8.3 La función Γ de Euler 8.3. 57 La función Γ de Euler Se define la función Γ(x) como Γ(x) = ! ∞ dt tx−1 e−t . (8.3) 0 Una definicion válida solamente si x > 0, cuando la integral es convergente. 8.3.1. Integrando por partes se encuentra la propiedad fundamental de esta función: (8.4) Γ(x + 1) = xΓ(x) Algunos valores se encuentran por teorı́a básica de integración. Ası́, por ejemplo, Γ(1) = Γ(2) = 1. Tambı́en se ve que la integral diverge para x = 0, de manera que lı́mx→0 Γ(x) = ∞. El valor de la función Γ(x) para cualquier x > 1 se puede reducir al de algún valor en el intervalo (0, 1). Por ejemplo, para calcular Γ(4,2) utilizamos repetidamente la propiedad fundamental: Γ(4,2) = Γ(3,2 + 1) = 3,2Γ(3,2) = 3, 2 × 2,2Γ(2,2) = 3,2×2,2×1,2Γ(1,2) = 3,2×2,2×1,2Γ(0,2). En particular si n es un número natural positivo se obtiene Γ(n+1) = nΓ(n) = n(n−1)Γ(n−2) = · · · = n(n−1) · · · 2Γ(1) = n!. De manera que la función Γ(x + 1) coincide con el factorial de x si x es un número natural. Por extensión, se escribe a veces Γ(x + 1) = x!. Otros valores se obtienen mediante un cambio de variables. Por ejemplo, para hacer Γ(1/2) hacemos el cambio de variable t = v 2 , 8.3.2. lo que lleva a Γ(1/2) = 2 integral gaussiana. "∞ 0 2 dv e−v = √ π, utilizando la conocida 8.3.3. Si x = n + 1/2, siendo n un número natural, la iteración de la regla básica lleva a (2n)! (2n)! √ Γ(n + 1/2) = 2n Γ(1/2) = 2n π 2 n! 2 n! Todo esto permite dibujar bastante bien la función Γ(x) para x > 0. El resultado es: 58 In[3]:= Plot@Gamma@xD, 8x, 0, 5<D 15 Out[3]= 10 5 1 2 3 4 5 El mı́nimo está en x = 1,4616321449683622 . . . . No podemos usar la definición (8.3) para x ≤ 0 porque la integral no existe en ese intervalo de x, pero sı́ podemos usar la propiedad básica (8.4), leı́da en la forma: Γ(x) = Γ(x + 1) x para definir la función para x < 0. Por ejemplo, para definir Γ(−2,5) usamos reiteradamente esta fórmula: Γ(−2,5) = Γ(−1,5) Γ(−0,5) Γ(0,5) 8√ = = =− π. −1,5 −2,5 × (−1,5) −2,5 × (−1,5) × (−0,5) 15 Esto permite definir la función Γ(x) para todo número x &= 0, −1, −2, −3, . . . . 8.3.4. Se cumple lı́mx→−n+ Γ(x) = (−1)n ∞ y que lı́mx→−n− Γ(x) = (−1)n+1 ∞. La gráfica completa de la función Γ(x) es ası́: 8.3 La función Γ de Euler In[15]:= 59 Plot@Gamma@xD, 8x, - 5, 5<D 10 5 Out[15]= -4 -2 2 4 -5 -10 Por último, vamos a calcular la derivada de la función Γ(x). Derivando bajo el signo integral, obtenemos: ! ∞ $ Γ (x) = dt tx−1 ln t e−t 0 Conviene definir la función Ψ(x) = 8.3.5. $ Γ (x) , la derivada logarı́tmica de la función Γ. Γ(x) Esta función verifica Ψ(x + 1) = 1 x + Ψ(x). Esto nos dice que la derivada Γ$ (x) para cualquier valor de x &= 0, −1, −2, −3, · · · se puede a partir de un valor en el intervalo (0, 1]. Ası́, por ejemplo, Γ$ (1) = " ∞ calcular dt ln t e−t = −γ con γ = 0,5772166649015329..., la llamada constante de Euler. 0 Para x = n, un número natural, se puede iterar Ψ(n + 1) = n1 + Ψ(n) para llegar a Ψ$ (n + 1) = Hn − γ, de donde Γ$ (n + 1) = n!(Hn − γ). Aquı́ Hn = 1 + 12 + · · · + n1 , es la serie armónica. 8.3.6. Por último, deduciremos un resultado asintótico para la función Γ(x). Se parte de la integral: ! ∞ ! ∞ x −t Γ(x + 1) = dt t e = dt e−f (t,x) (8.5) 0 0 con f (t, x) = t − x ln t. Esta función tiene un mı́nimo en t = x y se puede desarrollar 2 como f (x, t) = x − x ln x + (t−x) + O(t − x)3 . Sin entrar en detalles, diremos que 2x cuando x es grande esta aproximación permite calcular la integral con precision ya que el integrando es una función muy picuda centrada alrededor de t = x. Veamos la evidencia para x = 10 y x = 100 en la figura: 60 In[35]:= In[38]:= Plot@8Exp@- t + 10 Log@tDD, Exp@- 10 + 10 Log@10D - 1 ê 20 Ht - 10L ^ 2D<, 8t, 0, 20<, PlotRange Ø AllD Plot@8Exp@- t + 100 Log@tDD, Exp@- 100 + 100 Log@100D - 1 ê 200 Ht - 100L ^ 2D<, 8t, 0, 200<, PlotRange Ø AllD 3.5 µ 10156 400 000 3.0 µ 10156 2.5 µ 10156 300 000 Out[38]= Out[35]= 2.0 µ 10156 1.5 µ 10156 200 000 1.0 µ 10156 100 000 5.0 µ 10155 50 5 10 15 Ası́, podemos calcular la integral como ! ∞ ! (t−x)2 −x+x ln x− 2x −x+x ln x x! ≈ dt e =e −∞ 100 150 200 20 ∞ dt e− (t−x)2 2x √ √ = xx e−x 2xπ = 2πxx+1/2 e−x −∞ que es la celebrada aproximación de Stirling. La aproximación es bastante buena para x no necesariamente muy grande. Por ejemplo, para x = 10 el resultado exacto es 10! = 3628800, mientras que la fórmula de Stirling da x! ≈ 3,5987 × 106 , con un error inferior al 1 %. Esta fórmula se puede mejorar (y empeorar). Una fórmula peor se puede deducir me# diante una manera sencilla ideada por el fı́sico ruso"Landau. Escribimos ln n! = nk=1 ln k n y aproximamos la suma por una integral ln n! ≈ 1 dx ln x = x ln x − x|n1 = n ln n − n + 1 o, para n grande ln n! ≈ n ln n − n, que es peor que la fórmula de Stirling, pero suficientemente buena en algunos casos. Por ejemplo, para n = 10 da ln n! ≈ 10 ln 10 − 10 = 13,0258 . . . a comparar con el resultado exacto ln 10! = 15,1044 . . . . La fórmula de Stirling da ln 10! ≈ 15,096 . . . . Para n = 100 el resultado de Landau es ln 100! ≈ 360,517 . . . , mientras que el de Stirling es ln n! ≈ 363,73854 . . . , a comparar con el valor exacto ln 100! = 363,739375 . . . .