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ELECTROMAGNETISMO DE ALTA FRECUENCIA
Grado en Física
GUÍAS DE ONDA
Teoría general de guías de onda.
Guías rectangular, cilíndrica y coaxial.
Líneas tira y microtira.
Guía dieléctrica.
Resonadores.
Cavidades rectangulares y cilíndricas.
Teoría de perturbaciones.
Bibliografía:
POZAR D. M.- "Microwave Engineering". Wiley. 1997
MARSHALL, S.V. & SKITEK, G.G.- "Electromagnetic Concepts and Applications".
Prentice Hall International Editions. 1990.
WALDRON, R.A.- "Theory of Guided Electromagnetic Waves". Van Nostrand. 1969.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Introducción
Propósito:
Las líneas de transmisión vistas son, en general,
sistemas abiertos.
Puede ser conveniente confinar los campos.
Totalmente: guías cerradas. (guías metálicas)
Parcialmente: guías abiertas. (microstrip, guías dieléctricas...)
Estructura:
Poseen diferentes geometrías: rectangular, cilíndrica, coaxial...
Son sistemas con simetría cilíndrica (de traslación).
Importancia:
Resultan imprescindibles en el rango de microondas ( λ ≈ cm)
Están relativamente libres de pérdidas e interferencias..
Análisis:
En la mayoría se propagan modos no TEM.
El análisis, en términos de campos, aprovecha la simetría.
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Geometrías típicas
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Análisis general
Aprovechamos la simetría de traslación.
Suponemos guía uniforme
(no varía ni la geometría ni las propiedades del medio en la dirección z)
Tomamos medios ideales (dieléctricos sin pérdidas y conductores perfectos)
Trabajamos en régimen armónico estacionario.
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Análisis general
Separación de los campos:
- Para la onda propagante en z+ (factor e-jβz)
donde hemos separado los campos transversales
y longitudinales
- Podríamos incluir la onda propagándose en z-.
En el caso de pérdidas, sustituiríamos jβ por γ=α+jβ$
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Análisis general
En ausencia de fuentes:
que separado en componentes, habida cuenta de la dependencia con z:
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Análisis general
Ecuaciones análogas se deducen del rotacional de H:
- Las ecuaciones obtenidas son completamente generales,
con las suposiciones hechas de régimen armónico y
propagación en z+.
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Análisis general
Podemos expresar las componentes transversales en función de las longitudinales
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Análisis general
El número kc recibe el nombre de constante de corte:
Con
(nº de onda en el medio libre)
constante de fase en la guía
Si asociamos kc a una “longitud de onda de corte”
de forma que, si
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Análisis general
Ecuaciones para los campos
Siguen sujetos a la ecuación de Helmholtz:
Para las componentes longitudinales Ez, Hz y teniendo
en cuenta que
Resolveremos las componentes longitudinales y
encontraremos las transversales a partir de aquellas.
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Ondas TEM
Para las ondas TEM
de forma que:
A no ser que
La constante de propagación es la misma que en el medio libre
y las ondas TEM pueden propagarse desde frecuencia nula.
Para resolver la indeterminación (0/0), recurrimos a las ecuaciones de Maxwell:
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Ondas TEM
Resolución de los campos:
Las ecuaciones de Maxwell se reducen a:
de forma que e(x,y) corresponde a la solución de un problema
estático en el plano transversal. De la ecuación rotacional:
y con la condición sobre la divergencia
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Ondas TEM
Resolución de los campos:
1.- Resolvemos la ecuación de Laplace en el plano transversal
2.- Determinamos las constantes de integración con las condiciones de contorno.
3.- Calculamos el campo eléctrico
4.- El campo magnético se deduce de la relaciones ya vistas o de:
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Ondas TEM
Características de propagación
- La constante de fase ya se ha visto: la velocidad de fase es, por tanto,
la misma que en el medio libre así como la longitud de onda, cumpliéndose
- La relación de amplitudes de los campos eléctrico y magnético, o
impedancia de onda, coincide con la del medio libre
de forma que, en general
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Ondas TEM
Características de propagación
dependiente de la geometría
y distinta de
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Ondas TEM
Inexistencia del modo TEM en guías monoconductoras
Argumento 1: La circulación de h
(sólo transversal) es igual a la
corriente
longitudinal
(de
conducción y de desplazamiento).
