollar estas
competencias. Cuando uno no entiende un chiste, inmediatamente empieza a buscar qué fue
lo que no entendió, se dispone a resolver un problema, a ponerse en acción de pensar. De
hecho, muchas veces para entender las viñetas hay que resolver un problema matemático. Es
más en algunas se pone en juego la comprensión profunda de un concepto o idea matemática.
También hay otras, que quizás no aluden a propiedades matemáticas (como el chiste de que
el ocho es un cero con cinturón), pero sí nos acercan a la matemática, la hacen más amigable
o nos demuestran su importancia en la vida cotidiana.
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Vol. 85
marzo de 2014
NÚMEROS
Matemáticamente competentes…Para reír. Pablo Flores y Antonio Moreno
Reseña: V. Giaconi
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“Queremos infundir ánimos a través del humor para llegar a ser
MATEMÁTICAMENTE COMPETENTES PARA REÍR
Siempre con la intención de ser
MATEMÁTICAMENTE COMPETENTES PARA VIVIR”.
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Es difícil encontrar tareas que nos lleven a la acción de pensar tan eficazmente como un
chiste o una viñeta. Por ello estas viñetas pueden ser una poderosa herramienta para situar
temas en la clase de matemática y motivar (y motivarse) a aprender matemáticas. Citando a
los autores:
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Valentina Giaconi (Ingeniera Matemática y estudiante de Doctorado de la Universidad de
Chile, realiza investigación en Educación Matemática)
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Sociedad Canaria Isaac Newton
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Vol. 85
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http://www.sinewton.org/numeros
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, páginas 187-189
Congresos
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I Congreso Argentino de Integración
de GeoGebra en la Matemática 2014
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Fecha: 10, 11, 12 de Marzo 2014
Lugar: Caleta Oliva. Santa Cruz. Argentina
Organiza: Instituto de Geogebra del Golfo de San Jorge. Patagonia Austral
Información: http://institutes.geogebra.org/ar-san-jorge/
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Fecha: del 2 al 4 de Mayo de 2014
Lugar: Algarve. Portugal
Convoca: University of Algarve and the Institute of Education of the University of Lisbon
Información: http://www.fctec.ualg.pt/problemweb2014/
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Problem@Web
International
Conference
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Fecha: 30 de junio a 4 de julio de 2014
Lugar: El Escorial. Madrid. España
Convoca: Cátedra UCM Miguel de Guzmán, Facultad de Ciencias Matemáticas,
Universidad Complutense de Madrid en colaboración con el Instituto de Matemática
Interdisciplinar (IMI)
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Cuarto Simposio Internacional ETM
Espacio de Trabajo Matemático
5ª Conferencia
Internacional sobre
Etnomatemática
CIEM-5
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Fecha: del 7 a 11 de julio de 2014
Lugar: Maputo. Mozambique
Fecha: Del 28 de Julio al 1 de Agosto del 2014
Lugar: Barranquilla. Colombia
Convoca: Comité Latinoamericano de Matemática Educativa
Organiza: Universidad del Atlántico
Información: http://relme-clame.co/inicio.html
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XXVIII Reunión
Latinoamericana de
Matemática Educativa
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Congreso Internacional de Matemáticas
SEUL ICM 2014
Fecha: Del 13 al 21 de Agosto de 2014
Lugar: Seúl. Corea
Convoca: La Unión Matemática Internacional
Información: http://www.icm2014.org/
188
Vol. 85
marzo de 2014
NÚMEROS
V Reunión Pampeana de
Educación Matemática
Fecha: Del 20 al 22 de agosto de 2014
Lugar: Santa Rosa, La Pampa. Argentina
Convoca: Departamento de Matemáticas de Santa Rosa, La Pampa, Argentina
Información: http://www.jornadamatematicazonasur.cl
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XI Congreso Argentino de
Educación Matemática
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Fecha: Del 2 al 4 de Octubre de 2014
Lugar: Universidad Nacional de San Juan. San Juan. Argentina
Organiza: Sociedad de Educación Matemática y Universidad Nacional de San Juan
Información: http://www.soarem.org.ar/carem.html
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Vol. 85
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Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
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Fecha: Del 3 al 7 de Mayo del 2015
Lugar: Tuxtla Gutiérrez, Chiapas, México
Convoca: El Comité Interamericano de Educación Matemática
Información: http://xiv.ciaem-iacme.org/
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http://www.sinewton.org/numeros
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A U T O R E S
Sociedad Canaria Isaac Newton
de Profesores de Matemáticas
P A R A
1. Podrá presentar sus artículos para publicar cualquier persona, salvo los miembros del Comité
editorial y los de la Junta Directiva de la Sociedad Canaria de Profesores de Matemáticas.
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electrónica, dirección postal, teléfono. Con el fin de garantizar el anonimato en el proceso de
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el juego de caracteres, especialmente evitar el uso del tipo “Symbol” u otros similares.
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 Las referencias bibliográficas dentro del texto deben señalarse indicando, entre paréntesis, el
autor, año de la publicación y página o páginas (Freudenthal, 1991, pp. 51-53).
 Al final del artículo se incluirá la bibliografía, que contendrá las referencias citadas en el texto,
ordenadas alfabéticamente por el apellido del primer autor, de acuerdo con el siguiente modelo:
o Para libro: Lovell, K. (1999). Desarrollo de los conceptos básicos matemáticos y
científicos en los niños. Madrid: Morata.
o Para capítulo de libro, actas de congreso o similar: Fuson, K. (1992). Research on
whole number addition and subtraction. En Grouws, D. (ed.) Handbook of Research on
Mathematics Teaching and Learning, 243-275. MacMillan Publishing Company: New
York.
o Para artículo de revista: Greeno, J. (1991). Number sense as situated knowing in a
conceptual domain. Journal for Research in Mathematics Education, 22 (3), 170-218.
o Para artículo de revista electrónica o información en Internet: Cutillas, L. (2008).
Estímulo del talento precoz en matemáticas. Números [en línea], 69. Recuperado el 15 de
febrero de 2009, de http://www.sinewton.org/numeros/
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colaboradores de la Revista. Como resultado del mismo, el Comité editorial decidirá que el trabajo
se publique, con modificaciones o sin ellas, o que no se publique.
6. El autor recibirá los comentarios de los revisores y se le notificará la decisión del Comité Editorial.
Si a juicio de los evaluadores el trabajo es publicable con modificaciones, le será devuelto al autor
con las observaciones de los árbitros. El autor deberá contestar si está de acuerdo con los cambios
propuestos, comprometiéndose a enviar una versión revisada, indicando los cambios efectuados, en
un periodo no mayor de 3 meses. De no recibirse en ese plazo, el Comité Editorial dará por sentado
que el autor ha desistido de su intención de publicar en la Revista.
N O R M A S
ISSN: 1887-1984
Volumen 85, marzo de 2014, página 191