Si la onda es TEM no hay
desplazamiento longitudinal. Como
no hay conductor encerrado en C no
hay corriente de conducción.
Luego no hay campo h transversal
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Argumento 2: Puesto que el
potencial φ cumple la ecuación de
Laplace, sujeta a una condición de
contorno metálica y cerrada (φ =cte
en el contorno), el potencial es
constante en el interior de la guía.
El campo eléctrico es, por tanto,
nulo.
Luego no hay campo e transversal
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Ondas TM
- Las ondas (modos) Transversales Magnéticas (TM ó modos E) no
poseen componente longitudinal del campo magnético (Ez≠ 0; Hz=0).
con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo.
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Ondas TM
Campo longitudinal
De la ecuación de Helmholtz:
y con la derivación con respecto a z
donde
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Ondas TM
Características de propagación
β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que:
conocida como frecuencia de corte del modo
La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son:
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Ondas TM
Características de propagación
Impedancia de onda:
que es real (resistiva pura) para onda propagante
- Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro.
El modo es evanescente .
- Notar que por debajo del corte ZTM es imaginario puro (reactivo) y no
hay flujo de potencia.
- La guía se comporta como un filtro pasa-alto.
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Ondas TE
- Las ondas (modos) Transversales Eléctricas (TE ó modos H) no
poseen componente longitudinal del campo eléctrico (Ez=0; Hz≠0).
con kc≠ 0 y dependiente de la geometría y el modo.
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Ondas TE
Campo longitudinal
De la ecuación de Helmholtz
y con la derivación con respecto a z
donde
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Ondas TE
Características de propagación
β es real (onda propagante) a partir de una frecuencia tal que:
conocida como frecuencia de corte del modo.
La longitud de onda en la guía y la velocidad de fase son:
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Ondas TM
Características de propagación
Impedancia de onda:
que es real (resistiva pura) para onda propagante y distinta de ZTM
- Para frecuencias por debajo del corte, β es imaginario puro.
El modo es evanescente .
- Notar que por debajo del corte ZTE es imaginario puro (reactivo) y no
hay flujo de potencia.
- La guía se comporta como un filtro pasa-alto.
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Ondas TE y TM
Procedimiento general de resolución
1.- Resolver la ecuación de Helmholtz reducida (para ez ó hz).
2.- Obtener los campos transversales de las relaciones apropiadas.
3.- Determinar las constantes de integración a partir de las
condiciones de contorno más adecuadas. Entre ellas aparecerá kc.
4.- A partir de kc obtener las características de propagación (β y Z).
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas
- Puede soportar tanto modos TEM como TE y TM.
- Asumimos que w>>d. (Equivale a despreciar efectos de borde y
variaciones con la coordenada x).
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas
El modo TEM:
1.- Resolvemos
entre
2.- Las condiciones de contorno son:
3.- No hay dependencia con x:
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
Solución para el potencial:
4.- El campo eléctrico reducido:
y el campo total:
donde ya sabemos que
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
5. – El campo magnético:
con ηo la impedancia de onda del medio.
- Obsérvese que no existen campos longitudinales y que la dependencia
transversal de los mismos es idéntica a los campos estáticos.
- Puede efectuarse el análisis en términos de voltajes y corrientes, si calculamos las
circulaciones de los campos eléctrico y magnético, respectivamente.
- De ello obtendríamos la impedancia característica de la línea de transmisión.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
Efecto de borde en la guía
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: El modo TEM
Aspecto de los campos en la dirección de propagación
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: potenciales y corrientes
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
- En este caso, hz=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para ez.
La “simetría” con x hace
cuya solución general es:
Sujeta a las condiciones de contorno:
en
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con n≥0
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
La constante de corte es
y la constante de propagación
- Para cada valor de n, designamos al modo con el subíndice n: TMn .
- Para cada modo, su frecuencia de corte es, por tanto:
- Notar que el modo TM0 coincide con el modo TEM.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Campo (eléctrico) longitudinal:
Los campos transversales se deducen de las relaciones ya vistas
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
La impedancia de onda
que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente.
El flujo de potencia:
Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía:
para n>0 (para n=0 es el doble). Obsérvese que es nulo para onda evanescente.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Caso particular: el modo TM1.
Examinemos la componente Ez:
que indica que se trata de dos ondas viajando oblicuamente según (-y,+z) y (+y,
+z) con componentes π/d, β1, es decir:
que es la relación de dispersión ya vista (0º<θ<90º para onda propagante).
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Caso particular: el modo TM1.
- La velocidad de fase en la dirección del rayo es
mientras que en la dirección z es
- A medida que nos acercamos a
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la onda sube y baja.
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Campo eléctrico en la guía: modo TM1.
Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TM1.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
Diagrama de dispersión en la guía: modo TM1
Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TE
- En este caso, ez=0 y resolvemos la ecuación de Helmholtz reducida para hz.
- La “simetría” con x hace
cuya solución general es:
Si aplicamos las condiciones de contorno al campo eléctrico (Ex)
en
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con n>0
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TE
- Las constantes de corte y propagación, así como la
denominación de los modos, es análoga al caso TM.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TM
La impedancia de onda
que es real para onda propagante e imaginaria pura para onda evanescente.
El flujo de potencia:
Podemos calcular el vector de Poynting a través de la sección transversal de la guía
para n>0 (No existe modo TE0). Obsérvese que es nulo para onda evanescente.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas: modos TE
Campo magnético en la guía: modo TE1
Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos) en la guía. Modo TE1.
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas
Pérdidas por conductividad finita en las paredes
Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud
con
El coeficiente de atenuación será:
(la mitad para modos TEM)
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Guías particulares
La guía de placas plano-paralelas
Pérdidas por conductividad finita en las paredes
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Guías particulares
La guía rectangular
- Al ser una guía monoconductora no soporta el modo TEM.
- Fue una de las primeras guías desarrolladas y continua siendo muy utilizada.
- Su rango de aplicación va desde 1 Ghz a 200 Ghz.
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
- Suponemos a>b.
Resolvemos la ecuación de Helmholtz para hz(x,y).
y utilizamos la técnica de separación de variables:
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
Ello da lugar a dos ecuaciones separadas, con constantes de separación kx, ky.
cuyas soluciones generales combinadas dan:
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La guía rectangular. Modos TE
- Resulta más cómodo aplicar las condiciones de contorno sobre los campos eléctricos:
en
en
que conducen a
y la constante de corte, por tanto:
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
- Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TEmn.
- La constante de propagación es ahora, para cada modo:
Por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte
- Llamamos modo fundamental al de menor frecuencia de corte.
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE. Expresiones generales de los campos
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental:
- Para a>b el modo fundamental es el TE10. (Notar que no puede existir el modo
TE00).
- Utilizado en la práctica, pues dispone de una banda en la que sólo él es propagante.
(Hasta que no aparezca el siguiente que, dependiendo de las dimensiones de la guía,
será el TE01, el TE20 ó un modo TM).
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental:
La impedancia de onda es, según la relación general:
y el flujo de potencia:
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental
Distribución de campos en la guía. Modo TE10.
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
El modo fundamental
Nueva visión de los campos en la guía. Modo TE10.
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TE
El modo TE11
Distribución de los campos en la guía.
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La guía rectangular. Modos TE
Diagrama de dispersión
Constantes de atenuación y de fase en función de la frecuencia,
para los tres primeros modos.
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La guía rectangular. Modos TE
Pérdidas por conductividad finita en las paredes. Modo TE10.
Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud:
El coeficiente de atenuación será:
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La guía rectangular. Modos TE
Pérdidas por conductividad finita en las paredes.
Atenuación por pérdidas conductoras. Modos TE10 y TM11.
(Guía estándar de la banda X).
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La guía rectangular. Modos TM
- Suponemos a>b.
Resolvemos la ecuación de Helmholtz para ez(x,y).
y utilizamos la técnica de separación de variables:
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TM
La solución para ez(x,y):
que con las condiciones de contorno:
en
que conducen a:
Donde ahora m=n=0 no está permitido. La constante de corte, por tanto:
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TM. Expresiones generales de los campos
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TM
- Cada par de índices m,n determinan un modo diferente, denotado por TMmn.
- La constante de propagación es, de nuevo, para cada modo:
por tanto, cada modo tiene una frecuencia de corte
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Guías particulares
La guía rectangular. Modos TM
- No existen los modos TM00, TM01 ó TM10.
- El modo TM de frecuencia de corte más baja es el TM11, cuya frecuencia de corte
- Los modos TM y los modos TE que tengan la misma
frecuencia de corte se dice que son degenerados.
La impedancia de onda:
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La guía rectangular. Modos TM
Distribución de los campos en la guía. Modo TM11.
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La guía cilíndrica
Como guía monoconductora, no soporta el modo TEM.
Históricamente es la primera guía analizada.
Conviene emplear coordenadas cilíndricas para su estudio.
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La guía cilíndrica
Las relaciones entre campos transversales y longitudinales,
en coordenadas cilíndricas, son:
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La guía cilíndrica. Modos TE
Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para hz,
en coordenadas cilíndricas.
y utilizamos la técnica de separación de variables:
Recordemos que la constante de corte sigue siendo:
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La guía cilíndrica. Modos TE
La separación de variables conduce a:
función solo de ρ
función solo de ϕ
Si introducimos la constante de separación kϕ :
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La guía cilíndrica. Modos TE
La ecuación para la parte radial es:
conocida como ecuación de Bessel.
Soluciones
a) Parte angular:
b) Parte radial:
donde Jn, Yn son las funciones de Bessel de 1a y 2a especie, de orden n.
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La guía cilíndrica. Modos TE
Determinación de constantes.
- Para la parte angular, es evidente que la solución debe tener periodicidad 2π.!
- Una adecuada elección del origen de ángulos nos permite eliminar
una de las dos funciones (equivalente a hacer A ó B=0).
- La condición de contorno natural se aplica sobre eϕ. !
- Obtenemos ésta a partir de las relaciones campo transversal-longitudinal.
-Deberá ser eϕ=0 para ρ=a.
- Por otra parte, la función Yn es singular en el origen ⇒ D=0
Por lo tanto:!
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La guía cilíndrica. Modos TE
- En lo anterior, J’ es la derivada de la función de Bessel y p’nm
(qnm) es el cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n.
n
p’n1
p’n2
p’n3
0
3,832
7,016
10,174
1
1,841
5,331
8,536
2
3,054
6,706
9,970
Ceros de las funciones derivadas de Bessel
- Denominamos modo TEnm donde el índice n denota la
dependencia
(multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel)
y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J’).
- No pueden existir modos TEn0 (siempre es m>1), pero si TE0n.
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La guía cilíndrica. Modos TE
- La constante de corte es
y la constante de fase
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La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos
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La guía cilíndrica. Modos TE. Expresiones de los campos
(Elección apropiada de origen de ángulos, i.e. B=0)
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La guía cilíndrica. Modos TE
El modo fundamental
Las frecuencias de corte son:
y, a la vista de los ceros de J’, resulta el modo fundamental el TE11.
- Sobre el valor de los campos en ρ=0.
- La presencia de ρ en el denominador afecta a los campos que varían como Jn.
- Dado que
cuando
se resuelve la posible singularidad.
- Notar que no hay modos TEn0. (m ≥ 1), pero sí TE0n.
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La guía cilíndrica. El modo TE11
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La guía cilíndrica. El modo TE11
Campo eléctrico (línea continua) y magnético (línea a trazos).
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Campo magnético
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La guía cilíndrica. El modo TE11
Transición desde el modo TE10 en guía rectangular al TE11 en guía cilíndrica.
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Guías particulares
La guía cilíndrica. Diversos modos TE
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Guías particulares
La guía cilíndrica. El modo TE01
Aunque no es el modo fundamental, es de importancia como del que derivan
modos de resonancia de interés en cavidades cilíndricas.
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La guía cilíndrica. El modo fundamental
- Impedancia de onda
- El flujo de potencia.
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Guías particulares
La guía cilíndrica. El modo fundamental
Pérdidas por conductividad finita
Podemos calcular la potencia disipada por unidad de longitud
El coeficiente de atenuación será:
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Guías particulares
La guía cilíndrica. El modo fundamental
Pérdidas por conductividad finita
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Guías particulares
La guía cilíndrica. Modos TM
Resolvemos la ecuación reducida de Helmholtz para ez,
en coordenadas cilíndricas.
y utilizamos la técnica de separación de variables:
- Las soluciones se obtienen de la misma forma que para los modos TE.
- Ahora varía el resultado de aplicar las condiciones de contorno:
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La guía cilíndrica. Modos TM
- Ahora llamamos pnm al cero m-ésimo de la función de Bessel de orden n.
n
pn1
pn2
pn3
0
2,405
5,520
8,654
1
3,832
7,016
10,174
2
5,135
8,417
11,620
Ceros de las funciones de Bessel
- Denominamos modo TMnm donde el índice n denota la dependencia
(multiplicidad) angular (y el orden de la función de Bessel)
y el índice m la dependencia radial (orden del cero de J).
- No pueden existir modos TMn0 (siempre es m>1), pero si TM0n.
- El primer modo TM es el TM01 (p01 =2.405), luego el modo dominante es el TE11.
- Nótese que los modos TM1m son degenerados con los TE0m.
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La guía cilíndrica. Modos TM
- La constante de corte es:
- La constante de fase
y las frecuencias de corte:
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Guías particulares
La guía cilíndrica. Modos TM. Expresiones de los campos
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89
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Guías particulares
La guía cilíndrica. Modos TM
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Guías particulares
La guía cilíndrica. Modos TM
Frecuencias de corte de los primeros modos.
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Guías particulares
La guía coaxial
- Ya analizada en términos de línea de transmisión.
- Como guía biconductora, soporta modos TEM.
- También pueden estar presentes modos superiores.
- Utilizada, en la práctica, en cables.
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Guías particulares
La guía coaxial. El modo TEM
1.- Resolvemos
en coordenadas cilíndricas.
2.- Las condiciones de contorno son:
3.- Separamos variables
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Guías particulares
La guía coaxial. El modo TEM
- La ecuación de Laplace en el plano transversal resulta:
que se separa en dos ecuaciones:
donde las constantes de separación verifican:
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Guías particulares
La guía coaxial. El modo TEM
- Solución para la parte angular:
ya que la solución debe tener, al menos, periodicidad 2π.
- Por otro lado, las condiciones de contorno del problema exigen que
no haya variación con ϕ, ya que las superficies son equipotenciales.
- La parte radial admite como solución:
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La guía coaxial. El modo TEM
Las condiciones de contorno sobre el potencial conducen a;
y, en consecuencia, el campo eléctrico reducido:
que es de la misma forma que el campo estático en un cable coaxial.
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. El modo TEM
Expresiones completas de los campos.
- Ya sabemos que la constante de fase es
que, de nuevo, resultan análogas a las expresiones estáticas.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. El modo TEM
Potenciales y corrientes.
- Podemos evaluar, en la forma habitual, la diferencia de potencial y corriente
a lo largo de la guía. (Tratamiento en términos de línea de transmisión).
de donde la impedancia característica:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. El modo TEM. Atenuación en las paredes
- Calculado en la forma habitual, se obtiene
Atenuación por conductividad finita, frente a la relación b/a.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. Modos superiores
- Para modos TE, resolvemos:
cuya solución, ya vista, es:
- A diferencia de la guía cilíndrica, ρ=0 está excluido de la región de cálculo,
luego no hay por que descartar Yn.
- Las condiciones de contorno a aplicar son:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
para
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. Modos superiores
Las condiciones anteriores dan:
sistema que admite solución no trivial si:
ecuación trascendente, cuya solución proporciona
las constantes de corte de los modos TEnm.
- Una solución aproximada es:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. El modo TE11
Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos).
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Guías particulares
La guía coaxial. El modo TE11
Líneas del campo eléctrico (continua) y magnético (a trazos).
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “strip”
Generalmente la tira (“strip”) está centrada
Se suele tomar b ≈ w; a >> w
El análisis desprecia efectos de borde
Suponemos las placas exteriores conectadas a tierra
y la tira a un potencial V0.
Se puede aproximar la distribución de campos por encima y debajo
de la tira como un modo TEM (al igual que en la guía plano paralela)
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “strip”
Distribución ideal de los campos
en –w/2≤x≤w/2; 0≤y≤b/2
en –w/2≤x≤w/2; -b/2≤y≤0
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “strip”
El tratamiento en términos de voltajes y corrientes da:
de forma que la impedancia característica:
donde η0 es la impedancia intrínseca del vacío
y suponemos que el dieléctrico tiene una permitividad εr
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “strip”
Líneas de campo sin despreciar efectos de borde
Un cálculo realista, que no desprecie efectos de borde, proporciona:
Donde K y K’ son la función elíptica de primera especie y su complementaria
También existen resultados para tiras de grosor no despreciable
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “strip”
Representación de la impedancia característica frente a w/b (parámetro t/b).
La línea a trazos es la aproximación sin efectos de borde.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
Suelen utilizar sustratos dieléctricos de alta permitividad
(concentra el campo en la región del sustrato y permite reducir el tamaño de la tira)
Son utilizadas en circuitería integrada y se realizan con técnicas fotolitográficas
Las condiciones de contorno impuestas en la interfaz entre los dos dieléctricos
no permiten, estrictamente, la existencia de un modo TEM
Sin embargo, si el sustrato dieléctrico es delgado y de elevada permitividad
se puede realizar un análisis cuasi-TEM
La propagación real es a base de modos híbridos TE-TM
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
Efecto del dieléctrico: superior εr=1; inferior εr=10
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
El análisis cuasi-TEM supone que la velocidad de fase y
constante de propagación pueden expresarse como:
donde 1<εe<εr es una permitividad “efectiva”
(Nótese que existe propagación tanto en el vacío como en el sustrato)
La permitividad efectiva se aproxima por:
Equivalente a un único medio en el que estuviera la línea
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
La impedancia caracerística
se suele utiliar la impedancia característica de la microstrip
vacía
y escribir:
La siguiente gráfica representa la impedancia
y la constante dieléctrica efectiva
en función de la relación w/h para distintos sustratos
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
Impedancia característica en vacío y constante dieléctrica efectiva
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
w/h
0.4
2.50
185
74
67.5
1.0
2.55
130
51
47.5
2.0
2.63
90
34
32.0
Cálculo cuasi-TEM y medidas (Microstrip de alúmina εr=9.74; h=0.635 cm.)
Impedancia característica frente a w/h para diversos sustratos
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
Longitud de onda en la línea w/h para diversos sustratos
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
Diagrama de dispersión en una línea microstrip
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La línea “microstrip”
Líneas de campo en una microstrip “encerrada” (Modo cuasi-TEM)
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La guía dieléctrica
También conocida como “fibra óptica”, está formada por un núcleo (core)
de permitividad ε1(ρ) superior a la de la cubierta (cladding)
No emplea elementos metálicos, por lo que no son afectadas por interferencias
exteriores. Por ello, también se usan para enlaces en presencia de tensiones elevadas
El guiado se efectúa a base de reflexión total en la interfaz núcleo-cubierta
Pueden ser de salto de índice (ε1 constante) o de índice gradual
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La guía dieléctrica
El seno del mayor ángulo de incidencia de un rayo, de forma que sea guiado por
la fibra (alcanzando el otro extremo) se conoce como apertura numérica
Pueden existir modos TE0n y TM0n sin dependencia angular
Los modos con dependencia angular son híbridos TE y TM y se denominan modos
HE ó EH. Entre ellos el fundamental es el HE11, cuya frecuencia de corte es nula
Los campos en la cubierta decrecen exponencialmente, pero el decrecimiento es mas
lento a medida que baja la frecuencia
Dependiendo del tamaño del núcleo y de la frecuencia pueden ser fibras monomodo
o multimodo (típicamente para frecuencias ópticas entre 1-10 micras)
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Otros tipos de guías
La guía dieléctrica
Diagrama de dispersión de una fibra de salto de índice Δ=0.1; εr1=2.34
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Introducción
Los circuitos resonantes constituidos por elementos concentrados
no son eficaces como sistemas resonantes de alta frecuencia
Poseen elevadas pérdidas por radiación
La penetración de los campos en los conductores
aumentan las pérdidas por conductividad
Los valores prácticos de R, C y L no permiten conseguir
resonancias a frecuencias elevadas
En su lugar se emplean sistemas en los que los campos se
confinan (casi) totalmente en una región dieléctrica que puede
estar rodeada por paredes metálicas
Concentran elevadas densidades de energía
Presentan resonancia a varias frecuencias
Poseen elevados factores de calidad (pequeñas pérdidas)
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Circuitos resonantes de baja frecuencia
Recordamos las principales características.
i.e. Circuito RLC serie
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Circuitos resonantes de baja frecuencia
Se produce resonancia a la frecuencia
en la cual
Ondas Electromagnéticas Guiadas
ya que
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Circuitos resonantes de baja frecuencia
La relación entre energía almacenada en los elementos reactivos y
la potencia disipada en los elementos resistivos mide la “bondad”
de la resonancia y se conoce como factor de calidad o de mérito Q.
Para factores de calidad grandes se pueden aproximar la
impedancia y el factor Q por:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Resonadores de cavidad
Este tipo de resonadores está formado por un recinto
dieléctrico encerrado en paredes metálicas.
Debe tener elementos de acoplo para inserción y extracción de energía.
Pueden analizarse con la teoría general del campo pero como, con frecuencia,
derivan de estructuras de guías cortocircuitadas, se pueden añadir a las
soluciones encontradas las condiciones de contorno nuevas impuestas por los
cortocircuitos.
La situación corresponderá así a una onda que se propaga en la guía bajo el
modo escogido y que se reflejará en los contornos metálicos transversales.
La resonancia se alcanzará cuando se forme una onda estacionaria en la
dirección longitudinal para lo cual serán necesarias determinadas condiciones
sobre la longitud fe onda en la guía.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad rectangular
Deriva de la guía rectangular, cortocircuitada en dos planos
perpendiculares a la dirección de propagación.
Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de
contorno al campo tangencial a las nuevas paredes:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad rectangular
Las condiciones de contorno en z=0,l imponen:
y por tanto:
Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un
número entero de semilongitudes de onda.
Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias
de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad rectangular
Nótese que el desarrollo anterior es válido tanto para modos TE como TM.
Las expresiones de los campos se derivan ahora de las de la guía base
sustituyendo la dependencia con z, de tipo exponencial, por la forma seno o
coseno, según corresponda.
Ejemplo: Modos TE10p.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad rectangular. Factor de calidad
Si consideramos únicamente pérdidas en las paredes es sencillo obtener el
factor de calidad de un cavidad rectangular.
1.- Energía almacenada: En resonancia la energía almacenada en el campo eléctrico
iguala a la del campo magnético (comprobar por integración de los campos).
donde el uso de la relación de dispersión y el valor de ZTE demuestra la igualdad
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad rectangular. Factor de calidad
La potencia disipada en las paredes
y el factor de calidad es:
que en cavidades prácticas puede alcanzar valores de 1000-10000
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad rectangular. Factor de calidad
Si existiera otra fuente de pérdidas (i.e.: dieléctricas),
pueden calcularse éstas y añadirlas a las anteriores.
es decir:
Si la cavidad está acoplada al exterior también habrá pérdidas por los iris, que se
añadirán al factor de calidad: se conoce como QL (factor de calidad con carga).
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica
Al igual que la cavidad rectangular, deriva de la guía cilíndrica por adición de dos
cortocircuitos perpendiculares a la dirección de propagación.
Tendremos dos ondas viajando en z+ y z- e impondremos condiciones de
contorno al campo tangencial a las nuevas paredes:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica
Las condiciones de contorno en z=0,l imponen:
y por tanto:
Es decir: la longitud de la cavidad debe ser un
número entero de semilongitudes de onda.
Utilizando la relación de dispersión de la guía base se obtienen las frecuencias
de resonancia de los distintos modos denotados como TEnmp ó TMnmp
(Recordar que las relaciones de dispersión son diferentes para modos TE y TM)
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica
Modos TE
Modos TM
El modo fundamental es el TE111
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica
Ejemplo: Modos TEnmp
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica. Factor de calidad
Considerando solo pérdidas en las paredes:
1.- Energía almacenada:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica. Factor de calidad
Considerando solo pérdidas en las paredes:
2.- Pérdidas en las paredes:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La cavidad cilíndrica. Factor de calidad
Factor de calidad debido a
pérdidas en las paredes:
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Factores de calidad
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Cavidades cilíndricas: Carta modal
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La respuesta de un resonador
La presencia de pérdidas da lugar a que un resonador dado
responda a frecuencias en torno a la de resonancia.
Si consideramos un resonador que tenga almacenada una energía W0 y
al que se corta bruscamente la alimentación, la potencia disipada
igualará al decrecimiento de energía almacenada.
y, por tanto el factor de calidad:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La respuesta de un resonador
El decrecimiento de la energía es, así:
y, por tanto cualquier magnitud de campo variará de la forma:
Desde el punto de vista frecuencial se trata de un conjunto
de oscilaciones en torno a la frecuencia de resonancia, de
importancia decreciente
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La respuesta de un resonador
Escribiendo A(t) en el dominio de la frecuencia:
de forma que cada componente espectral tendrá una amplitud:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
La respuesta de un resonador
La potencia es, por tanto:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
Pequeños cambios en las propiedades de los medios o en la geometría de una
cavidad conducen a pequeñas variaciones en sus características de resonancia.
Estas variaciones (aun siendo grandes) pueden afectar a pequeñas regiones (i.e.:
introduciendo una muestra en la cavidad) o afectar a una región grande con un
pequeño cambio de las propiedades (i.e.: rellenar toda la cavidad con un gas).
La teoría de perturbaciones permite obtener las características de resonancia sin
necesidad de recalcular los campos en toda la cavidad.
Tomamos, para la cavidad sin perturbar, las soluciones correspondientes al modo
de resonancia concreto como:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
La modificación en la cavidad varía ligeramente los
campos y las frecuencias de resonancia:
donde la perturbación se representa por los términos adicionales E1, H1.
En ambos casos los campos han de cumplir las ecuaciones de Maxwell:
donde el vector D puede incluir corrientes de conducción a través de una
permitividad compleja equivalente
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
Operando adecuadamente se obtiene:
Integramos al volumen de la cavidad y, utilizando el teorema de la divergencia,
habida cuenta de que:
debido a las condiciones de contorno metálicas en las paredes
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
Finalmente obtenemos:
Expresión que es exacta si las paredes de la cavidad son perfectamente conductoras.
Las aproximaciones que se realizan consisten en suponer:
a)  La perturbación es pequeña en todo el volumen
o
b) La perturbación es grande en una región pequeña
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
En ambos casos podemos despreciar las contribuciones
de D1 y B1 en el denominador
Finalmente la expresión perturbativa resulta:
En general para un problema dado la dificultad residirá
en determinar los campos adicionales debidos a la
perturbación: E1, D1, H1, B1.
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
Caso con pérdidas
Puede tratarse como una extensión de lo visto
anteriormente introduciendo una “frecuencia compleja”
de resonancia.
La variación relativa de la “frecuencia compleja” es
ahora:
Ondas Electromagnéticas Guiadas
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
Ejemplo: Cavidad cilíndrica TM010 llena de un gas (εr≈1)
Campos sin perturbar:
Campos perturbados:
ya que no hay perturbación magnética
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GUIAS DE ONDA
Resonadores
Perturbaciones en cavidades
y finalmente:
mientras que el cálculo exacto proporciona:
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